Ekvivalentní úprava rovnic

Co je to ekvivaletní úprava rovnic?

Rovnici 2x+x=6

je výhodné upravit na tvar 3x=6

Obě rovnice mají stejný kořen x=2

Ekvivalentní úprava je postup, kterým z dané rovnice získáme jinou rovnici se stejnou množinou kořenů.

Slovo ekvivalentní pochází z latinského slova aeguivalens (čti ekvivalens), které se do češtiny překládá jako rovnomocný, rovný, stejný, totožný…

Vždy používáme takových ekvivalentních úprav rovnic, aby se rovnováha na vahách nezměnila.

L = P

Jaké úkony s váhami můžeme provádět, aby zůstaly v rovnováze?

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže vyměníme obsah

jednotlivých misek

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže vyměníme levou a pravou stranu

rovnice

L = P

P = L

L = P

L + a = P + a

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže na obě misky

přidáme předměty téže hmotnosti.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže k oběma stranám rovnice přičteme

totéž číslo, jednočlen nebo mnohočlen.

L = P

L - b = P - b

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obou misek odebereme

předměty téže hmotnosti.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže od obou stran rovnice

odečteme totéž číslo, jednočlen nebo mnohočlen.

L = P

c · L = c · P

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obsahy obou misek

„stejněkrát“ zvětšíme.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice

vynásobíme týmž nenulovým číslem.

L = P

L : d = P : d

Rovnováha na váhách se nezmění, jestliže z obsahy obou misek

„stejněkrát“ zmenšíme.

Kořeny rovnice se nezmění, jestliže obě strany rovnice vydělíme týmž

nenulovým číslem.

Každá z následujících úprav rovnice je ekvivalentní úpravou:

• výměna levé a pravé strany rovnice

• přičtením téhož čísla nebo mnohočlenu k oběma stranám rovnice

• odečtení téhož čísla nebo mnohočlenu od obou stran rovnice

• vynásobení obou stran rovnice týmž nenulovým číslem

• vydělením obou stran rovnice týmž nenulovým číslem

Příklad 1: Řešte rovnici: x - 4 = 20

Řešení: Abychom „osamostatnili“ neznámou x na levé straně rovnice, přičteme k oběma stranám rovnice číslo 4

x - 4 + 4 = 20 + 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 24

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 24 - 4 = 20P = 20L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a) - 20 + y = 5b) x - 46 = 32c) a - 12 = - 30

Příklad 2: Řešte rovnici: x + 4 = 20

Řešení: Abychom „osamostatnili“ neznámou x na levé straně rovnice, odečteme od obou stran rovnice číslo 4

x + 4 - 4 = 20 - 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 16

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 16 + 4 = 20P = 20L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a) 15 + y = 40b) x + 28 = 32c) a + 26 = - 30

Příklad 3: Řešte rovnici:

4x = 20

Řešení: U této rovnice nám pomůže, když obě její strany vydělíme číslem 4:

4x : 4 = 20 : 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 5

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 4·5 = 20P = 20L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a) 6y = 48b) 8x = 32c) - 26 = 2x

Příklad 4: Řešte rovnici:

Řešení: U této rovnice nám pomůže, když obě její strany vydělíme číslem 4:

· 4 = 20 · 4

Obě strany rovnice upravíme:x = 5

Našli jsem (jediné) řešení dané rovnice.

Provedeme zkoušku: L = 4·5 = 20P = 20L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:a)

b)

204

x

4

x

56

x

78

y

Příklad 5: Řešte rovnici:

13 = 7 - 2x

Řešení: Člen s neznámou „osamostatníme“, když od obou stran rovnice odečteme číslo 7:

13 - 7 = 7 - 2x - 76 = - 2x

Nyní obě strany rovnice vydělíme číslem - 2:

