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134
Declive e inclinação De uma reta5UNIDADE
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
Tarefa 1 Na figura está representada, num referencial o.n. xOy , a reta AB , em que A e B têm coordenadas (0, 2) e (4, 0) , respetivamente.
1.1 Determine a equação reduzida da reta AB .
1.2 Determine a amplitude do ângulo OBA . Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades.
1.3 Considere a reta r , paralela a AB , que passa na origem do referencial, e um ponto P dessa reta de ordenada positiva.
Determine, em graus, a amplitude do ângulo convexo formado pelo semieixo positivo Ox e a semirreta OoP .
Apresente o resultado em graus, aproximado às unidades.
1.1 As coordenadas do vetor AB = B - A são (4, -2) ; logo,
m = 42-
= 21
- .
Assim sendo, a reta AB é dada por y = 21
- x + 2 .
1.2 Tem-se OA = 2 e OB = 4 .
Então, tan(OBAW ) = 42
= 21
, donde OBAW c 27° .
1.3 O ângulo pretendido tem de amplitude 180° - 27° = 153° .
1 No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas r e s .
A reta s tem equação x = 1 .
1.1 Indique a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s .
1.2 Determine a amplitude do ângulo que a reta r forma com o eixo Oy .
x
y
u2p102h1
O
A
B
x
y rs
u2p102h4
O
70º
1
000707 134-139 U5.indd 134 01/07/16 12:07
135
5UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
1.1 Os ângulos formados pelas retas r e s têm amplitudes 90° - 70° = 20° e 90° + 70° = 160° . Portanto, a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é igual a 20° .
1.2 A amplitude é de 20°.
2 Considere, num referencial ortonormado, a reta r de equação y = 2x .
Determine um valor aproximado às décimas do grau da inclinação da reta r .
Seja a a inclinação da reta r . O ponto (1, 2) pertence à reta r , então,
tan a = 12
, donde a c 63,4° .
3 Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por:
a) (x, y) = (2, -3) + k(-4, 4), k ! IR
b) x + 3y = 4
c) 2x + y = 1
Apresente o valor aproximado às décimas de grau.
a) O declive desta reta é dado por m = 4
4-
= -1 ; logo, é paralela à bissetriz
dos quadrantes pares.
Portanto, a inclinação da reta é 90° + 45° , ou seja, 135° .
b) x + 3y = 4 + y = 3
1- x +
3
4 +
+ y = 33
- x + 3
4 3
Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas
,03
4 3e o e (4, 0) .
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:
tan(180° - a) = 43
4 3
+ -tan a = 33
+
+ tan a = 33
-
Como 0° G a < 180° , conclui-se que a = 150° .
000707 134-139 U5.indd 135 01/07/16 12:07
136
Declive e inclinação De uma reta
c) 2x + y = 1 + y = -2x + 1
Esta reta interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (0, 1)
e ,21
0c m .
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que:
tan(180° - a) =
211
+ -tan a = 2 +
+ tan a = -2
Como 0° G a < 180° , conclui-se que a c 116,6° .
4 Considere, num referencial o.n., a reta de inclinação 135° e que passa no ponto de coordenadas (2, -3) .
Determine a sua equação reduzida.
Seja m o declive da reta.
Então:
m = tan 135° = -tan 45° = -1
Logo, a equação reduzida da reta é da forma y = -x + b , e como (2, -3) pertence à reta, tem-se:
-3 = -2 + b + b = -1
Portanto, a equação reduzida da reta é:
y = -x - 1
5 Determine a inclinação das retas que num referencial ortonormado são definidas por:
a) (x, y) = (2, 3) + k(-2, 0), k ! IR
b) y = x + 1
c) y = 3x + 2
a) O declive desta reta é igual a 0 ; logo, a reta é horizontal.
Portanto, a inclinação da reta é 0° .
b) Esta reta tem inclinação 45° , pois o seu declive é 1 ( tan 45° = 1 ) .
c) Esta reta tem inclinação 60° , pois o seu declive é igual a 3
e tan 60° = 3 .
000707 134-139 U5.indd 136 01/07/16 12:07
137
5UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
6 No referencial o.n. xOy da figura estão representadas duas retas, r e s .
Sabe-se que:• aretar é definida pela equação
y = 2x - 1 ;• asretasr e s são perpendiculares e
intersetam-se no ponto de coordenadas (2, 3) ;• a é a inclinação da reta s .
6.1 Determine o valor exato de sin(r + a) - cos a .
6.2 Determine a equação reduzida da reta s .
6.1 Seja b a inclinação da reta r . Então:
b = r - 2r
- (r - a) = a + 2r
Por outro lado:
tan b = 2 + tan2
ar
+c m = 2 + cos
sin
2
2
ar
ar
+
+
c
c
m
m
= 2 +
+ sincos
aa-
= 2 + tan a = 21
-
Sabe-se também que:
1 + tan2 a = cos
12a
+ 1 + 21 2
-c m = cos
12a
+
+ cos2 a = 54
° °90 180+1 1a
cos a = 5
2 5-
Pela fórmula fundamental da trigonometria:
sin2 a = 1 - cos2 a + sin2 a = 1 - 54
+
+ sin2 a = 51
0 180° °
+1 1a
sin a = 55
Portanto: sin(r + a) - cos a = -sin a - cos a =
= -55
- 5
2 5-e o =
55
6.2 Pela alínea anterior, sabe-se que o declive da reta s é 21
- , já que
tan a = - 21
.
Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = 3 + 21
× 2 = 4 .
Logo, a equação reduzida da reta s é y = 21
- x + 4 .
x
y
u2p104h3
O
3
2
s
r
a
000707 134-139 U5.indd 137 01/07/16 12:07
138
Declive e inclinação De uma reta
Tarefa 2 No referencial o.n. xOy da figura estão representadas duas retas, r e s .
Sabe-se que:
• aretar é definida pela equação (x, y) = (0, -1) + k(1, 1), k ! IR ;
• aretas é perpendicular à reta r e passa no ponto de coordenadas (0, 3) .
2.1 Determine a inclinação da reta r .
2.2 Determine a equação reduzida da reta s .
2.3 Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas r e s .
2.1 Um vetor diretor da reta r é (1, 1) ; logo, o declive é m = 1 .
Sendo a a inclinação, tem-se que tan a = 1 e, portanto, a = 45° .
2.2 O declive da reta s é dado por ms = tan(45° + 90°) = -tan(45°) = -1 .
Logo, a equação reduzida da reta s é y = -x + 3 , pois a ordenada na origem é 3 .
2.3 O ponto de interseção das duas retas é dado pela solução do seguinte sistema, em que a primeira equação é a equação reduzida da reta r com ordenada na origem -1 e declive 1 (por 2.1).
y x
y x
1
3
= -
=- +* +
x x3 1
———
- + = -( +
x
y
2
1
=
=*
O ponto de interseção tem coordenadas (2, 1) .
7 No referencial o.n. da figura estão representadas duas retas, r e t , e uma circunferência.
Sabe-se que:
• acircunferênciatemequaçãox2 + y2 = 1 ;
• ainclinaçãodaretar é 3
2r rad ;
• aretat tem equação x = 1 ;• opontoA pertence ao eixo das abcissas;• opontoB tem coordenadas (1, 0) ;• C é o ponto de interseção das retas r e t ;• D é o ponto de interseção da circunferência
com a reta r , com abcissa positiva;• ospontosA e D têm a mesma abcissa.Determine a área do trapézio [ABCD] .
x
y
u2p105h1
O
3s
r
x
y
u2p105h3
OA
D
C
B
r t
000707 134-139 U5.indd 138 01/07/16 12:07
139
5UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Determine-se a equação reduzida da reta r :
O declive de r é tan 3
2r = - 3 .
Como a reta r passa na origem do referencial, a equação reduzida da reta r
é y = - 3x .
Determine-se as coordenadas do ponto D :
x y
y x
1
3
2 2+ =
=-* +
( )x x3 1
———
2 2+ - =) +
+ x
41
———
2 =*
x 0+2
x
y
21
23
=
=-*
Portanto, D ,21
23
-e o .
Determine-se as coordenadas do ponto C :
x
y x
1
3
=
=-* +
x
y
1
3
=
=-*
Portanto, C 1̂, - 3h .
Assim, a área do trapézio [ABCD] é dada por:
A[ABCD] = BC AD
2+
× AB = 2
323
21
#+
=
= 42
3 3
= 8
3 3 u. a.
000707 134-139 U5.indd 139 01/07/16 12:07
140
produto escalar de vetores6UNIDADE
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
6.1 Definição e aplicações
1 Num referencial o.n. xOy , a reta r tem equação y = -3x + 1 .
Determine a equação reduzida da reta s , perpendicular a r e que passa no ponto de coordenadas (-4, -1) .
Como o declive da reta r é igual a -3 , tem-se que o declive da reta s
é igual a 31
.
Assim, a ordenada na origem da reta s é dada por b = -1 - 31
× (-4) = 31
.
Logo, a equação reduzida da reta s é y = 31
x + 31
.
2 No referencial o.n. da figura, a reta t é perpendicular a [AB] , em que A e B têm coordenadas (-6, 2) e (5, 6) , respetivamente.
A reta t interseta o eixo das abcissas no ponto de abcissa 3 .
2.1 Determine a equação reduzida da reta t .
2.2 Seja a a inclinação da reta AB .
Determine cos a .
2.3 Escreva uma condição que defina a região colorida da figura.
2.4 Determine as coordenadas do ponto de interseção das retas t e AB .
2.1 O declive da reta que passa pelos pontos A e B é dado por
mAB = 5 66 2
+-
= 114
; portanto, o declive da reta t é mt = -4
11 .
Assim, a ordenada na origem da reta t é igual a b = 0 + 4
11 × 3 =
433
.
Logo, a equação reduzida da reta t é y = -4
11x +
433
.
u2p106h3
t
26 3
6
2
5 xO
A
B
y
000707 140-175 U6.indd 140 01/07/16 12:08
141
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2.2 A inclinação, a , da reta AB é tal que tan a = 114
.
Então:1 + tan2 a =
cos1
2a + 1 +
114 2
c m = cos
12a
+
cos2 a = 137121
0 09° °
+1 1a
+ cos a = 137
11 137
2.3 Determine-se a equação reduzida da reta AB :
Sabe-se, por 2.1, que mAB = 114
; logo, a equação reduzida da reta AB
é da forma y = 114
x + b .
Substituindo as coordenadas do ponto A , obtém-se:
b = 2 - 114
× (-6) = 1146
Assim, y = 114
x + 1146
.
Portanto, a condição que define a região colorida da figura é:
y G 114
x + 1146
/ y H -4
11x +
433
/ y H 0 / x < 5
2.4 y x
y x
114
1146
411
433
= +
=- +* +
x x114
1146
411
433
———
+ =- +* +
+ x x16 121 363 184
———
+ = -( +
x
y
137179
411
137179
433
#
=
=- +* +
+ x
y
137179
137638
=
=*
O ponto de interseção das retas t e AB tem coordenadas ,137179
137638
d n .
3 Considerando como unidade de comprimento o lado da quadrícula, determine u v$ .
a) b) c)
a) u $ v = 2 × 3 = 6 b) u $ v = -1 × 2 = -2 c) u $ v = -1 × 2 = -2
u2p107h3
v
u
u2p107h4
u v
u2p107h5
u
v
000707 140-175 U6.indd 141 01/07/16 12:08
142
produto escalar de vetores
4 Considere o retângulo representado na figura ao lado.
Prove que:
BA $ BD = AB2
A projeção ortogonal do ponto D na reta AB é o ponto A ; logo:
BA $ BD = BA × BA = BA2 = AB
2 = AB
2
5 Na figura está representado um paralelepípedo retângulo, em que na unidade de comprimento fixada AB = 6 , BC = 5 e CG = 4 .
Determine:
a) AB $ AF
b) AB $ DC
c) BF $ FG
d) AD $ FG
a) AB $ AF = 6 × 6 = 36
b) AB $ DC = 6 × 6 = 36
c) FB $ FG = 4 × 0 = 0
d) AD $ GF = -5 × 5 = -25
6 Determine o produto escalar de u e v em cada caso:
a) u = 3 e v = 2 b) u = 3,2 e v = 1,5
a) u $ v = u v cos u v_ iT = 3 × 2 × cos 30° = 6 × 23
= 3 3
b) u $ v = u v cos u v_ iT = 3,2 × 1,5 × cos 3
2r = 3,2 × 1,5 × sin
6r
-c m =
= 3,2 × 1,5 × (-0,5) = -2,4
u2p108h3
D C
A B
u2p109h3
A
E
H G
B
CD
6
5
4F
u2p110h4
30º u
v
u2p110h5
u
v 2p3}
000707 140-175 U6.indd 142 01/07/16 12:08
143
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7 Considere o cubo [ABCDEFGH] de aresta 3 , representado na figura.
Indique, utilizando letras da figura, dois vetores cujo produto escalar seja igual a:
a) 9
b) 18
c) 0
d) -18
a) Por exemplo, AB e DC .
b) Por exemplo, AB e 2DC .
c) Por exemplo, AB e AE .
d) Por exemplo, AB e 2 DC .
8 Na figura está representado um tetraedro regular [ABCD] , em que AB = 5 .
Determine:
a) AB $ BC
b) AC $ CA
c) AC $ BD
a) AB $ BC = 5 × 5 × cos 120° = 225
-
b) AC $ CA = 5 × 5 × cos 180° = -25
c) AC $ BD = 5 × 5 × cos 90° = 0
9 Na figura está representado um paralelogramo, em que AD = 3 e AB = 5 .
Determine:
a) AB $ AD
b) AB $ BC
c) DC $ AB AB+_ i
d) CB $ AB BD+_ i
a) AB $ AD = AB AD cos AAB D_ iT = 5 × 3 × cos 30° = 2
15 3
b) AB $ BC = 5 × 3 × cos 30° = 2
15 3
c) DC $ AB AB+_ i = DC AB2 cos DC AB_ iT = 5 × 10 × cos 0° = 50
d) CB $ AB BD+_ i = CB $ AD = 3 × 3 × cos 180° = -9
u2p111h1
D
C
A
B
u2p111h2
DC
AB
30º
u9p96ha
A 3 B
C
GH
EF
D
000707 140-175 U6.indd 143 01/07/16 12:08
144
produto escalar de vetores
10 Várias pessoas empurram um carro exercendo uma força de 18 130 newtons. Sabendo que o trabalho realizado por essa força é de 455 000 joules, determine a distância percorrida pelo carro, em metros, aproximada às décimas.
Seja d a distância percorrida pelo carro. Então:
d = 18 130455 000
c 25,1 m
11 O Pedro puxa um carrinho aplicando uma força constante de 50 newtons, deslocando-o 10 metros na horizontal. Sabendo que o trabalho realizado pela força é de 250 joules, determine o ângulo entre a força e o deslocamento.
Seja a o ângulo entre a força e o deslocamento. Então:
250 = 50 × 10 × cos a + cos a = 21
+ a = 60°
Tarefa 1 1.1 Seja a o ângulo entre as retas r e s . Sendo u e v , respetivamente,
vetores diretores de r e s , justifique que:
a = arccos u v
u v$
1.2 Determine a amplitude, em graus, do ângulo entre as retas r e s , definidas, respetivamente, pelas equações y = 2x + 3 e x + y = 2 , apresentando o resultado aproximado às unidades.
1.1 O ângulo entre as retas é o ângulo dos vetores u e v , se este for agudo ou reto, ou o seu complementar, caso contrário. Em qualquer dos casos, obtém-se o pretendido.
1.2 a = arccos 55
c 63°
12 Considere o triângulo [ABC] cujos lados [AB] e [BC] medem 2 cm e 3 cm , respetivamente.
Sabendo que AB $ BC = 0 , determine:
a) AC , justificando os procedimentos efetuados.
b) AB $ CA
c) ACWB , arredondada às décimas de grau.
000707 140-175 U6.indd 144 01/07/16 12:08
145
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
a) Como AB $ BC = 0 , tem-se que AB = BC . Pelo teorema de Pitágoras, vem:
AC2 = AB
2 + CB
2 + AC
2 = 22 + 32 + AC = 13 cm
b) Pela lei dos cossenos, tem-se:
32 = 22 + 132 - 2 × 2 × 13 cos AAB C_ iT +
+ cos AAB C_ iT = 13
2 =
132 13
Portanto:
AB $ BC = AB AC cos AAB C_ iT = 2 × 13 × 13
2 13 = 4
c) cos AAB C_ iT = 13
2 13 + BACW c 56,3°
ACWB = 180° - 90 - 56,3 = 33,7°
13 Sejam u e v dois vetores tais que:
• u = v = 2 • u v_ iT = 120°
Determine:
a) u $ v b) u $ u c) v $ (-3v)
a) u $ v = u v cos u v_ iT = 2 × 2 × cos 120° = 4 × 21
-c m = -2
b) u $ u = u2 = 22 = 4
c) v $ (-3v) = v × v3- × cos ( )v v3-` jT = 2 × 6 × cos 180° = -12
14 No referencial ortonormado da figura está representado o triângulo [ABC] , em que A(2, 4) , B(-1, 1) e C(3, -2) .
14.1 Utilize o teorema de Carnot para mostrar
que cos(ABWC) = 10
2 .
14.2 Calcule BA $ BC e averigue se o triângulo [ABC] é retângulo em B .
14.1 Calcule-se o comprimento dos lados de [ABC] :
BA = ( ) ( )1 2 1 42 2- - + - = 9 9+ = 3 2
AC = ( ) ( )3 2 2 42 2- + - - = 1 36+ = 37
BC = ( ) ( )3 1 2 12 2+ + - - = 16 9+ = 5u2p114h2
x
y
O
A
B
C
000707 140-175 U6.indd 145 01/07/16 12:08
146
produto escalar de vetores
Pelo teorema de Carnot, tem-se:
AC2 = BA
2 + CB
2 - 2 BA BC cos BA CB_ iT +
+ 372 = 3 2
2_ i + 52 - 2 × 3 2 × 5 × cos(ABCW ) +
+ cos(ABCW ) = 2 3 2
3 2
5
5 372 2 2
# #
+ -_ i =
30 2
6 =
606 2
= 10
2
14.2 BA $ BC = BA BC cos BA BC_ iT = 3 2 × 5 × 10
2 = 3
Como BA $ BC = 3 ! 0 , os vetores BA e BC não são perpendiculares. Logo, o triângulo [ABC] não é retângulo em B .
15 Determine, em cada alínea, o produto escalar dos vetores cujas coordenadas, num referencial o.n. do plano, são:
a) u(2, -3) e v(1, -2) b) u(3, -1) e v(1, 3) c) u(1, 1) e v(2, 2)
a) u $ v = 2 × 1 + (-3) × (-2) = 2 + 6 = 8
b) u $ v = 3 × 1 + (-1) × 3 = 3 - 3 = 0
c) u $ v = 1 × 2 + 1 × 2 = 2 + 2 = 4
16 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(7, -2) e v(m, 6) , em que m é um número real.
Determine o valor de m , de modo que:
a) u e v sejam perpendiculares.
b) u e v sejam colineares.
c) u = v
a) u $ v = 0 + 7m + (-2) × 6 = 0 + 7m = 12 + m = 712
b) (m, 6) = k(7, -2), k ! IR + m k
k
7
6 2
=
=-) +
( )m
k
7 3
3
#= -
=-) +
m
k
21
3
=-
=-)
c) u = v + ( )7 22 2+ - = m 62 2+ + 53 = m2 + 36 +
+ m2 = 17 + m = ! 17
17 Num referencial o.n. do plano, considere os vetores u(8, -6) e v(m, 3) , em que m é um número real.
Determine o valor de m , de modo que u v_ iT = 60° .
000707 140-175 U6.indd 146 01/07/16 12:08
147
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
u v cos u v_ iT = u1v1 + u2v2 +
+ ( ) m8 6 32 2 2 2+ - +` _j i cos 60° = 8m - 18 +
+ ( ) ( )m
2
8 6 32 2 2 2+ - +_ i = 8m - 18 +
m2
100 9002 + = 8m - 18 &
& m
4100 9002 +
= (8m - 18)2 + 25m2 + 225 = 64m2 - 288m + 324 +
+ 39m2 - 288m + 99 = 0 + 13m2 - 96m + 33 = 0 +
+ m = ( )
( )2 13
96 96 4 13 332! # #- - + m =
2696 7500!
+
+ m = 26
96 50 3! + m =
1348 25 3+
0 m = 13
48 25 3-
Como 8 × 13
48 25 3- - 18 < 0 e 8 ×
1348 25 3+
- 18 > 0 ,
m = 3
1348 25+
.
18 No referencial o.n. xOy da figura estão representados o quadrado [OABC] e o retângulo [OPQR] .
Os pontos A e P pertencem ao semieixo positivo Ox e os pontos C e R pertencem ao semieixo positivo Oy .
O ponto Q pertence ao interior do quadrado [OABC] .
Sabe-se que:
•OA = a •OP = b • RC = b
Prove que as retas QB e RP são perpendiculares.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2012
As retas QB e RP são perpendiculares se, e só se, QB $ RP = 0 .
Tem-se que B(a, a) , P(b, 0) , Q(b, a - b) e R(0, a - b) .
Então, QB = B - Q tem coordenadas:(a, a) - (b, a - b) = (a - b, a - a + b) = (a - b, b)
e RP = P - R tem coordenadas:(b, 0) - (0, a - b) = (b, -a + b)
Assim:
QB $ RP = (a - b, b) $ (b, -a + b) = ab - b2 + (-ab) + b2 = 0
Logo, as retas QB e RP são perpendiculares.
x
y
P
Q
B
A
R
C
u2p116h2
O
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148
produto escalar de vetores
Tarefa 2 Justifique a igualdade u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 para vetores não colineares
no espaço. Observe que u2 = u2
1 + u22 + u2
3 .
Sejam A , B e C pontos e os vetores u e v , tais que u = AB e v = AC .
Considerando a = BC , b = AC e c = AB , tem-se, pelo teorema de Carnot:
BC2 = u
2 + v
2 - 2 u v cos u v_ iT = u
2 + v
2 - 2u $ v (I)
Num referencial o.n. Oxyz , sejam u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) .
Como BC = v - u , tem-se que BC(v1 - u1, v2 - u2, v3 - u3) .
Então: BC
2 = (v1 - u1)2 + (v2 - u2)2 + (v3 - u3)2
Ou seja,
BC2 = v1
2 - 2v1u1 + u12 + v2
2 - 2v2u2 + u22 + v2
3 - 2v3u3 + u32 =
= u12 + u2
2 + u32 + v1
2 + v22 + v2
3 - 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3
donde, reparando que u12 + u2
2 + u32 = u
2 e v1
2 + v22 + v2
3 = v2 :
BC2 = u
2 + v
2 - 2v1u1 - 2v2u2 - 2v3u3 (II)
Comparando (I) e (II), obtém-se u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 .
6.2 Propriedades do produto escalar
Tarefa 3 Prove as seguintes propriedades:• Propriedade comutativa ou simétrica Dados os vetores u e v , u $ v = v $ u .
•Propriedade associativa mista Dados os vetores u e v e um número real m , ^muh $ v = m^u $ vh .
Considere-se que se tem u e v , vetores num referencial o.n. xOy , em que u e v têm coordenadas (u1, u2) e (v1, v2) , respetivamente.
Tem-se:
u $ v = u1v1 + u2v2 = v1u1 + v2u2 = v $ u
E para m número real:
(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 = m(u1v1) + m(u2v2) = m(u $ v)
Isto prova as propriedades comutativa e associativa mista num referencial o.n. xOy .
Analogamente, para um referencial o.n. Oxyz do espaço, basta considerar vetores com três coordenadas e aplicar o produto escalar usando coordenadas no espaço.
000707 140-175 U6.indd 148 01/07/16 12:09
149
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Ou seja:Considere-se u(u1, u2, u3) e v(v1, v2, v3) ; então:
u $ v = u1v1 + u2v2 + u3v3 = v1u1 + v2u2 + v3u3 = v $ uE para m número real:
(mu) $ v = (mu1)v1 + (mu2)v2 + (mu3)v3 = m(u1v1) + m(u2v2) + m(u3v3) = m(u $ v)
Tarefa 4 Prove que, dados dois vetores u e v , se u = v , então, os vetores u + v e u - v são perpendiculares.
Pela propriedade distributiva do produto escalar em relação à adição de vetores:
^u + vh^u - vh = u $ u + u $ ^-vh + v $ u + v $ ^-vh =
= u2 - v
2 - v $ u + v $ u = u
2 - v
2 = 0
Portanto, (u + v) 9 (u - v) .
19 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular [ABCOV] contida no plano xOy e com vértice V de coordenadas (0, 0, 4) .
O ponto B tem coordenadas (4, 4, 0) .
