Embed Size (px)
Citation preview
Spoštovani bralci!
Pred nami je prva številka 15. letnika Logike & razvedrilna matematike, revije za mlade navdušence nad logiko in matematiko. V tem letniku bomo stopnjevali obseg prilog, tako da bomo eno ali dve številki popolnoma posvetili mrežam teles. Ugotovili smo namreč, da je število izdanih knjig, obseg revij in internetnih možnosti za utrjevanje logike izjemno in da lahko z obstoječim materialom posameznik dan in noč rešuje samo logične naloge. To seveda ne pomeni, da je področje logike izčrpano. Nasprotno, logika je danes eno od lepo razvijajočih se znanstvenih področij, in če se bo pojavila kakšna tema, primerna za šole, jo bomo objavili. Nasprotno je področje poliedrov, to je teles z ravnimi mejnimi ploskvami, s slovensko literaturo slabo pokrito in tudi v izobraževanju učiteljev matematike ni razvidno, da bi se temu področju posvečala kakršnakoli pozornost. Sumimo celo, da bodoči učitelji sploh niso seznanjeni z uniformnimi poliedri, fleksibilnimi poliedri, ozvezdenji poliedrov, čeprav so poliedri (pravilni, delno pravilni) del več kot dvatisočletne tradicije. K tej disciplini so prispevali slavni matematiki Evklid, Arhimed, Kepler, Cauchy, Poinsot, Moebius, Coxeter, ... Zanimanje zanje pa so pokazali tudi umetniki Leonardo Da Vinci, Durer, Escher ... Lepota teh teles je razvidna iz slik na ovitku, ki smo jih našli na internetu na domači strani V. Bulatova. Veliko jih boste našli tudi na domači strani matematika in umetnika G. Harta. Tekmovalce v razvedrilni matematiki opozarjamo, naj spremljajo internetni strani http://torina.fe.uni-li.si/RM in http://torina.fe.uni-li.si/LinRM. Na koncu naj spomnimo tiste posameznike, ki ne želijo več biti naročniki revije, naj nam to na dopisnici tudi javijo. Cena revije bo v tem letu ostala nespremenjena. Poverjenike po šolah prosimo, da nam javijo novo število naročnikov do 10.10. 2005.
Izidor Hafner
Obvestilo Posameznikom bomo poslali račun, ki ga bo treba poravnati do 31.10.2005, saj potrebujemo natančno število izvodov za tisk druge številke. Za šole velja pri naročilih od 2 do 5 izvodov 5% popust, od 6 do 10 izvodov 10% popust, od 11 do 20 izvodov 15% popust in pri večjih od 20 do 25% popust. Popusti ne veljajo, če moramo revijo pošiljati na naslove posameznikov in posamično izstavljati račune. Za naročila večja kot 9 izvodov se dobi dodaten izvod, pri naročilih večjih od 19 izvodov pa še knjigo Modeli geometrijskih teles, ki jo pod enakimi pogoji kot revijo lahko naročite za ceno 1302 SIT.
2
VSEBINA Policaj, ropar, oče, mati, dva sina in dve hčeri 3333
Tradicionalni račun imen 5555
Logične naloge – svet Tarskega 18181818
Nagradna logična naloga 22221111
Logične naloge za vajo 23232323
O zvezdastih večkotnikih 29292929
Ozvezdenje poliedrov 33330000
Uniformni poliedri 38383838
Izdaja: Založniško podjetje LOGIKA d.o.o., Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik. Poslovni račun pri NLB: 02312-0016592829. Davčna številka: SI56917309. Podjetje je obvezni zavezanec po zakonu o DDV. Za izdajatelja: Izidor Hafner. Telefon: (01)8314 915. E-mail: [email protected]. Revija Logika & razvedrilna matematika je vpisana v register medijev pri Ministrstvu za kulturo pod številko 759. Revijo Logika in razvedrilna matematika subvencionira Ministrstvo za šolstvo in šport.
Glavni in odgovorni urednik: dr. Izidor Hafner. (torina.fe.uni-lj.si/~izidor) Člana časopisnega sveta: prof. dr. Tomaž Pisanski in Darjo Felda, prof. Sodelavci: mag. Urša Demšar, dr. Gregor Dolinar, Petra Grošelj, Monika Kavalir, mag. Meta Lah, Boštjan Kuzman, Dragoljub M. Milošević, Teja Oblak, Hiacinta Pintar, Maja Pohar, mag. Katka Šenk in dr. Aleš Vavpetič. Oblikovanje: Ana Hafner. Jezikovni pregled: Barbara Janežič Bizant. Strokovni pokrovitelj: Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko – oddelek za teoretično računalništvo. Generalni sponzor: Marand d.o.o., Zastopstvo Borland. Tisk: Tiskarna Littera picta, Rožna dolina c. IV/32-36, Ljubljana. Naklada: 1100 izvodov. 2005 LOGIKA d.o.o. ISSN 0354 – 0359 LOGIKA & RAZVEDRILNA MATEMATIKA letnik XV, št. 1, 2005/2006 Cena revije: letna naročnina 3650 SIT (8,5% DDV je vključen). Posameznih številk ne prodajamo. Naročnina za posameznike velja do pisnega preklica
3
POLICAJ, ROPAR, OČE, MATI, 2 SINOVA IN 2 HČERI Gotovo vsi poznate nalogico, kjer mora kmet čez reko prepeljati volka, kozo in zelje. Naenkrat je lahko v čolnu le kmet in še nekaj, poleg tega pa ne sme pustiti volka samega s kozo in tudi koze ne sme pustiti same z zeljem. No, pa ta nalogica ni nič v primerjavi z naslednjo. NAVODILA: 1. Cilj naloge je, da spravite vse osebe (policaj, ropar, oče, mama, 2 sinova in 2 hčeri) na drugo stran reke. 2. Na splavu sta lahko hkrati največ dva. 3. Splav lahko vozijo le mama, oče ali policaj. 4. Oče ne sme biti s hčerjo brez mame, sicer jo udari. 5. Mama ne sme biti s sinom brez očeta, sicer ga udari. 6. Ropar bo udaril kogarkoli, če ne bo zraven policaja. 7. Če je ropar sam na bregu, ne bo pobegnil. Pa veliko sreče! P.S. To nalogo najdete na spletnem naslovu http://freeweb.siol.net/danej/riverlQGame.swf. Začnete tako, da v uvodnem zaslonu kliknete na največji gumb. Klik na osebo povzroči, da se le-ta premakne na splav. Klik na rdeč gumb na drugi strani reke pa povzroči, da se premakne splav. Baje dajejo v nekaterih japonskih podjetjih to igrico v preigravanje potencialnim kandidatom za službo. Preden začnete igrati, poglejte na uro, da boste vedeli, kje v spodnji tabeli je vaše mesto: <4 minute GENIJ <6 minut IZREDNO INTELIGENTEN <10 minut ŠE KAR INTELIGENTEN <20 minut POVPREČNO INTELIGENTEN <25 minut MALCE POČASEN <30 minut oz. več ZABIT Rešitev:
