Apostila de Matematica

MATEMÁTICA

1. CONJUNTOS ............................................................................................. MAT 1

2. NÚMEROS NATURAIS ................................................................................ MAT 9

3. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO ......................................................... MAT 15

4. O USO DAS EXPRESÕES ALGÉBRICAS .................................................. MAT 17

5. EQUAÇÃO DO 1 GRAU ............................................................................ MAT 25

6. SÍNTESE PARA AUTO AVALIAÇÃO .......................................................... MAT 31

7. EQUAÇÃO DO 2 GRAU ............................................................................ MAT 33

8. LOGARITMO ........................................................................................... MAT 41


10. O PLANO CARTESIANO .......................................................................... MAT 53

11. DERIVADAS ............................................................................................. MAT 57

12. LIMITES .................................................................................................. MAT 63

13. DERIVADAS ............................................................................................. MAT 65

14. TÁBUA DE INTEGRAIS ............................................................................ MAT 69


SUMÁRIO

APOSTILA INTERNET

ATIVIDADE ASSUNTO ATIVIDADE ASSUNTO

1 CONJUNTOS 1 Vídeo Aula 1

2 NÚMEROS NATURAIS 2 Vídeo Aula 2

3 SÍNTESE PARA AUTO-AVALIAÇÃO

3 Auto-avaliação

4 O USO DAS EXPRESSÕESALGÉBRICAS

4 Vídeo Aula 3

5 EQUAÇÃO DO 1º GRAU 5 Vídeo Aula 4


6 Auto-avaliação

7 TEORIA CLÁSSICA DAADMINISTRAÇÃO

7 Vídeo Aula 5

8 EQUAÇÃO DO 2º GRAU 8 Vídeo Aula 6

9 LOGARITMO 9 Auto-avaliação


10 Vídeo Aula 7

11 DERIVADAS 11 Vídeo Aula 8

12 LIMITES 12 Auto-avaliação

13 DERIVADAS 13 Vídeo Aula 9

14 TÁBUA DE INTEGRAIS 14 Vídeo Aula 10


15 Auto-avaliação

REFERÊNCIA CRUZADA

MATEMÁTICA

Matemática

MAT 1

OBJETIVOS

O aluno será capaz de identificar e relacionar os conceitos envolvendo

conjuntos.

TEXTO

Teoria dos Conjuntos, que tem

sua origem nos trabalhos do Matemático russo

Georg Ferdinand Ludwig Phillipp Cantor,

nascido em S. Petersburgo (1845-1918), e

são decorrência de três axiomas ou noções

primitivas - noções cuja verdade é de si

evidente:

a) Conjuntos

A noção de conjunto em

Matemática é praticamente a mesma utilizada

na linguagem cotidiana: agrupamento, classe,

coleção. Por exemplo:

Conjunto das letras maiúsculas do alfabeto;

Conjunto dos números inteiros ímpares;

Conjunto dos dias da semana;

Conjunto dos Prefeitos da cidade de Franca na ultima década.

b) Elemento

Cada membro ou objeto que entra na formação do conjunto. Assim:

V, I, C, H, E são elementos do primeiro conjunto acima;

3,5,7 são elementos do segundo;

Sábado, Domingo do terceiro; e

CONJUNTOS ATIVIDADE 1

MAT 2

Matemática

Gilmar, Sidnei o último.

c) Pertinência entre elemento e conjunto

Por exemplo, V é um elemento do conjunto das letras maiúsculas do

alfabeto, ou seja, V pertence àquele conjunto. Enquanto que v não pertence.

Como se vê são conceitos intuitivos e que se supõe sejam entendidos

por todos.

