Simuladao de Matematica

7/21/2019 Simuladao de Matematica

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Simulado de Matemtica 2015www.nsaulasparticulares.com.br Pgina 1 de 60

Simulado de Matemtica 2015

1.(Unicamp 2014) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a previso da oferta de energia noBrasil em 2030, segundo o Plano Nacional de Energia.

Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do pas ir atingir 557 milhes de tep(toneladas equivalentes de petrleo). Nesse caso, podemos prever que a parcela oriunda defontes renovveis, indicada em cinza na figura, equivaler aa) 178,240 milhes de tep.b) 297,995 milhes de tep.c) 353,138 milhes de tep.d) 259,562 milhes de tep.

2.(Unifor 2014) Aps acionar um flash de uma cmera, a bateria imediatamente comea arecarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga eltrica dada por

t2

0Q(t) Q 1 e ,

onde 0Q a capacidade mxima da carga e t medido em segundos.

O tempo que levar para o capacitor recarregar 90% da capacidade de:Dado ln10 = 2,3.a) 2,6 segundos.b) 3,6 segundos.c) 4,6 segundos.d) 5,6 segundos.e) 6,6 segundos.


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3.(Fuvest 2015) A grafite de um lpis tem quinze centmetros de comprimento e doismilmetros de espessura. Dentre os valores abaixo, o que mais se aproxima do nmero detomos presentes nessa grafite

Nota:1) Assuma que a grafite um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite

o dimetro da base do cilindro.2) Adote os valores aproximados de:32,2g/cm para a densidade da grafita;

12g/mol para a massa molar do carbono;23 16,0 10 mol para a constante de Avogadro

a) 235 10

b) 231 10

c) 225 10

d) 221 10

e) 215 10

4.(Ufg 2014) A figura a seguir mostra duas retas que modelamo crescimento isolado de duasespcies (A e B) de angiospermas.

Em um experimento, as duas espcies foram colocadas em um mesmo ambiente, obtendo-seos modelos de crescimento em associao, para o nmero de indivduos das espcies A e B,

em funo do nmero t de semanas, dados pelas equaes Ap (t) 35 2 t e Bp (t) 81 4 t, respectivamente.

Considerando-se os modelos de crescimento isolado e em associao, conclui-se que asemana na qual o nmero de indivduos das duas espcies ser igual, no modelo isolado, e otipo de interao biolgica estabelecida so, respectivamente:

a) 4 e comensalismo.b) 2 e comensalismo.c) 2 e competio.d) 2 e parasitismo.e) 4 e competio.

5.(Fuvest 2012) Francisco deve elaborar uma pesquisa sobre dois artrpodes distintos. Elessero selecionados, ao acaso, da seguinte relao: aranha, besouro, barata, lagosta, camaro,formiga, caro, caranguejo, abelha, carrapato, escorpio e gafanhoto.Qual a probabilidade de que ambos os artrpodes escolhidos para a pesquisa de Franciscono sejam insetos?

a)49

144

b)14

33

c)7

22

d)5

22

e)15

144


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6.(Pucrj 2015) A quantidade de anagramas da palavra CONCURSO :a) 2520 b) 5040 c) 10080 d) 20160 e) 40320

TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO:Uma loja identifica seus produtos com um cdigo que utiliza 16 barras, finas ou grossas. Nessesistema de codificao, a barra fina representa o zero e a grossa o 1. A converso do cdigo

em algarismos do nmero correspondente a cada produto deve ser feita de acordo com estatabela:Cdigo Algarismo Cdigo Algarismo

0000 0 0101 50001 1 0110 60010 2 0111 70011 3 1000 80100 4 1001 9

Observe um exemplo de cdigo e de seu nmero correspondente:

7.(Uerj 2015) Considere o cdigo abaixo, que identifica determinado produto.

Esse cdigo corresponde ao seguinte nmero:a) 6835b) 5724c) 8645

d) 9768

8.(Ufsm 2015) Cada grama de sal de cozinha contm 0,4 grama de sdio, on essencial parao organismo, pois facilita a reteno de gua. Porm, o consumo excessivo de sal podesobrecarregar o sistema cardiovascular. O Ministrio da Sade recomenda a ingesto de 5 gramas de sal por dia, entretanto pesquisas apontam que os brasileiros consomem, em mdia,10 gramas de sal diariamente.

A tabela a seguir mostra a quantidade de sdio (em miligramas) presente em alguns alimentos.

Bebidas

Refrigerante(1 copo)

gua de coco(1 unidade)

10 mg 66 mg

Pratos

Macarro instantneo(1 pacote)

Hambrguer com fritas(1 poro)

1951mg 1810 mg

SobremesasPaoca (1 unidade)

Sorvete de flocos(1 bola)

41mg 37mg

Disponvel em: http://www.drauziovarella.com.br/hipertensao/o-sal-na-dieta.Acesso em: 15 set. 2014. (adaptado)

Com base na tabela, o nmero de refeies com uma bebida, um prato e uma sobremesa que

no ultrapassa o limite dirio de sdio recomendado pelo Ministrio da Sade igual aa) 8. b) 5. c) 4. d) 3. e) 2.


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9.(Espcex (Aman) 2015) O termo independente de x no desenvolvimento de10

32

1x

x

igual aa) 110.b) 210.

c) 310.d) 410.e) 510.

10.(Pucpr 2015) Em uma enquete, com 500 estudantes, sobre a preferncia de cada um comtrs tipos diferentes de sucos (laranja, manga e acerola), chegou-se ao seguinte resultado:300 estudantes gostam do suco de laranja; 200 gostam do suco de manga; 150 gostam dosuco de acerola; 75 gostam dos sucos de laranja e acerola; 100 gostam dos sucos de laranjae manga; 10 gostam dos trs sucos e 65 no gostam de nenhum dos trs sucos.

O nmero de alunos que gosta dos sucos de manga e acerola :a) 40.

b) 60. c) 120. d) 50. e) 100.

11.(Uerj 2015) De acordo com os dados do quadrinho, apersonagem gastou R$ 67,00 na compra

de x lotes de ma, y meles e quatro

dzias de bananas, em um total de 89unidades de frutas.Desse total, o nmero de unidades demas comprado foi igual a:

a) 24b) 30c) 36d) 42

12.(Ufsm 2015) Um piscicultor cria alevinos em um tanque de 2500 litros. Para garantir odesenvolvimento dos peixes, o piscicultor necessita que a salinidade da gua do tanque sejade 18 gramas de sal por litro. Nesse tanque, foram misturadas gua salobra com 25,5 gramasde sal por litro e gua doce com 0,5 grama de sal por litro.A quantidade, em litros, de gua salobra e doce que deve estar presente no tanque de,respectivamente,a) 2370 e 130. b) 2187,5 e 312,5. c) 1750 e 750.

d) 1562,5 e 937,5. e) 1250 e 1250.


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13.(Unicamp 2015) Considere o polinmio 3 2p(x) x x ax a, onde a um nmero real.

Se x 1 a nica raiz real de p(x), ento podemos afirmar que

a) a 0. b) a 1. c) a 0.

d) a 1.

14.(Unesp 2015) Em uma dissertao de mestrado, a autora investigou a possvel influnciado descarte de leo de cozinha na gua. Diariamente, o nvel de oxignio dissolvido na guade 4 aqurios, que continham plantas aquticas submersas, foi monitorado.

Cada aqurio continha diferentes composies do volume ocupado pela gua e pelo leo decozinha, conforme consta na tabela.

percentual do volume I II III IV

leo 0 10 20 30

gua 100 90 80 70

Como resultado da pesquisa, foi obtido o grfico, que registra o nvel de concentrao deoxignio dissolvido na gua (C), em partes por milho (ppm), ao longo dos oito dias deexperimento (T).

Tomando por base os dados e resultados apresentados, correto afirmar que, no perodo enas condies do experimento,a) no h dados suficientes para se estabelecer o nvel de influncia da quantidade de leo na

gua sobre o nvel de concentrao de oxignio nela dissolvido.b) quanto maior a quantidade de leo na gua, maior a sua influncia sobre o nvel de

concentrao de oxignio nela dissolvido.c) quanto menor a quantidade de leo na gua, maior a sua influncia sobre o nvel de

concentrao de oxignio nela dissolvido.d) quanto maior a quantidade de leo na gua, menor a sua influncia sobre o nvel de

concentrao de oxignio nela dissolvido.e) no houve influncia da quantidade de leo na gua sobre o nvel de concentrao de

oxignio nela dissolvido.


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15.(Uerj 2015) Um tringulo equiltero possui permetro P, em metros, e rea A , em metros

quadrados. Os valores de P e A variam de acordo com a medida do lado do tringulo.

Desconsiderando as unidades de medida, a expresso Y P A indica o valor da diferenaentre os nmeros P e A .

O maior valor de Y igual a:

a) 2 3

b) 3 3

c) 4 3

d) 6 3

16.(Pucrj 2015) Sejam as funes 2f(x) x 6x e g(x) 2x 12.

O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f(x) g(x) :

a) 8 b) 12

c) 60 d) 72 e) 120

17.(Fuvest 2015) A trajetria de um projtil, lanado da beira de um penhasco sobre umterreno plano e horizontal, parte de uma parbola com eixo de simetria vertical, comoilustrado na figura abaixo. O ponto P sobre o terreno, p da perpendicular traada a partir doponto ocupado pelo projtil, percorre 30 m desde o instante do lanamento at o instante em

que o projtil atinge o solo. A altura mxima do projtil, de 200 m acima do terreno, atingida

no instante em que a distncia percorrida por P, a partir do instante do lanamento, de 10 m.