LEVI BREG SMER SPLAVA DESNI BREG ZAČETEK M,O,P,R,S1,S2,H1,H2,s nič
1 � P,R M,O,S1,S2,H1,H2 P,R,s
2 P M,O,P,S1,S2,H1,H2,s R
4
3 �P,S1 M,O,S2,H1,H2 P,R,S1,s
4 P,R M,O,P,R,S2,H1,H2,s S1
5 �O,S2 M,P,R,H1,H2 O,S1,S2,s
6 O M,O,P,R,H1,H2,s S1,S2
7 �M,O P,R,H1,H2 M,O,S1,S2,s
8 M M,P,R,H1,H2,s O,S1,S2
9 �P,R M,H1,H2 O,P,R,S1,S2,s
10 O M,O,H1,H2,s P,R,S1,S2
11 �M,O H1,H2 M,O,P,R,S1,S2,s
12 M M,H1,H2,s O,P,R,S1,S2
13 �M,H1 H2 M,O,P,R,S1,S2,H1,s
14 P,R P,R,H2,s M,O,S1,S2,H1
15 �P,H2 R M,O,P,S1,S2,H1,H2,s
16 P P,R,s M,O,S1,S2,H1,H2
17 �P,R KONEC nič M,O,P,R,S1,S2,H1,H2,s
M...mati, O...oče, P...policaj, R...ropar, S1...prvi sin, S2...drugi sin, H1 prva hči, H2...druga hči, s...splav
Katka Šenk
5
Tradicionalni račun imen Tako imenujemo logiko imen ali terminov, ki jo je razvil grški filozof
Aristotel, sicer tudi učitelj Aleksandra Makedonskega. Račun imen proučuje odnose med t. i. kategoričnimi stavki. Te delimo na: 1) splošno trdilne, ki imajo obliko »Vsak S je P« 2) delno trdilne, ki imajo obliko »Vsaj en S je P« (Nekateri S so P), 3) splošno nikalne, ki imajo obliko »Noben S ni P« (Ne obstaja S, ki je P) 4) delno nikalne, ki imajo obliko »Vsaj en S ni P« (Nekateri S niso P). Imeni ali termina S in P imenujemo subjekt in predikat stavka. V računu imen se uporabljajo naslednji zapisi kategoričnih stavkov: S a P ª Vsak S je P. S i P ª Vsaj en S je P. S e P ª Noben S ni P. S o P ª Vsaj en S ni P. Glede na pomene stavkov lahko njihovo resničnost ponazorimo z diagrami. Najbolj znani so Vennovi diagrami, vendar bomo tokrat uporabili Carrollove diagrame.
S
S'
P P'
I II
III IV
S
S'
P P'
Pogovorno področje, to je množico vseh reči, o katerih se pogovarjamo, razdelimo na štiri dele. Prvi del predstavlja tiste reči, ki imajo tako lastnost S kot P. Drugi del so tiste, ki imajo lastnost S, nimajo pa lastnosti P. Oznaka P’ je oznaka za komplement ali negacijo imena P. Tretji del so reči, ki nimajo S, imajo pa P, in četrti tiste reči, ki nimajo ne S ne P. Osenčeno področje pomeni, da tam ni nobene reči. V našem primeru ne obstaja S, ki bi bil P. To, da obstaja S, ki je P, zaznamujemo s + .
+S
S'
P P'
+S
S'
P P'
6
Zadnji diagram pove, da obstaja vsaj en S (ne vemo pa, ali je P ali P’). Glede na dogovorjeno lahko resničnost in neresničnost kategoričnih stavkov predstavimo s tabelo.
S o P +S
S'
P P'
S
S'
P P'
S e P S
S'
P P'
+S
S'
P P'
S i P +S
S'
P P'
S
S'
P P'
S a P S
S'
P P'
+S
S'
P P'
resnica neresnica
Iz tabele razberemo, da sta stavka S a P in S o P kontradiktorna (nasprotujoča si), to je, kadar je eden resničen, je drugi neresničen. Enako velja za stavka S i P in S e P. Seveda tudi brez diagrama lahko ugotovimo, da gre za negacije stavkov:
Vsak S je P. Obstaja S, ki ni P. Vsaj en S je P. Noben S ni P. Noben S ni P. Vsaj en S je P. Vsaj en S ni P. Vsak S je P.
To, da področje X ni prazno, lahko definiramo: Ex(X) ª X i X.
7
Silogizmi Silogizmi so pravila sklepanja, v katerih iz dveh kategoričnih stavkov (predpostavk ali premis) logično sledi tretji kategorični stavek (zaključek ali sklep). Nekateri silogizmi potrebujejo še predpostavko, da neko področje ni prazno. Sklep ima obliko S x P, S je subjekt in P predikat. Prva predpostavka ima obliko P y M ali M y P, druga pa S z M ali M z S. Termin M nastopa v obeh predpostavkah in se imenuje srednji termin. Terminoma S in P pa rečemo nižji in višji termin. Tudi premisama rečemo višja in nižja premisa. Glede na položaj srednjega termina razlikujemo štiri silogistične figure. I II III IV M P P M M P P M S M S M M S M S ------- ------ ------- ------- S P S P S P S P V vsaki figuri lahko postavimo a, i, e in o v tri stavke silogizma. To pomeni, da imamo v vsaki figuri 4⋅4⋅4=64 silogizmov. Tako je skupaj 256 silogizmov, vendar je le 24 logično pravilnih, 9 od the jih potrebuje še predpostavko o nepraznosti območja. 1. figura M a P S a M ----- S a P
M a P S a M Ex(S) ----- S i P
M a P S i M ----- S i P
M e P S a M ----- S e P
M e P S a M Ex(S) ----- S o P
M e P S i M ----- S o P
2. figura P a M S e M ----- S e P
P a M S e M Ex(S) ----- S o P
P a M S o M ----- S o P
P e M S a M ----- S e P
P e M S a M Ex(S) ----- S o P
P e M S i M ----- S o P
3. figura M a P M a S Ex(M) ----- S i P M a P
M i S ----- S i P M i P M a S
----- S i P M e P M a S Ex( M )
----- S o P M e P M i S ----- S o P
M o P M a S ----- S o P
8
S
S'
P P'
M'
M
4. figura P a M M a S Ex( P ) ----- S i P
P a M M e S ----- S e P
P a M M e S Ex( S ) ----- S o P
P i M M a S ----- S i P
P e M M a S Ex( M ) ----- S o P
Kako ugotovimo pravilnost oz. nepravilnost silogizma? Oglejmo si silogizem M e P S a M S e P Najprej moramo diagrame razširiti še za M in M’.
Reči z lastnostjo M predstavljajo točke, ki so blizu sredine, točke proti robu pa predstavljajo reči, ki nimajo lastnosti M. Tako je pogovorno področje podeljeno na 8 delov. To, da noben M ni P, označimo tako, da osenčimo (izpraznimo, izrežemo) tiste M, ki so v P.
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M
Pravilnost silogizma pomeni, da ni mogoče, da bi bili premisi resnični, zaključek pa neresničen. Negacija zaključka S e P, to je, da noben S ni P, je, obstaja S, ki je P, to je S i P. Na področje SP postavimo +.
P e M M i S ----- S o P
9
S
S'
P P'
M'
M
+
Diagram hkrati zahteva, da področje SP ni prazno (+) in da je prazno (osenčenje). To je seveda protislovje. Zato je silogizem pravilen. Oglejmo si silogizem: P e M S i M S o P
Negacija stavka S o P, to je, obstaja S, ki ni P, je, vsak S je P. Narišimo diagrame za premise in negacijo zaključka.
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M+
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M+
Tudi tokrat pridemo do protislovnosti premis in negacije zaključka. Silogizem je pravilen.