NOTAÇÃO

Conjunto: Representado, de forma geral, por uma letra maiúscula A, B, C,

…

Elemento: Por uma letra minúscula a, b, c, x, y, z, …

Pertinência: Sejam A um conjunto e x um elemento. Se x é um elemento

de A (ou x pertence a A) indicamos por:

x ∈ A

Caso contrário, ou seja, se x não é um elemento de A (ou x não pertence

a A) escrevemos

x ∉ A

REPRESENTAÇÕES DE CONJUNTOS

a) Extensão ou Enumeração

Quando o conjunto é representado por uma listagem ou enumeração de

seus elementos. Devem ser escritos entre chaves e separados por vírgula ou ponto-e-

vírgula.

Exemplos:

Conjunto dos nomes de meus filhos:

{Elinaldo, Edilene, Emiliane,Igor};

Conjunto dos meses com menos de 31 dias:

{fevereiro, abril, junho, setembro, novembro};

Conjunto dos números ímpares inteiros maiores do que 12 e

ATIVIDADE 1

Matemática

MAT 3

menores do que 20:

{11; 13; 15; 17; 19}.

b) Propriedade dos Elementos

Representação em que o conjunto é descrito por uma propriedade

característica comum a todos os seus elementos. Simbolicamente:

A = {x | x tem a Propriedade P}

e lê-se: A é o conjunto dos elementos x tal que x tem a propriedade P. ( |

lê-se tal que )

Exemplos:

A = {x | x é um time de futebol do Campeonato Brasileiro de

2006};

B = {x | x é um número inteiro ímpar e 9 < x < 21}.

C = {x | x é um deputado federal eleito em 2006}.

c) Diagrama de Euler-Venn

Um conjunto pode ser representado por meio de uma linha fechada e não

entrelaçada, como mostrado na figura abaixo.

CONJUNTO UNITÁRIO E CONJUNTO VAZIO

A existência de conjunto com apenas um elemento, são chamados de

conjuntos unitários, e o conjunto sem qualquer elemento, chamado de conjunto vazio

(Ø).

Exemplos de Conjuntos Unitários:

ATIVIDADE 1

MAT 4

Matemática

Conjunto dos meses do ano com menos de 30 dias: {fevereiro};

Conjunto dos números inteiros maiores do que 20 e menores do

que 22: {21};

Exemplos de Conjuntos Vazios:

{x | x >1 0 e x <1 0} = Ø;

{x | x2 = -100 e x é um número real} = Ø.

CONJUNTO UNIVERSO

É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual

estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto.O conjunto

universo é representado por uma letra U.

IGUALDADE DE CONJUNTOS

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B

e, reciprocamente, todo elemento de B pertence a A:

A={ a,b,c,d} e B= { d,c,b,a} ⇒ A ⊂ B ou B ⊃ A logo A=B .

SUBCONJUNTO

Um conjunto A é um subconjunto de (está contido em) B se, e somente

se, todo elemento x pertencente a A também pertence a B.

A= { a,b,c,d} e B={a,b, c,d,e ,f} então A ⊂ B ou B ⊃ A

EXERCÍCIOS : GRUPO 1

1) Escreva em notação simbólica:

a) a é elemento de B

b) M é subconjunto de N .

c) L contém P

d) H não está contido em J .

ATIVIDADE 1

Matemática

MAT 5

e) H não contém J.

f) n não é elemento de M

2) Enumere os elementos de cada um dos conjuntos :

a) o conjunto dos números naturais entre 15 e 20 .

b) o conjunto dos números naturais menores que 5 .

c) o conjunto dos números pares entre 10 e 23 .

d) o conjunto dos números ímpares menores que 12 .

e) o conjunto dos números das frações próprias positivas de

denominador 5.

f) { x | x é letra da palavra Amora }

g) { x| x 2 = 9 e x – 4 = - 7 }

h) { x| x é algarismo do numero 2007 }

3) Escreva os conjuntos abaixo usando o método da propriedade

característica :

a) { 0,2,3,4,5,...,20}

b) { 2,8}

c) o conjunto dos números pares entre 5 e 13 .

d) o conjunto dos números reais entre -3 e 9 incluindo -3 e excluindo 9.

e) o conjunto dos números naturais entre 5 e 15 .

