SKLOPOVI S OPERACIJSKIM POJAČALIMA ZADATAK 1. Izračunati iznos otpora R3 tako da vrijednost izlaznog napona bude UIZ=1 V. Operacijsko pojačalo je idealno. Zadano je R1=30 kΩ, R2=60 kΩ, R4=10 kΩ, U1=2 V i U2=5 V.

Slika 1.1

Rješenje: Prema slici 1.1 možemo pisati jednadžbe:

1

1

U UR

−−1I = ,

2UI −=

2

IZUR− ,

2

3

U UR

+−3I = ,

4I4

0UR+ −= .

Zadano je da je operacijsko pojačalo idealno tj. ulazna struja operacijskog pojačala je nula. Zbog toga slijedi:

11 2

U UI I −−= ⇒ =

1 2

izU UR R

− −

23 4

U UI I3 4

UR R

+ +=

( )U U

−= ⇒

Izlazni napon operacijskog pojačala je: IZ VOPU A + −−

⇒∞

= ⋅ Naponsko pojačanje idealnog operacijskog pojačanje . Zbog toga gornja jednadžba poprima oblik:

VOPA

( ) 0IZIZ IZ

UU U U U U U U U+ − + − + −= ∞ ⋅ − ⇒ = − ≠ ∞ ⇒ = − ⇒∞

U U+ −=

1 1

1 2

IZ IZU U U U R UuR R

− −−

− − ⋅= ⇒ =

+2 1

1 2

R UR R

+ ⋅

2 4 2

3 4

R U

3 4

U U U UR R R

+ ++= ⇒ =

R− ⋅

+

4 2 1

3 4 1

IZ 2 1

2

R U R UU UR R R+ −

R UR

⋅ ⋅ += ⇒ =

+ +⋅

Nakon kraćeg izvoda iz gornjeg izraza R3 je:

( )

( ) ( )

4 23 1 2 4

1 2 13

3 34 23 1 2 4 3 3

1 2 1

3

10 10 530 10 60 1030 10 1 60 10 2

20 k

IZ

IZ

R UR R R RR U R U

R UR R R RR U R U

R

310 10

⋅= + ⋅ −

⋅ + ⋅

⋅ ⋅= + ⋅ − = ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅= Ω

⋅− ⋅

ZADATAK 2. Za sklop na slici 2.1 izračunati izlazni napon. Zadano je R1=1,5 kΩ, R2=1,5 kΩ, R3=10 kΩ, R4=10 kΩ, R5=10 kΩ, U=15 V, UD=0,7 V, UZ=6,3 V i IZmin=1 mA. Operacijsko pojačalo je idealno.

Slika 2.1

Rješenje: Zenerova dioda Z1 je propusno polarizirana to znači da je na njoj pad napona jednak UD. Zenerova dioda Z2 treba raditi u području proboja to znači da na njoj pad napona treba biti jednak UZ. Treba provjeriti da li kroz Zenerovu diodu Z2 teče dovoljno velika struja da ona radi u proboju. Operacijsko pojačalo je idealno pa su ulazne struje operacijskog pojačala jednake nuli. To znači da je struja kroz otpornik R5 jednaka nula tj. struja kroz otpornik R2 i struja kroz Zenerovu diodu Z2 je jednaka. Struja kroz otpornik R2 je:

2 2 min3

2

15 6,3 5,8 mA>1,5 10

ZR Z Z

U UI I IR− −

= = = =⋅

=1 mA

Zener dioda se nalazi u proboju tj. na njoj je pad napona UZ. Uz gore navadeno možemo nacrtati sliku 2.2 koja će nam poslužiti za rješavanje zadatka.

Slika 2.2

Prema slici 2.2 možemo pisati jednadžbe:

1I =3

DU UR

−− ,

2UI −=

4

IZUR−

U U− +=

.

Operacijsko pojačalo je idealno pa slijedi:

1 23 4

D IZU UR R− −

ZU U+=

U UI I + += ⇒ =

Kao što je rečeno struja kroz otpornik R5 je nula pa je i pad napona na otporniku R5 jednak nuli.

4 4

3D

R UR

− ⋅3 4 3

1D Z Z IZIZ Z

U U U U RU UR R R

⎛ ⎞− −= ⇒ = + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Izlazni napon je:

3 3

4 43 3

3 3

10 10 10 101 1 6,310 10 10 10IZ Z D

R RU U UR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= + ⋅ − ⋅ = + ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

0,7 11,9 V

ZADATAK 3. Izračunati vrijednost napona UIZ1 i UIZ2. Zadano je UUL=2 V, R1=30 kΩ, R2=60 kΩ, R3=20 kΩ i R4=40 kΩ. Operacijska pojačala su idealna.