Zdaj zberemo vse tri diagrame skupaj:
S
S'
P P'
M'
M
+
10
Vzemimo zdaj silogizem P e M M e S S e P
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M
+ S
S'
P P'
M'
M
+
Tokrat diagram ne predstavlja protislovne situacije. Možno je, da sta premisi resnični, zaključek pa napačen oz. negacija zaključka resnična. Taki situaciji rečemo protiprimer. Če imamo reč z lastnostmi S, P in M’, sta premisi izpolnjeni, zaključek pa ni. Oglejmo si primer silogizma Vsak delfin je sesalec. Nobena riba ni delfin. Nobena riba ni sesalec. Tu so vsi trije stavki resnični vendar pa tretji stavek ne sledi logično iz prvih dveh. Če bi logično sledil, bi bil silogizem M a P S e M S e P pravilen. Da pa ni, je razvidno iz naslednjih diagramov.
11
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M
S
S'
P P'
M'
M
+ S
S'
P P'
M'
M
+
To pa ni protislovje. Če obstaja reč, ki je S, P in ni M, sta premisi resnični, zaključek pa je napačen. Silogizem ni pravilen.
Naloge
1. S pomočjo diagramov določi pravilnost oz. nepravilnost silogizmov. 1. figura
1.
M a P
S i M
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
2.
M a P
S e M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
3.
M i P
S a M
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
4.
M i P
S e M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
5.
M e P
S i M
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
6.
M e P
S i M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
12
7.
M e P
S o M
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
8.
M o P
S a M
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
9.
M o P
S i M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
10.
M o P
S i M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
2. figura
1.
P a M
S a M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
2.
P a M
S a M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
3.
P i M
S a M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
4.
P e M
S a M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
5.
P e M
S i M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
6.
P e M
S o M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
7.
P o M
S i M
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
8.
P o M
S i M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
9.
P o M
S e M
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
10.
P o M
S e M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
3. figura
1.
M a P
M a S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
2.
M a P
M i S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
13
3.
M a P
M e S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
4.
M a P
M e S
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
M
5.
M a P
M o S
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
6.
M i P
M a S
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
7.
M e P
M a S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
8.
M o P
M a S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
9.
M o P
M e S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
10.
M o P
M o S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
4. figura
1.
P a M
M a S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
2.
P a M
M i S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
3.
P i M
M a S
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
4.
P i M
M e S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
5.
P i M
M e S
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
M
6.
P i M
M e S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
7.
P e M
M a S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
8.
P e M
M a S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
14
9.
P e M
M i S
−−−−−
S a P
S
S'
P P'
M'
M
10.
P o M
M e S
−−−−−
S e P
S
S'
P P'
M'
M
2. V naslednjih stavkih določi termine silogizmov in z diagrami določi njihovo pravilnost oz. nepravilnost. 1. figura 1. Vsak lik v srednjem delu je lik na levi strani.Vsak lik v zgornjem delu je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik na levi strani. 2. Vsaj en lik v srednjem delu je lik na levi strani. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik na levi strani. 3. Vsaj en lik v srednjem delu je lik na levi strani. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 2. figura 1. Vsak lik na levi strani je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 2. Vsaj en lik na levi strani je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 3. Noben lik na levi strani ni lik v srednjem delu. Vsak lik v zgornjem delu je lik v srednjem delu. Vsak lik v zgornjem delu je lik na levi strani. 3. figura 1. Vsaj en lik v srednjem delu je lik na levi strani. Vsaj en lik v srednjem delu ni lik v zgornjem delu. Noben lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 2. Vsaj en lik v srednjem delu je lik na levi strani. Vsaj en lik v srednjem delu ni lik v zgornjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 3. Noben lik v srednjem delu ni lik na levi strani. Noben lik v srednjem delu ni lik v zgornjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu ni lik na levi strani. 4. figura 1. Vsak lik na levi strani je lik v srednjem delu. Vsaj en lik v srednjem delu ni lik v zgornjem delu. Vsak lik v zgornjem delu je lik na levi strani. 2. Vsaj en lik na levi strani je lik v srednjem delu. Vsak lik v srednjem delu je lik v zgornjem delu. Vsaj en lik v zgornjem delu je lik na levi strani. 3. Vsaj en lik na levi strani je lik v srednjem delu. Noben lik v srednjem delu ni lik v zgornjem delu. Noben lik v zgornjem delu ni lik na levi strani.
15
Rešitve 1. naloga 1. figura
1.
M a P
S i M
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
2.
M a P
S e M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
3.
M i P
S a M
−−−−−
S e P
++
S
S'
P P'
M'
4.
M i P
S e M
−−−−−
S o P
+S
S'
P P'
M'
5.
M e P
S i M
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
6.
M e P
S i M
−−−−−
S o P
+S
S'
P P'
M'
7.
M e P
S o M
−−−−−
S e P
++S
S'
P P'
M'
8.
M o P
S a M
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
9.
M o P
S i M
−−−−−
S i P
++S
S'
P P'
M'
10.
M o P
S i M
−−−−−
S o P
++S
S'
P P'
M'
2. figura
1.
P a M
S a M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
2.
P a M
S a M
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
3.
P i M
S a M
−−−−−
S i P
+S
S'
P P'
M'
4.
P e M
S a M
−−−−−
S i P
S
S'
P P'
M'
5.
P e M
S i M
−−−−−
S o P
+S
S'
P P'
M'
6.
P e M
S o M
−−−−−
S i P
+S
S'
P P'
M'
16
7.
P o M
S i M
−−−−−
S a P
+ ++S
S'
P P'
M'
8.
P o M
S i M
−−−−−
S o P
+ +S
S'
P P'
M'
9.
P o M
S e M
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
10.
P o M
S e M
−−−−−
S o P
+S
S'
P P'
M'
3. figura
1.
M a P
M a S
−−−−−
S a P
+S
S'
P P'
M'
2.
M a P
M i S
−−−−−
S e P
++S
S'
P P'
M'
3.
M a P
M e S
−−−−−
S a P
+S
S'
P P'
M'
4.
M a P
M e S
−−−−−
S o P
S
S'
P P'
M'
5.
M a P
M o S
−−−−−
S i P +S
S'
P P'
M'
6.
M i P
M a S
−−−−−
S i P
+S
S'
P P'
M'
7.
M e P
M a S
−−−−−
S e P
+S
S'
P P'
M'
8.
M o P
M a S
−−−−−
S e P
++
S
S'
P P'
M'
9.
M o P
M e S
−−−−−
S e P
++
S
S'
P P'
M'
10.
M o P
M o S
−−−−−
S a P +++S
S'
P P'
M'
4. figura
1.
P a M
M a S
−−−−−
S e P
+S
S'
P P'
M'
2.
P a M
M i S
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
17
3.
P i M
M a S
−−−−−
S i P
+S
S'
P P'
M'
4.
P i M
M e S
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
5.
P i M
M e S
−−−−−
S i P
+S
S'
P P'
M'
6.
P i M
M e S
−−−−−
S e P
++
S
S'
P P'
M'
7.
P e M
M a S
−−−−−
S a P
+S
S'
P P'
M'
8.
P e M
M a S
−−−−−
S e P
+S
S'
P P'
M'
9.
P e M
M i S
−−−−−
S a P
++S
S'
P P'
M'
10.