Quantos metros acima do terreno estava o projtil quando foi lanado?

a) 60 b) 90 c) 120 d) 150 e) 180

18.(Fuvest 2015) A equao 2 2x 2x y my n, em que m e n so constantes,

representa uma circunferncia no plano cartesiano. Sabe-se que a reta y x 1 contm o

centro da circunferncia e a intersecta no ponto ( 3, 4). Os valores de m e n so,

respectivamente,a) 4 e 3 b) 4 e 5 c) 4 e 2

d) 2 e 4 e) 2 e 3


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19.(Espcex (Aman) 2015) O ponto simtrico do ponto (1,5) em relao reta de equao

2x 3y 4 0 o ponto

a) 3, 1 .

b) 1, 2 .

c) 4,4 .

d) 3,8 .

e) 3,2 .

20.(Pucrj 2015) Sejam re s as retas de equaes y x 2 ex 5

y ,2 2

respectivamente,

representadas no grfico abaixo. Seja A o ponto de interseo das retas re s.Sejam B e C os pontos de interseo de re s com o eixo horizontal, respectivamente.

A rea do tringulo ABC vale:a) 1,0

b) 1,5 c) 3,0

d) 4,5 e) 6,0

21.(Pucrj 2015) O volume do slido gerado pela rotao de um quadrado de lado 3 cm em

torno de um dos seus lados , em 3cm : a) 3 b) 6 c) 9 d) 18

e) 27

22.(Fuvest 2015) O slido da figura formado pelapirmide SABCD sobre o paraleleppedo retoABCDEFGH. Sabe-se que S pertence reta

determinada por A e E e que AE 2cm, AD 4cm

e AB 5cm. A medida do segmento SA que faz com que o volume

do slido seja igual a4

3do volume da pirmide

SEFGH

a) 2 cm b) 4 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 10 cm


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23.(Uerj 2015) Um recipiente com a forma de um cone circular reto de eixo vertical recebe

gua na razo constante de 31 cm s. A altura do cone mede 24 cm, e o raio de sua base

mede 3 cm.

Conforme ilustra a imagem, a altura h do nvel da gua no recipiente varia em funo do tempot em que a torneira fica aberta. A medida de h corresponde distncia entre o vrtice do conee a superfcie livre do lquido.

Admitindo 3, a equao que relaciona a altura h, em centmetros, e o tempo t , em

segundos, representada por:

a) 3h 4 t b) 3h 2 t c) h 2 t d) h 4 t

24.(Uece 2014) Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 hexgonos e 12 pentgonos. Onmero de vrtices deste polgonoa) 90.

b) 72.c) 60.d) 56.

25.(Unifor 2014) Os pneus de uma bicicleta tm raio R e seus centros distam 3R. Almdisso, a reta t passa por P e tangente circunferncia do pneu, formando um ngulo com a reta s que liga os dois centros.

Pode-se concluir que cos

a)2 3

3 b)

3 2

2 c)

3 3

2 d)

2 2

3 e)

3

3

26.(Uea 2014) Caminhando 100 metros pelo contorno de uma praa circular, uma pessoadescreve um arco de 144. Desse modo, correto afirmar que a medida, em metros, do raio dacircunferncia da praa

a) 125 b)

175

c)

125

d)

250

e) 250


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27.(Uerj 2015) Uma chapa de ao com a forma de um setor circular possui raio R e permetro3R, conforme ilustra a imagem.

A rea do setor equivale a:

a) 2R

b)2R

4

c)

2R

2

d)23R

2

28.(Upe 2014) Um tringulo UPE retngulo, as medidas de seus lados so expressas, emcentmetros, por nmeros naturais e formam uma progresso aritmtica de razo 5. Quantomede a rea do tringulo UPE?a) 15 cm2b) 25 cm2c) 125 cm2d) 150 cm2e) 300 cm2

29.(Upf 2014) A figura a seguir representa, em sistemas coordenados com a mesma escala,

os grficos das funes reais f e g, com 2f(x) x e g(x) x.

Sabendo que a regio poligonal T demarca um trapzio de rea igual a 160, o nmero real c :a) 2 b) 1,5

c) 2 d) 1e) 0,5


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30.(Acafe 2014) Analise as proposies abaixo e classifique-as em V - verdadeiras ou F -falsas.

( ) O tringulo ABC equiltero e seu permetro 12cm. Sabendo que temos umacircunferncia inscrita e outra circunscrita ao tringulo ABC, ento, a razo entre a rea

da circunferncia inscrita e a rea da circunferncia circunscrita 1

.4

( ) Uma das diagonais de um quadrado est contida na reta x y 4 0. Sabendo que a

reta suporte da outra diagonal passa pelo ponto de coordenadas (5, 3), pode-se

concluir que o permetro desse quadrado, em unidades de comprimento, igual a 16 2.

( ) Na figura abaixo, ABCD, um quadrado inscrito num tringulo PRQ. Sendo RQ 36cm ea altura relativa a essa base igual a 24cm, ento, a rea da regio hachurada vale,aproximadamente, 225cm2.

A sequncia correta, de cima para baixo, :a) V - V - Fb) V - F - Vc) V - F - Fd) F - F - V

31.(Unesp 2015) Em 09 de agosto de 1945, uma bomba atmica foi detonada sobre a cidadejaponesa de Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto que ficaria

conhecido como marco zero.

No filme Wolverine Imortal, h uma sequncia de imagens na qual o heri, acompanhado domilitar japons Yashida, se encontrava a 1km do marco zero e a 50 m de um poo. No

momento da exploso, os dois correm e se refugiam no poo, chegando nesse local nomomento exato em que uma nuvem de poeira e material radioativo, provocada pela exploso,passa por eles.

A figura a seguir mostra as posies do marco zero, da exploso da bomba, do poo e dospersonagens do filme no momento da exploso da bomba.


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Se os ventos provocados pela exploso foram de 800 km h e adotando a aproximao

5 2,24, os personagens correram at o poo, em linha reta, com uma velocidade mdia,em km h, de aproximadamente

a) 28.

b) 24.c) 40. d) 36. e) 32.

32.(Fuvest 2015) No tringulo retngulo ABC, ilustrado na figura, a hipotenusa AC mede12cm e o cateto BC mede 6cm.

Se M o ponto mdio de BC, ento a tangente do ngulo MAC igual a

a)2

7

b)3

7

c)2

7

d)2 2

7

e)2 3

7


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33.(Pucpr 2015) Um mineroduto uma extensa tubulao para levar minrio de ferro extradode uma mina at o terminal de minrio para beneficiamento. Suponha que se pretenda instalarum mineroduto em uma mina que est margem de um rio com 200 metros de largura at umporto situado do outro lado do rio, 3.000 metros abaixo. O custo para instalar a tubulao norio R$10,00 o metro e o custo para instalar a tubulao em terra R$6,00 o metro. Estudosmostram que, neste caso, o custo ser minimizado se parte do duto for instalada por terra e

parte pelo rio. Determine o custo de instalao do duto em funo de x, em que x adistncia da mina at o ponto P, como mostra a figura.

a) C(x) 6x 10 200 3000 x

b) 22C(x) 6 200 3000 x 10x

c) 22C(x) 4 200 3000 x

d) 22C(x) 6x 10 200 3000 x

e) 22C(x) 10 200 3000 x

34.(Espm 2014) A figura abaixo mostra a trajetria de um mvel a partir de um ponto A, com

BC CD, DE EF, FG GH, HI IJ e assim por diante.

Considerando infinita a quantidade desses segmentos, a distncia horizontal AP alcanadapor esse mvel ser de:a) 65 mb) 72 m

c) 80 md) 96 me) 100 m

35.(Uerj 2015) Considere uma mercadoria que teve seu preo elevado de x reais para y

reais. Para saber o percentual de aumento, um cliente dividiu y por x, obtendo quociente igual

a 2,08 e resto igual a zero.

Em relao ao valor de x, o aumento percentual equivalente a:

a) 10,8%b) 20,8%c) 108,0

d) 208,0%


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36.(Unicamp 2015) Uma compra no valor de 1.000 reais ser paga com uma entrada de

600 reais e uma mensalidade de 420 reais. A taxa de juros aplicada na mensalidade igual a

a) 2%. b) 5%.c) 8%.

d) 10%.

37.(Pucrj 2015) Dois descontos sucessivos de 3% no preo de uma mercadoria equivalem aum nico desconto de:a) menos de 6%b) 6%c) entre 6% e 9%d) 9%e) mais de 9%

38.(Unesp 2015) Para divulgar a venda de um galpo retangular de 25.000 m , uma imobiliria

elaborou um anncio em que constava a planta simplificada do galpo, em escala, conforme

mostra a figura.

O maior lado do galpo mede, em metros,a) 200. b) 25. c) 50. d) 80. e) 100.

39.(Uerj 2015) Na imagem da etiqueta, informa-se o valor a ser pago por 0,256 kg de peito deperu.

