Teora Electromagntica. Anlisis Vectorial. Profs. Francisco Rojas
y E. Sanzonetty Actualizado abril, 2015
Captulo I. Anlisis Vectorial
1.1 Sistemas de coordenadas
Cuando se quiere describir cualquier fenmeno fsico, es comn
encontrarse con el concepto de posicin en el espacio asociado a
ste, el cual puede determinarse mediante la eleccin de un sistema
de coordenadas adecuado. Por ejemplo, si se quiere estudiar la
propagacin de ondas planas en el espacio se debe tomar un sistema
de coordenadas cartesianas rectangulares debido a que la propia
geometra del problema as lo amerita. Sin embargo, si el fenmeno a
estudiar se refiere a la descripcin de los campos electromagnticos
de una gua de ondas cilndricas de seccin trasversal circular, el
sistema de referencia elegido ser, indudablemente, un sistema de
coordenadas cilndricas.
Los tres sistemas coordenados ms comunes son: el rectangular o
cartesiano (coordenadas x,y,z y vectores unitarios ), el cilndrico
(coordenadas y vectores unitarios ) y el esfrico (coordenadas y
vectores unitarios ), como se muestran en las figuras 1.1, 1.2 y
1.3. En cada uno de estos tres sistemas, el conjunto de vectores
unitarios forman un conjunto de mano derecha, es decir, como si dos
de ellos se estuvieran atornillando a la derecha en la direccin del
otro. Otra caracterstica de estos sistemas de coordenadas es que
permiten asignar tres coordenadas a cada punto del espacio.
La resolucin de un problema en particular se simplifica si se
escoge el sistema de referencia adecuado. En este captulo, se
describen los tres sistemas coordenados nombrados anteriormente y
la relacin de sus coordenadas entre ellos. Las operaciones
matemticas que se realizan con los campos escalares y vectoriales
son operaciones algebraicas sencillas (suma, resta y
multiplicacin), aunque en algunos casos es necesario someter estos
campos a operaciones matemticas ms complejas que involucran
derivadas e integrales (gradiente, divergencia y rotacional).
En la tabla 1.1 presentamos en forma resumida los vectores
unitarios y los elementos diferenciales de longitudes, reas y de
volmenes para los sistemas de coordenadas rectangulares
(cartesianas), cilndricas y esfricas.
TABLA 1.1CARTESIANASCILINDRICASESFERICAS
Vectores unitarios
Representacin del punto
Diferencial de lnea
Diferencial de rea
Diferencial de volumen
Las figuras 1.1, 1.2 y 1.3, que se ilustran a continuacin,
muestran los tres sistemas de coordenadas que estamos
estudiando:
Figura. 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas: representacin
de los elementos de rea (dS) y de volumen (dV). El punto P, ubicado
en uno de los vrtices del cubo tiene coordenadas (x,y,z)
Figura 1.2. Sistema de coordenadas cilndricas. Un punto P tiene
coordenadas definidas por la interseccin de los planos y constantes
con un cilindro de radio constante . La direccin de los vectores
unitarios y cambian con el ngulo Los elementos diferenciales de
reas (dS) estn indicados.
Figura 1.3. Sistema de coordenadas esfricas. Un punto P tiene
coordenadas . Los elementos diferenciales de reas (dS) estn
indicados.Tabla 1.2. Relaciones geomtricas entre coordenadas y
vectores unitarios para sistemas de referencias de coordenadas
cartesianas, cilndricas y esfricas.
CARTESIANASCILINDRICASESFERICAS
CILNDRICASCARTESIANASESFERICAS
ESFERICASCARTESIANASCILINDRICAS
1.2 Algebra Vectorial
Una cantidad escalar est completamente determinada por su mdulo
o magnitud, es decir, puede ser descrita, simplemente por un nmero.
Ejemplos de cantidades escalares son: la masa, la temperatura, la
distancia, la carga elctrica, el potencial elctrico, el trabajo, la
energa, etc. En cambio, un vector, adems de su magnitud, es una
cantidad que posee direccin y sentido. Ejemplos de un vector lo
constituyen el desplazamiento, la velocidad, la aceleracin, la
fuerza, el torque o momento de una fuerza, el campo elctrico, el
campo magntico, etc.
