Stabilité asymptotique des solitons pour l’équation deLandau-Lifshitz.

Bahri YakineDirecteurs de Thèse : Côte Raphaël et Gravejat Philippe

Centre de Mathématiques Laurent Schwartz, École polytechnique

2 Octobre 2014

L’équation de Landau–Lifshitz

I L’équation de Landau–Lifshitz modélise les dynamiques de lamagnétisation dans un matériel ferromagnétique.

I La magnétisation est un champ de directions :

~m(x, t) : RD × R→ S2 ⊂ R3, ~m = (m1,m2,m3)

| ~m| = (m21 +m2

2 +m23)

1/2 = 1

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ModèlesI 3D matériaux ferromagnétiques

I 2D: matériaux fins "plan".I 1D: Césium trifluorure de nickel CsNiF3.

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Origine de l’équation de Landau–Lifshitz

∂t ~m = −β ~m× ~heff ( ~m)︸ ︷︷ ︸prcession

−α~m× ( ~m× ~heff ( ~m))︸ ︷︷ ︸amortissement

~heff ( ~m): champ magnétique effectif

α > 0 : Coefficient d’amortissement de Gilbertβ > 0, avec α2 + β2 = 1

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L’équation de Landau-Lifshitz non-amortie~heff ( ~m) = ∂xx ~m− λm3e3,

∂t ~m = − ~m× (∂xx ~m− λm3e3),

~m(x, t) : R× R→ S2, ~m = (m1,m2,m3)Cette équation est hamiltonienne. Le hamiltonien conservé est l’énergie deLandau-Lifshitz

E( ~m(t)) :=1

2

∫R|∂x ~m(x, t)|2 dx+

λ

2

∫Rm3(x, t)

2 dx = E( ~m(0)), ∀ t ∈ R.

Le paramètre d’anisotropie λ ≥ 0 :

λ = 0 : cas isotrope, “Schrödinger map”λ > 0 : l’anisotropie est axialeλ < 0 : l’anisotropie est planaire

Dans la suite, on considère λ = 1 et les solutions m d’énergie finie.5 / 14

Le cadre hydrodynamique

Quand l’application m := m1 + im2 ne s’annule pas, elle peut être écritesous la forme

m =√

1−m23 exp iϕ.

Les fonctions v = m3 et w = ∂xϕ sont des solutions de l’équationhydrodynamique de Landau-Lifshitz

∂tv = −∂x((1− v2)w

),

∂tw = ∂x

(v(w2 − 1) +

∂xxv

1− v2+

v(∂xv)2

(1− v2)2).

(HLL)

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Solitons

On cherche les solutions de type ondes progressives qui se propagent avecune vitesse c, i.e.

~m(x) = ~u(x− ct).

Le profil ~u satisfait l’équation

∂xx~u + (∂x~u)2~u + u23~u− u3e3 + c~u× ∂x~u = 0.

Les solutions triviales : les constantes dans S1 × {0}.I Si |c| ≥ 1, solutions triviales.I u ne s’annule pas si c 6= 0.I Si |c| < 1, solutions explicites.

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Solitons

Dans le cas c ∈]− 1, 1[\{0}, on note Qc := (vc, wc) qui est donné par laformule suivante

vc(x) =(1− c2)

12

cosh((1− c2)

12x) ,

wc(x) =c vc(x)

1− vc(x)2=c(1− c2)

12 cosh

((1− c2)

12x)

sinh((1− c2)

12x)2

+ c2.

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Stabilité orbitale

E(v, w) :=

∫Re(v, w) :=

1

2

∫R

( (v′)2

1− v2+(1− v2

)w2 + v2

),

P (v, w) :=

∫Rvw.

On note

NV(R) ={v = (v, w) ∈ H1(R)× L2(R), t.q. max

x∈R|v(x)| < 1

},

etQc,a(x) := Qc(x− a) :=

(vc(x− a), wc(x− a)

).

avec a ∈ R.

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Stabilité orbitale

On note Hc l’opérateur associé à la forme quadratique

Hc := E′′(Qc)− cP ′′(Qc).

Il est auto-adjoint sur L2(R)× L2(R), avec Dom(Hc) := H2(R)× L2(R).On note χc le vecteur propre associé à l’unique valeur propre négativesimple. Son noyau est engendré par la fonction ∂xQc.

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Stabilité orbitale

Théorème (Théorème de la stabilité orbitale)

Soit c ∈]− 1, 1[\{0}. Il existe un nombre positif αc, qui dépend que de c,tel que pour tout (v0, w0) ∈ X(R) := H1(R)× L2(R) vérifiant

α0 :=∥∥(v0, w0)−Qc,a

∥∥X(R) ≤ αc,

avec a ∈ R, il existe une unique solution globale (v, w) ∈ C0(R,NV(R)) dedonnée initiale (v0, w0), et deux applications c ∈ C1(R, (−1, 1) \ {0}) eta ∈ C1(R,R) tels que la fonction ε définie par

ε(·, t) :=(v(·+ a(t), t), w(·+ a(t), t)

)−Qc(t),

satisfait les conditions d’orthogonalités

〈ε(·, t), ∂xQc(t)〉L2(R)2 = 〈ε(·, t), χc(t)〉L2(R)2 = 0,

pour tout t ∈ R.11 / 14

Stabilité orbitale

Théorème (Théorème de la stabilité orbitale)

De plus, il existe deux nombres positifs σc et Ac, ne dépendent que de c,tels que

maxx∈R

v(x, t) ≤ 1− σc,∥∥ε(·, t)∥∥X(R) +

∣∣c(t)− c∣∣ ≤ Acα0,∣∣c′(t)∣∣+

∣∣a′(t)− c(t)∣∣ ≤ Ac

∥∥ε(·, t)∥∥X(R),

pour tout t ∈ R.

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Stabilité asymptotique

ThéorèmeIl existe une constante positive βc ≤ αc, qui ne dépend que de c, tel quepour tout (v0, w0) ∈ X(R) vérifiant∥∥(v0, w0)−Qc,a

∥∥X(R) ≤ βc,

avec a ∈ R, il existe un nombre c∗ ∈ (−1, 1) \ {0} et une applicationb ∈ C1(R,R) tel que l’unique solution globale (v, w) ∈ C0(R,NV(R)) de(HLL) avec la donnée initiale (v0, w0) satisfait(

v(·+ b(t), t), w(·+ b(t), t))⇀ Qc∗ in X(R),

etb′(t)→ c∗,

quand t→ +∞.

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Ce travail fait l’objet d’un article en cours de rédaction.

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Merci pour votre attention.

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