SRO: Voyage Into the Golden Screen

Per Nørgård: Voyage into the Golden Screen

Studieretningsopgave i musik og matematik

Jeppe Dall Gregersen, 2b, Egaa Gymnasium

11. marts 2012 Antal tegn (inklusiv mellemrum) i selve opgaven: 22746

Abstract: This paper examines how a simple, but extraordinary, mathematical system influences the per-

ception and understanding of Per Nørgård’s work Voyage Into the Golden Screen. To do that, the study is

interdisciplinary and employs mathematical and musical methods. Initially a short presentation of im-

portant musical characteristics in the sixties, together with an introduction to Nørgård as a composer, will

be given. A mathematical understanding of the golden section and the Fibonacci series is then established

before the second movement of Voyage into the Golden Screen is analyzed using both mathematical and

musical terms. Finally the consequences of the mathematical systems in Voyage into the Golden Screen as a

work of art will be discussed. The results show that the use of Nørgård’s special infinity series creates a

piece of music that contains musical quality of experience while being based on strict mathematical princi-

ples. It is also shown that Voyage into the Golden Screen, by its somewhat anti-hierarchical structure,

shares ideas with the holistic philosophy that appeared during the sixties.

Jeppe Dall Gregersen (2b) Studieretningsopgave 11. marts 2012

1

Indholdsfortegnelse Indledning ................................................................................................................................................... 2

1960’erne og Per Nørgård ............................................................................................................................ 2

Matematiske begreber ................................................................................................................................ 3

Det gyldne snit ......................................................................................................................................... 3

Fibonaccital ............................................................................................................................................. 4

Analyse af 2. sats af Voyage into the Golden Screen .................................................................................... 6

Uendelighedsrækken ............................................................................................................................... 7

Som oplevelse .........................................................................................................................................10

Fortolkning .................................................................................................................................................11

Konklusion ..................................................................................................................................................12

Litteraturliste ..............................................................................................................................................13


2

Indledning

Et værk som Voyage Into the Golden Screen er svært at forstå, hvis man ikke kender til de idéer og

strukturer det bygger på. Derfor bliver det nødvendigt at inddrage matematikken, og denne opgave er

altså et forsøg på at forstå Voyage Into the Golden Screen ved at arbejde tværfagligt i fagene musik og

matematik. I opgaven vil jeg:

- gøre rede for væsentlige musikhistoriske træk i 1960’erne og lave en kort præsentation af Per

Nørgård som komponist på denne baggrund.

- gøre rede for væsentlige matematiske begreber, herunder det gyldne snit og Fibonaccital.

- foretage en analyse af 2. satsen af Voyage Into the Golden Screen.

- diskutere og vurdere hvordan de musikalsk-matematiske systemer spiller ind på oplevelsen og

fortolkningen af værket.

Jeg vil starte med at redegøre for de begreber, der er nødvendige for at forstå analysen, derefter be-

handle 2. satsen af Voyage into the Golden Screen og til sidst slutte af med en diskussionsdel.

Som hovedkilder benytter jeg bøgerne De(t) gyldne snit - i kunst, natur og matematik af Jesper

Frandsen og Ny musik efter 1945 af Palle Andkjær Olsen, begge udgivet af Systime. Sammen giver bø-

gerne en god baggrund for forståelsen af værket, og sidstnævnte har været uundværlig i forståelsen af

uendelighedsrækken.

1960’erne og Per Nørgård

60’erne var inden for den klassiske musik præget af et opgør med den musik, der var opstået omkring,

og efter de to verdenskrige. I efterkrigstiden gjorde musikken totalt op med fortiden, og blev utrolig

kompleks og svær tilgængelig. Dette gælder fx serialismen og tolvtonemusikken. I 60’erne blev musik-

ken lettere tilgængelig, simplere og fokuserede i højere grad på hørbare systemer og konstruktioner.

Minimalismen, der opstod med bl.a. Terry Riley og Steve Reich, er et godt eksempel på tendensen mod

en simplere musik. Inspirationen blev i stigende grad også hentet fra tidligere klassisk musik, etnisk

musik og populærmusikken. 60’erne er også kendt for den nye ungdomskultur, der opstod med en

ungdom der interesserede sig for bevidsthedsudvidelse, og som forsøgte at gøre op med mange af de

eksisterende autoriteter.

