AUTOMATIQUE : Systèmes asservis linéaires échantillonnés

AUTOMATIQUE

SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES ECHANTILLONNES

Cours

Auteur de la Ressource PédagogiqueA. JUTARDM. BETEMPS

5 GMC

Année de création : 1998

**l|lMSA INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON^ LYON

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génie mécanique construction

5èmeannée

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AUTOMATIQUE

Systèmes Asservis Linéaires Echantillonnés

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iffigHIJ laboratoire d'automatique industrielle ;V ' X© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Cette nouvelle partie du cours d'Automatique traite de la Commande numérique des systèmesdynamiques. On y aborde l'étude des Systèmes Asservis Linéaires Echantillonnés, en s'appuyant sur unedescription polynomiale des systèmes et sur leur modélisation par les fonctions de transfert.

L'avènement des microprocesseurs et des mini ou microcalculateurs a eu un impact considérable sur la conduite desprocessus, aussi bien dans les aspects de leur commande que dans ceux relevant de leur gestion (surveillance, statistiques,archivage). Actuellement, les automaticiens et mécatroniciens tirent profit des vastes ressources informatiques disponibles,tant au niveau de la réalisation des régulateurs qu'à celui de leur analyse, de leur conception et de leur simulation. Eneffet, les machines numériques permettent l'élaboration digitale des lois de commande des ensembles automatisés etpeuvent se substituer en partie aux structures et composants fonctionnant d'une manière classique en continu ; d'où lanécessité de faire appel à des méthodes d'analyse et de synthèse particulières qui tiennent compte du caractèrediscontinu de ces réglages et qui permettent d'inclure dès le départ les conversions des signaux de l'Analogique au Digitalet vice-versa, de même que la nature discrète des algorithmes de commande.

Développé selon l'approche Systémique, ce cours s'adresse aux étudiants du département Génie MécaniqueConstruction, dans la logique de la formation de base de Vingénieur-mécanicien à VAutomatique. Il fait suite au coursportant sur la commande des systèmes linéaires continus, complété par le cours de Mécatronique. Le cours deSystèmes Asservis Linéaires Echantillonnés propose, dans un dernier chapitre, une représentation d'état de ces systèmes,rejoignant ainsi le cours de Commande par retour d'état, dispensé en parallèle.

Cours rédigé par Alain Jutard, professeur,en collaboration avec Maurice Bétemps, professeur.

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

AUTOMATIQUE Systèmes asservis linéaires échantillonnés

Bibliographie conseillée

Automatique appliquée - Tome 2 E. DffiULESAINT, D. ROYER Masson 1990

Théorie et calcul des asservissements linéaires J. Ch. GILLE, P. DEC AULNE, M. PELEGRIN Dunod 1992

Automatique - Commande des systèmes linéaires Ph. de LARMINAT Hermès 1993

Commande numérique de systèmes dynamiques R. LONGCHAMP P. P. U. R. 1995

Réglages échantillonnés - Volume 1 H. BUHLER P.P.U.R. 1990

Digital control system - analysis and design C. L. PHILLIPS, H. T. NAGLE Prentice Hall 1990

Identification et commande des systèmes I. D. LANDAU Hermès 1993

A quoi rêvent les robots ? (B.D.) J.P. PETIT Belin 1982


INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYONLABORATOIRE D'AUTOMATIQUE INDUSTRIELLE


CHAPITRE 1

LA COMMANDE NUMERIQUE DES SYSTEMES

1.1. ROLE DES ORDINATEURS EN AUTOMATIQUE

1.1.1. Limite de la commande analogique

Dans le cours relatif aux Systèmes asservis linéaires continus, on a pu apprécier

les possibilités offertes pour le réglage des performances d'un système de commande,

d'une part, par la notion de rétroaction (système rendu automatique par l'emploi d'une

boucle de retour), d'autre part par l'emploi de régulateurs à actions multiples (actions P,

I, D). En particulier, le régulateur (appelé également correcteur) permet d'optimiser le

fonctionnement d'un système, généralement linéarisé autour d'un point de

fonctionnement.

Automatique - S.A.E. chapitre 1 : Commande numérique

NOTES PERSONNELLES


Si cette approche est satisfaisante dans bien des cas, on conçoit qu'elle ne peut

répondre d'une manière satisfaisante lorsque les paramètres du process évoluent. Les

actions du régulateur, réglées une bonne fois pour toutes pour un point de

fonctionnement donné, ne sont plus optimales dès lors que l'on s'éloigne de celui-ci.

Par exemple, le mouvement d'un robot ne pourra être optimisé durant la totalité

du cycle de travail, du fait de la variation permanente des moments d'inertie (par rapport

aux axes articulaires) des éléments du bras du robot durant le déroulement de la

trajectoire imposée (les performances dynamiques des moteurs d'axes étant fonction des

moments d'inertie ramenés à leurs axes).

NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESCe manque d'auto-adaptativité, préjudiciable au bon fonctionnement des

systèmes automatiques, peut être pallié par l'utilisation de machines numériques

capables de calculer en temps réel les paramètres adéquats à appliquer à la commande

du système en fonction de son évolution, dans le but de toujours les placer dans les

meilleures conditions de fonctionnement.

1.1.2. Apport des machines numériques

On a donc été amené à étudier la commande d'un système automatique par

calculateur numérique, dans le but d'optimiser son fonctionnement. Selon la nature et

l'importance du processus, la machine numérique peut être un microprocesseur, un

microcalculateur, un minicalculateur ou un ordinateur conséquent.

Les possibilités des systèmes informatiques sont telles que l'on peut confier au

calculateur de conduite du processus des tâches aussi diverses que :

- Vélaboration des consignes selon divers programmes de commande,

- le calcul des paramètres de réglage du régulateur (optimisation) en temps réel,

- la gestion des données statistiques de production, de consommation,...

- la gestion simultanée et coordonnée des systèmes multiboucles (génie chimique,

robotique, pilotage automatique,...),

- la gestion des alarmes et des défauts.



De plus, la qualité de transmission des informations numérisées (peu sensibles au

bruit), ainsi que les possibilités du multiplexage militent en faveur de l'utilisation des

machines numériques dans la conduite automatique des processus.

Cependant, sauf très rares exceptions, le processus et un certain nombre de

composants (actionneurs, chaînes cinématiques, capteurs) restent de type analogique.

L'introduction d'ordinateurs ou de microprocesseurs pour commander un système (ou

traiter localement les signaux) exige l'utilisation de convertisseurs analogiques-

numériques (CAN) ou réciproquement numériques-analogiques (CNA), aptes à

convertir un signal d'un type en l'autre.

Remarque : tout calcul, aussi simple soit-il, demande un certain temps pour être

exécuté. La notion de temps réel doit être comprise relativement à la

dynamique de l'ensemble du système : temps de calcul des nouveaux

paramètres de réglage très faible vis-à-vis des temps de réponse des

constituants de la chaîne d'asservissement.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES1.1.3. Structures de commande par calculateur numérique

Suivant l'importance du système et suivant le degré d'informatisation souhaité,

on peut rencontrer différentes configurations :

* machine numérique extérieure à la boucle de régulation (qui reste analogique).

- Elaboration de la consigne,

- Elaboration de la consigne + des modules de surveillance, de gestion,...

* machine numérique intégrée à la boucle de régulation (en partie numérique).


Dans cette configuration, le régulateur devient discret : il peut être soit câblé,

soit programmé ; ce dernier cas offre une grande souplesse d'emploi par les possibilités

d'action sur la structure-même du régulateur.

Remarque 1 : Certains composants mécatroniques utilisés dans les systèmes

automatiques assurent la fonction de convertisseurs CAN ou CNA ; on

peut citer par exemple le moteur pas-à-pas (CNA) ou les capteurs de

type codeur (CAN).

Remarque 2 : A partir d'informations fournies par un capteur de position, le calculateur

peut, par programmation, calculer (reconstruire) si besoin est la vitesse

et/ou l'accélération du mobile automatisé.

1.2. SIGNAUX ECHANTILLONNES ET DISCRETS

1.2.1. Signal échantillonné

Dans le contexte de l'informatisation d'une partie du processus et plus

généralement du traitement de l'information, échantillonner un signal analogique

signifie le remplacer par une suite de ses valeurs prises à des instants bien définis.

L'échantillonnage joue un rôle capital en réglage automatique du fait qu'un ordinateur

traite des nombres plutôt que des grandeurs analogiques.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEn analogique, on a l'habitude de traiter des signaux continus, présents à tout

instant. Le signal x(t) de ce type possède une énergie finie, correspondant à son intégrale

sur un laps de temps fini :

/"w(t) = I x(x).dT

•ro

Le signal échantillonné x*(t), associé au signal continu x(t), est composé d'une

série d'impulsions de Dirac apparaissant uniquement aux instants d'échantillonnage.

Par la suite, on supposera que l'échantillonnage est périodique, de période T.

On rappelle que l'impulsion de Dirac (impulsion-unité) est une distribution.

Cette impulsion de Dirac s'obtient par un passage à la limite d'une impulsion

rectangulaire qui tendra vers une impulsion infiniment étroite et d'amplitude infinie tout

en gardant une surface constante, correspondant à l'énergie véhiculée par le signal à

l'instant d'échantillonnage. L'intégrale d'une impulsion-unité est égale à l'unité.



Remarque : La longueur de la flèche illustrant l'impulsion de Dirae représente

normalement son niveau énergétique. Par convention, on affectera plutôt

à l'impulsion de Dirac, apparaissant à l'instant d'échantillonnage kT,

l'amplitude x(kT) du signal continu associé, pris au même instant.

1.2.2. Signal discret

Un signal discret consiste en une séquence de valeurs distinctes (valeurs

numériques) qui ne sont définies qu'aux instants d'échantillonnage. En dehors des

instants d'échantillonnage, le signal discret n'existe pas. Un tel signal sera représenté

par une ligne pointillée et un point à une ordonnée correspondant à la valeur numérique

du signal x(t) continu associé, pris à l'instant d'échantillonnage considéré.

Le signal discret xn(t), associé au signal continu x(t), a pour valeur à l'instant kT :

xk = x(kT)


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESL'énergie d'un signal discret est nulle. Avec un signal discret, on peut faire

toutes les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication et division).

Par contre, on ne peut pas exciter un système continu parce que l'énergie du signal est

nulle.

En résumé, on peut noter qu'à l'instant d'échantillonnage kT :

. le signal continu vaut : x(kT)

. le signal discret est : xk = x(kT)

. le signal échantillonné est représenté par une impulsion : xk ô(t-kT)

1.3. MODELISATION DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET

1.3.1. Système continu

Les signaux qui transitent à travers les différents éléments d'un système de

commande subissent des transformations à tous les stades, que celles-ci soient

volontaires (par exemple, traitement par filtrage, ou analyse spectrale, pour en extraire

une information) ou non. Pour un système S quelconque, ceci est pris en compte par la

relation entrée-sortie qui décrit le système.



Rappelons qu'un système continu est modélisé par sa fonction de transfert H(p)

ou sa réponse impulsionnelle h(t), obtenues par partie de sa description par des

équations différentielles.

Y(p) = H(p).U(p)

y(t) = h(t) * u(t)

soit y(t) = H[u(t)]

1.3.2. Cas des systèmes à temps discret

* Description par les équations récurrentes

Dans le cas de signaux n'apparaissant qu'à des instants précis du temps (et nuls

dans les intervalles), on a affaire à des systèmes à temps discret (qualifiés souvent par

contraction de systèmes discrets) dont la relation entrée-sortie peut s'écrire :

y(kT) = H[u(kT)]


NOTES PERSONNELLES


Le système à temps discret qui en résulte est alors représenté par un modèle

mathématique liant les valeurs numériques du signal d'entrée à celles du signal de

sortie.

Cette relation peut être décrite par une équation récurrente qui joue le même

rôle que les équations différentielles pour les systèmes continus. L'équation récurrente,

qui se prête bien à la programmation, définit l'algorithme de génération de sa solution.

Soit par exemple, un système à temps discret décrit par une équation récurrente

du premier degré :

y(kT) - K y[(k-l)T] = u(kT)

Si u(t) est un échelon-unité, alors :

y(kT) = Kk + 1 y(-T) + * ; Kk+ 1

L - D±

* Description par les transformées de Laplace échantillonnées

Si les signaux d'entrée et de sortie sont échantillonnés, on est conduit à

caractériser le système considéré, régi par des équations différentielles, par sa fonction

de transfert échantillonnée H*(p) ; cette transmittance est établie à partir d'une

extension de la transformée de Laplace aux fonctions puisées (transformée de Laplace

échantillonnée). Par ce fait, la théorie des systèmes échantillonnés est voisine de celle

des systèmes continus et en découle directement.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESOn pourra écrire, par exemple :

Y*(p) = H*(p).U*(p)

Cependant le signal échantillonné u*(t), de transformée de Laplace

échantillonnée U*(p), est un train d'impulsions de Dirac, espacées de T, et de poids

uk=u(kT) à l'instant kT.

L'impulsion de Dirac étant un opérateur neutre en algèbre de convolution, on

obtiendra sur l'intervalle de temps [o,nT] :

y(t) = JT u(kT)h(t-kT)k=o

Le signal y(t), obtenu par convolution discrète, est continu.

Si on s'intéresse au poids de l'impulsion de sortie apparaissant à l'instant nT , on a :

y(nT)=Xu(kT)h[(n-k)T]k=o

Le signal de sortie échantillonné est alors :

+ 00

y*(t)= £ y(nT) «(t-aT)n = 0

y*(t) est une suite d'impulsions de Dirac, espacées périodiquement de T.



* Description par les transformées en z

L'écriture et la résolution des équations récurrentes sont facilitées par l'emploi

de l'opérateur z d'avance d'une période d'échantillonnage T, défini à partir de la

variable complexe p de Laplace par la relation :

z = eTP

Nous verrons qu'à toute équation récurrente linéaire, stationnaire, peut être

associée une transformée en z , dont l'originale est solution de l'équation récurrente ;

réciproquement, à toute transformée en z, on pourra associer une équation récurrente.

Le système à temps discret peut alors être modélisé par une fonction detransfert en z, qui lie les signaux d'entrée et de sortie :

Y(z) = H(z).U(z)

qu'on peut écrire également : y(z) = h(z). u(z)

Remarque : Comme l'on passe très facilement de l'équation récurrente à la transformée

en z, l'on peut tout aussi bien convertir la description des signaux et

systèmes par la transformée de Laplace échantillonnée en transformée en

z.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESPar exemple, le système continu de réponse impulsionnelle h(t), après

échantillonnage, pourra être aussi bien décrit par :

-00

h(z) - X hk.z-k

k=o

que par :

-00

h*(t) = 2 hk 6(t-kT)k=o



NOTES PERSONNELLES

CHAPITRE 2

ECHANTILLONNAGE ET RECONSTITUTION DU SIGNAL

2.1. LES ELEMENTS ECHANTILLONNEURS

2.1.1. Echantittonneur idéal

Un échantillonneur idéal fait correspondre à un signal continu x(t) une suite de

valeurs discrètes (numériques), distribuées toutes les périodes (ou pas) T.


NOTES PERSONNELLESLa fermeture du contact est supposée avoir lieu sur un laps de temps infiniment

court par rapport à la période T. On a déjà signalé que le signal discret, dépourvu

d'énergie, ne peut être appliqué à l'entrée d'un système de commande.

Le symbole de ce type d'échantillonneur est :

T

Remarque : l'échantillonnage idéal est une opération symbolique, commune à tout calcul

numérique selon un pas de calcul constant.