Un vector cualquiera y su magnitud se representan en los
sistemas coordenados cartesiano, cilndrico y esfrico, de la
siguiente forma: CartesianasCilndricasEsfricas
Vector en 3D
Magnitud
En general, cualquier vector puede representarse como su
magnitud seguida de un vector unitario (direccin), es decir,
1.2.1 Suma y resta vectorial
Los vectores pueden sumarse y restarse entre ellos. Sean los
vectores , y definidos en coordenadas cartesianas, por ejemplo:
el vector suma (sealado como ) de los vectores mencionados se
define como la suma de sus componentes,
El vector resta (sealado como ) representa la resta de sus
componentes,
Tambin podemos aplicar las propiedades asociativa, distributiva
y conmutativa:
Siendo k una constante.1.2.2 Producto Escalar
El producto escalar o punto de dos vectores se denota como (se
lee A punto B). El producto punto entre dos vectores da como
resultado un escalar que es igual al producto de las magnitudes de
y el coseno del ngulo entre los dos vectores. De esta manera, se
puede definir el producto escalar como,
donde y representan los mdulos de los vectores y ,
respectivamente. El parmetro representa el ngulo ms pequeo entre
los dos vectores. El trmino representa la proyeccin del vector en
la direccin del vector , como se ilustra en la figura 1.4. Un
ejemplo del producto escalar surge cuando calculamos el diferencial
de trabajo que debe realizar una fuerza para trasladar un cuerpo
una distancia . Esta diferencial de trabajo viene definido por
Figura 1.4: Proyeccin del vector en la direccin del vector
Tambin se puede definir el producto punto en funcin de la
multiplicacin de sus componentes, teniendo en cuenta que
Considerando los dos vectores del ejemplo anterior, el producto
punto entre ellos se define como
El producto escalar es conmutativo
1.2.3 Producto Vectorial
El producto vectorial entre los vectores y se define como,
El producto vectorial es un vector perpendicular a ambos
vectores, cuyo sentido corresponde a la del pulgar, cuando se
emplea la regla de la mano derecha.
Para los vectores unitarios cartesianos se tienen las siguientes
propiedades
Para el sistema cilndrico se obtiene:
Similarmente, pueden obtenerse las propiedades del producto
vectorial para el sistema de coordenadas esfricos.
La magnitud del producto vectorial es
donde representa el ngulo entre y , definido positivamente desde
hasta . El ngulo entre y se define de la propiedad anterior
y tambin puede obtenerse usando el producto escalar,
1.3El gradiente y el operador Nabla.
En muchos problemas cotidianos es necesario conocer las
propiedades de un campo escalar en una determinada regin, tal como
la distribucin de temperatura en una habitacin, el potencial
elctrico en una regin alrededor de una carga elctrica o la variacin
de altura en un terreno. La magnitud de f depende de la posicin del
punto en el espacio, pero puede ser constante sobre ciertas lneas o
superficies; en el caso del campo elctrico, las curvas o
superficies con igual valor de potencial elctrico se llaman
superficies equipotenciales.
La variacin que experimenta la funcin escalar cuando la posicin
experimenta un pequeo cambio viene dada por:
(1)
En coordenadas cartesianas, cualquier elemento diferencial de
lnea est definido como
(2)
En base a esto, la variacin puede escribirse como el producto
escalar que se muestra a continuacin
(3)
donde el operador nabla, , se conoce como operador diferencial
vectorial y cuando acta sobre una funcin escalar se le llama
gradiente. Por lo tanto, el gradiente de la funcin escalar se
define como
(4)
El operador vectorial nabla en coordenadas cartesianas est
definido como
(5)
De esta forma, la variacin de la funcin se puede representar
por
(6)
donde es el ngulo entre los vectores y
Gradiente de un campo escalar: Interpretacin fsica
La funcin experimenta una mxima variacin cuando es paralelo con
, en consecuencia el gradiente de la funcin se define como un
vector que representa la direccin de la mxima tasa de variacin de .