6 : (- 2) = - 2x : (- 2) - 3 = x

I když jsme neznámou x vlastně určili, kvůli přehlednosti ještě vyměníme obě strany rovnice:

x = - 3Řešte rovnice a proveďte zkoušky:

a) 6y + 24 = 48b) 8x - 8 = 32c) - 26 = 2x + 6

Příklad 6: Řešte rovnici:

3x - 6 = 24 - 2x

Řešení: Nejprve rovnici upravíme tak, aby neznámá zůstala jen na jedné straně. Abychom neznámou „odstranili“ například z pravé strany, přičteme k oběma stranám rovnice člen 2x:

3x - 6 + 2x = 24 - 2x + 2x 5x - 6 = 24

Přičtením čísla 6 k oběma stranám rovnice člen s neznámou „osamostatníme“

5x - 6 + 6 = 24 + 6 5x = 30

Nakonec vydělíme obě strany rovnice číslem 5:

5x : 5 = 30 : 5x = 6

Číslo 6 je tedy jediným kořenem dané rovnice. Provedeme ještě zkoušku:

L = 3x - 6 = 3 ·6 - 6 = 18 - 6 = 12P = 24 - 2x = 24 - 2 · 6 = 24 - 12 = 12

L = P

Řešte rovnice a proveďte zkoušky:

a) 8y - 5 = y + 9b) 26 - 0,5z = 1 + 2zc ) 11 + 15z = 8z - 13 + 5z

Zapamatujte si užitečnou zásadu pro řešení rovnic:

Jak zapisujeme ekvivalentní úpravy?Prohlédněte si, jak se řešení předchozí rovnice přehledně zapisuje:

3x - 6 = 24 - 2x /+2x

3x - 6 + 2x = 24 - 2x + 2x

5x - 6 = 24 /+6

5x - 6 + 6 = 24 + 6

5x = 30 /:5

5x : 5 = 30 :5

x = 6

Všimněte si, že při všech úpravách píšeme znaky rovnosti pod sebou. Navíc zamýšlenou úpravu rovnice zapisujeme vpravo za lomítko do

sloupce, který je dostatečně daleko od samotného řešení rovnice.

Jak převádíme členy z jedné strany rovnice na

druhou?Rovnice: 3x - 6 = 24 - 2x

3x - 6 + 2x = 24 + 2x - 2xPo této úpravě na pravé straně člen s x „zmizel“:

3x - 6 + 2x = 24Můžeme si to představit také tak, že člen -2x z pravé strany „přešel“ s opačným znaménkem na levou stranu:

3x - 6 = 24 - 2x 3x - 6 + 2x = 24 5x - 6 = 24

Podobně se teď můžeme „zbavit“ čísla - 6 na levé straně: 5x - 6 = 24

5x = 24 + 6

x = 6

Jak řešíme rovnice se závorkami?

Příklad 7: Řešte rovnici s neznámou z:2 · (z - 3) = z + 5

Řešení: Nejprve roznásobíme závorku na levé straně rovnice:2 · (z - 3) = z + 5 2z - 6 = z + 5

Získaná rovnice má tvar, který již dobře známe. Pokračujme v jejím řešení např. převáděním členů:

2z - 6 = z + 52z - z = 5 + 6

z = 11Zkouška:

L = 2 · (z - 3) = 2 · (11 - 3) = 2 · 8 = 16P = z + 5 = 11 + 5 = 16

L = P

!!! Nezapomeňte, že při roznásobení závorky záporným činitelem se znaménka všech členů v závorce změní na opačná!

Příklad 8. Řešte rovnici1 - 3 · (x - 3) = 4 · (1 - 2x) + 1

Řešení 1 - 3 · (x - 3) = 4 · (1 - 2x) + 1 1 - 3x + 9 = 4 · (1 - 2x) + 1

10 - 3x = 5 - 8x -3x + 8x = 5 - 8x

5x = -5 x = -1

Řešte rovnici a proveďte zkoušku:a) -(x - 1) = 3x + 2

b) 2 · (z - 1) = 10 - 3 · (z + 1)c) -y = 4 - 2 · (y - 3)