2.1.2. Echantillonneur à pulsations (ou échantillonneur)

En associant aux échantillons précédents des impulsions de Dirac (régulièrement

réparties dans le temps, selon la période T), on forme à partir du signal continu x(t) le

signal échantillonné x*(t).


NOTES PERSONNELLESOn peut exprimer ce signal par :

+00

x*(t)= £ x(nT)Ô(t-nT)n=o

On peut remarquer que ce signal résulte en fait de la modulation d'amplitude

d'un signal-porteur ôT(t), formé d'un train périodique d'impulsions-unité, par le signal

utile (continu) x(t).

En effet, considérons le train d'impulsions (ou fonction-peigne) ôT(t) :


Remarque 1 : Le symbole de cet échantillonneur est celui d'un interrupteur :

T

On représente rarement l'horloge qui permet de le piloter ; sa présence

(nécessaire) est implicite.

Remarque 2 : Pratiquement, les échantillonnées sont des transistors à effet de champ

FET, très rapides, commandés en commutation. On les représente

souvent comme une résistance, qui vaut zéro à chaque période (passage)

et l'infini entre les instants d'échantillonnage.

Automatique - S.A.E. chapitre 2 : Echantillonnage

NOTES PERSONNELLES


2.1.3. Quantification

Les calculateurs de processus travaillent de manière digitale. Un signal digital,

convenablement codifié, ne peut pas varier de manière continue, mais seulement par

gradins, à cause du nombre fini des chiffres représentant une grandeur digitale. Ainsi,

après échantillonnage, le signal (toujours sous forme analogique) doit être quantifié,

c'est-à-dire numérisé et transformé en différents niveaux qui sont codés en binaire.

C'est le rôle du Convertisseur Analogique-Numérique (CAN) que de quantifier ce

signal ; le CAN assure également et préalablement la fonction Echantillonnage.


Si la quantification est effectuée dans de bonnes conditions, elle n'introduit

aucune distorsion (ou une distorsion très faible) sur l'information contenue dans le

signal, contrairement à la fonction-Echantillonnage, dont on verra qu'elle peut entraîner

une perte d'information importante. Compte-tenu du principe de fonctionnement d'un

CAN, le nombre de niveaux de conversion est toujours une puissance de 2 ; par exemple

28, soit 256 niveaux. On dit alors que l'on dispose d'un convertisseur 8 bits.

L'information analogique est alors codée sur un octet.

L'erreur absolue commise dans cette opération de quantification est

proportionnelle au nombre de niveaux ; si l'on utilise un CAN 8 bits pour convertir une

tension comprise entre 0 et 10V, l'erreur absolue maximum commise est égale à :

— ~ 0,04 V soit : 40 mV environ

La plupart des convertisseurs CAN actuels ont un nombre de bits supérieur à 8 : 10, 12

ou 16 ; exceptionnellement plus. Le tableau ci-dessous donne l'erreur absolue maximum

commise pour une plage d'entrée du CAN s'étendant de 0 à 10V.

nb de bits 8 10 12 16 20 24

nb de niveaux 256 1024 4096 65536 1,05.106 16,8.106

£ absolue maxi(mV) 40 10 2>5 °>15 °>01 °>0006

e % 0,4 0,1 0,025 1,5.1Q-3 1.104 6.1Q-6


NOTES PERSONNELLPour des raisons de précision, il est en général nécessaire de choisir une

quantification très fine, c'est-à-dire inférieure à 1%. Dans ce cas, on peut négliger l'effet

de la quantification en supposant que la valeur du signal échantillonné varie d'une

manière continue. Par la suite, on négligera donc l'influence de la quantification.

Remarque 1 : La quantification peut provoquer des oscillations dans les circuits de

réglage échantillonnés, sous forme de cycles-limites ; ces oscillations

sont dues au caractère non-linéaire de la quantification.

Remarque 2 : La conversion-inverse, du numérique à l'analogique (CNA), pose moins

de problème. Une conversion en un nombre réduit de bits peut largementsuffire (parfois 3 à 4 bits conviennent parfaitement).

2.2. TRANSFORMEE DE LAPLACE D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE

2.2.1. Première approche

On sait que la transformée de Laplace d'une distribution (impulsion de Dirac)

ô(t) est égale à l'unité. Si celle-ci est retardée d'un temps 6, on peut écrire (théorème

du retard) :

& ô(t-0) = e-0P



Considérons le signal échantillonné :

x*(t) = x(t)&r(t)

+00

x*(t) = £ x(nT) Ô(t-nT)n=o

Sa transformée de Laplace X*(p) peut donc s'écrire :

+00

X*(p) = £ x(nT) e-nTPn=o

Cette relation constitue une première expression de la transformée de Laplace

d'un signal échantillonné (ou transformée de Laplace échantillonnée).

2.2.2. Deuxième approche

La fonction-peigne (train d'impulsions-unité) peut être considérée comme un

signal périodique de période T et peut donc être décomposée en série de Fourier ; soit :



qui, pour tout t = nT, est donc égale à 1.

Ainsi, quelque soit l'échantillon k considéré, les coefficients ck de la série de

Fourier sont tous égaux à : — .T


»Kt) = I cke^k=-°°

Le coefficient ck s'exprime par :

ft+T

ck = | We*2?*

Comme sur une période [t, t+T], n'apparaît qu'une seule impulsion-unité (de poids égal

al) , l'intégrale prend la valeur :

i k27t tdk^r


NOTES PERSONNELLESLe signal 6 (1) peut donc s'exprimer également par :

»i(t) = lle*^k=-oo

Alors :

**(t) = l]F x(t)e-Jk2f

Sachant que selon le théorème de la translation dans le plan complexe :

^[x(t)H =X(p+a)

On obtient finalement :

+00

X*(p)=|£ X(p+Jk^)k=-<*>

avec : Q = — pulsation d'échantillonnage.

Remarque 1 : Cette relation n'est valable que si le signal x(t) est causal, c'est-à-dire si

x(t) = 0 pour tout t < 0 et qu'il ne présente pas de discontinuité pour

t = 0,soit x(0+) = 0.



NOTES PERSONNELLESRemarque 2 : De cette expression, il résulte que le spectre de fréquences X*(jco) de

x*(t) est obtenu à partir de celui de x(t), c'est-à-dire de sa réponse eno

fréquences X(jco), par une infinité de translations de valeur £2 = — . Le

spectre du signal échantillonné est donc bien plus étendu que celui du

signal continu qui lui a donné naissance.

Remarque 3 : Cet aspect de l'étude fréquentielle d'un signal échantillonné a été abordé

dans le cours de Traitement du Signal ; il ne sera donc pas développé

plus avant ici.

2.3. RECONSTRUCTION D'UN SIGNAL ECHANTILLONNE

2.3.1. Théorème de SHANNON

On intuite facilement que l'on perd peu d'information sur un signal continu

échantillonné à haute cadence (a) (fréquence d'échantillonnage élevée par rapport au

spectre de fréquences du signal analogique) ; par contre, si la fréquence

d'échantillonnage est mal choisie, toute l'information peut être amoindrie (b), voire

irrémédiablement perdue (c).

Automatique - S.A.E.


Rappelons que le théorème de l'échantillonnage ou théorème de SHANNON

précise les conditions dans lesquelles un signal analogique peut être reconstruit de façon

unique à partir de sa version échantillonnée :

Théorème : Pour pouvoir reconstituer un signal continu à partir d'un train

d'échantillons de période T, il faut que la pulsation d'échantillonnage

2nQ = , soit au moins deux fois plus grande que la plus grande des

pulsations contenues dans le signal continu que lui a donné naissance.

Automatique - S.A.E. chapitre 2 : Echantillonnage© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

2.3.2. Application au cas des signaux à spectre de fréquence illimité

Ceci suppose que le signal analogique initial possède un spectre de fréquences

(module de sa transformée de Fourier) limité par une fréquence fMAX-

Ce n'est pas le cas de la plupart des signaux utilisés ; ceux-ci possèdent des

courbes de réponse en fréquences (modules) qui tendent vers zéro lorsque la fréquence

tend vers l'infini.

Dans les diagrammes de Bode, la courbe de réponse en fréquences (courbe du

module évalué en décibels) se caractérise généralement par :

- sa pulsation de coupure : coc = 27ifc (limitant sa bande passante à - 3 db),

- sa rapidité de décroissance: pente à -m db/décade avec m = 20, 40, 60,...

( exprimée souvent en -n db/octave avec n = 6, 12, 18,...)


NOTES PERSONNELLESDans ce cas on peut déterminer en fonction de m la valeur de la pulsation

d'échantillonnage Q = — qui conduit à une certaine erreur d'échantillonnage définie

comme le rapport de la valeur quadratique moyenne de l'erreur apparaissant sur le

signal restitué à la valeur quadratique de celui-ci.

Par exemple : Pour un signal dont le spectre de fréquence chute de -12 db/oct.

(ou -40 db/dec.) à partir de la fréquence de coupure fc = 10 Hz, un

échantillonnage à 100 Hz conduit à une erreur quadratique moyenne de

5%. Si l'on ne tolère qu'une erreur d'échantillonnage de 1%, il faudra

échantillonnera ~ = 30 f c , s o i t à 300Hz.T c



NOTES PERSONNELLESEn pratique, on conseille de choisir la période d'échantillonnage T, de telle façon que :

± > 10 fc ou ^> 10coc

2.3.5. Echantillonneur-bloqueur

* Nécessité d'un élément de maintien

En supposant que le théorème de SHANNON ait été respecté, il n'en reste pas

moins que l'échantillonnage amène une dégradation des propriétés dynamiques du

signal et un certain retard dans la transmission des informations ; de même, la

quantification amène une certaine dégradation de l'état du signal en régime permanent.

Il est donc impératif de filtrer ce signal avant toute utilisation.

De plus, les différents signaux, qui ont subi un traitement au sein de l'ordinateur

(suivant l'algorithme imposé par les instructions mises en mémoire), sont des signaux

échantillonnés (ou plus exactement, numériques) qui doivent être transformés en

signaux analogiques afin de pouvoir commander les actionneurs du système.

En Automatique, le filtre reconstituant le plus utilisé est le bloqueur d'orde zéro.

Cet élément de maintien est bien souvent associé à l'échantillonner classique, car la

plupart du temps :

- le signal discret (échantillon) est mis en mémoire jusqu'à l'apparition de

l'échantillon suivant ;



NOTES PERSONNELLES- le signal échantillonné (impulsion de Dirac) est transformé en échelon de position,

entre deux prises d'informations, afin d'attaquer le système physique commandé.

* Modélisation d'un échantillonneur-bloqueur

On obtient le signal mémorisé xm(t) qui se présente comme une suite de paliers,

changeant tous les instants nT.

On peut considérer que l'élément de maintien d'ordre zéro résulte de la

différence entre deux échelons-unitaires de position, décalés de T :



B0(t) = nt)-r(t-T)

Sa transformée de Laplace s'exprime par :

B0(p) = l-le-Tp

soit B0(p) = l^

Le même élément de maintien, décalé de n périodes : B0(t-nT), aura pour

transformée de Laplace :

B0(p).e-nTP

Considérons maintenant un signal mémorisé xm(t) ; on peut l'écrire comme

résultant d'une suite d'éléments de maintien décalés les uns des autres de T :

+00

xm(t) = Z x(nT) Bo(t-nT)n=o



NOTES PERSONNELLESSa transformée de Laplace s'écrit :

+00

Xm(p)=£x(nT) B0(p)e-nTP

n=o

+00

soit Xm(p) = B0(p)£x(nT)e-nTPn=o

d'où Xm(p) = B0(p)X*(p)

Expression que l'on peut illustrer par un bloc-diagramme, associant l'élément

bloqueur à un échantillonneur (à pulsations) :

xw s X*(t) I " r~i xma)/ ^ B0(p) = I^ -

X(p) X*(p) | I Xm(p)

Remarque : on peut concevoir d'autres types de filtres-bloqueurs, tels que le bloqueur

d'ordre k, avec correction partielle de vitesse :

Bk(p) = kT(i^)2 + l^(l-ke-Tp)



Si k = 0 on retrouve le bloqueur d'ordre zéro,

Si k = 1 on obtient un bloqueur d'ordre un.

Le choix de k autour de 0,3 à 0,4 semble un bon compromis. Cependant, ces

bloqueurs plus sophistiqués sont complexes à réaliser et c'est presque exclusivement les

bloqueurs d'ordre zéro (mise en mémoire entre deux instants d'échantillonnage) qui

sont utilisés.

* Réalisation

La plupart des échantillonneurs-bloqueurs sont réalisés selon l'un ou l'autre des

schémas ci-dessous. Dans le premier circuit, le condensateur de mémorisation C se

trouve à l'entrée d'un amplificateur non-inverseur de gain-unité. Il est chargé

directement par le signal à mesurer, à travers l'interrupteur S. C'est donc l'impédance

de la source qui détermine la rapidité avec laquelle un condensateur de valeur donnée

est chargé.


Dans ce second circuit, le condensateur de mémorisation est placé dans la contre-

réaction d'un amplificateur-inverseur. La rapidité de charge dépend donc du courant de

sortie maximum de cet amplificateur et de la constante de temps R2C. Par rapport au

précédent, ce circuit présente l'avantage d'une impédance d'entrée purement résistive,

donc indépendante de la fréquence. Cette impédance varie en fonction de la position de

l'interrupteur.

Les échantillonnées sont généralement des transistors à effet de champ (FET).

Dans une version intégrée, le condensateur de mémorisation C est généralement de type

MOS. Enfin, l'amplificateur opérationnel comportera un étage d'entrée à FET, afin de

réduire autant que possible le courant de polarisation.




NOTES PERSONNELLES

CHAPITRE 3

LA TRANSFORMEE EN Z

3.1. DEFINITION ET PROPRIETES

3.1.1. Passage de la transformée de Laplace à la transformée en z

Une des expressions de la transformée de Laplace d'un signal échantillonné x*(t)

ne dépend de l'opérateur de Laplace p que par le terme (c.f. chapitre 2 - § 2.2.1) :

e-nTp

+00

X*(p) = 2 x(nT) e-nTPn=o

II est donc tentant, pour simplifier l'écriture, de poser :

Automatique - S.A.E. chapitre 3 : Transformée en z


NOTES PERSONNELLES

Z = C p opérateur d'avance du temps T.

On définit ainsi la transformée en z du signal x(t) :

+00

X(z) = £x(nT)z-n

n=o

Remarque 1 : on constate immédiatement que X(z) ne dépend de x(t) qu'aux instants

d'échantillonnage. Toutes les fonctions ayant mêmes échantillons ont

donc la même transformée en z. Ainsi cette transformation n'est pas bi-univoque, dans la mesure où en appliquant à X(z) la transformée-inverse

on n'est pas certain de revenir à la fonction-origine x(t).

Remarque 2 : Vopérateur z est lié à une période d'échantillonnage donnée. Il est donc

fondamental que, dans un système discret, toutes les prises

d'échantillons aient lieu en synchronisme.

Remarque 3 : si la transformée de Laplace est appropriée à l'étude des signaux et

systèmes continus vis-à-vis du temps, la transformée en z joue un rôle

identique en théorie des systèmes à temps discret. La transformée en z est

définie pour des fonctions causales.

Remarque 4 : on notera indifféremment :

X(z), x(z), âS[x(t)], S£[x*(t)], â£[X(p)], â£[x(nT)]



NOTES PERSONNELLES3.1.2. Propriétés et règles de calcul

Elles découlent naturellement des propriétés de la transformée de Laplace.

