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UNMSM
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1
Matemática
MATEMÁTICA
CONOCIMIENTOS
Resolución N.º 1
Sea la fracción irreductible N2
.
Nos piden el valor de N.
Por dato, tenemos:
N
N2136
2− = −
Desarrollamos
3 136
2NN
− = −
N(3N – 13)=– 12
N(13 – 3N)=12
Como N es divisor positivo de 12 e impar,
entonces, N=3.
∴ El numerador es 3
Resolución N.º 2
Piden: m
0 1 0 01 0 001 102, , ,( ) ⋅ ( ) ⋅ =− −m m
110
1100
11000
102
⋅
⋅ =− −m m
10 10 10 104 3m m⋅ ⋅ =−
10 10 10 1023
8
m m
⋅ ⋅ =−
10 1032
38 1
m−=
De la igualdad anterior se cumple que
32
38
1m − =
∴ m= 1112
Resolución N.º 3
Piden A : rea de la región equilátera.
22
2
22
22 2 2 2
2 2
En el gráfico mostrado, la región sombreada es
equilátera.
Por lo cual
A =2 2 3
4
2( )
∴ A =2 3 2m
R.D.USE 01-1910-89
2009
1980
Solucionario de Examen de Admisión2009-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
2
Matemática
Resolución N.º 4
Graficamos las funciones
� 2 10/3(0; 0)
(�2; 4)A
X
Y
103
203
;f x x( )= 2| |
g x( )= x3
+5
Para hallar los puntos donde las funciones
coinciden, resolvemos
f(x)=g(x)
|2x|= x2
+5 (*)
→ 2x=x2
+5 ∨ 2x=– x2
– 5
x=103
∨ x=– 2 estos valores verifican (*)
El área la determinamos matricialmente
4
0
10
3
20
3
10
3
20
3
–2
0A=1
2
entonces
A=12
403
403
− −
∴ A=403
Resolución N.º 5
Se tiene como dato:
C C Cn n
12
2 3 12+ + =
Recordamos
C1
2 2=
C
n nn2
12
= −( )
C
n n nn3
1 26
= −( ) −( )
Reemplazando obtenemos
21
21 26
12+ −( )+ −( ) −( )
=n n n n n
n n n n n−( )+ −( ) −( )
=12
1 26
10
Factorizando tenemos
n nn
−( )+ −[ ]=1
63 2 10
n n n−( ) +( )=1 1 60
(n – 1)n(n+1)=3×4×5
Comparando obtenemos que n=4
Nos piden calcular C C Cn62
68
28 8 7
228= = = × =
3
Matemática
Resolución N.º 6
Condición
12
12
12
sen cosθ θ+ = −
sen cos º cos sen ºθ θ45 45
22
+ = −
sen ;θ π θ π+
= − +
∈4
22 4
III o IVC
→ θ π π θ π π+
4= ∨ + =5
4 474
θ π θ π= ∨ = 32
→ CS= π π,32
∴ suma de soluciones es 52π
Resolución N.º 7
P
Q
8 cm
8 cm
10 cmM
x2
x2
6 cmr=6 cm
R
O37º
Piden QR=x
Por teorema en la circunferencia
QM MRx= =2
y QR ⊥ OP
OPQ notable de 37º y 53º
→ PQ= 8 cm
OPQ : relaciones métricas
(8 cm) ( 6 cm) = x2
10
( )cm
∴ x= 9,6 cm
Resolución N.º 8
Datos:
De (I)
y=kx (I)
x2+y2 – 6x – 2y+6=0 (II)
De (II)
x y−( ) + −( ) =3 1 22 2 2
E. de una circunferencia
(I) debe ser tangente a (II)
Geométricamente
13
un único puntode intercepto
y kx=X
Yy kx=
Nota
Dependiendo de k, existen dos posibilidades para un único
punto de intercepto.
Reemplazamos (I) en (II)
(k2+1)x2 – 2(k+3)x+6=0
Para que tenga un único punto de intercepto, el
discriminante de la ecuación anterior debe ser
cero.
Luego, ∆ = 0
[ – 2(k+3)]2 – 4(k2+1)6=0
reduciendo, obtenemos
5k2 – 6k – 3=0 (*)
Piden la suma de valores de k.