4) Seja M = { 3,5,7,9,11,12 }.Enumere cada um dos conjuntos abaixo:

a) { x ∈ M | x2 ≠ 9 }

b) { x ∈ M | x + 6 = 9 }

c) { x ∈ M | x é primo}

d) { x ∈ M | x é par }

e) { x ∈ M | s é impar }

5) Se N = { a , e ,i , o } ,diga se as proposições abaixo são corretas :

a) a ∈ N

ATIVIDADE 1

MAT 6

Matemática

b) a Ì N

c) { a } ∈ N

d) { a } Ì N

6) Construa todos os subconjuntos dos conjuntos abaixo:

a) { 1,2,3}

b) { 0,2,4}

c) { F,R,A N,C,A}

7) Dados os conjuntos M = { x | x é impar e positivo e menor que 10} e N

={ 1,3,5,7 ,9} assinale V ( verdadeiro) ou F ( falso) :

a) M ⊂ N b) M ⊃ N c) M = N

8) Diga se as proposições abaixo são corretas ou não:

a) { a,b,c}= { b,a ,c } b) ∅ ⊂ { 0,2,4,6} c) { 2 ,3 } ⊃ { x| x2-5x+6=0 }

9) Classifique os conjuntos em finitos ou infinitos:

a) o conjunto dos números pares

b) o conjunto dos números pares menores que 100.

c) { x | x ∈ N e x < 10 }

d) { x | x ∈ R e x > 0 }

10) Verifique se as afirmações são falsas ou verdadeiras :

a) Se M = { 0,5 ; 0; 3; 5 } e N = {0,5 ; 5 } , então N ⊂ M .

b) Se M = { 1,2,3,4} e N = { 1,3, 4} , então N ⊂ M .c) Se M = { 0,3 } e N = { 0,1,2,3} , então N ⊄ M .d) Se M = { 1,3,5} e N = { x ∈ ℜ| x – 1 = 2 } , então N ⊂ M .

ATIVIDADE 1

Matemática

MAT 7

REFERÊNCIAS

Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo:

Atlas, 2001.

Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.

São Paulo:Atlas,2007

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 1

MAT 8

Matemática

ATIVIDADE 1

ANOTAÇÕES

Matemática

MAT 9

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar os vários conjuntos apresentados.

TEXTO

O conjunto dos números naturais é representado pela letra N

maiúsculo, e estes números são feitos com algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Qualquer número que resulte de uma contagem de unidades é chamado de número

natural. O conjunto dos números naturais é representado por e o conjunto dos

números naturais não-nulos, é representado por *.

= {0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

* = {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Todo número natural tem um sucessor (número que vem depois do número dado).

Exemplo:

O sucessor de 0 é o 1.



Se um número natural é sucessor de outro, então, os dois números juntos são

chamados de consecutivos.

NÚMEROS NATURAIS ATIVIDADE 2

MAT 10

Matemática

Exemplo:

2 e 3 são números consecutivos.



Números Inteiros

A subtração nem sempre é possível em , por exemplo, não existe número natural

que represente a diferença 3 - 5.

Por isso, foi criado o conjunto dos números inteiros. Nesse conjunto a diferença 3 –

5 é representada por -2. Indica-se por o conjunto dos n[úmeros inteiros e por *

o conjunto dos números não-nulos:

= { ..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}

* = { ..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}

Podemos ver que todo número natural é inteiro. Por isso, escrevemos (lê-se

“está contido em ou é o subconjunto de ").

Uma forma de representar geometricamente o conjunto é construir uma reta

numerada, considerar o número 0 como a origem, e o número 1 em algum lugar,

tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros

da seguinte maneira:

Observando ainda na reta numerada, podemos afirmar que todos os números

ATIVIDADE 2

Matemática

MAT 11

Números Racionais

A divisão nem sempre é possível em , por exemplo, não existe

número inteiro que represente o quociente -3 : 2.