O valor, em reais, de um quilograma desse produto igual a:a) 25,60b) 32,76c) 40,00d) 50,00


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40.(Pucrj 2015) A soma dos valores inteiros que satisfazem a desigualdade 2x 6x 8 :a) 9 b) 6 c) 0 d) 4

e) 9

41.(Uerj 2014) Em um recipiente com a forma de um paraleleppedo retngulo com 40cm decomprimento, 25cm de largura e 20cm de altura, foram depositadas, em etapas, pequenas

esferas, cada uma com volume igual a 30,5cm . Na primeira etapa, depositou-se uma esfera;na segunda, duas; na terceira, quatro; e assim sucessivamente, dobrando-se o nmero deesferas a cada etapa.Admita que, quando o recipiente est cheio, o espao vazio entre as esferas desprezvel.

Considerando 102 1000, o menor nmero de etapas necessrias para que o volume total deesferas seja maior do que o volume do recipiente :a) 15b) 16

c) 17d) 18

42.(Uerj 2015) Observe a matriz A , quadrada e de ordem trs.

0,3 0,47 0,6

A 0,47 0,6 x

0,6 x 0,77

Considere que cada elemento ija dessa matriz o valor do logaritmo decimal de (i j).

O valor de x igual a:

a) 0,50b) 0,70c) 0,77d) 0,87

43.(Unesp 2015) No artigo Desmatamento na Amaznia Brasileira: com que intensidade vemocorrendo?, o pesquisador Philip M. Fearnside, do INPA, sugere como modelo matemtico

para o clculo da rea de desmatamento a funo k tD(t) D(0) e , em que D(t) representa a

rea de desmatamento no instante t, sendo t medido em anos desde o instante inicial, D(0) a

rea de desmatamento no instante inicial t 0, e k a taxa mdia anual de desmatamento daregio. Admitindo que tal modelo seja representativo da realidade, que a taxa mdia anual dedesmatamento (k) da Amaznia seja 0,6% e usando a aproximao n 2 0,69, o nmero de

anos necessrios para que a rea de desmatamento da Amaznia dobre seu valor, a partir deum instante inicial prefixado, aproximadamentea) 51. b) 115. c) 15. d) 151. e) 11.

44.(Pucrj 2015) Se 1 2log x 3, ento23 x x vale:

a) 3 4 b) 6 c) 28 d) 50 e) 66


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45.(Unicamp 2015) Considere a matriza 0

A ,b 1

onde a e b so nmeros reais. Se

2A A e A invertvel, entoa) a 1 e b 1. b) a 1 e b 0.

c) a 0 e b 0. d) a 0 e b 1.

46.(Mackenzie 2014) Se a matriz

1 x y z 3y z 2

4 5 5

y 2z 3 z 0

simtrica, o valor de x a) 0 b) 1 c) 6 d) 3 e)5

47.(Enem 2014) Ao final de uma competio de cincias em umaescola, restaram apenastrs candidatos. De acordo com as regras, o vencedor ser o candidato que obtiver a maiormdia ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas qumica e fsica,considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas so sempre nmerosinteiros. Por questes mdicas, o candidato II ainda no fez a prova final de qumica. No diaem que sua avaliao for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas asdisciplinas, j tero sido divulgadas.O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais.

Candidato Qumica Fsica

I 20 23

II X 25 III 21 18

A menor nota que o candidato II dever obter na prova final de qumica para vencer acompetio a) 18. b) 19. c) 22.d) 25. e) 26.

48.(Insper 2014) Para fazer parte do time de basquete de uma escola, necessrio ter, no

mnimo, 11 anos. A mdia das idades dos cinco jogadores titulares desse time 13 anos,sendo que o mais velho deles tem 17 anos. Dessa forma, o segundo mais velho do time titularpode ter, no mximo,a) 17 anos.b) 16 anos.c) 15 anos.d) 14 anos.e) 13 anos.

49.(Pucpr 2015) Se (x 2) um fator do polinmio 3 2x kx 12x 8, ento, o valor de k

igual a:a) 3. b) 2. c) 3. d) 6. e) 6.


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50.(Espcex (Aman) 2015) O polinmio 5 3 2f(x) x x x 1, quando dividido por3q(x) x 3x 2 deixa resto r(x).

Sabendo disso, o valor numrico de r( 1)

a) 10.

b) 4.

c) 0.

d) 4.

e) 10.

51.(Unesp 2014) O polinmio 3P(x) a x 2 x b divisvel por x2 e, quando divisvel

por x + 3, deixa resto45. Nessas condies, os valores de a e b, respectivamente, soa) 1 e 4.b) 1 e 12.c)1 e 12.d) 2 e 16.e) 1 e12.

52.(Insper 2014) Sendo x e y dois nmeros reais no nulos, a expresso 2 2 1(x y )

equivalente a

a)2 2

2 2

x y.

x y

b)2

xy.

x y

c)2 2x y

.2

d) 2x y .

e) 2 2x y .

53.(G1 - ifsp 2014) Leia as notcias:A NGC 4151 est localizada a cerca de 43 milhes de anos-luz da Terra e se enquadra entreas galxias jovens que possui um buraco negro em intensa atividade. Mas ela no slembrada por esses quesitos. A NGC 4151 conhecida por astrnomos como o olho deSauron, uma referncia ao vilo do filme O Senhor dos Anis.

(http://www1.folha.uol.com.br/ciencia/887260-galaxia-herda-nome-de-vilao-do-filme-o-senhor-dos-aneis.shtml Acesso em: 27.10.2013.)

Cientistas britnicos conseguiram fazer com que um microscpio tico conseguisse enxergar

objetos de cerca de 0,00000005 m, oferecendo um olhar indito sobre o mundo nanoscpico.(http://noticias.uol.com.br/ultnot/cienciaesaude/ultimas-noticias/bbc/2011/03/02/

com-metodo-inovador-cientistas-criam-microscopio-mais-potente-do-mundo.jhtm Acesso em:27.10.2013. Adaptado)

Assinale a alternativa que apresenta os nmeros em destaque no texto, escritos em notaocientfica.

a) 7 84,3 10 e 5,0 10 .

b) 7 84,3 10 e 5,0 10 .

c) 7 84,3 10 e 5,0 10 .

d) 6 74,3 10 e 5,0 10 .

e) 6 74,3 10 e 5,0 10 .


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54.(Fuvest 2015) De um baralho de 28 cartas, sete de cada naipe, Lus recebe cinco cartas:duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus. Ele mantm consigo as duascartas de ouros e troca as demais por trs cartas escolhidas ao acaso dentre as 23 cartas quetinham ficado no baralho. A probabilidade de, ao final, Lus conseguir cinco cartas de ouros :

a)

1

130

b)1

420

c)10

1771

d)25

7117

e)52

8117

55.(Ufsm 2015) A tabela a seguir mostra o nmero de internaes hospitalares da populao

idosa ( 60 ou mais anos de idade), numa determinada regio, de acordo com as causas dainternao.Causas N de internaesDoenas cardacas 80 Doenas cerebrovasculares 49 Doenas pulmonares 43 Doenas renais 42 Diabetes melito 35 Fraturas de fmur e ossos dos membros 26 Hipertenso arterial 24 Infeco de pele e tecido subcutneo 11

Pneumonia bacteriana 77 lcera 13

Considere que hipertenso arterial, doenas renais, doenas cardacas e osteoporose estoassociadas ao consumo excessivo de sdio e que as fraturas de fmur e ossos dos membrosso causadas pela osteoporose.

Assim, a probabilidade de um idoso internado, escolhido ao acaso, ter como diagnsticoprincipal uma doena associada ao consumo excessivo de sdio, de acordo com a tabela, igual aa) 0,430. b) 0,370. c) 0,365. d) 0,325. e) 0,230.

56.(Pucrj 2015) Em uma urna existem 10 bolinhas de cores diferentes, das quais sete tmmassa de 300 gramas cada e as outras trs tm massa de 200 gramas cada. Sero retiradas3 bolinhas, sem reposio.

A probabilidade de que a massa total das 3 bolinhas retiradas seja de 900 gramas de:a) 3 10

b) 7 24

c) 7 10

d) 1 15 e) 9 100


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57.(Unesp 2015) Uma loja de departamentos fez uma pesquisa de opinio com 1.000 consumidores, para monitorar a qualidade de atendimento de seus servios. Um dosconsumidores que opinaram foi sorteado para receber um prmio pela participao napesquisa.

A tabela mostra os resultados percentuais registrados na pesquisa, de acordo com asdiferentes categorias tabuladas.

categorias percentuaistimo 25 regular 43 pssimo 17 no opinaram 15

Se cada consumidor votou uma nica vez, a probabilidade de o consumidor sorteado estarentre os que opinaram e ter votado na categoria pssimo , aproximadamente,a) 20%.

b) 30%. c) 26%. d) 29%. e) 23%.

58.(Enem 2014) Para analisar o desempenho de um mtodo diagnstico, realizam-se estudosem populaes contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situaes distintas podemacontecer nesse contexto de teste:

1. Paciente TEM a doena e o resultado do teste POSITIVO.2. Paciente TEM a doena e o resultado do teste NEGATIVO.3. Paciente NO TEM a doena e o resultado do teste POSITIVO.