Por teorema de Cardano en (*)
∴ valores de =65
k∑
4
Matemática
Resolución N.º 9
4 3
4 3
3 3
60º60º
9
30º
3
9
primerhexágono
cuartohexágono
Sea:
A1: área limitada por el
primer hexágono
A4: área limitada por
el cuarto hexágono
Piden: A1 – A4
Dato: A1=320 m2
Por semejanza
A
A1
4
28 3
9=
→ A4 =135 m2
Luego
A1 – A4=320 m2 – 135 m2
∴ A1 – A4=185 m2
Resolución N.º 10
Dado el sistema
a x b y c
a x b y c1 1 1
2 2 2
+ =+ =
si aa
bb
1
2
1
2≠ el sistema tiene solución única y sus
soluciones están dadas por
xc b c ba b a b
= −−
1 2 2 1
1 2 2 1 ∧ y
a c a ca b a b
= −−
1 2 2 1
1 2 2 1
En el sistema
6 3 2
4 3
x a y
a x ay
+ +( ) = −
+( ) + =
xa a
a a aa
a a
=− − +( )− +( ) +( )
= − −
− + +
<
→
+( )
2 3 36 4 3
5 9
12
02
55 9 095
a a+ < < −; (α)
ya
a a aa
a a
= ( )− +( ) −( )− +( ) +( )
= +
− + +
+( )
6 3 4 26 4 3
26 2
122
<
→ + > > −
−( )
0
26 2 0 13a a; (β)
Intersecando (α) y (β)
− < < −13
95
a
valores enteros – 12; – 11; – 10; ...; – 3; – 2
∴ a a∈ − < ≤ −{ }Z 13 2
1
Física
Resolución N.º 1
Considerando el conductor (A) de sección transversal
A y el conductor (B) de longitud L, según los datos,
se tiene el siguiente gráfico.
AA A B C
2A
L4
L3L4
Entonces, de acuerdo a la ley de Poulliet, se tiene
R
LA
L
ALAA
A
A= =
=ρ ρ ρ4
4
RLA
LA
LAB
B
B= =
( )=ρ ρ ρ
2 2
R
LA
L
ALAC
C
C= =
=ρ ρ ρ
34 3
4
Como los conductores están conectados en serie,
la resistencia equivalente del sistema es
Req=RA+RB+RC
Req=ρ ρ ρL
ALA
LA4 2
34
+ +
∴ Req= 32ρLA
Resolución N.º 2
El bloque unido al resorte desarrolla un MAS.
Para el MAS, la frecuencia cíclica (ω) es
K
m
ω= Km
(I)
además
ω=2πf; (f: frecuencia) (II)
igualando (I) y (II) obtenemos
Km
=2πf
de donde
K=4π2f 2m
Reemplazamos los datos
K=4(3,14)2 (0,38)2×7
∴ K=39,8 N/m
Resolución N.º 3
Nos piden: densidad de la glicerina: "ρG"
1.er caso: Cuando está sumergida en el agua la
mitad del volumen está sumergido.
m gE
EH O2
H O2
vol=V
2
Física
Para el equilibrio mecánico
ΣF(↑)=ΣF(↓)
EH2O=mE g
ρ ρH O E2 2
gV
V g⋅ = ⋅( )
→ ρE =
ρH O22
(Ι)
2.o caso: Cuando se le sumerge en glicerina solo el 40% de su volumen está sumergido.
Veamos
m gE
EGglicerina
vol=V
Para el equilibrio mecánico
ΣF(↑)=ΣF(↓)
EG=mE g
ρ ρG V g V g
25
⋅ =( )E
ρ ρG = 52 E (II)
(I) en (II)
ρ
ρρ
G=
=5
254
H2OH2O2
∴ ρG
=1250 kg/m3
Resolución N.º 4
Nos piden la presión manométrica (Pman) al final.
Recordemos que
• Pman=Pabs – Patm (Pabs: presión absoluta)
• La ecuación general de los gases ideales se
trabaja con presiones absolutas.
En el problema
inicio final
aire aire
P
V
T
man(1)
13
1
=1,63 atm
=15 625 cm
=0 ºC = 273 K
P
V
T
man(2)
23
2
=?