19.1 Justifique que OB $ AC = 0 .
19.2 Calcule:
a) BA $ CB b) BA $ BV
19.3 Considere a reta r de equação:
(x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 1) , k ! IR
Averigue se as retas r e BV são perpendiculares.
19.1 Tem-se A(4, 0, 0) , B(4, 4, 0) , C(0, 4, 0) e O(0, 0, 0) .
Então, OB = B - O tem coordenadas (4, 4, 0) e AC = C - A tem coordenadas (0, 4, 0) - (4, 0, 0) = (-4, 4, 0) .
Logo:
OB $ AC = 4 × (-4) + 4 × 4 + 0 = -16 + 16 + 0 = 0
19.2 a) AB = B - A tem coordenadas (0, 4, 0) .
BC = C - B tem coordenadas (-4, 0, 0) .
AB $ BC = -4 × 0 + 4 × 0 + 0 = 0
b) AB(0, 4, 0) e BV(-4, -4, 4)
AB $ BV = -4 × 0 + (-4) × 4 + 0 = -16
19.3 O vetor r(1, 0, 1) é um vetor diretor da reta r . Então:
r $ BV = 1 × (-4) + 0 × (-4) + 1 × 4 = 0 Logo, as retas r e BV são perpendiculares.
y
x
z
A
V
B
C
u2p117h1
O
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150
produto escalar de vetores
20 Relativamente a três vetores u , v e w , sabe-se que:
• u $ v = 4
• u $ w = -2
•w $ v = 3
Determine:
a) (2u) $ v
b) u $ (-v)
c) w $ (u + v)
d) u $ (2w + v)
a) (2u) $ v = 2(u $ v) = 2 × 4 = 8
b) u $ (-v) = -(u $ v) = -4
c) w $ (u + v) = w $ u + w $ v = u $ w + w $ v = -2 + 3 = 1
d) u $ (2w + v) = 2(u $ w) + u $ v = 2 × (-2) + 4 = -4 + 4 = 0
21 Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares.
SUGESTÃO:
Repare que os lados opostos de um losango são paralelos e têm o mesmo comprimento.
Considere-se o losango [ABCD] , em que AB = CD = AD = BC ,
AD = BC = v e BA = CD = u .
Então:
BD $ CA = (u + v)(u - v) = u $ u + u $ (-v) + v $ u + v $ (-v) =
= u2 - v
2 - v $ u + v $ u = u
2 - v
2 = AB - BC = 0
Portanto, (u + v) = (u - v) . Logo, as diagonais de um losango são perpendiculares.
22 Considere, num referencial o.n. xOy , o vetor u de coordenadas (-2, 1) .
Escreva uma equação da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(2, 3) .
Seja m o declive da reta perpendicular ao vetor u . Então, m = 12
--c m = 2 .
A ordenada na origem da reta perpendicular ao vetor u é dada por: b = 3 - 2 × 2 = -1
Logo, a equação reduzida da reta perpendicular ao vetor u que passa pelo ponto P(2, 3) é y = 2x - 1 .
u2p118h1
A
B
D
C
u
u
v
v
000707 140-175 U6.indd 150 01/07/16 12:09
151
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
23 Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A e B de coordenadas (2, 4) e (-3, 0) , respetivamente.
Seja M o ponto médio de [AB] .
Identifique o conjunto dos pontos P do plano tais que MP $ BA = 0 .
Escreva uma condição que defina o conjunto referido.
Os pontos P definem uma reta perpendicular à reta AB que passa no ponto M , ou seja, definem a mediatriz de [AB] .
Sabe-se que AB(-5, -4) , então, o declive da reta AB é 54
.
Logo, o declive de uma reta perpendicular a esta é 45
- .
Então, como M ,21
2-c m , a ordenada na origem da reta perpendicular à reta
AB que passa no ponto M é b = 2 + 45
× 21
-c m = 811
.
Portanto, a condição que define o conjunto referido é y = 45
- x + 811
.
6.3 Resolução de problemas geométricos envolvendo o produto escalar
Tarefa 5 Considere a circunferência definida pela equação (x - 1)2 + (y - 2)2 = 25 num determinado referencial o.n. xOy . 5.1 Prove que o ponto P(5, -1) pertence
à circunferência.
5.2 Determine a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P .
5.1 Basta substituir x por 5 e y por -1 na equação dada:
(5 - 1)2 + (-1 - 2)2 = 25 + 25 = 25
E como tal, o ponto P pertence à circunferência.
5.2 A circunferência dada tem centro em C(1, 2) .
Como a reta pretendida é tangente à circunferência em P , todo o ponto
Q(x, y) pertencente à reta verifica CP $ PQ = 0 .
Então:
(4, -3) $ (x - 5, y + 1) = 0 + 4(x - 5) - 3(y + 1) = 0 + y = 34
x - 323
Logo, a equação reduzida da reta tangente à circunferência no ponto P
é y = 34
x - 323
.
y
x
u2p119h3
O
C
P
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152
produto escalar de vetores
24 De dois vetores do plano u e v sabe-se que:
• u =3 • oângulodosvetoresu e v é obtuso.
• v =2 • sin u v_ iT = 41
Determine u $ v .
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
sin2 u v_ iT + cos2 u v_ iT = 1 + cos2 u v_ iT = 1 - 41 2
c m ° °u v90 180
&1 1_ iT
& cos u v_ iT = -415
Portanto:
u $ v = u v cos u v_ iT = 3 × 2 × 415
-e o = 2
3 15-
25 No referencial o.n. da figura está representada uma circunferência de centro em C(-3, 2) e raio 4 , inscrita no quadrado [MNOP] . A reta NO é tangente à circunferência em T , ponto do eixo Oy .
Determine:
a) as coordenadas de T .
b) a equação reduzida da reta NO .
c) o declive da reta MN .
a) Sabe-se que o ponto T pertence ao eixo Oy ; logo, tem abcissa nula, ou seja, T(0, y) .
Substituindo as coordenadas de T na equação da circunferência, (x + 3)2 + (y - 2)2 = 16 , obtém-se:
(0 + 3)2 + (y - 2)2 = 16 + y2 - 4y - 3 = 0 +
+ y = ( ) ( )
2 14 4 4 1 32
#
! # #- - - + y =
24 28!
y 0>+
+ y = 2 + 7
Portanto, as coordenadas de T são _0, 2 + 7 i .
b) A circunferência dada tem centro em C(-3, 2) .
Como a reta NO é tangente à circunferência em T_0, 2 + 7i , tem-se
que CT $ TQ = 0 , sendo Q(x, y) um ponto da reta.
y
x
u2p119h2
O
C
23
2
M
P N
T
000707 140-175 U6.indd 152 01/07/16 12:09
153
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Portanto:
_3, 7i $ _x, y - 2 - 7i = 0 +
+ 3x + 7_y - 2 - 7i = 0 + 3x + 7y - 2 7 - 7 = 0 +
+ 7y = -3x + 2 7 + 7 + y = 7
3 7- x + 7
14 7 7+ +
+ y = - 73 7
x + 2 + 7
c) Como a reta MN é perpendicular à reta NO , então, o seu declive é dado por
3 7
7
3 7
7
7
737
#= =
26 Considere os vetores u e v , tais que u = 3 , v = 7 e u v_ iT = 120° .
Calcule os seguintes produtos escalares:
a) u $ (5v)
b) 2u $ (-3v)
c) (u - 3v) $ u
a) u $ (5v) = 5 u × v × cos u v_ iT = 3 × 35 × 23
-e o = -2
105 3
b) 2u $ (-3v) = 6 × (-21) × 23
-e o = 63 3
c) (u - 3v) $ u = -18 × 3 × 23
-e o = 27 3
27 Considere um ponto P , do 1.o quadrante (eixos não incluídos), pertencente à circunferência de centro na origem e raio 1 .
Sejam (r, s) as coordenadas do ponto P , t a reta tangente à circunferência no ponto P e Q o ponto de interseção da reta t com o eixo Ox .
27.1 Justifique que:
r2 + s2 = 1
27.2 Prove que a equação reduzida da reta t é:
y = - sr
x + s1
27.3 Determine a abcissa do ponto Q em função de r e s .Adaptado do Teste Intermédio do 11.º ano, 2007
y
x
u2p120h2
O
P
Q
t
s
r
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154
produto escalar de vetores
27.1 Considere-se o círculo trigonométrico e a fórmula fundamental da trigonometria. Seja a a inclinação da reta OP , então:
cos2 a + sin2 a = 1 + r2 + s2 = 1
O ponto P pertence à circunferência de centro em (0, 0) e raio 1 .
Em alternativa, a equação da circunferência é x2 + y2 = 1 e P(r, s) pertence à circunferência, logo, r2 + s2 = 1 .
27.2 Tem-se que OP tem coordenadas (r, s) ; logo, um vetor diretor da reta t pode ser u(-s, r) .
O declive da reta t é, portanto, igual a sr
- .
Então, a ordenada na origem da reta t que passa no ponto P(r, s) é:
b = s + sr
× r = s + sr2
= ss r
s12 2+
=
Logo, a equação reduzida da reta t é y = sr
- x + s1
.
27.3 Sabe-se que Q(x, 0) . Substituindo as coordenadas de Q na equação
reduzida da reta t , y = sr
- x + s1
, obtém-se:
0 = - sr
x + s1
+ x =
srs1
= r1
Logo, a abcissa de Q é r1
.
Tarefa 6 Considere, num plano munido de um referencial o.n. xOy , o vetor u(a, b) .
Prove que:
a) os vetores cujas coordenadas se obtêm trocando a ordem às coordenadas de u e o sinal a uma delas, ou seja, v(b, -a) e v(-b, a) , são perpendiculares a u .
b) a reta perpendicular ao vetor u que passa no ponto P0(x0, y0) pode ser definida pela equação
ax + by = c , em que c = ax0 + by0
a) Tomando v(b, -a) , tem-se que u $ v = a × b + b × (-a) = 0 ; logo, u = v .
De igual modo, tomando v(-b, a) , tem-se u $ v = 0 , donde u = v .
b) Dado um ponto P(x, y) qualquer da reta, tem-se que u é perpendicular a P P0 ; logo:
u $ P P0 = 0 + (a, b) $ (x - x0, y - y0) = 0 +
+ a(x - x0) + b(y - y0) = 0 + ax + by = c
em que c = ax0 + by0 .
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155
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
28 Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy , um círculo e as retas r e s .
Sabe-se que:• r 9 s• opontodecoordenadas(0,-2) é comum
às duas retas e à circunferência;• r interseta a circunferência e o eixo Ox
no ponto de coordenadas (-1, 0) ;• s e a circunferência intersetam o eixo Ox no mesmo ponto.
Determine uma condição que defina o círculo.
Sejam A(0, -2) , B(-1, 0) e C(x, 0) o ponto de interseção da reta s com o eixo Ox .
Como AB tem coordenadas (-1, 2) , então, o declive da reta r é igual
a -2 e o declive da reta s (perpendicular a r ) é igual a 21
. A ordenada
na origem de ambas as retas é igual a -2 ; logo, a equação reduzida da reta r é
y = -2x - 2 e da reta s é y = 21
x - 2 .
Assim, como as retas são perpendiculares, tem-se que [ABC] é retângulo em A . Portanto, como o triângulo [ABC] está inscrito na circunferência e é retângulo, [AC] é um diâmetro.
Substituindo y por 0 na equação reduzida da reta s , obtém-se a abcissa do ponto C .
Tem-se C(4, 0) ; logo, o diâmetro [BC] mede 5 unidades de comprimento
e o centro da circunferência tem coordenadas ,23
0c m .
Portanto, uma condição que define o círculo é x y23
4252
2 G- +c m .
29 Considere, fixado um referencial ortonormado no espaço, os pontos A(2, 3, -1) , B(-4, 1, -1) e P(x, y, z) , (x, y, z ! IR) , e as condições:
(I) AP $ PB = 0
(II) AB $ PM = 0 , em que M é o ponto médio de [AB] .
(III) AB $ AP = 0
29.1 Identifique a região do espaço definida por cada uma das condições descritas.
29.2 Caracterize por uma condição, em x , y e z , as regiões do espaço obtidas em 29.1.
y
O
s
r
x
u2p121h3
21
22
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156
produto escalar de vetores
29.1 (I) Superfície esférica de diâmetro [AB] .
(II) Plano mediador do segmento [AB] .
(III) Plano perpendicular ao segmento [AB] que passa por A .
29.2 (I) (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z + 1)2 = 10
(II) 3x + y + 1 = 0
(III) 3x + y - 9 = 0
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 No referencial o.n. da figura as retas r e s são perpendiculares e a reta s passa na origem do referencial.
De acordo com os dados da figura, a equação reduzida da reta s é:
(a) y = tan 50° x
(B) y = °tan50
1x
(C) y = -tan 0
113 °
x
(D) y = tan 0
113 °
x
O declive de r é tan 50° . Logo, o declive de s é -tan50
1°
= tan130
1°
.
A opção correta é a (D).
2 Considere dois vetores u e v colineares, ambos de norma 1 .
De entre as afirmações seguintes, indique a que é necessariamente verdadeira.
(a) u $ v = -1 (B) u $ v = 0 (C) u v$ = 1 (D) u $ v = 2
A opção correta é a (C).
3 Considere o triângulo equilátero representado na figura.
O valor de BA $ CB é igual a:
(a) -AB
2
2
(B) - AB × BC
(C) AB
2
2
(D) AB2
y r
sO x
u2p122h1
130º
A B
C
u2p122h2
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157
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como AB BC_ iT = 120° , então:
AB $ BC = AB BC cos 120° = -AB
2
2
A opção correta é a (A).
4 Considere, num referencial o.n., as retas r e s .
Sabe-se que as retas são perpendiculares e que a inclinação de r é 120° .
Então, o declive da reta s é igual a:
(a) - 3 (B) -33
(C) 33
(D) 3
O declive da reta r é igual a tan 120° = -tan 60° = - 3 .
O declive da reta s é igual a 3
133
--
= .
A opção correta é a (C).
5 Na figura está representada uma esfera inscrita num cubo.
A esfera tem 3 centímetros de raio e centro em C , e [AB] é uma diagonal espacial do cubo.
O valor de BA $ CB é:
(a) -54 (B) -36 (C) 36 (D) 54
Como o raio da esfera é 3 cm , sabe-se que o lado do cubo mede 6 cm .
Usando o teorema de Pitágoras:
AB2 = 62 + 62 + 62 & AB = 6 3
Assim:
BC = 3 3 e AB $ BC = AB BC cos r = 6 3 × 3 3 × (-1) = -54
A opção correta é a (A).
6 Na figura está representado o losango [ABCD] de lado 3 , tal que BAWD = a .
Se BA $ AD = 6 , o valor de a , em graus, arredondado às unidades, é:
(a) 41° (B) 42° (C) 48° (D) 49°
AB AD cos a = 6 + cos a = 32
0 180° °
&1 1a
a = arccos 32
+ a c 48°
A opção correta é a (C).
A B
CD
u2p122h4
a
A
B
C
u2p122h3
000707 140-175 U6.indd 157 01/07/16 12:09
158
produto escalar de vetores
7 Considere o triângulo representado na figura, retângulo em A , cujos catetos medem 5 e 12 .
O valor de CA $ CB é igual a:
(a) 13300
(B) 25 (C) 13720
(D) 60
Seja a = BCA C_ iT . Tem-se que tan a = 5
12 .
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se CB = 13 . Então, como a ! ]0, 90°[ ,
cos a = 135
.
Logo, CA CB cos a = 5 × 13 × 135
= 25 .
A opção correta é a (B).
8 Uma força constante de 20 newtons produz, num corpo, um deslocamento de 0,5 metros no sentido da força.
O trabalho realizado por essa força é, em joules, igual a:
(a) 40 (B) 20 (C) 10 (D) 5
20 × 0,5 = 10
A opção correta é a (C).
9 Num referencial o.n. xOy , as retas de equação
x + by - 1 = 0 e x = 3y
são perpendiculares para b igual a:
(a) -31
(B) 0 (C) 31
(D) 3
x + by - 1 = 0 + y = -b1
x + b1
e x = 3y + y = x3
Portanto, as retas são perpendiculares se, e só se, b1
-d n × 31
= -1 ,
ou seja, se, e só se, b = 31
.
A opção correta é a (D).
u2p123h2
0,5 m
20 N
A B
C
12
5
u2p123h1
000707 140-175 U6.indd 158 01/07/16 12:09
159
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
10 Na figura estão representadas, num referencial o.n. xOy , a circunferência de equação x2 + y2 = 4 e a reta r tangente a essa circunferência no ponto B , de coordenadas
,1 3_ i .
Seja u um vetor diretor da reta r .
O valor de u $ OB é:
(a) -4 (B) 0 (C) 4 (D) 2 u
Como u = OB , u $ OB = 0 .
A opção correta é a (B).
11 Num referencial o.n. Oxyz , os vetores u e v têm coordenadas (-3, 1, 4) e (2, 3p - 1, -2) , respetivamente.
O valor de p para o qual os vetores u e v são perpendiculares é:
(a) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 5
u $ v = 0 + -6 + 3p - 1 - 8 = 0 + p = 5
A opção correta é a (D).
12 Num referencial ortonormado do plano, considere os vetores a e b de coordenadas (2, -3) e (1, 1) , respetivamente.
O ângulo dos vetores a e b é:
(a) agudo. (B) obtuso. (C) reto. (D) raso.
Como a $ b = -1 , o ângulo formado pelos vetores tem uma amplitude maior
do que 90º . No entanto, não pode ser raso, pois, nesse caso, a $ b = - a b ,
mas a b = 13 $ 2 = 26 .
A opção correta é a (B).
13 De dois vetores u e v sabe-se que u = v = 2 e que u $ v = -2 .
Então, (u + v) $ (3u) é igual a:
(a) -12 (B) 0 (C) 6 (D) 8
(u + v) $ (3u) = 3u $ u + 3u $ v = 3 u2 + 3u $ v = 12 - 6 = 6
A opção correta é a (C).
u2p123h3
y
B
x1O
000707 140-175 U6.indd 159 01/07/16 12:09
160
produto escalar de vetores
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
14 No referencial o.n. xOy da figura ao lado estão representados a reta r de equação x + 2y + 3 = 0 e o ponto P de coordenadas (5, 2) .
14.1 Seja a a inclinação da reta r . Determine cos2a .
14.2 Determine as coordenadas da projeção ortogonal de P , Pl , sobre a reta r .
SUGESTÃO: Comece por determinar uma equação da reta PPl .
14.1 Como x + 2y + 3 = 0 + y = 21
- x - 23
, tan a = 21
- .
Portanto:
1 + tan2 a = cos
12a
+ 1 + 41
= cos
12a
+ cos2 a = 54
14.2 O declive da reta PPl é 2 ; assim, a sua equação é da forma y = 2x + b .
Substituindo as coordenadas de P na equação da reta PPl , vem:
2 = 2 × 5 + b + b = -8
Então, a abcissa de Pl é tal que:
2x - 8 = 21
- x - 23
+ 4x - 16 = -x - 3 + x = 5
13
Portanto, a ordenada é dada por y = 2 × 5
13 - 8 = -
514
.
Assim, as coordenadas de Pl são ,5
135
14-d n .
15 Na figura está representada uma circunferência de centro em O e raio r .
Sabe-se que:• [AB] é um diâmetro da circunferência;• opontoC pertence à circunferência;• a é a amplitude do ângulo COB ;• [OD] é perpendicular a [AC] .
Prove que BA $ AC = 4r2cos2
2ac m .
Teste Intermédio do 11.º ano, 2009
u2p124h1
y
P
P'
x
2
O
r
5
u2p124h2
O
D
C
aA B
000707 140-175 U6.indd 160 01/07/16 12:09
161
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
AB $ AC = AB AC cos AAB C_ iTTem-se que AB = 2r .
Como o triângulo [AOC] é isósceles, AAB C_ iT = ° ( ° )
2180 180 a- -
= 2a
. Assim:
cos2ac m = r
AD + AD = r cos
2ac m
Logo, AC = 2r cos2ac m .
Portanto:
AB $ AC =2r × 2r cos2ac m × cos
2ac m = 4r2 cos2
2ac m
c.q.d.
16 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo [OABCDEFG] .
O vértice O do cubo coincide com a origem do referencial.
Os vértices A , C e G pertencem aos semieixos positivos Ox , Oy e Oz , respetivamente.
O ponto M é o ponto médio de [OC] e N é o ponto médio de [FC] .
Sabendo que DM $ DN = 32 , mostre que cos(NDXM) = 98
.
Seja x a medida da aresta do cubo. Então, as coordenadas de D , M e N são,
respetivamente, (x, 0, x) , , ,x
02
0c m e , ,xx
02
c m .
Assim, DM tem coordenadas . ,xx
x2
- -c m e DN tem coordenadas
, ,x xx2
- -c m .
Tem-se que:
DM $ DN = 32 + , ,xx
x2
- -c m $ , ,x xx2
- -c m = 32 +
+ x2 + x2
2
+ x2
2
= 32 + x2 = 16 x 0>+ x = 4
Por outro lado:
DM = ( ) ( )4 2 42 2 2- + + - = 6 e DN = ( ) ( )4 4 22 2- + + - = 6
Logo:
DM $ DN = 32 + 6 × 6 × cos(NDMX ) = 32 + cos(NDMX ) = 98
y
x
z
u2p124h3
OA
B
CM
E
G
D
F
N
000707 140-175 U6.indd 161 01/07/16 12:09
162
produto escalar de vetores
17 Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular cuja aresta da base mede 8 cm .
O ponto O é o centro da base da pirâmide, M é o ponto médio de [AD] e OMYV = 60° .
Determine:
a) VO $ VM
b) BD $ BA
c) CD $ AB
d) VO $ BD
a) VO = MO tan 60° = 4 3 e °cos
VMMO
60= = 8
VO $ VM = 4 3 × 8 × cos 30° = 4 3 8 3
2# #
= 48
b) BD BA AD2 2
= + = 8 2
BD $ BA = 8 2 × 8 × cos 45° = 64
c) CD $ AB = 8 × 8 × cos 180° = -64
d) VO $ BD = 4 3 × 8 2 × cos 90° = 0
18 Na figura estão representados, em referencial ortonormado, as retas r e s e o triângulo [ABC] retângulo em C .
Sabe-se que:
• opontoA ,3 0_ i pertence à reta r ;• opontoC de interseção das retas
r e s tem abcissa 6 ;• B é o ponto de interseção da reta s com o eixo Ox ;• aretar tem inclinação 30º .
18.1 Determine as equações reduzidas das retas r e s .
18.2 Determine a área do triângulo [ABC] .
18.1 O declive da reta r é dado por tan 30° = 33
; logo, a sua equação
reduzida é da forma y = 33
x + b . Substituindo na equação
as coordenadas de A , obtém-se: 0 = 33
× 3 + b + b = -1 .
Portanto, r: y = 33
x - 1 .
u2p124h4
BA
M
DO
C
V
60º
y
O
sr
A 30º
C
Bx
u2p125h1
000707 140-175 U6.indd 162 01/07/16 12:09
163
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como C pertence à reta r e tem abcissa 6 , as coordenadas de C são:
,633
6 1# -e o = ^6, 2 3 - 1h
Como as retas r e s são perpendiculares, o declive de s é - 3 .
Logo, a equação reduzida de s é da forma y = - 3x + b .
Substituindo as coordenadas de C na equação, obtém-se:
2 3 - 1 = - 3 × 6 + b + b = 8 3 - 1
Portanto, s: y = - 3x + 8 3 - 1 .
18.2 Calcule-se a abcissa de B :
- 3x + 8 3 - 1 = 0 + x = 8 - 33
Seja h a altura de [ABC] relativa à base [AB] :
AB = 8 - 33
- 3 = 3
24 4 3- e h = 2 3 - 1
Assim:
A[ABC] = AB h
2#
= ( )
23
24 4 32 3 1#
--
=
= 6
48 3 24 24 4 3- - + =
326 3
- 8
19 Na figura está representado, no referencial xOy , o triângulo [ABC] .
Sabe-se que:• opontoO é o ponto médio do lado
[AC] ;• ovetor BA tem coordenadas (10, 2) ;• ovetor CB tem coordenadas (-6, -8) .
19.1 Determine as coordenadas dos pontos A e C .
19.2 Calcule:
a) BA $ AC
b) ABWC , arredondada às décimas de grau.
19.3 Diga, justificando, se OB é a mediatriz de [AC] .
19.1 Tem-se que AC = AB + BC tem coordenadas (4, -6) . Como O é o ponto médio de [AC] , deduz-se que as coordenadas de A e C são, respetivamente, (-2, 3) e (2, -3) .
y
O
A
C
B
x
u2p125h2
000707 140-175 U6.indd 163 01/07/16 12:09
164
produto escalar de vetores
19.2 a) AB $ AC = 10 × 4 + 2 × (-6) = 28
b) BA $ BC = BA BC cos ABCW + -AB $ BC = AB BC cos ABCW +
+ -[10 × (-6) + 2 × (-8)] = 100 4+ × 36 64+ × cos ABCW +
+ cos ABCW = 10 400
76 & ABCW = arccos
10 400
76 + ABCW c 41,8°
19.3 Não, porque AB = 104 ! 10 = BC .
20 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(a, b, c) , com a , b e c números reais.