Por isso, foi criado o conjunto dos números racionais. Nesse conjunto o quociente -3

: 2 é indicado por ou por –1,5. Indica-se por o conjunto dos números racionais

e por o conjunto dos números racionais não-nulos:

Observe, portanto que número racional é todo aquele que pode ser

representado com a razão entre dois números inteiros, com o segundo não-nulo.

Assim, entendemos que todo número inteiro também é racional, pois pode ser

considerado como uma razão de denominador 1, por exemplo: 5 = ; por isso,

escrevemos .

Como , temos também que .

Essas relações entre e podem ser resumidas pelo diagrama:

ATIVIDADE 2

MAT 12

Matemática

Números Irracionais

Dentre os números decimais existem as dízimas não-periódicas, que

são números com infinitas casas decimais e não-periódicos.

Esses números são chamados de irracionais, e o conjunto formado por eles é

indicado por ', isto é:

Números Reais

Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real.

Podemos dizer, portanto que número real é todo número decimal, finito ou infinito.

Indica-se por * o conjunto dos números reais não-nulos, isto é:

As relações entre os conjuntos numéricos até agora apresentados

podem ser feitos em um diagrama:

ATIVIDADE 2

Matemática

MAT 13

Veja a seguir as notações para representar alguns subconjuntos

especiais de :

Representação geométrica de

A cada ponto de uma reta podemos associar um único número real, e a cada

número real podemos associar um único ponto na reta.

Dizemos que o conjunto é denso, pois entre dois números reais existem infinitos

números reais (ou seja, na reta, entre dois pontos associados a dois números reais,

existem infinitos pontos).

Veja a representação na reta de :

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.

ATIVIDADE 2

MAT 14

Matemática



ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 2

Matemática

MAT 15

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e associar as operações entre

conjuntos.

TEXTO

Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de

objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros do

conjunto. Os objetos podem ser qualquer coisa: números, pessoas, outros conjuntos,

etc

Os conjuntos podem ser representados por:

1-) Números Naturais

2-) Números Inteiros

3-) Números Racionais

4-) Números Irracionais

5-) Números Reais

SÍNTESE PARAAUTO-AVALIAÇÃO ATIVIDADE 3

MAT 16

Matemática

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 3

Matemática

MAT 17

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar e reconhecer uma expressão algébrica

dentre outras.

TEXTO

No cotidiano, muitas vezes usamos expressões sem perceber que as

mesmas representam expressões algébricas ou numéricas.

Numa papelaria, quando calculamos o preço de um livro somado ao preço

de duas canetas, usamos expressões como 1a+2b, onde a representa o preço do livro e

b o preço de cada caneta.

Na cantina da faculdade, ao comprar um lanche, somamos o preço de um

refrigerante com o preço de um salgado, usando expressões do tipo 1r+1s onde s

representa o preço do salgado e r o preço do refrigerante.

Usamos a subtração para saber o valor do troco. Por exemplo, se S é o

valor total de dinheiro disponível e T é o valor do troco, então temos uma expressão

algébrica do tipo S-(1r+1s)=T.

As expressões algébricas são encontradas muitas vezes em fórmulas

matemáticas. Por exemplo, no cálculo de áreas de retângulos, triângulos e outras figuras

planas.

O USO DAS EXPRESSÕES ALGÉBRICAS ATIVIDADE 4

MAT 18

Matemática

Elementos históricos

Na Antiguidade, as letras foram pouco usadas na representação de

números e relações. De acordo com fontes históricas, os gregos Euclides e Aristóteles

(322-384 a.C), usaram as letras para representar números. A partir do século XIII o

matemático italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), que escreveu o livro sobre Liber

Abaci (o livro do ábaco) sobre a arte de calcular, observamos alguns cálculos

algébricos.