=15 938 cm
=27 ºC = 300 K
Usando la ecuación de estado de los gases ideales
obtenemos
P V
T
P V
Tabs abs( ) ( )1 1
1
2 2
2=
P P V
T
P P V
Tman atm man atm( ) ( )1 1
1
2 2
2
+( )=
+( )
( , )( ) ( )1 63 1 15 625273
1 15 938
300+ =
+( )Pman(2)
∴ Pman(2)=1,83 atm
Resolución N.º 5
Nos piden Iind
Graficando lo que acontece tenemos
espira enmovimiento ( )Iind
Bind
Binductor
S
N
Sabemos que toda variación de flujo magnético en un circuito cerrado origina una fuerza electromotriz inducida y, en consecuencia, una corriente inducida.
3
Física
En el problema nos plantean que
ξind= ∆∆φm
t=0,4 Wb/s (I)
De acuerdo a la ley de Ohm
ξind
=Iind×R
0,4 =Iind×5
∴ Iind=0,08 A
Resolución N.º 6
Formando la imagen tenemos
L. convergente
20 cm
10 cm
Z.V.(–)M
O
a
b
F12 cm imagen
hi
Z.R.(+)
objeto F'
N
ILuego, como los triángulos sombreados son
semejantes, tenemos
10a
hbi= (α)
NMI ∼ OFI
20 12
a b b+=
→ 5b=3a+3b
b
a= 32
En (α): 10
32
ahai=
∴ hi=15 cmimagen real
Resolución N.º 7
Piden a.
De la segunda ley de Newton, sabemos que
a
Fm
R
=
aFR=0 2,
(I)
Analizando las fuerzas que actúan sobre el disco,
encontramos FR.
R
37º53º
Fg
Y
X
F1
F2
F2=10 N
F1=5 N
37º53º
FR
a
La reacción (R) se equilibra con la fuerza de
gravedad F g( ); en tal sentido, la fuerza resultante
FR
( ) queda definida por la suma vectorial de F
1
y F
2.
Del gráfico
F F FR
= +12
22
= +5 102 2
= 5 5 N
Finalmente, en (Ι)
a = 5 5
0 2,
∴ a = 25 5 2m/s
Resolución N.º 8
En toda onda se cumple que
vonda=λf; (longitud de onda; f: frecuencia) (I)
Para una onda electromagnética, como es la luz, en
el vacío; su rapidez es C=3×108 m/s.
4
Física
Entonces
C=vonda (II)
(I) en (II)
C=λf;
Reemplazando
3×108=λ5·1014
→ λ=6×10– 7 m
λ=6000×10–10 m; donde (10–10m=1 Aº )
∴ λ=6000 Aº
Resolución N.º 9
Piden λmín
Graficando lo que acontece en el efecto fotoeléctrico
tenemos
e–
e–
e–
e–
(Ec)
fotón Efotón=h f
luzfuente
donde
Efotón : es la energía de los fotones de la radiación
incidente.
EC : es la energía de los fotoelectrones.
φ : función trabajo.
De la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico
tenemos
E ECfot nó
= +φ
h
cEC× = +
λφ
despejamos
λ
φ=
+hcEC
De esta expresión se deduce que para que λ sea
máxima la EC tiene que ser mínima (EC=0), ya que
la φ está definida; entonces
λ
φmáx = = × ×−hc ( , )( )( , )
4 141 10 3 102 3
15 8
∴ λmáx=540 nm
Resolución N.º 10
B
vFMR
Como la velocidad es perpendicular al campo
magnético, entonces, el ion realizará un movimiento
circunferencial uniforme (MCU), donde la FM
sería
la fuerza centrípeta.
De la 2.a ley de Newton tenemos
Fcp=macp
qvB=mv
Rm
qBRv
2→ =
Reemplazamos datos
m= 4 10 0 02 0 4
2 10
6
6× × ×
×
− , ,
∴ m=1,6×10–14 kg
1
Química
Resolución N.º 1
El siguiente sistema en equilibrio es heterogéneo
3Fe(s)+4H2O(g) Fe2O3(s)+4H2(g)
No se consideran las sustancias sólidas debido a
que su concentración molar es constante; luego, la
constante de equilibrio, Kc, es
∴ Kc2
2
H
H O= [ ]
[ ]
4
4
Resolución N.º 2
Se tiene gas nitrógeno (N2) bajo las siguientes
condiciones:
V=8,2 L
PmTR=M =
=?=5,6 g=27 ºC<>300 K
0,082 atm-L/mol-K28 g/molN2
N2
ngN2
g
molmol= =
5 6
280 2
,
/,
Para calcular la presión absoluta del N2, usamos la
ecuación universal de los gases ideales.