En otras palabras, definimos el gradiente de un escalar al vector
que representa la magnitud y direccin de la mxima razn de cambio de
dicho escalar.
Ejemplo 1.1: En cierta regin del espacio existe un campo escalar
, encuentre en el punto P(2,3,6) la direccin y la magnitud del
mximo incremento de V.
Solucin: El mximo incremento de V representa el gradiente de
dicha funcin escalar, es decir:
Evaluando en el punto P(2,3,6), se tiene:
La magnitud del gradiente es:
1.4 Flujo y divergencia.
Cuando se estudian los campos vectoriales, como el elctrico y el
magntico, estos se pueden visualizar mediante lneas imaginarias
llamadas lneas de flujo. Estas lneas indican la direccin del campo
vectorial en cada punto, de aqu que el campo vectorial siempre es
tangencial a las lneas de flujo en cada punto. La fuerza o
intensidad del campo vectorial en cierta regin del espacio, se
puede medir en funcin de la cantidad de lneas o de materia (fluido)
que pasa a travs de cierta superficie.
Si observamos que la cantidad de materia de fluido que entra por
un determinado volumen es igual a la que sale, decimos entonces que
el flujo de materia es nulo y que las lneas de fluidos son
continuas. Si la cantidad de materia que sale es menor a la que
entra, decimos entonces que existe un resumidero o sumidero dentro
del volumen. Si por el contrario, la materia que sale es mayor a la
que entra, entonces debe existir una fuente adicional de fluido
dentro del volumen.
1.4.1 Flujo.
El flujo de una cantidad vectorial se define como la cantidad de
lneas de ese campo vectorial que pasan a travs de una superficie,
s, cualquiera. Si la superficie es cerrada, se puede definir este
flujo, , como:
(7)
donde, representa el elemento diferencial de superficie, el cual
es un vector que tiene mdulo y su direccin es la del vector
unitario normal, , exterior al diferencial de superficie, , tal
como se muestra en la figura 1.5. La integral anterior indica que
nicamente la componente de perpendicular a la superficie contribuye
al flujo que pasa a travs de la superficie, y su componente
tangencial contribuye al flujo del vector a lo largo de la
superficie y no a travs de ella. Existe una componente del flujo, a
travs de la superficie, positiva si tiene una componente que apunte
hacia fuera de la superficie. Si tiene componente que apunta hacia
adentro de la superficie, entonces su contribucin al flujo se dice
que es negativo.
Si dentro del volumen que encierra a la superficie, s, no hay ni
fuentes ni sumideros, todo el flujo que entra es igual al que sale
y el flujo neto es nulo. Si existe una fuente de dentro de la
superficie, el flujo saliente es mayor que el entrante, en
consecuente el flujo neto es positivo. Un resumidero implica que el
flujo entrante es mayor que el saliente, en consecuencia el flujo
neto es negativo.
Figura 1.5. El flujo del vector a travs de la superficie est
determinado por
la integral de superficie . El vector es unitario perpendicular
al plano que define al diferencial de rea da.
1.4.2 La divergencia
La divergencia es un concepto estrechamente relacionado con el
concepto de flujo. La divergencia est relacionada con la intensidad
de generacin de un campo vectorial en el interior de un volumen
infinitesimal limitado por una superficie elemental. En esta seccin
vamos a obtener una expresin matemtica que mida la intensidad con
que una fuente genera un campo vectorial.
La divergencia de un campo vectorial, , representada por , en un
punto se define como el lmite de la cantidad de flujo por unidad de
volumen que sale de una pequea superficie cerrada cuando el
volumen, encerrado por la superficie, tiende a cero
(8)
En donde hemos aplicado el hecho que conforme , la integral que
aparece en el denominador de 1.8 se transforma en el diferencial de
flujo.