Dette gør sig på sin vis også gældende for Per Nørgård, der, i protest mod det Kongelige Musik-

konservatoriums konservatisme, i en periode underviste i Aarhus. Nørgård begyndte også at interes-

sere sig for sammenspillet mellem musik og bevidsthed, og fokuserede i flere værker på perceptionen

af musikken. I det hele taget har Nørgård igennem sin karriere haft forskellige indgangsvinkler til mu-

sikken, og befandt sig i slutningen af 60’erne i en periode hvor han beskæftigede sig med ”tilstandsmu-


3

sik” og ”hierarkisk musik”.1 Dette falder sammen med at der i 60’erne også opstod interesse for en ny

holistisk tænkning, en form for helhedstænkning, der gør op med tidligere verdensopfattelser.2 En

større helhed kommer i høj grad også til udtryk i Nørgårds værker, hvor man kan finde såkaldte

”selvsimilære strukturer”. En strukturtype hvor helheden er rummet i enkeltdelene. Dette gør sig gæl-

dende i 2. sats af værket Voyage into the Golden Screen, der er skrevet for et mindre orkester i 1969.

Matematiske begreber

For at kunne forstå strukturerne i Voyage into the Golden Screen er det nødvendigt at se nærmere på

en række matematiske principper.

Det gyldne snit

Det gyldne snit er defineret ved:

𝑎 + 𝑏

𝑎=

𝑎

𝑏

Hvor 𝑎 og 𝑏 er linjestykker på en linje 𝐴𝐵 og delt af punktet 𝐶. Punktet 𝐶 deler herved hele linjestykket

i ”det gyldne snit”.

For at finde en talværdi for dette forhold, kan ovenstående omskrives til en ligning i 𝑎

𝑏 . Først ganges

med 𝑎 og 𝑏 på begge sider af lighedstegnet:

𝑎 + 𝑏

𝑎=

𝑎

𝑏⇔ 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2

Herefter flyttes alle led til samme side af lighedstegnet, så de tilsammen er lig 0:

𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 ⇔ 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 0

Da målet er at finde forholdet mellem 𝑎 og 𝑏 , divideres ligningen med 𝑏2:

𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑏2 = 0 ⇔𝑎2

𝑏2−

𝑎𝑏

𝑏2−

𝑏2

𝑏2= 0 ⇔ (

𝑎

𝑏)

2

−𝑎

𝑏− 1 = 0

Det viser sig nu at være en andengradsligning med 𝑎

𝑏 som ubekendte, og denne kan derfor løses som en

normal andengradsligning. Diskriminanten udregnes:

𝑑 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −12 − 4 ∗ 1 ∗ −1 = 5

Da rødderne til en andengradsligning med positiv diskriminant er givet ved:

𝑥 =−𝑏 ± √𝑑

2𝑎

er ligningens løsning:

𝑎

𝑏=

1 + √5

2 ˅

𝑎

𝑏=

1 − √5

2

1 http://www.pernoergaard.dk/da/stil/stilperioder.html 2 Andkjær, 2001, s. 181-193


4

Disse tal viser sig at være vigtige. De navngives og en tilnærmet værdi udregnes:

Φ=1 + √5

2= 1,618034

Φ'=1 − √5

2= −0,618034

Forholdet mellem linjestykkerne 𝑎 og 𝑏 må dog være positivt, da 𝑎 og 𝑏 er linjestykker og derfor posi-

tive tal. Derfor har vi at:

𝑎

𝑏= Φ = 1,6180343

Fibonaccital

Fibonaccifølgen er defineret som den talrække (F1, F2, F3, ...,Fn, ...) hvorom det gælder at 𝐹1 = 𝐹2 = 1 og

at 𝐹𝑛+1 = 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛 for 𝑛 > 1. 𝐹𝑛 kaldes det n’te Fibonaccital.

Fibonaccifølgen er altså den talrække, hvor et givent tal er summen af de to foregående. Med andre ord

er Fibonaccifølgen dannet ved rekursion, det at resultatet af en beregning anvendes i den næste be-

regning.