20.1 Prove que os vetores v(b, -a, 0) , w(0, c, -b) e t (-c, 0, a) são perpendiculares a u .
20.2 Indique dois vetores não colineares, perpendiculares ao vetor a(-5, 1, 7) .
20.3 Escreva uma equação vetorial de uma reta perpendicular ao vetor u(0, -2, 3) e que passa no ponto de coordenadas (1, -1, 6) .
20.1 v $ u = ba - ab + 0c = 0 , logo, v = u .
w $ u = 0a + cb - bc = 0 , logo, w = u .
t $ u = -ca + 0b + ac = 0 , logo, t = u .
20.2 Por exemplo, vetores de coordenadas (1, 5, 0) e (0, 7, 1) .
20.3 Por exemplo, (x, y, z) = (1, -1, 6) + k(0, -3, -2), k ! IR .
21 Na figura está representado, em referencial o.n. xOy , o triângulo [ABC] , em que A(1, 1) , B(-1, -2) e C(-3, 4) .
Por cada um dos vértices do triângulo [ABC] traçaram-se retas paralelas ao lado oposto, obtendo um novo triângulo [AlBlCl] .
21.1 Justifique que o triângulo [AlBlCl] não é retângulo.
21.2 Determine as coordenadas de Al .
21.3 Seja D o ponto de coordenadas ,021
-c m .
Identifique o conjunto dos pontos do plano, P , definidos pela equação
DP $ BA = 0 .
y
O
B'
A'
C'
B
A
C
x
u2p125h3
000707 140-175 U6.indd 164 01/07/16 12:09
165
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
21.1 Tem-se que AB(-2, -3) , AC(-4, 3) e BC(-2, 6) .
Pelo teorema de Tales, o triângulo [AlBlCl] é semelhante ao triângulo [ABC] .
Se o triângulo [ABC] fosse retângulo em A , verificar-se-ia o teorema
de Pitágoras, mas BC2 ! AC
2 + AB
2 , pois 40 ! 38 .
Analogamente se verifica que [ABC] não é retângulo em B nem em C ,
pois AC2 ! AB
2 + BC
2 e AB
2 ! AC
2 + BC
2 .
Como tal é absurdo, o triângulo [ABC] não é retângulo e, portanto, o triângulo [AlBlCl] também não.
21.2 Al = C + AB tem coordenadas (-3, 4) + (-2, -3) = (-5, 1) .
21.3 A condição define a reta que passa por D e é perpendicular a AB . Como D é o ponto médio de [AB] , esta reta é a mediatriz de [AB] .
22 Na figura estão representadas, em referencial o.n., uma circunferência de centro C (1, -1) e duas retas b e d .
O ponto B de coordenadas (-1, 2) é a imagem de A pela reflexão de eixo b e a reta d é tangente à circunferência em A .
22.1 Justifique que as retas b e d são paralelas.
22.2 Determine a equação reduzida da reta b .
22.3 Determine as coordenadas do ponto A e escreva uma equação da reta d .
22.1 Como B é a imagem de A pela reflexão de eixo b , AB é perpendicular a b .
Por outro lado, d é tangente à circunferência em A ; logo, d é também perpendicular a AB . Conclui-se que b é paralela a d .
22.2 Como CB(-2, 3) , o declive de AB é 23
- .
Então, o declive de b é 32
e a equação de b é da forma y = 32
x + a .
Substituindo na equação as coordenadas de C , obtém-se:
-1 = 32
× 1 + a + a = 35
-
Assim, b: y = 32
x - 35
.
y
O
C
A
B
x
d
b
u2p126h1
000707 140-175 U6.indd 165 01/07/16 12:09
166
produto escalar de vetores
22.3 As coordenadas de A são: A = _C - CBi(3, -4) .
A equação de d é da forma y = 32
x + a . Substituindo na equação
as coordenadas de A , obtém-se:
-4 = 32
× 3 + a + a = -6
Assim, d: y = 32
x - 6 .
23 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o triângulo [ABC] , em que A(-2, 1, 0) , B(3, 2, 1) e C(-4, 5, 2) .
Seja a a amplitude do ângulo BAC .
23.1 Determine sin2a .
23.2 Seja T um ponto do plano xOy com a mesma abcissa que B . Determine as coordenadas de T , sabendo que TC $ BA = -26 .
23.1 Tem-se AB(5, 1, 1) e AC(-2, 4, 2) , então:
AB $ AC = AB AC cos a +
+ -10 + 4 + 2 = 25 1 1+ + × 4 16 4+ + × cos a +
+ -4 = 18 2 × cos a + cos a = 92
-
Calcule-se o valor de sin2 a :
sin2 a + cos2 a = 1 + sin2 a + 812
= 1 + sin2 a = 8179
23.2 Seja T(3, y, 0) . Então, TC(-7, 5 - y, 2) .
Assim, TC $ AB = -26 + -35 + 5 - y + 2 = -26 + y = -2 .
Logo, T(3, -2, 0) .
24 Considere, num referencial ortonormado, um hexágono regular.
Sabe-se que:• C é o centro do hexágono e tem coordenadas
(6, -2) ;• olado[AB] do hexágono está contido
na reta r , definida pela equação
-4x + 3y + 5 = 0
Determine a área do hexágono.
A
B
r
u2p126h2
C
000707 140-175 U6.indd 166 01/07/16 12:09
167
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Tem-se que -4x + 3y + 5 = 0 + y = 34
x - 35
.
Seja r um vetor diretor da reta r de coordenadas (3, 4) .
Seja Cl ,x x34
35
-d n a projeção ortogonal de C na reta r .
Então, CCl é perpendicular a r .
Assim:
CCl $ r = 0 + (x - 6) × 3 + x34
35
2- +d n × 4 = 0 +
+ 3x - 18 + 3
16x +
34
= 0 + 9x - 54 + 16x + 4 = 0 + x = 2
Logo, Cl(2, 1) e 'CC = ( ) ( )2 6 1 22 2- + + = 5 .
Como o hexágono é regular, CBAW = 60° ; logo, 'BC = tan
CC
60°
l =
5 33
,
donde BA = 3
310 .
Portanto:Ahexágono = 6 × A[ABC] = 6 ×
BA CC2# l
= 6 × 2
10 35
3#
= 50 3
25 Na figura está representado, num referencial o.n., o lado [AB] do retângulo [ABCD] .
Sabe-se que:• osvérticesA e B têm coordenadas (2, 5)
e (0, 1) , respetivamente;• ovérticeD pertence à reta de equação x = 6 .
Determine as coordenadas dos vértices C e D .
AD tem coordenadas (6 - 2, y - 5) = (4, y - 5) e AB tem coordenadas (-2, -4) .
Tem-se que AD $ AB = 0 + -8 - 4y + 20 = 0 + y = 3 .
Assim, D(6, 3) e C = D + AB tem de coordenadas (6, 3) + (-2, -4) = (4, -1) .
26 Considere, num referencial o.n. Oxyz , as retas r e s definidas pelas seguintes condições:
r: (x, y, z) = (0, 1, -1) + k(1, 2, -5), k ! IR e s:
x t
y t
z t
1 2
1
=-
= -
=- -
* , t ! IR
26.1 Mostre que as retas r e s são concorrentes e perpendiculares.
26.2 Sejam A o ponto de interseção das retas r e s , B o ponto de coordenadas (2, 0, -3) e C o ponto da reta s tal que BA $ AC = 1 .
Determine as coordenadas do ponto C .
y
x 5 6
O
D
A5
12
B
x
u2p126h3
000707 140-175.indd 167 20/07/16 16:15
168
produto escalar de vetores
26.1 O ponto de coordenadas (0, 1, -1) pertence a ambas as retas; logo, r e s são concorrentes.
Considere-se r(1, 2, -5) um vetor diretor de r e s(-1, -2, -1) , um vetor diretor de s .
Como r $ s = -1 - 4 + 5 = 0 , as retas r e s são perpendiculares.
26.2 AB(2 - 0, 0 - 1, -3 + 1) = (2, -1, -2)
AC(-t - 0, 1 - 2t - 1, -1 - t + 1) = (-t, -2t, -t)
AB $ AC = 1 + -2t + 2t + 2t = 1 + t = 21
C , ,21
1 221
121
#- - - -c m = , ,21
023
- -c m
27 No referencial o.n. da figura, estão representadas uma circunferência de centro em C , ponto de abcissa 5 , e a reta r tangente à circunferência em T(3, 3) .
Tal como a figura sugere, o ponto de coordenadas (0, -3) pertence à reta r .
Determine:
a) a equação reduzida da reta r .
b) uma equação da circunferência.
a) Como o declive de r é dado por m = 3 03 3
-+
= 2 e o ponto (0, -3) lhe pertence, r : y = 2x - 3 .
b) Seja r(1, 2) um vetor diretor de r . Como TC é perpendicular a r e C(5, y) , tem-se:
TC $ r = 0 + (5 - 3) × 1 + (y - 3) × 2 = 0 + + 2 + 2y - 6 = 0 + y = 2
Assim, C(5, 2) .
Logo, TC = 4 1+ = 5 .
Portanto, a equação da circunferência é (x - 5)2 + (y - 2)2 = 5 .
28 Considere, num referencial o.n. xOy , a reta a e o ponto C de coordenadas (2, -3) .
Sabendo que a reta a interseta os eixos coordenados nos pontos de coordenadas (3, 0) e (0, 3) , determine uma equação da circunferência de centro C , tangente à reta a .
y
O
T
r
C3
23
3 5 x
u2p127h1
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169
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como o declive de a é dado por m = 0 33 0
--
= -1 e o ponto (0, 3) lhe pertence, a: y = -x + 3 .
Sejam a(1, -1) o vetor diretor de a e Cl a projeção ortogonal de C na reta a . Tem-se que CCl é perpendicular a a e Cl(x, -x + 3) , então:
CCl $ a = 0 + (x - 2) × 1 + (-x + 3 + 3) × (-1) = 0 +
+ x - 2 + x - 6 = 0 + x = 4
Assim, Cl(4, -1) .
Logo, CCl = 4 4+ = 2 2 .
Portanto, a equação da circunferência é (x - 2)2 + (y + 3)2 = 8 .
29 Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy , a circunferência de equação x2 + y2 = 16 , o ponto P(5, 0) e as retas r e t , tangentes à circunferência e que se intersetam em P .
29.1 Mostre que a equação reduzida de uma reta não horizontal que contenha P é da forma:
y = mx - 5m , m ! IR e determine, em função de m , as coordenadas dos pontos de interseção de uma reta, com equação desta forma, com a circunferência.
29.2 Determine a equação reduzida da reta r e da reta t .
29.1 Seja m o declive da reta s não horizontal que contém P . A equação da reta s é da forma y = mx + b , m, b ! IR . Como P(5, 0) ! s , tem-se 0 = 5m + b + b = -5m .
Portanto, s: y = mx - 5m , m ! IR .
Tem-se que:
x2 + y2 = 16 / y = mx - 5m + x2 + (mx - 5m)2 = 16 +
+ x2 + m2x2 - 10m2x + 25m2 = 16 +
+ (1 + m2)x2 - 10m2x + 25m2 - 16 = 0 +
+ x = ( )
( ) ( )
m
m m m m
2 1
10 100 4 1 25 162
2 4 2 2! # #
+
- + - +
+ x = m
m m m m m1
5 25 25 16 25 162
2 4 2 4 2!
+
- + - + +
+ x = m
m m1
5 16 92
2 2!
+
-
y
O
P
t
r
5 x
u2p127h2
000707 140-175 U6.indd 169 01/07/16 12:10
170
produto escalar de vetores
y = mm
m m1
5 16 92
2 2!
+
- - 5m =
= m
m m mm
m m1
5 16 91
5 52
2
2
33 !
+
--
+
+ =
mm m m
15 16 9
2
2!
+
- -
Logo, os pontos de interseção de uma reta com equação da forma y = mx - 5m com a circunferência x2 + y2 = 16 têm as seguintes coordenadas:
,m
m mm
m m m1
5 16 91
5 16 92
2 2
2
2
+
- --
+
+ -f p
e ,m
m mm
m m m1
5 16 91
5 16 92
2 2
2
2
+
+ --
+
- -f p
29.2 Por 29.1 sabe-se que as retas r e t têm equações da forma y = mx - 5m, m ! IR e conhecem-se as coordenadas dos pontos de tangência das retas r e t com a circunferência. Como para cada reta existe um único ponto
de tangência, tem-se que 16 - 9m2 = 0 , ou seja, m = !34
.
Portanto, como r tem declive positivo e t tem declive negativo, as respetivas equações reduzidas são:
r: y = 34
x - 3
20 e t: y = -
34
x + 3
20
30 No referencial ortonormado xOy da figura, estão representados duas retas, r e s , e um ponto P de coordenadas (-2, 2) .
Sabe-se que:
• aequaçãoreduzidadaretar
é y = -x2
;
• aequaçãoreduzidadaretas
é y = x2
- 2 ;
• a é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado pelas retas r e s .
Determine:
a) as coordenadas dos pontos da reta r que distam 2 unidades do ponto P .
b) um valor aproximado às décimas de a .
c) a distância do ponto P à reta s .
NOTA: A distância de um ponto a uma reta é a distância desse ponto ao pé da perpendicular tirada desse ponto para a reta.
y
O
2
22
P
x
s
a
u2p127h3
r
000707 140-175 U6.indd 170 01/07/16 12:10
171
6UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
a) Seja R(x, y) um ponto da reta r . Então, R ,xx2
-c m .
Assim:
PR = 2 + ( )xx
22
222
+ + - -c m = 2 +
+ x xx
x4 44
2 422
+ + + + + = 2 +
+ x x
424 32 5 2+ +
= 2 + x x24 32 5 2+ + = 4 &
& 24x + 32 + 5x2 = 16 + 5x2 + 24x + 16 = 0 +
+ x = 2 5
24 576 4 5 16#
! # #- - +
+ x = 10
24 16!- + x = -4 0 x = -
54
Tem-se que:
( )4 224
222
- + + -c m = 4 0+ = 2
54
2254
22
2
- + + - -df
np
= 2536
25144
+ = 2
Logo, -4 e -54
são soluções.
Portanto, R(-4, 2) ou R ,54
52
-d n .
b) r(2, -1) e s(2, 1) são vetores diretores de r e s , respetivamente.
Tem-se que:
r $ s = r s cos a +
+ 4 - 1 = 4 1+ × 4 1+ × cos a +
+ 53
= cos a & a c 53,1°
c) Seja Pl a projeção ortogonal de P na reta r . Tem-se que Pl ,aa2
2-c m .
Sabe-se que PPl é perpendicular a s(2, 1) , donde:
PPl $ s = 0 + (a + 2) × 2 + a2
2 2- -c m × 1 = 0 +
+ 2a + 4 + a2
- 4 = 0 + a = 0
Assim, PPl = 4 16+ = 2 5 .
000707 140-175 U6.indd 171 01/07/16 12:10
172
preparação para o teste 3
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 3
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 Fixada uma unidade de comprimento, o produto escalar de dois vetores, a e b , é a $ b = -2 .
Sabe-se que, na unidade fixada, a = 4 e b = 3 .
Então, pode-se afirmar que o ângulo dos vetores a e b é:
(a) agudo. (B) reto. (C) obtuso. (D) raso.
-2 = a $ b = 12 cos ba_ iT + cos ba_ iT = -61
< 0
A opção correta é a (C).
2 Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n. xOy , o losango [OACB] de lado 2 . Considere que o ponto B se desloca ao longo do arco AD , nunca coincidindo com o ponto A nem com o ponto D .
A expressão que dá o produto escalar
OD $ OB em função de a ! ,02r ;E é:
(a) 2 cos a (B) 4 cos a (C) -4 sin a (D) 4 sin a
OD $ OB = 2 × 2 × cos2r
a-c m = 4 cos a
A opção correta é a (D).
3 Num referencial o.n. xOy , considere a circunferência definida por:
x2 + y2 = 13
A reta r é tangente à circunferência no ponto de coordenadas (-2, 3) .
Qual da equações seguintes define a reta r ?
(a) -2x + 3y - 5 = 0
(B) 2x - 3y + 13 = 0
(C) 3x + 2y = 0
(D) y = 23
x + 6
Como (-2, 3) são as coordenadas de um vetor perpendicular à reta r , o declive
da reta é 32
.
y
a
O A
CB
x
u2p128h1
D
000707 140-175 U6.indd 172 01/07/16 12:10
173
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Então, a equação de r é da forma y = 32
x + b .
Substituindo as coordenadas do ponto de tangência na equação, obtém-se:
3 = 32
× (-2) + b + b = 3
13
Assim, r : y = 32
x + 3
13 + 3y = 2x + 13 + 2x - 3y + 13 = 0 .
A opção correta é a (B).
4 Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [ABC] .
Sabe-se que :• opontoA tem ordenada positiva;• ospontosB e C pertencem ao eixo Ox ;• opontoB tem abcissa 1 e o ponto C
tem abcissa maior do que 1 .
Qual é a equação reduzida da reta AB ?
(a) y = 2x + 2
(B) y = 2x - 2
(C) y = 3x + 3
(D) y = 3x - 3
Exame Nacional do 12.º ano, 2015
Como o triângulo é equilátero, a inclinação da reta AB é 60° .
Logo, o seu declive é tan 60° = 3 .
Então, a equação de AB é da forma y = 3x + b .
Substituindo na equação as coordenadas de B : 0 = 3 × 1 + b + b = - 3 .
A opção correta é a (D).
5 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os vetores u(1, a, -2) e v(3, 5, 1) .
Qual é o valor de a para o qual u $ v = 11 ?
(a) 5
(B) 2
(C) -2
(D) -1
u $ v = 11 + 3 + 5a - 2 = 11 + a = 2
A opção correta é a (B).
y
O
A
CB x
u2p128h2
000707 140-175 U6.indd 173 01/07/16 12:10
174
preparação para o teste 3
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1 Considere os vetores u e v tais que u = 4 , v = 3 e u v_ iT = 120° .
1.1 Calcule:
a) (-2u) $ v
b) (u - 3v) $ u
1.2 Determine o número real m para o qual os vetores u - mv e v são perpendiculares.
1.1 a) (-2u) $ v = -2(u $ v) = -2 u v cos 120° =
= -2 × 12 × 21
-c m = 12
b) (u - 3v) $ u = u $ u - 3v $ u = u2 - 3 u v cos 120° =
= 16 - 3 × 12 × 21
-c m = 34
1.2 (u - mv) $ v = 0 + u $ v - mv $ v = 0 +
+ u v cos 120° - m v2 = 0 + -6 - 9m = 0 +
+ m = -32
2 No referencial o.n. da figura xOy estão representadas a circunferência definida pela equação x2 + y2 = 1 e a reta, t , tangente à circunferência no ponto P .
Seja a a inclinação da reta que contém
o segmento de reta [OP] ,02
!ar
e o;E .
2.1 Determine o declive da reta t sabendo
que sin a = 32
.
2.2 Determine as coordenadas do ponto P quando a inclinação da reta t
é 3
2r radianos.
2.3 Prove que o declive da reta t é dado em função de a por - tan1
a .
2.4 Escreva uma equação da reta t , se a = 4r
.
y
O
P
a
x
u2p129h1
t
000707 140-175 U6.indd 174 01/07/16 12:10
175
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2.1 Tem-se que:
sin2 a + cos2 a = 1 + 1 + tan
12a
= sin
12a
+
+ 1 + tan
12a
= 49
+ tan2 a = 54
,0
2
&!a
r <F tan a = 5
52
Logo, o declive da reta OP é 5
2 5 .
Como OP é perpendicular a t , vem que o declive de t é -5
2 .
2.2 A circunferência é trigonométrica; logo, P(cos a, sin a) .
Como a = r - 2r
- 3r
= 6r
, P ,cos sin6 6r r
c m , ou seja, P , sin23
31
e o .
2.3 A reta OP é perpendicular à reta t , pois passa no ponto de tangência P . Como o declive de OP é dado por m = tan a , então, o declive da reta t , ml , é tal que:
mml = tan a × ml = -1 + ml = - tan1
a
2.4 Pela alínea anterior, o declive de t é -tan
4
1r = -1 .
Assim, a equação de t é da forma y = -x + b .
A reta OP tem equação y = x , então, OP(x, x) .
Como OP é um raio da circunferência:
OP = 1 + x x2 2+ = 1 + 2 x = 1 + x = !22
Para a = 4r
, x toma um valor positivo; logo, as coordenadas de P são
,22
22
e o .
Substituindo as coordenadas de P na equação de t , obtém-se:
22
= -22
+ b + b = 2
Assim, t: y = -x + 2 .
3 Na figura ao lado está representado, num referencial o.n. Oxyz , um cubo de aresta a .
Sabendo que MT = 2UM e UN = NV , prove que
MN $ MQ = a9
2
.
Tem-se que M , ,a a a32
d n , N , ,a
a a2c m e Q(a, a, 0) .
Assim, MN , ,a a2 3
0-c m e MQ , ,a
a03
-c m .
Logo, MN $ MQ = -a2
× 0 + a3
× a3
+ 0 × (-a) = a9
2
.u2p129h2
z
T
PQ
Oy
x
R
U
V
NM
S
000707 140-175 U6.indd 175 01/07/16 12:10
176
EquaçõEs dE planos no Espaço7UNIDADE
TAREFAS E AVALIAR CONHECIMENTOS
Tarefa 1 Considere, num referencial o.n Oxyz do espaço, o ponto A(2, 4, 1) e a reta r definida por:
(x, y, z) = (-1, 3, 5) + k(-1, 0 ,1), k ! IR
1.1 Justifique que o ponto A e a reta r definem um plano.
1.2 Mostre que o vetor u de coordenadas (1, 1, 1) é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A .
1.1 (2, 4, 1) = (-1 - k, 3, 5 + k) é impossível; então, A " r e, assim, A e r não definem um plano.
1.2 O vetor u(1, 1, 1) é perpendicular ao vetor AB(-3, -1, 4) , sendo B o ponto definido em 1.1, pois u $ AB = -3 - 1 + 4 = 0 e é perpendicular ao vetor diretor da reta dada, r , de coordenadas (-1, 0, 1) , uma vez que u $ r = -1 + 0 + 1 = 0 .
Concluindo-se, assim, que o vetor u é normal ao plano definido pela reta r e pelo ponto A .
7.1 Vetores normais a um plano
1 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano a de equação z = -2 .
Indique:
a) dois pontos pertencentes ao plano a .
b) um vetor de norma 2 normal ao plano a .
a) Por exemplo, (2, 2, -2) e (1, 4, -2) .
b) Sejam A(2, 2, -2) , B(3, 3, -2) e C(4, 3, -2) três pontos pertencentes ao plano a e seja u um vetor de norma 2 normal ao plano a .
Tem-se que AB = B - A e AC = C - A têm coordenadas, respetivamente, (1, 1, 0) e (2, 1, 0) ; logo:
u
u
u
AB
AC
0
0
2
$
$
=
=
=
* +
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x y z
x y z
x y z
1 1 0 0
2 1 0 0
22 2 2
$
$
=
=
+ + =
* +
x y
x y
x y z
0
2 0
42 2 2
+ =
+ =
+ + =
* +
x
y
z
0
0
2!
=
=
=
*
000707 176-205 U7.indd 176 01/07/16 12:10
177
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Por exemplo, (0, 0, 2) é um vetor de norma 2 normal a a .
Em alternativa:
Um vetor normal ao plano a tem coordenadas (0, 0, 1) ; logo, o vetor pretendido tem coordenadas (0, 0, 2) ou (0, 0, -2) .
2 Considere, num referencial o.n., os pontos A(1, 2, 0) , B(0, 1, 1) e C(-1, 0, 1) .
Mostre que:
a) os pontos A , B e C são não colineares.
b) o vetor u(1, -1, 0) é normal ao plano ABC .
a) Tem-se que AB = B - A tem coordenadas (-1, -1, 1) .
Uma equação vetorial da reta AB é (x, y, z) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1), k ! IR .
Verifique-se que o ponto C não pertence à reta AB :
(-1, 0, 1) = (1, 2, 0) + k(-1, -1, 1) Então:
k
k
k
1 1
2 0
1
- =-
- =
=
* +
k
k
k
2
2
1
=
=
=
*
Como 1 ! 2 , C não pertence à reta AB e, por isso, os pontos A , B e C são não colineares.
b) Considere-se u(1, -1, 0) e os pontos A e B pertencentes ao plano ABC :
AB $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 1 × 0 = -1 + 1 + 0 = 0
BC $ u = -1 × 1 + (-1) × (-1) + 0 × 0 = 0
Logo, o vetor u é normal ao plano ABC .