PV=nRT
Reemplazamos valores y efectuando tenemos
P× = × ×8 2 0 2 0 082 300, , ,
∴ P=0,6 atm
Resolución N.º 3
Analicemos la estructura de cada compuesto químico y luego identifiquemos la función química a la que pertenece
CompuestoCaracterís-tica de su
composición
Función química
I. KClO3
Compuesto ió-nico formado por catión K1+ y anión ClO1 –
3 (oxoanión).
Sal oxisal(Clorato de
potasio)
II. HNO3
C o m p u e s t o covalente que contiene H, no metal (N) y oxí-geno.
Ácido oxácido(Ácido nítrico)
III. FeCl3
Compuesto ióni-co formado por catión Fe3+ (ion férrico) y anión Cl1 –(cloruro).
Sal haloidea(Cloruro férrico)
IV. HCl
C o m p u e s t o covalente for-mado por H y Cl (halógeno); es un halóge-nuro de hidró-geno en solu-ción acuosa.
Ácido hidrá-cido
(Ácido clorhí-drico)
Resolución N.º 4
En los alcanos y los halogenuros de alquilo, el tipo de carbono es de acuerdo al número de carbonos al cual va unido por enlaces simples.
Tipo de Carbono
Carbonos a los cuales va unido
Primario 1 carbono
Secundario 2 carbonos
Terciario 3 carbonos
Cuaternario 4 carbonos
2
Química
En el problema tenemos:
CH2 CH CH2 CH2 C CHCl CH3
CH2 CH2Cl CH3
CH3CH3 CH CH2Br
Carbonos terciarios ( ): 2Carbonos primarios (•): 6Carbonos secundarios ( ): 5
Resolución N.º 5
La solución descrita en el problema es
Na1+
OH1–
H O2
Vsol=1 L
mNaOH–6=40 g<>40×10 g
MNaOH=40 g/mol
nmM
g
gNaOH molmol= =
×=
−−40 10
4010
66
/
NaOHmolL
[ ]= = =−
−nV
M10
110
66
Por ser una base fuerte: [NaOH]=[OH –]=10 –6MpOH=– log(10 – 6)=6asumimos 25 ºC: pH+pOH=14
∴ pH=14 – 6=8
Resolución N.º 6
Analizando las alternativas tenemos:El monóxido de carbono (CO) es un gas incoloro, inodoro y muy tóxico que se produce en la combustión incompleta de diversas sustancias orgánicas. A elevadas concentraciones puede causar la muerte. Al ser respirado sustituye al oxígeno formando la carboxihemoglobina (COHb); así, la capacidad de la sangre para transportar oxígeno se ve reducida.
El ozono (O3) es un alotropo del oxígeno formado por 3 átomos. Es un gas de color azulado y tóxico.Este gas es muy oxidante; en concentración suficiente, puede provocar daños en la salud humana (a partir de unos 150 µg/m3).
Resolución N.º 7
Los números cuánticos del último electrón del
átomo son
n=3 =2(d) m=0 ms=– 1/2 (↓)
Entonces, la probable región de la zona extranuclear
donde se encuentra es
3 1 0 1 2d -2
↑↓ ↑↓−
↑↓ ↑+
↑+
último electrón
Además, la distribución electrónica del átomo
finaliza en 3d8.
La distribución electrónica completa será:
1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d8
Por lo tanto:
# total de electrones= 28# total de protones (Z) = 28
átomoneutro
Resolución N.º 8
Por dato, sólo el 70% del SO2 se convertirá en H2SO4.
mSOtoneladas
díatoneladas
día216 70
10011 2= × = ,
En la reacción tenemos:
M=64 g/mol M=98 g/mol
2 22 2SO O H O 2H SO2 2 4 + + → 2 mol 2 mol 2(64 g) 2(64 g)
11 2,toneladas
día m=?