La divergencia es un operador matemtico que en coordenadas
cartesianas est definida por
(9)
La divergencia para los sistemas de coordenadas cilndrico y
esfrico, se muestran en la tabla 1.3.
Divergencia de un vector: interpretacin fsicaComo puede
observarse la divergencia de un campo vectorial es una cantidad
escalar. El concepto fsico de lo que representa la divergencia de
un vector, lo podemos visualizar de la siguiente manera: imaginemos
una regin del espacio llena de un fluido cualquiera en movimiento.
La velocidad del fluido puede representarse por un vector que tiene
tres componentes segn tres direcciones cualesquiera,
perpendiculares entre s, como en el sistema cartesiano.
Si colocamos un volumen cualquiera en esa regin que contiene al
fluido, ste atravesar el elemento de volumen, de tal forma que habr
caras de la superficie que limita al volumen en donde entrar una
cantidad de flujo de velocidad entrante, mientras que en otras
caras pasar flujo de velocidad saliente. Si el fluido es
incompresible, el mismo flujo de velocidad que entra al elemento de
volumen ser igual al flujo de velocidad que sale; por lo tanto,
podemos decir que la divergencia del vector velocidad del fluido a
travs de ese volumen es nula.
Cuando tenemos un volumen compresible, puede ocurrir que la
cantidad de fluido que entra al volumen no sea igual a la cantidad
de fluido que sale, en este caso, se define la divergencia como la
tarifa de variacin de flujo por unidad de volumen, tal como se
expresa en la ecuacin (8).
1.5 El teorema de la divergencia o de Green:
La definicin de la divergencia, dada en la ec.(8), equivale a
igualar el flujo total del campo vectorial , a travs de la
superficie total envolvente S, ver figura 1.6 , con la integral de
volumen de la divergencia de , es decir
(10)
La cual se conoce como teorema de la divergencia. Observe que la
ecuacin (10) implica la igualacin de la suma (en realidad cuando se
trata de cantidades continuas se habla de integral y no de suma) de
los flujos parciales , producidos exclusivamente por los
diferenciales de superficies perifricas al volumen total , con la
suma o integral de todas las cantidades .
Consideremos el volumen V subdividido en M elementos
diferenciales de volmenes infinitesimales tal como se muestra en la
figura 1.6. Observe que todas las contribuciones al flujo de los
diferenciales de superficies internas a la superficie envolvente se
anulan entre si, por lo tanto, la contribucin neta del flujo se
debe nicamente a la superficie exterior S que encierra el volumen
V.
Figura 1.6: Volumen subdividido en M elementos diferenciales,
para la demostracin del teorema de la divergencia
Ejemplo 1.2: Considere el campo vectorial, y el paraleleppedo
rectangular formado por los planos: x=0 y 1, y=0 y 2, z=0 y 3.
Verifique el Teorema de Green para este campo vectorial a travs de
ese volumen.
Figura 1.7: Paraleleppedo rectangularSolucin:
Dibujamos los vectores normales en cada plano:
Figura 1.8: Vectores normales en cada plano del paraleleppedo
rectangular
El teorema de la divergencia o de Green viene dado por:
Comprobamos el lado izquierdo de la ecuacin anterior para cada
plano.
Plano x=0:
puesto que x=0
Plano x=1:
Plano y=0:
Plano y=2:
Plano z=0: , y debido a que el campo vectorial no tiene
componente en z, entonces se tiene,
Plano z=3: . Por analoga al caso anterior, se tiene que,
Luego, el flujo total a travs de toda la superficie de la caja
es:
Verificamos ahora el lado derecho del teorema, para ello,
hallamos primero la divergencia del vector :
La integral de volumen se convierte en,
Se demuestra el teorema de Stokes!!!
1.6 El rotacional y el teorema de Stokes
El teorema de Stokes es una herramienta matemtica muy poderosa
para estudiar los campos electromagnticos. Primero desarrollaremos
el concepto de rotacional para luego obtener el mencionado
teorema.