-+

R1 R2

-+

R3

-+

R4

-

+UIZ1

-

+UIZ2

-

+UUL

1U-1U+1

2U-2

U+2

3U-3

U+3I1

I2

I3I4

Slika 3.1

Rješenje: Prema slici 3.1 možemo pisati jednadžbe:

1

1

UR

−−1

ULUI = ,

1 2

2

UR

− +−2

UI = ,

2

3

UR

−−3

0I = ,

2 1

4

IZUR−

4UI −= .

Sva tri operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula.

11 2

ULU U UI I − 1 2

1 2

UR R

− +− −= ⇒ =

2 23 4

U UI I − −= ⇒ − = 1

3 4

IZUR R

−

1 1U U− +=

2 2U U− +=

3 3U U− +=

3U− +=

2IZU= =

1 0− += =

Operacijska pojačala su idealna pa slijedi: Prema slici 3.1 izlazni napon UIZ2 je: 2 3IZU U= 2 3U U+ +

1U U

2 2

1ULU U

R− ⋅2

1 2

0 0ULU U RR R

++

− −= ⇒ =

2 2 1 4 41 2 2

3 4 3 3

1 1IZIZ

U U U R R RU U UR R R R− −

− +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−− = ⇒ = + ⋅ = + ⋅ = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 4

1 3

1 ULR U

R R⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Izlazni napon UIZ1 je:

3 3

2 41 3 3

1 3

60 10 40 101 130 10 20 10IZ UL

R RU UR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

2 12 V= −

Izlazni napon UIZ2 je:

3

22 3

1

60 1030 10IZ UL

RU UR

⋅= − ⋅ = − ⋅

⋅2 4 V= −

ZADATAK 4. Odrediti naponsko pojačanje iz

ul

uu

=VA i ulazni otpor Rul pojačala sa slike

4.1.Otpori otpornika su R1=R2=R3=100 kΩ i R4=1 kΩ. Operacijsko pojačalo je idealno.

-+

-

+uul

R1

R2 R3

R4

Rul

i1

i2 i4

u-

u+

-

+uiz

i3

u1

Slika 4.1

Rješenje: Prema slici 4.1 možemo pisati jednadžbe:

1i =1

ulu uR

−− ,

1

2

u u2i R

− −= ,

1

3

izu uR−

3i = ,

1

4

0u4i R

−= .

Sva tri operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula.

1

1 2

u uR R

− −

u u− +=0u+ =

1 2ulu ui i −−

= ⇒ =

Operacijska pojačala su idealna pa slijedi:

1 2

1ul

u Ru uR

= − ⋅

2 3 4i i i= +

11 2

0 0uluR R− −

= ⇒

Suma struja u točki u1 je nula, pa slijedi:

1 3 31 1 21

2 3 4 2 4 1 2

0 1 1iziz

u u R R Ru u Ru uR R R R R R R

⎛ ⎞−−= + ⇒ = + + ⋅ = − ⋅ + +⎜ ⎟

⎝ ⎠3 3

4ul

R uR

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Iz gornjrg izraza naponsko pojačanje je:

3 3

3 323 3

1 2 4

100 10 100 10 1001 1100 10 100 10 1

izV

ul

u R RRAu R R R

⎛ ⎞ ⋅ ⋅= = − ⋅ + + = − ⋅ + +⎜ ⎟ ⋅ ⋅⎝ ⎠

3

3

10 10210

⎛ ⎞⋅= −⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Ulazni otpor je:

ul

ul

ui

=ulR

Ulazna struja sklopa jednaka je struji i1 pa je ulazni otpor jednak:

11

1

ul ul ulul

ulul

u u uR Rui iR

= = = = =100 kΩ

ZADATAK 5. Odrediti napon uiz kao funkciju od napona u1, u2 i u3 tj. uiz=f(u1, u2, u3) za sklop na slici 5.1. Zadano je R1=5 kΩ, R2=10 kΩ, R3=2,5 kΩ, R4=10 kΩ, R5=10 kΩ i R6=10 kΩ. Operacijska pojačala su idealna.

-+

R4

i4

R1

i1R2

i2

-+u1

-+

R6

i6

R5

i5R3

i3

-+u2

-u3+

iiz1

u-2

u+2

u-1

u+11

uiz1

-

+uiziiz2

2

Slika 5.1

Rješenje: Prema slici 5.1 možemo pisati jednadžbe:

1 1

1

u uR

−−1i = ,

2 1

2

u uR

−−2i = ,

3 2

3

u uR

−−3i = ,

1 1

4

izu uR−

4i −= ,

1 25

5

izu uiR

−−= ,

26

6

izu uiR

− −=

1 1u u− +=

2 2u u− +=

1 20, 0iz izi≠ ≠

.

Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: Trebamo znati da izlazna struja operacijskog pojačala nije jednaka nuli tj. i , pa vrijedi:

4 5i i≠

1 1 0u u− += =

2 0− += =

Prema slici 5.1 možemo pisati:

2u u

1 1 24 1 2 1 1

4 1 2

0 0 0iziz

u u u Ri i i u u 4 42

1 2

RuR R R R R− − −

= + ⇒ = + ⇒ = − ⋅ − ⋅

1 3 66 5 3 1 3

6 5 3 5

6 6 64 41 2 3

1 5 2 5 33 3 3 3 3

1 2 33 3 3 3 3

0 0 0

10 10 10 10 10 10 10 10 10 105 10 10 10 10 10 10 10 2,5 10

iz iziz iz

iz

iz

u u u Ri i i u u uR R R R

R R RR Ru u u uR R R R R

u u u u

6

3

1 2 32 4

RR

u u u

− − −= + ⇒ = + ⇒ = − ⋅ − ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ + − ⋅

Ako pogledamo sliku možemo vidjeti da prvi dio sklopa, koji se sastoji od operacijskog pojačala 1, R1, R2 i R4, predstavlja zbrajalo. Isto tako drugi dio sklopa, koji se sastoji od operacijskog pojačala 2, R3, R5 i R6, predstavlja zbrajalo i još k tome invertira signal. ZADATAK 6. Odrediti izlazne napone UIZ1 i UIZ2 u ovisnosti o ulaznom naponu UUL. Izračunati napone UIZ1 i UIZ2 uz UUL=0,1 V i R1=1 kΩ, R2=10 kΩ, R3=50 kΩ. Operacijska pojačala su idealna.

-+

-+

-

+UIZ1-

+UUL

-

+UIZ2

R3 I3

R2 I2

1

U+2

U-2

U+1

U-1

1

2

R

I1

Slika 6.1 Rješenje: Prema slici 6.1 možemo pisati jednadžbe:

1 1

1

U UR

−−1I = ,

1 2

2

UR

− −−2

UI = ,

2 2

3

IZUR−

1 0+ =

2 1IZU U+ =

1 0− += =

1IZ= =

3UI −= ,

, U.

Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: 1U U 2 2U U U− +

1 2

1UL1 2 1

1 2

0 0UL IZIZ

U U RI I UR R

UR

− −= ⇒ = ⇒ = − ⋅

3 32

1 2

1 1 ULR R1 1 2

2 3 2 12 3 2

0 IZ IZ IZIZ IZ

U U U RI I UR R R

⎛ ⎞− −= ⇒ = ⇒ = + ⋅ = −⎜ ⎟

⎝ ⎠U U

R R⎛ ⎞⋅ + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Ako je ulazni napon UUL=0,1 V izlazni naponi su jednaki:

3

21 3

1

10 10 0,11 10IZ UL

RU UR

⋅= − ⋅ = − ⋅

⋅1 V= −

3 3

322 3 3

1 2

10 10 50 101 11 10 10 10IZ UL

RRU UR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

0,1 6 V= −

ZADATAK 7. Odrediti naponsko pojačanje izV

ul

uu

=A pojačala sa slike 7.1.Otpori otpornika

su R1=10 kΩ i R2=R3=R4=100 kΩ. Operacijska pojačala su idealna.

Slika 7.1

Rješenje: Prema slici 7.1 možemo pisati jednadžbe:

1

1

0u1i R

− −= ,

1 1

2

u uR

−−2i = ,

2 1

3

u uR

− −3i = ,

2 2

4

u uR

−−

1 ulu u+ =

1 2u u u= −

2 0u+ =

1 1 ulu u u=

2 0− += =

4i = ,

, , iz

. Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: − += 2u u

11 2 1

1 2

1ul ulu u u Ri i uR R

−= ⇒ = ⇒ = + 2

1ulu

R⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

1 2 4 43 4 2 1

3 4 3 3

1u u R Ri i u uR R R R

= ⇒ − = ⇒ = − ⋅ = − ⋅ + 2

1ul

R uR

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Izlazni napon je jednak:

2 4 2 41 2

1 3 1 3

1 1 1iz ul ulR R R Ru u u u uR R R R

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + ⋅ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠2

1

1 ulR uR

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Naponsko pojačanje je:

3 3

4 23 3

3 1

100 10 100 101 1 1 1100 10 10 10

izV

ul

u R RAu R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅= = + ⋅ + = + ⋅ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅ ⋅⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

22⎛ ⎞

=⎜ ⎟⎝ ⎠

ZADATAK 8. Odrediti izlazni napon sklopa sa slike 8.1. Zadano je U1=6 V, U2=3 V, U3=1 V, U4=2 V, R1=3 kΩ, R2=30 kΩ, R3=20 kΩ i R4=20 kΩ. Operacijska pojačala su idealna