3
Química
m=× ×
×=
2 98 11 2
6417 15
gtoneladas
día2 g
toneladasdía
,,
∴ m=17 15,toneladas
día
Resolución N.º 9
En la siguiente reacción
KI+K2Cr2O7+H2SO4 → K2SO4+Cr2(SO4)3+I2+H2O
el ion sulfato (SO42 –) es un ion espectador.
El balance por el método redox lo realizaremos mediante el procedimiento directo.
2KI+K Cr O +H SO2 2 7 2 4 K SO SO2 4 42–+Cr ( ) +I +H O2 3
02 2
1– 6+ 3+
oxidación(– 2e)×3
reducción(+6e)×1
6KI+1K Cr O +7H SO2 2 7 2 4 4K SO SO2 4 4+1Cr ( ) +3I +7H O2 3 2 2
se determina por tanteo
La suma de coeficientes estequiométricos será
∴ 6+1+7+4+1+3+7=29
Resolución N.º 10
Diagrama de la electrólisis del agua
H O2
ánodocátodo
+–H2 O2
I A=1
t=1608 min60 s
min
+
= 96480 s
En el cátodo, el agua se reduce según:
2H2O()+2e – → H2(g)+2OH – (ac)
2F 1mol H2
2×96480C 2g H2
96480C mH2 mH2
=1 g
En el ánodo, el agua se oxida según:
2H2O() → O2(g)+4H+(ac)+4e –
1 mol O2 4F
32 g O2 4×96 480 C
mO2 96 480 C
∴ mO2=8 g
1
Biología
Resolución N.º 1
Los cilios y flagelos son estructuras utilizadas en
la locomoción celular. Presentan dos regiones: el
cuerpo basal y el axonema; el primero constituido
por nueve tripletes de microtúbulos y el segundo
por nueve dupletes más uno central, siendo las
proteínas llamadas tubulinas los monómeros de
los microtúbulos cuya modificación está asociada a
la locomoción que incluye gasto de ATP.
Resolución N.º 2
Los cloroplastos son organelas especializadas
en realizar la fotosíntesis que presentan doble
membrana. La membrana interna encierra un fluido
llamado estroma o matriz acuosa, lugar donde se
localizan las enzimas destinadas a capturar CO2, que
es la fuente de carbonos para la síntesis de glucosa
u otras moléculas orgánicas durante un conjunto de
eventos denominado ciclo de Calvin-Benson.
Resolución N.º 3
En los seres vivos, las relaciones intraespecíficas
incluyen a las asociaciones estatales o sociedades
que se da en los insectos sociales, como las
abejas que presentan integrantes como la reina,
obreras y zánganos que se pueden diferenciar
morfológicamente y funcionalmente para garantizar
el beneficio de todos los miembros.
Resolución N.º 4
Existen varios tipos de células en el tejido conectivo,
los cuales presentan diversas funciones. El mastocito
o célula cebada es aquella que sintetiza y almacena
histamina, una sustancia química que desencadena
reacciones alérgicas, broncoconstricción (cierre de
los bronquios), vasodilatación con la consiguiente
disminución de la presión arterial y, sobre todo, una
gran respuesta inflamatoria a nivel corporal.
Resolución N.º 5
En la zona de absorción de la raíz, el agua y los iones
minerales disueltos en ella pueden desplazarse por
el tejido aislante interno denominado endodermis,
que se caracteriza por el depósito de una banda
de lignina y suberina (banda de Caspary) que se
relaciona con los fenómenos de permeabilidad,
permitiendo la absorción de iones selectivamente al
cilindro central, regulando así el ingreso del agua.
Resolución N.º 6
Las hifas en los hongos pueden presentar tabiques
(septada, tabicada) o no presentarlos (cenocítica, no
tabicado). Los ficomicetos tienen hifas cenocíticas;
en cambio, los ascomicetos y los basidiomicetos
presentan hifas tabicadas (paredes celulares trans-
versales) que permiten el pasaje de citoplasma e
inclusive del núcleo.
Otros organismos parecidos a los hongos, como
los mixomicetos, que son mohos mucilaginosos
plasmodiales y son cenocíticos durante la etapa no
reproductiva. Asimismo, y los deuteromicetos son
hongos imperfectos, los cuales pertenecen a una
clasificación artificial.
