Soustava tří rovnic o třech neznámých

Mgr. Martin Krajíc

25.4.2013matematika

1.ročníkrovnice a nerovnice

Gymnázium Ivana Olbrachta Semily, Nad Špejcharem 574, příspěvková organizaceNad Špejcharem 574, 513 01 Semily, Česká republika

Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0047

Název projektu: Moderní škola

Soustava třech rovnic o třech neznámých

Základní tvar:

ax + by + cz = d

ex + fy + gz = h

ix + jy + kz = l

a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l…reálná čísla

x,y,z…neznámé

Soustava třech rovnic o třech neznámých

Soustavu tří rovnic o třech neznámých můžeme řešit několika různými metodami. My se zaměříme na dva postupy:

kombinace dosazovací a sčítací metodymetoda úpravou na trojúhelníkový tvar

Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda

Postup řešení:z jedné z rovnic si vyjádříme jednu neznámoudosadíme za ni do zbylých dvou rovnictyto dvě rovnice řešíme sčítací metodou – zjistíme dvě

neznámétřetí neznámou dořešíme dosazením do vyjádřeného tvaruzkoušku provedeme dosazením výsledků do všech tří

rovnic

Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda

Př: Řešte soustavu rovnic v R:

x + 2y – 3z = -8

-3x + y + 2z = 10

2x – 3y + 2z = 5

x = -2y + 3z – 8

-3(-2y + 3z – 8) + y + 2z = 10

2(-2y + 3z – 8) – 3y + 2z = 5

6y – 9z + 24 + y + 2z = 10

-4y + 6z – 16 – 3y + 2z = 5

Z první rovnice si vyjádříme neznámou x.

Ve druhé a třetí rovnici dosadíme místo neznámé x

vyjádřený trojčlen.Druhou a třetí rovnici

dořešíme sčítací metodou.

Soustava třech rovnic o třech neznámých – kombinovaná metoda

7y – 7z = -14

-7y + 8z = 21

z = 7

7y – 7.7 = -14

7y = 35

y = 5

x = -2y + 3z – 8 = -2.5 + 3.7 – 8

x = 3

[x ; y ; z] = [3 ; 5 ; 7]

Neznámou y dopočteme dosazením čísla 7 za neznámou z do první rovnice.

Nyní dosadíme do vyjádření x = -2y + 3z – 8 za neznámé y,z a dopočteme x.

Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda

Postup řešení:první rovnici opíšeme bez změnyk druhé a třetí rovnici přičteme takový násobek první rovnice,

aby v obou rovnicích zmizela neznámá xpoté opíšeme první a druhou rovnici bez změnyk třetí rovnici přičteme takový násobek druhé rovnice, aby v ní

zmizela neznámá yv třetí rovnici vznikne rovnice o jedné neznámé – dopočtemedosazením do druhé rovnice dopočteme druhou neznámou a poté

dosazením do první rovnice i poslední neznámouzkoušku provedeme dosazením výsledků do všech tří rovnic

Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda

Př: Řešte soustavu rovnic v R:

x + 2y – 3z = -8

-3x + y + 2z = 10

2x – 3y + 2z = 5

x + 2y – 3z = -8

7y – 7z = -14

-7y + 8z = 21

x + 2y – 3z = -8

7y – 7z = -14

z = 7

První rovnici opíšeme.

K druhé rovnici přičteme trojnásobek první.

Od třetí rovnice odečteme dvojnásobek první.

První rovnici opíšeme.

Druhou rovnici opíšeme.

K třetí rovnici přičteme druhou.

Soustava třech rovnic o třech neznámých – trojúhelníková metoda

z = 7

7y – 7z = -14

7y – 7.7 = -14

7y = 35

y = 5

x + 2y – 3z = -8

x + 2.5 – 3.7 = -8

x = 3

[x ; y ; z] = [3 ; 5 ; 7]

V třetí rovnici nám vyjde jedna z neznámých.

Dosadíme do druhé rovnice a dopočteme další neznámou.

Na závěr dosadíme do první rovnice a dopočteme poslední neznámou.

Soustava třech rovnic o třech neznámých - příklady

Př: Řešte soustavy rovnic a na závěr doplňte citát (využijte písmen u správných řešení):

Gabriel Laub: „n + x . 0 = n tato rovnice ukazuje, že nikdy nelze zjistit, kolik ……. se paraziticky přisálo ke každému n.“

1) x + y – z = 0

2x + y – z = 1

4x + 2y – 3z = 0

a) S = [x ; y ; z] = [1 ; -1 ; 0]

b) N = [x ; y ; z] = [1 ; 1 ; 2]

Soustava třech rovnic o třech neznámých - příklady

2) x + 2y + 3z = 0

x - y + z = 0

x + y – 2z = 0

a) I = [x ; y ; z] = [1 ; 1 ; -1]

b) U = [x ; y ; z] = [0 ; 0 ; 0]

3) 4x - 5y - 2z = 0

-0,2x + 0,6z = 1

x - y - z = -1

a) L = nekonečně mnoho řešení

b) T = nemá řešení

Soustava třech rovnic o třech neznámých – správné řešení

Správné řešení:

Gabriel Laub: „n + x . 0 = n tato rovnice ukazuje, že nikdy nelze zjistit, kolik ……. se paraziticky přisálo ke každému n.“

NUL

Soustava třech rovnic o třech neznámých

Použité zdroje:

OZOGÁN, Michal. Citáty slavných. [online]. [cit. 2013-04-25]. Dostupné z: http://citaty.fabulator.cz/autor/laub - gabriel