1- Linéarité, homogénéité :

â£[ai Xl(t) + a2 x2(t)] = &1 X^z) + a2 X2(z)

2- Translation temporelle (retard) :

S£[x(t-XT] = zxX(z)

Notons qu'un retard pur de T se note : z"1

3- Translation complexe :

S£ [x(p+a)] = â£ [e'at x(t)] = X(z eaT)

4- Théorème de la valeur finale :

lim *(/ir)=lim [(z-l)X(z)]= lim | (—)X(z)l= lim [(l-z"l)X(z)]n->°° z->l z - > l L z J Z->1

5- Théorème de la valeur initiale :

lim x(nT)= lim [(l-z"1)^^ lim |— X(z)\= lim X(z)n~>0 z->oo z _ ^ o o L z J z _>oo



6- Théorème de la sommation

Si g(nT) = £ x(kT)k=o

g(nT) = g[(n-l)T] + x(nT)

m [g(nT)] = % [g[(n-l)T]] + & [x(nT)]

G(z) = z 1 G(z) + X(z)

G(z) = i-rX(z) = _X(z)

7- Théorème de la différence

Soit : Ax(nT) = x(nT) - x[(n-1 )T]

â£ [Ax(nT)] = X(z) - z 1 X(z) = (1 - z1) X(z)

^[Ax{nT}] = l-X(z)

3.1.3. Etablissement d'une table de transformées en z

A partir de la définition de la transformée en z d'une fonction du temps, dont on

connait la suite d'échantillons de période T, et des différentes propriétés qui viennent

d'être énoncées, il est aisé de construire une table de transformées en z de signaux et


NOTES PERSONNELLES


de fonctions habituellement utilisés en Automatique. Son établissement revient très

souvent à des calculs de séries, du fait de la sommation.

On trouvera les transformées en z des fonctions les plus courantes enfin de chapitre.

3.2. CORRESPONDANCE ENTRE LE PLAN DES p ET LE PLAN DES z

D'une façon générale, la variable p de Laplace est un nombre complexe de la

forme :

p = x + j w

Dans le plan des z, on aura alors :

z = eTp = eTx e>wT

Du fait de la périodicité du terme ejwT, à tout axe vertical d'abscisse x du plan des

p correspondra un cercle de centre 0 et de rayon eTx dans le plan des z. En particulier,

l'axe imaginaire aura pour transformé le cercle de centre 0 et de rayon-unité.

A tout point situé dans le demi-plan droit du plan complexe (plan des p)

correspondra un point situé à l'extérieur du cercle-unité dans le plan des z. Inversement,

l'intérieur de ce cercle correspondra au demi-plan gauche du plan complexe.


NOTES PERSONNELLES


Remarque : Le cercle-unité du plan des z jouera le même rôle pour la stabilité des

systèmes à temps discret, décrits par la transformée en z, que l'axe

imaginaire vis-à-vis de celle des systèmes continus, (c.f. chapitre 5).

3.3. INVERSION DE LA TRANSFORMEE EN z

3.3.1. Généralités

Comme nous l'avons déjà signalé, pour une période d'échantillonnage T donnée,

on peut définir une correspondance :

x(t) — *-X(z)


NOTES PERSONNELLES


mais la transformée-inverse n'est en général pas unique. On notera le résultat de

l'inversion : xz(t), sachant que toutes les fonctions possibles coïncideront avec x(t) pour

tout t = kT.

Généralement la fonction xz(t) obtenue par transformation-inverse sera la

fonction la plus monotone des fonctions du temps ayant pour échantillons tous les

x(kT).

On distingue quatre méthodes d'inversion de la transformée en z. Deux sont de

type analytique et fournissent donc un résultat sous la forme d'une relation

mathématique xz(t), continue vis-à-vis de la variable t. Les deux autres sont de type

numérique et ne donnent de x(t) que les valeurs numériques de la fonction aux instants

d'échantillonnage t = kT.

3.3.2. Méthodes analytiques

* Méthode des Résidus

+00

Soit X(z) = £ x(nT) z'nn=o

On multiplie par z11"1 les deux membres de cette relation :

z11'1 X(z) = x(o) z11'1 + x(T) zn'2 + + x(nT) z4+

or, d'après le théorème de CAUCHY, on a :


NOTES PERSONNELLES


1 i i , 11 pour k = -1I = -L I zk dz = / F

271J JY (Opourk^-1

où y est un contour du plan des z, parcouru dans le sens direct, entourant tous les points

singuliers de X(z).zn"1.

Si on applique ce résultat à la relation précédente, on obtient :

-L- I x(nT) z-1 dz = x(nT)271J I

*y

Toutes les autres intégrales du membre de droite du développement étant nulles, on peut

écrire :

x(nT)=-L| z*-1 X(z)dzJj

Cette intégrale s'évalue par application du théorème des résidus :

x(nT) = Y [résidus de zn-* X(z)]^"""^ L-i*~—Li\Zi l

où les Zj sont les pôles de X(z).


NOTES PERSONNELLES


Exemple :

X(z) = Tz fonction possédant un pôle double en z = 1(z-1)2

* pour n = o

x(o) = [résidu de z-1 - -1 = 4~ (z-1)2 —I—I = 0[ (z-l)2Jz=i dz (z-l)2Jz=1

+ pour n quelconque > o

x(nT) = [résidu de zn-] - -1 = -f [(z-1 )2 -3^_1 = JL Tz"! = nT[ (z-l)2Jz=l ^ (z-l)2Jz=i dz Jz=1

+00

X(z) = T X n z-nn=l

Xz(t) = t . Ht)

* Décomposition en fractions rationnelles

La méthode, bien connue en Calcul Opérationnel, consiste à décomposer X(z)

en éléments simples dont on trouve les originaux dans les tables. Ces éléments sont en

général des fractions rationnelles.


NOTES PERSONNELLES


Exemple :

z(5z-3,6)z2-l ,4z + 0,48

Cette fonction possède deux pôles : z = 0,8 et z = 0,6

Par séparation en fractions rationnelles et par identification, on obtient :

X(z) =-?|- + -%-z - 0,8 z - 0,6

Soit en se reportant aux tables de transformées (voir en fin de chapitre) :

xz(t) = 2e-0'223ï + 3e-°'511ï

Remarque : Cette méthode par décomposition en fractions rationnelles et report aux

tables de transformées en z est de loin la plus employée des deux méthodes

analytiques.

3.3.3. Méthodes numériques

* Division suivant les puissances croissantes de z"1

Lorsque X(z) se présente sous la forme de fractions rationnelles en z (ou en z"1),

il suffit de diviser le numérateur par le dénominateur pour obtenir une série en z"1, dont

les coefficients sont les valeurs x(nT) désirées.


NOTES PERSONNELLES


+00

En effet : X(z) = ]T xn . z~n

n=o

d'où x*(t) = £xn.ô(t-nT)n=0

avec : xn = x(nT)

Remarque : Cette propriété montre qu'il est plus facile de calculer l'originale d'une

fraction rationnelle en z que d'une fraction rationnelle en p. Notons que

cette simplicité se paie par la perte de l'information entre les instants

d'échantillonnage.

Exemple :

Soit le signal : X(z) = ——2z2 - 3z + 2

La division du polynôme-numérateur par celui du dénominateur conduit à :


NOTES PERSONNELLES


z z2 - 3 z + 2

0 + 3 - 2 z ] z1 + 3 z,2 + 7 z3 + 15 z"4 + 31 z5 +

0 + 7 z 1 - 6z 2

0 + 1 5 z 2 - 1 4 z 3

0 + 31z3-30z-4

0 +

d'où : X(z) = z'1 + 3 z 2 + 7 z3 + 15 z4 + 31 z5 +

comme z"k est la transformée de 6(t-kT), on peut donc écrire :

x*(t) = ô(t-T) + 3ô (t-2T) + 7ô (t-3T) + 15 ô (t-4T) + 318 (t-5T) +

Dans ce cas particulier, on peut reconnaître que le terme général x(kT) est

donné par : 2k-l.

* Méthode de l'équation aux différences (équation récurrente)

Cette méthode consiste à déduire la valeur de l'échantillon x(nT) de la

connaissance des échantillons précédents aux instants : (n-l)T, (n-2)T,... (le nombre des


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESéchantillons nécessaires dépend de l'ordre de la relation étudiée). On procède ainsi de

manière itérative en progressant pas à pas de période en période.

Exemple : Soit un système à temps discret S de fonction de transfert en z :

Y(z) = iU(z) z - 0,5

Remarque : On verra au chapitre suivant que cette fonction de transfert correspond à un

système du premier ordre précédé d'un bloqueur d'ordre zéro.

On peut écrire :

Y(z) - 0,5 z 1 Y(z) = z 1 U(z)

soit yz(t)-0,5yz(t-T) = u(t-T)

et pour t = kT :

y(kT) = 0,5y[(k-l)T]+u[(k-l)T]

que l'on peut écrire plus simplement :

Yk = 0>5 Yk-i + %i

Si u(t) est un échelon-unité, tous les uk valent 1, quelque soit k. D'autre part, on

suppose que le système est de type causal, ce qui signifie que s(-kT) = 0 ; on peut alors

calculer les premiers termes de la réponse du système S à un échelon-unité :

Automatique - S.A.E. chapitre 3 : Transformée en z 3 .13


y0 = o

y, = 0 + 1 = 1

y2 = 0,5x 1 + 1 = 1,5

y3 = 0,5x 1,5 + 1 = 1,75

d'où : y*(t) = 8(t - T) + 1,5 ô(t - 2T) + 1,75 ô(t - 3T) + 1,875 ô(t - 4T) +

Ce type de calcul peut se programmer très simplement. Toujours pour cet

exemple, on peut concevoir l'algorithme suivant :

calcul des 2l premiers échantillons de la réponse indicielle

y(o) = 0

pour k = 0 à 20

u(k) = 1

fin pour

écrire 0, u(o), y(o) écriture du premier point

pour k - 1 à 20

y(k) = 0,5*y(k-l) + u(k-l)

écrire k, u(k), y(k) écrire du keme point

fin pour

fin


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEn appliquant le théorème de la valeur finale, on voit que la réponse indicielle

(réponse à un échelon-unité) d'un tel système tend vers :

fz-1 1 z 1lim y(kT) = lim — = 2

k_>oo z_>iL z z -O.Sz- l j

Remarque 1 : Ces deux méthodes numériques d'inversion de la transformée en z sont

bien utilisées, l'une et l'autre, pour la détermination rapide des signaux

échantillonnés.

Remarque 2 : Utiliser la transformée en z n'implique pas un échantillonnage réel (onrejoint en cela le calcul numérique). Une application intéressante de cette

transformation, à laquelle on ne pense guère, correspond au calcul de la

réponse d'un système continu à une entrée quelconque. Par un

échantillonnage fictif, respectant la règle de SHANNON, on peut accéder

aux échantillons y(nT) de la réponse d'un système continu, connu par sa

fonction de transfert H(p), à une entrée quelconque dont on connaît les

échantillons u(nT).

Y(p) = H(p).U(p)

y(z) = H(z).u(z)



f(t) F(p) f(z)

8 (t) 1 1ô(t-kT) ekTp z k

T(t) 1 z _ 1p z-1 1-z"1

t 1 Tz Tz-1

P2 ( z - l ) 2 ~( i_ z ->) 2

It2 1 T'z(z + l) TV'(l + z-')

'M' 2(l_z-1)3

t3 J_ T3 z(z2 + 4z + l)6 p 6[ (z-1)4 j

fm 1 a(z) A(z)^m+l / -ixm-l-l / i \m+l

m! P (z-!) (l-z-1)avec lim A(z) = este

z-^l

1 1~ _i_ o - , avec « - eP + a z-a l-az"1

t - e a t 1 Tza T.a.z"1

(P + r (z-a)2 (l-az-1)2

il e-at 1 T2az T2a2z2 (p + a)3 2(z-a)2 ' (z-a)3

!-e"at a z(l-a) _ z-'(l-a)p(p + a) (z-l)(z-«) (1-z-1) (l-az-1)

l-e~at a Tz (l-a)za P2(p + a) (z-1)2 a (z-1) (z-a)

RAPPEL : Toutes les fonctions f(t) considérées sont de type causal,c'est-à-dire nulles pour tout t < 0.

TABLE DE TRANSFORMÉES EN Z (1/3)


f(t) F(p) f(z)

«*>f s-i-c;, v K KT2 (z + 1) KT2 (l + z-^z-1

B°'P)y 2 (z-1)2 ~ 2 (1-z-l)2

( ) K Kfl-a^Kfl-aK 1

^1 + P z-a 1-az-1

T

avec a=e T

Processus g , . Ke"113 Kz^fbjz^ + bjz-2)

précédés I+TP 1-az"1

d'un bloqueur avec r = d.T+L T L-Td'ordre zéro d entier ; ° ~ L < T avec a = e - b1=l- e —

( L û_l-e-Tp b2=a CT-1

B oP ~ nP ^ J

E(p) K Y z{T-i(l-a)}-aT + T(l-a)°^ ' p(l+tp) " (z-l)(z-a)

T

avec oc=e T

F5n(P) K z(l-al-a2-^) + ala2+ôw (l + tlP)(l + T2P) ^ (z-a1)(z-a2)

T TT T >\ a2T1 ~a1T2tt! =.e Ti a2 = e T: À = / l L z

^2-^1

•B0(p). K ? K(b lZ+b2) K(b1z-1 + b2z-2)

2E P 7 ~ 1 9

IH — — p-H-^-r z +.a]Z + a2 1 + ajZ +a2z^n COn x x

avec £ < l e t avec b, .= 1-a P+^-^ô ;/r^" ^ ^ ô)p=con A / l-r x x

b2 = a2 + a c ° n .ô P ;lœp J

aj=-2ap; a2 = a2 ;

a = e"^"T ; p = coscopT ;

ô = sincopT




f(t) F(p) f(z)

sinrot œ z.sinœT2+ œ2 zz -2z.coscûT+l

z^.sincoTl-2z~1.coscoT+z~2

p-at d n m t œ z.a.sincoT _aTe . sm CD i _ avec oc = e(p + a)2+co2 z2-2za.cosœT +a2

coscot P zfz~coscoTjp2+C° z2-2z.coscoT+r

l-z^.cosooT

l-2z"1.coscoT+z~2

e-at . cosfot P + a z2 - az . cos coT(p + a)2 + co2 z2-2z.a.cosœT + a2

at K 7e at.cos— t z

T z-e-aT

f(t) F(p) f(z)


CHAPITRE 4

FONCTION DE TRANSFERT DISCRETE

4.1. REPRESENTATION SYMBOLIQUE D'UN SYSTEME A TEMPS DISCRET

Dans un système à temps discret, se trouvent rassemblés pour composer une

chaîne de commande (en chaîne ouverte ou en boucle fermée) des éléments de type

analogique (continu) et de type numérique (discret), associés à des convertisseurs CAN

et CNA pour passer des uns aux autres. Cette chaîne peut être symbolisée par le schéma

suivant :


Extérieurement le système est discret, puisqu'à une entrée discrète uk = u(kT)

correspond un signal discret yk = y(kT). Bien que le processus physique à commander

soit de type analogique, la vision qu'en a le calculateur (qui assure la commande) à

travers les convertisseurs est de type discret ; en effet, les signaux analogiques u(t) et

y(t) n'interviennent dans l'algorithme qu'aux instants d'échantillonnage délivrés par

l'horloge de l'ordinateur. On peut donc définir une fonction de transfertéchantillonnée, qui modélise le système et qui lie le signal discret d'entrée uk au signal

de sortie échantillonné yk.

Remarque : D'aucuns voient dans ceci que l'horloge joue en fait le rôle d'un

stroboscope ; d'où le nom de fonction de transfert stroboscopique

donnée parfois à la transmittance échantillonnée.