4. Paciente NO TEM a doena e o resultado do teste NEGATIVO.Um ndice de desempenho para avaliao de um teste diagnstico a sensibilidade, definidacomo a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com adoena.O quadro refere-se a um teste diagnstico para a doena A, aplicado em uma amostracomposta por duzentos indivduos.

Resultado doTeste

Doena A

Presente Ausente

Positivo 95 15

Negativo 5 85

BENSEOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prtica. So Paulo: Sarvier,2011 (adaptado).

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele dea) 47,5% b) 85,0% c) 86,3% d) 94,4% e) 95,0%


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59.(G1 - ifce 2014) Considere o lanamento simultneo de dois dados distinguveis e noviciados, isto , em cada dado, a chance de se obter qualquer um dos resultados (1, 2, 3, 4, 5,6) a mesma. A probabilidade de que a soma dos resultados seja 8

a)1

.36

b)5

.36

c)1

.2

d)1

.3

e)1

.18

60.(Pucrj 2015) Os nmeros 1a 5x 5, 2a x 14 e 3a 6x 3 esto em PA.A soma dos 3 nmeros igual a:a) 48 b) 54 c) 72 d) 125 e) 130

61.(Fuvest 2015) Dadas as sequncias 2na n 4n 4, 2n

nb 2 , n n 1 nc a a e

n 1n

n

bd ,

b definidas para valores inteiros positivos de n, considere as seguintes afirmaes:

I. na uma progresso geomtrica;

II. nb uma progresso geomtrica;

III. nc uma progresso aritmtica;

IV. nd uma progresso geomtrica.

So verdadeiras apenasa) I, II e III.b) I, II e IV.c) I e III.d) II e IV.

e) III e IV.

62.(Ufsm 2015) Em 2011, o Ministrio da Sade firmou um acordo com a Associao dasIndstrias de Alimentao (Abio) visando a uma reduo de sdio nos alimentosindustrializados. A meta acumular uma reduo de 28.000 toneladas de sdio nos prximosanos.Suponha que a reduo anual de sdio nos alimentos industrializados, a partir de 2012, sejadada pela sequncia:

(1.400, 2.000, 2.600,..., 5.600)

Assim, assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmaes a seguir.

( ) A sequncia uma progresso geomtrica de razo 600. ( ) A meta ser atingida em 2019.( ) A reduo de sdio nos alimentos industrializados acumulada at 2015 ser de 3.200

toneladas.

A sequncia correta a) F V V.b) V F V.c) V V F.d) F V F.e) F F V.


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63.(Espcex (Aman) 2015) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela unio de infinitossemicrculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicrculo(o maior) igual a 1 e o raio de cada semicrculo igual metade do semicrculo anterior, ocomprimento da espiral igual a

a) .

b) 2 .

c) 3 .

d) 4 . e) 5 .

64.(Udesc 2014) Considere a funo 2x 5f(x) 2 . Sejam 1 2 3(a ,a ,a ,...) uma progresso

aritmtica de razo 3 e 11

f(a ) .8

Analise as proposies.

I. 53a 157

II. A soma dos 11 primeiros termos da progresso aritmtica 145.

III. 215f(a ) 2

IV. 1 2 3(f(a ),f(a ),f(a ),...) uma progresso geomtrica de razo 64.

Assinale a alternativa correta.a) Somente as afirmativas I e III so verdadeiras.b) Somente as afirmativas I, III e IV so verdadeiras.c) Somente as afirmativas I e II so verdadeiras.d) Somente as afirmativas III e IV so verdadeiras.e) Todas as afirmativas so verdadeiras.

65.(Pucrj 2015) O valor de 2 6 0 3 63 1 1,2 4 :

a) 13 b) 15 c) 17 d) 19 e) 21

66.(Fuvest 2015) No sistema linear

ax y 1

y z 1 ,

x z m

nas variveis x, y e z, a e m so

constantes reais. correto afirmar:a) No caso em que a 1, o sistema tem soluo se, e somente se, m 2. b) O sistema tem soluo, quaisquer que sejam os valores de a e de m. c) No caso em que m 2, o sistema tem soluo se, e somente se, a 1.

d) O sistema s tem soluo se a m 1. e) O sistema no tem soluo, quaisquer que sejam os valores de a e de m.


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67.(Ufg 2014) Em um determinado parque, existe um circuito de caminhada, como mostra afigura a seguir.

Um atleta, utilizando um podmetro, percorre em um dia a pista 1 duas vezes, atravessa aponte e percorre a pista 2 uma nica vez, totalizando 1157 passos. No dia seguinte, percorre a

pista 1 uma nica vez, atravessa a ponte e percorre a pista 2, tambm uma nica vez,totalizando 757 passos. Alm disso, percebe que o nmero de passos necessrios parapercorrer sete voltas na pista 1 equivale ao nmero de passos para percorrer oito voltas napista 2. Diante do exposto, conclui-se que o comprimento da ponte, em passos, :a) 5b) 6c) 7d) 8e) 15

68.(Pucrj 2015) Sabendo que3

x2

e

1sen (x) ,

3 correto afirmar que sen (2x) :

a) 23

b) 16

c) 38

d) 127

e) 4 29

69.(Upe 2014) Um relgio quebrou e est marcando a hora representada a seguir:

Felizmente os ponteiros ainda giram na mesma direo, mas a velocidade do ponteiro menor

equivale a9

8da velocidade do ponteiro maior. Depois de quantas voltas, o ponteiro pequeno

vai encontrar o ponteiro grande?a) 3,0b) 4,0c) 4,5d) 6,5e) 9,5


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70.(Insper 2014) Na figura abaixo, em que o quadrado PQRS est inscrito na circunferncia

trigonomtrica, os arcos AP e AQ tm medidas iguais a e , respectivamente, com

0 .

Sabendo que cos 0,8, pode-se concluir que o valor de cos

a) 0, 8.b) 0, 8.c) 0, 6.d) 0, 6.e) 0, 2.

71.(G1 - ifce 2014) Considere um relgio analgico de doze horas. O ngulo obtuso formadoentre os ponteiros que indicam a hora e o minuto, quando o relgio marca exatamente 5 horase 20 minutos, a) 330.b) 320.

c) 310.d) 300.e) 290.

72.(Ufsm 2015) Cerca de 24,3% da populao brasileira hipertensa, quadro que pode seragravado pelo consumo excessivo de sal. A variao da presso sangunea P (em mmHg) deum certo indivduo expressa em funo do tempo por

8P(t) 100 20cos t

3

onde t dado em segundos. Cada perodo dessa funo representa um batimento cardaco.

Analise as afirmativas:

I. A frequncia cardaca desse indivduo de 80 batimentos por minuto.II. A presso em t 2 segundos de 110mmHg.

III. A amplitude da funo P(t) de 30mmHg.

Est(o) correta(s)a) apenas I.b) apenas I e II.c) apenas III.d) apenas II e III.

e) I, II e III.


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73.(Espcex (Aman) 2015) A populao de peixes em uma lagoa varia conforme o regime dechuvas da regio. Ela cresce no perodo chuvoso e decresce no perodo de estiagem. Esta

populao descrita pela expresso 3 t 2

P(t) 10 cos 56

em que o tempo t

medido em meses. correto afirmar que

a) o perodo chuvoso corresponde a dois trimestres do ano.b) a populao atinge seu mximo em t 6.

c) o perodo de seca corresponde a 4 meses do ano.d) a populao mdia anual de 6.000 animais.e) a populao atinge seu mnimo em t 4 com 6.000 animais.

74.(Mackenzie 2014) Seja 2g x x xcos sen . Se g x 0 e3

,2

ento x vale

a) somente 1b) somente1c)1 ou 0d)1 ou 1

e) 1 ou 075.(Unicamp 2015) A figura a seguir exibe um pentgono com todos os lados de mesmocomprimento.

A medida do ngulo igual aa) 105 . b) 120 . c) 135 . d) 150 .

76.(G1 - ifsp 2014) A base de um tringulo issceles mede 3 3cm e o ngulo oposto base

mede 120. A medida dos lados congruentes desse tringulo, em centmetros,

a) 3. b) 2. c) 3. d) 1 3. e) 2 3.

77.(Fgv 2013) Na figura, ABCDEF um hexgono regular de lado 1 dm, e Q o centro dacircunferncia inscrita a ele.

O permetro do polgono AQCEF, em dm, igual a

a) 4 2 b) 4 3 c) 6 d) 4 5 e) 2(2 2)


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78.(Ufjf 2012) Uma praa circular de raio R foi construda a partir da planta a seguir:

Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construdas no interior da praa, sendo que

AB 80 m. De acordo com a planta e as informaes dadas, CORRETOafirmarque a

medida de R igual a:

a)160 3

m3

b)80 3

m3

c)16 3

m3

d)8 3

m3

e)3

m3

79.(Unesp 2015) A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de umamesa de bilhar retangular ABCD, com caapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em

AB, representa a posio de uma bola de bilhar, sendo PB 1,5 m e PA 1,2 m. Aps uma

tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T, sendo a medida do

ngulo PTB igual 60 . Aps essa coliso, a bola segue, em trajetria reta, diretamente at acaapa D.

Nas condies descritas e adotando 3 1,73, a largura do tampo da mesa, em metros,

prxima dea) 2,42. b) 2,08. c) 2,28. d) 2,00. e) 2,56.