O grande uso de letras para resumir mais racionalmente o cálculo algébrico

passou a ser estudado pelo matemático alemão Stifel (1486-1567), pelos matemáticos

italianos Germano (1501-1576) e Bombelli (autor de Álgebra publicada em 1572), porém,

foi com o matemático francês François Viéte (1540-1603), que introduziu o uso ordenado

de letras nas analogias matemáticas, quando desenvolveu o estudo do cálculo

algébrico.

Expressões Numéricas

São expressões matemáticas que envolvem operações com números. Por

exemplo:

m = 7+5+4

q = (5×4)+15

Expressões Algébricas

São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter

números. São também denominadas expressões literais. Por exemplo:

M = 2a+7b

P = 23c+4

As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o

valor de cada letra pode ser substituído por um valor numérico.

Prioridade das operações numa expressão algébrica

Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte

ordem:

ATIVIDADE 4

Matemática

MAT 19

1. Potenciação ou Radiciação

2. Multiplicação ou Divisão

3. Adição ou Subtração

Observações quanto à prioridade:

1. Antes de cada uma das três operações citadas, deve-se realizar a

operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves.

2. A multiplicação pode ser indicada por × ou por um ponto · ou às vezes

sem sinal, desde que fique clara a intenção da expressão.

3. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis

por valores negativos.

Exemplos:

1. Consideremos X=2A+10 e tomemos A=5. Assim

X = 2.5+10 = 10+10 = 20

2. Seja M=4A+2+B-7 e tomemos A=5 e B=7. Assim:

M = 4.5+2+7-7 = 20+2-0 = 22

Se A=5 e B=7, o valor numérico de M=4A+2+B-7, muda para 22.

Conclusão: O valor numérico de uma expressão algébrica é o valor obtido

na expressão quando substituímos a variável por um valor numérico.

Exemplos:

1. Um triângulo eqüilátero possui os três lados com mesma medida. Calcular

o perímetro de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 5 cm, sabendo-se

que o perímetro de um triangulo eqüilátero pode ser representado por uma

expressão algébrica da forma: P=a+a+a=3a. Substituindo a=5cm nesta

expressão, obtemos P=3×5cm=15cm.

2. Para obter a área do quadrado cujo lado mede 7cm, devemos usar a

expressão algébrica para a área do quadrado de lado L que é A=L×L=L².

ATIVIDADE 4

MAT 20

Matemática

Assim, se L=7cm, então A=7×7=49cm².

Observação: Mudando o valor do lado para L=8cm, o valor da área mudará

para A=8×8=64cm².

3. Se a letra y representa um número natural, escreva a expressão algébrica

que representa cada um dos seguintes fatos:

a. O dobro desse número.

b. O sucessor desse número.

c. O antecessor desse número (se existir).

d. Um terço do número somado com seu sucessor.

4. Como caso particular do exercício anterior, tome a=9 e calcule o valor

numérico:

a. do dobro de a

b. do sucessor de a

c. do antecessor de a

d. da terça parte de a somado com o sucessor de a

Monômios e Polinômios

São expressões matemáticas especiais envolvendo valores numéricos e

literais, onde podem aparecer somente operações de adição, subtração ou

multiplicação.

Identificação das expressões algébricas

Com muita freqüência, as expressões algébricas aparecem na forma:

3x²y

onde se observa que ela depende das variáveis literais x e y, mas é

importante identificá-las com nomes como:

p(x,y) = 3x²y

para deixar claro que esta é uma expressão algébrica que depende das

ATIVIDADE 4

Matemática

MAT 21

variáveis x e y.

Esta forma de notação é muito útil e nos leva ao conceito de função de

várias variáveis que é um dos conceitos mais importantes da Matemática.

Valor numérico de uma expressão algébrica identificada

É o valor obtido para a expressão, ao substituir as variáveis literais por

valores numéricos.