7.2 Equações cartesianas de planos
3 Determine uma equação do plano que passa pelo ponto P0 de coordenadas (1, 2, 3) e tem como vetor normal o vetor u de coordenadas:
a) (-2, 4, -1) b) (0, -1, 0) c) (1, -2, 0)
Sejam P0(1, 2, 3) e P(x, y, z) pontos pertencentes ao mesmo plano e u , um vetor normal ao plano.
a) P P0 $ u = 0 + -2(x - 1) + 4(y - 2) - 1(z - 3) = 0 +
+ -2x + 2 + 4y - 8 - z + 3 = 0 + 2x - 4y + z + 3 = 0
b) P P0 $ u = 0 + 0(x - 1) + (-1)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +
+ -y + 2 = 0 + y = 2
c) P P0 $ u = 0 + 1(x - 1) + (-2)(y - 2) + 0(z - 3) = 0 +
+ x - 1 - 2y + 4 = 0 + x - 2y + 3 = 0
000707 176-205 U7.indd 177 01/07/16 12:10
178
EquaçõEs dE planos no Espaço
z
x
O y
u2p133h1
K
E
B
C
FGD
A
4 No referencial ortonormado do espaço da figura está representado um cubo de aresta 6 cm , em que um dos seus vértices é a origem do referencial e as suas faces são paralelas aos planos coordenados.
4.1 Indique as coordenadas do ponto K (centro do cubo).
4.2 Determine KF KG_ iT , aproximada às unidades de grau.
4.3 Determine uma equação cartesiana do plano BCD .
4.1 K(3, 3, 3)
4.2 O vetor KF = F - K tem coordenadas (-3, 3, 3) , e o vetor
KG = G - K tem coordenadas (-3, -3, 3) .
Tem-se que o triângulo KFG é isósceles:
KF = KG = ( ) ( )3 3 32 2 2- + - + = 27
Portanto:
KF $ KG = KF KG cos KF KG_ iT +
+ 9 + (-9) + 9 = 27 × 27 × cos KF KG_ iT +
+ cos KF KG_ iT = 279
+ cos KF KG_ iT = 31
+ KF KG_ iT c 71°
4.3 Considere-se u um vetor normal ao plano BCD e K(3, 3, 3) , um ponto pertencente a este plano.
u = KM = M - K , em que M(3, 6, 6) é ponto médio da aresta EF . Então, tem-se u(0, 3, 3) .
Uma equação cartesiana do plano BCD :
0(x - 3) + 3(y - 3) + 3(z - 3) = 0 + + 3z - 9 + 3z - 9 = 0 + y + z - 6 = 0
5 Determine uma equação do plano que passa no ponto A(0, 0, -1) e é perpendicular à reta de equação:
(x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR
Se o plano passa no ponto A(0, 0, -1) e é perpendicular à reta de equação (x, y, z) = (0, -1, 0) + k(2, 1, -1), k ! IR , então, um dos vetores normais a esse plano pode ser u(2, 1, -1) .
Uma das equações desse plano pode ser dada por:
2(x - 0) + 1(y - 0) + (-1)(z + 1) = 0 + 2z + y - z - 1 = 0
000707 176-205 U7.indd 178 01/07/16 12:11
179
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
6 Determine uma equação do plano ABC , em que, num dado referencial ortonormado, os pontos A , B e C têm coordenadas (2, 1, 0) , (0, 0, 3) e (-3, 0, 0) , respetivamente.
Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então,
um vetor u perpendicular a AB e AC é normal ao plano.
Então, o vetor u é tal que:
u $ AB = 0 / u $ AC = 0
Como AB(-2, -1, 3) e AC(-5, -1, 0) , se u tem coordenadas (a, b, c) , tem-se:
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
2 1 3 0
5 1 0 0
$
$
- - =
- - =* +
a b c
a b
2 3 0
5 0
- - + =
- - =) +
+ a c
b a
3 3
5
=-
=-) +
c a
b a5
=-
=-(
Fazendo a = -1 , tem-se b = 5 e c = 1 . Então, um vetor u , normal ao plano ABC , tem coordenadas (-1, 5, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é -x + 5y + z + d = 0 .
Como A pertence ao plano, tem-se -2 + 5 + d = 0 + d = -3 .
Assim, uma equação do plano é dada por:
-x + 5y + z - 3 = 0 + x - 5y - z + 3 = 0
7 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A , B e C , de coordenadas (10, 0, 0) , (0, 2, 1) e (0, 5, 0) , respetivamente, e as retas AB e BC .
7.1 Justifique que as retas AB e BC são complanares.
7.2 Prove que o plano definido por AB e BC admite como equação:
x + 2y + 6z = 10
7.3 Calcule o volume da pirâmide [OABC] .Adaptado da Prova Modelo do 12.º ano, 1999
7.1 As retas AB e BC são complanares se os pontos A , B e C definirem um plano.
Como AB(-10, 2, 1) , a reta AB pode ser definida pela equação:
(x, y, z) = (10, 0, 0) + k(-10, 2, 1), k ! IR
Verifique-se se C pertence à reta AB substituindo as coordenadas de C na sua equação:
(0, 5, 0) = (10 - 10k, 2k, k) + 0 = 10 - 10k / 2k = 5 / k = 0
x
O
A
BC
y
u2p134h2
z
000707 176-205 U7.indd 179 01/07/16 12:11
180
EquaçõEs dE planos no Espaço
Como uma das condições obtidas é impossível, conclui-se que C não pertence a AB e, então, os três pontos são não colineares (definem um plano). Logo, as retas AB e BC são complanares.
7.2 Como A , B e C são três pontos não colineares do plano ABC , então, um vetor u perpendicular a BA e BC é normal ao plano.
Então, o vetor u é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 .
Como BA(10, -2, -1) e BC(0, 3, -1) , se u tem coordenadas (a, b, c) , tem-se:
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
0
0
10 2 1
0 3 1
$
$
- =
=
-
-* +
a b c
b c
10 2 0
3 0
- - =
- =) +
+ a b
c b
10 5
3
=
=) +
a b
c b
21
3
=
=
*
Fazendo b = 2 , tem-se a = 1 e c = 6 , então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (1, 2, 6) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é x + 2y + 6z + d = 0 .
Como A pertence ao plano, tem-se 10 + d = 0 + d = -10 .
Assim, uma equação do plano é dada por x + 2y + 6z = 10 .
Em alternativa, pode-se substituir as coordenadas dos pontos (não colineares) A , B e C na equação x + 2y + 6z = 10 e verificar que se mantém a igualdade:
10 + 2 × 0 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10
0 + 2 × 2 + 6 × 1 = 10 + 10 = 10
0 + 2 × 5 + 6 × 0 = 10 + 10 = 10
7.3 Considere-se a base da pirâmide [OABC] como sendo o triângulo retângulo [AOC] e a altura, h , a distância da base da pirâmide ao ponto B (paralela ao eixo Oz ) .
Então:
V[OABC] = A h
3[ ]AOC #
= 3
210 5
1#
# =
325
u. v.
Tarefa 2 Na figura ao lado estão representados, em referencial o.n. Oxyz do espaço, a superfície esférica definida pela equação
(x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 36
e o plano tangente à superfície esférica no ponto A(-2, y, 3), y ! IR .
x
A
y
u2p135h1
z
000707 176-205 U7.indd 180 01/07/16 12:11
181
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2.1 Determine a ordenada do ponto A sabendo que esta é superior à do centro da superfície esférica.
2.2 Escreva uma equação do plano tangente à superfície esférica no ponto A .
2.1 Substituindo x e z , respetivamente, por -2 e 3 , na equação que define a superfície esférica, obtém-se:
(-2 - 2)2 + (y - 3)2 + (3 + 1)2 = 36 + 16 + (y - 3)2 + 16 = 36 +
+ (y - 3)2 = 4 + y - 3 = 2 0 y - 3 = -2 + y = 5 0 y = 1
Como a ordenada do centro é 3 , tem-se que a ordenada do ponto A é 5 .
2.2 O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (2, 3, -1) .
O vetor CA(-4, 2, 4) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto A . Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma:
-4x + 2y + 4z + d = 0
Substituindo x , y e z pelas coordenadas do ponto A , respetivamente, obtém-se:
-4 × (-2) + 2 × 5 + 4 × 3 + d = 0 + d = -30
e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação:
-4x + 2y + 4z - 30 = 0 + 2x - y - 2z + 15 = 0
8 Considere um referencial o.n. Oxyz .
Determine uma equação do plano tangente à superfície esférica de equação
x2 + y2 + (z - 1)2 = 1na origem do referencial.
O centro da superfície esférica, C , tem coordenadas (0, 0, 1) .
O vetor CO(0, 0, -1) é normal ao plano tangente à superfície esférica no ponto O (origem do referencial). Logo, o plano pretendido pode-se escrever na forma -z + d = 0 .
Substituindo z pela cota do ponto O , obtém-se d = 0 e, sendo assim, o plano pode ser dado pela equação z = 0 .
9 No referencial o.n. Oxyz da figura está representado um prisma triangular reto em que:• C tem coordenadas (4, 0, 1) ;• aface[ABDO] está contida no plano xOy ;• ED = 3
9.1 Defina por meio de uma equação cartesiana o plano mediador de [BD] .
9.2 Identifique, usando letras da figura, o lugar geométrico definido pela
condição x = 4 / y + 2 2z = 2 2 .
x
O
E
D
BA
C y
u2p135h3
z
000707 176-205 U7.indd 181 01/07/16 12:11
182
EquaçõEs dE planos no Espaço
9.1 Determine-se as coordenadas de D :
ED OD OE2 2 2= + + 32 = OD
2 + 12 + OD = 2 2
Logo, D , ,0 2 2 0_ i .
Considere-se M , ,2 2 02_ i o ponto médio do segmento de reta [BD] .
Como BD = D - B tem coordenadas , ,0 4 2 2 2 2 0 0- - -_ i = = (-4, 0, 0) , a equação cartesiana do plano é -4x + d = 0 .
O valor de d é tal que -4 × 2 + d = 0 + d = 8 ; logo, uma equação cartesiana do plano mediador de [BD] pode ser dada por:
-4x + 8 = 0 + -x + 2 = 0 Em alternativa: d(B, M) = d(D, M) +
+ ( ) ( )x y z4 2 2 022
2- + - + -` j = ( ) ( )x y z0 2 2 022
2- + - + -` j +
+ x2 - 8x + 16 + y2 - 4 2y + 8 + z2 = x2 + y2 - 4 2y + 8 + z2 +
+ -8x + 16 = 0 + -x + 2 = 0
Ou então pode-se afirmar que é x = 2 , pois se é perpendicular a [BD] também é perpendicular a [AO] e, como passa pelo ponto médio de [AO] de coordenadas (2, 0, 0) , tem-se x = 2 .
9.2 Os pontos B , ,4 2 2 0_ i e C(4, 0, 1) verificam a condição dada; portanto, a reta BC é o lugar geométrico definido pela mesma.
7.3 Posição relativa de dois planos
10 Num referencial ortonormado Oxyz , o plano c é definido pela equação:
x - y + 3z - 5 = 0
10.1 Determine as coordenadas do ponto de interseção do plano c com o eixo Ox .
10.2 Escreva uma condição que defina a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -1, 6) .
10.3 Determine uma equação cartesiana do plano paralelo a c e que passa no ponto de coordenadas (1, 1, 1) .
10.1 Seja I o ponto de interseção do plano c com o eixo Ox , então, I(x, 0, 0) . Substituindo na equação do plano, obtém-se:
x - 0 + 3 × 0 - 5 = 0 + x = 5 Portanto, I(5, 0, 0) .
10.2 Pela equação que define o plano c , obtém-se o vetor normal ao plano de coordenadas (1, -1, 3) .
Por exemplo, uma condição que define a reta perpendicular a c e que passa por A(0, -1, 6) é:
(x, y, z) = (0, -1, 6) + k(1, -1, 3), k ! IR
000707 176-205 U7.indd 182 01/07/16 12:11
183
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
10.3 Como o plano é paralelo a c , pode-se considerar o mesmo vetor normal ao plano de coordenadas (1, -1, 3) .
O ponto (1, 1, 1) pertence ao plano paralelo a c ; logo:
1 - 1 + 3 × 1 + d = 0 + d = -3
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a c é:
x - y + 3z - 3 = 0
11 Considere, num referencial ortonormado Oxyz , os planos definidos pelas seguintes equações:
a: x + y + z = 10
b: -2x - 2y - 2z = -20
d: 3x + 3y + 3z = 4
n: 2x + 2y - 2z = 20
Indique, justificando, quais destes planos são paralelos e quais são coincidentes.
Considere-se a e b :
Os vetores normais a a e b têm coordenadas (1, 1, 1) e (-2, -2, -2) , respetivamente.
Como (1, 1, 1) = 21
- (-2, -2, -2) , conclui-se que os dois vetores são
colineares, pelo que os planos a e b são paralelos.
Como -2x - 2y - 2z = -20 + x + y + z = 10 , a e b são coincidentes.
Considere-se a , b e d :
x + y + z = 10 + 3(x + y + z) = 3 × 10 + 3x + 3y + 3z = 30
Como 30 ! 4 , então, d é paralelo a a e a b .
No caso de n , o seu vetor normal não é colinear a nenhum dos outros vetores normais; logo, n não é paralelo nem coincidente com nenhum dos outros planos. Além disso, os vetores normais também não são perpendiculares.
Portanto, a e b são coincidentes e d é paralelo a a e b .
12 Considere os planos definidos, em determinado referencial o.n. do espaço, pelas equações:
a: x + 2y + z = 10
b: x + y - 2z = 5
d: -x - y + 2z = 4
n: 2x + 2y - 4z = -8
Indique, caso seja possível, um par de planos cuja interseção seja:
a) um plano. b) uma reta. c) o conjunto vazio.
a) d e n , pois são planos coincidentes.
b) a e b , pois são planos concorrentes.
c) b e n , pois são planos paralelos.
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184
EquaçõEs dE planos no Espaço
13 Averigue, em cada alínea, se os planos definidos, num referencial o.n., pelas seguintes equações são perpendiculares:
a) a: 3x - 4y + z = 2 b: 4x + 3y = 3
b) a: -2x + y - 3z = 0 b: 4x + y - z = 11
a) Considere-se ua(3, -4, 1) e ub(4, 3, 0) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .
ua $ ub = 3 × 4 + (-4) × 3 + 1 × 0 = 0
Logo, os planos a e b são perpendiculares.
b) Considere-se ua(-2, 1, -3) e ub(4, 1, -1) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Os planos a e b são perpendiculares se, e só se, ua $ ub = 0 .
ua $ ub = -2 × 4 + 1 × 1 + (-3) × (-1) = -4 ! 0
Logo, os planos a e b não são perpendiculares.
14 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o cubo [ABCDEFGO] .
A face [OGCD] está contida no plano yOz e os pontos E , G e D têm coordenadas ^ 10, 0, 0h , (0, 3, 1) e (0, -1, 3) , respetivamente.
14.1 Mostre que a equação -y + 3z = 0 define o plano OEG .
14.2 Determine uma condição que defina:
a) o plano ABC .
b) o plano BCF .
c) a reta FG .
14.1 Considere-se OD(0, -1, 3) um vetor normal ao plano OEG .
Tem-se que a equação é da forma -y + 3z + d = 0 .
Como E , ,10 0 0_ i pertence ao plano, conclui-se que d = 0 .
Portanto, a equação -y + 3z = 0 define o plano OEG .
14.2 a) Como o plano ABC é paralelo a OEG , tem-se que a equação é da forma -y + 3z + d = 0 . Como D(0, -1, 3) pertence ao plano, conclui-se que -(-1) + 3 × 3 + d = 0 + d = -10 .
Portanto, uma condição que define o plano ABC é -y + 3z - 10 = 0 .
b) Considere-se GO(0, -3, -1) um vetor normal ao plano BCF .
Tem-se que a equação é da forma -3y - z + d = 0 . Como G(0, 3, 1) pertence ao plano, conclui-se que -3 × 3 - 1 + d = 0 + d = 10 .
Portanto, uma condição que define o plano BCF é -3y - z + 10 = 0 .
c) A reta FG é a interseção dos planos BCF e OEG ; logo, uma condição que a define é:
-3y - z + 10 = 0 / -y + 3z = 0
x
O
E
G
DB
A
C
y
u2p138h1
z
F
000707 176-205 U7.indd 184 01/07/16 12:11
185
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
7.4 Equação vetorial de um plano
15 Considere num referencial o.n. Oxyz os pontos A , B e C de coordenadas (0, -1, 3) , (2, 4, 5) e (0, -1, 0) , respetivamente.
15.1 Determine as coordenadas de dois vetores, não nulos, paralelos ao plano ABC .
15.2 Escreva uma equação vetorial do plano ABC .
15.1 Por exemplo, AB(2, 5, 2) e AC(0, 0, -3) .
15.2 Sabe-se que AB e AC são vetores, não colineares, paralelos ao plano ABC , e o ponto A pertence ao plano. Logo, uma equação vetorial do plano ABC é dada por:
(x, y, z) = (0, -1, 3) + s(2, 5, 2) + t(0, 0, 3), s, t ! IR
Tarefa 3 Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide quadrangular regular [ABCOV] cuja base [ABCO] está contida no plano xOz e o vértice V tem coordenadas (2, 8, 2) .
3.1 Determine o volume da pirâmide.
3.2 Escreva um sistema de equações paramétricas do plano OCV .
3.3 A equação x + 4y - z - 14 = 0 define o plano mediador de uma das arestas laterais da pirâmide. Indique, justificando, qual é essa aresta.
3.1 O ponto V tem de abcissa 2 ; logo, o quadrado base da pirâmide tem de lado 4 u. c. Como a ordenada do ponto V é 8 , a altura da pirâmide é 8 u. c.
O volume da pirâmide é dado por:
V[ABCOV] = 3
4 82 # =
3128
u. v.
3.2 O ponto C tem coordenadas (0, 0, 4) .
Os vetores OC e OV têm de coordenadas, respetivamente, (0, 0, 4) e (2, 8, 2) ; assim sendo, o plano OCV pode ser dado pelo sistema de equações paramétricas:
x t
y t
z s t
2
8
4 2
=
=
= +
* , s, t ! IR
3.3 A equação define o plano mediador de [CV] , pois o ponto médio tem coordenadas (1, 4, 3) e verifica a equação:
1 + 4 × 4 - 3 - 14 = 0
Além disso, CV(2, 8, -2) é colinear ao vetor de coordenadas (1, 4, -1) , normal ao plano dado, uma vez que CV = 2(1, 4, -1) .
x
OV
B
A
C
y
u2p140h1
z
000707 176-205 U7.indd 185 01/07/16 12:11
186
EquaçõEs dE planos no Espaço
16 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , o tetraedro regular [ABCD] .
Sabe-se que o plano que contém a face [ABC] é definido pelo seguinte sistema:
x s
y t
z s t
1= -
=-
= +
* , s, t ! IR
16.1 Determine a medida da aresta do poliedro.
16.2 Sabendo que a reta AD é definida pelo sistema
x k
y k
z k
1 4= +
=
=
* , k ! IR
determine as coordenadas do ponto D .
16.3 Determine uma equação cartesiana do plano paralelo ao plano ABC e que passa no ponto de coordenadas (3, 0, 7) .
16.1 Determine-se a abcissa x do ponto A(x, 0, 0) :
x s
t
s t
1
0
0
= -
=-
= +
* +
x
t
s
1
0
0
=
=
=
*
Logo, A(1, 0, 0) .
Determine-se a cota z do ponto C(0, 0, z) :
s
t
z s t
0 1
0
= -
=-
= +
* +
s
t
z
1
0
1
=
=
=
*
Logo, C(0, 0, 1) .
Então, AC = ( ) ( )0 1 0 1 02 2- + + - = 2 .
Logo, a aresta do poliedro tem de comprimento 2 u. c.
16.2 Tem-se que:
x k
y k
z k
1 4= +
=
=
* , k ! IR + (x, y, z) = (1, 0, 0) + k(4, 1, 1), k ! IR
Sabe-se que (1, 0, 0) são as coordenadas de A e u(4, 1, 1) são
as coordenadas do vetor diretor da reta AD , AD = 2 e u = 18 .
Portanto, D = A ! 18
2u = A !
31
u .
Logo, D tem coordenadas , ,31
31
31
- - -d n , pois situa-se no 1.º octante.
x
BA D
C
y
u2p142h1n
z
O
000707 176-205 U7.indd 186 01/07/16 12:11
187
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
16.3 Do sistema
x s
y t
z s t
1= -
=-
= +
* , s, t ! IR obtêm-se os dois vetores, s(-1, 0, 1)
e t (0, -1, 1) , paralelos ao plano ABC e, por sua vez, paralelos ao plano pretendido. Então, um vetor, u , perpendicular a estes vetores, é normal ao plano paralelo a ABC .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
1 0 1 0
0 1 1 0
$
$
- =
- =* +
a c
b c
0
0
- + =
- + =) +
c a
c b
=
=(
Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 1 . Então, um vetor u , normal ao plano paralelo a ABC , tem coordenadas (1, 1, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é:
x + y + z + d = 0
Como (3, 0, 7) pertence ao plano, tem-se:
3 + 0 + 7 + d = 0 + d = -10
Assim, uma equação cartesiana do plano paralelo a ABC é dada por:
x + y + z - 10 = 0
17 No referencial ortonormado da figura está representado o prisma quadrangular regular [ABCDEFGH] (o vértice H não está representado na figura).
Sabe-se que:• oplanoEFG é definido pela equação
3x - 6y + 2z + 6 = 0• ovérticeE pertence ao plano xOy ;• aretaAE é definida pelo sistema
x k
y
z
k
k
14 3
7 6
4 2
= +
=
=
- -
+
* , k ! IR
• B(16, -4, 10) e D(8, -9, 7)
17.1 Determine as coordenadas de A e de E .
17.2 Determine uma equação da reta perpendicular ao plano ABC e que passa por B .
17.3 Determine uma equação vetorial do plano mediador de [AC] .
17.1 Como E(x, y, z) pertence ao plano xOy , tem cota igual a 0 . Logo:
x k
y k
k
14 3
7 6
0 4 2
= +
=- -
= +
* +
( )
( )
x
y
k
14 3 2
7 6 2
2
= + -
=- - -
=-
* +
x
y
k
8
5
2
=
=
=-
*
Portanto, E(8, 5, 0) .
x
y
u2p141h2
zC
G
F
EA
D B
000707 176-205 U7.indd 187 01/07/16 12:11
188
EquaçõEs dE planos no Espaço
Em alternativa:
3(14 + 3k) - 6(-7 - 6k) + 2(4 + 2k) + 6 = 0 + k = -2
Para determinar as coordenadas de A , sabe-se que:
x k
y k
k
14 3
7 6
0 4 2
= +
=- -
= +
* + (x, y, z) = (14, -7, 4) + k(3, -6, 2), k ! IR
As coordenadas de A são da forma (14 + 3k, -7 - 4k, 4 + 2k), k ! IR .
Por outro lado, sabe-se que DB(8, 5, 3) é perpendicular a
AE(-6 - 3k, 12 + 4k, -4 - 2k) ; logo:
DB $ AE = 0 + - 48 - 24k - 60 + 20k - 12 + 6k = 0 + k = 0
Portanto, A(14, -7, 4) .
17.2 A reta perpendicular ao plano ABC que passa por B é paralela à reta AE ; logo, pode ter o mesmo vetor diretor.
Portanto, uma equação que define a reta pedida é:
(x, y, z) = (16, -4, 10) + k(3, -6, 2), k ! IR
17.3 O plano mediador de [AC] é o plano BDF .
Sabe-se que AE(-6, 12, -4) e BD(-8, -5, -3) são vetores paralelos ao plano BDF e que o ponto B pertence ao plano.
Logo, uma equação vetorial do plano BDF é dada por:
(x, y, z) = (16, -4, 10) + s(-6, 12, -4) + t(-8, -5, -3), s, t ! IR
Tarefa 4 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide [ABCDV] .
Sabe-se que:• asretasAB e CD são definidas,
respetivamente, pelas equações vetoriais: (x, y, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1), k ! IR (x, y, z) = (0, 1, 1) + k(0, -2, 2), k ! IR• opontoA pertence ao plano xOz ,
B pertence ao plano xOy , C pertence a Oy e D pertence a Oz .
