Sistemi lenearnih jednacina

www.matematiranje.com

1

SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA

Pod sistemom od dve linearne jednačine sa dve nepoznate x i y podrazumevamo:

222

111

cybxa

cybxa

Ovo je takozvani ''prost'' sistem do koga uvek možemo doći ekvivalentnim transformacijama (opisane u jednačinama) Ovde su 212121 ,,,,, ccbbaa dati realni brojevi (ponekad i parametri). Rešenje sistema je

uredjeni par brojeva ),( 00 yx za koji važi da je:

20202

10101

cybxa

cybxa

Sisteme možemo rešiti pomoću više metoda: zamena, suprotni koeficijenti, Gausova, pomoću determinanti, matricama, grafički itd. Nama je najvažnije da tačno rešimo dati zadatak (problem) pa ćemo probati da vas to naučimo. Napomenimo samo da dati sistem može imati: jedinstveno rešenje, beskonačno mnogo rešenja (neodređen) ili pak da nema rešenja (nemoguć). Primer 1:

Reši sistem: _______________

763

732

yx

yx

/·2 Najlakše je da ispred x (ili y) napravimo da budu isti brojevi a suprotnog znaka, pa onda te dve jednačine saberemo. Zato ćemo prvu jednačinu pomnožiti sa 2. Kad nadjemo jedno rešenje, vratimo se u jednu od jednačina (bilo koju) da nadjemo drugo rešenje.

_______________763

732

yx

yx

___________________

763

1464

yx

yx

7 21

21

7

3

x

x

x


2

2 3 7

2 3 3 7

6 3 7

3 7 6

3 1

1

3

x y

y

y

y

y

y

Ovde je rešenje jedinstveno:

3

1,3),( yx

Primer 2: Reši sistem: Pomnožimo prvu jednačinu sa (-2) Ovde imamo situaciju da su se svi ''skratili''. To nam govori da sistem ima beskonačno mnogo rešenja. Da bi ''opisali'' ta rešenja, iz jedne od jednačina izrazimo x (ili y), naravno, šta nam je lakše:

xy

yx

51

15

Sada su rešenja: )51,(),( xxyx Primer 3: Reši sistem: 432 yx

_________________

532 yx

432 yx Saberemo ih odmah.

_________________

532 yx

90 U ovoj situaciji kažemo da je sistem nemoguć, odnosno nema rešenja.

5 1 ..... / ( 2)x y

___________________2210 yx

___________________2210

2210

yx

yx

00

Rx


3

Primer 4: Reši sistem: 5 1 3 1

36 10

x y

_______________________________

11 113

6 4

x y

30/....310

13

6

15

yx Odmah uočimo da ovaj sistem nije ‘’prost’’, pa

_______________________________

12/....34

11

6

11

yx moramo najpre da ‘’napravimo’’ da bude.

______________________________

__________________________________

36333222

9039525

36)11(3)11(2

90)13(3)15(5

yx

yx

yx

yx

______________________________)3(/....1932

3590925

yx

yx Napravili smo ‘’prost’’ sistem. Drugu jednačinu

____________________

5796

98925

yx

yx pomnožimo sa (-3)

Vratimo se sad u jednu od jednačina iz prostog sistema.

2 3 19

2 5 3 19

3 19 10

3 9

3

x y

y

y

y

y

dakle )3,5(),( yx

Primer 5: Uočavamo da su ovde nepoznate u imeniocu. U takvoj

situaciji najbolje je uzeti smene: ax

1 i b

y

1

31 155

5

x

x

________________

5187

102414

yx

yx


4

_______________________

51

181

7

101

241

14

yx

yx

ovo je prost sistem ‘’po a i b’’ Pomnožimo drugu jednačinu sa (-2)

14a 24 10

14

b

a

_______________________

36 10

60 20

20

60

1

3

b

b

b

b

Vratimo se u smene da nadjemo x i y.

3

3

11

1

y

y

by

( , ) (7,3)x y

Primer 6: Reši sistem:

__________________

14 24 10

7 18 5 .../ ( 2)

a b

a b

7 18 5

17 18 5

37 6 5

7 5 6

7 1

1

7

a b

a

a

a

a

a

7

,7

11

,1

xx

ax

___________________

9 14

2 3 7

ax y a

ax y a


5

Ovde primećujemo da postoji parameter a. Budimo oprezni!!!

9ax y 14

6 9

a

ax y

________________________

21a

7 35

35

7

5

ax a

ax

a

x

→ PAZI: a može da skratimo samo ako je 0a ( to je uslov)

9 14

5 9 14

9 14 5

9 9

ax y a

a y a

y a a

y a

y a

Rešenja su ),5(),( ayx uz uslov 0a Šta se dešava ako je ?0a Zamenimo tu vrednost u početni sistem:

Ovde se vidi da je a x može biti bilo koji broj. Pa je sistem neodredjen, odnosno ima beskonačno mnogo rešenja.