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80.(Unifor 2014) Uma rampa retangular, medindo 210 m , faz um ngulo de 25 em relao

ao piso horizontal. Exatamente embaixo dessa rampa, foi delimitada uma rea retangular A para um jardim, conforme figura.

Considerando que cos 25 0,9, a rea A tem aproximadamente:

a) 23 m

b) 24 m

c) 26 m

d) 28 m

e) 29 m

81.(Espcex (Aman) 2015) O valor de

cos 165 sen 155 cos 145 sen 25 cos 35 cos 15

a) 2.

b) 1.

c) 0. d) 1.

e)

1

.2

82.(Espcex (Aman) 2013) Os pontos P e Q representados no crculo trigonomtrico abaixocorrespondem s extremidades de dois arcos, ambos com origem em (1,0), denominadosrespectivamente e , medidos no sentido positivo. O valor de tg

a)3 3

3

b)3 3

3

c) 2 3

d) 2 3 e) 1 3


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83.(Unicamp 2015) O nmero mnimo de pessoas que deve haver em um grupo para quepossamos garantir que nele h pelo menos trs pessoas nascidas no mesmo dia da semana igual aa) 21.b) 20.

c) 15. d) 14.

84.(Uemg 2014) Na Copa das Confederaes de 2013, no Brasil, onde a seleo brasileira foicampe, o tcnico Luiz Felipe Scolari tinha sua disposio 23 jogadores de vrias posies,sendo: 3 goleiros, 8 defensores, 6 meio-campistas e 6 atacantes. Para formar seu time, com 11jogadores, o tcnico utiliza 1 goleiro , 4 defensores , 3 meio-campistas e 3 atacantes. Tendosempre Jlio Csar como goleiro e Fred como atacante, o nmero de times distintos que otcnico poder formar a) 14 000.b) 480.c) 8! + 4!d) 72 000.

85.(Unesp 2014) Um professor, ao elaborar uma prova composta de 10 questes de mltiplaescolha, com 5 alternativas cada e apenas uma correta, deseja que haja um equilbrio nonmero de alternativas corretas, a serem assinaladas com X na folha de respostas. Isto , eledeseja que duas questes sejam assinaladas com a alternativa A, duas com a B, e assim pordiante, como mostra o modelo.

Modelo de folha de resposta (gabarito)

A B C D E01 X02 X

03 X04 X05 X06 X07 X08 X09 X10 X

Nessas condies, a quantidade de folha de respostas diferentes, com a letra X disposta nasalternativas corretas, sera) 302 400.

b) 113 400.c) 226 800.d) 181 440.e) 604 800.

86.(Unicamp 2015) Sejam x e y nmeros reais tais que x yi 3 4i, onde i a unidade

imaginria. O valor de xy igual a

a) 2. b) 1. c) 1. d) 2.


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87.(Ufsm 2014) No plano complexo, o ponto 0z representa o local de instalao de uma

antena wireless na praa de alimentao de um shopping.

Os pontos z x yi que esto localizados no alcance mximo dessa antena satisfazem a

equao 0z z 30 .

De acordo com os dados, esses pontos pertencem circunferncia dada por

a) 2 2x y 20x 10y 775 0 .

b) 2 2x y 900 0 .

c) 2 2x y 10x 20y 775 0 .

d) 2 2x y 10x 20y 900 0 .

e) 2 2x y 20x 10y 900 0 .

88.(Uerj 2015) O segmento XY, indicado na reta numrica abaixo, est dividido em dez

segmentos congruentes pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.

Admita que X e Y representem, respectivamente, os nmeros1

6e

3.

2

O ponto D representa o seguinte nmero:

a)1

5

b)8

15

c)17

30

d)7

10


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89.(Fuvest 2014) O nmero real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem uma expanso decimal na qualos 999.999 primeiros dgitos direita da vrgula so iguais a 3. Os 1.000.001dgitos seguintesso iguais a 2 e os restantes so iguais a zero.Considere as seguintes afirmaes:

I. x irracional.

II. 10x3

III. 2.000.000x 10 um inteiro par.

Ento,a) nenhuma das trs afirmaes verdadeira.b) apenas as afirmaes I e II so verdadeiras.c) apenas a afirmao I verdadeira.d) apenas a afirmao II verdadeira.e) apenas a afirmao III verdadeira.

90.(Udesc 2014) Se TA e 1A representam, respectivamente, a transposta e a inversa da

matriz 2 3A ,4 8

ento o determinante da matriz T 1B A 2A igual a:

a)111

2

b)83

2

c) 166

d)97

2

e) 62

91.(Pucrs 2014) Dadas as matrizes A 1 2 3 e4

B 5 ,

6

o determinante det A B

igual aa) 18b) 21c) 32d) 126e) 720

92.(Espm 2014) Se as razes da equao 22x 5x 4 0 so m e n, o valor de1 1

m n

igual a:

a)5

4

b)3

2

c)3

4

d)7

4

e)5

2


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93. (Unifor 2014) Uma indstria de cimento contrata uma transportadora de caminhes parafazer a entrega de 60 toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a problemasoperacionais diversos, em certo dia, cada caminho foi carregado com 500 kg a menos que o

usual, fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse mais 4 caminhes para cumpriro contrato. Baseado nos dados acima se pode afirmar que o nmero de caminhes usadonaquele dia foi:

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

94.(Fuvest 2014) Sobre a equao2x 9 2(x 3)2 log | x x 1| 0, correto afirmar que

a) ela no possui razes reais.b) sua nica raiz real 3. c) duas de suas razes reais so 3 e 3. d) suas nicas razes reais so 3 , 0 e 1.

e) ela possui cinco razes reais distintas.

95.(Espcex (Aman) 2014) Se Y {y tal que6y 1 5y 10}, ento:

a)1

Y ,6

b) Y { 1}

c) Y d) Y

e)1

,6

96.(Unicamp 2015) Seja a um nmero real. Considere as parbolas de equaes cartesianas2y x 2x 2 e 2y 2x ax 3. Essas parbolas no se interceptam se e somente se

a) a 2.

b) a 2.

c) a 2 2.

d) a 2 2.

97.(Espcex (Aman) 2015) Um fabricante de poltronas pode produzir cada pea ao custo deR$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante vender por ms (600 x)

unidades, em que 0 x 600.

Assinale a alternativa que representa o nmero de unidades vendidas mensalmente quecorresponde ao lucro mximo.a) 150b) 250c) 350d) 450e) 550


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98.(Ufsm 2015) A gua essencial para a vida e est presente na constituio de todos osalimentos. Em regies com escassez de gua, comum a utilizao de cisternas para acaptao e armazenamento da gua da chuva.Ao esvaziar um tanque contendo gua da chuva, a expresso

21V(t) t 343200

representa o volume (em 3m ) de gua presente no tanque no instante t (em minutos).

Qual o tempo, em horas, necessrio para que o tanque seja esvaziado?a) 360.

b) 180. c) 120. d) 6. e) 3.

99.(Insper 2014) Um leitor enviou a uma revista a seguinte anlise de um livro recm-lanado,de 400 pginas:

O livro eletrizante, muito envolvente mesmo! A cada pgina terminada, mais rpido eu lia aprxima! No conseguia parar!

Dentre os grficos apresentados abaixo, o nico que poderia representar o nmero de pginaslidas pelo leitor (N) em funo do tempo (t) de modo a refletir corretamente a anlise feita

a) b)

c) d)

e)


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100.(Enem 2014) A figura mostra uma criana brincando em um balano no parque. A cordaque prende o assento do balano ao topo do suporte mede 2 metros. A criana toma cuidadopara no sofrer um acidente, ento se balana de modo que a corda no chegue a alcanar aposio horizontal.

Na figura, considere o plano cartesiano que contm a trajetria do assentodo balano, no quala origem est localizada no topo do suporte do balano, o eixo X paralelo ao cho doparque, e o eixo Y tem orientao positiva para cima.

A curva determinada pela trajetria do assento do balano parte do grfico da funo

a) 2f(x) 2 x

b) 2f(x) 2 x

c) 2f(x) x 2

d) 2f(x) 4 x

e) 2f(x) 4 x


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Gabarito:

Resposta da questo 1:[D]

Somando os percentuais indicados em cinza:

9,1% + 13,5% + 18,5% + 5,5% = 46,6%.

557 milhes 100% 557 46,6 x

x milhes 46,6% 100

x 259,562 milhes.

Resposta da questo 2:[C]

Questo anulada pelo gabarito oficial.

Queremos calcular t, para o qual se tem 0Q(t) 0,9 Q .

Lembrando que n a n b a b e cn a c n a, com a,b reais positivos e c real, vem:

t t12 2

0 0

t12

0,9 Q Q (1 e ) e 10

n e n 10

tn 10

2

t 2 n 10.

T = 2 2,3 = 4,6 s


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[Resposta do ponto de vista da disciplina de Qumica]Clculo do volume da grafita:

3 1

1

cilindro

2cilindro

1 2cilindro

3cilindro

3grafita

3

dimetro 2 mm de espessura 2 10 m 2 10 cm

raio 1mm de espessura 10 m

altura 15 cm

V (rea da base) (altura)

V r h

V (10 ) 15

V 0,471cm

d 2,2 g / cm

1cm

32,2 g

0,471cm grafita

grafita

m

m 1,0362 g

12 g de grafita

236,0 10 tomos de carbono

1,0362 g de grafita

22

x

x 5,18 10 tomos de carbono

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemtica]Tem-se que o volume de grafite dado por

2 2

3

d 0,2h 3,14 152 2

0,47cm .

