Bechar University Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones

Systems Modeling & Simulation Research Team

Cours presenté par : Prof. TAMALI Mohammed,

http://www.univ-bechar.dz/mtamali

Bechar University | faculty of Technology

ENERGARID Lab./SimulIA team

SITI National Research Project No 83/TIC/2011

Présentation The University of Bechar was born in 1986 as the National Institutes of Higher Education (INES) in 1992 it becomes University Center and 07/01/2007, it was officially declared as a university. Since then, many research teams have seen the day. In 2011, The Laboratory for Energy Systems Studies Applied to Arid Zones was run by a group of young and well motivated researchers (7 research teams) to solve real problems affecting arid zones, SimulIA is one of the teams of the same laboratory. The workload of SimulIA concern studies and applications of modeling and simulation of systems in arid areas. Research areas: Energy & Environment (Modeling & Simulation) Application of heat in arid zones Energy economy. Mapping and development of resources in arid zones. SIMULIA for the task in the short term, to develop the computer code for modeling and simulation which can be accessed online. Website of the laboratory team: www.univ-bechar.dz/energarid/simulia

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Plan Introduction & Présentation

Définitions & Concepts

Formalisation

Modélisation des systèmes non Linéaires

Contexte d’utilisation

Etudes de cas

Conclusions

Références

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Overview & Presentation Les sciences Physiques introduisent les systèmes non linéaires, contrairement à ceux

dits linéaire comme étant des systèmes qui ne satisfont pas aux principes de la

superposition, chose, qui indique que la réponse d'un système non linéaire n’est pas

directement proportionnelle à la ressource donnée en entrée. Alors qu’en

mathématiques, les systèmes d'équations non linéaires sont des écritures dans

lesquelles les inconnues apparaissent comme des variables d'un polynôme de degré

supérieur à un ou dans l'argument d'une fonction qui n’est pas un polynôme de degré

un. Les systèmes non linéaires sont généralement des descriptions plus ou moins

justifiées. Le système dans lequel (par opposition aux systèmes linéaires) l'effet des

facteurs externes ne sont pas purement additive, et peuvent même avoir des effets

perturbateurs. Les systèmes non linéaires ne peuvent pas être décomposées en

plusieurs parties et réassemblés dans la même chose, et ne varient pas en fonction

d'un changement dans une entrée. La plupart des processus économiques et sociaux

sont non linéaires où l'analyse mathématique (à quelques exceptions près) est

incapable de fournir des solutions générales.

En d'autres termes, dans un système d'équations non linéaires, l'équation (s) de la

sortie ne peut pas être écrite comme une combinaison linéaire des variables inconnues.

En général, le comportement d'un système non linéaire est régit par un système

d'équations non linéaires.

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Principe de proportionnalité : si s(t) est la réponse à l'entrée e(t)

alors λ*s(t) est la réponse à l'entrée λ*e(t).

Principe de superposition : si s1(t) est la réponse à l'entrée e1(t)

et s2(t) est la réponse à l'entrée e2(t) alors [s1(t) + s2(t)] est la

réponse à l'entrée [e1(t) + e2(t)].

Allure de la courbe d’un SNL : pour un système NON linéaire,

en régime nominal (en fonctionnement normal et sans

excitation perturbatrice), la courbe s = f(e) n’est pas une

droite. Un système SNL est continu, par opposition à un SNL

dit discret, lorsque les variations de ses composantes sont

continûment observable dans le cadre de son domaine de

définition δ.

Un système est invariant (stationnaire) si ses caractéristiques

sont insensibles aux changements du temps.

selon ces faits, le système linéaire SL reflète les mêmes

réactions indépendamment du temps.

Un système d’équations non linéaires SENL (ζ) est la

composition faite de m équations non-linéaires :

f1(X) = 1(X)

f2(X) = 2(X)

….

fm(X) = m(X)

où X={x1, x2, … xp} sont les p inconnues du système alors

que 1, 2, … n sont les m fonctions du second membre,

elles même dépendantes de X.

Géométriquement, les m équations représentent les m courbes (α, β, …) en intersection dans un référentiel R n.

Les systèmes non linéaires sont plus difficiles à étudier

que les systèmes linéaires. Néanmoins, en linéarisant

(cas de systèmes linéarisable) un SNL, autour d'un point

A de considération finie (situation ou état du système), on

obtient un système linéaire qui correspond à une

approximation grossière du système non linéaire d’origine.

Cette approche a atteint sa maturité dans le livre de

H.W.Bode (1905-1982) à la fin de la IIème guerre mondiale.