1.6.1. El rotacional
Consideremos la integral de lnea de un campo vectorial alrededor
de una trayectoria cerrada definida como la circulacin
(11)
Como una aplicacin de esta ecuacin, se puede observar que si es
el vector fuerza, entonces corresponde al trabajo realizado por la
fuerza . Podemos calcular la circulacin para el contorno
infinitesimal rectangular de la figura 1.9, recorriendo los caminos
1,2,3 y 4
3
x 4 2
1
y Figura 1.9
(12)
(13)
Como el contorno es diferencial podemos considerar las
componentes del vector como constante, en consecuencia resulta la
siguiente aproximacin:
(14)
en el lmite, cuando y tiendan a ser infinitamente pequeos, la
integral resulta ser exacta:
(15)
Este que es vlido para el plano mostrado en la figura. Para el
plano vamos a obtener
(16)
Anlogamente, para el plano obtenemos
(17)
Las derivadas parciales anteriores son, precisamente, las
componentes del producto vectorial , donde
(18)
De esta forma, la circulacin para cualquier contorno de tamao
diferencial se escribe como
(19)
donde, es el diferencial de rea con la direccin del vector
normal perpendicular al plano del contorno, definida por la regla
de la mano derecha.
La interpretacin fsica del rotacional puede explicarse en el
ejemplo siguiente. Si una pequea rueda de paletas se coloca sin
perturbacin en un flujo de fluido (lquido) con velocidad constante,
el campo vectorial se dice que tiene una circulacin nula, en
consecuencia posee un rotacional igual a cero (campo irrotacional).
Si, ahora, el fluido tiene velocidad que no es uniforme, ste
producir un giro o circulacin en la rueda, como se ilustra en la
figura 1.10. Las aspas de la rueda, describen circunferencias en el
lquido y producen sobre l un movimiento axial, es decir, es como si
la rueda tratara de enroscarse como consecuencia de la velocidad de
sus paletas. La componente del rotacional est en la direccin del
eje de la rueda de las paletas.
Figura 1.10: Un fluido con campo de velocidad que tiene un
rotacionaltiende a hacer girar la rueda de paletas. Las componentes
del rotacionaltienen la misma direccin que el pulgar cuando los
dedos de la mano derechase curvan en la direccin de la rotacin.
En resumen, si un campo vectorial tiene rotacional cero se
denomina campo irrotacional o conservativo.
1.6.2 El teorema de Stokes.
Considrese la superficie S de la figura 1.11 que est dividida en
pequeos incrementos de superficie de rea . Si tenemos muchos
contornos de lneas, dC, diferenciales podemos suponer que cada
contorno diferencial genera una contribucin a la circulacin, dada
por
(20)
entonces, la circulacin total es la suma de todos los
diferenciales
(21)
Cada uno de los trminos de es equivalente a la integral de lnea
alrededor de cada pequeo contorno. Sin embargo, puede observarse de
la figura que la circulacin de los contornos internos se anula y
solamente aquellos contornos que tienen un lado sobre la frontera
abierta L tienen una contribucin diferente de cero.
Figura 1.11: La suma de las integrales de lnea cerradas
alrededor del permetro de cada dC, es la misma que la integral de
lnea cerrada alrededor del permetro de S, debido a la cancelacin
sobre cada trayectoria interior.
Entonces la integral de lnea se transforma en una integral de
superficie, conocida como teorema de Stokes, definida por
(22)
Ejemplo 1.3:1) Suponga una funcin vectorial . Calcule: (a) a lo
largo del contorno ABCDA en la direccin indicada en la figura 1.12.
(b) , (c) sobre el rea sombreada y compare el resultado con el que
obtuvo en la parte (a). Todos los radios estn en metros. (d) Es
conservativo este campo ?. Explique
Figura 1.12
Solucin: (a) La a lo largo de la trayectoria cerrada indicada se
puede descomponer en la suma de las cuatro contribuciones o
caminos, es decir,
En coordenadas cilndricas, cualquier elemento de longitud se
define como:
(2)
Camino DA: Observe que en esa trayectoria, , entonces,
y , ya que no hay variacin ni en ni en z para ese tramo.