De første tal i Fibonaccifølgen kan hurtigt findes i Excel. Først indtastes 𝐹1og 𝐹2 i to naboceller (i

følgende eksempel B2 og C2). Derefter indtastes formlen = 𝐵2 + 𝐶2 (svarende til 𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛 i definitio-

nen) i cellen D3. Denne formel kopieres til de næste celler ved at trække i cellens nederste højre hjør-

ne.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Fn+1/Fn (an) 1 2 1,5 1,666667 1,6 1,625 1,615385 1,619048 1,617647 1,618182

Fn/Fn+1 1 0,5 0,666667 0,6 0,625 0,615385 0,619048 0,617647 0,618182 0,617978

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

1,617978 1,618056 1,618026 1,618037 1,618033 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034

0,618056 0,618026 0,618037 0,618033 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418 317811 514229 832040

1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034 1,618034

0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034 0,618034

3 Frandsen, 2010, s. 9


5

I de to nederste rækker er forholdet mellem et tal i Fibonaccifølgen og det foregående tal, samt forhol-

det mellem et Fibonaccital og det efterfølgende, udregnet. Den indtastede formel i celle B3 er således =

𝐶2/𝐵2 og den indtastede formel i B4 er = 𝐵2/𝐶2. Brøken 𝐹𝑛+1

𝐹𝑛 navngives 𝑎𝑛.

I række 3 kunne det se ud som om resultatet nærmer sig Φ jo større 𝑛 bliver. For 𝑛 = 16 ses det at

𝑎𝑛 = 1,618034, så her passer alle de decimaler der her er opgivet med Φ. For at finde ud af om græn-

seværdien for 𝑎𝑛 virkelig er Φ, når 𝑛 går mod uendelig, tages der udgangspunkt i definitionen af Fi-

bonaccitallene:

𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛+1

Dette omskrives ved at dividere med 𝐹𝑛 på begge sider af lighedstegnet:

𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛 = 𝐹𝑛+1 ⇔𝐹𝑛−1 + 𝐹𝑛

𝐹𝑛=

𝐹𝑛+1

𝐹𝑛⇔ 1 +

𝐹𝑛−1

𝐹𝑛=

𝐹𝑛+1

𝐹𝑛

Nu ønskes ligningen omskrevet, så 𝐹𝑛 ikke optræder. Et substitut for 𝐹𝑛−1

𝐹𝑛 kan findes ved at tage ud-

gangspunkt i 𝑎𝑛:

𝑎𝑛 =𝐹𝑛+1

𝐹𝑛⇔ 𝑎𝑛−1 =

𝐹𝑛

𝐹𝑛−1⇔

𝑎𝑛−1

1=

𝐹𝑛

𝐹𝑛−1⇔

1

𝑎𝑛−1=

𝐹𝑛−1

𝐹𝑛

Da 𝑎𝑛er defineret som𝐹𝑛+1

𝐹𝑛 og da et substitut for

𝐹𝑛−1

𝐹𝑛 er fundet, kan ligningen nu omskrives så 𝐹𝑛 ikke

optræder:

1 +𝐹𝑛−1

𝐹𝑛=

𝐹𝑛+1

𝐹𝑛⇔ 1 +

1

𝑎𝑛−1= 𝑎𝑛

Når 𝑛 bliver stor nok, nærmer 𝑎𝑛 og 𝑎𝑛−1 sig begge grænseværdien, og da det er denne vi er interesse-

rede i at finde, kan begge erstattes med 𝑥:

1 +1

𝑎𝑛−1= 𝑎𝑛 ⇔ 1 +

1

𝑥= 𝑥

Dette omskrives nu til en andengradsligning ved at gange med 𝑥 på begge sider af lighedstegnet:

1 +1

𝑥= 𝑥 ⇔ 𝑥 + 1 = 𝑥2 ⇔ 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0

Denne ligning, dog hvor 𝑎

𝑏 erstatter 𝑥, så vi under udregningen af forholdet mellem linjestykkerne

𝑎 og 𝑏. Da Φ var defineret som dette forhold må også 𝑥2 − 𝑥 − 1 = 0 give løsningen Φ. Det ønskede er

derfor vist. Det gælder altså at:

𝑎𝑛 =𝐹𝑛+1

𝐹𝑛=→ 𝛷 for 𝑛 → ∞4

Dette betyder, at forholdet mellem et Fibonaccital og det forgående tal i Fibonaccifølgen, er det samme

som forholdet mellem de to linjestykker på en linje, der er delt i det gyldne snit.