Exemplo: Tomando p(x,y)=3x²y, então para x=7 e y=2 temos que:

p(7,2) = 3 × 7² × 2 = 294

Se alterarmos os valores de x e de y para x=-1 e y=5, teremos outro valor

numérico:

A regra dos sinais (multiplicação ou divisão)

(+1) x (+1) = +1 (+1) ÷ (+1) = +1

(+1) x (-1) = -1 (+1) ÷ (-1) = -1

(-1) x (+1) = -1 (-1) ÷ (+1) = -1

(-1) x (-1) = +1 (-1) ÷ (-1) = +1

Regras da Potenciação

Para todos os números reais x e y diferentes de zero, e, m e n números

inteiros, tem-se que:

ATIVIDADE 4

MAT 22

Matemática

Operações com expressões algébricas de Monômios

1. Adição ou Subtração de Monômios

Para somar ou subtrair de monômios, devemos primeiramente eliminar os

parênteses e depois realizar as operações.

Exemplos:

A = -(4x)+(-7x) = -4x-7x = -11x

2. Multiplicação de Monômios

Para multiplicar monômios, deve-se primeiramente multiplicar os valores

numéricos observando com muito cuidado a regra de multiplicação dos sinais, multiplicar

as potências literais de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A = -(4x²y).(-2xy) = +8x³y²

3. Divisão de Monômios

Para dividir monômios, deve-se primeiramente dividir os valores numéricos

observando com muito cuidado a regra de divisão dos sinais, dividir as potências literais

de mesma base e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A = -(4x²y)÷(-2xy) = 2x

4. Potenciação de Monômios

Para realizar a potenciação de um monômio, deve-se primeiramente realizar

a potenciação do valor numérico levando em consideração o sinal, tomar as potências

literais e escrever a resposta de uma forma simplificada:

Exemplos:

A =(+4x²y)³= 4³ x²y x²y ²y = 256 x6 y³

B =(-4x²y)³ = -4³x²y x²y x²y = -256x6 y³

ATIVIDADE 4

Matemática

MAT 23

Alguns Produtos Notáveis

1. Quadrado da soma de dois termos

Sabemos que x²=x.x, y²=y.y, mas não é verdade que

x² + y² = (x+y)²

a menos que um dos dois termos seja nulo. Este é um erro muito comum,

mas o correto é:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Isto significa que o quadrado da soma de dois números sem sempre é

igual à soma dos quadrados desses números.

(x+y)² = x² + 2xy + y²

Exemplos:

(x+8)² = x²+2.x.8+8² = x²+16x+64

(1+x/5)² = 1+ 2x/5 +x²/25

Exercícios: Desenvolver as expressões:

(a+8)² =

(4y+2)² =

2. Quadrado da diferença de dois termos

Como um caso particular da situação anterior, o quadrado da diferença de

x e y é igual ao quadrado de x somado com o quadrado de y menos duas vezes xy.

Resumindo:

(x-y)² = x² - 2xy + y²

Exemplos:

(x-4)² = x²-2.x.4+4² = x²-8x+16

ATIVIDADE 4

MAT 24

Matemática

Exercícios: Complete o que falta.

(5x-9)² =[ ]

(k-6s)² =[ ]

(p-[ ])² = p²-10p+[ ]

3. Produto da soma pela diferença de dois termos

Em geral, o produto da soma de x e y pela diferença entre x e y é igual ao

quadrado de x menos o quadrado de y.

(x+y)(x-y) = x² - y²

Exemplos:

(x+2)(x-2) = x²-2x+2x-4 = x²-4

Exercícios: Complete as expressões:

(6-m)(6+m) =

(b+6)(b-6) =

(6+b)(b-6) =

(6+b)(6-b) =

(100-u)(100+u) =

(u-100)(100+u) =

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.



ATIVIDADE 4

Matemática

MAT 25

OBJETIVOS

O aluno será capaz de conhecer e relacionar uma equação ou

inequação do 1º grau.

