Rubro 1.3.1.10

Fecha de aplicación:

Semestre 2007-B

MATEMATICAS IIIMATEMATICAS IIIGEOMETRIA ANALITICAGEOMETRIA ANALITICA

ASIGNATURAS RELACIONADAS

CONTENIDO:CONTENIDO:

Unidad I. Sistema de ejes Unidad I. Sistema de ejes coordenadoscoordenados

Unidad II. La línea rectaUnidad II. La línea recta

Unidad III. La circunferenciaUnidad III. La circunferencia

Unidad IV. La parábolaUnidad IV. La parábola

REPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURAREPRESENTACION GRAFICA DE LA ASIGNATURA

OBJETIVO DE LA ASIGNATURA

EL ESTUDIANTE:

Resolverá problemas de la geometría plana con coordenadas, mediante el análisis crítico de los conceptos, técnicas y procedimientos, que lleven a la identificación y/o representación de los lugares geométricos y su aplicación en el desarrollo de ejercicios y modelos matemáticos que abarquen la línea recta, la circunferencia y la parábola, recuperadas de su entorno social inmediato, mostrando interés científico, responsabilidad y respeto en su participación escolar.

UNIDAD I.UNIDAD I.

1.1. COORDENADAS CARTESIANAS DE UN PUNTO

1.1.1. EJES COORDENADOSLos ejes coordenados son dos rectas numéricas que se cortan formando ángulos rectos, de tal manera que el punto de intersección sea el origen de ambas. Los ejes dividen al plano en cuatro regiones llamados CUADRANTES.

III

III IV

Y

X

• El eje horizontal se llama eje X o eje de las abscisas

• El eje vertical se llama eje Y o eje de las ordenadas.

PAREJAS ORDENADAS DE NÚMEROS Cada punto P del plano tiene asociado un par de números

se le asocia un par de números y cada par le corresponde un punto en el plano cartesiano.

P( x , y)

Y

X

• Elementos:

La distancia del punto P al eje vertical es su abscisa y se representa con la letra x.

La distancia del punto P al eje horizontal es su ordenada y se representa con la letra y.

• Dos pares ordenados representan un mismo punto si el valor de x y y son los mismos para ambos pares.

x

y

PUNTOS EN UN PLANO Como los ejes coordenados son ejes reales, las

coordenadas de un punto pueden ser cualquiera de ellas o las dos, positivas, negativas o nulas. Por lo tanto los signos de la coordenadas determinan el cuadrante en que se encuentra el punto.

Y

I (+,+)

II (-,+)

III (-,-) IV (+,-)

X

CuadrantCuadrantee

Signo Signo

xx YY

II ++ ++

IIII -- ++

IIIIII -- --

IVIV ++ --

Ejemplo: el punto P(-4,5) está ubicado en el Ejemplo: el punto P(-4,5) está ubicado en el II cuadranteII cuadrante porque el valor de porque el valor de x es negativox es negativo y el valor de y el valor de y es positivoy es positivo..

Localización de un punto en el plano cartesiano:Localización de un punto en el plano cartesiano:

Posicionarse en el origen.Posicionarse en el origen. Recorrer tantos lugares sobre el eje de las X, si Recorrer tantos lugares sobre el eje de las X, si

es es positivo moverse hacia la derechapositivo moverse hacia la derecha y si el valor y si el valor es es negativo hacia la izquierda.negativo hacia la izquierda.

A partir de la ubicación anterior, recorrer tanto A partir de la ubicación anterior, recorrer tanto lugares sobre el eje Y, si el valor eslugares sobre el eje Y, si el valor es positivo hacia positivo hacia arribaarriba y si el valor es y si el valor es negativo ir hacia abajonegativo ir hacia abajo

P(5,6)

A partir del origen 5 lugares hacia la derecha, porque el valor de la x es positivo.