Da, sabendo que a densidade da grafita 32,2 g cm , vem que a massa de grafite igual a

m 2,2 0,47 1,03 g.

Portanto, sendo n o nmero de tomos de carbono presentes nessa grafite, temos

2223

12n 1,03 n 5 10 .

6 10

Resposta da questo 4:[E]

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Biologia]Os modelos mostram uma interao ecolgica de competio entre as duas espcies deangiospermas que vivem no mesmo ambiente.

[Resposta do ponto de vista da disciplina de Matemtica]

Fazendo A Bp p , temos:

75 2,5t 81 t

1,5t 6

t 4 semanas


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Resposta de Biologia: So artrpodes da classe inseto: besouro, barata, formiga, abelha egafanhoto. Portanto, 5 animais. So artrpodes no insetos: aranha, escorpio, carrapato e

caro (aracndeos); lagosta, camaro e caranguejo (crustceos).

Resposta de Matemtica: Escolhendo dois animais aleatoriamente, temos o espao amostraldo experimento:

12,212!

C 662!.10!

Escolhendo artrpode que no seja inseto, temos 7,27!

C 212!.5!

Portanto, a probabilidade pedida ser: P =21 7

P66 22

.


A palavra CONCURSO possui 8 letras, sendo que as letras C e O aparecem duas vezes cada.Para determinar o nmero de anagramas desta palavra deveremos usar permutao comrepetio.

2,28

8!P 10080

2! 2!

Resposta da questo 7:[A]

De acordo com as informaes, temos:

Portanto, este cdigo corresponde ao nmero 6835.

Resposta da questo 8:[B]

5g de sal equivale a 2g de sdio.

Refrigerante, macarro instantneo e paoca: 10 + 1951 + 41 = 2002 mg = 2,002 g

Refrigerante, macarro instantneo e sorvete: 10 + 1951 + 37 = 1998 mg = 1,998 g

Refrigerante, hambrguer e paoca: 10 + 1810 + 41 = 1861 mg = 1,861 g

Refrigerante, hambrguer e sorvete: 10 + 1810 + 37 = 1857mg = 1,857g


35/60


gua de coco, macarro instantneo e paoca: 66 + 1951 + 41 = 2058 mg = 2,058 g

gua de coco, macarro instantneo e sorvete: 66 + 1951 + 37 = 2054 mg = 2,054 g

gua de coco, hambrguer e paoca: 66 + 1810 + 41 = 1917 mg = 1,917 g

gua de coco, hambrguer e sorvete: 66 + 1810 + 37 = 1913 mg = 1,913 g

Portanto, temos 5 refeies que no ultrapassam o limite dirio de sdio.


Qualquer termo do desenvolvimento do binmio ser dado por:

10 p p p3 2 30 5p10 10x x 1 x

p p

Para que o termo acima seja independente de x devemos ter:30 5p 0 p 6

Fazendo agora p = 6, temos:

6 30 5610 10!1 x 210

6 4! 6!


De acordo com o enunciado temos:

135 100 x 75 x 90 10 x 65 65 500

x 500 540

x 40

x 40


36/60



Sabendo que a despesa foi igual a R$ 67,00, tem-se que 5x 5y 4 3 67 x y 11.

Alm disso, como foram compradas 89 unidades de frutas, vem

6x y 4 12 89 6x y 41.

Subtraindo a primeira equao da segunda, obtemos 6x y x y 41 11 x 6.

Portanto, foram compradas 6 6 36 mas.


x : quantidade de gua salobra:2500 x : quantidade de gua doce.

Da, temos:x 25,5 (2500 x) 0,5

182500

25,5x 1250 0,5x 45000

25x 43750

x 1750 e 2500 x 750

A quantidade, em litros, de gua salobra e doce que deve estar presente no tanque de,respectivamente 1750 L e 750 L.

Resposta da questo 13:

[C]

Reescrevendo p(x) sob a forma 2p(x) (x a) (x 1), e sabendo que x 1 a nica raiz real

de p(x), deve-se ter a 0.


fcil ver que quanto mais leo h no aqurio, menor ser a concentrao de oxigniodissolvido na gua ao longo do tempo.


[B]

Seja a medida do lado do tringulo. Logo, tem-se que

2

2

Y P A

33

4

33 3 ( 2 3) .

4

Portanto, para 2 3, Y atinge o seu maior valor, ou seja, 3 3.


37/60



2 2f(x) g(x) x 6x 2x 12 x 8x 12 0

Estudando o sinal de

2

x 8x 12, temos:

O produto dos valores inteiros de x que satisfazem a desigualdade f (x) g(x) :

60543


Adotando convenientemente um sistema de coordenadas cartesianas, considere a figura.

Sejam A o ponto de lanamento do projtil e a funo quadrtica f : [ 20,20] , dada na

forma cannica por 2f(x) a (x m) k, com a,m,k e a 0. imediato que m 0 e

k 200. Logo, sabendo que f(20) 0, vem

2 10 a 20 200 a .2

Portanto, temos2x

f(x) 2002

e, desse modo, segue que o resultado pedido

2( 10)f( 10) 200 150 m.

2


38/60



Completando os quadrados, vem

2 22 2 2 m m

x 2x y my n (x 1) y n 1.2 4

Logo, como o centrom

C 1,2

pertence reta y x 1, segue que

m( 1) 1 m 4.

2

Por conseguinte, sabendo que a reta intersecta a circunferncia em ( 3, 4), obtemos

2 2

2 2

n x 2x y my

( 3) 2 ( 3) 4 ( 4) 4

3.


Considerando, ( r ) 2x 3y 4 0 e P(1, 5)

Determinando a equao da reta ( s) perpendicular a reta (r ) e que passa pelo ponto (1, 5)

(s) 3 x 2y k 0

3 10 k 0

k 7

Logo, a equao da reta (s ) ser dada por 3 x 2y 7 0.

Determinando, o ponto M de interseco das retas re s.

2x 3y 4 0

3x 2y 7 0

Resolvendo o sistema, temos M( 1, 2).

Determinando agora o ponto A simtrico do ponto p em relao reta r, M ponto mdio dePA.

AA

AA

1 x1 x 3

25 x

2 x 12

Logo, A( 3, 1).


39/60



Determinando o ponto B, utilizando a equao da reta r.x 2 0 x 2 B(2, 0)

Determinando o ponto C, utilizando a equao da reta s.x 5

0 x 5 C(5,0)2 2

Determinando o ponto A resolvendo um sistema com as equaes de r e s.y x 2

A(3,1)x 5y

2 2

Da, temos a seguinte figura:

Portanto, a rea do tringulo ser dadapor:3 1

A 1,52


O volume V do cilindro resultante ser dado por:2 3V 3 3 27 cm


40/60



Sabendo que ABCDEFGH paraleleppedo reto, temos EF AB e EH AD. Portanto, segueque o resultado pedido dado por

4 1 4 1[SABCD] [ABCDHEFG] [SEFGH] SA AE (AE SA)3 3 3 3

3 SA 9 2 4 (2 SA)

SA 10cm.


Sejam h e r, respectivamente, a altura e o raio da base do cone semelhanteao cone de altura

24cm e altura 3cm. Logo, temos

r 3 hr .h 24 8

O volume desse cone dado por

2 331 h hV h cm .

3 8 64

Por outro lado, como a vazo da torneira igual a 31cm s, segue-se que

3V 1 t t cm ,

com t em segundos.

Em consequncia, encontramos

33h t h 4 t cm.

64


F: nmero de facesA: nmero de arestasV: nmero de vrtices

20 6 12 5A 90

2

F = 32V = 2 + AFV = 2 + 9032V = 60.


41/60


42/60



Temos 2f (c ) c e 2f(3c) 9c , com c 0. Logo, sendo g a funo identidade, vem 2 2c g(c )

e 2 29c g(9c ).

Portanto, se a rea do trapzio T vale 160, ento

2 2 2 2 41 (9c c ) (9c c ) 160 40c 1602

c 2.


Sejam re R, respectivamente, o raio da circunferncia inscrita e o raio dacircunferncia

circunscrita ao tringulo ABC. Sabendo quer 1

,

R 2

vem

2 22

2

r r 1 1.

R 2 4R

Com os dados fornecidos podemos encontrar apenas a equao da reta suporte da outradiagonal. Portanto, nada se pode afirmar sobre o permetro do quadrado.

Seja a medida do lado do quadrado ABCD. Como os tringulos PRQ e PAB sosemelhantes por AA, tem-se que

24 72

cm.24 36 5

Por conseguinte, a rea hachurada dada por

2236 24 72 225cm .

2 5


A distncia d do ponto em que a bomba explodiu at o poo dada por

2 2 2d 1 (0,5) d 1,25

d 0,5 2,24

d 1,12km.

Desse modo, a nuvem de poeira atinge o poo em1,12

0,0014 h800

e, portanto, podemos

concluir que a velocidade mdia dos personagens foi de0,05

36km h.0,0014


43/60



Aplicando o Teorema de Pitgoras no tringulo ABC, vem

2 2 2 2 2 2

AC AB BC AB 12 6AB 108

AB 6 3 cm.