P o M
M e S
−−−−−
S e P
++S
S'
P P'
M'
2. naloga
1. figura 1. P, 2. N, 3. N. 2. figura 1. N, 2. N, 3. N. 3. figura 1. N, 2. N, 3. N. 4. figura 1. N, 2. N, 3. N
18
Logične naloge – svet Tarskega Običajno smo pri nalogah iz sveta Tarskega imeli stavke in svet,
ugotoviti pa smo morali vrednosti stavkov. Tokrat imamo stavke in
vrednosti, določiti pa moramo imena likov. 1. Ugotovi imena likov, če poznaš vrednost 20-tih stavkov v danem svetu. 1. Lik B je levo od D, če in samo če je lik D levo od E. 2. Lik B je večji kot D, če in samo če je lik C manjši kot E. 3. Lik B je večji kot C ali je lik C desno od E. 4. Lik C je manjši kot D in lik A je manjši kot E. 5. Lik B je desno od C ali je lik A nad E. 6. Če je lik A nad E, potem je lik B večji kot C. 7. Lik C je pod E, če in samo če je lik A manjši kot C. 8. Če je lik A desno od D, potem je lik A večji kot E. 9. Lik B je pod D ali je lik B večji kot E.
10. Lik A je levo od C ali je lik A desno od C. 11. Če je lik B levo od C, potem je lik D levo od E. 12. Lik C je nad D ali je lik D manjši kot E. 13. Lik A je nad B in lik B je pod C. 14. Ali je lik C desno od E ali je lik A pod E. 15. Lik A je manjši kot C ali je lik B večji kot E. 16. Lik A je manjši kot D ali je lik B pod C. 17. Lik B je večji kot C in lik A je pod D. 18. Lik D je levo od E ali je lik A pod D. 19. Lik B je pod D, če in samo če je lik B pod E. 20. Lik A je pod E, če in samo če je lik A pod E.
1. svet 2. svet
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
R R R N R N R R N R R N N R N N N N R R
N N R N R R R R R R R N N R R N R R R R
19
2. Ugotovi imena likov, če poznaš vrednost 20-tih stavkov v danem svetu.
1. Lik B ni velik, če in samo če lik F ni siv. 2. Lik D je petkotnik, če in samo če je lik B trikotnik. 3. Lik A je siv in lik C ni siv. 4. Lik E ni majhen ali lik B ni velik. 5. Ali je lik D srednje velikosti ali je lik D petkotnik. 6. Lik A je trikotnik ali je lik F srednje velikosti. 7. Če je lik A majhen, potem lik A ni majhen. 8. Lik D ni siv ali je lik F trikotnik. 9. Ali lik B ni petkotnik ali je lik A bel. 10. Lik B je siv in lik A je srednje velikosti.
11. Ali je lik F kvadrat ali lik E ni majhen. 12. Če je lik A majhen, potem je lik E petkotnik. 13. Če je lik D majhen, potem je lik B kvadrat. 14. Lik D ni petkotnik in lik F ni petkotnik. 15. Lik B je bel in lik E je srednje velikosti. 16. Če je lik B petkotnik, potem lik E ni petkotnik. 17. Lik B je kvadrat ali je lik D velik. 18. Lik A je petkotnik ali lik D ni majhen. 19. Lik F je velik ali je lik C bel. 20. Lik A je majhen in lik F je bel.
1. svet 2. svet
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
N R N N N R N R R N N N R N N R R R N R
N R R N N N R R R R N R R N N R R N R N
3. Ugotovi imena likov, če poznaš vrednost 20-tih stavkov v danem svetu. 1. Lik B je manjši kot G. 2. Lik A je večji kot B. 3. Lik B je desno od D. 4. Lik B je desno od C. 5. Lik B je nad G. 6. Lik E je pod G. 7. Lik C je levo od G.
8. Lik A je pod E. 9. Lik A je pod E. 10. Lik A je večji kot F. 11. Lik A je nad C. 12. Lik D je večji kot E. 13. Lik C je manjši kot D. 14. Lik B je pod E.
15. Lik C je desno od G. 16. Lik C je manjši kot G. 17. Lik C je manjši kot D. 18. Lik B je nad C. 19. Lik A je pod F. 20. Lik D je manjši kot E.
20
1. svet 2. svet
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
N N R R R N N R R N R N N R R N N N N N
N N N N N R N N N N N R R N R R R R R N
Rešitve 1.
A
B
C
D
E
1. svet
A
B
C
D
E
2. svet
2.
A
B
C
D
E
F
1. svet
A
B
C
D
E
F
2. svet
3.
A
B
C
D
E
F
G
1. svet
A
B
C
D
E
F
G
2. svet
21
Nagradna logična naloga Ugotovi verjetnost danih stavkov v dveh situacijah Krog pomeni, da ne poznamo oblike, ki je lahko trikotnik, kvadrat ali petkotnik. Pol siv lik pa pomeni, da ne poznamo barve, ki je lahko bela ali siva. 1. Lik A ni petkotnik in lik D je bel. 2. Lik D ni siv ali je lik A bel. 3. Lik C je bel in lik B ni trikotnik. 4. Lik B je kvadrat in lik D je bel. 5. Lik D ni bel ali je lik C bel. 6. Lik C je petkotnik ali je lik A petkotnik. 7. Lik A je trikotnik in lik B je siv. 8. Lik A je siv in lik D je trikotnik. 9. Lik B ni trikotnik in lik C je siv. 10. Lik D ni bel ali lik A ni kvadrat. 11. Lik C je kvadrat in lik D ni kvadrat.
12. Lik B je bel ali je lik D bel. 13. Ni res, da: lik C je trikotnik in lik C je siv. 14. Ni res, da: lik D je kvadrat ali lik C ni siv. 15. Ni res, da: lik D je petkotnik in lik A ni trikotnik. 16. Ni res, da: lik B je bel in lik C je kvadrat. 17. Vsaj en lik je kvadrat. 18. Vsak lik je trikotnik. 19. Vsaj en lik ni petkotnik. 20. Vsaj en lik ni trikotnik.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
1
2
A
B C
D
1. situacija
A
B
C
D
2. situacija
Rešitve pošljite do 10.10.2005 na naslov Logika, Svetčeva pot 11, 1241 Kamnik, s
pripisom NAGRADNA NALOGA. Pet izžrebanih bo prejelo nagrado.
23
Logične naloge za vajo Bliža se tekmovanje iz logike, zato smo pripravili nekaj "klasičnih"
nalog, s katerimi se boste lahko pripravili nanj.
1. Osebe in teden
Imamo tri osebe: A, B in C. Te osebe določene dneve v tednu govorijo resnico, druge dneve pa neresnico. Naslednja zaporedja pomenijo dneve, ko osebe po vrsti govorijo resnico: A: torek, sobota, nedelja, B: ponedeljek, petek, sobota, nedelja, C: petek, nedelja. a) Na katere dni v tednu lahko osebi A in B hkrati trdita: A: Včeraj sem lagal. B: Tudi jaz sem včeraj lagal. b) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi oboje: A: Včeraj sem lagal. A: Čez tri dni bom lagal. c) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi oboje: A: Včeraj sem lagal. A: Jutri bom lagal. d) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Če bo jutri B lagal, bo C jutri govoril resnico. e) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Če bo jutri C govoril resnico, bo B jutri lagal.
f) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Jutri bosta B in C oba lagala. g) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Če bo jutri B govoril resnico, bo C danes govoril resnico. Hkrati oseba B lahko reče: Če bo jutri A govoril resnico, bo C danes govoril resnico. h) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Če bo jutri B govoril resnico, potem je C včeraj govoril resnico. Hkrati oseba B lahko reče: Če bo pojutrišnjem A govoril resnico, je C včeraj govoril resnico. i) Na katere dni v tednu lahko oseba A trdi: Če bom jutri govoril resnico, potem je C včeraj govoril resnico. Hkrati oseba B lahko reče: Če bom pojutrišnjem govoril resnico, je C včeraj govoril resnico.