3/...732

149

___________________

ayax

ayax

_________________030

090

yx

yx

Rx0y

0y


6

522 zyx

SISTEM TRI JEDNAČINE SA TRI NEPOZNATE 7) Naravno i ovde ima više metoda za rešavanje. Najlakše je da izvučemo I i II, I i III jednačinu i oslobodimo se od iste nepoznate. Tako dobijemo sistem 2 jednačine sa 2 nepoznate

2/652 zyx 3/652 zyx

______________________522 zyx

______________________8433 zyx

2x 4 10 12

2

y z

x

__________________________

2 5y z

3x 6 15 18

3

y z

x

__________________________

3 4 8y z

1785 zy 26199 zy Sada uzimamo ove dve jednačine i nadjemo nepoznate y i z.

)5(/26199

9/1785

__________________

zy

zy

___________________________

1309545

1537245

zy

zy

23 23

1

z

z

5 8 17

5 8 17

5 25

5

y z

y

y

y

kada nadjemo 2 nepoznate vraćamo se u jednu od prve tri jednačine, (bilo koju).

2 5 6

2 5 5 1 6

10 5 6

6 10 5

1

x y z

x

x

x

x

( , , ) (1,5,1)x y z

652 zyx

8433 zyx


7

8)

____________________132

1225

932

zyx

zyx

zyx

Izdvajamo (I i II) i (I i III). Uočimo da je sad lakše da se oslobodimo od nepoznate z.

______________________1225

2/932

zyx

zyx

___________________132

3/932

zyx

zyx

______________________1225

18264

zyx

zya

___________________132

27396

zyx

zyx

659 yx 26117 yx

Sad uzimamo ove dve jednačine i nadjemo x i y.

9/26117

)7(/659

____________________

yx

yx

________________________2349963

423563

yx

yx

19264 y

3y

9 5 3 6

9 6 15

9 9

1

x

x

x

x

Sad se vraćamo u početni sistem: (u treću jednačinu)

( , , ) (1,3, 2)x y z

2 3 1

1 2 3 3 1

1 6 3 1

3 1 5

3 6

2

x y z

z

z

z

z

z


8

Sistemi jednačina imaju široku primenu na rešavanje različitih problema. Naravno,potrebno je dobro proučiti problem, naći vezu izmedju nepoznatih i formirati sistem jednačina. Samo rešavanje sistema posle nije veliki problem. 9) Dva broja imaju osobinu da je zbir četvorostukog prvog broja i za 4 uvećanog drugog broja jednak 50, a razlika trostrukog prvog broja i polovine drugog broja jednaka je 22. Odrediti te brojeve. Neka je x i y traženi brojevi.

Postavimo jednačine: 4 ( 4) 50

3 222

x y

yx

2/222

3

50)4(4

________________

y

x

yx

_______________

446

4504

yx

yx

_________________

446

464

yx

yx

10 90

9

x

x

4636

464

y

yx

10y

10) Dva radnika mogu da završe neki posao za 8 časova. Desilo se da je prvi radio 6

časova, a drugi 9 časova i završili su 56

51 deo posla. Za koliko časova može svaki

odvojeno da završi taj posao?


9

Obeležimo: x – Vreme za koje prvi radnik završi posao y – Vreme za koje drugi radnik završi posao

________________56

5196

8

111

yx

yx Uvodimo smene : a

x

1 i b

y

1

_________________56

5196

)6(/8

1

ba

ba

_________________56

5196

8

666

ba

ba

51 63

56 851 42

356

93 / : 3

56

3

56

b

b

b

b

1 3

8 567 3 4 1

56 56 14

1

14

a

a

a


10

Vratimo se u smenu: i časa 11) Zbir godina majke i ćerke je 46. Posle 10 godina majka ce biti 2 puta starija od ćerke. Koliko godina sada ima majka a koliko ćerka? Obeležimo sa: Posle 10 godina: x – godine majke majka → x+10 godina y – godine ćerke ćerka → y+10 godina

__________________________

)10(210

46

yx

yx

______________________

20210

46

yx

yx

)1/(102

46

_______________

yx

yx

_______________

46

2 10

x y

x y

3 36

12

y

y

12 46

34

x

x

Dakle, majka sada ima 34 godine a ćerka 12 godina.

14

1414

11

1

x

xx

ax

1

1 3

56

56

32

183

18 časa i 40 minuta

by

y

y

y

y


11

Documents

Sistemi lenearnih jednacina