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Unidad 13. Azar y probabilidad

PÁGINA 271

■ Problemas “+”

27 Hemos de jugar a C y + con una cierta ficha. Antes de empezar, experimento con ella y obtengo 37 CARAS y 3 CRUCES. ¿Qué te parece más correcto, apostar por + porque “ya es hora de que salga” o por C porque “parece que sale más”?

Si de 40 lanzamientos se han obtenido 37 y 3 , las probabilidades de C o + serán equivalentes a sus frecuencias relativas (el número de lanzameintos es relativamente grande). Por tanto:

fr (C ) ≈ P [C] = 3740

fr (+) ≈ P [+] = 340

Sería más correcto apostar por .

28 Se han hecho análisis de sangre a 200 personas para determinar su grupo san-guíneo, así como el Rh. Los resultados se resumen en esta tabla:

GRUPO A

GRUPO B

GRUPO AB

GRUPO0 TOTALES

RH+ 74 12 6 70 162

RH– 18 3 1 16 38

TOTALES 92 15 7 86 200

a) Si elegimos al azar una persona de entre esas 200, ¿cuál es la probabilidad de que su grupo sanguíneo sea A? ¿Y de que sea 0? ¿Y de que tenga Rh+?

b) Si elegimos una persona del grupo sanguíneo B, ¿cuál es la probabilidad de que tenga Rh+?

a) P [A] = 92200

= 0,46 P [O] = 86200

= 0,43 P [Rh+] = 162200

= 0,81

b) Si elegimos alguien con grupo B: P [Rh+] = 1215

= 45

= 0,8

29 Dejamos caer una bola en el embudo de este aparato.

Calcula la probabilidad de que caiga en cada uno de los de-pósitos I, II, III y IV.

Si tirásemos 8 bolas y se repartieran equitativamente:

P [I] = 48

= 12

P [II] = 28

= 14

P [III] = 18

P [IV] = 18I II

A

B

8

4

2

2 1 14

C

III IV

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I II

A

B

C

III IV

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Unidad 13. Azar y probabilidad

30 ¿Cuál es la probabilidad de que una bola caiga en cada uno de los depósitos?

A B C D E

Si tirásemos 8 bolas:

P [A] = 28

= 14

P [B] = 18

P [C] = 38

P [D] = 18

P [E] = 18A B C D E

8

4 4

2222

1111

1112 3

31 Esto es un plano de parte de la red de cercanías de una ciudad. En cada bifur-cación es igual de probable que el tren continúe por un camino u otro.

A

8

7

1

23

6 5 4

Si un viajero se sube a un tren en A sin saber adónde se dirige, ¿cuál es la probabili-dad de que llegue a la estación 5?

Calcula la probabilidad de llegar a cada una de las estaciones.

Si el tren se encuentra en una bifurcación con 2 opciones, tiene 1/2 de probabilidad de ir por cada una de ellas. Si se encuentra en una bifurcación con 3 posibles opciones, tendrá 1/3 de probabilidad de ir por cada uno de los caminos, y así en todos los casos.

Para llegar de A a la estación 5 pasa por una bifurcación con 2 posibles caminos, otra con 3 posibles caminos y una última con otros tres posibles caminos.

Por tanto, P [ 5] = 12

· 13

· 13

= 118

.

P [ 1] = 12

· 13

· 12

= 112

P [ 2] = 12

· 13

· 12

= 112

P [ 3] = 12

· 13

= 16

P [ 4] = 12

· 13

· 13

= 118

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Unidad 13. Azar y probabilidad

P [ 6] = 12

· 13

· 13

= 118

P [ 7] = 12

· 12

= 14

P [ 8] = 12

· 12

= 14

32 En una bolsa hay seis bolas numeradas, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, y extraemos tres de ellas. Calcula:

a) P [suma 10]. (Hay 20 casos posibles. Descríbelos todos: 123, 124, 125, 126, 134…)

b) P [suma 9] c) P [producto 12]

d) P [la mayor es cinco] e) P [la mayor es 2]

a) Estos son todos los casos: 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234,

235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456. P [ 10] = 320

b) P [ 9] = 320

c) P [ 12] = 220

= 110

d) P [ 5] = 620

= 310

e) P [ 2] = 0

33 Lanzamos tres dados: rojo, verde y azul.

a) Calcula la probabilidad de que la suma de los resultados sea 10. Para ello ten en cuenta que:

• Los posibles resultados son 6 · 6 · 6 = 216.

• La suma 10 se da con los siguientes resultados:

136, 145, 226, 235, 244 y 334

Pero 136 puede ser cualquiera de estos casos:

136, 163, 316, 361, 613, 631

Y 226 puede ser cualquiera de estos:

226, 262, 622

Es decir, si los tres valores son distintos, hay 6 casos, y si hay dos valores iguales, salen 3 casos.

Calcula, además:

b) P [suma 11] c) P [suma 9]

d) P [producto 12] e) P [producto 36]

f ) P [el mayor es 5]. Por ejemplo, 351. Si ha salido 552, el mayor es 5.

a) Para 136, 145 y 235 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 226, 244 y 334 tenemos 3 casos con cada uno. Luego hay 3 · 6 + 3 · 3 = 27 casos favorables. Por

tanto, P [ 10] = 27216

= 18

.

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Unidad 13. Azar y probabilidad

b) La suma 11 se da con estos resultados: 146, 155, 236, 245, 335, 344.

Para 146, 236 y 245 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 155, 335 y 344 tenemos 3 casos con cada uno. Luego hay 3 · 6 + 3 · 3 = 27 casos favorables. Por

tanto, P [ 11] = 27216

= 18

.

c) La suma 9 se da con estos resultados: 126, 135, 144, 225, 234, 333.

Para 126, 135 y 234 tenemos 6 posibles casos con cada uno; para 144 y 225 tenemos 3 casos con cada uno, y para 333 solo existe un caso. Luego hay 3 · 6 + 2 · 3 + 1= 25

casos favorables. Por tanto, P [ 9] = 25216

.

d) El producto 12 se da con estos resultados: 126, 134, 223.

Para 126 y 134 tenemos 6 posibles casos con cada uno y para 223 tenemos 3 casos con cada uno. Luego hay 2 · 6 + 3 = 15 casos favorables.

Por tanto, P [ 12] = 15216

= 572

.

e) El producto 36 se da con estos resultados: 166, 236, 334.

Para 236 tenemos 6 posibles casos y para 166 y 334 tenemos 3 casos con cada uno.

Luego hay 6 + 2 · 3 = 12 casos favorables. Por tanto, P [ 36] = 12216

= 118

.

f ) El número 5 aparece en los siguientes casos, y es el mayor: 115, 125, 135, 145, 155, 225, 235, 245, 255, 335, 345, 355, 445, 455, 555.

Para 125, 135, 145, 235, 245, 345 hay 6 posibles casos.

Para 115, 155, 225, 255, 335, 355, 445, 455 hay 3 casos posibles.

Para 555 solo hay un caso.

P [ 5] = 6 · 6 + 8 · 3 + 1216

= 61216

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