-+

R2

I6

R1

I5

-+

R4

I8

R3

I7IIZ1

UU

U-1U+1 1

UIZ1

-

+UIZIIZ2

-2

+2 2

R

I1R

I2R

I3R

I4

U1

U2

U3

U4

Slika 8.1

Rješenje:

Prema slici 8.1 možemo pisati jednadžbe:

1 1U UR

+−1I = ,

2 1U UR

+−2I = ,

3 1U UR

+−3I = ,

4 1U UR

+−4I = ,

1

1

0UR− −

5I = ,

1 1

2

U uR

−−6

IZI = ,

1 2

3

U UR

−−7

IZI = ,

28

UI −=4

IZUR−

2 1IZU=

1 1U U− +=

1IZ= =

,

. U+

Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: 2 2U U U− +

3 11 1 2 1 4 11 2 3 4

1 1 2 1 3 1 4 1 1 1

0 0

0

u UU U U U U UI I I IR R R R

U U U U U U U U U U

++ +

+ + + + − +1 2 3 4

4U U U U

+−− − −+ + + = ⇒ + + + =

⇒ − + − + − + − = ⇒ = =

⇒

+ + +

1 2 3 4

4U U U U+ + +1 1 1 2 2

5 6 1 11 2 1 1

1 1IZIZ

U U U R RI I U UR R R R− −

−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⇒ = ⇒ = + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Oba priključka otpornika R3 su na istom potencijalu pa struja kroz njega neće teči. Struja ne teče ni kroz otpornik R4.

1 2 3 4

4U U U U+ + +1 1 1 2

7 8 13 4 1

0 1IZ IZ IZ IZIZ IZ

U U U U RI I U UR R R

⎛ ⎞− −= ⇒ = = ⇒ = = + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Ako je U1=6 V, U2=3 V, U3=1 V i U4=2 V onda je izlazni napon jednak:

3

1 2 3 423

1

30 10 6 3 1 21 14 3 10IZ

U U U URUR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + ⋅ + += + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

33 V4

+=

ZADATAK 9. Zadano je diferencijsko pojačalo na slici 9.1.

a) Uz R1=R’F i R’1=RF izvesti izraz za pojačanje 1 2

= izuu uVA−

. Operacijska pojačala su

idealna. b) Ako su R1=100 kΩ i RF=1 kΩ izračunati izlazni napon ako je amplituda ulaznog

diferencijskog napona Uulm=U1m-U2m=100 mV.

c) Ako su obje ulazne stezaljke na istom potencijalu U1=U2=5 V koliki će biti napon u točki X, a koliki na izlazu?

Slika 9.1

Rješenje: a. Prema slici 9.1 možemo pisati jednadžbe:

1

1

0 u1i R

−−= ,

1 X

F

u uR−

2i −= ,

2'1

Xu uR

+−3i = ,

2'

iz

F

u uR

+ −4i = .

Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula.

1 1 X

F

uR R− −

1 21

0 u ui i − −= ⇒ =

2' '

iz

F

u uR R

+ −

1 1u u− +=

2 2u u− +=

1 1u u+=

2 2u u+=

23 4

1

Xu ui i +−= ⇒ =

Operacijska pojačala su idealna pa slijedi: Prema slici 9.1 ulazni naponi u1 i u2 su:

1 1 1

1 1X

F

u u u RR R

− +− = ⇒ = 1

X FRu uR

⋅

' '

22 12' ' '

1

izX F

F F

u uu u R Ru uR R R

−− += ⇒ = ⋅

'1'X izF

R uR

− ⋅

1

Uz 'FR R= i '

1FR R= gornji izraz možemo pisati:

12

1 1

F FX iz

Ru u uR R

= ⋅ − ⋅R R+

( )1 21

F u u−1 1 1 11 2

1 1 1

F F Fiz iz

F

R R R R R R R Ru u u uR R R R R+ + +

⋅ = ⋅ − ⋅ ⇒ = − ⋅

Iz gornjeg izraza naponsko pojačanje je:

1 2

1iz izV

ul

u u 1

F

RAu u u

= = =− R

⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎝ ⎠

b. R1=100 kΩ, RF=1 kΩ i uul=u1-u2=100 mV Izlazni napon uiz jednak je:

( )3

1 11 2 3

100 101 1 1 100 101 10iz ul

F F

R Ru u u uR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= − + ⋅ − = − + ⋅ = − + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3 10,1 V− = −

c. R1=100 kΩ, RF=1 kΩ i U1=U2=5 V Izlazni napon uiz jednak je:

( ) ( )3

11 2 3

100 101 11 10IZ

F

RU U UR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= − + ⋅ − = − + ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

5 5 0 V=

Napon UX jednak je:

3

1 31

100 101 11 10

FX

RU UR

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅= + ⋅ = + ⋅ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎝ ⎠

5 5,05 V

ZADATAK 10. Odrediti struju iiz kao funkciju ulaznog napona uul i izlaznog napona uiz tj. iiz=f(uul, uiz) za sklop na slici 10.1. Uz koje uvjete izlazna struja neće ovisiti o iznosu priključenog trošila RT. Operacijska pojačala su idealna.