Resolución N.º 7
Los cnidarios o celentéreos como las medusas e
hidras presentan unas células especializadas llama-
das cnidocitos que contienen nematocistos. Estos
nematocistos son estructuras urticopunzantes que
sirven para la captura de la presa y muchos son
penetrantes e inyectan una toxina a la presa.
2
Biología
Resolución N.º 8
En la vía olfatoria, el impulso nervioso sigue la siguiente secuencia: desde la mucosa olfatoria (techo de las fosas nasales) y pasando por el I par craneal, bulbo olfatorio, cintilla olfatoria, termina en la corteza
cerebral donde la olfación se hace consciente.
El I par craneal (axones de las protoneuronas de
Schultz), luego de atravesar la lámina cribosa del
hueso etmoides, hace sinapsis con la célula mitral
localizada en el bulbo olfatorio, para luego transmitir
el impulso nervioso hacia el cortex olfativo.
Resolución N.º 9
Los ganglios nerviosos son agrupaciones de somas
neuronales.
Los ganglios cefalorraquídeos del sistema nervioso
periférico, localizados en las raíces posteriores de
los nervios espinales y algunos nervios craneales,
están formados principalmente por los somas de
las neuronas sensitivas que permiten transmitir
al SNC informaciones generales captadas por los
receptores sensitivos.
Resolución N.º 10
Durante la radiación adaptativa, una especie
da origen a muchas especies nuevas en un tiempo
relativamente breve. Este proceso se lleva a cabo
cuando varias poblaciones de una sola especie
invaden diversos hábitats nuevos y se adaptan en
respuesta a las diferentes presiones ambientales
de esos hábitats. Un ejemplo lo constituye la
colonización de los pinzones de Darwin a las islas
Galápagos.
1
Lenguaje
Resolución N.º 1
Los verbos transitivos son aquellos cuya acción
verbal afecta a sustantivos, los cuales funcionan
como objeto directo. En El niño comió un pastel
de manzana, la acción de comer recae en "un
pastel de manzana".
Resolución N.º 2
El adverbio de modo indica la forma en que se
realiza la oración verbal. Así, la oración: Ella
contestó correctamente, el verbo tiene un
complemento adverbial ("correctamente") que
expresa el modo del desarrollo verbal.
Resolución N.º 3
La frase nominal está conformada por un grupo de
palabras cuyo núcleo es el sustantivo; en este caso
es el sustantivo valor.
Resolución N.º 4
El diptongo es la unión de una vocal cerrada y
una vocal abierta, principalmente, según esto los
diptongos serían los siguientes:
• Los guardianes que querían evitar la guerra y D D
la violencia fueron exiliados. D D D D
La oración contiene seis en total.
Resolución N.º 5
Las tildes que requiere la oración son cuatro: "mí",
"apagué", "deje" y "cansé". La primera tilde se aplica
por regla especial, y las otras, por regla general.
Resolución N.º 6
Estructuralmente, la palabra puede estar conformada por morfema raíz (tiene significado base) y morfemas gramaticales que pueden ser derivados o flexivos.Por ejemplo:
roj_
morfemaraíz o
lexema
_iz_ _o
morfemaflexivo
morfemaderivado
gramaticales
Resolución N.º 7
Para hallar al sujeto se pregunta al verbo principal: ¿Qué ha variado? y la respuesta es la música que escucha María. Además se verifica por la concordancia entre el núcleo "música" y el resto "ha variado", ya que ambos están en singular.
Resolución N.º 8
La función predominante se determina por la in-tención del hablante; así, en el enunciado "el todo es igual a la suma de las partes" la función es re-presentantiva; e "¡qué lindo enunciado!" podemos observar la expresiva y en "alumnos", escuchen atentamente se aprecia la apelativa.
Resolución N.º 9
En la homonimia parcial, las palabras seme-jantes pertenecen a diferentes clases gramaticales. Tal es el caso de "cabo", sustantivo que significa extremo de algo, y "cavo" del verbo cavar conjugado en primera persona.
Resolución N.º 10
En sé dónde venden las obras de Mario Vargas Llosa la proposición "dónde venden las obras de Mario Vargas Llosa" completa la acción del verbo transitivo "sé" y, como tal, cumple la función del
objeto directo.