* En réalité, on peut représenter le processus de commande par calculateur numérique

par le schéma suivant :


Après avoir été soumise à un algorithme de commande (détecteur d'écart,

régulateur,...), la grandeur de commande e(t) désirée par l'opérateur est mise en

mémoire sous forme de valeurs numériques quantifiées uk. A chaque période T, le

registre de sortie est chargé sous forme d'octets et le Convertisseur Numérique-

Analogique délivre un signal um(t), constant entre deux prises d'information.

Si l'on suppose que la quantification du signal est suffisamment fine pour

pouvoir en négliger ses effets (c.f. chapitre 2, § 2.1.3. ), on peut symboliser ce processus par

le dispositif suivant, où tout se passe comme si le signal uk, que l'on peut noter

également u*(t), résultait de l'échantillonnage d'une grandeur analogique u(t) :

u(t) u*(t) I I um(t)-^ »» B0(p) *-

uk I

* Toujours en négligeant volontairement les effets de la quantification, la conversion

analogique-numérique pourra être représentée par un simple échantillonneur.

* A partir de ces différentes considérations, on peut proposer de symboliser la chaîne de

commande à temps discret par le schéma suivant, où tout se passe comme si le signal de

commande analogique u(t) était échantillonné, éventuellement traité (régulateur), puis

soumis à un bloqueur d'ordre zéro avant d'attaquer le processus analogique. La sortie de

celui-ci est exploitée sous forme analogique y(t) et/ou sous forme échantillonnée pour

être traitée par le calculateur.

Automatique - S.A.E. chapitre 4 : Fonction de transfert discrète

NOTES PERSONNELLES


F(p) représente la fonction de transfert classique du système (analogique) à commander

par ordinateur.

Remarque : D'une façon générale, on appellera H(p) la fonction de transfert de tous

les éléments compris entre deux échantillonneurs.

4.2. NOTION DE FONCTION DE TRANSFERT ECHANTILLONNEE

4.2.1. Convolution discrète

Comme la sortie d'un système linéaire continu résulte d'un produit de

convolution :

y(t) = h(t) * u(t)

la relation entrée-sortie d'un système à temps discret s'appuie sur la notion de

convolution discrète.

Soit le système linéaire à temps discret (ou système échantillonné) ci-dessous :


NOTES PERSONNELLES


u(t) u*(t) y(t) y*(t)^ *" H(p) <^—*~

U(p) U*(p)| I Y(p) Y*(p)

On peut écrire :

y(t) = h(t)*u*(t)

+00

y(t) = h(t)*5>(nT).ô(t-nT)n=o

+00

y(t)=£u(nT).h(t)*ô(t-nT)n=o

+00

alors y(t) = ]£ u(nT).h(t - nT)n=0

Notons que le terme : u(nT). h(t-nT) n'existe qu'à partir de l'instant t = nT.

La relation ci-dessus, qui donne la convolution discrète qui lie la sortie à l'entrée,

permet de calculer ce qui se passe à tout instant. En particulier, si on s'intéresse à la

(n+l)e période, on peut écrire qu'entre les instants nT et (n+l)T, la sortie du système

sera un signal continu, répondant à :


NOTES PERSONNELLES


y(t) = X u(mT). h(t-mT)m=o

qui donne l'évolution de la réponse du système sur la période considérée.

En fait, cette réponse du système est la somme de ses réponses impulsionnelles

successives comme indiqué sur le schéma ci-dessous :

Si l'on désire connaître la valeur de la réponse à l'instant t = nT, il suffit

d'écrire:

yn = y(nT) = JT u(mT). h[(n-m)T]m=o

4.2.2. Fonction de transfert échantillonnée

On sait que :


NOTES PERSONNELLES


+00

Y*(p) = Xyne-nTPn=o

alors :

+~ r nY*(p) = £ Z u(mT). h[(n-m)T] e^P

n=o Lm=o

posons : n - m = k d'où :n = k + m S i n = 0, alors k = -m

+00 +00

Y*(p) = ]T 2 u(mT) . h (kT). e-kTP . e-mTPk=-m m=°

+00 +00

Y*(p) = X h(kT) • e"kTp • Z u(mT) • e"mTp

k=-m m=0

Du fait de la causalité de la réponse impulsionnelle, on peut écrire :

+00 +00

Y*(p) = X h (kT) • e"kTp • S u(mT) • e"mTp

k=o m=o

On voit que l'expression :

+00

2 h(kT).e-kTPk=o


NOTES PERSONNELLES


est en fait la fonction de transfert échantillonnée H*(p) du système considéré.

On constate que la sortie échantillonnée a alors pour transformée de Laplace :

Y*(p) = H*(p).U*(p)

On peut donc représenter simplement un système échantillonné par un bloc-

diagramme élémentaire :

U*(P)| l I Y*(p)

II est évident que la relation entrée-sortie peut aussi s'exprimer par les

transformées en z :

Y(z) = H(z).U(z)

4.3. FONCTIONS DE TRANSFERT DES SYSTEMES COMPLEXES

// s'agit de calculer la fonction de transfert échantillonnée équivalente d'un

système résultant de l'association de systèmes élémentaires regroupés pour former, soit

des commandes en chaîne ouverte, soit des systèmes asservis ; ces ensembles étant

modélisés comme indiqués au paragraphe précédent. La présence d'échantillonnées

répartis dans la chaîne, ainsi définie, modifie les règles de calcul des transmittances.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES4.3.1. Systèmes de commande en chaîne ouverte

Cas 1 : système encadré par deux échantillonneurs

u(t) u*(t) I I y(t) y*(t)-^ *" H(p) ^—*-

U(p) U*(p)| I Y(p) Y*(p)

H(p) peut ici représenter un système élémentaire ou la fonction de transfert

globale d'un système plus complexe :

- éléments en cascade : H(p) = Gj(p). G2(p)

- éléments en parallèle : H(p) = Gj(p) + G2(p)

Y(p) = H(p).U*(p)

Y*(p) = H*(p).U*(p)

ou : Y(z) = H(z). U(z)

Cas 2 : avec un échantillonneur intermédiaire dans la chaîne

u(t) u*(t) F | x(t) x*(t) I I y(t) y*(t)

U(p) U*(P)L_JX(p) X*(p)| 2 IYCP) Y*(p)



Sachant que :

X*(p) = H*(p). U*(p)

Y*(p) = Hjp). X*(p)

on obtient :

Y*(p) = Hj(p). Hjp). U*(p)

La fonction de transfert globale est :

H*(P)=HÎ(P) . H;(P)H(z) = H^z) . H2(z)

Cas 3 : système continu précédé d'un bloqueur d'ordre zéro

NOTES PERSONNELLES


H(Z) = £[M]_& [«,!>.*£>]

H(z) = ^fM_z-i^M]v ' [ P P J

soit :

H(z) = (1-^)35 [M"

4.3.2. Systèmes bouclés

Détecteur d'écart (comparateur)

On peut voir immédiatement l'équivalence des deux schémas ci-dessous :

^L^<^\^L^^1^ e(t) e^t^/Qs £*(t) _^—^^ ^ ^^ ^scS'

Lit} r*^ 8* = (e-m)* = 8 * = e* - m*


NOTES PERSONNELLES


Cas 1 : Système asservi avec échantillonnage de l'erreur

^"Ut^V^d D(p) hji^j^F m(t) I 1I R(p) -* '

H^(p)=^=[D(P).R(P)rH* M _ S*(p) _ D*(p) Hf , _ D(z)HbfvP) ~~ÏE*r~\ ~ ~* H W ~ "i TJ / \E*(P) 1 + H;o(p) ! + Hbo(z)

e*(p) = 1 E*(p) e(z) = -—J-TT E(z)l + H;o(P) l+Hb o(Z)

Cas 2 : Système asservi avec un échantillonnage supplémentaire dans la

chaîne directe

^^^^X^p^l^V X*ffpwp7| s(t)^ s*(t)^

Tm(t) I 1I R(p) ^ 1


NOTES PERSONNELLES


HL(p) = DÎ(p). [D2(p). R(p)]* Hbo(z) = Di(z). & [D2(p). R(p)]

H* ,nï _ Di(p) • Dl(p) H , , _ DI(Z) . D2(z)Hbf\PJ ~ ; Wbf{Z] - „ , ,1 + Hbo(p) 1 + Hbo(z)

Remarque 1 : Ce type de configuration est très intéressant car il représente le cas

typique d'un asservissement dont le correcteur (régulateur) est

programmé dans le calculateur de commande. Ainsi, on pourrait avoir :

Dj*(p) = C*(p), fonction de transfert du correcteur numérique, et D2(p),

fonction de transfert des éléments analogiques de la chaîne de

commande.

Remarque 2 : Le capteur R(p) est supposé ici analogique. S'il est de type numérique,

la prise d'information s'effectue alors après l'échantillonneur de sortie.

4.4. LIEUX DE TRANSFERT

De même que pour les systèmes asservis linéaires continus, Vétude des

performances d'un système asservi échantillonné passe bien souvent par certaines

méthodes graphiques et nécessite donc le tracé de son lieu de transfert échantillonné.

4.4.1. Incidence de l'échantillonnage sur le lieu de transfert d'un système

Le lieu de transfert H*(jco) d'un système à temps discret se déduit de laconnaissance du lieu de transfert H(jco) du système continu associé par la relation :



+00

H*(jœ) = | £ H[j(o)+kn)]k=-oo

avec : £1 = 2ZL pulsation d'échantillonnage

En pratique, on trace plutôt le lieu TH*(j(o), tel que :

+00

TH*(jco)=]T H[j(co+kQ)]k=-oo

Le lieu échantillonné résulte donc d'une addition vectorielle dans le plan

complexe comme indiqué ci-dessous :



Cette construction, qui peut paraître bien fastidieuse, est facilitée par :

* le fait que la double sommation sur k se réduit bien souvent à quelques termes autour

de zéro. En effet, le module de H(jco) tend rapidement vers zéro dès que la pulsation

prend des valeurs élevées. Or dans bien des cas, la pulsation d'échantillonnage est elle-

même élevée, ce qui fait que :

lim JH[j(co + kQ)| -* 0 dès que k -3, 4, 5,...CQ—>+oo

* le fait que la fonction TH*(jco) soit périodique (c.f. § 2.2.2.) ; ce qui confère au lieu

TH*(jco) quelques propriétés intéressantes.

En effet, on peut constater très facilement que pour :

co = 0 TH*(jO) est réel ou infini, selon que H(jO) est lui-même réel ou

infini.

0) = — = — TH * (j —) est toujours réel, quelque soit H(jco)

G) = Q TH * (jQ) = T H * (jO)

Si TH*(jO) est réel, ces deux points sont confondus. Le lieu de transfert

est cyclique et présente une périodicité de £2.



NOTES PERSONNELLESSi TH*(jO) est infini, TH*(jQ) est infini et lui est symétrique par rapport

à l'axe réel ; le lieu se boucle alors à l'infini par un cercle de rayon

infiniment grand.

Ainsi compte-tenu des règles ci-dessus, les lieux de transfert échantillonnés se

présentent comme indiqué dans la figure suivante :


Remarque 1 : Comme pour les systèmes continus, il est assez rare que l'on soit amené à

travailler dans le plan de Nyquist (ou plan complexe). L'intérêt de ce

paragraphe se situe dans la mise en évidence des propriétés liées aux

lieux de transfert des systèmes à temps discret par rapport aux lieux des

systèmes continus correspondants.

Remarque 2 : Les logiciels d'étude des systèmes, tels que MATLAB et SIMULINK,

permettent d'obtenir ces tracés sans difficulté.

4.4.2. Lieux d'EVANS (ou lieu des racines)

La fonction de transfert d'un système asservi échantillonné peut s'exprimer par :

H M- D(Z)ttbf(Z) —t ,TJ / \l+Hbo(z)

Sa fonction de transfert en boucle ouverte pourra se mettre sous la forme :

Hbo(z) = K.G(z)

Les pôles de Hbf(z), donc les racines de l'équation caractéristique (sensibilité

Z(z) de l'asservissement) :

2(z) = l + Hbo(z) = 0

dépendent du gain statique en boucle ouverte K, des pôles et des zéros de la fonction

G(z).


NOTES PERSONNELLES


On peut donc tracer dans le plan des z le lieu géométrique décrit par les racines

de l'équation caractéristique £(z) = 0, lorsque le gain statique en boucle ouverte K

varie de zéro à l'infini. Ce lieu des racines en fonction du paramètre K est appelé lieu

d'EVANS.

Remarque 1 : Le principe du lieu d'EVANS, ses règles de construction ainsi que les

propriétés qui en découlent, ont été développés dans le cours de Systèmes

Asservis Linéaires Continus (chapitre 3. §3.4.4) ; s'y reporter pour

l'utilisation de ce lieu dans le contexte de la transformée en z.

Remarque 2 : Le tracé du lieu d'EVANS dans le plan des z est tout à fait approprié à

l'étude de la stabilité des systèmes à temps discret (c.f. chapitre suivant).


CHAPITRE 5

STABILITE DES SYSTEMES A TEMPS DISCRET

5.1. NOTION GENERALE DE STABILITE

5.1.1. Rappels

Tout réglage automatique, qu'il soit continu ou qu'il soit discret, doit absolument

satisfaire à des conditions strictes de Stabilité.

Il existe de nombreuses définitions de la Stabilité d'un système. On peut, par

exemple, envisager le cas où le système étudié est excité pendant un certain temps par

un signal d'entrée d'une allure quelconque bornée et ensuite soumis à une valeur nulle.

On pourra conclure quant à la stabilité du système, selon la valeur que prend la grandeur

de sortie en régime établi (pour t —> °°). Trois cas pourront se présenter :

Automatique - S.A.E. chapitre 5 : Stabilité


Important : Dans le cas d'un système linéaire, la valeur finale du signal de sortie ne

dépend pas de l'allure du signal d'entrée, mais uniquement de la forme de

sa fonction de transfert.

Remarque : Ceci est corroboré par le fait que si l'on choisit une entrée impulsionnelle

ô(t), qui répond tout à fait à la définition ci-dessus, la réponse h(t) du

système est l'inverse de sa fonction de transfert H(p) :

h(t)=£-'H(p)


• la sortie tend vers zéro : le système est stable (courbe a),

• la sortie tend vers une valeur finie : le système est à la limite de la stabilité (il est

qualifié d'astable) (courbe b),

• la sortie diverge : le système est instable (courbe c).


La fonction de transfert d'un système peut s'écrire :

«*>-$La limite de h(t) quand le temps tend vers l'infini dépend essentiellement des

pôles de H(p), c'est-à-dire des racines de son dénominateur d(p) (qui représente

l'équation caractéristique du système). Celles-ci sont soit réelles, soit complexes

conjuguées :

h(t) = £CiePi t

d

Pour que le système soit stable (au sens des automaticiens), il faut que :

lim/i(0 = 0/—>00

Ceci n'est possible que si les pôles de la fonction de transfert représentant le

système sont tous à partie réelle négative, d'où la condition nécessaire de stabilité :

Re (R) < o

Remarque : Certains auteurs proposent la notion de Stabilité BIBO (Bounded Input

Bounded Output) : un système au repos, linéaire, causal et stationnaire est

BIBO stable quand toute entrée bornée fournit une sortie bornée.



5.1.2. Cas des systèmes discrets

Ces considérations générales sont transposables aux systèmes à temps discret.