-+

R1i1

R5 i5

R2

i2

-+

R3

i3

R3

i4u-1

u+1

1

-

+uiziiz RT

u-2

u+22

uiz1

uiz2

-

+uul

iiz1

Slika 10.1

Rješenje: Prema slici 10.1 možemo pisati jednadžbe:

1

1

ulu uR

+−1i = ,

1 2

2

izu uR−

2i += ,

1

3

iz izu uR−

3i = ,

1 1

4

u uR

−−4

izi = ,

1

5

0u5i R

− −= ,

0iz

T

uizi

R−

2 1izu u=

2 2izu u=

1 1u u− +=

2iz izu=

= ,

, +

. −

Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: 2 2u u u− += =

1 1 2 11 2 1

1 2 1 2

ul izul

u u u u R Ri i u uR R R R

− −−

− −= ⇒ = ⇒ = ⋅ +

+ +1 2izu

R R⋅

1 1 1 4 4 24 5 1 1

4 5 5 5 1 2

1 1iziz ul

u u u R R Ri i u u uR R R R R R

− −−

⎛ ⎞ ⎛ ⎞−= ⇒ = ⇒ = + ⋅ = + ⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠1

1 2iz

R uR R

⎛ ⎞+ ⋅⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

4 2 1

5 1 2 1 213

3 3

1 ul iziz iz

iz

R R Ru uR R R R Ru ui i

R R

⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ + ⋅⎜ ⎟ + +− ⎝ ⎠= = =

izu⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )

4 2 4 1

5 1 2 3 5 1 2 3

1 11 1iz ulR R R Ri uR R R R R R R R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3

1izu

R⎡ ⎤

⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Struja neće ovisiti o priključenom trošilu ako ne ovisi o izlaznom naponu. To znači da u gornjem izrazu član uz izlazni napon mora biti jednak nuli:

54 1 11 5

5 1 2 3 3 1 2 4 5

1 11 0 RR R R2 4R R i

R R R R R R R R R⎛ ⎞+ ⋅ ⋅ − = ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟ + + +⎝ ⎠

R R=

ZADATAK 11. Za sklop na slici 11.1 odrediti omjer ul

iu

. Operacijska pojačala su idealna.

-+

R3i

-+

R4i4

R1

i1

R2

i2

u-1

u+1

1-

+uul

u-2

u+2

2u1

uiz1

Slika 11.1

Rješenje: Prema slici 11.1 možemo pisati jednadžbe:

2

1

0 u1i R

−−= ,

2 1

2

u uR

− −−2i = ,

1

4

0u4i R

−= ,

1 1

3

izu uR−

2 1u u+ =

1 ulu u+ =

1 1u u− +=

2 2 1u u u− += =

i = ,

, . Oba operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi:

11 11 2 1

1 2

ulu uu Ri i uR R R

−= ⇒ − = ⇒ =

+1 2ulu

R⋅

1

1 1 24

4 44

1

1

ulR u

u R Ri iR R RR

R

⋅+

= = = =⋅ + 2

1

ulu⋅⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Traženi omjer je:

2

1

1

4 1ul

iu RR

R

=⎛ ⎞⋅ +⎜ ⎟⎝ ⎠

ZADATAK 12. Odrediti struju iiz kao funkciju izlaznog napona uiz tj. iiz=f(uiz) za sklop na slici 10.1. Operacijska pojačala su idealna.

-+

R2

i2i1

R1

R2

i3

R1

i4

-

+uiz

iiz

uiz1u-

u+

Slika 12.1

Rješenje: Prema slici 12.1 možemo pisati jednadžbe:

1i1

0uR− −= ,

1

2

izu uR

−−2i = ,

1

2

izu uR

+−3i =

41

0uiR+ −=

izu u+ =

izu− += =

. Operacijsko pojačalo je idealno pa su ulazne struje operacijskog pojačala jednake nula i između ulaza nalazi se virtualni kratki spoj pa vrijedi: u u

11 2 1

1 2

1iz iz iziz

u u u Ri i uR R

−= ⇒ = ⇒ = + 2

1izu

R⎛ ⎞

⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

2 2

1 14 3

1 2 1

2

1

1 2 1 1

1

0

iz iz iz iziz iz

iz

iziz iz iz

R Ru u u uRu u Ri i i

R R RR u

u u uRR R R R

⎛ ⎞+ ⋅ − + ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠= − = − = −

⋅= − = − =

2

izu

R

−=

ZADATAK 13. Za sklop sa slike 13.1 izvesti prijenosnu funkciju 12 uu

uiz

−

1.