4 Grøn, s. 9-10


6

I række 4 ses ligeledes at tallene nærmer sig et specielt tal, nemlig 0,618034. Decimalerne er nøj-

agtigt de samme som i både Φ og Φ’. Dette tal svarer til 𝑏

𝑎, den omvendte brøk af

𝑎

𝑏, da:

𝐹𝑛+1

𝐹𝑛=

𝑎

𝑏⇒

𝐹𝑛

𝐹𝑛+1=

𝑏

𝑎

Afsættes tallene 𝑎1til 𝑎6 på en tallinje, opnås en grafisk fremstilling af udviklingen af 𝑎𝑛. Nedenstående

tallinje er et eksempel på dette, og er lavet i GeoGebra. Punktet A har værdien 1 og B har værdien 2.

Det kan ses at punkterne på linjen centrerer sig om et bestemt punkt, nemlig Φ, der befinder sig et

sted mellem E og F. Hyppigheden af punkterne tiltager jo nærmere på linjen man kommer Φ. For-

skellen mellem 𝑎1 og 𝑎2 er altså større end forskellen mellem 𝑎2 og 𝑎3.

Analyse af 2. sats af Voyage into the Golden Screen

2. sats af Voyage into the Golden Screen er overordnet inddelt i 3 dele. Første del er en intro på 7 takter,

herefter følger en hoveddel der varer 128 takter, og til slut en outtro på 3 takter. Introen er igen delt i

to dele med varighederne 5 og 2 takter. I alt består satsen af 138 takter.

I de første 5 takter består besætningen af to fløjter, obo, klarinet, fagot, to f-horn, to c-trompeter og

en basun. Disse instrumenter har alle blot et enkelt anslag, men holder tonerne til slutningen af de

første 5 takter. Deres indsats er dog forskudt, og samlet set dannes derfor konturerne af en melodi.

Flere af instrumenterne anvender glissando, og falder først på plads i melodien efter deres indsats. Det

er næsten som om, de søger efter deres rette plads. Noteres tonerne i rækkefølge efter hvornår de op-

træder, findes tonerækken: g, as, ges/fis, a, as, g, f og b. Denne er dog noget utydeligt fremstillet, fx spil-

ler det første f-horn tonen ges på 3-og slaget i takt 2. Det er to og et halvt slag efter det første ges, og

efter det første a, den næste tone i rækken.

I takt 5 dør tonerne ud og en vibrafon, der spiller tætbeliggende toner i et højt tempo, høres tilba-

getrukket i lydbilledet. I takt 6 og 7 gentages så tonerækken fra de første fem takter. Her skiftes fagot

og klarinet om at spille melodiens toner i et hurtigere tempo end tidligere. Udover vibrafonen er de

andre instrumenter tavse. Dette gør at melodien er noget tydeligere end i første del af introen.

I hoveddelen af satsen, omtrent de næste 128 takter, består besætningen af to fløjter, obo, klarinet,

fagot, to horn, to trompeter, harpe, en strygergruppe samt basun, chimes og klaver. Alle instrumenter-

ne har her, som vi skal se, roller der kan beskrives meget simpelt. 2. satsen af Voyage er nemlig bygget

op om et simpelt, men bestemt ikke uinteressant, matematisk system. Fløjtestemmen er en kontinuer-

lig strøm af 8. dele, der spiller de første 1024 toner af en uendelig række, den samme række der i to


7

omgange blev spillet de otte første toner af i introen. For at forstå denne række, er det nødvendigt at se

på hvordan den er konstrueret.