Do tringulo ABMencontramosBM 3 3

tgBAM tgBAM .6AB 6 3

fcil ver que tgBAC 2 tgBAM. Logo, obtemos

2

2

tgMAC tg(BAC BAM)

2 tgBAM tgBAM1 2 tgBAM tgBAM

tgBAM

1 2 tg BAM

3

6

31 2

6

3 6

6 7

3.

7


O custo total ser dado por: C(x) 6 x 10 d

Onde, 2 2d 3000 x 200

Da, temos: 2 2C(x) 6 x 10 3000 x 200

Portanto, a opo correta

22

C(x) 4 200 3000 x .


44/60



Pelo Teorema de Pitgoras aplicado no tringulo ABC, encontramos facilmente AC 20 m.

Os tringulos ABC, CDE, EFG, so semelhantes por AA. Logo, como a razo de semelhana

igual aCD 12 3

,16 4AB

segue-se que AC 20 m, CE 15 m, 45

EG m,4

constituem uma

progresso geomtrica cujo limite da soma dos n primeiros termos dado por20

80 m.3

14


Sabendo que y 2,08 x, tem-se que o resultado pedido igual a

2,08 x x 100% 108,0%.x


O saldo devedor aps o pagamento da entrada igual 1000 600 R$ 400,00. Portanto, a

taxa de juros aplicada na mensalidade igual a420 400

100% 5%.400


[A]x o valor da mercadoria.

Com dois descontos sucessivos de 3%, temos: 3x (0,97) 0,9409x, ou seja um desconto de

0,0591x. Portanto, menos de 6%.


Seja E a escala da planta. Tem-se que

50 1E E .50000000 1000

Portanto, o maior lado do galpo mede 0,1 1000 100 m.


Preo do kg do produto: 12,8 : 0,256 R$50,00.


45/60



2 2x 6x 8 x 6x 8 0

Estudando o sinal da funo 2f(x) x 6x 8, temos:

A soma S dos valores inteiros do intervalo considerado ser dada por:4 ( 3) ( 2) 9


Como o nmero de esferas acrescentadas a cada etapa cresce segundo uma progressogeomtrica de razo 2, segue que, aps n etapas, o volume ocupado pelas esferas igual a

n2 10,5 1 .

2 1

Da, o nmero de etapas necessrias para que o volume total de esferas seja

maior do que o volume do recipiente tal que

nn

n 10

2 10,5 1 40 25 20 2 40 1000 1

2 1

2 40 2 1.

Como 5 62 40 2 , segue que n 16.


Sabendo que 11a log(1 1) log2 0,3, tem-se que

23

32

x a

a

log(2 3)log5

10log

2

log10 log2

1 0,3

0,7.


46/60



Queremos calcular o valor de t para o qual se tem D(t) 2 D(0). Portanto, temos

0,006 t 0,006 t2 D(0) D(0) e n 2 n e

0,006t 0,69

t 115.


3

12

23

1log x 3 x x 8

2

por tan to 8 8 66


Sabendo que 2A I A e1

2A A I , com 2I sendoa matriz identidade de segunda ordem,

temos

2

1 1

2 2

2

A A A A A

A A A A A

A I I

A I .

Por conseguinte, segue que a 1 e b 0.


A matriz dada simtrica se tivermos

x y z 4 x y z 4

3y z 2 y 2z 3 2y z 1

z 5 z 5

x 6

y 3 .

z 5


Tem-se queIp

4 20 6 23x 21,8

4 6

e

IIIp4 21 6 18

x 19,2.4 6

Logo, deve-se terIIp

4 x 6 25x 21,8 21,8 4x 218 150 x 17.

4 6

Portanto, a menor nota que o candidato [II] dever obter na prova de qumica 18.


47/60



Sejam 1 2 3 4x , x , x , x e 5x as idades dos cinco jogadores titulares do time, com

1 2 3 4 5

11 x x x x x .

Sabendo que a mdia das idades 13 anos e que o mais velho tem 17 anos, obtemos

1 2 3 41 2 3 4

x x x x 1713 x x x x 48.

5

Portanto, se 1 2 3x x x 11, ento o segundo jogador mais velho do time ter exatamente

4 411 11 11 x 48 x 15 anos, sendo, portanto, a mxima idade que ele pode ter.


[E]

Se (x2) fator do polinmio dado, ento 2 raiz desse polinmio.

Portanto:3 22 k 2 12 2 8 0 4k 24 k 6


5 4 3 2 3 2

5 4 3 2 2

x 0x x x 0x 1 x 0x 3x 2

x 0x 3x 2x x 2

3 2

3 2

2x x 0x 1

2x 0x 6x 4

2x 6x 3

Portanto, 2r(x) x 6x 3 e 2r( 1) ( 1) 6( 1) 3 10.


[E]

De acordo com o Teorema do Resto e as informaes do problema, temos que:

P(2) = 0 e P(3) =45. Resolvendo o sistema abaixo, temos:

8a 4 b 0

27a 6 b 45

Multiplicando a primeira equao por1 e somando com a segunda temos:35a =35, ou seja, a = 1.

Substituindo a = 1 na primeira equao, temos:8 + 4 + b = 0, ou seja, b =12.


48/60



Lembrando que nn

1a ,

a

com a 0 e n , temos

12 2 1

2 2

12 2

2 2

2 2

2 2

1 1(x y )

x y

y x

x y

x y.

x y


6 7

8

43 000 000 43 10 4,3 10

0,00000005 5 / 100 000 000 5 10


Lus pode receber 3 cartas de ouros de5 5!

103 3! 2!

maneiras e 5 cartas quaisquer de

23 23!1771

3 3! 20!

modos. Portanto, segue que a probabilidade pedida igual a10

.

1771


80 42 26 24 172P 0,430

80 49 43 42 35 26 24 11 77 13 400


Devemos considerar a retirada de 3 bolinhas de 300 g para que a massa total seja 900g.

Portanto, a probabilidade P pedida :7 6 5 7 2 5 7

P .10 9 8 10 3 8 24


A probabilidade pedida dada por17

100% 20%.85


49/60



A sensibilidade dada por95

100% 95%.95 5


[B]

Temos 36 resultados possveis (seis vezes seis) e 5 possibilidades cuja soma dos resultados 8.

Podemos ento dizer que a probabilidade ser dada por:5

P36


Considerando a P.A. na ordem dada, temos:P.A. (5x 5, x 14, 6x 3)

Utilizando a propriedade de uma P.A, temos:5 x 5 6 x 3

x 14 2x 28 11x 8 9x 36 x 42

Logo, a P.A. ser (15, 18, 21).

Portanto, a soma do trs nmeros ser:

1 2 3a a a 15 18 21 54.


[I] Falsa. Tem-se que 2n 1a (n 2) . Logo, como a razo22

n 12

n

a (n 3) 11

a n 2(n 2)

no constante, segue que na no uma progresso geomtrica.

[II] Falsa. De fato, a razo

22 2

2

(n 1)n 2n 1 n 2n 1n 1

nn

b 22 2

b 2

no constante. Da, podemos concluir que nb no uma progresso geomtrica.

[III] Verdadeira. A diferena entre quaisquer dois termos consecutivos da sequncia nc

2 2n 1 n

2 2

a a (n 1) 4(n 1) 4 (n 4n 4)

n 2n 1 4n 4 n 4n 4

2n 1.

Desse modo, nc uma progresso aritmtica de primeiro termo 3 e razo igual a 2.

[IV] Verdadeira. De (II), temos

2n 1

nd 2 ,

que uma progresso geomtrica de primeiro termo8 e razo igual a 4.


50/60



2012: 1400

2013: 2000

2014: 2600

2015: 3200

2019: 5600

[F] A sequncia uma P.A. de razo 600.

[V] Calculando a soma dos termos da P.A. , temos:

2800082

56001400

[F] A reduo do ano de 2015 foi de 3200.


Comprimento de uma semicircunferncia de raio2 r

r : r2

Logo, a soma pedida ser dada por:

S 1 2 4 8 ...

S (1 2 4 8 ...)

1

S 11

2

S 2


Sendo 11

f(a )8

e 1a o primeiro termo da progresso aritmtica 1 2 3(a ,a ,a , ) de razo igual a 3, vem

1 12a 5 2a 5 3

1

12 2 2

8 a 1.

Assim, o termo de ordem n da progresso aritmtica 1 2 3(a ,a ,a , )

na 1 (n 1) 3 3n 2.

[I] Verdadeira. Tem-se

53a 3 53 2 157.


51/60


[II] Falsa. De fato, sendo 11S a soma dos 11 primeiros termos da progresso aritmtica 1 2 3(a ,a ,a , ), vem

111 3 11 2

S 11 176.2

[III] Verdadeira. Como 5a 3 5 2 13, temos

213 5 215f(a ) f(13) 2 2 .

[IV] Verdadeira. Devemos mostrar que n 1

n

f(a )64

f(a ) para todo n 1. Com efeito,

2 (3 (n 1) 2) 5 6n 3n 1

2 (3n 2) 5 6n 9n

f(a ) 2 264.

f(a ) 2 2


2 6 0 3 63 1 1,2 4 3 1 1 16 19.