2. Okrogla miza 12 oseb se je zbralo na sestanku: Ana, Bor, Cene, Dana, Eva, Fani, Gal, Hana, Ida, Jan, Kati, Lan. Naslednji pari pomenijo, da se osebi v paru poznata: {Dana,Cene}, {Fani,Jan}, {Ida,Jan}, {Dana,Jan}, {Eva,Ida}, {Cene,Ana}, {Ida,Fani}, {Eva,Dana}, {Fani,Cene}, {Gal,Dana}, {Ida,Dana}, {Eva,Jan}, {Jan,Bor}, {Hana,Ida}, {Cene,Eva}, {Dana,Kati}, {Hana,Jan}, {Kati,Fani}, {Cene,Gal}, {Cene,Hana}, {Cene,Ida}, {Jan,Gal}, {Kati,Lan},
24
{Fani,Ana}, {Dana,Fani}, {Ida,Kati}, {Bor,Ida}, {Gal,Ana}, {Kati,Ana}, {Cene,Jan}, {Kati,Cene}, {Kati,Jan}, {Ana,Dana}, {Lan,Jan}, {Ana,Ida}, {Ida,Gal}, {Ana,Jan}. Ali lahko posediš osebe okoli okrogle mize tako, da bo vsak imel za soseda osebi, ki ju pozna?
3. Osebe in teden
Imamo tri osebe: A, B in C. Te osebe določene dneve v tednu govorijo resnico, druge dneve pa neresnico. Naslednja zaporedja pomenijo dneve, ko osebe po vrsti govorijo resnico: A: sreda, sobota, nedelja, B: ponedeljek, sreda, četrtek, petek, sobota, C: sreda, petek, sobota. V nalogi bosta izjavi dala osebi A in B, vendar ne vemo, kdo je Prvi in kdo Drugi govorec.
a) Na katere dni v tednu lahko osebi Prvi in Drugi hkrati trdita: Prvi: Včeraj sem lagal. Drugi: Tudi jaz sem včeraj lagal. b) Na katere dni v tednu lahko oseba A ali B trdi oboje: Prvi: Včeraj sem lagal. Prvi: Čez tri dni bom lagal. c) Na katere dni v tednu lahko oseba A ali B trdi oboje: Včeraj sem lagal. Jutri bom lagal. d) Na katere dni v tednu lahko oseba A ali B trdi: Če bom jutri lagal, bo C jutri govoril resnico. e) Na katere dni v tednu lahko oseba A ali B trdi: Če bo jutri C govoril resnico, bom jutri lagal. f) Na katere dni v tednu lahko oseba A ali B trdi: Jutri bova jaz in C oba lagala.
g) Na katere dni v tednu lahko Prva oseba trdi: Če bo jutri Drugi govoril resnico, bo C danes govoril resnico. Hkrati Druga oseba lahko reče: Če bo jutri Prvi govoril resnico, bo C danes govoril resnico. h) Na katere dni v tednu lahko Prva oseba trdi: Če bo jutri Drugi govoril resnico, potem je C včeraj govoril resnico. Hkrati Druga oseba lahko reče: Če bo pojutrišnjem Prvi govoril resnico, je C včeraj govoril resnico. i) Na katere dni v tednu lahko Prva oseba trdi: Če bom jutri govoril resnico, potem je C včeraj govoril resnico. Hkrati Druga oseba lahko reče: Če bom pojutrišnjem govoril resnico, je C včeraj govoril resnico.
4. Otok vitezov in oprod
Smo na otoku vitezov in oprod. Tokrat bomo imeli opravka z 11 otočani. Za naslednje pare velja, da je v vsakem vsaj en vitez: {Fani,Dane}, {Erika,Dane}, {Tina,Katra}, {Cene,Iztok}, {Lan,Fani}, {Lan,Urša}, {Vika,Cene}, {Erika,Fani}, {Tina,Urša}, {Cene,Lan}, {Dane,Vika}, {Katra,Dane},
25
{Dane,Urša}, {Gita,Vika}, {Lan,Dane}, {Gita,Urša}, {Tina,Erika}, {Erika,Vika}, {Cene,Erika}, {Urša,Vika}, {Gita,Tina}, {Fani,Tina}, {Gita,Lan}, {Iztok,Katra}, {Tina,Iztok}, {Iztok,Erika}, {Katra,Gita}. Poišči najmanjše število vitezov, tako da bodo izpolnjeni pogoji naloge. Poišči vse take množice vitezov.
5. Astronavti
12 astronavtov mora zasesti sobe označene na pravokotniku 3 krat 4. Te sobe so na valjasti površini, tako da sta spodnji in zgornji rob pravokotnika dejansko zlepljena.
Med astronavti obstajajo različna prijateljska in odbijajoča razmerja. Ali lahko razdeliš sobe, če mora vsak mejiti na sobo vseh svojih prijateljev in s sovražniki ne sme imeti skupnega niti vogala, kaj šele steno.(Tisti, ki dobi sobo 1, ima lahko največ 3 prijatelje, tisti na 2 pa štiri. Tako prijateljstvo kot sovražnost sta vzajemna odnosa.) Tokrat so prijateljska razmerja podana z naslednjimi pari: {Erika,Tina},
{Zala,Oton}, {Oton,Vika}, {Lan,Sašo}, {Katra,Lan}, {Zala,Katra}, {Tina,Katra}, {Cene,Pino}, {Oton,Lan}, {Dane,Gita}, {Tina,Dane}, {Cene,Dane}, {Gita,Sašo}, {Zala,Erika}. Sovražna so naslednja razmerja: {Tina,Sašo}, {Vika,Tina}, {Zala,Dane}, {Cene,Katra}, {Pino,Lan}, {Zala,Gita}, {Oton,Tina}, {Zala,Sašo}, {Erika,Lan}, {Katra,Sašo}, {Pino,Katra}, {Cene,Sašo}, {Tina,Gita}, {Erika,Pino}, {Oton,Dane}, {Zala,Pino}, {Gita,Katra}, {Erika,Katra}, {Cene,Lan}, {Vika,Gita}, {Zala,Vika}. 6. Novice V nalogi nastopa 11 oseb: Ana, Bor, Cene, Dana, Eva, Fani, Gal, Hana, Ida, Jan, Kati. Naslednji pari pomenijo, da se osebi v paru poznata, in da imata mobitel: {Bor,Jan}, {Dana,Kati}, {Hana,Kati}, {Fani,Ida}, {Fani,Jan}, {Ana,Fani}, {Ana,Eva}, {Cene,Eva}, {Cene,Gal}, {Gal,Kati}. Kateri osebi bi sporočil novico, da bi se ta najhitreje razširila po skupini? 7. Novice V nalogi sodeluje 13 oseb: Ana, Bor, Cene, Dana, Eva, Fani, Gal, Hana, Ida, Jan, Kati, Lan, Maja. Naslednji pari pomenijo, da se osebi v paru poznata, in da imata mobitel: {Ana,Ida}, {Eva,Kati}, {Gal,Jan}, {Dana,Kati}, {Dana,Jan}, {Cene,Jan}, {Bor,Cene}, {Bor,Hana}, {Hana,Ida}, {Fani,Ida}, {Fani,Maja}, {Lan,Maja}. Kateri osebi bi sporočil novico, da bi se ta najhitreje razširila po skupini?
