Click here to load reader

SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ OTPORNOSTI ... ... SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ OTPORNOSTI MATERIJALA NEIRA TORIû,dipl.ing.graÿ. 2 1. Zadatak Izraþunati naprezanja i nacrtati dijagram

  • View
    59

  • Download
    12

Embed Size (px)

Text of SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ OTPORNOSTI ... ... SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ...

  • GRA EVINSKI FAKULTET SVEU ILIŠTA U RIJECI

    SKRIPTA RIJEŠENIH ZADATAKA IZ

    OTPORNOSTI MATERIJALA

    NEIRA TORI ,dipl.ing.gra .

  • 2

    1. Zadatak

    Izra unati naprezanja i nacrtati dijagram naprezanja na konzolnom nosa u ako je zadano :

    2

    2

    11

    11

    mm N

    MPa

    m N

    Pa

    =

    =

    Vrijednosti uzdužnih sila na pojedinim segmentima :

    NFN

    FFN

    NFN

    I

    II

    III

    4 3

    21

    4 1

    104

    0

    102

    ⋅==

    =+−= ⋅−=−=

    Vrijednosti naprezanja na pojedinim segmentima :

    MPaPa A

    N A

    N

    MPaPa A

    N

    I I

    II I

    III III

    401040

    0

    201020

    6

    6

    =⋅==

    ==

    −=⋅−==

    σ

    σ

    σ

    mb

    ma

    mcmA

    PaE

    NF

    NFF

    1

    2

    1010

    102,2

    104

    102

    232

    11

    4 3

    4 21

    = =

    ==

    ⋅=

    ⋅=

    ⋅==

  • 3

    2. Zadatak

    Odrediti naprezanja u štapu pri promjeni temperature za + T :

    Rješenje :

    Ukoliko nema vanjskog otpora izduženju štapa, nema niti naprezanja u štapu. To zna i da se štap AC može slobodno izdužiti pod utjecajem temperature za veli inu . Sve dok je δ≤∆ tl u štapu su naprezanja jednaka nuli. Ukoliko je tendencija štapa da se izduži za δ>∆ tl , aktivira se u štapu sila koja opet “ vra “ štap na realnu dužinu AB, kao što se vidi na slici. Može se zaklju iti i da e sila u štapu biti tla na , odnosno s predznakom – (minus).

    – realno izdužrnje B – nerealno izduženje

    ( ) ( )

    ( )3

    2)(

    1

    0,0

    0,0

    22

    2

    11

    1

    2211

    2211

    K

    K K

    AE

    lF

    AE

    lF l

    Tlll

    ll

    l

    l

    TlTll

    BB B

    t

    Bt

    t

    t

    t

    +=∆

    ∆+=∆

    ∆−∆=

    ≠>→>∆

    =>→≤∆

    ∆+∆=∆

    αα δ

    σεδ σεδ

    αα

    ( ) ( ) ( ) [ ]

    2 2

    1 1

    22

    11

    1

    2 1

    112211

    1

    )( 13;2

    A F

    A F

    AE AE

    l l

    l

    AETll F

    B x

    B x

    B

    −=

    −=

     

      

     +

    −∆+ =⇒→

    σ

    σ

    δαα

  • 4

    3. Zadatak

    Odrediti pomak to ke C ukoliko se temperatura štapa 1 pove a za T :

    Rješenje :

    βδ=

    βδ=

    β ∆α

    = β

    ∆ =δ

    =∆ δ ∆

    ∆α=ε=∆⇒ ∆

    sinv

    cosu

    2sin Tl

    2sin l

    0l; l

    2sin

    Tlll l l

    C

    C

    1 C

    2 C

    1

    tt t

    t

  • 5

    4. Zadatak

    Odrediti naprezanja u štapovima ukoliko se temperatura štapa 2 pove a za T :

    Rješenje

    Iz plana pomaka i optere enja (ovdje promjena temperature) možemo zaklju iti da se štap 2 nastoji izdužiti, no njegovo potpuno izduženje sprje avaju druga dva štapa spojena u voru D, koji nisu direktno optere eni i nemaju tendenciju izduženja. Štap 2 se izduži za lt pri

    2

    D' u D''.

    Budu i da su sva tri štapa me usobno spojena u voru D, izduženjem štapa 2 prisilno se izdužuju i štapovi s brojem 1. Kao posljedica izduženja u njima se javlja vla na sila F1(vla na sila uzrokuje izduženje ako nema nikakvog drugog optere enja).

    Zadatak 5

    Iz uvjeta ravnoteže sila :

    ( )10cos20 21 K=−→=Σ FFY α

    Iz plana pomaka :

    ( )2coscos 21 2

    1

    1

    2 Kαα ll l

    l

    l

    l ∆=∆→

    ∆ ∆

    ==

    Iz Hookovog zakona :

    ( )3 11

    11 1 KAE

    lF l =∆

    ( )422 22

    22 2 KlTAE

    lF l ⋅∆⋅+=∆ α

    ( ) ( ) α

    αα 3

    22

    11

    2 112

    1

    cos21

    cos )2(4);3(;1

    AE

    AE ATE

    F −

    ∆ =⇒→

    α

    αα α

    3

    22

    11

    3 112

    212

    cos21

    cos2 cos2)1(

    AE

    AE ATE

    FFF −

    ∆ =⇒=→

    2

    2 2

    1

    1 1 ; A

    F

    A

    F −== σσ

  • 6

    5. Zadatak

    Odrediti naprezanja u štapovima ako je srednji štap kra i za od predvi ene duljine l.