La condition générale de stabilité s'écrit :

limh(nT) = 0

sachant que la réponse impulsionnelle h*(t) est une suite d'échantillons :

+00

h*(t) = £ h(nT).8(t-nT)n=o

En supposant que le degré du dénominateur de la fonction de transfert du

système soit d, le système possède d pôles ai5 réels et/ou complexes conjugués, et le

terme général de la réponse impulsionnelle peut se mettre sous la forme :

d

h(nT) = £Ci.a?i=l

Cette expression tendra vers l'état d'équilibre-zéro si et seulement si tous les o^

ont leur module inférieur à l'unité :

I (Xi | < 1

L'étude de la Stabilité d'un système à temps discret, qu'il soit en chaîne ouverte

ou de type asservi, peut se faire soit par l'approche fréquentielle dans le plan de Nyquist



5.2.1. Etude fréquentielle

Soit le système asservi à temps discret ci-dessous :

Sa fonction de transfert en boucle fermée s'écrit :

H*fpï = P*(P)bflFJ j + D*(p).R*(p)



Il a pour équation caractéristique (ou pour sensibilité) :

Z*(P)-I+D*(P).R*(P) = I+H;O(P) = O

Remarque 1 : Les rappels sur la Stabilité des systèmes du § 5.1.1 s'appliquent aux

systèmes asservis discrets en remplaçant : d(p) par £*(p). En particulier,

le critère de Nyquist et sa forme simplifiée, le critère du Revers, peuvent

être utilisés pour régler la stabilité des systèmes asservis à temps discret.

Remarque 2 : Ces critères de stabilité sont issus de l'étude fréquentielle des systèmes en

considérant la transformée de Fourier en lieu et place de la transformée

de Laplace de l'équation caractéristique des systèmes étudiés (on

remplace l'opérateur p par jco). Ce sont donc des critères géométriques.

Dans le cas fréquent où la fonction de transfert en boucle ouverte du système ne

possède pas de pôles à partie réelle positive, le critère de Nyquist s'énonce de la façon

suivante :

Critère de Nyquist : Un système asservi est stable si la variation de l'argument de sa

fonction de transfert en boucle ouverte, autour du point critique

d'abscisse : -1, lorsque co varie de 0 à O, est nulle. Il est instable

dans le cas contraire.



Remarque : Le lieu de transfert Hj^co) étant cyclique du fait de l'échantillonnage à la

période T, il est entièrement décrit sur la plage : 0 à .Q• = — (c.f. chapitre

précédent §4.4.1).

En définitive, il suffit de considérer si le lieu de transfert en boucle ouverte

entoure le point critique d'abscisse : -1 (système instable) ou s'il ne l'entoure pas

(système stable). Ceci constitue le critère du Revers.

5.2.2. Application aux systèmes asservis à temps discret

La stabilité dépend bien souvent du réglage de la valeur du gain statique en

boucle ouverte K car Hk0(jco) = K.G*(jco) ; aussi, est-il plus judicieux de considérer

l'équation caractéristique £*(jcû) = 0 sous la forme :

T£*(jco) = T + K.TG*(jG)) = 0

soit : TG*(joo) = - JJv

sachant que le lieu TG*(joo) se déduit du lieu G(jo)) des éléments continus associés

par construction vectorielle (c.f chapitre précédent, §4.4.1).



L'application du critère de Revers, qui dit que : si, en parcourant le lieu de

transfert en boucle ouverte dand le sens des 0) croissantes, on laisse le point critique


TLe lieu critique C(K) = - — , gradué en K, est porté par l'axe réel négatif.

K

Suivant les valeurs du gain statique K et la forme du lieu de transfert TG*(jco), on peut

donc étudier les cas qui, par application du critère du revers, conduisent à la stabilité ou

à l'instabilité de l'ensemble.


Td'abscisse à gauche, le système asservi est stable, conduit à :

K

* K<K 0 Stabilité

* K>K 0 Instabilité

Si le réglage du système asservi est tel que le point représentatif de son

fonctionnement soit exactement à l'intersection des deux lieux :

K = K0 telque:G*Go)o) = --i-KO

alors, on a affaire à un système juste oscillant à la pulsation :

rn -il-ILCOO-T-T

puisque pour cette valeur de la pulsation, le lieu de transfert TG*(jco) coupe Taxe réel

(argument égal à -TC).

Remarque : Quelque soit l'ordre et la forme de la fonction de transfert du système

bouclé étudié, si ses réglages sont tels que son lieu de transfert en boucle

ouverte passe juste sur le point critique [intersection des lieux TG*(jœ) et

C(K)], le système oscille à une pulsation fixe, moitié de la pulsation

d'échantillonnage £1.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESCeci constitue une particularité importante des systèmes asservis à temps

discret ; c'est l'échantillonnage qui impose la fréquence d'auto-

oscillation.

5.3. STABILITE DES SYSTEMES ECHANTILLONNES DANS LE PLAN DES Z

5.3.1. Considérations générales

On peut étudier les conditions de stabilité d'un système à temps discret en

exprimant sa fonction de transfert en transformée en z et en s'intéressant à ses pôles,

c'est-à-dire aux racines de son équation caractéristique d(z) ou E(z), selon que l'on a

affaire à un système en chaîne ouverte ou à un système bouclé.

Dans le cas d'un système asservi :


et Z(z) =-1 + D(z).R(z) = 1 + Hbo(z) = 0

Pour appréhender le degré de stabilité de ces systèmes à temps discret, sans à

avoir à résoudre pour autant leurs équations caractéristiques, on peut s'appuyer sur des

critères du type algébrique (SCHUR-COHN, ROUTH et HURWITZ, JURY) ou comme

précédemment sur des critères de type géométrique (NYQUIST, EVANS).

L'étude de la stabilité par la transformée en z se fait plus volontiers, soit par le

critère de JURY, soit dans le plan des z par le lieu des racines (lieu d'EVANS).

5.3.2. Critère de JURY

II s'agit d'une forme simplifiée du critère de SCHUR-COHN, qui est valable

pour les polynômes à coefficients réels. Le critère de JURY donne des relations sous

forme d'inégalités se basant sur les coefficients d0, dp d2,...dn de l'équation

caractéristique en z :

d(z) = E(z) = d0 + d, z + d2 z2 + ... dn z

n = 0

Si et seulement si toutes les inégalités sont vraies, les racines de Véquation

caractéristique se trouvent à Vintérieur du cercle-unité ; le système considéré est alors

stable :


NOTES PERSONNELLES


Cas 1 - polynômes du second degré

d(z) = d2 z2 + dj z + d0 avec d2 > o

Le critère de Jury impose les conditions suivantes :

Cl d0 < d2 (produit des racines inférieur a l )

C2 d(+l) = (d0 + d, + d2) > 0 et d(-l) = (d0 - dt + d2) > 0

Ces conditions imposent que les racines, si elles sont réelles, soient forcément comprises

entre -1 et +1.


NOTES PERSONNELLES


Dans le cas où les racines sont complexes conjuguées, la condition Cl impose

que leurs points représentatifs soient contenus dans le cercle-unité, car alors leurj » "

module: /— est inférieur à 1.\d2

Cas 2 - polynômes du troisième degré

d(z) = d3 z3 + d2 z

2 + d, z + d0 avec d3 > 0

Cl d0 < d3

C2 dg - d§ < d0 d2 - d, d3

C3 d(+l) = (d0+-a, + d 2+d 3)>0 et d(-l) = (d0 -d, + d2-d3) <0


NOTES PERSONNELLES


Dans le cas des polynômes du troisième degré, il peut y avoir trois racines

réelles ou une racine réelle et deux racines complexes conjuguées (une seule intersection

de d(z) avec l'axe réel).

Cas 3 - polynômes du quatrième degré

d(z) = d4 z4 + d3 z

3 + d2 z2 + d, z + d0 avec d4 > 0

Cl dj - d£ > d0 d3 - d! d4

C2 (d0 - d4)2 (d0 - d2 + d4) + (d, - d3) (d0 d3 - d, d4) > 0

C3 d(+l)>0 et d(-l)>0

(d0 + d, + d2 + d3 -f d4) > 0 et (d0 - d{ + d2 - d3 + d4) > 0



Exemple :

L'application de ces relations peut être très utile lorsque l'un ou l'autre des

paramètres du système est encore à choisir. On peut ainsi déterminer le domaine de

variation admissible de ce paramètre pour que le système échantillonné reste stable.

Soit par exemple un système asservi discret à retour unitaire dont la fonction de

transfert en boucle ouverte associée est :

Hto(p) = B0(p).—5—(1 + Tp)

Hbo(z) = K.G(z)=K(1~a)

z-a

_Tavec a = e T < 1 T : période d'échantillonnage

Son équation caractéristique :

E(z) = 1 + K. G(z) = 0

conduit à étudier les racines du polynôme :

d(z) - z - a + K (1 - a)

L'application du critère de Jury à ce polynôme du premier degré impose le

respect des conditions suivantes :



Cl a < l (toujours vérifié)

C2 d(+l) = ( l + K ) ( l - a ) > 0

1 + K > 0 soit K> -1 (toujours vérifié, car K positif par essence)

et d(-l) = K ( l - a ) - ( l + c c ) > 0

K<^l-a

A , , 1 + aLe système étudié est donc stable si : 0 \ K (

l-a

5.3.3. Lieu des racines ou lieu d'EVANS

Méthode graphique bien connue des automaticiens qui l'appliquent souvent aux

systèmes continus (c.f. cours sur les Systèmes Asservis Linéaires Continus - chapitre 3 § 3.4.4), elle

peut être aussi utilisée dans le plan des z pour tester les conditions de stabilité des

systèmes asservis à temps discret.

Exemple : Soit un système asservi échantillonné, dont la fonction de transfert en boucle

ouverte est :

Hbo(z) = K z(z-lMz-0,368)



Le lieu des racines de son équation caractéristique : Z(z) = 1 + Hbo(z) = 0

c'est-à-dire des racines du polynôme : d(z) = z3 - 1,368 z2 + (0,368 + K)z + 1,755 K = 0

est représenté ci-dessous.


Le lieu d'Evans présente un nombre de boucles égal à l'ordre du système. Les

boucles sont paramétrées en K (gain statique en boucle ouverte), de 0 à +00.

Afin que le système testé soit stable, il est indispensable que les points

représentatifs des racines de son équation caractéristique, pour un gain statique K donné,

soient à l'intérieur du cercle-unité. On voit donc que sur l'exemple traité ici, le gain K

doit impérativement être limité à des valeurs inférieure à : 0,16.

5.4. MARGES DE STABILITE

Que cela soit par le critère de JURY ou par le tracé du lieu d'EVANS, l'étude de

la stabilité des systèmes bouclés conduit à constater que sous certaines conditions

(souvent imposées au gain statique en boucle ouverte) le système est stable ou instable.

Cependant, // n 'est guère possible de tirer des conclusions sur la qualité de cette

stabilité, c'est-à-dire sur l'amortissement des phénomènes transitoires.

On sait, à propos des systèmes asservis linéaires continus, qu'il est en particulier

indispensable que le lieu de transfert en boucle ouverte (tracé dans le plan de Nyquist)

passe à une certaine distance du point critique (c.f. cours SALC, § 4.3.), distance exprimée

par la marge de phase ou la marge de gain.

Ces notions s'appliquent sans aucune difficulté aux systèmes échantillonnés.

Prendre une marge de stabilité revient à limiter encore plus la région autorisée duplan des z où l'on représente les racines de l'équation caractéristique du système

étudié.



La figure ci-dessous montre l'incidence de ces marges de stabilité dans le plan

des p et dans le plan des z.

Le fait d'imposer aux racines de Z*(p) = 0 d'avoir des parties réelles inférieures

à -A, (décroissance des termes de la réponse impulsionnelles plus rapide que e"Xt)

conduit, dans le plan des z, à restreindre l'espace autorisé au cercle de centre 0 et de

rayon : e"Xt < 1.

D'autres formes de marges de stabilité peuvent être adoptées. La figure suivanteen donne quelques exemples.



Toutes les méthodes d'étude de la stabilité des systèmes asservis à temps discret

peuvent être assortis de ces conditions de bonne stabilité ; il suffit d'en restreindre le

champ.

Note importante : l'opérateur z est directement lié à la valeur de la période

d'échantillonnage T. De ce fait, un même système aura un

comportement différent et par conséquent répondra à des

conditions de stabilité différentes, selon le choix de sa période

d ' échantillonnage.



CHAPITRE 6

PRECISION ET RAPIDITE DES SYSTEMES DISCRETS

6.1. PRECISION STATIQUE

Nous nous proposons de donner dans ce paragraphe quelques notions sur la

précision des systèmes à temps discret en régime établi aux instants d'échantillonnage ;

ces notions ne sont que des extensions de celles concernant les systèmes continus.

6.1.1. Constantes d'erreur

Soit un asservissement à temps discret, représenté en z.

Hbo(z) = D(z).R(z)

e(z) = _S®_l+Hbo(z)

Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité

NOTES PERSONNELLES


Sollicité par une commande, il présentera après disparition du régime transitoire

une erreur statique permanente, obtenue à partir de :

e(oo)= lim e(t) = lim e(nT)= lim (z -1)—^Z\t-ôo n-ôo z->l 1+ 1^0(7)

L'erreur permanente dépend de la forme de l'entrée et évidemment de celle de la

fonction de transfert du système échantillonné étudié. Pour calculer cette erreur, il est

intéressant d'introduire la notion de constante d'erreur, liée à l'ordre de l'entrée

appliquée.

Considérons les entrées-test classiques de la forme :

jne(t) = eoJ-r(t)

m !

On peut calculer ces constantes pour les quelques entrées canoniques

couramment utilisées :


NOTES PERSONNELLES


Echelon de position (m = 0) :

ep(z) = e0 -Z-Z~ 1

e0H= lim(z -1) L \ = lim £2 s £o_z-»l z-1 l + Hbo(z) z-»l l + Hbo(z) kp

la constante d'erreur de position est telle que :

k = lim [1 + Hbo(z)]ï-^\

Echelon de vitesse (m = 1) :

ev(z) = e0-^

ev(oo)= lim -f£- = £2!z->i (z-l)[l + Hbo(z)] kv

et: kv = lim(z-l)[l + Hbo(z)]Z->1


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEchelon d'accélération (m = 2) :

, , T2 z(z+l)ea(z) = e0 —2(z-l)3

e T2 e T2

£a(oo)= lim £2J ^ £°_Lz->i(z-l)2[l + Hbo(z)] ka

ka = lim(z-l)2[l + Hbo(z)]z-*l

Généralisation à une entrée d'ordre m quelconque

D'après ce qui précède, on voit qu'à une entrée :

em(t) = e0^r(t)

correspondra une constante d'erreur :

k m ^l im(z- l ) m [ l + Hbo(z)]z-^1

et une erreur :

/ \ Tm

em(oo) = e0^—&m



NOTES PERSONNELLESRemarque : Les signaux d'entrée d'ordre très élevé sont rares : par contre, une entrée

quelconque peut être décrite par un polynôme d'ordre élevé, tel que :

e(t) = a T(t) + P t T(t) + y £ T(t) + ... + X-^- T(t)2 m!

Le système étant linéaire, l'erreur résultante sera la somme des erreurs

constatées pour chaque type d'entrée.

6.1.2. Evaluation de l'erreur statique

Les constantes d'erreur que nous venons de déterminer dépendent en particulier

de l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié.

Celle-ci peut s'écrire sous la forme :

K.P(z)Hbo(z)-HrQôù : P(z) et Q(z) sont des polynômes en z qui ne possèdent pas de racines égales à 1 et

qui tendent vers une constante quand z tend vers 1. De plus, P(z) est de degré au plus

égal à celui du dénominateur de la transmittance en boucle ouverte considérée.

n représente le nombre de pôles égaux à 1 de la fonction considérée (n joue un

rôle équivalent au nombre d'intégrations de Hbo(p) des systèmes continus).

La valeur de la constante d'erreur, et donc de Verreur, dépend des valeurs relatives de

m et de n.