A partir del 5 (sobre el eje X), 6 lugares hacia arriba porque el valor es positivo

Localización de las coordenadas de un punto ubicado en el sistema coordenado:

PPosicionarse en el punto dado.osicionarse en el punto dado. Trazar una línea perpendicular al eje X para Trazar una línea perpendicular al eje X para

localizar el valor de la abscisa.localizar el valor de la abscisa. Trazar una línea perpendicular al eje Y, para Trazar una línea perpendicular al eje Y, para

localizar la ordenada.localizar la ordenada. En ambos casos el valor correspondiente a la En ambos casos el valor correspondiente a la

abscisa y a la ordenada serán las intersecciones abscisa y a la ordenada serán las intersecciones con los ejes respectivos.con los ejes respectivos.

P(x,y)

Y

X5

6

Por lo tanto :

X=5 ; y=6

Entonces P(5,6)

1.1.2. LUGARES GEOMÉTRICOS..

Definición: Es la trayectoria que genera Definición: Es la trayectoria que genera un punto que se mueve en el plano un punto que se mueve en el plano cartesiano que obedece a una condición cartesiano que obedece a una condición dada. Es decir la dada. Es decir la gráficagráfica..

La condición dada queda establecida por La condición dada queda establecida por una una ecuaciónecuación algebraica en dos variables. algebraica en dos variables.

Problemas Fundamentales Problemas Fundamentales de la Geometría Analítica:de la Geometría Analítica:

1.1. A partir de una ecuación A partir de una ecuación construir la grafica del lugar construir la grafica del lugar geométrico.geométrico.

2.2. Dada una condición obtener la Dada una condición obtener la ecuación del lugar geométrico.ecuación del lugar geométrico.

Primer problema Primer problema FundamentalFundamental

Soluciones y Gráfica de una EcuaciónSoluciones y Gráfica de una Ecuación

Se llama solución de una ecuación de dos Se llama solución de una ecuación de dos variables, al conjunto de pares ordenados que variables, al conjunto de pares ordenados que satisfacen la ecuación.satisfacen la ecuación.

La gráfica de una ecuación es la La gráfica de una ecuación es la representación en el plano cartesiano de representación en el plano cartesiano de todos los puntos cuyas coordenadas son los todos los puntos cuyas coordenadas son los pares ordenados que son soluciones de la pares ordenados que son soluciones de la ecuación. ecuación.

Para graficar una ecuación de dos Para graficar una ecuación de dos variables se sugiere lo siguientevariables se sugiere lo siguiente::

1.1. Simplificar la ecuación dada, siempre que sea Simplificar la ecuación dada, siempre que sea posible.posible.

2.2. Despejar cualquiera de la dos variables de la Despejar cualquiera de la dos variables de la ecuación. Generalmente se despeja la ecuación. Generalmente se despeja la yy..

3.3. Determinar el dominio de la ecuación, es decir, Determinar el dominio de la ecuación, es decir, los valores de la los valores de la xx..

4.4. Asignar valores del dominio para la Asignar valores del dominio para la xx procurando procurando que sea positivos y negativos.que sea positivos y negativos.

5.5. Sustituir los valores asignados en la ecuación Sustituir los valores asignados en la ecuación despejada, para calcular el valor de la despejada, para calcular el valor de la yy..

6.6. Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de Ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos correspondientes y unirlos.los puntos correspondientes y unirlos.

INVESTIGACION GRAFICAINVESTIGACION GRAFICA

CRITERIOS DEFINICIÓN PROCEDIMIENTO

INTERSECCIONES CON LOS EJES

Son los puntos donde la grafica corta a los ejes

Eje Xy=0; despejar x para hallar su

valor.P(0,x

)

Eje YX=0; despejar y para hallar su

valor.P(y,o

)

SIMETRÍA La grafica puede ser

formada a partir de la reflexión de la mitad de ella.

Eje XSi al sustituir y por –y, la ecuación no

se altera

Eje YSi al sustituir x por –x, la ecuación no

se altera.