Luego,
Camino AB: El radio y . El campo vectorial ser, entonces:
y , ya que no hay variacin ni de ni de z. La integral de lnea
nos queda,
Camino CD: El radio y . El campo vectorial nos queda.
y .
Camino BC: Slo hay variacin en y . El campo vectorial
resulta:
y
Finalmente, sustituyendo las cuatro contribuciones en la ecuacin
(1), se obtiene:
(b) Recordemos la ecuacin para el rotacional de un campo
vectorial en coordenadas cilndricas:
Escribiendo la funcin vectorial dada en trminos de sus
componentes radial y angular,
Donde: .
Despreciando todos los trminos con dependencia en z, nos
queda:
(c) Un elemento diferencial de rea en coordenadas cilndricas,
viene dado por:
En este caso, observe que el vector normal al rea considerada
est en la direccin negativa del eje z, ya que la direccin de este
vector normal cumple con la regla de la mano derecha. Como el
recorrido es en el sentido horario, el vector normal apunta en la
direccin -, tal como se muestra en la figura 1.13. Por lo tanto, la
ecuacin anterior se transforma en:
Figura 1.13
Evaluando las integrales, se demuestra que,
Comparando con la solucin obtenida en el inciso (a) se observa
que son iguales, con lo que se demuestra el teorema de Stokes
(d) Para comprobar si un campo vectorial es conservativo se debe
cumplir que sea irrotacional, es decir, . En este caso no sucede
esto, vemos que,
Por lo tanto, se puede concluir que no es conservativo.
IDENTIDAD1:
Demuestre!El rotacional del gradiente de cualquier campo
escalar, f, es igual a cero
Esta identidad se puede interpretar como sigue: Si el rotacional
de un campo vectorial es nulo, entonces el campo vectorial puede
expresarse como el gradiente de un campo escalar, es decir:
Por ejemplo, si el campo vectorial es campo elctrico, .
Entonces, si , se puede definir un campo escalar V, tal que,
donde V representa el potencial elctrico en una regin del
espacio. El signo negativo, en este caso, representa la relacin
bsica entre la intensidad del campo elctrico y el potencial escalar
elctrico, V, la cual ser estudiada en el captulo 2 de campos
elctricos estticos. En general, el signo en la ecuacin (*) no tiene
importancia, depende de la relacin entre el campo vectorial y el
escalar.
IDENTIDAD 2:
Demuestre!La divergencia del rotacional de cualquier campo
vectorial, , es igual a cero
Se puede interpretar esta identidad como sigue: Si la
divergencia de un campo vectorial, , es nula, entonces el campo
vectorial puede expresarse como el rotacional de otro campo
vectorial, . Es decir,
De aqu se concluye que el campo es solenoidal.
1.7 El laplaciano de un campo escalar
El laplaciano es un operador definido como la divergencia del
gradiente de una funcin escalar. Este est representado por:
(23)
El laplaciano de la funcin en coordenadas rectangulares es
(24)el cual ser de amplia utilidad en muchos problemas del
electromagnetismo.
1.8 Gradiente, divergencia, rotacional y el laplaciano en
coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas.
La tabla (1. 3) que se muestra a continuacin muestra el
gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en
coordenadas cartesianas, cilndricas y esfricas,
respectivamente.