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
26
8. Novice
Tokrat nastopa 15 oseb: Ana, Bor, Cene, Dana, Eva, Fani, Gal, Hana, Ida, Jan, Kati, Lan, Maja, Miha, Nina. Naslednji pari pomenijo, da se osebi v paru poznata, in da imata mobitel: {Ana,Gal}, {Dana,Jan}, {Eva,Maja}, {Gal,Nina}, {Ida,Lan}, {Bor,Jan}, {Bor,Fani}, {Hana,Kati}, {Hana,Miha}, {Fani,Lan}, {Cene,Fani}, {Cene,Nina}, {Maja,Nina}, {Miha,Nina}. Kateri osebi bi sporočil novico, da bi se ta najhitreje razširila po skupini? 9. Novice
Tokrat sodeluje 17 oseb: Ana, Bor, Cene, Dana, Eva, Fani, Gal, Hana, Ida, Jan, Kati, Lan, Maja, Miha, Nina, Oto, Pal. Naslednji pari pomenijo, da se osebi v paru poznata, in da imata mobitel: {Bor,Gal}, {Eva,Lan}, {Fani,Oto}, {Cene,Ida}, {Cene,Dana}, {Jan,Kati}, {Kati,Lan}, {Lan,Pal}, {Maja,Nina}, {Gal,Miha}, {Gal,Hana}, {Nina,Pal}, {Dana,Oto}, {Dana,Hana}, {Ana,Hana}, {Ana,Pal}. Kateri osebi bi sporočil novico, da bi se ta najhitreje razširila po skupini?
Rešitve 1. a) torek. b) torek, sreda. c) ponedeljek, torek. d) ponedeljek, sreda, sobota, nedelja. e) torek, četrtek, nedelja. f) torek, četrtek, petek. g) nedelja. h) četrtek, sobota. sobota, nedelja.
27
2. Odgovor: Ana, Fani, Kati, Lan, Jan, Bor, Ida, Hana, Cene, Eva, Dana, Gal; to je: 1, 6, 11, 12, 10, 2, 9, 8, 3, 5, 4, 7. Označimo zaporedoma osebe z naravnimi števili (Ana=1,...): Potem lahko poznanstva podamo z matriko, ki nam je v pomoč pri iskanju odgovora.
3.
a) PrviØA, DrugiØB: ponedeljek, sreda; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, sreda. b) PrviØA, DrugiØB: četrtek, sobota; PrviØB, DrugiØA: torek, nedelja. c) PrviØA, DrugiØB: sreda; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, torek, nedelja. d) PrviØA, DrugiØB: ponedeljek, sobota; PrviØB, DrugiØA: sreda, četrtek, petek. e) PrviØA, DrugiØB: torek, sreda, petek, sobota, nedelja; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, torek, sreda, sobota. f) PrviØA, DrugiØB: torek, sreda, četrtek, petek, nedelja; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, torek, sobota, nedelja. g) PrviØA,DrugiØB:torek, sreda, četrtek, sobota; PrviØB, DrugiØA: torek, sreda, četrtek, sobota. h) PrviØA, DrugiØB: sobota; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, torek, sobota. i) PrviØA, DrugiØB: torek, petek, sobota; PrviØB, DrugiØA: ponedeljek, sobota. 4. Vsaki osebi priredimo zaporedno število po pravilu: Cene->1, Dane->2, Erika->3, Fani->4, Gita->5, Iztok->6, Katra->7, Lan->8, Tina->9, Urša->10, Vika->11. Tako dobimo graf:
Iščemo torej tako množico otočanov, da bo za vsak par vsaj en element iz para v tej množici. Med temi množicami moramo vzeti tiste z najmanjšim številom elementov. Taki množici rečemo minimalno pokritje. Zato je ugodno predstaviti graf z matriko sosedstva:
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 83, 6, 8, 11<2 83, 4, 7, 8, 10, 11<3 81, 2, 4, 6, 9, 11<4 82, 3, 8, 9<5 87, 8, 9, 10, 11<6 81, 3, 7, 9<7 82, 5, 6, 9<8 81, 2, 4, 5, 10<9 83, 4, 5, 6, 7, 10<10 82, 5, 8, 9, 11<11 81, 2, 3, 5, 10<
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
Odgovor: Dane, Erika, Gita, Iztok, Lan, Tina, Vika. Pojasnilo: Recimo, da imamo neko podmnožico otočanov, tako da so v dani množici parov vsi možni pari iz te podmnožice. Potem bomo morali iz te množice v minimalno množico vzeti vse elemente razen enega. Seveda bomo elemente izbrali tako, da ti elementi nastopajo še v kakšnih drugih parih. Ko bomo izbrisali vse pare, v katerih nastopajo elementi te podmnožice, bomo postopek ponovili na zmanjšani množici: Zadnje nam pove, da mora biti število vitezov vsaj 7. Ker se to ujema s številom elementov množice iz prvega dela, je ta res optimalno. 5.
Rešitev:Uvedimo naslednje oznake: {Cene->1}, {Dane->2}, {Erika->3}, {Gita->4}, {Katra->5}, {Lan->6}, {Oton->7}, {Pino->8}, {Sašo->9}, {Tina->10}, {Vika->11}, {Zala->12}: Potem lahko po vrsti predstavimo prijatelje in nezaželene s seznami:
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 83, 4, 6, 7, 9, 10, 11<2 89, 10<3 81, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11<4 81, 3, 5, 6, 7, 9, 10, 11<5 83, 4, 9, 10<6 81, 3, 4, 9, 10, 11<7 81, 3, 4, 9, 10<8 83, 9, 10<9 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11<10 81, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 12<11 81, 3, 4, 6, 9, 10, 12<12 810, 11<
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
1
2
3
4
5
6
7
89
10
11
12 7 11
3 1 8
10 2 4
5 6 9
28
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 85, 6<2 810<3 85, 7<4 811<5 81, 3<6 81, 9, 10<7 83, 11<8 811<9 86<10 82, 6<11 84, 7, 8<
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 89<2 83, 8<3 82, 10<4 810, 11<5 811<6 89, 13<7 810<8 82, 9<9 81, 6, 8<10 83, 4, 7<11 84, 5<12 813<13 86, 12<
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj
1 82, 8< 85, 6, 9<2 81, 4, 10< 87, 12<3 810, 12< 85, 6, 8<4 82, 9< 85, 10, 11, 12<5 86, 10, 12< 81, 3, 4, 8, 9<6 85, 7, 9< 81, 3, 8<7 86, 11, 12< 82, 10<8 81< 83, 5, 6, 12<9 84, 6< 81, 5, 10, 12<10 82, 3, 5< 84, 7, 9, 11<11 87< 84, 10, 12<12 83, 5, 7< 82, 4, 8, 9, 11<
y
{
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz
6. Odgovor: Eva
7.