EXTENSIÓN (TABULACIÓN DE VALORES)

Disposición de los valores de la variable de forma ordenada, que puede ser leídas horizontal o verticalmente

Asignar valores a la variable independiente (x) para

obtener el valor de la variable dependiente (y)

La investigación gráfica permite definir el comportamiento de la grafica de la ecuación y trazar un bosquejo de ella a partir de los siguientes criterios:

1.2 CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE RECTAS, SEGMENTOS Y POLÍGONOS

1.2.1. SEGMENTOS RECTILÍNEOS

Segmentos dirigidos: una recta dirigida es aquella en la que se define una dirección como positiva y su dirección opuesta como negativa.

La porción de recta comprendida entre dos de sus puntos se llama segmento no dirigido.

A B

NOTACIÓN:NOTACIÓN: La dirección se indica poniendo una flecha sobre las literales La dirección se indica poniendo una flecha sobre las literales

que indican sus puntos extremos.que indican sus puntos extremos. El sentido se representa anteponiendo un signo positivo o El sentido se representa anteponiendo un signo positivo o

negativo, a la notación que indican los puntos extremos.negativo, a la notación que indican los puntos extremos. Cuando un segmento de recta está caracterizado únicamente Cuando un segmento de recta está caracterizado únicamente

por su distancia, el segmento es no dirigido y se indica por su distancia, el segmento es no dirigido y se indica poniendo una barra sobre las literales que representan a sus poniendo una barra sobre las literales que representan a sus puntos extremospuntos extremos

Dirigido Dirigido

No No dirigidodirigido

EquivalenciaEquivalenciaNotaciónNotaciónInterpretación graficaInterpretación graficaSegmentoSegmento

BAAB

AB BAAB

BA BABA

BAoABA B

A B

B A

LONGITUD DE UN SEGMENTO Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

La longitud de un segmento es la La longitud de un segmento es la distancia y el sentido que ésta distancia y el sentido que ésta recorre, por lo que su valor puede ser recorre, por lo que su valor puede ser positivo o negativo.positivo o negativo.

La distancia será el valor absoluto La distancia será el valor absoluto de la longitud del segmento de la longitud del segmento

110

Longitud= -10

Distancia= |-10|=10

DISTANCIA ENTRE DOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSPUNTOS

Caso I.Caso I. Si los puntos A (x Si los puntos A (x11, y, y11) y B (x) y B (x22, y, y22) ) están ubicados sobre el eje de las están ubicados sobre el eje de las abscisas o paralelas a él, la distancia abscisas o paralelas a él, la distancia entre los dos puntos se obtiene mediante entre los dos puntos se obtiene mediante la siguiente ecuación:la siguiente ecuación:

Caso II.Caso II. Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, Si los puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) están ubicados sobre el eje de las y2) están ubicados sobre el eje de las ordenadas o paralelas a él, la distancia ordenadas o paralelas a él, la distancia entre los dos puntos se obtiene mediante entre los dos puntos se obtiene mediante la siguiente ecuación:la siguiente ecuación:

1221 xxxxd

1221 yyyyd

Y

Xx2x1

Y

X

y2

y1

A (x1,y1)

A (x1,y1)

B (x2,y2)

B (x2,y2)

DISTANCIA ENTRE DOS DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOSPUNTOS

Caso III.Caso III. Si los puntos se encuentran Si los puntos se encuentran ubicados en cualquier lugar del Sistema de ubicados en cualquier lugar del Sistema de Coordenadas, la distancia queda Coordenadas, la distancia queda determinada por la expresión:determinada por la expresión:

212

212 )()( yyxxdAB

A (x1,y1)

B (x2,y2)

X

Y

C (x2,y1 )

Ejemplos: calcular la distancia entre los siguientes puntos:

R (-3,5) y T (-3,12)

M (3,2) y L (9,2)

