Solucion de Armaduras Con Matriz de Rigideces Parte1

Solución de

armaduras con

matriz de rigidez

M.I. Ernesto Alejandro Ruiz Coello

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Definición

Armadura

Cercha

Celosía

Reticulados

Es una estructura plana constituida por un conjunto de barras

articuladas en forma triangulada que permite la rigidez de la estructura,

cuyo sistema de carga esta integrado por fuerzas concentradas que

actúan en las articulaciones, también llamadas nodos y que se ubican en

el mismo plano de a armadura. En estas condiciones las barras de una

armadura solo resistencias fuerzas axiales (normales).



Definición

Al suponer que las cargas

actúan en los nodos, al momento de hacer

la bajada de cargas, el peso de cada una

de las barras de la armadura, debe

repartirse, por mitad, en cada uno de sus

nodos extremos.

Igualmente, al considerar que

las barras están articuladas, la soldadura o

los remaches deben ubicarse lo mas

cercanos al nodo a fin de evitar que se

presenten fuerzas internas que provoquen

momentos flexionantes.


Definición


Nodo, unión o articulación



Definicion

Tipos de barras:

a) Cuerda Superior: es el conjunto de barras que conforman la

parte mas elevada de la estructura. Para solicitaciones de tipogravitacional, normalmente, son piezas que trabajan acompresión.

b) Cuerda Inferior: es el conjunto de barras que forman la partemas baja de la estructura. Para solicitaciones gravitacionalesgeneralmente trabajana tensión.

c) Montantes: denominados así a las barras verticales de unaarmadura.

d) Diagonales: son las piezas que, como su nombre lo indica,

tienen posición inclinada.


"Cometer errores es humano, pero para estropear realmente las cosas necesitas un ordenador“

-- Paul Ehrlich

El hundimiento del Hartford Coliseum (1978)

Coste: 70 millones de dólares, más otros 20 millones en daños a laeconomía local.

Desastre: Sólo unas horas después de que miles de aficionados al

hockey abandonaran el Hartford Coliseum, la estructura de acerode su techo se desplomaba debido al peso de la nieve.

Causa: El desarrollador del software de diseño asistido (CAD)utilizado para diseñar el coliseo asumió incorrectamente que los

soportes de acero del techo sólo debían aguantar la compresiónde la propia estructura. Sin embargo, cuando uno de estossoportes se dobló debido al peso de la nieve, inició una reacción

en cadena que hizo caer a las demás secciones del techo como sise tratara de piezas de dominó.


Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada

miembro

x´y´

X

Y

Øx

Øy

N(xN, yN)

F(xF, yF)

𝐾 =𝐴𝐸

𝐿

λ𝑥2

λ𝑥λ𝑦

λ𝑥λ𝑦

λ𝑦2

−λ𝑥2

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑦2

−λ𝑥2

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑦2

λ𝑥2

λ𝑥λ𝑦

λ𝑥λ𝑦

λ𝑦2

Nx Ny Fx Fy

Nx

Ny

Fx

Fy

Donde:

λ𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅𝑥 =𝑋𝐹 − 𝑋𝑁

𝐿=

𝑋𝐹 − 𝑋𝑁

𝑋𝐹 − 𝑋𝑁 2 + 𝑌𝐹 − 𝑌𝑁 2

λ𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅𝑦 =𝑌𝐹 − 𝑌𝑁

𝐿=

𝑌𝐹 − 𝑌𝑁

𝑋𝐹 − 𝑋𝑁2 + 𝑌𝐹 − 𝑌𝑁

2


Paso 1: establecer la matriz de rigidez para cada

miembro (Ejemplo)

X

Y

N(0,0)

F(3,4)

λ𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 ∅𝑥 =𝑋𝐹 − 𝑋𝑁

𝐿=

3− 0

3− 0 2 + 4− 0 2=

3

5

λ𝑦 = 𝐶𝑜𝑠 ∅𝑦 =𝑌𝐹 − 𝑌𝑁

𝐿=

4− 0

3− 0 2 + 4 − 0 2=

4

5

Entonces:

𝐾 =𝐴𝐸

𝐿

9/2512/25

12/2516/25

−9/25−12/25

−12/25−16/25

−9/25−12/25

−12/25−16/25

9/2512/25

12/2516/25

Nx Ny Fx Fy

Nx

Ny

Fx

Fy


Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global

x

y

4 mts

3 mts

1

1

2

31

2

3

4

5

6

Miembro 1:

Longitud 3 mtsλ𝑥 =

3 − 0

3= 1 λ𝑦 =

0− 0

3= 0

(0,0) (3,0)

(3,4)

𝐾 = 𝐴𝐸

1/30

00

−1/30

00

−1/30

00

1/30

00

1 2 3 41

2

3

4

Miembro 2:

Longitud 5 mtsλ𝑥 =

3− 0

5=3

5λ𝑦 =

4− 0

5=4

5

𝐾 = 𝐴𝐸

9/12512/125

12/12516/125

−9/125−12/125

−12/125−16/125

−9/125−12/125

−12/125−16/125

9/12512/125

12/12516/125

1 2 5 61

2

5

6

𝐾 =𝐴𝐸

𝐿

λ𝑥2

λ𝑥λ𝑦

λ𝑥λ𝑦

λ𝑦2

−λ𝑥2

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑦2

−λ𝑥2

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑥λ𝑦

−λ𝑦2

λ𝑥2

λ𝑥λ𝑦

λ𝑥λ𝑦

λ𝑦2

2 Ton


Paso 2: Ensamblar la matriz de rigidez global

𝐾1 = 𝐴𝐸

1/3 0 −1/30 0 0

−1/3 0 1/3

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

0 0 00 0 00 0 0

𝐾2 = 𝐴𝐸

9/125 12/125 012/125 16/125 0

0 0 0

0 −9/125 −12/1250 −12/125 −16/1250 0 0

0 0 0−9/125 −12/125 0−12/125 −16/125 0

0 0 00 9/125 12/1250 12/125 16/125

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

56

1

2

3

4

56

1 2 3 4 5 6

Entonces:

K1 + K2 = KGlobal

𝐾𝐺𝑙𝑜𝑏𝑎𝑙 = 𝐴𝐸

152/375 12/125 −1/3

12/125 16/125 0−1/3 0 1/3

0 −9/125 −12/1250 −12/125 −16/1250 0 0

0 0 0−9/125 −12/125 0

−12/125 −16/125 0

0 0 00 9/125 12/125

0 12/125 16/125

1

2

3

4

56

1 2 3 4 5 6


Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez

𝑄𝑘𝑄𝑢

=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

𝐷𝑢𝐷𝑘

Qk, Dk = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos conocidos (Know); las cargas

aquí sobre la armadura como parte del problema y los desplazamientos se especifican

generalmente como iguales a cero debido a las restricciones de los apoyos.

Qu, Du = Se refiere a las cargas y los desplazamientos externos Desconocidos (Unknow); las cargas

representan a las reacciones en este caso y los desplazamientos en las nudos sin

restricciones.

Qk = k11Du + K12Dk

Qu = k21Du + K22Dk

Frecuentemente Dk = 0; ya que en los apoyos restringen los desplazamientos (Según sea el tipo de apoyo)

Qk = k11Du

Du = (k11)-1 Qk

Lo que a su vez

Permitirá calcular Qu,Que son los esfuerzos tensionY compresión de cada barra

Qu = k21Du


Paso 3: Aplicación de la teoría del método de la Rigidez

0−2𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6

= 𝐴𝐸

152/375 12/125 −1/312/125 16/125 0−1/3 0 1/3

0 −9/125 −12/1250 −12/125 −16/1250 0 0

0 0 0−9/125 −12/125 0−12/125 −16/125 0

0 0 00 9/125 12/1250 12/125 16/125

𝐷1𝐷20000

𝑄𝑘𝑄𝑢

=𝐾11 𝐾12𝐾21 𝐾22

𝐷𝑢𝐷𝑘


Paso 3.1: Calculo de desplazamientos en nodos libres

Qk = k11Du

0−2

= 𝐴𝐸

152

375

12

12512

125

16

125

𝐷1𝐷2

Se propone resolver por método Gauss - Jordan

152/375 15/125 0

12/125 16/125 −2

Efectuar (-9/38)F1 +F2

152/375 15/125 0

0 2/19 −2

Ya que se tiene una matriz escalonada, procedemos

A realizar una sustitución regresiva

(2/19)D2 = -2

D2 = -19

(152/375)D1 + (15/125)D2 = 0

(152/375) D1 + (15/125)(-19) = 0

(152/375) D1 -228/125 = 0

(152/375) D1 = 228/125

D1 = 9/2

Por tanto los desplazamientos desconocidos en

El nodo 1 son:

𝐷𝑢 =1

𝐴𝐸9/2−19


Paso 3.2: Calculo de reacciones

Qu = k21Du + K22Dk

𝑄3𝑄4𝑄5𝑄6

= 𝐴𝐸

−1/30

00

−9/125−12/125

−12/125−16/125

1

𝐴𝐸9/2−19

+

0000


= (𝐴𝐸)1

𝐴𝐸

−1/3 9/2 + 0 −190 9/2 + 0 −19

−9/125 9/2 + −12/125 −19

−12/125 9/2 + −16/125 −19

=

−3/203/22


=

−3/203/22

Reacciones en los apoyos


Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros

𝑞 =𝐴𝐸

𝐿−λ𝑥 −λ𝑦 λ𝑥 λ𝑦

𝐷𝑁𝑥𝐷𝑁𝑦𝐷𝐹𝑥𝐷𝐹𝑦

Usamos:

Miembro 1:

λx = 1

λy = 0

L = 3

𝑞1 =𝐴𝐸

3−1 0 1 0

1

𝐴𝐸

9/2−1900

=𝐴𝐸

3𝐴𝐸((-1)(9/2)+(0)(-19)+(1)(0)+(0)(0))

q1 = (1/3)(-9/2) = -3/2 = -1.5 TON (compresión)


Paso 4: Calculo de los esfuerzos en los miembros

Miembro 2:

λx = 3/5

λy = 4/5

L = 5

𝑞2 =𝐴𝐸

5−3/5 −4/5 3/5 4/5

1

𝐴𝐸

9/2−1900

=𝐴𝐸

5𝐴𝐸((-3/5)(9/2)+(-4/5)(-19)+(3/5)(0)+(4/5)(0))

q2 = (1/5)(25/2) = 5/2 = 2.5 TON (tensión)


Solución Final

2 Ton

2 Ton

3/2 Ton

3/2 Ton-19/AE

9/2AE

4.00 MTS

3.00 MTS


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