NOTES PERSONNELLESEn particulier, si m = n :

km = lim(z-l)m 1+ K^(Z)

^1 L (Z-l)mQ(z)_

k^ tend vers une constante non-nulle :

Selon l'ordre de l'entrée appliquée au système étudié et le nombre de pôles

égaux à 1 de sa fonction de transfert en boucle ouverte, on peut établir le tableau

d'erreurs statiques ci-dessous :

^^ ordre de c c p c^s^ °p °v °a °j^\^ l'entrée m

Nbre de ^^s. n 1 9 ^X V I ^^^ U 1 £ Jpôles ^v^^

(z=l)deHh o(z)n \^

0 £« 00 00 00

kp

1 0 e Of ooKv

2 0 0 T2e°T~Ka

3 0 0 0 T3

e°k~KJ


NOTES PERSONNELLES

Conséquences : . lorsque l'erreur existe (m=n), celle-ci est d'autant plus faible que la

constante d'erreur est plus élevée.

. On peut obtenir une précision parfaite si la fonction de transfert en

boucle ouverte du système possède au moins (m+1) pôles égaux à 1,

Remarque : Comme pour les systèmes asservis continus, on peut développer le même

type d'études à propos de l'effet des perturbations sur la précision statique

des systèmes asservis à temps discret (c.f. cours S.A.L.C. chapitre 5.§ 5.2.2.).

6.2. LA RAPIDITE

6.2.1. Considérations sur le régime transitoire

On peut se faire une bonne idée de la nature du phénomène transitoire dans un

système échantillonné ou discret en observant la relation existant entre la réponse

impulsionnelle et les pôles et les zéros de la fonction de transfert correspondante.



Exemple : Soit un système dont la fonction de transfert en boucle fermée est du premier

ordre :

Hbi(z) = J5-z-A,

Cette fonction possède un seul pôle A, et un seul zéro nul, c'est-à-dire à l'origine.

On peut distinguer divers cas selon la position du pôle réel À,, par rapport à

l'intervalle [-1,1] du plan des z.


La figure ci-dessus montre les six cas possibles selon que A est positif ou négatif,

|A est supérieur ou inférieur à 1. Le zéro, nul, est représenté à l'origine.

Ce cas est intéressant, car il montre que Véchantillonnage peut dans certaines

conditions avoir des effets pernicieux ; ici, on constate qu'il peut rendre oscillatoire un

système du premier ordre !

?kOn peut considérer aussi le cas où le système possède un zéro non-nul :

Hbf(z) = lz-A,

Cette fonction de transfert peut s'écrire :

Hbl(z) = -i~Y.z-U-z-A, z-A

Lors du passage dans le domaine temporel, on doit tenir compte du fait que le

deuxième terme correspond à la réponse impulsionnelle du système précédent, retardée

d'une période T. Les conditions de convergence ou de divergence sont toujours liées au

pôle A ; le zéro y n'influe que sur l'amplitude des valeurs de la réponse impulsionnelle.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES

6.2.2. Rapidité des systèmes discrets

Pour tester la rapidité d'un système échantillonné, on procède tout à fait comme

pour les systèmes continus :

- signal-test : échelon-unité ou échelon de position

+00

r*(t) = ]T r(nt) = ôr(t)n=o



La réponse du système n'existant qu'aux instants d'échantillonnage (suite

d'impulsions de Dirac), le temps de réponse ne peut s'évaluer qu'en un nombre entier

de périodes :

T r=j.T


NOTES PERSONNELLES- temps de réponse à ± 5% de la réponse permanente,

- la fonction de transfert à prendre en considération est H(z) si on a affaire à un

système isolé ou en chaîne ouverte, Hbf(z) si on étudie le cas d'un système

bouclé.

Les réponses indicielles des systèmes échantillonnés se présentent sous la forme

des signaux donnés ci-après :


Remarque : Comme pour les systèmes continus, la rapidité d'un système est liée à

l'étendue de sa bande passante.

6.3. SYSTEMES CONTRAINTS

6.3.1. Dilemme précision-rapidité-stabilité

La précision dynamique d'un système en réponse à une entrée donnée, ainsi que

sa rapidité sont fortement liées, puisque l'une et l'autre de ces caractéristiques

dépendent de l'évolution du régime transitoire qui affecte le système. Du fait de la

souplesse d'emploi des machines numériques et des possibilités qu'elles offrent pour

engendrer certaines fonctions uniquement par programmation, les systèmes à temps

discret se prêtent mieux à transformation ; on peut donc imposer certaines contraintes au

système en boucle fermée, permettant de biaiser le dilemme précision-rapidité, classique

dans le réglage des systèmes asservis continus.

On trouvera dans la suite de ce paragraphe, deux types de systèmes contraints,

qui sont intéressants du fait qu'ils présentent une rapidité contrôlée et une erreur statique

nulle.

6.3.2. Système minimal

Un système est dit minimal ou à temps d'établissement fini lorsque, pour une

entrée spécifiée, le régime définitif est atteint en un nombre fini des périodes ; l'erreur

correspondant à cette entrée s'annulant.


NOTES PERSONNELLES


On peut noter que cette appellation correspond à une extension de la notion de

temps de réponse, qui en toute rigueur correspond à la seule entrée indicielle F(nT). Si

de plus, le système est soumis à des contraintes qui minimisent son régime transitoire, il

est dit à temps de réponse fini minimal absolu, ou système minimal absolu. Cette

définition autorise des dépassements (oscillations) de la réponse obtenue, durant le

régime transitoire.

6.3.3. Système à réponse-pile

Le réglage de ce système rajoute une spécification supplémentaire, puisqu'un tel

système est dit à réponse-pile lorsque la sortie atteint son régime définitif, pour une

entrée-type donnée, en un nombre fini d'échantillons, sans dépassement.


NOTES PERSONNELLES


Après j périodes, sans dépassement, le système a atteint définitivement son

régime permanent.

Là aussi, l'entrée appliquée n'est pas forcément un échelon-unité. La figure

suivante montre un système à réponse-pile pour une commande en rampe de vitesse.

Pour être à réponse-pile, le système doit satisfaire à un certain nombre de

conditions pas toujours réalisables, ce qui limite considérablement la portée de cette


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESapproche. C'est cependant un point de vue qui peut être intéressant lors de la

détermination des circuits correcteurs, qui permettent de compenser les systèmes

asservis échantillonnés (c.f. chapitre suivant).



CHAPITRE?

COMPENSATION DES SYSTEMES ASSERVIS DISCRETS

7.1. NECESSITE D'UNE CORRECTION DES SYSTEMES

7.1.1. Avantages du numérique

L'analyse d'un système asservi, qu'il soit continu ou discret, conduit

immanquablement à se poser le problème de l'adjonction au système d'un circuit

correcteur, afin de conférer à l'ensemble les meilleures performances possibles.

Ainsi, étant donnée une installation de fonction de transfert connue, réaliser sa

synthèse consiste à rechercher un réseau correcteur d'expression C(z), conçu de telle

façon que l'ensemble corrigé satisfasse un certain nombre de spécifications qui peuvent

se traduire soit dans le domaine temporel, soit dans le domaine fréquentiel :

Automatique - S.A.E. chapitre 7 : Compensation


exigences temporelles - réponse temporelle imposée,

- temps de réponse minimal,

- dépassement maximal contrôlé,

- précision statique imposée,

ou fréquentielles - marge de phase imposée,

- bande passante à respecter,

- résonance spécifiée,

Ces approches complémentaires et interactives permettent de façonner la

réponse du système à une entrée donnée et donc de modeler le système à ses desiderata.

L'utilisation de machines numériques (microprocesseur et autres, plus ou moins

importantes) pour commander les systèmes automatiques facilite grandement cette

façon de procéder ; en effet, il est alors relativement aisé de programmer également des

éléments correcteurs qui permettent d'obtenir des effets très intéressants sur les signaux

de commande du processus, difficilement réalisables par éléments câblés.

7.1.2. Différents types de correcteurs

Le circuit correcteur est alors programmé au cœur de la machine numérique et

tout se passe comme si le système répondait au diagramme fonctionnel suivant :



Il peut se trouver cependant que l'on soit obligé d'utiliser des correcteurs de type

câblé ; dans ce cas, on dispose de la structure-série classique :

ou, quelques fois, de la structure-parallèle, beaucoup moins usuelle, mais qui permet

d'obtenir à partir d'éléments simples des effets spéciaux des plus intéressants :


aExemple : J(p) =

p + a

Z[^(P)J(P)] = — avec g = e-aT

z-a

C(z) = z - g = 1 - g z"1

z + (l-2a) 1+(1-2^7-!

Ce correcteur peut être effectivement réalisé par éléments câblés, ou simplement

programmé ; dans ce cas on obtient yn par l'équation récurrente suivante :

yn = ( 2 g - l ) y n _ i + e n - g £ n - i

7.2. FAISABILITE DES CORRECTEURS

Afin de déterminer le réseau correcteur (câblé ou programmé) qui convient le

mieux à un système asservi commandé numériquement, on ramènera, dans la suite de ce

chapitre, tout système à un diagramme fonctionnel à retour unitaire :


Dans ce cas, la fonction de transfert en boucle fermée s'exprime par :

C(z)F(z)Hbf(z)-l+C(z).F(Z)

Le cahier des charges imposant certaines contraintes (de rapidité, de précision,...)

au système bouclé, on connaît a priori la forme à donner à Hbf(z). Le processus de

fonction de transfert F(z) étant lui-même connu, on en déduit que le correcteur doit

répondre à :

C(Z) = MM(^MZJ F(z)[l-Hbi(Z)]

Généralement, le correcteur se présentera sous la forme d'un rapport de

polynômes en z :

_ b 0 +b l Z + b2z2 + + bnzn

^ ' ~~ 2 da0+a1z + a2z + + adz

La réalisation pratique du correcteur, déterminé par le calcul, implique que le

développement en série de sa fonction de transfert C(z) ne comporte pas de puissances

positives de z (principe de causalité à respecter impérativement). Cette condition se

traduit par :

limfz'1 C(z)] = 0Z-»oo L J

c'est-à-dire que l'on doit avoir : n < d.



Cette condition est nécessaire, mais il y a des cas où elle n'est pas suffisante ;

Par exemple , supposons que : yn = a £n + (3 £n_{ -jyn.{ +

On voit qu'à l'instant nT le signal de sortie yn du correcteur doit être synchrone

de sa commande 8n. Or les conversions AN et NA, d'une part, et le calcul de

l'expression de yn, d'autre part, ne sont pas instantanés ; il faut un certain temps entre la

prise d'échantillon £ et la commande y du processus. Si ce temps est faible vis-à-vis de

la période d'échantillonnage, il n'y a pas de problème. Mais si l'échantillonnage est très

rapide, ou si les calculs sont complexes et nombreux, on ne pourra pas réaliser la

simultanéité de l'acquisition et de la commande. Dans ce cas, on aura tout intérêt à

prévoir une condition plus restrictive pour la faisabilité du correcteur :

lim C(z) = oZ—>oo

c'est-à-dire : n < d

7.3. CRITERE DE CHOIX DES CORRECTEURS

7.3.1. Conditions générales et critères temporels

La détermination des organes de compensation d'un asservissement

échantillonné s'appuie sur un certain nombre de démarches, plus ou moins efficaces, qui

font appel à des critères spécifiques.



Une méthode classique, dite des pôles dominants de ZDAN consiste à imposer

à un système asservi de présenter une fonction de transfert en boucle fermée dont le

comportement soit voisin de celui d'un système du deuxième ordre, c'est-à-dire

caractérisé essentiellement par une paire de pôles dominants. Cette méthode, basée sur

la transformation en z, peut amener des résultats intéressants.

On peut aussi s'appuyer sur des considérations de précision statique et/ou de

rapidité. Il s'agit pour l'essentiel de critères temporels, qui imposent au système de

répondre à une entrée donnée, selon certaines spécifications sur ses régimes transitoire

et permanent. En fait, on définit un signal de sortie qui doit répondre à certaines

spécifications : progression d'un échantillon à l'autre, dépassement contrôlé, loi

d'évolution en régime permanent, erreur permanente admise,... Les méthodes de calcul

des réseaux correcteurs qui résultent de cette approche sont donc caractérisées par

l'utilisation directe des spécifications sur la réponse du système à des entrées

déterminées.

Il est bien entendu que, quelque soit le critère utilisé, il faudra en dernier lieu

vérifier la faisabilité de la solution préconisée.

7.3.2. Méthode de calcul

Soit la structure fonctionnelle retenue pour représenter le système à corriger :



On peut exprimer le signal d'erreur :

8(z) = e(z) - s(z)

soit: 8(z) = e(z)[l-Hbf(z)]

On a vu que la transformée en z d'une entrée canonique d'ordre m peut se

mettre sous la forme :

" (l-z-!)m+1

où A(z) est un polynôme en z"1, de degré au plus égal à m et dépourvu de racines

égales à l'unité :

^d-^L.'1-"^]On peut définir un système en évaluant sa fonction de transfert en boucle fermée

de telle façon que, sollicité par une entrée donnée, il présente certaines conditions de

précision en régime permanent :

lim 8(nT)=lim(l-z-1)8(z)n—>°o z—>1

soit : lim £(nT) = lim [A(z) (1 - z'1)'"1 [l - Hbf (z)]]



Ainsi, pour une entrée (d'ordre m fixé), on peut vouloir que :

lim 8(nT) = 0 précision parfaiten—>oo

ou lim £(nT) = este précision relativen-ôo

Partant de ces considérations, la relation précédente permet de calculer Hbt(z),

puis d'en déduire la fonction de transfert C(z) du correcteur qui, à partir du système

initial F(z), conduit à obtenir les performances souhaitées ; bien évidemment, il

conviendra de vérifier la faisabilité de la solution préconisée.

Par exemple : Si l'on désire parvenir à un système présentant une précision parfaite

pour une entrée d'ordre m (la précision ne peut être définie que par rapport à l'ordre de

la commande), il faudra que :

l-Hbf{Z) = (l-z-i)m+1B(z)

Alors : lim e(nT) = lim (l - z~' ) A(z) B(z) = 0n->oo Z_>1 V /

et ceci quelque soit le polynôme B(z), pourvu que celui-ci ne présente pas de racines

égales à l'unité.

On déduit alors :

Hbf(z)=l-(l-z-1)m+1B(z)



et 8(z) = A(z) B(z)

Le correcteur qui permet d'atteindre ce résultat, s'il remplit les conditions de

faisabilité, aura pour expression :

i-fa-z'T^.BCz)!C(Z) = t- - —i

(l-z-T+I.F(z).B(z)

En fait, le calcul montre que le signal d'erreur 8*(t) s'annule en un nombre fini

d'échantillons [E(z) est un polynôme en z"1]. Les systèmes répondant à ces spécifications

sont donc à temps d'établissement fini, pour l'entrée considérée. On constate ainsi que

les considérations sur la précision entraînent des conséquences sur la rapidité du

système, et réciproquement.

7.3.3. Système rendu minimal absolu

Le calcul précédent nous a conduit à :

8(z) = A(z) B(z)

et l-HM(z) = (l-z-1r1B(z)

A(z) étant imposé par l'entrée choisie, le système considéré sera dit minimal

absolu, si :

B(z) = 1



Alors : £(z) = A(z)

et: Hbf(z)=l-(l-zlr+l

son régime transitoire sera alors minimal.

Comme A(z) est un polynôme en z"1 de degré au plus égal à m, on voit que

l'erreur de l'asservissement s'annulera au plus en (m +1) périodes.

7.4. EXEMPLES DE SYNTHESE DISCRETE

7.4.1. Calcul de systèmes minima absolus pour quelques entrées d'ordre m

On se propose ici de calculer à chaque fois la fonction de transfert en boucle

fermée d'un système qui serait astreint à être minimal absolu pour différentes entrées

canoniques : échelon de position, rampe, échelon d'accélération.