Les travaux de R.E.Bellman (1920-1984), L.S.Pontryagin

et al (1908-1988) surtout de R.Kalman (1930) ont conduit

nombre d'automaticiens à privilégier la représentation

d‘espace d’état à partir des années 1960.

Un système est non linéaire s’il se comporte non

linéairement par rapport à ses composantes intrinsèques.

Définitions & Bases Bode

Bellman Kalman

Pontryagin

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Formalisation

Cas de l’équation

f(u)=u3 − u − 1 = 0

Pr. Edward Lorenz (1917-2008),

professeur en mathématiques, MIT

Le Pr. Edward Lorenz est le père de la

théorie du chaos. Il observa le phénomène

en 1961 et est à l’origine de la découverte

de ce qui s'appellera plus tard la théorie du

chaos par hasard, à la suite de calculs

menés pour des prévisions dans le

domaine de la météo.

le simple battement d'ailes d'un papillon au

Brésil pourrait déclencher une tornade au

Texas

La forme d’équation donnée par :

f (X) = C Est dite non linéaire si elle n’est pas une application linéaire vérifiant

les condition de superposition et de proportionnalité.

L'équation est dite homogène si C = 0.

Le définition f(X)=C est très générale au même moment que X peut

être toute composante du système sensible mathématiquement

(nombre, vecteur, fonction, … etc.), et l’expression de f(X) peut avoir

littéralement beaucoup de formes, une forme récurrente, l'intégrale ou

différentielle avec association de contraintes (telles que les valeurs

initiales/limites). Si f(x) contient une différenciation par rapport à X, le

résultat sera une équation différentielle.

Une équation algébrique (polynomiale) non linéaire donnée

par

a.x3+b.x-3=0

Une équation non linéaire itérative est toujours la résultante

d’une écriture de type :

u(k+1) = g(u(k))

Une équation différentielle, quant à elle est donnée par

du/dx=-A*u3.

Attracteur

étrange de

Lorenz

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Modélisation

Problème type :

Un fournisseur de service GSM veut développer une nouvelle stratégie en

faveur de ses clients de marque. Pour cela, il pensa à vérifier si les

emplacements de ses cellules (antennes et équipements afférents) sont

dans les recommandations optimales de localisation. La répartition de ses

clients dépend des localités où ceux-ci exercent leur activités. La nouvelle

stratégie consiste à favoriser le client selon un profil des activités

contractées et en cours avec le fournisseur. Pour cela, répartir les antennes

d’une manière optimale selon la distance la plus courte possible des clients

en question.

Formalisation D={dip} : Vecteurs des distances qui séparent les différents antennes a i

de l’antenne principale ap(m)

xi ,yi : coordonnées du point ai d’une antenne.

dij = ([(xj-xi)2+(yj-yi)

2]^(1/2)) : distance d’un point i à un point j (m)

S=dij2 : Somme des distances à minimiser

Conditions de couverture, zone d’ombre (conditions techniques)

Modélisation graphique Une représentation Graphe est toujours valable, mais elle ne peut identifier que les caractères liés à une géométrie 2D seulement. Le problème donné est un cas de système où est demandé d’optimiser (Minimiser) les distances séparant les antennes secondaires par rapport à l’antenne primaire.

Représentation graphique du problème de la

localisation optimale des antennes.

Exemple d’antenne utilisées pour les GSM.

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Modélisation

Formalisation

Soit F={fi; i[1, m]} un système de fonctions non linéaires des n variables xk (k[1, n]) définit dans un domaine

D résultante de l’union de p sous-domaine dj, D={dj; j[1, p]}.

On définit par :

F(X)=K un problème non linéaire (SNL) à résoudre. Si K est équivalente au vecteur 0, F est dit homogène. Si

C est l’ensemble des ci contraintes définies, chacune sur un domaine dj. F(X) peut être régit par C, dans ce

cas on parle de problème non linéaire contraint.

Dans le cas où le paramètre K est égal 0 et C est vide (C=), F(X) admet des zéros A(a0, a1, …, an) dans D.

Par la méthode de Newton-Raphson, nous admettons, qu’autour d’un point X0, F(X) est explicitée sous la

forme d’un développement de Taylor et dont la forme est :

F(X0+DX0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0+…+(X0)

D’où X0 est la plus bonne estimation de X* (solution exacte du problème), F(X) est dite NABLA F, Gradient

du système de fonctions fi, X0 étant l’écart entre X* et X0 et finalement (X0) représente le reste de Taylor,

regroupe les dérivées d’ordres supérieur à 1 jusqu’à .