4.1 Mostre que as retas AB e CD definem um plano.
4.2 Escreva uma equação cartesiana do plano que contém a base da pirâmide.
4.3 Justifique que o quadrilátero [ABCD] é um retângulo.
4.4 Admitindo que o ponto V tem coordenadas (2, 3, 2) , determine o volume da pirâmide.
x
y
u2p142h1
z
CO
V
A
D
B
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189
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
4.1 Um vetor u , diretor de AB , tem coordenadas (0, 1, -1) e um vetor diretor de CD tem coordenadas (0, -2, 2) . Como (0, -2, 2) = -2(0, 1, -1) , os vetores são colineares e as retas são paralelas. O ponto C , por exemplo, não pertence a AB ; logo, AB e CD são paralelas e definem um plano.
4.2 Sejam E e F tais que E(2, 1, 1) ! AB e F(0, 1, 1) ! CD . Os vetores FE(2, 0, 0) e u(0, 1, -1) são não colineares e paralelos ao plano ABC .
O vetor n(0, 1, 1) é normal a ambos os vetores; logo, é normal ao plano ABC .
O plano ABC pode ser definido por y + z + d = 0 . Substituindo x , y e z por 2 , 1 e 1 , respetivamente, obtém-se d = -2 .
Logo, uma equação do plano ABC é y + z - 2 = 0 .
4.3 Como A pertence ao plano xOz , tem-se A(x, 0, z) . Por outro lado, A pertence à reta AB ; logo:
(x, 0, z) = (2, 1, 1) + k(0, 1, -1) +
x
k
z k
2
0 1
1
=
= +
= -
* +
x
z
k
2
1
2
=
=-
=
*
Portanto, A(2, 0, 2) .
Analogamente, tem-se B(2, 2, 0) , C(0, 2, 0) e D(0, 0, 2) .
Assim, AC(-2, 2, -2) , BD(-2, -2, 2) , AD(-2, 0, 0) e BC(-2, 0, 0) .
Como AC = BD = 2 3 e AD = BC , [ABCD] é um retângulo.
4.4 Seja r a reta perpendicular a ABC e que passa por V . Uma equação da reta r é dada por:
(x, y, z) = (2, 3, 2) + k(0, 1, 1), k ! IR
Considere-se M(x, y, z) a interseção da reta r com o plano ABC ; então:
x
k
z k
y z
y
2
2 0
3
2
=
= +
=
+ - =
+* + k y
k z
3
2
———
———
=
=
-
-* +
z y
y y
1
1 2 0
———
———
=- +
- + - =
* +
x
z
y
2
1
32
2
———=
=
=
*
Portanto, M , ,223
21
c m .
Tem-se que MV = 2
3 2 , AD = 2 e AB = 2 2 ; logo,
o volume da pirâmide é dado por:
3
2 22
3 22# #
= 4 u. v.
000707 176-205 U7.indd 189 01/07/16 12:11
190
EquaçõEs dE planos no Espaço
18 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV] , cuja base está contida no plano xOy .
O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B tem coordenadas (5, 3, 0) . O ponto V pertence ao plano de equação z = 6 . Os planos ADV e ABV têm equações 6x + 18y - 5z = 24 e 18x - 6y + 5z = 72 , respetivamente.
18.1 Determine o volume da pirâmide.
18.2 Determine as coordenadas do ponto V .
18.3 Seja S o ponto de coordenadas (-1, -15, 5) . Seja r a reta que contém o ponto S e é perpendicular ao plano ADV .
Verifique que a reta r contém o ponto B .Teste Intermédio do 11.º ano, 2010
18.1 A altura da pirâmide é 6 u. c. , pois V tem cota 6 .
O ponto A(x, y, z) pertence ao eixo Ox ; logo, tem coordenadas (x, 0, 0) . Como o ponto A pertence ao plano ADV , tem-se:
6x + 18 × 0 - 5 × 0 = 24 + 6x = 24 + x = 4
Portanto, A(4, 0, 0) .
Calcule-se o comprimento da aresta da base:
AB = ( ) ( ) ( )5 4 3 0 0 02 2 2- + - + - = 10
Logo, o volume da pirâmide é igual a 3
10 62#_ i
= 20 u. v.
18.2 Sabe-se que V é o ponto de interseção de três planos: o plano de equação z = 6 , o plano ADV e o plano ABV . Portanto:
x y z
x y z
z
6 18 5 24
18 6 5 72
6
+ - =
- + =
=
* +
x y
x y
z
6 18 30 24
18 6 30 72
6
+ - =
- + =
=
* +
x y
x y
9 3
18 6 42
———
= -
- =* +
+ ( )y y18 9 3 6 42
———
———
- - =* +
x
y
z
3
2
6
=
=
=
*
Deste modo, tem-se V(3, 2, 6) .
18.3 Através da equação do plano ADV , 6x + 18y - 5z = 24 , obtém-se o vetor de coordenadas (6, 18, -5) , perpendicular ao plano ADV , sendo um vetor diretor da reta r . Portanto, uma equação vetorial de r é:
(x, y, z) = (-1, -15, 5) + k(6, 18, -5), k ! IR
Como 6
5 118
3 155
0 5+=
+=
--
é uma proposição verdadeira, a reta r
contém o ponto B(5, 3, 0) .
x
y
u2p142h2
z
C
O
V
AD
B
000707 176-205 U7.indd 190 06/07/16 17:30
191
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
19 Na figura seguinte estão representados, num referencial o.n. Oxyz , um cubo e um octaedro cujos vértices são os centros das faces do cubo.
Um dos vértices do cubo é a origem do referencial e as suas faces estão contidas nos planos coordenados.
O plano MNK é definido pela equação x + y + z = 2
19.1 Determine a medida da aresta do cubo.
19.2 Escreva uma equação vetorial do plano JUL .
19.3 Seja T um ponto da aresta [GF] .
Determine as coordenadas de T de modo que
LJ $ LT = -21
19.1 O plano de equação x + y + z = 2 tem o vetor de coordenadas (1, 1, 1) como vetor normal.
Seja a a medida da aresta do cubo. Sabe-se que M , ,a a2
02
c m
é o ponto médio da face [ABOE] que pertence ao plano xOy ; logo, tem ordenada nula. Substituindo as coordenadas de M na equação
do plano MNK , vem que a2
+ a2
= 2 + a = 2 .
Portanto, a medida da aresta do cubo é 2 u. c.
19.2 Tem-se que as coordenadas dos pontos J , U e L são, respetivamente, (2, 1, 1) , (1, 2, 1) e (1, 1, 2) .
Sabe-se que JL(-1, 0, 1) e JU(-1, 1, 0) são vetores paralelos ao plano JUL e que o ponto J pertence ao plano.
Logo, uma equação vetorial do plano JUL é dada por:
(x, y, z) = (2, 1, 1) + s(-1, 0, 1) + t(-1, 1, 0), s, t ! IR
19.3 Seja T(0, 2, z) , pois pertence à aresta [GF] .
Tem-se LJ(1, 0, -1) e LT(-1, 1, z - 2) ; então:
LJ $ LT = -21
+ 1 × (-1) + 0 × 1 + (-1) × (z - 2) = -21
+
+ -1 - z + 2 = -21
+ z = 23
Portanto, T , ,0 223
c m .
x
y
u2p143h2
z
O
A
B
DE
U
G
F
C
L
MK
J
N
000707 176-205 U7.indd 191 01/07/16 12:11
192
EquaçõEs dE planos no Espaço
AVALIAR CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 Considere um referencial o.n. Oxyz . Uma equação do plano que contém o ponto P(1, 3, 4) e é perpendicular a u(2, 0, 1) é:
(a) x + 2z = 9
(B) 2x - z + 2 = 0
(C) x + 3y + 4z = 9
(D) 2x + z = 6
Tem-se 2x + z + d = 0 . Como P(1, 3, 4) pertence ao plano, conclui-se que:
2 × 1 + 4 + d = 0 + d = -6
Portanto, a condição que define o plano é 2x + z = 6 .
A opção correta é a (D).
2 Considere um referencial o.n. Oxyz . O ponto de coordenadas (-1, 3, k) pertence ao plano definido analiticamente por -x + 3y + z = 4 , se:
(a) k = -6
(B) k = -4
(C) k = -3
(D) k = 4
-(-1) + 3 × 3 + k = 4 + k = -6
A opção correta é a (A).
3 No referencial o.n. da figura está representado um octaedro regular.
Os vértices do octaedro pertencem aos eixos coordenados e a sua aresta mede 2 2 .
Uma equação do plano que contém a face BCF é:
(a) x + y - z = 2
(B) x + y + z = 2 2
(C) x + y - z = 2 2
(D) x + y + z = 2
x
y
u2p144h1
z
OA
B
D
E
F
C
000707 176-205 U7.indd 192 01/07/16 12:11
193
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Pelo teorema de Pitágoras, obtém-se BD = AC = 2 2 2 22 2
+_ _i i = 4 , logo, as coordenadas de B , C e F são, respetivamente, (2, 0, 0) , (0, 2, 0) e (0, 0, -2) .
Seja u um vetor perpendicular a BC(-2, 2, 0) e BF(-2, 0, -2) , vetores normais ao plano BCF .
Então, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BA = 0 / u $ BC = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
2 2 0 0
2 0 2 0
$
$
- =
- - =* +
a b
a c
2 2 0
2 2 0
- + =
- - =) +
a b
a c
=
=-)
Fazendo a = 1 , tem-se b = 1 e c = -1 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (1, 1, -1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano BCF é x + y - z + d = 0 .
Como B pertence ao plano, tem-se 2 + d = 0 + d = -2 .
Portanto, uma equação do plano é dada por x + y - z = 2 .
A opção correta é a (A).
4 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um paralelepípedo reto.
Sabe-se que:• aorigemdoreferencialéumdosvértices;• osvérticesP , R e S pertencem aos eixos
Ox , Oy e Oz , respetivamente; • ovérticeU tem coordenadas (2, 4, 2) .
Considere a reta r definida pela equação
(x, y, z) = (2, 0, 2) + k(0, 0, 1), k ! IR
Qual é o ponto de interseção da reta r com o plano OUV ?
(a) O ponto P . (B) O ponto T . (C) O ponto U . (D) O ponto V .
Exame Nacional do 12.º ano, 2001
Pode-se afirmar pela equação da reta r que esta contém a aresta [PT] .
Logo, a interseção da reta r com o plano OUV é o ponto P .
A opção correta é a (A).
5 Num referencial o.n. Oxyz , sejam a e b os planos definidos pelas equações
a: x + y - z = 1 e b: 2x + 2y - 2z = 1
A interseção dos planos a e b é:
(a) o conjunto vazio. (B) um ponto. (C) uma reta. (D) um plano.
Teste Intermédio do 11.º ano, 2008
x
y
u2p144h2
z
T
PQ
U
R
VS
O
000707 176-205 U7.indd 193 01/07/16 12:11
194
EquaçõEs dE planos no Espaço
Tem-se ua(1, 1, -1) perpendicular a a e ub(2, 2, -2) perpendicular a b .
Estes vetores são colineares, pelo que os dois planos são paralelos. Como as duas equações não são equivalentes, os planos não são coincidentes. Portanto, são estritamente paralelos.
A opção correta é a (A).
6 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um cubo.
Sabe-se que:• aorigemdoreferencialéumdosvértices;• osvérticesE , G e A pertencem aos eixos
Ox , Oy e Oz , respetivamente; • H é o centro da face [OGFE] ;• umaequaçãodoplanoDBH é x + y = 10 .
Qual é a medida da aresta do cubo?
(a) 5 (B) 10 (C) 5 2 (D) 10 2
Exame Nacional do 12.º ano, 2001
O ponto H pertence ao plano DBH ; logo, tem cota igual a zero e abcissa igual à ordenada.
Portanto, x + x = 10 + x = 5 . Logo, H(5, 5, 0) e a medida da aresta do cubo é 10 u. c.
A opção correta é a (B).
7 Considere a pirâmide quadrangular regular representada na figura onde o ponto M é o centro da base. Num determinado referencial o.n., as coordenadas dos pontos V e M são (2, 3, 4) e (-1, 2, 5) , respetivamente.
Uma equação do plano ABC é:
(a) 3x + y + z = -6
(B) x - 3y = -7
(C) 3x + y - z = -6
(D) x + 3z = 14
Considere-se o vetor MV(3, 1, -1) , perpendicular ao plano ABC .
Assim, uma equação cartesiana do plano é 3x + y - z + d = 0 .
Como M pertence ao plano, tem-se:
3 × (-1) + 1 × 2 - 1 × 5 + d = 0 + d = 6
Logo, uma equação cartesiana do plano é dada por 3x + y - z + 6 = 0 .
A opção correta é a (C).
x
y
u2p145h1
z
E F
G
BA
DC
OH
u2p145h2
M B
A
D
C
V
000707 176-205 U7.indd 194 01/07/16 12:11
195
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
8 Na figura, o plano a é, num referencial o.n., definido pela equação x - 2y + 3z = 3 e é tangente à superfície esférica, de centro em C , no ponto A de coordenadas (-1, 1, 2) .
Uma equação da superfície esférica pode ser:
(a) (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 3
(B) x2 + y2 + z2 = 6
(C) x2 + (y + 1)2 + (z - 5)2 = 6
(D) (x + 2)2 + (y - 3)2 + (z + 1)2 = 14
Substituindo as coordenadas do ponto A nas quatro hipóteses de equações, obtêm-se como verdadeiras as opções (B) e (D).
Se C(0, 0, 0) , tem-se que AC(1, -1, -2) e AC não é colinear a (1, -2, 3) .
Se C(-2, 3, -1) , tem-se que AC(-1, 2, -3) e AC é colinear a (1, -2, 3) .
A opção correta é a (D).
9 Num referencial ortonormado do espaço, o plano a é definido pela seguinte equação vetorial:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + s(1, 1, 2) + t(-1, 0, 2), s, t ! IR
Uma equação cartesiana do plano a é:
(a) 2x - 4y + z + 3 = 0
(B) -2x + 4y - z + 1 = 0
(C) x - 2y + 21
z = 0
(D) 2x + 4y + z - 13 = 0
Os vetores s(1, 1, 2) e t (-1, 0, 2) são paralelos ao plano a . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano a . Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ s = 0 / u $ t = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
1 1 2 0
1 0 2 0
$
$
=
- =* +
a b c
a c
2 0
2 0
+ + =
- + =) +
b c
a c
4
2
=-
=)
Fazendo c = 1 , tem-se a = 2 e b = -4 . Então, um vetor u , normal ao plano a , tem coordenadas (2, -4, 1) .
Assim, uma equação cartesiana do plano a é 2x - 4y + z + d = 0 .
Como (1, 2, 3) pertence ao plano, tem-se:
2 × 1 - 4 × 2 + 3 + d = 0 + d = 3
Portanto, uma equação cartesiana do plano a é dada por:
2x - 4y + z + 3 = 0
A opção correta é a (A).
u2p145h3
A
C
000707 176-205 U7.indd 195 01/07/16 12:11
196
EquaçõEs dE planos no Espaço
10 Na figura estão representados o plano a e a reta r definidos, num referencial o.n. do espaço, pelas equações x - y + z = 1 e (x, y, z) = (-1, 0, 0) + k(1, 1, -2), k ! IR , respetivamente.
Seja a o ângulo que a reta r faz com a sua projeção ortogonal sobre o plano a .
Então, a amplitude de a , em graus, aproximada às décimas, é:
(a) 28,1°
(B) 60°
(C) 61,9°
(D) 118,1°
Sejam u(1, -1, 1) vetor normal ao plano a e v(1, 1, -2) vetor diretor da reta r .
Então:
u $ v = u v cos u v_ iT + cos u v_ iT = 3
1 1 2
6#
- - =
18
2- =
32
-
Como u v_ iT c 118,1° , tem-se que aU c 180 - 90 - 118,1° = 28,1° .
A opção correta é a (A).
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
11 Considere três pontos A , B e C , pertencentes aos eixos coordenados representados no referencial Oxyz da figura.
Os pontos A e C têm coordenadas (3, 0, 0) e (0, 0, 4) ,
respetivamente, B pertence ao eixo Oy e AB = 13 .
11.1 Determine as coordenadas do ponto B .
11.2 Determine a amplitude, em graus, do ângulo
dos vetores CA e CB , aproximada às décimas.
11.3 Determine uma equação cartesiana do plano ABC .
11.1 Tem-se que A(3, 0, 0) e B(0, y, 0) , então:
AB = 13 + ( , , )y3 0- = 13 + y9 2+ = 13 y9 02+
H+
+ 9 + y2 = 13 y 0>+ y = 2
Logo, B(0, 2, 0) .
x
y
u2p146h1
z
O B
A3
4 C
a
r
a
u2p145h4
000707 176-205 U7.indd 196 01/07/16 12:11
197
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
11.2 CA = A - C tem coordenadas (3, 0, -4) e CB = B - C tem coordenadas (0, 2, -4) .
Logo:
CA $ CB = CA CB cos CA CB_ iT + cos CA CB_ iT = 5 2 5
16
# +
+ cos CA CB_ iT = 25
8 5 + CA CBT c 44,3°
11.3 Os dois vetores CA(3, 0, -4) e CB(0, 2, -4) são paralelos ao plano ABC . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano ABC .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ CA = 0 / u $ CB = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
0 0
0
3 4
0 2 4
$
$
=
=
-
-* +
a c
b c
3 4 0
2 4 0
- =
- =) +
a c
b c
34
2
=
=
*
Fazendo c = 3 , tem-se a = 4 e b = 6 . Então, um vetor u , normal ao plano ABC , tem coordenadas (4, 6, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x + 6y + 3z + d = 0 .
Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se 4 × 3 + d = 0 + d = -12 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:
4x + 6y + 3z - 12 = 0
12 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um triângulo [ABC] .
Relativamente ao triângulo [ABC] , sabe-se que:• estácontidonoplanoa de equação
20x + 15y - 12z = 60• ospontosA , B e C pertencem aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente.
12.1 Determine as coordenadas dos vértices do triângulo.
12.2 Classifique o triângulo quanto aos ângulos.
12.3 Determine uma equação cartesiana de um plano perpendicular a a e que contém o ponto B .
12.1 Tem-se que A(x, 0, 0) , B(0, y, 0) e C(0, 0, z) , pois pertencem aos eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente. Então, substituindo na equação do plano a , obtém-se:
20x = 60 + x = 3
15y = 60 + y = 4
-12z = 60 + z = -5
Logo, A(3, 0, 0) , B(0, 4, 0) e C(0, 0, -5) .
x
y
u2p146h2
z
O B
A
C
000707 176-205 U7.indd 197 01/07/16 12:11
198
EquaçõEs dE planos no Espaço
12.2 Como AB(-3, 4, 0) , AC(-3, 0, -5) e BC(0, -4, -5) , então:
AB = ( )3 42 2- + = 5
AC = ( ) ( )3 52 2- + - = 34
BC = ( ) ( )4 52 2- + - = 41
Aplicando o teorema de Carnot, obtêm-se os ângulos internos AW e BW do triângulo ABC :
412 = 52 + 34
2 - 2 × 5 × 34 cos AW +
+ 41 = 59 - 10 34 cos AW + cos AW = 10 34
59 41- +
+ cos AW = 170
9 34 + AW c 72°
342 = 52 + 41
2 - 2 × 5 × 41 cos BW + cos BW =
10 41
66 34- +
+ cos BW = 205
16 41 + BW c 89°
Logo, CW = 180° - AW - BW c 19° .
Portanto, o triângulo é acutângulo.
12.3 Seja BA(3, -4, 0) , por exemplo, um vetor normal ao plano perpendicular a a .
Uma equação cartesiana do plano é 3x - 4y + d = 0 .
Como a contém o ponto B(0, 4, 0) , tem-se d = 16 .
Logo, uma equação cartesiana do plano perpendicular a a é dada por:3x - 4y + 16 = 0
13 No referencial o.n. da figura está representado um prisma, em que um dos vértices é a origem do referencial, a base [OABC] está contida no plano xOy e o ponto F tem coordenadas (4, 3, -2) .
13.1 Calcule BG $ AD .
13.2 Determine uma equação cartesiana do plano OBF .
13.3 Calcule o valor real de p , de modo que o ponto P , de coordenadas (2p, - p + 2, 4) , pertença ao plano mediador de [AB] .
13.1 BG = G - B tem coordenadas (0 - 4, 3 - 0, -2 - 0) = (-4, 3, -2) .
AD = D - A tem coordenadas (4 - 0, 0 - 3, -2 - 0) = (4, -3, -2) .
BG $ AD = -4 × 4 + 3 × (-3) + (-2) × (-2) = -21
x
y
u2p146h3
z
A
GC
FD
B
E
O
000707 176-205 U7.indd 198 01/07/16 12:11
199
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
13.2 Os vetores BO(-4, 0, 0) e BF(0, 3, -2) são paralelos ao plano OBF . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano OBF .
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ BO = 0 / u $ BF = 0 .
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
0 0
0 0
4 0
3 2
$
$
=
- =
-* +
a
b c
4 0
3 2 0
- =
- =) +
a
b c
0
32
=
=*
Fazendo c = 3 , tem-se b = 2 . Então, um vetor u , normal ao plano OBF , tem coordenadas (0, 2, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano OBF é 2y + 3z + d = 0 .
Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano OBF é dada por:
2y + 3z = 0
13.3 Seja M o ponto médio de [AB] . Então, M , ,223
0c m .
Sabe-se que MP $ AB = 0 , ou seja:
, ,p p2 2 223
4- - + -c m $ (4, -3, 0) = 0 +
+ 8p - 8 + 3p - 6 + 29
+ 0 = 0 + p = 2219
Em alternativa:
Plano mediador de [AB] :
d(A, M) = d(B, M) +
+ ( ) ( ) ( )x y z0 3 02 2 2- + - + - = ( ) ( ) ( )x y z4 0 02 2 2- + - + - +
+ x2 + y2 - 6y + 9 + z2 = x2 - 8x + 16 + y2 + z2 +
+ 8x - 6y - 7 = 0
Como o ponto P(2p, -p + 2, 4) pertence ao plano mediador [AB] :
8(2p) - 6(-p + 2) - 7 = 0 + 16p + 6p = 7 + 12 + p = 2219
14 Considere as retas r e s , definidas num referencial ortonormado por:
r: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR
s: (x, y, z) = (1, 2, 3) + k(3, -1, 0), k ! IR
14.1 Justifique que as retas r e s definem um plano e determine uma equação vetorial desse plano.
14.2 Determine um sistema de equações paramétricas de uma reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial.
14.3 Determine a interseção da reta r com o plano xOz .
000707 176-205 U7.indd 199 01/07/16 12:11
200
EquaçõEs dE planos no Espaço
14.1 Como os vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) são não colineares e as retas r e s se intersetam no ponto (1, 2, 3) , então, as retas definem um plano, pois são concorrentes.
Uma equação vetorial desse plano é:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + a(1, -1, 2) + b(3, -1, 0), a, b ! IR
14.2 Dados dois vetores ur(1, -1, 2) e us(3, -1, 0) , paralelos ao plano que contém r e s , obtém-se um vetor v perpendicular a estes vetores que é normal ao plano.
Logo, o vetor v(a, b, c) é tal que v $ ur = 0 / v $ us = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
0
0
1 1 2
3 1 0
$
$
=
=
-
-* +
a b c
a b
2 0
3 0
- + =
- =) +
+ a c
b a
2 2 0
3
- + =
=) +
a c
b a3
=
=(
Fazendo c = 1 , tem-se a = 1 e b = 3 . Então, um vetor v , normal ao plano, tem coordenadas (1, 3, 1) .
Assim, uma equação vetorial da reta pedida é:
(x, y, z) = (0, 0, 0) + k(1, 3, 1), k ! IR
Logo, um sistema de equações paramétricas da reta perpendicular a s e que passa pela origem do referencial pode ser dado por:
x k
y k
z k
3
=
=
=
* , k ! IR
14.3 Seja I o ponto de interseção da reta r com o plano xOz .
Então, I(x, 0, z) ! r , ou seja: (x, 0, z) = (1, 2, 3) + k(1, -1, 2), k ! IR
Logo: x k
k
z k
1
0 2
3 2
= +
= -
= +
* +
x
k
z
3
2
7
=
=
=
*
Portanto, I(3, 0, 7) .
15 Na figura está representada, em referencial ortonormado, uma superfície esférica centrada na origem do referencial à qual pertencem os pontos A , B , C e D , tais que:• ospontosA e B têm coordenadas (0, 8, 6) e (0, -8, 6) ,
respetivamente; • opontoD pertence ao semieixo positivo das abcissas;• opontoC pertence ao semieixo negativo das cotas. x
y
u2p147h1
z
AB
O
D
C
000707 176-205 U7.indd 200 01/07/16 12:11
201
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
15.1 Escreva uma equação da superfície esférica.
15.2 Defina analiticamente o plano ABD .
15.3 Calcule sin^BCWAh .
15.4 Escreva uma equação vetorial do plano tangente à superfície esférica no ponto B .
15.1 OA = ( ) ( )0 8 0 6 02 2+ - + - = 100 = 10
Uma equação da superfície esférica é x2 + y2 + z2 = 100 .