^ pour une entrée en échelon-unité (m = 0)

e*(t) = T*(t) =Sr(t)

p(7\ —()~^^

alors : £(z) = A(z) = 1



e*(t) = ô(t)

il faut donc : Hbf(z) = zl, soit : h*(t) = ô(t - T)

# pour une entrée en échelon de vitesse (m = 1)

e*(t) = T£n.<S(t-nT)n

, . Tz-'e(z)=<T?7

e(z) = T. z-1

alors : E*(t) = T. ô(t - T)

et: Hbf(z) = 2 z 1 - z 2 , soit: h*(t) = 2 Ô(t - T) - ô(t - 2T)



^ pour une entrée en échelon d'accélération (m = 2)

T2

e*(t) = — 2V<S(t-nT)^ n

cM-H^f?2 (1-z-1)2

T2

C(z) = A(z) = — z"1 (1 + z'1)

ri-iZ, r-p^d

g * (t) = —5(t - T) +—<5(t - 2T)

Hbf(z) = 3 z 1 - 3 z-2 + z3 , d'où : h*(t) = 3 6(t - T) - 3 Ô(t - 2T) + Ô(t - 3T)



7.4.2. Comportement d'un système rendu minima absolu pour une entrée indicielle

On se propose ici de rendre compte du comportement d'un asservissement, dont

le correcteur a été calculé pour qu'il soit minimal absolu pour une entrée en échelon-

unité, lorsqu'il est sollicité par d'autres types de commande canonique.

On a vu au paragraphe précédent que dans ce cas :

Hbf(z) = z"1 le système corrigé est devenu un simple élément de retard pur

d'une période d'échantillonnage.

Le correcteur qui conduira à ce résultat doit avoir pour fonction de transfert :

C(z)= z" - *FCzXl-z-1) F(z)(z-l)



Les figures ci-dessous représentent les différents signaux qui affectent ce

système, lorsqu'il est sollicité par une entrée-impulsion et une entrée en échelon de

vitesse.

7.5. SYNTHESE PAR ANTICIPATION - PREDICTEUR DE SMITH

Le prédicteur de Smith est un régulateur qui permet d'obtenir d'intéressantes

performances dans le cas où le système à régler comprend un retard pur. On supposera

ici que le temps de retard Td dû à l'installation correspond à un multiple entier k de la

période d'échantillonnage T.

Avant de présenter ce type de correction, il est utile de rendre compte de l'effet

d'un retard sur les performances d'un système de commande.



7.5.1. Influence de la présence d'un retard pur dans une chaîne de régulation

Soit le système asservi suivant, qui présente un retard pur de k périodes :

Par exemple, on peut s'intéresser à l'effet de ce retard pur sur un système du premier

ordre :

F(p) = -£-1 + Tp

rp

zk(p).-^_]=K-^ a = e~7|_ 1 + tpJ z-cx

TJ ^ Kl~aH (z) = —bo z k z -a

La sensibilité du système bouclé est : E(z) = zk+1 - a zk + K(l - a)

Pour que le système soit stable, il faut que les racines de Z(z) = 0 soient toutes

comprises dans le cercle de rayon-unité.



En fonction du temps de retard, on peut calculer les limites à respecter pour le

gain statique en boucle ouverte K pour assurer la stabilité d'un tel ensemble :

1 + (Xk = 0 (pas de retard) K <

1-a

k = 1 (retard d'une période) K <1-a

^ x i t ^ x . t v ^ , -a + w2 + 4k = 2 (retard de 2 périodes) K <v > ^ 2(1-a)

7.5.2. Le prédicteur de SMITH

On considère un système asservi à temps discret présentant un retard pur de k

périodes, dont la fonction de transfert en boucle ouverte peut s'écrire :



Hbo(z) = z-k (1 - z-l). z[Ml = z-k H' (z)L P J

où H'z) regroupe le bloqueur d'ordre zéro B0(p) et le processus F(p).

<$> Considérons, dans un premier temps, le système ci-dessous où C(z) est un

correcteur monté en cascade avec les éléments H'(z) précédents :

La variable de sortie peut s'exprimer par :

.-M- C(Z)H'(Z) e(z)l + C(z)Hf(z)

<$> Dans un deuxième temps, on conçoit un système correctif, associé à

l'asservissement à retard, dont le schéma fonctionnel est représenté ci-dessous ; ce

correcteur est appelé Prédicteur de Smith.



La fonction de transfert du prédicteur de Smith est :

u(z) = C(z)

£(z) l + (l-z-k)C(z)H'(z)

d'où la fonction de transfert en boucle fermée de l'ensemble qui lui est associé :

s(z)= z_k C(z)H'(z)

e(z) l + C(z)Hf(z)

<$> En comparant ces deux montages, il vient :

s(z) = z~k s' (z)

On en conclut que la réponse réelle s(z) est égale à la sortie s'(z), retardée de k

périodes d'échantillonnage. Les pôles du système compensé par un prédicteur de Smith,

sont simplement les zéros de l'expression : 1 + C(z) H'(z), complétés d'un pôle nul de

multiplicité k.



// en découle que la stabilité de la structure n'est pas affectée par

l'implantation d'un prédicteur de Smith sur le processus physique avec retard pur.

L'effet de prévision associé au prédicteur de Smith est particulièrement bien mis

en évidence lorsque le diagramme fonctionnel du système est mis sous la forme

équivalente suivante :

On peut remarquer que le signal r de rétroaction, égal à : zk s(z), correspond au

signal s'(z), puisque l'on a vu précédemment que : s(z) = z~k s'(z). Il s'agit donc de la

grandeur de sortie s(z), avancée de k périodes d'échantillonnage, provoquant ainsi

l'effet anticipateur recherché.

Remarque : Un inconvénient du prédicteur de Smith est que sa conception repose sur le

modèle z"k H'(z) du processus à régler ; en particulier, la valeur du retard

pur doit être parfaitement connue.

7.6. CORRECTEURS EN DERIVATION

Dans tout calcul de systèmes de commande, l'une des préoccupations

essentielles du concepteur est d'assurer la fiabilité de l'ensemble, c'est-à-dire de veiller



à ce que la défaillance d'une partie de la chaîne n'entraîne pas la détérioration de tout

l'ensemble.

On se souvient que les régulateurs P.I.D. universels continus sont prévus pour

autoriser une conduite manuelle du processus en cas de panne de tout ou partie du

régulateur. Dans le cas de la commande de systèmes échantillonnés, on suppose que

l'on peut être confronté à des incidents similaires dus au calculateur numérique qui

pilote le processus et qui assure en particulier la fonction-régulateur.

Une structure intermédiaire consiste à faire assurer la sûreté de fonctionnement

par un équipement continu (analogique) et à provoquer des performances plus élaborées

par une commande numérique du système.

Le diagramme fonctionnel ci-dessous illustre ce type de conception hybride.


NOTES PERSONNELLESLe correcteur numérique est en dérivation, ou en parallèle, avec une connexion

continue entre le signal d'erreur et l'installation. Ainsi le signal de commande de

l'installation résulte de la somme de signaux continu et numérique :

U(p) = 8(p) + C*(p).8*(p)

Si le correcteur numérique est temporairement défaillant, le système asservi

analogique continue à opérer ; l'installation fonctionne alors sous mode dégradé.



CHAPITRE 8

LES REGULATEURS DISCRETS STANDARD

8.1. GENERALITES

Le régulateur discret élabore une grandeur de commande discrète y*(t) en

fonction de l'écart de réglage discret £*(t) du système à commander. Selon la

complexité du régulateur, la grandeur de commande à l'instant t = nT est formée en

fonction de la valeur de l'écart à cet instant, mais aussi aux instants précédents (n-l)T,(n-2)T,...

Comme dans le cas des régulateurs continus qui réalisent généralement la

relation :

y(t) = kpe(t) + Jr| e(t)dt + Td^J 0

Automatique - S.A.E. chapitre 8 : Régulateurs standard


on crée des régulateurs discrets standard qui traduisent en valeurs discrètes cette

expression.

Les régulateurs les plus courants sont du type : P.I, P.D, P.LD, voire P.D2 et

P.LD2.

Si l'action Proportionnelle P est des plus simples, les actions intégrale, dérivée et

dérivée-double méritent une certaine attention.

8.2. LES DIFFERENTES ACTIONS

8.2.1. Action intégrale I

Le régulateur I intègre l'écart de réglage en fonction du temps. Cependant, dans

le domaine des régulateurs discrets, l'intégration est remplacée par une sommation de

l'écart de réglage discret £*(t). En toute rigueur, on devrait donc parler de régulateur-

sommateur...

équation discrète :

yi(nT)= Ki£ £ GT) Ki = ij = 0 M

équation récurrente :


NOTES PERSONNELLES


y1(nT) = y1[(n-l)T] + Kie(nT)

pour plus de commodité, on posera, à l'instant considéré :

y1 = yÏ! + K; e

fonction de transfert :

C(v) _ yj(z) _ K. z _K . iC ' ( Z )-e(z)-K 'z-l-K li-z-i

diagramme structurel :

A l'aide de l'équation récurrente (forme récursive) et en observant que le bloc z"1

introduit le décalage de y1 en y^, on peut représenter la relation qui lie y1 à 8 par le

schéma ci-après, appelé diagramme structurel qui met bien en évidence la mise en

mémoire de la valeur de la grandeur y afin de l'utiliser à la période suivante :

NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES8.2.2. Action dérivée D

L'action dérivée se traduit par un terme proportionnel à la différence des écarts

de réglage aux instants d'échantillonnage nT et (n-l)T.


yd(nT) = Kd[£(nT)-e[(n-l)frD avec Kd =

soit yd = Kd[£-£_i]


Cd(Z) = = Kd^ = Kd(l-z-i)8(Zj ^



8.2.3. Action dérivée-seconde D2

Soit le cas où le régulateur comporte un terme en dérivée- seconde, du type :

d2e(t)dt2

L'action dérivée-seconde discrète s'approxime par un développement limité au

deuxième ordre de l'écart £*(t), d'où la relation explicite liant l'écart aux instants nT,

(n-l)T et (n-2)T à la grandeur de sortie yd2(nT).


yd2 (nT) = Kd2 [e (nT) - 2e [(n-1 )T] + e [(n-2)T]]

2avec Kd2 = —

T2

Soit : yd2 = Kd2 [e -28.! + e 2]


Cd2(z) = ^f=Kd2(l-2z-i+Z-2)t^Zj


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES

8.3. LES REGULATEURS STANDARD

8.3.1. Le régulateur Proportionnel-Intégral P.I

Le régulateur P.I est une combinaison d'un régulateur P et d'un régulateur I.


y(nT) = Kp£(nT) + Ki5;£(jT)j=o

Comme précédemment, l'action intégrale peut s'exprimer par :

KiÊe()T) = Ki J£0T) + Ki8(nT)j=0 j=0

soit: yi(nT) = yi[(n-l)T] + K* e(nT)



d'où : y(nT) = yï(n-l)T] + (Kp + K;) e(nT)

y = yi1+(Kp + Ki)e


r<Vï - K + K z - bl z + b° - bl + bo z-1C^-Kp + K,— -—^— -—^—

avec : bi = Kp + KÎ et b0 =-Kp

Le régulateur P.I est un système discret du premier ordre, ayant un pôle égal à 1.

Le régulateur P.I peut donc annuler l'écart de réglage, en régime établi, dû à une

sollicitation en échelon de position (c.f. § 6.1.2).

Réponse impulsionnelle :

y(z) = b1 +b0Z-l £(z)

1 -Z'1

Si : e*(t) = ô(t)

alors : e(z) = 1

et y(z) = b i + b o Z - i = b i + £(bo + bi)z.n

1 - z"! n=l


NOTES PERSONNELLES


oo

soit y(z) = (Kp + Ki) + Ki£ z-"n=l

OO

et y*(t) = (Kp + Ki) ô(t) + K{ ]T ô(t - nT)n=l

ou encore :

oo

y*(t) = Kp8(t) + Ki 2 ô(t-nT)n = 0

y*(t) = Kp ô(t) + Ki ÔT<t)

Diagramme structurel :

Le diagramme structurel du régulateur P.I se déduit aisément de son équation

discrète :



8.3.2. Le régulateur universel P.I.D

Le régulateur P.I.D se base sur le régulateur P.I, auquel on ajoute une

composante dérivée.


y(nT) = Kp e(nT) + Ki £ e(JT) + Kj [e(nT) - e [(n-l)T]]j=o

soit :

y(nT) = yi [(n-l)T] + (Kp + Kj + Kd) 8 (nT) - Kd e [(n-l)T]

y = (Kp + Ki + Kd) e + yl, - Kd e_i




Qz^Kp + K^ + Kd^

soit: C(^=^î^^z(z-l)

avec: b2 = Kp + Kj + Kd , bi=-(Kp + 2Kd) , b0 = Kd

Le régulateur P.I.D est un système du second ordre ; sa fonction de transfert

possède un pôle nul et un pôle égal à 1. Comme le régulateur P.I, il est capable

d'annuler Vécart déposition en régime établi.

Ses pôles ne dépendent en aucune façon du réglage des actions Proportionnelle,

Intégrale et Dérivée. Les coefficients Kp, K{ et Kd n'interviennent que dans le

numérateur de la transmittance et par conséquent que sur ses zéros.

Réponse impulsionnelle :

On peut aussi écrire :

oo

C(z) = (Kp + Ki + Kd) + (Ki - Kd)z-i + Ki 2 z-°n=2

Soit, si e*(t) = 8(t)


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESoo

y*(t) = (Kp + Ki + Kd) 8(t) + (Ki - Kd) ô(t-T) + Kj ]T 5(t-nT)n=2

ou encore :

y*(t) = Kp 8(t) + Kj dMt) + Kd [8(t) - ô{t-T)]


Le diagramme structurel d'un régulateur P.LD peut prendre plusieurs formes

comme indiqué dans les schémas ci-dessous :


La forme a convient mieux à la programmation de ce régulateur. En effet, cette

représentation s'appuyant sur l'équation récurrente :

y = (Kp + KI + Kd) £ + ylj - Kd £_i

permet d'écrire l'algorithme de réglage à l'aide d'un pseudo-langage de

programmation, du type :

données : Kp

K,

Kd

Kpid = Kp + KI + Kd



x = yiiy = Kpid 8 + x - Kd 8_i

sortir : y

x = x + Kj 8

e_! = 8

Pour l'exécution de l'algorithme de réglage, on doit respecter la séquence

prescrite. Tout de suite après le calcul de la grandeur de commande y, le calculateur de

processus peut appliquer cette nouvelle valeur au système à régler. L'incrémentation de

x par Kj 8 et ensuite l'échange de 8 à 8_t peuvent se faire, en temps masqué, dans

l'intervalle jusqu'au prochain instant d'échantillonnage.

Dans ce cas on doit imposer une valeur initiale adéquate à la grandeur auxiliaire

x. En plus, on a aussi besoin d'une valeur initiale pour l'écart de réglage 8_j.

En général, on choisira au début : x = 0 et 8_j = 0.

Remarque : bien souvent dans les régulateurs standard, aussi bien continus que

numériques, l'action P est commune aux autres actions I et D. La structure

d'un régulateur P.I.D se présente alors selon le schéma ci-dessous :


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES

8.4. CHOIX ET DIMENSIONNEMENT DES REGULATEURS P.I.D

NUMERIQUES

8.4.1. La boucle de régulation

La structure classique d'une boucle de régulation numérique se présente de la

manière suivante :


L'ensemble Bloqueur-Processus a pour fonction de transfert :

™-<'-H^-$Selon le type d'actions choisi, le régulateur présente une transmittance que Ton peut

mettre sous la forme :

°»-$où seuls les coefficients de R(z) sont dépendants des constantes de réglage des actions

P, I, D, D2... présentes dans la boucle (c.f. § 8.3.2).