Uendelighedsrækken

Den første tone, g, og den anden tone, as, er bestemt fra starten, og er så at sige udgangspunktet for

resten af tonerækken. Resten af rækken består af en understemme, der tager udgangspunkt i første

tone, og en overstemme, der tager udgangspunkt i anden tone, således at en ny tone skiftevis tilhører

overstemmen og understemmen. For at finde den tredje tone i rækken, tages det første interval, den

lille sekund mellem g og as, og ”omvendes”. Dette interval afsættes så fra den sidste tone i under-

stemmen, her første tone. Det betyder, at den tredje tone bliver en lille sekund under den forrige tone,

altså fis. Den fjerde tone findes også ved at tage udgangspunkt i det første interval, men her retvendes

dette, og afsættes fra den sidste tone i overstemmen, her anden tone. Fjerde tone bliver således a, en

lille sekund over as. Det letter forståelsen at følge med i takt 8 i noden (vedlagt som bilag).

En tone i rækken afsættes altså altid fra den sidste tone i den stemme den tilhører, og intervallet

er for understemmen en omvending, og for overstemmen en retvending, af det næste interval i ræk-

ken. Et interval afsættes både i understemmen og overstemmen, og da det derfor er udgangspunkt for

to toner, betyder det at der bliver længere og længere mellem et interval, og dets retvending og om-

vending. Forsøger man at finde et udtryk for en given tones værdi i forhold til udgangspunktet, kan

man fx give starttonen, g, værdien 0 og vil da finde frem til noget i stil med følgende:

𝑡1 = 0, 𝑡2 = 1

og

𝑡𝑛 = 𝑡𝑛−2 − (𝑡𝑛+12

− 𝑡𝑛+12

−1) for 𝑛 = ℎ ∗ 2 + 1

og

𝑡𝑛 = 𝑡𝑛−2 − (𝑡𝑛2

− 𝑡𝑛2

−1) for 𝑛 = ℎ ∗ 2

Hvor tonen 𝑡1 er den første tone i rækken, tonen 𝑡2 er den anden tone i rækken osv., og hvor en værdi

på 1 svarer til tonen as, en værdi på -1 svarer til fis osv. ℎ er et helt, lige tal. Som det fremgår af form-

len, skal man bruge resultaterne af andre udregninger for at finde frem til en tones værdi. Tonerækken

er altså rekursiv på samme måde som Fibonaccifølgen.

Det viser sig, at denne uendelighedsrække besidder nogle egenskaber, som stort set er unikke. Andre

rækker kan have lignende egenskaber, men ikke dem alle.5 En af egenskaberne ved rækken er at den

er selvsimilær, der som tidligere nævnt, betyder at helheden optræder i enkeltdelene. Dette lyder må-

ske underligt, men man bliver overbevist, hvis man fx ser på hornstemmen. Som det kan ses i takt 8-

5 http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/uene.html


8

11, spiller den med på hver fjerde tone i fløjtestemmen, og tonerne den herved spiller bliver så: g, as,

fis, a, as, g, f og b. Altså de første otte toner af uendelighedsrækken. På samme måde som med denne

stemme, findes den originale melodi i sig selv i mange variationer. Dvs. i andre tempoer, i transponeret

form og i retvending eller omvending. Undersøges det hvornår disse gentagelser optræder, finder man

at de følger et bestemt mønster.

Hvis en stemme spiller hver 2. tone af den hurtigste version af uendelighedsrækken, her fløjte-

stemmen, bruger Nørgård udtrykket at den spiller 2. bølgelængde. 4. bølgelængde svarer så til at hver

4. tone spilles osv. Det viser sig at for bølgelængde 2 gælder det, at der med udgangspunkt i fløjte-

stemmens to første toner, kan laves variationer af den originale række, enten retvendt eller omvendt.

For bølgelængde 4 gælder det at der kan laves variationer med udgangspunkt i fløjtestemmens første

4 toner osv. Det viser sig også, at der gælder et system for hvornår, en variation vil blive retvendt, eller

omvendt. For 2. bølgelængde gælder det, at den første variation er omvendt, og at den næste variation

er retvendt. For 4. bølgelængde gælder det, at det for de to første variationer, den første halvdel af 4.

bølgelængdes 4 variationer, forholder sig omvendt af 2. Bølgelængdes variationer, og at det for den

sidste halvdel, forholder sig på samme måde som med 2. bølgelængdes variationer. Dette er lettere at

forstå grafisk. Her er opskrevet variationerne for de første bølgelængder, og hvorvidt de er omvendt