15.2 As coordenadas de D são (10, 0, 0) , pois pertence ao semieixo positivo das abcissas.
Os vetores AB(0, -16, 0) e AD(10, -8, -6) são paralelos ao plano ABD . Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ AB = 0 / u $ AD = 0 .
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
16 0
0
0 0
10 8 6
$
$
- =
- =-* +
b
a b c
16 0
10 8 6 0
- =
- - =) +
b
a c
0
53
=
=*
Fazendo c = 5 , tem-se a = 3 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (3, 0, 5) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABD é 3x + 5z + d = 0 .
Como D(10, 0, 0) pertence ao plano, tem-se:
3 × 10 + d = 0 + d = -30
Portanto, pode-se, por exemplo, definir o plano ABD por 3x + 5z - 30 = 0 .
15.3 As coordenadas de C são (0, 0, -10) , pois pertence ao semieixo negativo das cotas.
Como AB(0, -16, 0) , AC(0, -8, -16) e BC(0, 8, -16) , então:
AB = ( )16 2- = 16
AC = ( ) ( )8 162 2- + - = 320
BC = ( )8 162 2+ - = 320
Aplicando o teorema de Carnot, obtém-se:
162 = 3202 + 320
2 - 2 × 320 × 320 cos CW +
+ 256 = 640 - 640 cos CW + cos CW = 640
640 256- + cos CW =
53
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
sin2 CW + cos2 CW = 1 + sin2 CW = 1 - 259
+ sin2 CW = 2516
sinC 0>+W
+ sin CW = 2516
+ sin CW = 54
000707 176-205 U7.indd 201 01/07/16 12:11
202
EquaçõEs dE planos no Espaço
15.4 Seja a o plano tangente à superfície esférica no ponto B . Então, o vetor
BO(0, 8, -6) é um vetor normal a a . Considerem-se dois vetores, não colineares entre si, perpendiculares a BO , de coordenadas, por exemplo, (1, 0, 0) e (0, 3, 4) . Como estes dois vetores são paralelos a a e o ponto B pertence a a , tem-se que uma equação vetorial de a é, por exemplo:
(x, y, z) = (0, -8, 6) + a(1, 0, 0) + b(0, 3, 4), a, b ! IR
16 No referencial o.n. Oxyz está representado um octaedro, constituído por duas pirâmides quadrangulares regulares geometricamente iguais.
Sabe-se que: • oquadrado[ABCD] está contido
no plano xOy ;• osvérticesU e V pertencem
ao eixo Oz ;• afaceABV está contida no plano de equação
- 3y + 3z = 3 3• oânguloagudoquecadafacedasduaspirâmidesformacomabase
tem amplitude de 30° .
16.1 Determine o volume do sólido.
16.2 Determine uma equação cartesiana do plano UDC e mostre que este é paralelo ao plano ABV .
16.3 Seja r a reta perpendicular ao plano ABV que passa por D . Calcule as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABV .
16.1 Considere-se a pirâmide quadrangular [ABCDV] .
Como V pertence ao eixo Oz , tem abcissa e ordenada nula; e como pertence ao plano ABV , tem-se:
- 3 × 0 + 3z = 3 3 + z = 3
Então, V , ,0 0 3_ i e a altura da pirâmide [ABCDV] é de 3 u. c.
Seja E o ponto médio de [DC] .
Então:
tan 30° = OE
3 + OE =
33
3 = 3
Logo, a aresta do quadrado [ABCD] tem de comprimento 6 u. c.
Portanto:
Voctaedro = 2V[ABCDV] = 2 × 3
6 32 # = 24 3 u. v.
x
y
u2p147h2
z
A
B
OD
30º
U
V
C
000707 176-205 U7.indd 202 01/07/16 12:11
203
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
16.2 Tem-se que C(-3, 3, 0) , D(3, 3, 0) e U , ,0 0 3-_ i .
Os vetores DC(-6, 0, 0) e DU , ,3 3 3- - -_ i são paralelos ao plano UDC . Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo:
( , , ) ( , , )
( , , ) , ,
a b c
a b c
0 0
3 3 3 0
6 0$
$
=
- - - =
-
_ i* +
a
a b c
6 0
3 3 3 0
- =
- - - =) +
+ a
c b
0
3
=
=-)
Fazendo b = 1 , tem-se c = - 3 . Então, um vetor u , normal
ao plano, tem coordenadas , ,0 1 3-_ i .
Assim, uma equação cartesiana do plano UDC é:
y - 3z + d = 0
Como U , ,0 0 3-_ i pertence ao plano, tem-se d = -3 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano UDC é dada por:
y - 3z - 3 = 0
Os planos UDC e ABV são paralelos porque os vetores , ,0 1 3-_ i
e , ,0 3 3-_ i são colineares:
, ,0 1 3-_ i = - 3 , ,0 1 3-_ i = , ,0 3 3-_ i
16.3 Uma equação que define a reta r :
(x, y, z) = (3, 3, 0) + k , ,0 3 3-_ i, k ! IR
Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma
, ,k k3 3 3 3-_ i .
Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABV pertence a ambos, tem-se:
- 3 k3 3-_ i + 3(3k) = 3 3 +
+ -3 3 + 3k + 9k = 3 3 +
+ k = 23
Portanto, o ponto tem coordenadas:
, ,3 3 323
323
##-e o = , ,323
233
e o
000707 176-205 U7.indd 203 01/07/16 12:11
204
EquaçõEs dE planos no Espaço
17 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A , B e C de coordenadas (3, 0, 0) , (0, -2, 0) e (0, 0, 4) , respetivamente.
17.1 Determine uma equação cartesiana do plano:
a) ABC
b) tangente à superfície esférica, de diâmetro [AB] , no ponto A .
c) perpendicular ao plano ABC e que passa por B .
17.2 Seja D um ponto de ordenada positiva pertencente à reta paralela ao eixo Oy e que passa por C . Determine as coordenadas de D
sabendo que CDXA = 6r
.
17.3 Identifique o lugar geométrico dos pontos P(x, y, z) tais que AP $ BP = 0 .
17.4 Determine o volume da pirâmide triangular [OABC] .
17.5 Seja r a reta perpendicular ao plano ABC e que passa pelo ponto de coordenadas (2, 2, -1) . Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta r com o plano ABC .
17.1 a) Os vetores AB(-3, -2, 0) e AC(-3, 0, 4) são paralelos ao plano ABC . Então, um vetor u(a, b, c) perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo:
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
3 2 0 0
3 0 4 0
$
$
- - =
- =* +
a b
a c
3 2 0
3 4 0
- - =
- + =) +
b a
c a
23
43
=-
=*
Fazendo a = 4 , tem-se b = -6 e c = 3 . Então, um vetor u , normal ao plano, tem coordenadas (4, -6, 3) .
Assim, uma equação cartesiana do plano ABC é 4x - 6y + 3z + d = 0 .
Como A(3, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = -12 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:
4x - 6y + 3z - 12 = 0
b) O vetor BA(3, 2, 0) é normal ao plano a tangente à superfície esférica no ponto A . Logo, o plano a pode-se escrever na forma
3x + 2y + d = 0
Como A ! a , tem-se:
3 × 3 + 2 × 0 + d = 0 + d = -9
Portanto, uma equação cartesiana do plano a pode ser dada pela equação 3x + y - 9 = 0 .
c) O vetor BA(3, 2, 0) pertence ao plano ABC ; logo, BA é um vetor normal ao plano b perpendicular a ABC .
Logo, o plano b pode-se escrever na forma 3x + 2y + d = 0 .
000707 176-205 U7.indd 204 01/07/16 12:11
205
7UNIDADEDomínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como B(0, -2, 0) pertence ao plano b , tem-se:3 × 0 + 2 × (-2) + d = 0 + d = 4
Assim, uma equação cartesiana do plano perpendicular a ABC que passa por B pode ser: 3x + 2y + 4 = 0 .
17.2 Pelo enunciado, sabe-se que o ponto D tem coordenadas (0, y, 4) , com ordenada positiva.
Como DC(0, -y, 0) e DA(3, -y, -4) , então:
DC = ( )y 2- y 0>+ y
DA = ( ) ( )y3 42 2 2+ - + - = y 252 + Tem-se:
DC $ DA = DC × DA × cos CDAX +
+ y2 = y y 252 +` j23
y 0>+ y = y 252 +` j
23
y 0>+
+ y2 - 43
y2 - 475
= 0 + 41
y2 - 475
= 0 +
+ y = !5 3 y 0>& y = 5 3
Logo, D , ,0 5 43_ i .
17.3 É a superfície esférica de centro no ponto médio de [AB] e raio igual a AB2
:
x23 2
-c m + (y + 1)2 + z2 = 4
13
17.4 Considere-se como base da pirâmide o triângulo [OAB] e como altura [OC] :
V[OABC] = A OC
3[ ]OAB #
= 3
23 2
4#
# = 4 u. v.
17.5 Uma equação que define a reta r :(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(4, -6, 3), k ! IR
Assim, um ponto que pertença a r tem coordenadas da forma: (2 + 4k, 2 - 6k, -1 + 3k)
Como o ponto de interseção da reta r com o plano ABC pertence a ambos, tem-se:
4(2 + 4k) - 6(2 - 6k) + 3(-1 + 3k) - 12 = 0 + + 8 + 16k - 12 + 36k - 3 + 9k - 12 = 0 + 61k = 19 + k =
6119
Portanto:
x
y
z
2 4 6119
2 6 6119
1 3 6119
#
#
#
= +
= -
=- +
* +
x
y
z
61198
618
614
=
=
=-
*
As coordenadas desse ponto são , ,61
198618
614
-d n .
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206
AvAliAção globAl de conhecimentos
AVALIAÇÃO GLOBAL DE CONHECIMENTOS
ESCOLHA MÚLTIPLA
Para cada uma das questões desta secção, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 Na figura está representado, num referencial o.n. xOy , um triângulo equilátero [OPQ] de altura 12 .
Tal como a figura sugere, o vértice O coincide com a origem do referencial, o vértice P pertence ao eixo das ordenadas e o vértice Q pertence ao 3.º quadrante.
Qual é o declive da reta OQ ?
(A) 13
(B) 16
(C) 3
3(D)
36
Como o triângulo [OPQ] é equilátero, tem-se POQW = 60° .
Logo, a inclinação da reta OQ é igual a 90° - 60° = 30º .
tan 30° = 33
A opção correta é a (C).
2 Considere, num referencial o.n . xOy , duas retas, r e s , perpendiculares. Sabe-se que a reta s tem declive 3 e que as retas se intersetam no ponto de coordenadas ,3 1_ i .
Qual é a ordenada na origem da reta r ?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2
Como s e r são perpendiculares, o declive da reta r é -33
.
Logo, a equação da reta r é da forma:
y = -33
x + b
Substituindo as coordenadas do ponto de interseção, obtém-se:
1 = -33
× 3 + b + b = 2
A opção correta é a (D).
y
O
P
x
u2p152h1
Q
000707 206-242.indd 206 01/07/16 12:32
207
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
3 Considere, num referencial o.n. xOy , uma reta t , de declive -
43
.
Sendo a a inclinação da reta t , qual é o valor de sin2r
a+c m ?
(A) -45
(B) -53
(C) 53
(D) 45
sin2r
a+c m = cos a e tan a = 34
- , com a ! 2.o Q
1 + tan2 a = cos
12a
+ 1 + 9
16 =
cos1
2a + cos2 a =
259
.2 Qo
&!a
cos a = -53
A opção correta é a (B).
4 Considere o triângulo [ABC] da figura, com dois ângulos de amplitude a e em que BC = a .
Qual é a expressão que representa AC $ CB ?
(A) a2 cos(2a)
(B) -a2 cos(2a)
(C) -a2 sin(2a)
(D) a2 sin(2a)
AC $ CB = AC BC cos AC BC_ iT = a2 cos(180° + 2a) = -a2 cos(2a)
A opção correta é a (B).
5 Considere um vetor BA , em que AB = 2 .
Qual é o valor do produto escalar BA $ BA ?
(A) 4 (B) -4 (C) 0 (D) 2
AB $ BA = AB BA cos A BB A_ iT = 2 × 2 × cos 180° = -4
A opção correta é a (B).
6 Considere, num referencial o.n. xOy , para um determinado valor de k ! IR , o vetor u(k + 1, 3) e os pontos A(2, -1) e B(-1, 3) .
Os valores de k para os quais o ângulo de u e BA é agudo são:
(A) ]3, +3[ (B) ]-3, 3[ (C) ]-3, -3[ (D) ]-3, +3[
AB(-3, 4)
u $ AB > 0 + -3k - 3 + 12 > 0 + k < 3
A opção correta é a (B).
A B
C
u2p152h2
a a
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208
AvAliAção globAl de conhecimentos
7 Considere, num referencial o.n. do plano, o vetor u(1, sin x), x ! [0, r] .
O valor de x tal que u $ u = 2 é:
(A) 6r
(B) 2r
(C) 23r
(D) r
u $ u = 2 + u2 = 2 + 12 + sin2 x = 2 +
+ sin2 x = 1 [ , ]x 0+! r
x = 2r
A opção correta é a (B).
8 Considere, no referencial o.n. xOy , os vetores a(1, 2) e b(-2, 2) .
A amplitude, em graus, do ângulo formado pelos vetores a e b é, aproximadamente, de:
(A) 43° (B) 58° (C) 72° (D) 81°
a $ b = a b cos a b_ iT + -2 + 4 = 5 × 8 × cos a b_ iT +
+ cos a b_ iT = 1010
& a b_ iT . 72°
A opção correta é a (C).
9 Considere um triângulo [ABC] retângulo em B .
Sabendo que, num referencial o.n. do plano, A e C têm coordenadas (1, 1) e (4, 5) , respetivamente, e que B pertence ao eixo Oy , as coordenadas de B são:
(A) (0, 2) (B) (0, 3) (C) ,025
d n (D) (0, -3)
Considere-se B(0, y) ; então, BA(1, 1 - y) e BC(4, 5 - y) .
Como o triângulo [ABC] é retângulo em B , tem-se:
BA $ BC = 0 + 4 + 5 - y - 5y + y2 = 0 + y2 - 6y + 9 = 0 +
+ y = 2
6 36 4 1 9! # #- + y = 3
Portanto, B(0, 3) .
A opção correta é a (B).
000707 206-242.indd 208 01/07/16 12:32
209
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
10 No referencial o.n. da figura está representado um triângulo.
De acordo com os dados da figura, uma condição que define o triângulo, incluindo a fronteira é:
(A) y H 2x - 2 / y G -21
x + 23
/ x H 0
(B) y G 2x - 2 / y G -21
x + 23/ x H 0
(C) y H 2x - 2 / y H -21
x + 23/ x H 0
(D) y H 2x - 2 / y G -21
x + 23/ y H 0
Sejam r a reta que passa nos pontos (0, -2) e (1, 0) e s a reta perpendicular a r que passa no ponto (3, 0) . Então, tem-se:
r: y = 2x - 2 e s: y = -21
x + 23
A opção correta é a (A).
11 Considere, num referencial o.n. do plano, a reta r de equação x + 2y = 1 .
Qual das afirmações é falsa?
(A) A inclinação da reta r é de, aproximadamente, 153,4° .
(B) Uma equação vetorial da reta r é:
(x, y) = (3, -1) + k(-4, 2), k ! IR
(C) Uma equação da reta t , perpendicular a r , pode ser:
y = -2x + 2
(D) A reta r interseta a bissetriz dos quadrantes pares no ponto (-1, 1) .
x + 2y = 1 + y = -x2
+ 21
(A) Verdadeira. Seja a a inclinação de r . Então:
tan a = -21
+ tan(180° - a) = 21
& a . 153,4°
(B) Verdadeira. O ponto (3, -1) ! r , pois 3 + 2 × (-1) = 1 ,
e (-4, 2) é um vetor diretor de r , pois -42
= -21
.
(C) Falsa. Como -2 × -21
! -1 , t e r não são perpendiculares.
(D) Verdadeira. O ponto (-1, 1) ! r , pois -1 + 2 × 1 = 1 .
A opção correta é a (C).
y
O 1 3
22
x
u2p153h1
000707 206-242.indd 209 01/07/16 12:32
210
AvAliAção globAl de conhecimentos
12 Dados dois pontos A e B do plano, o conjunto dos pontos P do plano,
tais que PA $ PB = 0 , é:
(A) uma circunferência.
(B) um segmento de reta.
(C) uma reta.
(D) um círculo.
A opção correta é a (A).
13 Considere as retas r e s definidas, num referencial o.n. xOy , respetivamente, por:
r: y = 2x - 1
s: (x, y) = (3, 1) + k(-3, 1), k ! IR
A amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s é, com aproximação à décima de grau:
(A) 81,7° (B) 81,8° (C) 81,9° (D) 82,0°
Um vetor diretor de r é r(1, 2) e de s é s(-3, 1) . Portanto:
r $ s = r s cos r s_ iT + -3 + 2 = 5 10 cos r s_ iT +
+ cos r s_ iT = 10
2- + r s_ iT á 98,1°
A opção correta é a (C).
14 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:
2x - y + 3z = 7
As coordenadas de um vetor normal ao plano podem ser:
(A) (1, -1, -1) (B) (1, 2, 0) (C) (-2, 1, -3) (D) (-3, 0, 2)
A opção correta é a (C).
15 Considere, num referencial o.n. Oxyz :• asuperfícieesféricaE definida pela condição x2 + y2 + z2 = 25 ;• aretar de equação (x, y, z) = (0, 0, 4) + k(1, 0, 0), k ! IR .
A reta r interseta a superfície esférica E em dois pontos, A e B .
Qual é a amplitude, em graus, do ângulo AOB (valor arredondado às unidades)?
(A) 72° (B) 74° (C) 76° (D) 78°
000707 206-242.indd 210 01/07/16 12:32
211
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Os pontos da reta r têm coordenadas da forma (k, 0, 4) .
Como A e B pertencem à superfície esférica, tem-se:
k2 + 02 + 42 = 25 + k = 3 0 k = -3
Portanto, OA(-3, 0, 4) e OB(3, 0, 4) . Assim:
OA $ OB = OA OB cos AOB_ iW + -9 + 0 + 16 = 25 cos AOB_ iW +
+ cos AOB_ iW = 257
+ AOBW á 74°
A opção correta é a (B).
16 Na figura está representada, em referencial o.n. Oxyz , a pirâmide de base quadrangular [ABCO] contida no plano xOy e com vértice V de coordenadas (0, 0, 1) .
O ponto B tem coordenadas (1, 1, 0) .
O valor de AC $ BV é:
(A) 6 (B) 3 (C) 2 (D) 0
Tem-se A(1, 0, 0) e C(0, 1, 0) ; logo:
AC $ BC = (-1, 1, 0) $ (-1, -1, 1) = 1 - 1 + 0 = 0
A opção correta é a (D).
17 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os planos a e b definidos, respetivamente, por
a: x + y - z = 0 e b: x + kz = 1, k ! IR
O valor de k de modo que a e b sejam perpendiculares é:
(A) 0 (B) 0,5 (C) 1 (D) 2
Sejam ra(1, 1, -1) e rb(1, 0, k) vetores normais aos planos a e b , respetivamente. Então, a e b são perpendiculares se, e só se:
(1, 1, -1) $ (1, 0, k) = 0 + 1 - k = 0 + k = 1
A opção correta é a (C).
z
y
xA
B
CO
V
u2p154h1
000707 206-242.indd 211 01/07/16 12:32
212
AvAliAção globAl de conhecimentos
18 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o prisma quadrangular reto [ABCDEFGH] cuja base superior está contida no plano xOy . A origem do referencial é o ponto médio da aresta [CD] .
A aresta [CD] está contida no eixo Oy .
Sabe-se que F tem coordenadas (2, 1, -4) .
Seja a o plano perpendicular à reta CE e que passa na origem do referencial.
O valor de m de modo que o vetor de coordenadas (-4, 4, m) seja perpendicular a a é:
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
CE(2, -2, -4) é perpendicular a a . Logo, (-4, 4, m) tem de ser colinear
a CE .
A opção correta é a (D).
19 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o ponto A(1, 2, 3) e a reta r de equação:
(x, y, z) = k(-1, 1, 1), k ! IR
Qual dos seguintes pontos pertence ao plano perpendicular a r e que passa por A ?
(A) (-1, 1, 1) (B) (0, 2, 2) (C) (1, 0, 3) (D) (2, 1, 0)
A equação cartesiana desse plano é da forma -x + y + z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A : -1 + 2 + 3 + d = 0 + d = -4 .
Como 0 + 2 + 2 - 4 = 0 , o ponto de coordenadas (0, 2, 2) pertence ao plano em questão.
A opção correta é a (B).
20 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o plano definido pela equação:
x + 2y + 3z = 10
Para um certo número real p , a condição:
(x, y, z) = (0, 2, 0) + k(1, 1, p), k ! IR
define uma reta paralela ao referido plano.
Indique o valor de p .
(A) -2
(B) -1
(C) 1
(D) 2
z
y
x
O
E F
BA
D C
GH
u2p155h1
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213
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Seja u(1, 2, 3) um vetor normal ao plano e v(1, 1, p) um vetor diretor da reta.
Então, u = v e, portanto:
u $ v = 0 + (1, 2, 3) $ (1, 1, p) = 0 + 1 + 2 + 3p = 0 + p = -1
A opção correta é a (B).
21 Num dado referencial o.n. Oxyz , a reta definida por
x k
y k
z k
1 3
2
1 2
= +
= +
=- +
* , k ! IR
é perpendicular ao plano de equação:
(A) 3x + y + 4z = 2
(B) 3x + y - 2z = 1
(C) 3x + y + 2z = 1
(D) 3x + y = 2z
Como a reta é perpendicular ao plano, u(3, 1, 2) , vetor diretor da reta, é também vetor normal ao plano.
Logo, uma equação do plano é da forma 3x + y + 2z + d = 0 .
A opção correta é a (C).
22 Considere o plano a definido, num dado referencial o.n Oxyz , pelo sistema de equações paramétricas:
x
y
z
s
s t
t
1
2
1
= +
= +
=- +
+* , s, t ! IR
O plano a pode igualmente ser definido por:
(A) x + 2y - z = 0
(B) x - y + z = 0
(C) x - y + z + 2 = 0
(D) 2x - y = 0
x + 2y = 1 + y = -x2
+ 21
Os vetores de coordenadas (1, 1, 0) e (0, 1, 1) são paralelos ao plano. Ambos são perpendiculares ao vetor (1, -1, 1) , que é um vetor normal aos planos das opções (B) e (C). No entanto, o ponto (1, 2, -1) apenas pertence ao plano da opção (C).
A opção correta é a (C).
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214
AvAliAção globAl de conhecimentos
RESPOSTA ABERTA
Nas questões desta secção, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
23 Determine a equação reduzida das retas que passam no ponto de coordenadas (-1, 2) e fazem com o eixo das ordenadas um ângulo de 60° .
Há duas retas nestas condições. Uma r , de inclinação 30º, e outra s , de inclinação 150º .
Como o declive de r é 33
, a equação de r é da forma y = 33
x + b .
Substituindo na equação de r as coordenadas do ponto dado:
2 = 33
× (-1) + b + b = 3
6 3+
Logo, r: y = 33
x + 3
6 3+ .
Analogamente, o declive de s é -33
e, por isso, substituindo na equação
y = -33
x + b as coordenadas do ponto dado:
2 = -33
× (-1) + b + b = 3
6 3-
Logo, s: y = -33
x + 3
6 3- .
24 Na figura ao lado, estão representadas em referencial o.n., duas retas paralelas, r e t , sendo que r interseta os eixos coordenados nos pontos (-2, 0) e (0, -3) .
Sabe-se ainda que t interseta o eixo das abcissas em (3, 0) .
24.1 Mostre que a reta t tem equação:
3x + 2y - 9 = 0
24.2 Seja a , o ângulo assinalado na figura ao lado, a inclinação da reta t . Verifique que:
sin a + cos a = 1313
24.3 Defina por uma condição a região colorida (incluindo a fronteira).
y
O
rt
a
x
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215
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
24.1 A reta r tem declive -23
. Como as retas são paralelas, t tem equação
da forma y = -23
x + b . Substituindo na equação de t as coordenadas
do ponto dado: 0 = -
23
× 3 + b + b = 29
Assim:
t : y = -23
x + 29
+ 2y = -3x + 9 + 2y + 3x - 9 = 0
24.2 Tem-se que tan a = -23
e 1 + tan2 a = cos
12a
+ cos2 a = 134
.
Como a ! 2.º Q , cos a = -13
2 13 .
Assim, sin a = cos a × tan a = 13
133 .