AV = . Izračunati

uiz ako je U2=15 mV i U1=5 mV. Zadano je R2=10⋅R

-+

-+

-+

-

+uiz

-

+

u1

-

+

u2

R2

R1

R1R1

R1

R2

R2

Slika 13.1

Rješenje: Za rješavanje ovog zadatko poslužit će nam slika 13.2.

Slika 13.2

Prema slici 13.2 možemo pisati jednadžbe:

3

1

'u u1i R

−−= ,

3

2

izu uR

− −2i = ,

3

1

''u uR

+−3i = ,

3

2

0uR+ −

4i = ,

15

1

'u uiR

−−= ,

1 26

2

u uiR

− −−= ,

27

1

''u uiR

− −= .

Sva operacijska pojačala su idealna pa su ulazne struje operacijskih pojačala jednake nula.

3 3

1 2

izu uR R− −

1 2'u ui i − −= ⇒ =

33 4

''u ui i 3

1 2

0uR R

+ +− −= ⇒ =

1 1 25 6 7

1 2

u u u ui i iR R

− − − 2

1

' ''u uR

−− − −

1 0iz

= = ⇒ = =

Međutim treba paziti na izlazne struje operacijskih pojačala koje nisu jednake nuli tj. i ≠ , i . Operacijska pojačala su idealna pa slijedi: 2izi 0≠ izi 3

1 1u u− +=

2 2u u− +=

3 3 3u u u− += =

1 1u u+=

2 2u u+=

0≠ Prema slici 13.2 ulazni naponi u1 i u2 su:

3 3 23

1 2

' 'izu u u u R uuR R− − ⋅

= ⇒ =+

1

1 2

izR uR R+ ⋅

3 3 23

1 2

''u u u RR R R−

= ⇒ =+1 2

''u uR

⋅

( )'' 'u u⋅ −2 1 2 2

1 2 1 2 1

' ''iziz

R u R u R Ru uR R R R R⋅ + ⋅

= ⋅ ⇒ =+ +

1 1 2 1 2

1 2 2

' 'u u u u R Ru uR R R− − +

= ⇒ = ⋅ 11 2

2

R uR

− ⋅

1 2 2 1 2

2 1 2

'' ''u u u u R Ru uR R R− − +

= ⇒ = ⋅ 12 1

2

R uR

− ⋅

( )

( )

2 2 1 2 1 1 22 1 1

1 1 2 2 2

22 1

1

'' '

2

iz

iz

R R R R R R Ru u u u u uR R R R R

Ru u uR

+ += ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

⎛ ⎞= + ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

12

2

R uR

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Naponsko pojačanje je:

2 1

1

122 1 1

102 2izV

u R RAu u R R

⋅= = + = +

−=

120 mV

Ako je u2=U2=15 mV i u1=U1=5 mV izlazni napon je: ( ) ( )3 3

2 1 12 15 10 5 10iz VU A U U − −= ⋅ − = ⋅ ⋅ − ⋅ =

ZADATAK 14. Koliko iznosi izlazni napon za sklop komparatora na slici ako je ulazni napon -4V? Zadano je R1=10kΩ, R2=15kΩ, R3=10kΩ i UZ1= UZ1=5,6V. Operacijsko pojačalo je idealno.

-+

UUL

+

-

R1

UIZ

+

-

Z1

Z2

R3

R2U1

I1 I2

Slika 14.1.

Rješenje: Ako je operacijsko pojačalo idealno onda su struje I1 i I2 jednake. Da bi riješili ovaj zadatak prvo trebamo odrediti koliki je napon U1. Prema slici 14.1. napon U1 je jednak:

11

1

UI1 1 1U I RR

= ⋅ ⇒ =

Izlazni napon je jednak:

1 1 2 2 1 2 1IZU I R I R I I I1 2

IZUR R+

= ⋅ + ⋅ = ⇒ =

Izjednačavanjem gornjih jednadžbi dobivamo napon U1:

11

1IZ

I1 1 2

1

1 2

IZU UR R R+

) 6,3V= ±

U RUR R

= =

⋅=

+

Izlazni napon jednak je: , ( ) (5,6 0,7IZ Z DU U U= ± + = ± +A napon U1:

3

11 3 3

1 2

6,3 10 1010 10 15 10

IZU RR R

⋅ ± ⋅ ⋅= =

+ ⋅ + ⋅2,52U V= ±

( )ULU U−

1 ULU−

2 0V >

8 0V >

Izlazni napon operacijskog pojačala dobiva se prema izrazu: 1IZOP VOPU A= ⋅

Nama je bitna razlika U . Ako je ta razlika pozitivna izlazni napon operacijskog pojačala je pozitivan odnosno izlazni napon je +6,3V, a ako je ta razlika negativna izlazni napon operacijskog pojačala je negativan odnosno izlazni napon je -6,3V Ako je izlazni napon jednak 6,3V onda je U1=2,52V. Razlika izlazni napon je pozitivan +6,3V. 1 2,52 ( 4) 6,5ULU U− = − − =Ako je izlazni napon jednak -6,3V onda je U1=-2,52V. Razlika izlazni napon je pozitivan +6,3V. 1 2,52 ( 4) 1,4ULU U− = − − − =Bez obzira da li je na izlazu bio pozitivan ili negativan napon ako se na ulaz priključi napon iznosa -4V na izlazu će biti pozitivan napon tj. izlazni napon je jednak +6,3V.