A(3,4) y B(7,7)

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA

RAZÓNRAZÓNCOMPARACIÓN ENTRE DOS CANTIDADES

ARITMETICAARITMETICA LA COMPARACION ES MEDIANTE DIFERENCIA

GEOMETRICAGEOMETRICALA COMAPARACIÓN ES MEDIANTE LA DIVISIÓN

En matemáticas cuando se habla de razón se sobreentiende que En matemáticas cuando se habla de razón se sobreentiende que se trata de una razón geométrica. Por lo que su representación es se trata de una razón geométrica. Por lo que su representación es una fracción o un quebrado:una fracción o un quebrado:

En Geometría Analítica se abordan dos problemas básicos:En Geometría Analítica se abordan dos problemas básicos: Hallar la razón Hallar la razón rr de un segmento que ha sido dividido en cierto de un segmento que ha sido dividido en cierto

punto.punto.

Determinar las coordenadas de un punto en un segmento que ha Determinar las coordenadas de un punto en un segmento que ha sido dividido en la razón sido dividido en la razón rr..

HALLAR LA RAZÓN HALLAR LA RAZÓN RR DE UN SEGMENTO QUE HA SIDO DE UN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN CIERTO PUNTO.DIVIDIDO EN CIERTO PUNTO.

xx

xx

PP

PPr

2

1

2

1

yy

yy

PP

PPr

2

1

2

1

Cuando se conocen las Cuando se conocen las coordenadas de tres coordenadas de tres puntos sobre una misma puntos sobre una misma recta:recta:

PP11(x(x11,y,y11) y P) y P22(x(x22,y,y22) son los ) son los extremos del segmento.extremos del segmento.

P (x, y) punto-razón.P (x, y) punto-razón.

Entonces el valor de la razón Entonces el valor de la razón está dada por está dada por: :

Cualquiera de las dos ecuaciones anteriores puede usarse para encontrar el valor de la razón.

DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN DETERMINAR LAS COORDENADAS DE UN PUNTO EN UN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN LA RAZÓN UN SEGMENTO QUE HA SIDO DIVIDIDO EN LA RAZÓN

RR..

Si se conoce el valor de la razón r, entonces las Si se conoce el valor de la razón r, entonces las coordenadas del punto P, esta dada por:coordenadas del punto P, esta dada por:

r

rxxx

1

21

r

ryyy

1

21 Donde r ‡ -1

Para el caso particular en que el Para el caso particular en que el punto-razón equidistapunto-razón equidista de los extremos del segmento, se dice que de los extremos del segmento, se dice que es el punto es el punto mediomedio del segmento y el valor de la razón r es =1. Las del segmento y el valor de la razón r es =1. Las coordenadas se obtienen de las siguientes ecuaciones:coordenadas se obtienen de las siguientes ecuaciones:

221 xx

xm

2

21 yyym

CRITERIOS DE APLICACIÓNCRITERIOS DE APLICACIÓN

1.1. Cuando la razón es positiva, el punto P Cuando la razón es positiva, el punto P estará situado entre los puntos Pestará situado entre los puntos P11 y P y P2.2.

2.2. Si la razón es negativa, el punto P estará Si la razón es negativa, el punto P estará situado fuera de los puntos dados situado fuera de los puntos dados extremos del segmento.extremos del segmento.

Ejemplos

1. Hallar la razón del segmento cuyos extremos son P1(5,3) y P2(-2,1) y con punto-razón P(4/5,9/5).

2. Si los extremos de un segmento son P1(6,-1) y P2(-2,2), hallar las coordenadas del punto P que divide al segmento en la razón r=2/5.

3. Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremos son A(-2,5) y B(4,8).

P1

P2

P

Razón positiva

P1

P

P2

Razón negativa

1.2.2 RECTAS

Ángulo de inclinaciónÁngulo de inclinación: es el ángulo formado por la parte positiva del eje X y la recta, considerando hacia arriba el sentido de ésta.