TEXTO

Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores

dos seus domínios.

Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita

De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar

se essa igualdade é verdadeira ou falsa.

Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna

verdadeira para x = 4.

2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4

Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.

Equação do 1º grau

Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode

ser escrita na forma

ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.

ax + b = 0 ( a e b são números reais e a ≠ 0 )

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:

ax + b = 0 » ax = -b

x = -b / a

* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra

equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número

EQUAÇÃO DO 1º GRAU ATIVIDADE 5

MAT 26

Matemática

a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de

uma equação por um número diferente de zero.

Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5

4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2

Resolução de equações do 1º grau:

Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que

a satisfazem.

Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um

lado do sinal (=) e os “números” do outro.

Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.

Determine o valor da incógnita x:

a) 2x – 8 = 10

2x = 10 + 8

2x = 18

x = 9 » V = {9}

b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)

3 –7 + 14x = 5 – x – 9

14x + x = 5 – 9 – 3 + 7

15x= 0

x = 0 » V= {0}

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os

valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um “macete”. Vamos

ATIVIDADE 5

Matemática

MAT 27

ver o que realmente ocorre:

Numa equação:

2x + 8 = 10

Adicionamos -8 a ambos os lados, afim de deixarmos o valor de 2x

“sozinho”. Observem:

2x + 8 - 8 = 10 - 8

2x = 2

x = 1

V={1}

Desigualdades do primeiro grau (1 variável)

Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de

primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas

em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis

valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais

vale a desigualdade:

2x + 2 < 14

Para resolver esta desigualdade, deveremos seguir os seguintes passos:

ATIVIDADE 5

MAT 28

Matemática

Concluímos que o conjunto solução é formado por todos os números

inteiros positivos menores do que 6:

S = { 1, 2, 3, 4, 5 }

Para obter todos os números pares positivos satisfazendo à

desigualdade

2x + 2 < 14

o conjunto solução será:

S = { 2, 4 }

Observação: Quando aparece mais do que um dos quatro de

desigualdade, temos várias desigualdades “disfarçadas” em uma.

Exemplo: Determinar todos os números inteiros positivos para os quais

valem as desigualdades:

12 < 2x + 2 < 20

Para resolver estas desigualdades, poderemos seguir o seguinte

processo:

Concluímos que o conjunto solução é:

S = { 6, 7, 8, 9 }

ATIVIDADE 5

Matemática

MAT 29

Para obter todos os números inteiros negativos satisfazendo às

desigualdades

12 < 2x + 2 < 20

teremos apenas o conjunto vazio, como solução, isto é:

S = Ø = { }

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.



ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 5

MAT 30

Matemática

ATIVIDADE 5

ANOTAÇÕES

Matemática

MAT 31

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e relacionar os conjuntos numéricos e

suas aplicações.

TEXTO

Em matemática, uma equação é uma sentença aberta expressa por

uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. As equações normalmente

propõem um problema sobre sua validade. Grosseiramente falando, uma equação é

composta por incógnitas e coeficientes. Os coeficientes são entidadades

matemáticas conhecidadas. Resolver a equação, ou seja, ou problema por ela

proposto consiste em determinar quem são os elementos de um determinado

conjunto (o das possíveis soluções) que tornam a equação verdadeira.

As entidades matemáticas envolvidas na equação podem , números

inteiros, conjuntos, funções entre outros.

DESIGUALDADES DO PRIMEIRO GRAU (1 VARIÁVEL)

Relacionadas com as equações de 1o. grau, temos as desigualdades de

primeiro grau, (também denominadas inequações) que são expressões matemáticas

em que os termos estão ligados por um dos quatro sinais:

Nas desigualdades, deseja-se obter um conjunto de todas os possíveis

valores que pode assumir uma ou mais incógnitas na equação proposta.