TABLA 1.3cartesiana
Cilndricas
Esfricas
1.9 Ecuaciones de Maxwell en forma integral y en forma
diferencial
Las ecuaciones que gobiernan los fenmenos electromagnticos son
las ecuaciones de Maxwell, las cuales escribimos a continuacin en
su forma diferencial:
(25)
(26)
(27)
(28)
en donde[footnoteRef:1]+: [1: + voltios, coulombs, webers,
tesla, ampere, centmetro y es metro]
Vector de intensidad de campo elctrico
Vector de densidad de flujo elctrico o induccin elctrica
Vector de densidad de flujo magntico o induccin magntica
Vector de intensidad de campo elctrico
Vector de densidad de corriente de conduccin
densidad volumtrica de carga de conduccin
La ecuacin 25 se conoce como la ley de Gauss para el campo
elctrico, la cual indica que la densidad de carga de conduccin es
la fuente de la divergencia de la densidad de flujo elctrico (el
vector tambin es llamado desplazamiento elctrico). La 26 es la ley
de Gauss para el campo magntico, sta afirma que la divergencia de
la induccin magntica siempre es nula. La ecuacin 27 es la ley de
Faraday, la cual confirma que los cambios con respecto al tiempo de
la induccin magntica producen un rotacional del vector intensidad
de campo elctrico. La ecuacin 28 representa una generalizacin de la
ya conocida por Maxwell ley de Ampere:
El aporte de Maxwell fue haber aadido el trmino , llamada
corriente de desplazamiento , en la ley de Ampere. La corriente de
desplazamiento explica la existencia de campo magntico debido a la
acumulacin de cargas elctricas (como es el caso cuando las placas
de un condensador se estn cargando o descargando). Hasta los
trabajos de Maxwell, se saba que el campo magntico se deba a la
corriente de conduccin , pero Maxwell consider que cualquier cambio
en un campo electrosttico implicaba la creacin de un campo magntico
y viceversa. De igual forma, el movimiento de un dielctrico con
carga esttica es una forma de corriente de desplazamiento y crear
un campo magntico a su alrededor.
Maxwell, que se bas en los trabajos previos de Gauss, Faraday y
Biot y Savart, tiene como mrito haber integrado y relacionado todos
esos resultados matemticamente, prediciendo la posibilidad de
propagacin de los campos electromagnticos, es decir, la transmisin
de la informacin. Aos ms tarde, el fsico alemn Enrique Hertz (en
cuyo honor la unidad usada para las frecuencias radioelctricas
lleva su apellido) demostr el fenmeno de la transmisin
electromagntica.
Observe que todas las cantidades de las ecuaciones 25-28 son
funciones de la posicin y el tiempo , con esto queremos decir que
stas estn referidas a determinadas posiciones en un instante
particular. Es decir, los campos y sus fuentes son funciones
vectoriales puntuales para todo instante.
Las ecuaciones de Maxwell (25-28) se escriben en su forma
integral de la manera siguiente:
(29)
(30)
(31)
(32)
El conjunto de las ecuaciones de Maxwell estn expresadas en el
sistema de unidades MKSA racionalizado (en este sistema el factor
se introduce arbitrariamente en la ley de Coulomb, pero se cancela
en las leyes de Maxwell). Existen otros sistemas de unidades donde
las ecuaciones de Maxwell tienen la forma que se muestra en la
tabla 1.4.
TABLA 1.4: Definiciones de y de las ecuaciones de Maxwell en su
forma diferencial, representados en distintos sistemas de
unidades.
SistemaElectrosttico(e.s.u)Electromag.-ntico
(e.m.u)GaussianoM.K.S.ARacionalizado
1
1
(I2 t4 m-1 l-3)
11
(m l I-2t-2)
Ecuaciones deMaxwell macroscpicas
BIBLIOGRAFA:
1. Cheng, David. Fundamentos de electromagnetismo para
ingeniera. Pearson-Addison Wesley, 19982. Hayt, William. Teora
electromagntica. Quinta Edicin. Edit. McGraw Hill, 1994.3.
Marshall, S; DuBroff, R y Skitek, G. Electromagnetismo: Conceptos y
aplicaciones. Cuarta Edicin. Prentice Hall. 1997.4. Zahn, Markus.
Teora Electromagntica. Editorial Interamericana. Mxico, 1984
1
27
x
y
z
1
2
3
x
y
z
1
2
3
Circulacin nula
Circulacin distinta de cero
Superficie S
dC
Contorno L
A
D
B
C
1
2
dy
r
dr
P
P
Hoja1UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITCNICA"Antonio Jos de
Sucre"VICE-RECTORADO PUERTO ORDAZDEPARTAMENTO DE INGENIERA
ELCTRICATEORIA ELECTROMAGNTICA
Hoja2
Hoja3