Portanto:
sin a + cos a = 13
3 3 -
132 13
= 1313
24.3 cy G 0 / x G 0 / y H -23
x - 3m 0 cy H 0 / x H 0 / y G -23
x + 29m
Ou seja, xy H 0 / y H -23
x - 3 / y G -23
x + 29
.
25 Represente a região colorida (incluindo a fronteira), da figura ao lado por meio de uma condição, sabendo que:• s 9 t• asretaspassamporA(2, 2) ;• ainclinaçãodaretat é 120° .
A reta t tem declive tan 120° = - 3 . Assim, t: y = - 3x + b .
Substituindo as coordenadas de A : 2 = - 3 × 2 + b + b = 2 + 2 3 .
Portanto, t: y = - 3x + 2 + 2 3 .
Como as retas r e s são perpendiculares, s: y = 33
x + b .
Substituindo as coordenadas de A : 2 = 33
× 2 + b + b = 3
6 2 3- .
Portanto, s: y = 33
x + 3
6 2 3- .
Assim, a região colorida é definida por:
y H 0 / y G 33
x + 3
6 2 3- / y G - 3x + 2 + 2 3
y
O
As
tx
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216
AvAliAção globAl de conhecimentos
26 Considere, num referencial o.n. xOy , a reta s definida por y - 2x + 1 = 0 e os pontos de coordenadas A(1, 2) e B(-2, 0) .
Determine:
a) a inclinação da reta AB , com aproximação à décima de grau.
b) a equação reduzida da reta perpendicular à reta s e que passa pelo ponto B .
a) Como AB(-3, -2) , o declive de AB é 32
. Logo, a sua inclinação
é arctan 32
á 33,7° .
b) O declive da reta pretendida é 21
- ; logo, a reta tem equação da forma
y = 21
- x + b . Substituindo as coordenadas de B :
0 = 21
- × (-2) + b + b = -1
Assim, a equação reduzida da reta é y = 21
- x - 1 .
27 O quadrilátero [ABCD] da figura é um quadrado de centro O , em que o lado mede 2 unidades.
Determine:
a) OA $ AB b) AC $ BD
a) AC = AB BC2 2
+ = 2 2
OA $ AB = OA AB cos(180° - 45°) = 2 × 2 × 22
-e o = -2
b) AC $ BD = AC BD cos 90° = 0
28 O João desloca um corpo de A para B ,
aplicando uma força F representada na figura.
Sabendo que a força é de 200 N , a distância entre A e B é de 8 metros e o ângulo entre a força e o deslocamento é de 50° , determine, aproximadamente, o trabalho realizado pelo João.
W = F × d × cos 50° = 200 × 8 × cos 50° á 1028 J
u2p156h3
O
A B
D C
F
A B
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217
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
29 Considere os vetores u e v , tais que
u = 4 e u $ v = 8
29.1 Calcule k , tal que u e u + kv sejam perpendiculares.
29.2 Sabendo que v faz um ângulo de 60° com o vetor u , mostre que:
v = u
29.1 u $ (u + kv) = 0 + u $ u + ku $ v = 0 + 42 + k × 8 = 0 + k = -2
29.2 u $ v = u v cos 60° + 8 = 4 × v × 21
+ 4 = v
Logo, v = u .
30 Sejam u e v vetores unitários em que:
(u + v) $ (u + 2v) = 5
30.1 Mostre que u $ v = 32
.
30.2 Calcule o ângulo de u com v , aproximado à décima de grau.
30.1 (u + v) $ (u + 2v) = 5 + u $ u + v $ u + 2u $ v + 2v $ v = 5 +
+ 1 + v $ u + 2u $ v + 2 × 1 = 5 + 3u $ v = 2 + u $ v = 32
30.2 u $ v = u v cos u v_ iT + 32
= cos u v_ iT & u v_ iT á 48,2°
31 Considere o quadrado [ABCD] representado na figura, em que se sabe que M é o ponto médio do lado [CD] e o ponto N está no lado [AD] , sendo a sua distância
a D igual a 31
da distância de A a D .
Utilizando dois processos distintos, determine um valor aproximado de i em graus e minutos.
Sejam x a medida do lado do quadrado, a a amplitude do ângulo ABNW e b a amplitude do ângulo CBMW .
Tem-se que tan a = x
x32
& a á 33,69° e tan b = x
x21
& b á 26,57° . Assim:
i á 90 - 33,69 - 26,57 á 29,74°
Como 0,74 × 60 = 44,4 , b á 29° 45l .
Em alternativa:Seja x a medida do lado do quadrado. Considere-se um referencial o.n. em que o ponto A coincide com a origem do referencial e o lado [AB] está contido no eixo Ox .
u2p157h2
A B
u
D
N
CM
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218
AvAliAção globAl de conhecimentos
Assim, B(x, 0) ; M ,x x21c m e N , x0
32
d n .
Logo, BN ,x x32
-d n e BM ,x x21
-c m .
Então:
BN $ BM = BN BM cos i +
+ 21
x2 + 32
x2 = x x x x94
412 2 2 2#+ + × cos i +
+ 67
x2 = 313
x × 25
x × cos i + cos i = 65
7 65 & i á 29° 45l
32 Num referencial o.n. xOy , considere os pontos A(-2, 1) , B(2, 4) e C(5, 0) .
32.1 Determine o declive e a inclinação da reta AC .
32.2 Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta perpendicular a AB que passa por C .
32.3 Mostre que o triângulo [ABC] é isósceles e retângulo em B .
32.1 O declive de AC é 5 20 1+-
= - 71
, e a inclinação é dada por:
180° + arctan 71
-c m . 171,9º
32.2 AB(4, 3) ; logo, a equação da reta é (x, y) = (5, 0) + k(-3, 4), k ! IR .
32.3 AB(4, 3) , BC(3, -4) e AC(7, -1) . Tem-se que AB $ BC = 0 ; logo, o triângulo [ABC] é retângulo em B .
Além disso, AB = 5 = BC ! AC ; logo, o triângulo [ABC] é isósceles.
33 Considere, num referencial o.n. xOy , os pontos A(2, -1) e B(0, 1) .
Determine as coordenadas de um ponto C de forma que o triângulo [ABC] seja retângulo em B e tenha área 8 .
Sejam (x, y) as coordenadas de C . Tem-se que AB(-2, 2) e BC(x, y - 1) .
Como [ABC] é retângulo em B , tem-se:
AB $ BC = 0 + -2x + 2y - 2 = 0 + y = x + 1
Portanto, BC(x, x) . Assim:
A[ABC] = 8 + AB BC
2
# = 8 +
+ x x
24 4 2 2#+ +
= 8 + x
2
2 2 2# = 8 + x = !4
Logo, as coordenadas de C podem ser (4, 5) ou (-4, -3) .
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
34 Considere a reta t , na figura ao lado, que passa pelos pontos A(-2, 3) e B(2, 0) e tem inclinação a .
Determine:
a) as coordenadas de um ponto C de forma que o triângulo [ABC] , de base [AB] , seja isósceles e tenha uma altura igual ao dobro do comprimento da base.
b) o valor exato de sin2
3ra-c m + cos(r + a) .
a) Considere-se C(x, y) , então, CA(-2 - x, 3 - y) e CB(2 - x, -y) .
Tem-se que:
CA = CB + ( ) ( )x y2 32 2- - + - = ( )x y2 2 2- + &
& 4 + 4x + x2 + 9 - 6y + y2 = 4 - 4x + x2 + y2 + y = x
68 9+
Seja M ,23
0c m o ponto médio de [AB] .
Assim, CM ,x y23
- -c m = ,xx
34
- -d n , donde:
CM = 2 AB + x x9
162 2+ = 2 × 16 9+ +
+ x35
= 10 + x = !6
Portanto, como -6 e 6 satisfazem a igualdade CM = 2 AB ,
as coordenadas de C podem ser ,62
13- -c m ou ,6
219
c m .
b) sin2
3ra-c m + cos(r + a) = -cos a - cos a = -2 cos a
O declive de t é -43
; logo:
tan a = -43
, com a ! 2.º Q
Assim:
1 + tan2 a = cos
12a
+ cos2 a = 2516
& cos a = -54
Portanto:
sin2
3ra-c m + cos(r + a) = -2 cos a = -2 ×
54
-d n = 58
y
O
t
a
x
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220
AvAliAção globAl de conhecimentos
35 Na figura ao lado está representado, em referencial o.n. xOy de um plano, o triângulo [AOB] inscrito na semicircunferência de centro C(5, 0) e que contém o ponto A de abcissa 8 .
O ponto B pertence ao eixo Ox .
35.1 Mostre que a ordenada de A é 4 .
35.2 Determine o valor exato de sin(AOWB) .
35.1 A equação cartesiana desta circunferência é (x - 5)2 + y2 = 25 . Seja yl a ordenada de A . Tem-se que:
(8 - 5)2 + yl2 = 25 + yl2 = 16 + yl = !4
De acordo com a figura, a ordenada de A é positiva; logo, é 4 .
35.2 Como o triângulo [AOB] está inscrito numa semicircunferência,
[AOB] é retângulo em A . Assim, sin^AOBW h = OB
AB . Tem-se que
AB tem coordenadas (10, 0) - (8, 4) = (2, -4) e OB = 10 .
Logo:
sin^AOBW h = ( ) ( )
1010 8 0 42 2- + -
= 55
36 Num referencial o.n., considere a reta r: (x, y) = (0, 1) + k(-2, 1), k ! IR , e os pontos A(-3, 2) e B(1, 4) .
36.1 Escreva a equação reduzida da reta s que passa em A e é perpendicular à reta r .
36.2 Calcule, com aproximação à décima de grau, a amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e AB .
36.3 Considere os pontos P(x, y) do plano que satisfazem a condição:
AP $ BP = 0 Identifique e caracterize por uma condição em x e y o lugar geométrico
dos pontos P .
36.1 O declive da reta pretendida é 2 . Logo, a equação dessa reta é da forma y = 2x + b . Substituindo as coordenadas de A , obtém-se:
2 = 2 × (-3) + b + b = 8
Logo, a equação reduzida da reta pretendida é y = 2x + 8 .
y
O C B
A
x
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221
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
36.2 Sejam v(-2, 1) o vetor diretor da reta r e a o ângulo formado pelos
vetores v e AB(4, 2) .
Assim:
v $ AB = v AB cos a + -8 + 2 = 4 1 16 4+ + cos a +
+ cos a = -53
& a á 126,9°
Logo, o menor ângulo formado pelas retas tem uma amplitude aproximada de 180° - 126,9° = 53,1° .
36.3 Esta condição define uma circunferência de diâmetro [AB] :
AP $ BP = 0 + (x + 3)(x - 1) + (y - 2)(y - 4) = 0 +
+ x2 + 2x - 3 + y2 - 6y + 8 = 0 +
+ x2 + 2x + 1 + y2 - 6y + 9 = 5 +
+ (x + 1)2 + (y - 3)2 = 5
37 Considere as retas r e s definidas por:
r: y = 2x - 4
s: (x, y) = (0, 2) + k(-3, 1), k ! IR
37.1 Determine o declive e a inclinação da reta r .
Apresente a inclinação com valor aproximado à décima de grau.
37.2 Defina, por meio de uma equação reduzida, a reta perpendicular a s que passa pelo ponto de interseção da reta r com o eixo das abcissas.
37.3 Determine um valor aproximado à unidade de grau da amplitude do menor ângulo formado pelas retas r e s .
37.4 Defina, por meio de uma condição, a circunferência que tem centro na origem e é tangente à reta r .
37.1 A reta r tem declive 2 e inclinação de, aproximadamente, 63,4º .
37.2 O ponto de interseção de r com o eixo das abcissas tem coordenadas (2, 0) .
A equação reduzida da reta pretendida é da forma y = 3x + b . Substituindo as coordenadas do ponto: 0 = 3 × 2 + b + b = -6 . Assim, y = 3x - 6 .
37.3 Sejam r(1, 2) e s(-3, 1) vetores diretores das retas r e s , respetivamente, e a o ângulo formado pelos vetores r e s .
Tem-se que:
r $ s = r s cos a + -3 + 2 = 5 10 cos a +
+ cos a = -10
2 & a á 98°
Logo, o menor ângulo formado pelas retas é de, aproximadamente, 82º .
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222
AvAliAção globAl de conhecimentos
37.4 Seja C(x, 2x - 4) o ponto de interseção da reta r com a circunferência.
Então, OC $ r = 0 + x + 4x - 8 = 0 + x = 58
.
Logo, o raio da circunferência é igual a OC = 2564
2516
54 5
+ = .
Assim, a equação da circunferência é x2 + y2 = 5
16 .
38 Considere, num referencial o.n. Oxyz , o vetor u(1, 2, -1) e os pontos A(2, 3, 1) e B(1, -1, 2) .
38.1 Defina, por meio de uma equação vetorial, a reta que passa por A e tem u por vetor diretor e justifique que o ponto B não pertence a essa reta.
38.2 Escreva uma equação cartesiana do plano que passa em A e é perpendicular a u .
38.1 (x, y, z) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1), k ! IR
Tem-se que:
(1, -1, 2) = (2, 3, 1) + k(1, 2, -1) +
+ (-1, -4, 1) = (k, 2k, -k) +
k
k
k
1
1
2
=-
=-
=-
*
Este sistema é impossível; logo, B não pertence à reta.
38.2 O vetor u é normal ao plano; logo, a sua equação é da forma:
x + 2y - z + d = 0
Substituindo as coordenadas de A :
2 + 2 × 3 - 1 + d = 0 + d = -7
Logo, uma equação cartesiana do plano é x + 2y - z - 7 = 0 .
39 Considere, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide regular de base quadrada, em que:• ovérticeV da pirâmide pertence ao semieixo
positivo Oz ;• abasedapirâmideestácontidanoplanoxOy ;• aaresta[PQ] é paralela ao eixo Oy ;• ospontosV e Q têm coordenadas (0, 0, 6)
e (2, 2, 0) , respetivamente. O
P Q
R
V
S
y
x
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z
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223
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
39.1 Determine:
a) PQ $ PR
b) PO $ QR
c) o valor exato de sin a , designando por a o ângulo formado entre as retas PV e VR .
39.2 Mostre que o vetor u(0, 3, 1) é perpendicular a VQ e a VR e utilize esse facto para determinar uma equação cartesiana do plano VQR .
39.3 Determine uma equação da superfície esférica que contém os cinco vértices da pirâmide.
39.1 a) P(2, -2, 0) e R(-2, 2, 0) ; logo, PQ(0, 4, 0) e PR(-4, 4, 0) . Assim:
PQ $ PR = 0 × (-4) + 4 × 4 + 0 = 16
b) Tem-se PO(-2, 2, 0) e QR(-4, 0, 0) ; logo:
PO $ QR = -2 × (-4) + 4 × 0 + 0 = 8
c) Tem-se VP(2, -2, -6) e VR(-2, 2, -6) ; logo:
VP $ VR = VP VR cos a +
+ -4 - 4 + 36 = 4 4 36+ + × 4 4 36+ + cos a +
+ cos a = 117
Assim:
cos2 a + sin2 a = 1 + sin2 a = 12172
& sin a = 121
72 =
12126
39.2 Como VQ(2, 2, -6) e VR(-2, 2, -6) , tem-se:
u $ VQ = 0 × 2 + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0
u $ VR = 0 × (-2) + 3 × 2 + 1 × (-6) = 0
Assim, u é um vetor normal ao plano VQR e, por isso, uma equação cartesiana do plano VQR é 3y + z + d = 0 .
Como V(0, 0, 6) pertence ao plano, tem-se d = -6 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano VQR é dada por: 3y + z - 6 = 0
39.3 O centro C da superfície esférica terá coordenadas do tipo (0, 0, z) . Assim:
VC = PC + ( )z 6 2- = ( ) z2 22 2 2- + + &
& z2 - 12z + 36 = 4 + 4 + z2 + -12z + 36 = 8 + z = 37
Substituindo na equação inicial, verifica-se que 37
é a solução.
Como o raio da superfície esférica é VC = 37
63
112
- =c m ; logo, a sua equação cartesiana é:
x2 + y2 + z37
91212
- =c m
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224
AvAliAção globAl de conhecimentos
40 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(1, 2, -1) , B(1, 2, 2) e C(2, 0, 1) .
40.1 Determine a amplitude do ângulo BAC .
Apresente o resultado final arredondado à décima de grau.
40.2 Determine uma equação cartesiana do plano ABC .
40.3 Identifique, e defina por uma condição, o lugar geométrico dos pontos P , tais que:
AP 9 BP
40.1 Tem-se AB(0, 0, 3) e AC(1, -2, 2) ; logo:
AB $ AC = AB AC cos BAC_ iW +
+ 6 = 3 1 4 4+ + cos BAC_ iW + 32
= cos BAC_ iW & BACW á 48,2°
40.2 Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABC :
n
n
AB
AC
0
0
$
$
=
=* +
z
x y z
3 0
2 2 0
=
- + =* +
z
x y
0
2
=
=*
Suponha-se que y = 1 , então, n(2, 1, 0) . Assim, a equação do plano ABC é da forma 2x + y + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é 2x + y - 4 = 0 .
40.3 Esta condição define uma superfície esférica de diâmetro [AB] .
Sejam (x, y, z) as coordenadas de P . Tem-se que:
AP $ BP = 0 +
+ (x - 1)(x - 1) + (y - 2)(y - 2) + (z + 1)(z - 2) = 0 +
+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + z2 - z - 2 = 0 +
+ (x - 1)2 + (y - 2)2 + z21 2
-c m = 49
41 Considere, num referencial o.n. Oxyz em que a unidade corresponde a 1 cm , a pirâmide triangular de vértice V(0, 0, 6) e cuja base é um triângulo isósceles assente no plano xOy .
Sabe-se que a pirâmide tem de volume 16 cm2 .
41.1 Mostre que A tem de coordenadas (4, 0, 0) .
41.2 Seja a o ângulo entre as retas AB e AV .
Determine o valor exato de 2 cos a - tan a .
41.3 Escreva uma equação cartesiana do plano ABV .
O
V
AB y
x
u2p159h2
z
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225
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
41.1 Pela figura, observa-se que a abcissa x de A corresponde à medida do lado [OA] do triângulo. Tome para base do triângulo [OAB] o segmento [OA] , então:
A[OAB] = x2
2
Assim:
V[OABV] = 16 + A OV
3[ ]OAB #
= 16 +
x
32
62
# = 16 +
+ x2 = 16 + x = !4
Como a abcissa de A é positiva, vem que as coordenadas de A são (4, 0, 0) .
41.2 Tem-se AB(-4, 4, 0) e AV(-4, 0, 6) ; logo:
AB $ AV = AB AV cos a +
+ 16 = 16 16+ × 16 36+ cos a + 16 = 8 2 × 13 cos a +
+ cos a = 1326
, a ! 1.o Q
Assim, 1 + tan2 a = cos
12a
+ tan2 a = 211
& tan a = 222
.
Logo, 2 cos a - tan a = 13
2 26222
264 26 13 22
- =-
.
41.3 Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano ABV :
n
n
AB
AV
0
0
$
$
=
=* +
x y
x z
4 4 0
4 6 0
- + =
- + =) +
y x
zx
32
=
=*
Suponha-se que x = 1 , então, n , ,1 132
d n .
Então, a equação do plano ABV é da forma x + y + 32
z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A , obtém-se d = -4 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABV é x + y + 32
z - 4 = 0 .
42 Considere, num referencial o.n. do espaço, os vetores u(1, 0, 1) , v(-2, 3, 0) e w(0, 3, 2) .
Mostre que:
a) u e v formam um ângulo obtuso.
b) u , v e w são paralelos a um mesmo plano.
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226
AvAliAção globAl de conhecimentos
a) u $ v = u v cos u vc_ i + -2 = u v cos u vc_ i ; logo, cos u vc_ i é negativo, o que implica que o ângulo formado entre os dois vetores seja obtuso.
b) Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a u e a v :
n
n
u
v
0
0
$
$
=
=* +
x z
x y
0
2 3 0
+ =
- + =* +
z x
yx32
=-
=*
Suponha-se que x = 1 , então, n , ,132
1-d n .
Tem-se que n $ w = 0 + 2 - 2 = 0 ; logo, n é também perpendicular a w , donde u , v e w são paralelos a um mesmo plano.
43 Considere, no referencial o.n. do espaço Oxyz , os planos:
a: x + y + z = 3 b: 2x - y + 3z = 4 c: -x + 2y - 2z = -1
43.1 Represente por uma equação vetorial:
a) a reta perpendicular a a que passa pela origem do referencial.
b) a reta resultante da interseção dos planos a e b .
c) o plano representado por c .
43.2 Supondo que um ponto A tem de coordenadas (2 cos i, 2 - cos2 i, 1 - sin2 i), i ! [0, 2r[
e que pertence a a , determine, recorrendo a processos exclusivamente analíticos, o(s) valor(es) exacto(s) de i .
43.1 a) (x, y, z) = k(1, 1, 1), k ! IR
b) x y z
x y z
3
2 3 4
+ + =
- + =* +
x y z
y z y z
3
6 2 2 3 4
= - -
- - - + =* +
x y
z y2 3
5 4= -
=- +*
Para y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas B(5, 0, -2) ; e para y = 1 , obtém-se C(1, 1, 1) .
Como BC(-4, 1, 3) , uma equação vetorial da reta pretendida é:
(x, y, z) = (5, 0, -2) + k(-4, 1, 3), k ! IR
c) Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,0 021
c m .
Se x = 0 e y = 1 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,0 123
c m .
Se x = 1 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (1, 0, 0) .
Assim, dois vetores do plano c têm coordenadas (0, 1, 1) e , ,1 021
-c m .
Portanto, a equação vetorial do plano c pode ser:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, 1, 1) + t , ,1 021
-c m, s, t ! IR
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
43.2 2 cos i + 2 - cos2 i + 1 - sin2 i = 3 +
+ 2 cos i - 1 = 0 + 2 cos i - 1 = 0 + cos i = 21
+
+ i = 3r
+ 2kr 0 i = -3r
+ 2kr, k ! Z
Como i ! [0, 2r[ , as soluções são 3r
e 3
5r .
44 Na figura ao lado está representada, em referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide quadrangular regular cuja base está contida no plano xOy , pertencendo o vértice A ao eixo Ox e o vértice D ao eixo Oy .
Sabe-se que uma equação do plano ADE é:
3x + 3y - z = 3
44.1 Determine a amplitude do ângulo AED .
Apresente o resultado em graus, com aproximação à décima de grau.
44.2 Defina o plano AED por um sistema de equações paramétricas.
44.1 Coordenadas de A : y = 0 , z = 0 , 3x + 0 - 0 = 3 + x = 1
Logo, A(1, 0, 0) .
Coordenadas de D : x = 0 , z = 0 , 0 + 3y - 0 = 3 + y = 1
Logo, D(0, 1, 0) .
Coordenadas de E : x = 1 , y = 1 , 3 + 3 - z = 3 + z = 3
Logo, E(1, 1, 3) .
Assim, EA(0, -1, -3) e ED(-1, 0, -3) .
Tem-se que:
EA $ ED = EA ED cos AEDW +
+ 9 = 1 9+ × 1 9+ cos AEDW +
+ 109
= cos AEDW & AEDW á 25,8°
44.2 Desenvolvendo a equação (x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR , obtém-se:
(x, y, z) = A + sEA + tED, s, t ! IR +
+ (x, y, z) = (1, 0, 0) + s(0, -1, -3) + t(-1, 0, -3), s, t ! IR +
+
x
y s
z
t
s t
1
3 3
=
=-
=
-
- -
* , s, t ! IR
Ou seja, x = 1 - t / y = -s / z = -3s - 3t, s, t ! IR .
AD
O
E
B
Cy
x
u2p160h1
z
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AvAliAção globAl de conhecimentos
45 Considere a reta r de equação
(x, y, z) = (1, 0, -1) + k(-6, -2, -4), k ! IRe o plano a definido pela equação
3x + y + 2z = 6
45.1 Indique, justificando, o valor lógico da proposição:
« r é paralela a a »
45.2 Determine, se possível, as coordenadas do ponto de interseção de r com a .
45.1 Tem-se que o vetor u(3, 1, 2) é normal ao plano a e o vetor r(-6, -2, -4) é um vetor diretor da reta r .
Como -2(3, 1, 2) = (-6, -2, -4) , u e r são colineares. Portanto, a reta r é perpendicular ao plano a e, por isso, o valor lógico da proposição é falsidade.
45.2 Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (1 - 6k, -2k, -1 - 4k) .
Substituindo na equação do plano a :
3(1 - 6k) - 2k + 2(-1 - 4k) = 6 +
+ 3 - 18k - 2k - 2 - 8k = 6 + k = -285
Logo, o ponto de interseção tem coordenadas:
, ,12830
2810
12820
+ - +d n = , ,1429
145
72
-d n
46 Considere, num referencial Oxyz , o plano a definido por x + y + 2z = 4 e os pontos A(2, 0, 1) , B(0, 2, 1) e C(2, 2, -1) .