ZADATAK 15. Koliko iznosi izlazni napon za sklop komparatora na slici ako je ulazni napon -1V? Zadano je R1=10kΩ, R2=15kΩ, R3=10kΩ i UZ1= UZ1=5,6V. Operacijsko pojačalo je idealno.

-+

UUL

+

-

R1

UIZ

+

-

Z1

Z2

R3

R2U1

I1 I2

) 6,3V= ±

Slika 15.1.

Rješenje: Izlazni napon jednak je: , ( ) (5,6 0,7IZ Z DU U U= ± + = ± +A napon U1:

3

11 3 3

1 2

6,3 10 1010 10 15 10

IZU RR R

⋅ ± ⋅ ⋅= =

+ ⋅ + ⋅2,52U V= ±

2 0V >

2 0V <

Ako je izlazni napon jednak 6,3V onda je U1=2,52V. Razlika izlazni napon je pozitivan +6,3V. 1 2,52 ( 1) 3,5ULU U− = − − =Ako je izlazni napon jednak -6,3V onda je U1=-2,52V. Razlika izlazni napon je negativan -6,3V. 1 2,52 ( 1) 1,5ULU U− = − − − = −Iz ovog razmatranja možemo zaključiti da je izlaz pozitivan ako je bio pozitivan i prije priključenja ulaznog napona od -1V, odnosno izlaz je negativan ako je bio pozitivan prije priključenja istog ulaznog napona. Znači nismo u mogućnosti sa sigurnošću utvrditi koji je izlazni napon. ZADATAK 16. Koliko iznosi izlazni napon za sklop komparatora na slici ako je ulazni napon +4V? Zadano je R1=10kΩ, R2=15kΩ, R3=10kΩ i UZ1= UZ1=5,6V. Operacijsko pojačalo je idealno.

-+

UUL

+

-

R1

UIZ

+

-

Z1

Z2

R3

R2U1

I1 I2

) 6,3V= ±

Slika 16.1.

Rješenje: Izlazni napon jednak je: , ( ) (5,6 0,7IZ Z DU U U= ± + = ± +

A napon U1:

3

11 3 3

1 2

6,3 10 1010 10 15 10

IZU RR R

⋅ ± ⋅ ⋅= =

+ ⋅ + ⋅2,52U V= ±

8 0V <

2 0V <

Ako je izlazni napon jednak 6,3V onda je U1=2,52V. Razlika izlazni napon je negativan -6,3V. 1 2,52 4 1,4ULU U− = − = −Ako je izlazni napon jednak -6,3V onda je U1=-2,52V. Razlika izlazni napon je negativan -6,3V. 1 2,52 4 6,5ULU U− = − − = −Bez obzira da li je na izlazu bio pozitivan ili negativan napon ako se na ulaz priključi napon iznosa +4V na izlazu će biti negativan napon tj. izlazni napon je jednak -6,3V. ZADATAK 17. Za komparator sa slike 17.1.a nacrtati izlazni napon i prijenosnu karakteristiku ako ulazni napon prikazan na slici 17.1.b Zadano je R1=10kΩ, R2=15kΩ, R3=10kΩ i UZ1= UZ1=5,6V. Operacijsko pojačalo je idealno.

-+

uul

+

-

uiz

+

-

Z1

Z2

R3

R2R1 U1 uul,V

t,ms1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

234

-1-2-3-4

a b

Slika 17.1. Rješenje: Izlazni napon jednak je: , ( ) (5,6 0,7IZ Z DU U U= ± + = ± + ) 6,3V= ±A napon U1:

3

11 3 3

1 2

6,3 10 1010 10 15 10

IZU RR R

⋅ ± ⋅ ⋅= =

+ ⋅ + ⋅2,52U V= ±

1 0ul− <

1 ulu

U trenutku t=0 ulazni napon jednak je +4V, pa prema zadatku 16 izlazni napon jednak je . Izlazni napon ostati će negativan sve dok je razlika U u . Budući da

operacijsko pojačalo idealno razlika U6,3izu V= −

− može biti jako mala da bi postojao izlazni napon operacijskog pojačala, pa možemo reći da će operacijsko pojačalo promijeniti izlaz kad uul dosegne vrijednost U1. To znači da će izlaz poprimiti vrijednost +6,3V kad uul padne na iznos -2,52V. Ako ulazni napon nastavi padati do -4V izlaz ostaje na +6,3V, jer je U u . Sad ulazni napon počinje rast, a izlazni napon poprima vrijednost -6,3V kad ulazni napon poprimi vrijednost +2,52V. Prema ovom razmatranju možemo nacrtati izlazni napon.