Si l’estimation est plus justifiée, (X0) tendra vers 0, puisque les termes 1/n! tend vers 0 (pour n≥2) quant

n.

De ce fait on garde seulement la partie;

F(X0+X0) F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0, (X0) 0

Et puisque F(X) est supposée égale à 0, nous aurons

F(X0)+(1/1!).[F(X)X=Xo].X0 0 [F(X)X=Xo].X0 - F(X0)

Si on note (F(X)X=Xo)=J(X0) on a J(X0).X0 - F(X0) d’où X0 - [J(X0)]-1.F(X0) et X = X0+X0.

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Modélisation

Formalisation

Pour un système F(X)=f(x)=0 (Cas de système à une fonction à une variable), nous avons :

f(x) = 0 f(x) = f(x0 + h) ≈ f(x0) + (f(x))’(x0) .h, avec h=(x-x0).

x ≈ x0 + h ≈ x0 + f(x0)/(f(x0))’

Graphiquement, L’estimé initial est pris comme première

approximation de la solution, alors, par récurrence h est

recalculer de manière à corriger (par une quantité h f(x0)/(f(x0))’)

pour un sens de déplacement pour ainsi atteindre la solution.

De manière générale, nous calculerons J(X0) dite matrice

Jacobéenne du système.

X = X0 + X0 = X0 + (- [J(X0)]-1.F(X0)])

La formule de récurence donne les estimés successifs;

Xk+1 = Xk + Xk = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)])

Le calcul est arrêté si et seulement si Xk tend vers zéro ou est

assimilable à une petite valeur 1 en valeur absolue (|Xk| 1).

ou encore (|Xk / Xk+1| 2). Ces deux conditions sont dites CONDITIONS D’ARRET, et le déterminant de

de J est Jacobéen (|J(X)|).

8

Modélisation

Formalisation

L’algorithme NR est donné par :

1. Demander X0,

2. Mettre k=0

3. Evaluer Xk+1 (à la précision désirée)

4. Si (f ’(Xk) = 0) alors Terminer

5. Répéter

a) Xk=Xk+1

b) Xk+1 = Xk + (- [J(Xk)]-1.F(Xk)])

6. Tant que Xk≥

7. Afficher Xk+1

La méthode NR est l’une des méthode les plus simple à implémenter, très simple d’utilisation et efficace

numériquement. Beaucoup de variantes existent (Fletcher-Powell, Bellman, …)

Isaac NEWTON

(1642 −1727)

Joseph Raphson

(1648-1715) 9

Modélisation

Formalisation

De même, la méthode du Gradient nous expose l’algorithme suivant :

1. GradPasFixe(f, x0, Pas, tolérance)

2. x ← x0

3. Tant que : ||∇f(x)|| > tolérance

4. x ← x − Pas*∇f(x)

5. Retourner x

------------------------------------------------------

1. GradPasOpt(f, x0, pas, tolérance)

2. x ← x0

3. Tant que : ||∇f(x)||> tolérance

4. u = −∇f(x)

5. Calculer le pas optimal p*

6. x ← x + p*.u

7. Retourner x

L’algorithme du gradient à pas optimal combine la stratégie de Cauchy pour la détermination de la

direction de descente avec, à chaque étape, une recherche du pas optimal minimisant :

ϕ(t) = f(x + t.u), où : u = −∇f(x) est la direction de descente au point x

Augustin Louis Cauchy

(1789 −1857)

Processus de convergence des valeurs

de x vers la solution x*

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Modélisation

Formalisation

Une autre stratégie consiste à réécrire le système (cas de système contraint) sous la forme :

L(X, ) = fi(X) + j.gj(X), où j est appelé multiplicateur de Lagrange

L(X, ) est la fonction de Lagrange correspondante au système à étudier.

Résoudre :

F(X) sous les contraintes gj(X) équivaut à la résolution de la fonction

de Lagrange L pour les mêmes raisons.

Les condition d’optimalité pour L sont vérifiées si :

L/xi = 0, pour i [1, n], n étant le nombre d’inconnues

L/j = 0, pour j [1, m], m étant le nombre de contraintes

Beaucoup d’autres méthodes se basent sur la démarche de Newton en se focalisant sur la

détermination du gradient de f pour explorer l’ensemble des directions de tendance vers l’optimum.

Joseph-Louis Lagrange

(1739-1813)

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Modélisation

Simulation Comment construire une boîte avec la même forme que dans la figure avec un volume V0 fixe de telle

sorte que la quantité de matière utilisée sera minimale ?