O determinante da matriz dos coeficientes igual a

a 1 0

0 1 1 a 1.1 0 1

Logo, se a 1 o sistema possui soluo nica. Por outro lado, se a 1, devemos tomar amatriz ampliada do sistema para continuar a discusso. Com efeito, escalonando a matrizampliada, vem

3 1 3

2 2 3

1 1 0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 0 1 1 1

1 0 1 m 0 1 1 m 1

L ' ( 1) L L

1 1 0 1

0 1 1 1 .

0 0 0 m 2

L '' ( 1) L ' L '

Portanto, o sistema possui soluo nica para a 1 e m ; possui infinitas solues se a 1

e m 2; e no possui soluo se a 1 e m 2.


52/60



Comprimento da pista 1: xComprimento da ponte: yComprimento da pista 2: z

De acordo com as informaes do problema temos o seguinte sistema linear:

2x y z 1157 ( I )

x y z 757 ( II )

7x 8z (III)

Fazendo ( I )( II ), temos x = 400m

Utilizando a equao (III) temos: 7(400) 8z z 350

Utilizando agora a equao (II): 400 y 350 757 y 7m

Portanto, o comprimento da ponte 7m.


221 8 2 2cosx 1 cos x cosx

3 9 3

Como3

x ,2

temos:

2 2cosx

3

Portanto:sen2x 2senx cosx

1 2 2 4 2sen2x 2

3 3 9


Seja a velocidade do ponteiro maior.

A posio do ponteiro menor aps t minutos dada por9

t,8

enquanto que a posio do

ponteiro maior igual a t. Logo, para que o ponteiro menor encontre o ponteiro maior,deve-se ter

9t t

8t 8 .

Portanto, o resultado pedido 8

4.2


53/60



Seja O a origem do sistema de coordenadas cartesianas.

Como POQ 90 , segue-se que 90 . Alm disso, sabendo que

cos( 90 ) sen , 2 2sen cos 1 e cos 0,8, com 0 180 , temos

cos cos( 90 )

sen

0,6.


O ngulo percorrido pelo ponteiro das horas em 20 minutos corresponde a20

10 .2

Desse

modo, o menor ngulo formado pelos ponteiros dos minutos e das horas, s 5 horas e 20 minutos, igual a 30 10 40 . Em consequncia, o maior ngulo formado por essesponteiros igual a 360 40 320 .

Observao:Dizemos que um ngulo obtuso se 90 180 .


[I] Verdadeira. A frequncia cardaca em segundos:1 1 4

,3

32 48

3

em minutos basta

2

3

8cos20100)2(P multiplicar por 60, o que

resulta em 80 batimentos por minuto.

[II] Verdadeira. Pois8

P(2) 100 20 cos 23

16100 20 cos

3

4

100 20 cos 2 2 3

1100 20

2

110mmHg.

[III] Falsa. A amplitude da funo de 20mmHg.


54/60



Construindo o grfico da funo, temos:

De acordo com o grfico, o perodo chuvoso acontece em seis meses, ou seja, dois trimestres.


Sabendo que3

cos 02

e

3sen 1,

2

vem:

2 23 3x x cos sen 0 x 1 02 2

x 1.

Resposta da questo 75:[B]Considere o pentgono equiltero ABCDE de lado da figura.

fcil ver que o tringulo CDE issceles, com CD ED.

Sabendo que BAE 90 , tem-se que o tringulo ABE retngulo issceles, com BE 2.

Em consequncia, sendo ABC 135 , conclumos que o tringulo ABC retngulo em B.

Agora, pelo Teorema de Pitgoras aplicado no tringulo BCE, encontramos CE 3.

Finalmente, aplicando a Lei dos Cossenos no tringulo CDE, vem

2 2 2 1( 3) 2 cos cos2

120 .


55/60



Aplicando o teorema dos cossenos, temos:

2 2 2

2 2

2

2

3 3 x x 2 x x cos120

127 2x 2x

2

27 3xx 9

x 3

Logo, a medida dos lados congruentes desse tringulo, em centmetros, 3 cm.


Como EF FA AQ QC 1dm, basta calcularmos CE.

Sabendo que CDE 120 e CD DE 1dm, pela Lei dos Cossenos, obtemos

2 2 2

2 2

CE CD DE 2 CD DE cosCDE

11 1 2 1 1

2

3.

Portanto, CE 3 dm e o resultado pedido

EF FA AQ QC CE (4 3 )dm.


Pela Lei dos Senos, segue que:

AB 80 80 3 80 32R 2R R m.

sen60 33 3 3

2


56/60



Vamos supor que PTB DTC. Assim, do tringulo BPT, vem

BP 1,5tgPTB BT m.1,73BT

Por outro lado, do tringulo CDT, encontramos

CD 2,7tgCTD CT .

1,73CT

Em consequncia, segue que o resultado pedido

4,2BT CT 2,43 m.

1,73


Tem-se que 2x y 10 m . Logo, como z y cos25 e A x z, segue-se que

2A x y cos25 10 0,9 9 m .


cos165 sen155 cos145 sen25 cos35 cos15cos15 sen25 cos35 sen25 cos35 cos15 0


Como P pertence ao segundo quadrante e2

sen45 ,2

segue que 45 90 135 . Por

outro lado, sabendo que Q do terceiro quadrante e1

cos60 ,2

vem 60 180 240 .

Portanto,

2 2

tg tg(135 240 )

tg(360 15 )

tg15

tg(45 30 )

tg45 tg30

1 tg45 tg30

31

3 3 (3 3) 9 6 3 3 6(2 3)3 2 3.63 3 3 (3 3) 3 ( 3)

1 1 3


57/60



Como a semana tem 7 dias, para garantir que h pelo menos trs pessoas no mesmo dia dasemana, necessrio que haja pelo menos 2 7 1 15 pessoasno grupo.


Logo, o nmero de times distintos : 1 70 20 10 14000.


10,2 8,2 6,2 4,2 2,2C C C C C 45 28 15 6 1 113400


Elevando os dois membros da igualdade ao quadrado, vem

2 2 2 2(x yi) ( 3 4i) (x y ) 2xyi 3 4i.

Portanto, temos 2xy 4 se, e somente se, xy 2.


Considerando z x yi e 0z 10 5i, temos:

2 2 2 20

2 2 2 2

z z 30 (x 10) (y 5)i 30 (x 10) (y 5) 30 (x 10) (y 5) 900

x 20x 100 y 10y 25 900 0 x y 20x 10y 775 0


Sendo XA AB HI u, segue que

3 1Y X 10u 10u

2 62

u .15

Portanto, o ponto D representa o nmero

1 2 7D X 4u 4 .6 15 10


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[I] Falsa. Como

1000001 1000001999999 999999x 3,33 3 22 2 000 3,33 3 22 2

segue-se que x possui uma expresso decimal finita e, portanto, um nmero racional.

[II] Falsa. Tem-se que

10000012000000 999999

103, 33 3 333 33 3 22 2 000 x.

3

[III] Verdadeira. De (I), sabemos que1000001999999

3,33 3 22 2 . Logo,

2000000 2000000

1000001999999

10000011000000

x 10 3,33 3 22 2 10

33 3 22 2 ,


O determinante de A igual a 2 3 2 8 4 3 4.4 8

Logo, 1

8 3 3

24 4 4A .4 2 1

14 4 2

Da, 13

42A 2

2 1

e, portanto,

3 112 4 4 2

B .2 23 8

2 1 5 7

O resultado pedido

112 11 83

2 7 5 .22 2

5 7


A B 1 4 2 5 3 6 32 e det(A B) 32


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Sendo a 2, b 5 e c 4, das relaes entre coeficientes e razes, vem

b1 1 n m b ( 5) 5a

.cm n mn c 4 4a


Sejam n e q, respectivamente, o nmero de caminhes utilizado e a capacidade de cada

caminho. Tem-se que n q (n 4) (q 500) q 125 n 500.

Desse modo, vem 2n q 60000 n (125 n 500) 60000

n 4n 480 0

n 20.

Portanto, o resultado pedido 20 4 24.


Como2x 92 0 para todo x real, vem

2x 9 2 2

2

2 2

(x 3)2 log | x x 1| 0 (x 3)log | x x 1| 0

x 3 0

ou| x x 1| 1

x 3

ou

x x 1 1 ou x x 1 1

x 3

. ou

(x 1 ou x 2) ou (x 0 ou x 1)

Portanto, a equao dada possui 5 razes reais distintas.



60/60


Tem-se que

2 2 22x ax 3 x 2x 2 x (a 2)x 1 0.

Logo, as parbolas no se intersectam se, e somente se, o discriminante da equao acima fornegativo, isto , se

2 2(a 2) 4 1 1 0 (a 2) 4

| a 2 | 2.


O lucro L(x) ser dado por (600 x) (300 x). As razes da funo so 300 e 600, o valor de x

para que o lucro seja mximo a mdia aritmtica das razes, portantovx (300 600) : 2 450. Logo, o nmero de peas para que o lucro seja mximo, :

600 450 150.


2

2

2

1V(t) t 3

432001

0 t 343200

t 129600t 360min

t 6h


Segundo a anlise feita, o nico grfico que possui concavidade apenas para cima, ou seja,acelerao positiva, e apresenta velocidade crescente de leitura das pginas o da alternativa[B].


[D]

A trajetria descrita pelo assento do balano parte da circunferncia 2 2x y 4. Logo,

sabendo que y 0, temos 2f(x) 4 x , com 2 x 2.

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