1 0ul− >

uul,V

t,ms1 2 3 4 5 6

10

234

-1-2-3-4

7 8 9 10

uiz,V

t,ms1 2 3 4 5 6

10

234

-1-2-3-4

2,52V

-2,52V

6,3V

-6,3V

7 8 9 10

567

-7-6-5

Slika 17.2.

Prijenosna karakteristika prikazana je na slici 17.3.

uiz,V

uul,V

2,52V

-2,52V

6,3V

-6,3V

-4V4V

Slika 17.3.

ZADATAK 18. Za komparator sa slike 18.1. odrediti napone praga okidanja UPV i UPN. Operacijsko pojačalo je idealno.

uul uiz

R3

R2

R1

U1

-+

UR

I1

I2

I3

Slika 18.1.

Rješenje: Iz slike 18.1. slijedi:

1

1

0 U1I R

−= ,

1

2

izu UR−

2I = ,

1

3

RU UR−

3I = .

Ako je operacijsko pojačalo idealno onda možemo pisati:

1 2 3

1

1 2

00 iz R

I I Iu UU U

R R

+ + =

−− −+ +1 1

3

0UR

=

Nakon kraćeg izvoda dobijemo sljedeći izraz za prag okidanja:

( )2 3R R1 12 3

iz Ru UU RR R

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Za uiz=UIZmax U1=UPV pa možemo pisati:

( )1 2 3R Rmax

2 3

IZ RPV

U UU RR R

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Za uiz=UIZmin U1=UPN pa možemo pisati:

( )1 2 3R Rmin

2 3

IZ RPN

U UU RR R

⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

Ako je izlaz realiziran kao u predhodnim zadacima ma izlazu imamo min maxIZ IZU U= . Ako koristimo sklop iz predhodnih zadataka prago okidanja za pozitivan izlaz (UIZmax) biti će pozitivan, a za negativn izlaz (UIZmin) biti će negativan. Za sklop realiziran u ovom zadatku oba praga okidanja mogu biti pozitivni ili negativni u ovisnosti o referentnom naponu UR i iznosima otpornika R1, R2 i R3.

ZADATAK 19. Za komparator sa slike 19.1. odrediti vrijednosti otpornika R2 i R3 uz koje će naponi praga okidanja biti UPV=5,1 V i UPN=4,9 V. Zadano je U V13IZ = ± 15R =, U V i

1 11R k= Ω .Operacijsko pojačalo je idealno.

uul uiz

R3

R2

R1

U1

-+

UR

Slika 19.1.

Rješenje: Iz zadatka 18 možemo pisati sljedeće jednadžbe:

max

1 2

PV IZ PV RU U U UR R 3

0PVUR

− −− + + =

min

1 2

PN IZ PN RU U U UR R 3

0PNUR

− −− + + =

maxIZU

Nakon kraćeg izvoda i uz dobivamo: minIZU = −

( ) ( )( )

max max2

2R IZ PN PV IZ PN

R PV PN

U U U U U U1

PVUR R= ⋅

U U U⋅ ⋅ + − − ⋅ +

⋅ −

( ) ( )( )

max max3

max

2R IZ PN PV IZ PN

IZ PV PN

U U U U U U1

PVUR R= ⋅

U U U⋅ ⋅ + − − ⋅ +

⋅ +

Uvrštavajem vrijednosti u gornje izraze dobivamo:

( ) ( )( )

32

15 2 13 4,9 5,1 13 4,9 5,111 10 942

15 5,1 4,9,3R k⋅ = Ω

⋅ ⋅ + − − ⋅ += ⋅

⋅ −

( ) ( )( )

33

15 2 13 4,9 5,1 13 4,9 5,111 10 21

13 5,1 4,9,75R k⋅ = Ω

⋅ ⋅ + − − ⋅ += ⋅

⋅ +

Možemo provjeriti dobivene vrijednosti u izraze za pragove okidanja iz zadatka 18.

( ) ( )75 5,099V=max1 2 3

2 3

13 15 11 942,3 21,942,3 21,75

IZ RPV

U UU R R RR R

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( )75 4,899V=min1 2 3

2 3

13 15 11 942,3 21,942,3 21,75

IZ RPN

U UU R R RR R

⎛ ⎞ −⎛ ⎞= + ⋅ = + ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