De plus, on introduit dans la chaîne une possibilité de réglage du gain statique en

boucle ouverte de telle sorte que la fonction de transfert en boucle ouverte du système

corrigé soit :

HUz) = k.C<z).H<(z) = k.|i|.5|

Le choix du réglage des différentes actions du régulateur est conditionné par les

caractéristiques présentées par le processus à contrôler.

Le choix et le dimensionnement des régulateurs-standard se basent sur le

principe de la compensation des pôles du système à régler par les zéros du

régulateur, de telle sorte que le degré de la fonction de transfert du circuit de réglage

ouvert soit plus petit que celui de l'ensemble régulateur-processus.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES8.4.2. Processus à réguler sans comportement intégral

F(p) ne présentant pas d'intégrations (terme en —), la transmittance H'(z) neP

présentera pas de pôle égal à 1 ; c'est-à-dire que le polynôme A(z) ne possédera pas de

racine égale à 1.

H h fz)-kR ( z ) B(Z)Hbo(Z)~kS(^-A(^

On préconisera ici l'emploi d'un régulateur P.I.D, dont on calculera les coefficients Kp,

IQ et Kd de telle sorte que l'on ait :

R(z)=A(z)

alors: Hbo(z) = kf(f

soit : Hbo(z) = k - (cf. § 8.3.2)z(z-l)

le pôle z = 1 de Hbo(z) assure alors un écart nul à une entrée en échelon de position

(action intégrale).

Ensuite, on détermine k de manière à obtenir un système stable. Il faut donc

choisir ce coefficient multiplicatif de telle sorte que les racines de l'équation

caractéristique :

z(z-l) + kB(z) = 0



NOTES PERSONNELLESsoient à l'intérieur du cercle de rayon-unité.

8.4.3. Processus à régler avec comportement intégral

Le système à compenser possède une intégration, donc un pôle égal à 1 ; c'est le

cas classique de l'asservissement de position.

L'ensemble Bloqueur-Processus présente une fonction de transfert de la forme :

B(z) /B(l)*oH'(z) = v / avec {

(z-l)A(z) |A'(l)*o

H'(z) possédant un pôle égal à 1 (comportement intégral), il est inutile d'en ajouter un

autre par une action-intégrale ; on utilisera par exemple un régulateur de type P.D.D2,

dont la fonction de transfert peut se représenter par :

C(z) = Cp(z) + Cd(z) + Cd2(z)

Ce qui conduit à :

CM - bo + b i z + b2z2 _ R(z)C(z)- iï "sôô

C(z) possède un pôle double nul qui provient de l'action dérivée-seconde ; les

racines de R(z) sont liées aux coefficients des différentes actions : Kp, Kd, Kd2.

De la même façon que précédemment, en introduisant le coefficient multiplicatif

k, on obtient :



Hbo(Z, = kC(Z,H'(Z) = k||.s

On calcule alors les coefficients b0, b, et b2 de telle façon que l'on puisse obtenirl'égalité :

R(z) = A'(z)

d'°Ù: Hb°(z) = k(zffe)

soit: Hbo(z) = k-^L(z-l)z2

La présence du pôle égal à 1 assure une erreur de position nulle en régime établi.

Hbf(z)= kB^

(z-l)z2 + kB(z)

le coefficient k est déterminé pour assurer la stabilité de l'ensemble ; c'est-à-dire qu'ilest choisi de telle façon, que les racines de l'équation caractéristique :

(z-l)z2+kB(z) = 0

soient toutes à l'intérieur du cercle de rayon-unité.


NOTES PERSONNELLES


CHAPITRE 9

LE REGULATEUR RST

9.1. STRUCTURE DU REGULATEUR RST

9.1.1. Conception

Les régulateurs numériques standard, en particulier le régulateur P.I.D, peuvent

être considérés comme une transposition dans le domaine du numérique de fonctions

relativement simples d'essence analogique. Le régulateur RST, dont le nom reflète les

trois polynômes en z qu'il fait intervenir, est un algorithme plus sophistiqué exploitant

à fond les ressources numériques dont on dispose et dont la synthèse est purement

algébrique.

Automatique - S.A.E. chapitre 9 : Régulateur RST

NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESReprenons le schéma classique d'un système asservi numérique avec élément-

correcteur.

où H'(z) représente le processus F(p) associé à un bloqueur d'ordre zéro :

H<«=(l-z-')z[Ef]

Les fonctions de transfert du correcteur et du processus peuvent se mettre sous la

forme de fonctions rationnelles propres :

°»-^ «- ™=noù le degré du polynôme A(z) est strictement plus grand que celui du polynôme-

numérateur B(z) (conditions de causalité à respecter).

L'algorithme de réglage peut s'exprimer par :

S(z) U(z) = R(z) E(z) - R(z) Y(z) (1)

et la fonction de transfert en boucle fermée est donc :

Automatique - S.A.E. chapitre 9 : Régulateur RST© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Y(z)= B(z)R(z)E(z) A(z) S(z) + B(z) R(z) l ;

Le régulateur RST respecte cette structure classique, mais généralise son

application en introduisant dans l'expression de l'algorithme de réglage deux polynômes

S(z) et T(z) distincts :

S(z) U(z) = T(z) E(z) - R(z) Y(z) (3)

// n'y a donc plus de comparaison directe entre Y(z) et E(z)*

La fonction de transfert de l'ensemble s'écrit maintenant :

Y(z)= B(z)T(z)E(z) A(z) S(z) + B(z) R(z)

Une comparaison entre la forme précédente (2) et celle-ci (4) fait ressortir une

différence importante entre les deux systèmes : le numérateur de la nouvelle fonction de

transfert en boucle fermée contient le polynôme T(z), absent des termes du

dénominateur. Un degré de liberté supplémentaire est ainsi introduit dans la synthèse du

régulateur ; le régulateur RST est dit à deux degrés de liberté pour refléter ce potentiel

étendu.

Le régulateur peut être illustré par un schéma fonctionnel à trois branches :


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES

Symboliquement, on représente également le processus complété par le

régulateur RST par le diagramme fonctionnel simplifié suivant :

Les polynômes R(z), S(z) et T(z) sont respectivement choisis de degrés : p, a et T :

R(z) = r0 zP + ri zP-1 + ... + rp

S(z) = za + si z0-1 + ... + sa

T(z) = to ZT + ti z*-1 + ...+ tT

9.1.2. Codes de réalisation

Le respect des conditions de causalité impose que :

G > Ta > p


* Première approche

Dans le but de ne pas introduire de retard dans la commande et la réaction du

système, on est souvent amené à prendre des polynômes de même degré :

p = T = a

Ceci n'est réalisable que si les temps de calcul et de conversion AN et NA sont

négligeables vis-à-vis de la période d'échantillonnage.

Dans ce cas, où tous les polynômes ont le même degré, l'algorithme de réglage

(3) permet d'écrire :

(l + si z-1 + .... + sp Z-P) U(z) = (t0 + ti z-1 +....+ tp Z-P) E(z)

-(r0 + ri z-1 +....+rpz-p)Y(z)

Ce qui conduit, dans le domaine temporel, à :

Uk = - Si Uk_i - .... - Sp Uk.p

+ t0 ek + ti ek_i + + tp ek.p

- r0 yk - ri yk_i - - rp yk_p

Le code réalisant le régulateur RST se fonde directement sur cette relation.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESRemarque : On serait tenté d'implanter le régulateur directement à partir de sa

représentation fonctionnelle à trois branches et non à partir de l'équation

précédente. Ceci est à éviter dans le cas où l'un des trois polynômes R(z),

S(z), T(z) serait, par exemple, un intégrateur qui ne respecte pas les

conditions de stabilité BIBO (c.f. chapitre 5. §5.1.1.).

* Deuxième approche

Lorsqu'il n'est pas possible de considérer que les calculs et conversions NA et

AN sont de durée négligeable par rapport à la période d'échantillonnage T, on est

conduit à choisir les degrés des trois polynômes de telle sorte que :

a-1 = p = T

Dans ce cas, on obtient le code du régulateur RST suivant :

uk+i = - si uk - s2 uk_i - .... - Sp uk_p+i

+ t0 ek + ti ek_i + + tp_i ek_p+i

- r0 yk - ri yk_i - - rp_i yk.p+i

9.1.3. Effet vis-à-vis des perturbations

Considérons l'effet du régulateur RST sur un système fonctionnant en régulation

(consigne E constante) et soumis à des perturbations analogiques en amont et en aval du

processus à régler :


Dans ce cas :

Y(Z) = A(z)S(z)!B(z)R(z) [B(Z) T(Z) E(Z) + B(Z) S(Z) Wu(z) + A(Z> S<z> Wy(z>]

La consigne étant constante, on peut ne s'intéresser qu'aux termes de Y(z)dépendant des perturbations :

^•n^^m^-^-^S(z) (Z)

et

Y'(Â(2)^g)R(Z)w^=r^-TWy(z)S(z) (Z)

Automatique - S.A.E. chapitre 9 ; R,gulateur R^

NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESCeci montre que vis-à-vis des perturbations wu(t) et wy(t) le système équipé d'un

régulateur RST se comporte comme un ensemble classique, avec un correcteur C(z)

placé dans la chaîne de retour :

Pour rejeter les effets des perturbations, il est nécessaire de prévoir la présencede 1 intégrateurs, obtenus en remplaçant le polynôme S(z) par (z - l)1 S(z), où 1 est le

nombre d'intégrations nécessaires pour annuler la perturbation considérée ; 1 est aussi

appelé le type ou la classe du compensateur.

Les conditions de causalité imposent maintenant :

a + l - p >o

a + l - T > o



9.2. SYNTHESE DU REGULATEUR RST

9.2.1. Principe

L'ensemble du processus, compensé par le régulateur RST, a pour fonction de

transfert en boucle fermée la forme (4) :

Y(z)= B(z)T(z)E(z) A(z) S(z) + B(z) R(z)

Les trois polynômes R(z), S(z) et T(z) doivent être choisis et dimensionnés afinque cette fonction de transfert en boucle fermée réponde à un modèle de référence, ou

modèle à poursuivre, préconisé par l'utilisateur :

II est évident que, pour assurer la stabilité de l'installation, le polynôme Am(z)

sera choisi pour ne présenter que des racines [pôles de Hm(z)] dont les points

représentatifs sont tous contenus à l'intérieur du cercle de rayon-unité.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESLe degré du polynôme Am(z) n'est pas forcément égal à celui de :

A(z) R(z) + B(z) S(z) ; En fait, un modèle à poursuivre très simple, avec un polynôme

Am(z) de degré nettement inférieur est généralement requis.

Remarque : Le régulateur RST étant à deux degrés de liberté, les zéros en boucle

fermée [i.e. les zéros de Bm(z)] peuvent eux aussi être positionnés dans le

plan complexe, selon les désirs du concepteur.

9.2.2. Exemple de synthèse d'un régulateur RST

Afin de montrer l'efficacité de la méthodologie RST, nous nous appuyons sur un

exemple de commande en vitesse d'un moteur à courant continu alimenté au travers

d'un hâcheur commandé par MLI (c.f. cours de Mécatronique, 1ère partie, chapitre 5). Cet

exemple est emprunté à un travail présenté aux JTEA '97 par J.M. RETIF, X. LIN-SHI et ail. du CEGELY-

INSAL


La vitesse de rotation est mesurée par une génératrice tachymétrique G. Sur le

banc d'essais utilisé, un frein électromagnétique permet d'appliquer des perturbations

sur la sortie. Dans ce cas (en se référant au § 9.1.3), on peut écrire :

Y(z) = -f- [B(z) T(z) E(z) + A(z) S(z) Wy(z)]r(Z)

où : P(z) = A(z) S(z) + B(z) R(z)

Le processus a été identifié, pour une période d'échantillonnage T = 0,2s, par une

fonction de transfert du second ordre :

= B(z) = 0,9259 z-1 -0,8194 z-2

" A(z) ~~ 1 - 1,026 z-1 + 0,1393 z~2

Ce système possède un zéro inférieur à l'unité (z = 0,885) et deux pôles réels

stables ( z = 0,865 et z = 0,161). Notons que le modèle continu correspondant présente

une pulsation propre non-amortie de 6,48 rad.s'1 et un coefficient d'amortissement

réduit de 0,76.

On peut décrire le processus sous la forme :

= B(z) = 0,9259 z-1 (l - 0,885 z-1)Z ~ A(z)~ (1-0,865 z-1) (1-0,161 z-1)

Afin d'améliorer les performances de cet ensemble de commande, on désire

effectuer la synthèse d'un correcteur RST en imposant au processus :

- une erreur statique nulle en sortie,


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES- un abaissement de son ordre (en z"1),

- un comportement en régulation du type premier ordre, avec un pôle de 0,8.

Pour satisfaire les deux premières conditions, on peut proposer que le terme S(z)

du correcteur, placé en cascade avec le procédé H'(z), soit :

S(z) = (l -z 1 ) (1-0,885 z'1)

de telle façon qu'il introduise une intégration (qui permet d'annuler l'erreur statique à

une commande en échelon de position) et une compensation totale du zéro du polynôme

B(z).

La troisième condition peut être satisfaite en proposant que le polynôme P(z),

dénominateur des fonctions de transfert Asservissement et Régulation, soit :

P(z) = ( l -0,8z1)A(z)

En effet, le processus n'ayant pas de zéro supérieur à l'unité on peut, sans risque

de provoquer une instabilité, simplifier sa fonction de transfert en boucle fermée par

celui-ci.

D'une façon générale, l'équation :

A(z) S(z) + B(z) R(z) = P(z)

où : A(z), B(z) sont connus,

P(z) est choisi au regard des performances à atteindre,



S(z), R(z) sont inconnus,

est appelée équation de Diophante ou identité de Bezout.

Les divers polynômes de cette équation doivent être tels que l'on puisse, en

regroupant les termes de même degré, identifier les coefficients inhérents à chacun

d'eux de telle façon que l'égalité de Diophante soit satisfaite.

Dans notre exemple, on a :

A(z) = (1 - 0,865 z-1) (1-0,161 z1)

B(z) = 0,9259 z-1 (1 - 0,885 z1)

P(z) = (1 - 0,8 z1) (1 - 0,865 z1) (1-0,161 z1)

S(z) = ( l - z 1 ) (1-0,885^)

R(z) reste inconnu.

Pour que l'égalité régissant l'équation de Diophante soit convenablement

respectée, il faut que le polynôme R(z) soit de degré 2 et que le terme en z"4 de B(z) R(z)

soit égal et opposé à celui équivalent de A(z) S(z).

On posera donc : R(z) = r0 + rl z"1 + r2 z"2

La résolution de l'équation de Diophante conduit par identification à :

R(z) = 1,1718 - 1,1211 z1 + 0,1504 z 2


NOTES PERSONNELLES



R(z) = 1,1718 (1 - 0,9567 z 1 + 0,1283 z'2)

Pour compléter le régulateur RST, on pourra choisir par exemple le polynôme

T(z) égal au polynôme P(z) :

T(z) = P(z) = (l-0,8z1)A(z)

Dans ce cas la fonction de transfert en asservissement du procédé [vis-à-vis de la

commande E(z)] se réduit à B(z), soit :

B(z) = 0,9259 z1-0,8194 z 2

et sa réponse impulsionnelle est :

h*(t) = b*(t) = 0,9259 ô(t-T) - 0,8194 6(t-2T)

NOTES PERSONNELLES


Documents

AUTOMATIQUE : Systèmes asservis linéaires échantillonnés