    Rješenje

    Iz uvjeta ravnoteže sila :

    ( )1cosF2F0cosF2F0Y 1212 Kα=→=α−→=Σ

    Iz plana pomaka :

    ( )2 cos

    1 AE lF

    AE lF

    cos l

    l

    l l

    l l

    cos

    11

    11

    22

    221 2

    2

    1

    1

    2

    K α

    += α

    ∆ +∆=δ

    ∆−δ ∆

    ==α

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) ( )223112 3

    2211 2

    22 3

    112

    2 2211

    1

    11

    1

    22

    2 1

    11

    11

    22

    21

    AEcosAE2l

    cosAEAE2 F1

    AEcosAE2l

    cosAEAE F

    cos 1

    AE l

    cos AE

    l 2F

    cos 1

    AE lF

    cos AE lF

    221

    αδ =⇒

    αδ =

     

      

     α

    +α= α

    +α=δ⇒→

    1

    1 1 A

    F −=σ

    2

    2 2 A

    F −=σ

    22

    22 2

    11

    11 1

    AE lF

    l

    AE lF

    l

    =∆

    =∆

  • 7

    6. Zadatak

    Odrediti naprezanja u štapovima 1 i 2 te vertikalni pomak to ke D.

    Rješenje

    Sustav je jedanput stati ki neodre en (ima jednu prekomjernu veli inu), odnosno nepoznate su 4 veli ine ( RH , RV , S1 , S2 ). Uz tri uvjeta ravnoteže postavljamo dodatnu jednadžbu na deformiranom sustavu na principu sli nosti trokuta. Iz uvjeta ravnoteže sila :

    ( )

    ( )

    ( )30sin0

    2cos0cos0

    10sin0

    12

    11

    1122

    K

    K

    K

    =++−→=Σ

    =→=−→=Σ

    =−−→=Σ

    V

    HH

    A

    RSFSY

    SRSRX

    aSaSFlM

    α

    αα

    α

    Iz plana pomaka :

    α δδ

    sin ; 12

    l l BC

    ∆ =∆≡

    Iz sli nosti trokuta :

    ( )4 12

    K aa

    BC δδ =

    Iz Hookovog zakona :

    22

    22 2

    11

    11 1 ; AE

    lS l

    AE lS

    l =∆=∆ ( )4→

    ( )

    222

    22

    2 2

    2

    2

    2

    2 2

    1

    1 1

    2 2

    2

    2 1

    1

    2

    22

    11 2

    21

    2

    1

    1

    2

    22

    11 21

    sin1

    1

    sin

    aAE llS

    a l

    l la

    l

    A S

    A S

    a

    a l l

    AE AE

    a

    Fl SS

    a a

    l l

    AE AE

    SS

    D D =∆=⇒=

    =

    =

     

      

     +

    =⇒→

    =

    δδ

    σ

    σ

    α

    α

  • 8

    7. Zadatak

    Dimenzionirati štapove AB i DG kružnog popre nog presjeka napravljene od elika, te odrediti njihova produljenja.

    mc

    mb

    ma

    kNF

    MpaE

    Mpadop

    1

    2

    3

    100

    102

    140 5

    = = = =

    ⋅=

    )15,6(2861,2 4

    4

    36,510536,0 10140 1075

    )85,13(4201,4 4

    4

    6,121026,1 10140 108,176

    8,176 45sin3

    5 75

    45sin3 5

    0345sin50

    75100 4 3

    4 3

    0340

    2 21

    2 2

    2 2

    2

    223 6

    3 2

    2

    2 11

    1 1

    2 1

    1

    223 6

    3 1

    1

    2112

    22

    cmAmmdusvojenocm A

    d d

    A

    cmm S

    A

    cmAmmdusvojenocm A

    d d

    A

    cmm S

    A

    S A

    A S

    ranjeDimenzioni

    kNSSSSM

    kNFSFSM

    dop pot

    dop pot

    dop potdopx

    C

    H

    =→=→→==⇒=

    =⋅= ⋅ ⋅

    =≥

    =→=→→==⇒=

    =⋅= ⋅ ⋅

    =≥

    ≥⇒≤=

    = °⋅

    = °⋅

    =→=⋅°⋅−⋅⇒=∑

    ===→=⋅−⋅⇒=∑

    π π

    σ

    π π

    σ

    σ σσ

  • 9

    cmm AE

    lS l

    cmm AE

    lS l

    MPaMPa A S

    MPaMPa A

    S

    Kontrola

    dopx

    dopx

    12,010195,12 1015,6102 21075

    18,010056,18 707,01085,13102

    2108,176

    1409,121 1015,6 1075

    1406,127 1085,13 108,176

    4 411

    3

    22

    22 2

    4 411

    3

    11

    11 1

    4

    3

    2

    2 2

    4

    3

    1

    1 1

    =⋅= ⋅⋅⋅

    ⋅⋅ ==∆

    =⋅= ⋅⋅⋅⋅

    ⋅⋅ ==∆

    == ⋅ ⋅

    ==

    == ⋅ ⋅

    ==

    − −

    − −