Pendiente: Pendiente: se llama pendiente o coeficiente angular se llama pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de de una recta a la tangente de su ángulo de inclinación y se expresa como: inclinación y se expresa como:

tgm Donde:

m pendiente

θ ángulo de inclinación

Criterios de aplicación:Criterios de aplicación:1. m es positivo si 0º< θ <90º2. m es negativo si 90º< θ <180º3. m=0, si θ=0º4. m= ∞, si θ=90º

Matemáticamente la pendiente de una recta se define como: Matemáticamente la pendiente de una recta se define como:

Si se conocen dos puntos que pertenecen a una misma una Si se conocen dos puntos que pertenecen a una misma una recta: recta:

PP11(x(x11,y,y11) y P) y P22(x(x22,y,y22)) y y

siendo xsiendo x11≠x≠x22

12

12

xx

yym

Valor del ángulo de inclinación:Valor del ángulo de inclinación: A partir de la ecuación de la pendiente, el valor del A partir de la ecuación de la pendiente, el valor del

ángulo está dado por:ángulo está dado por:

)(1 mtg

Ejemplos:

1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A(-6,-4) y B(8,3).

2. Trazar la recta que pasa por el punto P(-3,2) cuya pendiente es igual a 4/5.

CONDICIONES DE PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Paralelismo: Paralelismo:

Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son Dos rectas son paralelas si el valor de sus pendientes son iguales, es decir:iguales, es decir:

mm11=m=m22

Perpendicularidad:Perpendicularidad: DDos rectas son perpendiculares si:os rectas son perpendiculares si:

1.1. El producto de sus pendientes es igual menos uno. Es decir: El producto de sus pendientes es igual menos uno. Es decir:

m1m2=-1m1m2=-1

2.2. Cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de Cuando la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta. Es decir:signo contrario de la pendiente de la otra recta. Es decir:

21

1

mm

12

1

mm o

1.2.3 POLÍGONOS

Los criterios para calcular el perímetro y área de un polígono son:Los criterios para calcular el perímetro y área de un polígono son: La representación gráfica de la figura cuyo perímetro y área se La representación gráfica de la figura cuyo perímetro y área se

busca.busca. El cálculo de la distancia de sus ladosEl cálculo de la distancia de sus lados Obtener el Perímetro sumando la longitud de cada uno de sus Obtener el Perímetro sumando la longitud de cada uno de sus

lados.lados. Calcular el área aplicando l a fórmula correspondiente, de Calcular el área aplicando l a fórmula correspondiente, de

acuerdo a la polígono que se trate. acuerdo a la polígono que se trate.

Área de un polígono en función de las coordenadas de Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices:sus vértices:La siguiente expresión en forma de determinante se emplea La siguiente expresión en forma de determinante se emplea para calcular el área de cualquier polígono, cuando se conocen para calcular el área de cualquier polígono, cuando se conocen sus vértices.sus vértices.

)(2

1312312133221

33

22

11

yxyxyxyxyxyx

yx

yx

yx

A

Ejemplo:Ejemplo:

1.1. Hallar el área y el perímetro del cuadrilátero cuyos Hallar el área y el perímetro del cuadrilátero cuyos vértices son: A(-3,3), B(4,4), C(-4,-3) y D(3,-5)vértices son: A(-3,3), B(4,4), C(-4,-3) y D(3,-5)

BIBLIOGRAFIA:

• Vásquez Salazar Pedro, Luis M. C. Matemáticas III. Editorial Nueva Imagen S.A de C.V. segunda Edición. México 2007.

• Ortiz Campos Francisco. Matemáticas III. Publicaciones Cultural. Primera Edición, México 2005.

• Lehmann Charles. Geometría Analítica. Editorial LIMUSA. México 2006.

• Garza Olvera Benjamín. Matemáticas. Geometría Analítica. Colección DGTI. México 1998