(o) eller retvendt (r):

1. r

2. o r

4. r o o r

8. o r r o r o o r

Ser man på de andre instrumenter, viser det sig at de alle spiller en bestemt bølgelængde af den oprin-

delige melodi. Klarinetten spiller 2. bølgelængde med udgangspunkt i as, oboen og hornene spiller 4.

bølgelængde med henholdsvist udgangspunkt i a og g, harpen spiller 8. bølgelængde med udgangs-

punkt i b, fagotten spiller 16. bølgelængde med udgangspunkt i f, strygerne spiller 32. bølgelængde

med udgangspunkt i fis, trompeterne spiller 64. bølgelængde med udgangspunkt i cis og basun, chimes

og klaver spiller bølgelængde 256 med udgangspunkt i es. Følgende er et skema over variationerne i

de forskellige bølgelængder. Igen betyder ”o” omvendt og ”r” retvendt. Systemet i skemaet er udledt på

baggrund af en række observationer. Instrumenterne er skrevet på, ved den variation de spiller.

Trompeter samt basun, chimes og klaver er ikke med, da det ville kræve et meget stort skema.


9

Det er bemærkelsesværdigt, at alle stemmerne er retvendte udgaver af rækken, og man må formode at

dette er et bevidst valg af Nørgård. Havde et instrument spillet fx bølgelængde 3 eller 5, ville det ikke

være en variation af den oprindelige melodi6, og havde klarinetten taget udgangspunkt i første tone, g,

og ikke as, ville den have spillet den omvendte melodi. Det ses også at alle instrumenterne spiller bøl-

gelængder, der svarer en fordobling af et andet instruments bølgelængde. Kun bølgelængde 128 er

sprunget over.

Af det system som ovenstående skema er et udtryk for, kan det også udledes at hver eneste tone i

rækken i princippet er stamtone til et uendeligt antal nye variationer af den originale række. Det er

svært at forstå konsekvenserne af dette system, men det er klart, at det bidrager til satsen med en

utrolig form for helhed. Denne form for struktur kaldes et åbent hierarki. Et åbent hierarki har ikke

nogen endelig top eller bund, og hvert lag, er således ikke anderledes end de andre. I princippet kunne

man tilføje en stemme der spillede uendelighedsrækken i 16. dele, og så ville fløjtestemmen være 2.

bølgelængde. Fløjtestemmen kan altså ikke rigtigt opfattes som et udgangspunkt, men nærmere som

en del af helheden.

Per Nørgård har lavet en såkaldt ”tonespiral” der også udemærket viser den sammenhæng uendelig-

hedsrækken skaber. Spiralen består af en foldet nodelinje, hvor en omgang altid består af 16 toner. På

den måde kan man se alle de 16 variationer, der kan laves for bølgelængde 16, ved at tage udgangs-

punkt i en af de inderste toner, og gå ”direkte” ud igennem spiralen. Kigger man på de streger Nørgård

har tegnet, viser det sig, at der er fire typer af streger som alle går igennem tre forskellige toner. En går

igennem c, e og as, en går igennem cis, f og a, en går igennem d, fis og b og en går igennem es, g og h.

Dette svarer alle sammen til forstørrede treklange, og tilsammen udgør de alle 12 toner. Stregerne

6 http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/uendelig/u35.html

Starttone 1. 2. 4. 8. 16. 32.

1 r (fløjter) o r (f-horn) o r o

2 r (klarinet) o r o r

3 o r o r (strygere)

4 r (obo) o r o

5 r o r

6 o r o

7 o r (fagot) o

8 r (harpe) o r

9 o r

10 r o

11 r o

12 o r

13 r o

14 o r

15 o r

16 r o


10

danner et tilnærmelsesvist symmetrisk mønster, og viser på den måde at der på tværs af tiden er sy-

stem i tonernes klang.

Som oplevelse Når man lytter til 2. sats af Voyage into the Golden Screen, er det ikke sikkert at man ved hvilke syste-

mer der danner grundlaget for melodierne, men alligevel kan uendelighedsrækken og dermed satsen

opleves som værende umiddelbar æstetisk. Dermed ikke sagt at den er let at lytte til, men det at den

består af nogle gentagne mønstre gør den ”lytteegnet”. Var uendelighedsrækken konstrueret på en

anden måde, ville den højst sandsynligt blive opfattet meget anderledes.