Odgovor: Bor
Zala Oton Vika
Erika Cene Pino
Tina Dane Gita
Katra Lan Sašo
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
29
8.: Cene
9. Ana
O zvezdastih večkotnikih Navaden pravilni n-kotnik dobimo tako, da zavrtimo neko točko za n-ti del polnega kota in to naredimo n-1 krat. Na primer, n=7: pri običajnem pravilnem sedemkotniku nato zaporedoma povežemo točke v naraščajočem vrstnem redu: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
1
2
3
4 5
6
7
1
2
3
4 5
6
7
Zvezdaste pravilne večkotnike dobimo, če točke enakomerno preskakujemo (eno, dve, …).
1
2
3
4 5
6
7
1
2
3
4 5
6
7
To pomeni, da so stranice v prvem primeru: 1-3, 3-5, 5-7, 7-2, 2-4, 4-6, 6-1. Oglejmo si še primere za n=11.
Oznake za zgornje enajstkotnike so {11}, {11/2}, {11/3}, {11/4}, {11/5}.
30
Ozvezdenje poliedrov Če postavimo pravilni dvanajsterec na mizo, potem je natanko ena
mejna ploskev vzporedna mejni ploskvi, ki je na mizi. Drugih 10
ploskev seka ravnino mize oz. izbrane mejne ploskve. Presečišča ravnin
so premice. Tako dobimo deset premic, ki tvorijo t.i. diagram
ozvezdenja. Mejne ploskve, ki imajo skupen rob z mejno ploskvijo na ravnini, tvorijo notranji petkotnik, če pa povezujemo vsako drugo premico, dobimo notranji pentagram. Presečišča ravnin petih mejnih ploskev, ki z izbrano ploskvijo nimajo skupnih točk, pa tvorijo večji petkotnik in večji pentagram. V diagramu smo narisali le dele premic do medsebojnih presečišč. Končne dele, na katere so premice razdelile ravnino, imenujemo področja, za prostor pa rečemo, da je podeljen v celice. Če upoštevamo peterno simetrijo, lahko celice razdelimo v štiri skupine, ki ustrezajo omenjenim likom. Če te like postavimo na vsako od 12 mejnih ploskev, dobimo štiri poliedre. Prvi je kar prvotni dvanajsterec, drugi sestoji iz 12 pentagramov in se imenuje mali ozvezdeni dvanajsterec, tretji ima za mejne ploskve petkotnike, vendar se ti med seboj sekajo, tako da je ogliščna konfiguracija pentagram. Temu telesu pravimo veliki dvanajsterec. Če kot mejne ploskve upoštevamo večje pentagrame, dobimo veliki ozvezdeni dvanajsterec. Ta štiri telesa (če ne upoštevamo prvotnega dvanajsterca pa tri), so edina ozvezdenja dvanajsterca. Pri izdelavi teles iz mrež upoštevamo le dele mejnih ploskev, ki se vidijo. Ti deli so v naših primerih trikotniki. Naslednja diagrama in slike so narejeni s programom Great stella [3].
31
Ozvezdenje dvajseterca Dvajseterec ima bolj zahteven diagram ozvezdenja. Le-ta sestoji iz 18 črt, kjer se ravnina izbrane mejne ploskve seka z ravninami 18 drugih mejnih ploskev (ena pa je vzporedna). Te črte delijo izbrano ravnino na 66 končnih področij. Vprašanje je, kako izbrati ta področja, da bo končen rezultat polieder, ki ima isto simetrijo kot dvajseterec. Nekaj primerov ozvezdenja dvajseterca je bilo objavljenih l. 1900 v knjigi Maxa Brucknerja Vielecke und Vielflacke. Razen velikega dvajseterca, sestave petih osmercev, sestav petih in desetih četvercev, ki jih je poznal že Cauchy, je v knjigi opisano še šest drugih. Devet novih ozvezdenj je odkril Albert Harry Wheeler, kar je pomenilo 19 ozvezdenj, če vključimo še sam dvajseterec. Njegovo delo je spodbudilo iskanje novi ozvezdenj, vendar je bila potrebna definicija tega pojma. Naslednje kriterije je predlagal J. C. P. Miller [1]. (1) Mejne ploskve ozvezdenja morajo biti na istih ravninah kot mejne ploskve prvotnega telesa. (2) Področja (celice), ki tvorijo mejne ploskve, morajo biti enaka v vseh ravninah. Ni pa nujno, da so ta področja povezana. (3) Celice, ki so vključene v ravnini, morajo imeti isto rotacijsko simetrijo kot prvotna mejna ploskev. To skupaj s točko (2) pomeni, da ozvezdenje ohranja rotacijsko simetrijo prvotnega telesa. (4) Celice, vključene v ravnini, morajo biti dostopne v kompletiranem ozvezdenju. (5) Sestavi enostavnejših ozvezdenj so izključeni. Bolj natančno, ne dovolimo unije dveh ozvezdenj, če nimata stikov ploskve s ploskvijo, razen kombinacij zrcalnih podob. Uporaba teh pravil je reducirala število ozvezdenj. Tako ostane 31 ozvezdenj z zrcalno simetrijo in 27, ki nastopajo kot levi in desni par. Popoln seznam ozvezdenj dvajseterca je bil objavljen v knjižici The Fifty-nine Icosahedra. Med štirimi avtorji je J. F. Petrie prispeval ilustracije, H. T. Flather pa je ustvaril modele, ki so danes na matematičnem oddelku v Cambridgeu. H. M. S. Coxeter in Patric Du Val sta napisala tekst in vsak svoj način preštevanja. Coxeter je uporabil dvodimenzionalni pristop, Du Val je delal s trodimenzionalnimi celicami. Naslednji problem je bil, kako opisati posamezno ozvezdenje. Du Valov pristop je bil v klasifikaciji celic in v seznamu celic, ki so vključene v ozvezdenju. Za zgled vzemimo enostavnejši primer dvanajsterca. Vsaki celici priredimo število, ki meri razdaljo celice od centralne celice, ki je v tem primeru sam dvanajsterec. Indeks celice je število mejnih ploskev, ki jih seka ravna črta od celice do središča. Za dvanajsterec imamo naslednje indekse: 0: dvanajsterec, 1: 12 piramid, 2: 30 klinastih robov velikega dvanajsterca, 3: 20 bodic v obliki tristrane piramide. Sloj tvorijo vse celice istega indeksa. Sloji tvorijo zaporedje koncentričnih lupin, ki prekrivajo jedro. Vsak sloj je označen z malo črko. Dvanajsterec je označen z a, piramide z b, klinasti robovi s c in bodice z d. Pri opisu ozvezdenja je koristna tudi oznaka za vse sloje, ki imajo enak ali manjši indeks od danega števila. Tako dvanajsterec označimo z A, končno ozvezdenje pa z D.