46.1 Mostre que a reta AB está contida no plano a .
46.2 Escreva uma equação vetorial da reta que passa pelo ponto C e é perpendicular a a .
46.3 Sendo O a origem do referencial, qual é a amplitude do ângulo AOC aproximada à centésima de radiano?
46.4 Escreva uma equação cartesiana do plano ABC .
46.5 Escreva um sistema de equações paramétricas que representem o plano a .
46.1 Substituindo as coordenadas de A e de B na equação do plano a , obtêm-se, respetivamente, as igualdades 2 + 0 + 2 = 4 e 0 + 2 + 2 = 4 .
Logo, os pontos A e B pertencem a a . Assim, a reta AB está contida em a .
46.2 Como a reta é perpendicular a a , o vetor (1, 1, 2) , normal a a , é um vetor diretor da reta. Logo, uma equação vetorial da reta pedida é:
(x, y, z) = (2, 2, -1) + k(1, 1, 2), k ! IR
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229
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
46.3 OA $ OC = OA OC cos AOCW + 3 = 5 × 9 cos AOCW +
+ 5
1 = cos AOCW & AOCW á 1,11 rad
46.4 AB(-2, 2, 0) e AC(0, 2, -2)
Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal a AB e a AC :
n
n
AB
AC
0
0
$
$
=
=* +
x y
y z
2 2 0
2 2 0
- + =
- =* +
x y
z y
=
=)
Suponha-se que x = 1 , então, n(1, 1, 1) .
Logo, a equação do plano ABC é da forma x + y + z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas de A : 2 + 1 + d = 0 + d = -3 .
Portanto, uma equação cartesiana do plano ABC é dada por:x + y + z - 3 = 0
46.5 Se x = 0 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas (0, 0, 2) .
Se x = 0 e y = 1 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,0 123
c m .
Se x = 1 e y = 0 , obtém-se o ponto de coordenadas , ,1 023
c m .
Logo, dois vetores do plano a têm coordenadas , ,0 121
-c m e , ,1 021
-c m .
Assim, desenvolvendo:
(x, y, z) = (0, 0, 2) + s , ,0 121
-c m + t , ,1 021
-c m, s, t ! IR
obtém-se o seguinte sistema de equações paramétricas do plano a :
x = t / y = s / z = 2 - 21
s - 21
t, s, t ! IR
47 Considere, num dado referencial o.n. do espaço, os vetores u e v , tais que:
• u(-2, 2, 1) • v = 2 • u $ v = -3
Determine o valor:
a) de k para o qual os vetores 2u + v e u + kv são perpendiculares.
b) da amplitude do ângulo entre os vetores u e v , em graus.
a) (2u + v ) $ (u + kv) = 0 + 2u $ u + 2ku $ v + u $ v + kv $ v = 0 +
+ 2(4 + 4 + 1) + 2k × (-3) - 3 + k × 4 = 0 +
+ 15 - 2k = 0 + k = 2
15
b) u $ v = u v cos u vc_ i + -3 = 3 × 2 cos u vc_ i +
+ cos u vc_ i = 21
- & u vc = 120°
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AvAliAção globAl de conhecimentos
48 Considere a reta r e o plano a definidos num dado referencial o.n. do espaço, respetivamente, por
r: (x, y, z) = (2, 1, -1) + k(1, 1, 1), k ! IR
a: x + y + z = 4
e os pontos A , B e C , resultantes da interseção de a com os eixos Ox , Oy e Oz , respetivamente.
48.1 Mostre que as coordenadas de A , B e C são, respetivamente, (4, 0, 0) , (0, 4, 0) e (0, 0, 4) e que o triângulo [ABC] tem de área 8 3 .
48.2 Justifique que r e a são concorrentes e indique o ponto de interseção.
48.3 Seja D pertencente a Oz e a um plano b , paralelo a xOy .
Determine as coordenadas de D de forma que a secção resultante da interseção do plano b com a pirâmide [OABC] tenha de área 4,5 .
48.1 Um ponto no eixo Ox tem a ordenada e a cota iguais a 0 .
Assim, como A ! IR , tem-se x + 0 + 0 = 4 + x = 4 .
Logo, as coordenadas de A são (4, 0, 0) .
Com um raciocínio análogo, obtêm-se as coordenadas de B e C .
Tem-se que AB = ( )4 4 02 2- + + = 4 2 e as coordenadas do ponto médio de [AB] são M(2, 2, 0) . Assim, ao tomar-se para base do triângulo o lado [AB] , a altura será [MC] . Logo:
A[ABC] = AB MC
2
# =
( ) ( )2
4 2 2 2 42 2 2# - + - + =
= 2
4 2 2 6# = 8 3
48.2 Um vetor diretor da reta r tem coordenadas (1, 1, 1) , o que coincide com o vetor normal ao plano a . Logo, a reta é perpendicular ao plano a , ou seja, r e s são concorrentes.
Um ponto da reta r tem coordenadas da forma (2 + k, 1 + k, -1 + k) . Substituindo na equação do plano a :
2 + k + 1 + k - 1 + k = 4 + k = 32
Portanto, o ponto de interseção de r e a tem coordenadas:
, ,232
132
132
+ + - +d n = , ,38
35
31
-d n
48.3 O ponto D tem coordenadas da forma (0, 0, z) .
Sejam Al e Bl os pontos de interseção da pirâmide [OABC] com o plano b e com os planos xOz e yOz , respetivamente. A secção resultante da interseção do plano b com a pirâmide [OABC] é um triângulo retângulo em D , semelhante ao triângulo AOB .
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Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
Como a abcissa x de Al é igual à ordenada de Bl , tem-se Al(x, 0, z) e Bl(0, x, z) .
Logo, a área da secção é dada por A[DAlBl] = DA DB
2
#l l , em que
DAl = ( , , ) ( , , )x z z0 0 0- = x2 = DBl .
Assim:
A[DAlBl] = 4,5 + x2
2
= 4,5 + x2 = 9 + x = !3 x 0>& x = 3
O ponto Al(3, 0, z) pertence ao plano ABC , que coincide com o plano a , pois os pontos A , B e C pertencem-lhe. Assim:
3 + 0 + z = 4 + z = 1
Portanto, D(0, 0, 1) .
49 No referencial ortonormado Oxyz da figura está representada uma pirâmide quadrangular regular de base [OACB] .
Sabe-se que:• ovérticeV tem coordenadas (-2, -1, 7) ;• opontoM é o centro da base da pirâmide;• oplanoOAC é definido pela condição:
x + 2y - 2z = 0
Determine o volume da pirâmide.
(1, 2, -2) são as coordenadas de um vetor normal ao plano OAC . Este vetor é também um vetor diretor da reta VM .
A equação vetorial de VM é: (x, y, z) = (-2, -1, 7) + k(1, 2, -2), k ! Z .
Um ponto da reta VM tem coordenadas da forma (-2 + k, -1 + 2k, 7 - 2k) .
Substituindo na equação do plano OAC , obtém-se:
-2 + k + 2(-1 + 2k) - 2(7 - 2k) = 0 +
+ -2 + k - 2 + 4k - 14 + 4k = 0 + k = 2
Portanto, o ponto M tem coordenadas:
(-2 + 2, -1 + 4, 7 - 4) = (0, 3, 3)
Tem-se que OC = 2 OM = 2 0 9 9+ + = 6 2 .
Pelo teorema de Pitágoras:
OC2 = OA
2 + OB
2 + 72 = 2 OA
2 & OA = 6
Tem-se que VM = 4 16 16+ + = 6 .
Assim, V[OACBV] = A VM
3[ ]OACB #
= 3
6 6 6# # = 72 u. v.
A
V
B
C
O y
x
u2p161h1
z
M
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preparação para o teste 4
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 4
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 Considere, num referencial o.n. do plano xOy , a reta t de inclinação 30° .
Sabendo que a reta s é perpendicular a t e que passa no ponto A
de coordenadas ,12 1_ i , qual das equações seguintes define a reta s ?
(A) 3y - x = - 3
(B) y - 3x = -5
(C) y + 3x = 7
(D) 3y + x = 3 3
O declive de t é 33
e o de s é - 3 . Substituindo as coordenadas de A
na equação y = - 3x + b :
1 = - 3 × 12 + b + b = 7
A opção correta é a (C).
2 Considere o triângulo [ABC] equilátero de lado a e seja M o ponto médio do lado [BC] .
Pode-se concluir que o produto escalar de BA por MC é:
(A) a4
2
(B) 0 (C) -a2
2
(D) -a4
2
AB $ MC = a × a2
× cos 120°
A opção correta é a (D).
3 Considere, num referencial o.n. Oxyz , os pontos A(-1, 3, 4) e B(3, 1, 0) .
Um vetor perpendicular a BA tem coordenadas:
(A) (-2, 1, 2) (B) (0, 1, 1) (C) (1, 0, 1) (D) (2, -1, 2)
AB(4, -2, -4) e (4, -2, -4) $ (1, 0, 1) = 4 - 4 = 0
A opção correta é a (C).
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233
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
4 Considere, num referencial o.n. xOy , as retas r e s , definidas, respetivamente, por:
r: y = -2x + 1
s: x - y = 0
Qual é a amplitude, em graus, do menor ângulo formado por estas duas retas (valor aproximado à décima de grau)?
(A) 54,2° (B) 108,4° (C) 65,1° (D) 71,6°
A inclinação de s é de 45º e a de r é, aproximadamente, de 116,6º , pois tan-1 1 = 45° e 180° + tan-1(-2) . 116,6 .
Assim, 116,6° - 45° = 71,6° .
A opção correta é a (D).
5 Considere, num referencial o.n. do espaço Oxyz , o plano a definido pelo seguinte sistema de equações paramétricas:
x s t
y s
z t
1 2
2 2
=- + -
=
= +
* , s, t ! IR
O plano a pode ser definido pela seguinte equação cartesiana:
(A) x + 4y - z = 0
(B) x + 4y - z + 3 = 0
(C) -2x + 4y - z + 1 = 0
(D) 2x - 4y + z = 0
Determine-se as coordenadas de um vetor n(x, y, z) , normal ao plano:
x y
x z
2 0
2 0
+ =
- + =) +
y x
zx
2
2
=-
=*
Suponha-se que x = 1 , então, n , ,1 221
-c m .
Assim, a equação do plano é da forma x - 2y + 21
z + d = 0 .
Substituindo as coordenadas do ponto (-1, 0, 2) pertencente ao plano a :
-1 + 21
× 2 + d = 0 + d = 0
Portanto, o plano a pode ser definido pela equação cartesiana:
x - 2y + 21
z = 0 + 2x - 4y + z = 0
A opção correta é a (D).
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234
preparação para o teste 4
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1 Considere, num referencial do plano xOy , uma circunferência de centro C(-2, 0) e uma reta r , tangente à circunferência no ponto T de coordenadas (2, 2) .
1.1 Mostre que a reta r é definida por y = -2x + 6 .
1.2 Seja a a inclinação da reta r .
Determine o valor exato de sin a - cos2r
a+c m .
1.3 Determine, com aproximação à décima de grau, a amplitude do ângulo OTC .
1.1 TC(-4, -2) ; logo, um vetor diretor de r é (2, -4) , por exemplo.
Assim, o declive de r é -24
= -2 .
Substituindo as coordenadas do ponto T na equação y = -2x + b :2 = -2 × 2 + b + b = 6
Logo, r: y = -2x + 6 .
1.2 Tem-se que tan a = -2 , em que a é a amplitude de um ângulo do 2.º quadrante.
Então:
1 + tan
12a
= sin
12a
+ 45
= sin
12a
+ sin2 a = 54
Assim, sin a = 5
2 5 .
Logo:
sin a - cos2r
a+c m = 2 sin a = 5
4 5
1.3 Tem-se TO(-2, -2) ; logo:
TO $ TC = TO TC cos OTCW +
+ 8 + 4 = 4 4+ × 16 4+ cos OTCW +
+ cos OTCW = 10
3 10
Como 0 G OTCW G 180 , OTCW á 18,4° .
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235
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
2 Sejam u e v vetores de norma 1 , que verificam:
(u + 2v) $ (u - v) = x (x ! IR)
Determine os valores reais de x para os quais u e v formam um ângulo agudo.
Tem-se:
(u + 2v) $ (u - v) = x +
+ u $ u - u $ v + 2v $ u - 2v $ v = x +
+ 1 + v $ u - 2 = x +
+ v $ u = x + 1
Os vetores u e v formam um ângulo agudo se, e só se, o seu produto interno for positivo; logo:
x + 1 > 0 + x > -1 + x ! ]-1, +3 [
Por outro lado, como os vetores são unitários, o seu produto interno é necessariamente inferior a 1 ; portanto, x ! ]-1, 0[ .
3 Na figura está representado, em referencial o.n. Oxyz , um octaedro regular [ABCDEF] .
Sabe-se que:• ovértice A tem coordenadas (5, 5, 10) ;• ovérticeB tem coordenadas (5, 0, 5) ;• ovérticeE tem coordenadas (0, 5, 5) ;• ovérticeF pertence ao plano xOy .
3.1 Verifique que a reta r de equação
(x, y, z) = (5, 5, 5) + k(1, 1, 1), k ! IR
é perpendicular ao plano ACD e determine uma equação cartesiana do plano ACD .
3.2 Calcule o ponto de interseção da reta r com o plano ACD .
3.3 Considere a superfície esférica à qual pertencem todos os vértices do octaedro.
Seja P um ponto pertencente a essa superfície esférica de coordenadas (a, 7, 7), a ! ]5, 10[ .
Determine o valor de a .
B D
E
A
F
C
O y
x
u2p163h1
z
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236
preparação para o teste 4
3.1 Tem-se C(10, 5, 5) e D(5, 10, 5) .
Logo, AC(5, 0, -5) e AD(0, 5, -5) .
O vetor u(1, 1, 1) é um vetor diretor da reta r .
Como
AC $ u = 5 + 0 - 5 = 0
AD $ u = 0 + 5 - 5 = 0 ,
u é um vetor normal ao plano.
Logo, a reta r é perpendicular ao plano ACD .
Assim, a equação cartesiana do plano ACD é da forma:
x + y + z + d = 0
Substituindo as coordenadas de C :
10 + 5 + 5 + d = 0 + d = -20
Portanto:
ACD: x + y + z - 20 = 0
3.2 Como
x = y = z = 5 + k
e a equação do plano é
x + y + z - 20 = 0 ,
tem-se:
3x = 20 + x = 3
20
Portanto, o ponto de interseção de r com ACD tem coordenadas
, ,3
203
203
20d n .
3.3 As coordenadas do centro da superfície esférica são (5, 5, 5) e o seu raio é de 5 unidades; logo, a sua equação cartesiana é:
(x - 5)2 + (y - 5)2 + (z - 5)2 = 25
Substituindo as coordenadas de P na equação da superfície esférica:
(a - 5)2 + (7 - 5)2 + (7 - 5)2 = 25 +
+ (a - 5)2 = 17 + a - 5 = ! 17 +
+ a = 5 ! 17
Como a ! ]5, 10[ , vem que a = 5 + 17 .
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237
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
I
Para cada uma das questões deste grupo, selecione a opção correta de entre as alternativas que lhe são apresentadas.
1 Sejam u e v dois vetores de norma 1 e i ! [0, r] o ângulo por eles formado.
Qual dos gráficos seguintes representa a função definida por g(i) = u $ v ?
(A)
(B)
(C)
(D)
Como u $ v = 1 , então, u × v × cos u v_ iT = cos u v_ iT = cos i .
A opção correta é a (B).
2 Seja i = arctan
52
-d n a inclinação de uma reta r que passa na origem do referencial.
Qual das seguintes equações representa uma reta perpendicular a r que passsa no ponto de coordenadas (0, -2) ?
(A) y = 52
x - 2
(B) y = -25
x - 2
(C) 2x - 5y - 2 = 0
(D) 5x - 2y - 4 = 0
Tem-se tan i = -52
; logo, o declive da reta perpendicular a r é 25
.
Substituindo o ponto (0, -2) na equação y = 25
x + b , obtém-se b = -2 .
Logo, y = 25
x - 2 + 5x - 2y - 4 = 0 .
A opção correta é a (D).
y
O p x
u2p164h1y
Op
x
u2p164h2
y
O p x
u2p164h3
y
O x
u2p164h4
—p2
2—p2
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238
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
3 Num referencial o.n. do espaço, as equações
x - y + z + 1 = 0 e 2x + 4y + 2z + 2 = 0
definem:
(A) dois planos paralelos.
(C) dois planos perpendiculares.
(B) duas retas perpendiculares.
(D) o mesmo plano.
Das equações de planos dadas, obtêm-se os vetores normais u(1, -1, 1) e v(2, 4, 2) , respetivamente. Como u $ v = 2 - 4 + 2 = 0 , os vetores são perpendiculares. Logo, os planos são perpendiculares.
A opção correta é a (C).
4 Fixada, no espaço, uma unidade de comprimento e dados dois pontos A e B , o plano perpendicular à reta AB em B pode ser definido por uma das seguintes condições em P . Qual?
(A) AB $ AP = 0
(B) AP $ BP = 0
(C) AB $ PB = 0
(D) AB $ BA = -1
A opção correta é a (C).
5 Indique as soluções da equação 4 + 2 sin x = 3 no intervalo [-r, r[ .
(A) -23r
e 23r
(B) -6r
e 6r
(C) -6
5r e -
6r
(D) -23r
e -3r
4 + 2 sin x = 3 + sin x = 21
-
A opção correta é a (C).
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239
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
II
Nas questões seguintes, apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e as justificações necessárias.
1 No referencial o.n. xOy da figura estão representados a circunferência trigonométrica e os vetores u e v .
Sabe-se que:• A é um ponto da circunferência e AO = v ;• B(0, 1) e OB = u
• AOWB = a e a ! ]0, r[
1.1 Determine as coordenadas do vetor v em função de a .
1.2 Sabendo que u $ v = 73
, determine sin2r
a- +c m - 2 tan2(r + a) .
1.1 Tem-se A ,cos sin2 2r
ar
a+ +c ce m mo , isto é, A(-sin a, cos a) ,
donde v = O - A tem coordenadas (sin a, -cos a) .
1.2 Tem-se que:
u × v × cos u v_ iT = 73
+ 1 × 1 × cos(r - a) = 73
+
+ cos(r - a) = 73
+ cos a = - 73
Pela fórmula fundamental da trigonometria, tem-se:
tan2 a + 1 = cos
12a
+ tan2 a =
73
12
-c m
- 1 + tan2 a = 9
40
Logo:
sin2r
a- +c m - 2 tan2(r + a) =
= -cos a - 2 tan2 a = 73
- 2 × 9
40 = -
63533
2 Na figura está representado, em referencial o.n. xOy , um triângulo isósceles, retângulo em P .
Os pontos P e R têm coordenadas (1, -1) e (-2, 1) , respetivamente.
2.1 Determine, em graus, a inclinação da reta PQ arredondada às unidades.
2.2 Determine as coordenadas do ponto Q .
y
O
A
B
a
x
u2p165h1
u
v
y
R
O
P
Q
x
u2p165h2
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240
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
2.1 Como o triângulo é retângulo em P , os vetores PR e PQ são
perpendiculares. O vetor PR tem coordenadas (-3, 2) , e um vetor perpendicular a este pode ser, por exemplo, (2, 3) .
Assim, a inclinação, a , da reta é tal que tan a = 23
.
Como 0° G a G 180° , conclui-se que a á 56° .
2.2 Como o triângulo é retângulo em P , então, PR $ PQ = 0 .
Como o triângulo é isósceles, então, PR = PQ .
Os pontos P , R e Q têm coordenadas (1, -1) , (-2, 1) e (x, y) , respetivamente.
PR(-3, 2) ; PQ(x - 1, y + 1) ; PR = ( )3 22 2- + = 13 ;
PQ = ( ) ( )x y1 12 2- + + = x x y y2 2 22 2- + + +
Determine-se as coordenadas de Q :
PR PQ
PR PQ
0$ =
=* +
( , ) ( , )x y
x x y y
3 2 1 1 0
13 2 2 22 2
$- - + =
= - + + +* +
+ x y
x x y y
3 3 2 2 0
2 2 2 132 2
- + + + =
- + + + =* +
+ x
y
y yy y
32 5
32 5
23
2 52 2 13
2
2
=+
+-
++ + + =d dn n
* +
+ y y y y y
94
920
925
34
310
2 2 13
——————
2 2+ + - - + + + =* +
+ y y
913
926
9104
0
——————
2 + - =* +
y y13 26 104 0
——————2 + - =
) +
+ y y2 8 0
——————2 + - =
) + ( )
( ) ( )y
2 12 2 4 1 8
——————2!
=- - -* +
+ x
y
3
2
=
=*
Logo, Q(3, 2) .
Em alternativa:
Como PR(-3, 2) , um vetor perpendicular a PR e com a mesma norma tem coordenadas (2, 3) ou (-2, -3) .
Assim, as coordenadas de Q são: (1, -1) + (2, 3) = (3, 2) ou (1, -1) + (-2, -3) = (-1, -4) . Atendendo à figura, Q(3, 2) .
x > 0 e y > 0
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241
Domínio 2 GEOMETRIA ANALÍTICA
3 Considere, num referencial o.n. Oxyz , uma pirâmide [OPQV ] .
Sabe-se que:• V(0, 4, 2) e P(2, 2, 2)• ovérticeQ pertence ao plano xOy ;• umaequaçãodoplanoOPQ é x - y = 0 ;• umaequaçãodoplanoPQV é
(x, y, z) = (0, 4, 2) + s(1, 1, -2) + t(-3, 1, 2), s, t ! IR
3.1 Mostre que o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .
3.2 Determine uma equação cartesiana do plano OPV .
3.3 Mostre que o ângulo OPQ é reto .
3.4 Justifique que a reta PV é perpendicular ao plano OPQ e utilize este facto para determinar o volume da pirâmide.
Adaptado do Exame Nacional do 12.º ano, 1998
3.1 Q(x, y, 0) , porque pertence ao plano xOy .
Então:x y
x s t
y s t
s t
0
3
4
0 2 2 2
- =
= -
= + +
= - +
* +
x y
y s t
y s t
s t
3
4
1
=
= -
= + +
= +
* + y t
y t
1 2
5 2
———
———
= -
= +* +
+ t t5 2 1 2
———
———
———
+ = -* +
t
y
s
1
3
0
———
=-
=
=
* +
x
t
y
s
3
1
3
0
=
=-
=
=
*
Logo, o ponto Q tem coordenadas (3, 3, 0) .
3.2 Os vetores OP(2, 2, 2) e OV(0, 4, 2) são paralelos ao plano OPV e são não colineares. Então, um vetor u perpendicular a estes vetores é normal ao plano.
Logo, o vetor u(a, b, c) é tal que u $ OP = 0 / u $ OV = 0 :
( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
a b c
a b c
2 2 2 0
0 4 2 0
$
$
=
=* +
a b c
b c
2 2 2 0
4 2 0
+ + =
+ =) +
+ a b
c b
2 2 0
2
- =
=-) +
a b
c b2
=
=-)
Fazendo b = 1 , tem-se a = 1 e c = -2 . Então, o vetor u(1, 1, -2) é normal ao plano OPV .
Assim, uma equação cartesiana do plano OPV é x + y - 2z + d = 0 .
Como O(0, 0, 0) pertence ao plano, tem-se d = 0 .
O
PV
Q
y
x
u2p165h3
z
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242
PREPARAÇÃO PARA O TESTE 5
Logo, uma equação cartesiana do plano OPV é dada por:
x + y - 2z = 0
3.3 Tem-se PO(-2, -2, -2) e PQ(1, 1, -2) .
Então:
PO $ PQ = (-2, -2, -2) $ (1, 1, -2) = 2 - 2 + 4 = 0
Portanto, o ângulo OPQ é reto.
Em alternativa:
QO2 = OP
2 + PQ
2 +
+ 32 + 32 = (-2)2 + (-2)2 + (-2)2 + 12 + 12 + (-2)2 +
+ 18 = 12 + 6 + 18 = 18
Proposição verdadeira; logo, o ângulo OPQ é reto.
3.4 O vetor u(1, -1, -2) é um vetor normal ao plano OPQ , e o vetor PV , de coordenadas (-2, 2, 0) , é um vetor diretor da reta PV .
Como (-2, 2, 0) = -2(1, -1, 0) , os vetores u e PV são colineares e,
por isso, também o vetor PV é perpendicular ao plano OPQ .
Portanto, a reta PV é perpendicular ao plano OPQ .
Assim:
V[OPQV] = A PV
3[ ]OPQ #
= 3
212
86
##
=
= 6576
= 4 u. v.
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