Et eksempel på hørbarheden af systemet findes i fløjtestemmen. Denne skiftevis udvider og sam-

mentrækker sig i et organisk forløb. Hvis man ser på melodien som bestående af tonepar, en tone fra

understemmen og den næste tone fra overstemmen, er det interval parret består af, altid større eller

mindre end det forrige, og nye intervaller optræder altid efter et systematisk mønster. I takt 8 ses det

at det sidste tonepar består af intervallet en kvart. Det er første gang dette interval optræder. Tone-

parret efter dette er trukket sammen, og består af den lille terts fra fis til a. Det næste par er trukket

endnu mere sammen og består af den lille sekund fra g til as. Herefter begynder udvidelsen igen, og

det sidste tonepar i takt 9 består således af kvinten fra e til h, et interval der ikke før er hørt. Det be-

mærkes, at det nye interval første gang høres efter lige så lang tid fra det sidste nye interval, som dette

var fra starten af tonerækken, og sådan er det hele vejen igennem. Det næste interval, en stor sekst fra

es til c, optræder så i slutningen af takt 11 og intervallet derefter, en stor septim fra d til cis, høres før-

ste gang i slutningen af takt 15. En anden hørbar egenskab ved rækken er, at den sidste tone i takten

meget ofte er en af de højeste. Den opadgående bevægelse dette skaber, kan næsten opfattes som et

motiv.

Takt 8-11 kan også give et godt overblik over instrumentenes indbyrdes rytmik. Udover fløjten er

de to mest aktive instrumenter klarinetten og oboen. Klarinetten markerer alle og-slagene og oboen

markerer 2-og og 4-og slagene. Altså spiller de begge off-beat. Hornet markerer 1- og 3-slagene, og er

det eneste instrument udover fløjten, der kan siges at markere pulsen. Harpen er det sidste instrument

der har et anslag i hver eneste takt og markerer 4-og slaget. I alt er der en overvægt af off-beat marke-

ringer, og især er det 4-og slaget hvor der er mange markeringer. Dette falder sammen med at fløjte-

stemmens højeste tone, som vi før har set, i hver takt ofte ligger på 4-og. Desuden falder trompeternes

anslag og, med endnu længere imellem sig, også gruppen af basun, chimes og klaver på 4-og slag. Disse

instrumenter der har de korteste bølgelængder, og derfor optræder sjældnest, er også de tydeligste og

mest påtrængende. Kun de fire første toner i uendelighedsrækken, (transponeret en lille sekst op til

es) når at blive spillet af basun, chimes og klaver. Den sidste af disse (takt 135) markerer afslutningen

på satsen, og er ekstra betonet, da flere af de andre instrumenter, som det eneste sted i hoveddelen,


11

viger fra den matematiske struktur umiddelbart inden slaget ved at stige i aktivitetsniveau og ved at

spille større intervaller. Forskellen kan tydeligt ses i nodebilledet ved at sammenligne med takt 39,

hvor den første af disse kraftige enklange opstår.

Det er også interessant at se på forholdet mellem nodeværdierne og nodepauserne i de forskellige

stemmer, her har Nørgård nemlig også benyttet sig af matematikken. Fagotten holder alle toner i fem

fjerdedele, mens pauserne varer tre fjerdedele. Dette er begge Fibonaccital og divideres længden med

pausen fås 1,67 , altså tilnærmet Φ. Det samme gælder for harpen. Gøres det samme med trompeterne,

fås tallet 0,56, der omtrentligt svarer til den omvendte brøk af 𝑎

𝑏 fra beregningerne af Φ. Det betyder at

det her er pausen, der er den største del af helheden. Deles pausen med nodelængden, fås da også

værdien 1,78 , igen tilnærmet Φ.

Fortolkning

Hvad Per Nørgård forsøger at udtrykke med Voyage into the Golden Screen kan være svært at sige præ-

cist. Når man kender til strukturerne bag 2. sats, kan det næsten virke som om den mest af alt har ka-

rakter af at være et forsøg, og at Per Nørgård på den måde egentligt ikke er særligt til stede i værket.