32
Za vsak začeten polieder imenujemo ozvezdenja A, B, C, D, E, … glavno zaporedje. To je najbolj naravno zaporedje in edino, ki je smiselno urejeno. B je torej prvo ozvezdenje, C drugo, … Naslednje slike prikazujejo glavno zaporedje. Prvo ozvezdenje dvajseterca dobimo s postavitvijo nizkih trikotnih piramid na mejne ploskve dvajseterca. Drugo ozvezdenje je sestava petih osmercev. Če podaljšamo mejne ploskve te sestave, dokler se spet ne srečajo, dobimo ozvezdenje D. G je poznan kot veliki dvajseterec, ki ga je poznal že Poinsot. Končno ozvezdenje je popolni (kompletirani) ikozaeder. Ta nomenklatura je uporabna za označevanje celic in njihovih kombinacij pri ozvezdenju poljubnega konveksnega poliedra. V primeru dvajseterca je stvar bolj zanimiva, ker trije od osmih slojev vsebujejo celice različnih vrst. En sloj vsebuje tudi zamaknjene celice. Sloja e in g lahko razbijemo na celice dveh vrst. Te označimo e1, e2, g1, g2. Vsa ta štiri ozvezdenja imajo lastnosti, ki do sedaj niso bile poznane. To niso poliedri v običajnem smislu, ampak imajo celice, ki so samo ogliščno povezane. Druga ozvezdenja so robovno povezana, to je, mejne ploskve imajo skupen rob. Sloj f je najbolj nenavaden. Celice ene vrste, f2, so popolnoma nepovezane. Druge celice sloja, f1, lahko razdelimo na zrcalno simetrične pare. Vključitev enega tipa npr. f1 ima za posledico zavrteno obliko. Takšna je sestava petih četvercev Ef1.
S primerjavo slik si lahko predstavimo različne možnosti kombiniranja. Na primer, če dodamo celice g1 k Fg2, dobimo veliki ikozaeder, to je G. Naslednji diagram ozvezdenja in slike so narejeni s programom Mathematica z uporabo [4]. Diagram ozvezdenja
dvajseterca
c
1
c
2
c
3
dl
1
dl
2
dl
3
dr
1
dr
2
dr
3
el
1
el
2
el
3
er
1
er
2
er
3
f
1
f
2
f
3
gl
1
gl
2
gl
3
gr
1
gr
2gr
3
h
1
h
2
h
3
i
1
i
2
i
3 j
1
j
2
j
3kl
1
kl
2
kl
3kr
1
kr
2
kr
3
a
1
a
2
a
3
bl
1
bl
2
bl
3
br
1
br
2
br
3
c1
c2
c3
dl1
dl2
dl3
dr1
dr2
dr3
el1
el2
el3
er1
er2
er3
f1
f2
f3
gl1
gl2
gl3
gr1
gr2
gr3
h1
h2
h3
i1
i2
i3 j
1
j2
j3
kl1
kl2
kl3
kr1
kr2
kr3
33
Diagram ozvezdenja, notranji del Oglejmo si primer velikega dvajseterca. Prva slika prikazuje del diagrama ozvezdenja, ki se nanaša na veliki dvajseterec. Na drugi sliki je diagram položen na eno mejno ploskev dvajseterca (moramo pa ga na vseh 20 ploskev). Tretja slika prikazuje veliki ikozaeder, četrta pa mreže za izdelavo modela. Ko gledamo telo kot pravilen polieder, štejemo za njegove mejne ploskve 20 trikotnikov, ki se sekajo med seboj. Vidni del trikotnikov predstavlja diagram ozvezdenja. Ko pa moramo narediti mrežo, je telo sestavljeno iz 180 trikotnikov.
34
Naslednje slike prikazujejo glavno zaporedje.
Naslednje slike prikazujejo ozvezdenje e1 (deli so povezani le v ogliščih.), Ef1, Ef2,
Ef1g1, Fg1, Ef1, Ef1f2, De1, De2f2, Fg2.
35
36
Izdelovanje modelov s pomočjo programa Great stella Omenjeni program omogoča izdelavo modelov vseh poliedrov. Seveda se moramo zavedati, da nekonveksni poliedri v splošnem nimajo mreže v enem kosu. Izdelava optimalne mreže, to je mreže, ki zavzame čim večji del strani, je odprt problem. Modele ozvezdenj naredimo tako, da jih sestavimo iz več skladnih delov. Na sliki je zaslon programa, ki kaže ozvezdenje in del mreže.
37
Mreže nato natisnemo in naredimo model. V naslednjih številkah revije bomo, tako kot smo tudi v preteklih, podali mreže večine ozvezdenj. Narejene so s pomočjo podatkov iz programa [4] v Mathematici. Prednost tega je, da lahko polieder pobarvamo, tako da so deli, ki ležijo v isti ploskvi, pobarvani enako. Seveda za to potrebujemo 20 barv. Spodnja slika prikazuje mreže za izdelavo obarvanega popolnega dvajseterca.
Literatura [1] Cromwell, P.R., Polyhedra, Cambridge University Press, 1997. [2] Wenninger, M.J., Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1971. [3] Webb, R. Great Stella Manual, http://www.software3d.com/StellaManual.php?prod=great. [4] Maeder R, Mathematica Programmer.
Izidor Hafner
38
Uniformni poliedri (enakomerno oblikovani poliedri)
Poliedri so geometrijska telesa, katerih mejne ploskve so mnogokotniki.
Pri uniformnih poliedrih zahtevamo, da so mnogokotniki pravilni
(vključno z zvezdastimi mnogokotniki) in da so vsa oglišča skladna. Sem sodi 5 platonskih, 13 arhimedskih in 4 Kepler-Poinsotova telesa. Po definiciji sem sodi neskončno mnogo prizem in antiprizem. Če pa te neskončne družine izločimo, je vsega skupaj 75 uniformnih poliedrov. Okoli l. 1880 je Francoz A. Badoureau našel 37 uniformnih poliedrov. Sočasno je Avstrijec Johann Pitsch našel 18 uniformnih poliedrov, 4 med njimi niso bili vključeni v Francozov seznam. 50 let pozneje sta Coxeter in Miller dodala še 12 poliedrov, tako da je končen spisek 75 (53 nekonveksnih) uniformnih poliedrov, vendar pa nista znala dokazati, da je to končen rezultat. To je uspelo dokazati J. Skillingu l. 1975. Kot zgled vzemimo mali dvajseterčev dvanajsterec. Zgornja četverka se imenuje ogliščna konfiguracija. Pri tem telesu imamo opravka s šestkotnikom, ki je vezan na pentagram (5/2). Ta je vezan na drugi šestkotnik, oglišče pa se končuje s trikotnikom. Zaporedje mejnih večkotnikov je podano spodaj. Vsak je podan s seznamom oglišč. Posebej moramo biti pozorni na seznam, ki podaja pentagram: {{1,2,6,18,10,3},{1,3,8,13,4},{1,4,11,28,15,5},{1,5,2}}. Večkotniki pri nekonveksnih uniformnih poliedrih niso mejne ploskve v pravem pomenu. Le deli teh večkotnikov so mejne ploskve, ki telo ločijo od ostalega prostora. Zato je treba posebej izračunati te mejne ploskve, če hočemo narediti papirnati model. V našem primeru
:6, 5
2, 6, 3>
1 2
3
4
5
6
8
10
11
13
15
18
28
39
so pentagrami in trikotniki tudi mejne ploskve, medtem ko se šestkotniki med seboj prekrivajo, tako da je od vsakega viden del, ki sestoji iz treh trapezov. Naslednje telo je dvanajsterčev dvanajsterec. Ta ima za ogliščno konfiguracijo dva petkotnika in dva pentagrama.
Prisekani veliki dvanajsterec ima za ogliščno konfiguracijo pentagram in dva desetkotnika.
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
12
15
16
19
23
28
31
36
43
48
Ozvezdeni prisekani šesterec ima za ogliščno konfiguracijo trikotnik in dva oktagrama. To je le nekaj primerov.
1 2
3
4
5
6
8
9
11
12
14
15
17
1 2
3
4
5
6
7
8
10
1112
13
16
17
40
Sledijo slike vseh uniformnih poliedrov.
41
Tomislav Žitko