Selon le modèle demandé de l’emballage, on remarque que les face de côtés sont de surface égale à

2.(a.c + b.c) alors celles du haut et du bas sont de 2.2.(a.b) d’où :

F(a, b, c) = 2.a.c + 2.b.c + 4.a.b

Le matériau (carton emballage) utilisé doit être de valeur minimal donc :

g(a,b,c)=a.b.c=V0, avec V0 constante.

Selon Lagrange, nous écrivons :

L(a,b,c,) = (2.a.c + 2.b.c + 4.a.b) + .(a.b.c - V0), a,b, et c ≥ 0

La solution est b = a et c = 2.a d’où a = b = (c/2) = (V0/2)^(1/3)

Par transformation

des équations nous

obtenons

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Cadre d’utilisation

Là où le système équivalent

est régit par un modèle

mathématique non linéaire,

pratiquement partout.

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Conclusions Pour entreprendre des actions sûres et avec impact réel, la méthodologie est d’une grande importance.

C’est, en d’autres termes, ce que justifie le prix à payer avant d’atteindre son objectif.

Pour nous créations intelligentes, les systèmes qui nous entourent, recèlent de beaucoup de surprises.

L’adaptation d’une stratégie d’ évaluation des performances nous permet de délimiter la zone appropriée

pour entamer nos observations concernant les dits systèmes.

Juger c’est la dernière action mais appréhender, acquérir et comprendre sont les premières. Les

améliorations, les évolutions d’un système donné, ne sont acceptables que si l’on a, à priori, bien

collecter toutes les informations relatives à la composition et constitution, au fonctionnement et à la

dépendance vis-à-vis d’autres systèmes (dits adjacents).

Le coût encourut si l’erreur est commise pourrait être fatale, pas seulement pour le système en question

mais aussi pour tous les systèmes en relation directe ou indirecte et encore NOUS.

Garder l’équilibre universelle est une affaire primordiale. L’observation scientifique, la modélisation et la

simulation et encore plus, l’évaluation des performances et l’étude de la robustesse, sont les outils de

manœuvres.

L’optimisation des outils et des méthodologies reste pour toujours une question de possibilités offertes à

l’opérateur et à l’observatoire pour améliorer selon ses besoins les performances, sans enfreindre à

l’équilibre des compositions et relations totales. Les libertés à l’introduction d’une certaine mise à jour est

toujours garantie, sauf nécessité de garantir la non interférence avec la sûreté des ensembles

adjacents.

Les systèmes non linéaires une grande question dans le contexte qui précédé. Cette communication en

est juste une contribution à la compréhension de l’observation.

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MERCI POUR VOTRE ATTENTION

Fin du neuvième chapitre

Nous sommes interpellés par les besoins vitaux :

ne cherchez jamais à en inventer ! Suivez le cours en douceur Faites LA bonne Observation, décomposer, recomposer et valider une Conception, Formaliser

Ne vous fiez pas aux apparences linéarisées (seulement) du système, il y a toujours une face cachée

Le caractère global, ‘non-linéarité.’

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Références

• Grégoire Allaire, ‘Analyse numérique et optimisation’, Editions Ecole Polytechnique, ISBN 978-2-7302-1255-7, 2005, pp 409.

• Yadolah Dodg, ‘Optimisation appliquée’, Edition Springer, ISBN 2-287-21335-X, 2004, pp 276.

• http://eaps4.mit.edu/research/Lorenz/Butterfly_1972.pdf

• L.-V. Bertallanfy, ‘General System Theory’, Edition MASSON, 1972.

• http://newsoffice.mit.edu/2008/obit-lorenz-0416

• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/Biographies/Lorenz_Edward.html

• http://www.me.berkeley.edu/ME237/2_general_properties.pdf

• http://just.loic.free.fr/index.php?page=hist

• http://www.uvm.edu/~wgibson/CYU/cobb-douglas.pdf

• Max Tournarie, ‘Évaluations optimales des inconnues d'un système statistique non linéaire. I. Principe et théorie’, J. Phys.

France 30, 737-751 (1969), http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019690030010073700.

• ISIDORI A. ; WEI KANG, ‘H∞ control via measurement feedback for general nonlinear systems’, IEEE transactions on automatic

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• H.K. Khalil, ‘Nonlinear Systems’, ISBN 0-13-228024-8, Prentice Hall Inc., 1996.

• J.Baptiste & H.Urruty, ‘Optimisation et analyse convexe’, Presses Universitaires de France, 1998.

• E. Angelini, ‘Algorithmes de gradient’, Chap. 6, http://perso.telecom-

paristech.fr/~angelini/master_spsiv/optimization/iup1.opti.chp6.pdf, Columbia University, 17/01/2015.

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