Komponisten har jo truffet en række valg og opstillet et system, men derefter har satsen stort set skre-

vet sig selv. Ikke desto mindre er det nogle vigtige valg Nørgård har truffet, og som det er set er den

uendelighedsrække han har fundet frem til ganske unik. Den er skabt af et matematisk system, men

besidder alligevel traditionelle oplevelseskvaliteter. Man kan tydeligt høre at der er en form for struk-

tur både i satsens melodi, men også i dens form. Det er umiddelbart svært at snakke om en form i sat-

sen, for det har den jo egentligt ikke, men i kraft af de kraftige enklange der opstår med jævne

mellemrum, har man fornemmelsen af en inddeling. At inddelingen er betinget af melodien, ja sådan

set er en del af den, er også bemærkelsesværdigt og vidner om den allestedsværende helhed der er i

satsen.

Det er muligt, at nogle lyttere vil kunne opfatte og forstå denne helhed på et højere niveau end

andre, for når man ser på den matematisk, er der jo næsten uendeligt mange sammenhænge, både i

fløjtestemmen alene, men også stemmerne imellem. På den måde kan satsen næsten siges at have et

utømmeligt oplevelsesmæssigt potentiale. Perceptionen af musikken er i fokus. Det er også interes-

sant, hvorfor Nørgård har valgt at lade de instrumenter, der spiller andre bølgelængder end fløjten,

holde deres toner længere end en 8. del. Dette gør at musikken får en mere flydende og udvisket ka-

rakter end den havde haft, hvis alle instrumenter blot havde suppleret fløjtestemmens toner. Hvis

Nørgård havde valgt det sidste, ville han dog have accepteret at fløjtestemmen var mere betydnings-

fuld end de andre, og dette ville jo betyde en mindre grad af helhed og stride mod værkets karakter af

et åbent hierarki. Det må altså også være af vigtighed for Nørgård, at der er en gennemgående helhed i


12

værket. Nørgård så på de åbne hierarkier, som noget der også kunne give en forståelse for menneske-

livet og hele verdens opbygning7, og i det lys må det antages at Voyage into the Golden Screen er skabt

som noget der undersøger, eller i hvert fald kan give en større forståelse for verden, set i et holistisk

perspektiv.

Konklusion

I 1960’erne skete der i den klassiske musik et opgør med efterkrigstidens serialisme, der byggede på

nogle ret komplekse systemer. Per Nørgård skrev i 1969 værket Voyage into the Golden Screen, der

viser dette opgør tydeligt. Helt centralt i 2. sats er en uendelighedsrække, der er bygget på en simpel

matematisk struktur der er skabt ved rekursion, og som besidder oplevelsesmæssige kvaliteter der

ikke fandtes i serialismen. Til fælles med serialismen har værket en fast struktur, men hos Nørgård kan

man høre systemerne. I værket kan man også finde gyldne snit, der ligeledes sætter fokus på oplevel-

sen af systemer i musikken. De matematiske principper der danner grundlaget for 2. sats, har omfat-

tende strukturelle og oplevelsesmæssige konsekvenser for musikken, og medfører at værket får

karakter af et åbent hierarki, der besidder den specielle egenskab, at helheden kan findes i enkeltdele-

ne. Dette falder sammen med en ny holistisk tænkning der opstod i 60’erne, og værket kan netop siges

at give en forståelse for denne livsanskuelse.

7 Andkjær, 2001, s. 237


13

Litteraturliste

- Andkjær Olsen, Palle m.fl.: Ny musik efter 1945, Systime, 1. udg. 2001.

- Frandsen, Jesper: De(t) gyldne snit - i kunst, natur og matematik, Systime, 3. udg. 2010.

- Grøn, Bjørn: Det gyldne snit og Fibonacci-tallene.

- Kullberg, Erling m.fl.: ”Strukturer i musikken”,

http://www.pernoergaard.dk/da/strukturer/strukturindhold.html, 11.03-2012

- Nørgård, Per: Rejse ind I den gyldne skærm, Edition Wilhelm Hansen, 1969. (vedlagt som bilag)

Documents

SRO: Voyage Into the Golden Screen