Exemplos:

A relaçao entre o preço de venda e a quantidade vendida de um produto

é dada pela equação q = 100 – 2 p .Determine os valores de p para os quais a

quantidade vendida é de no mínimo 40 unidades .


MAT 32

Matemática

Resolução :

q ≥ 40 , logo 100 - 2 p ≥ 40 ( realizando as operações imversas)

- 2 p ≥ 40 – 100

- 2 p ≥ - 60 ( – 1 ) → 2 p ≤ 60 → p ≤ 30

Resposta : O preço mínimo será de R$ 30,00 .

Um produto teve seu preço aumentado em 20% para pagamento a prazo,

resultando um total de R$600,00.Qual era o preço a vista?

Resolução:

Vamos chamar o preço a vista de x

O acréscimo correspondente a 20% de x ou 0,20 x .

O valor acrecido é : x + 0,20 x = 600

Resolvendo a equação temos : 1,2 x = 600 → x = 600 : 1,2

x = R$500,00.

Resposta : O valor à vista era de R$500,00.

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 6

Matemática

MAT 33

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e relacionar as situações problemas

envolvendo equação e ou inequação do 2º grau.

TEXTO

Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo

ax²+bx+c, com coeficientes numéricos a.b e c com .

Exemplos:

Equação a b c

x²+2x+1 1 2 1

5x-2x²-1 -2 5 -1

Classificação:

- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma

equação do 2º grau incompleta.

1º caso: b=0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9=0 » x²=9 » x= » x=

EQUAÇÃO DO 2º GRAU ATIVIDADE 7

MAT 34

Matemática

2º caso: c=0

Considere a equação do 2º grau incompleta:

x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x

x(x-9)=0 » x=0,9

3º caso: b=c=0

2x²=0 » x=0

Resolução de equações do 2º grau:

A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada

acima, vamos agora resolver equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo

ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero.

- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser

determinadas pela fórmula de Bháskara.

Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações

do 2º grau?

Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de

Bháskara:

Multiplicamos os dois membros por 4a:

4a²x²+4abx+4ac=0

4a²x²+4abx=-4ac

Somamos b² aos dois membros:

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac

ATIVIDADE 7

Matemática

MAT 35

Fatorando o lado esquerdo e chamamos de (delta) ∆ = b²-4ac:

(2ax+b)²= 2ax+b= 2ax=-b

Logo:

ou

Fórmula de Bháskara:

Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios:

1) 3x²-7x+2=0

a=3, b=-7 e c=2

= (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25

Substituindo na fórmula:

=

e

ATIVIDADE 7

MAT 36

Matemática

Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é:

2) - x² + 4x -4=0

a = -1, b= 4 e c= -4

∆ = b2 – 4ac = 42 -4( -1)(-4)= 16-16= 0

Substituindo na fórmula de Bháskara:

X= - 4 ± 0 = 2

- 2

- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais.

( )

3) 5x²-6x+5=0

a=5 b=-6 c=5

= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64

Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a

equação não possui nenhuma raiz real.

Logo:V = φ » vazio

ATIVIDADE 7

Matemática

MAT 37

Propriedades:

Duas raízes reais e diferentes

Duas raízes reais e iguais

Nenhuma raiz real

Relações entre coeficientes e raízes

Vamos provar as relações descritas acima:

Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são:

e

A soma das raízes será:

Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

O produto das raízes será:

ATIVIDADE 7

MAT 38

Matemática

Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por:

Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a.

Obtendo:

Substituindo por e :

Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau:

x² - Sx + P = 0

Exemplos:

1) Determine a soma e o produto das seguintes equações:

a) x² - 4x + 3=0

[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3:

b) 2x² - 6x -8 =0

Sendo a=2, b=-6 e c=-8

c) 4-x² = 0

Sendo a=-1, b=0 e c=4:

ATIVIDADE 7

Matemática

MAT 39

Resolução de equações fracionárias do 2º grau:

Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o

processo de resolução destas equações é o mesmo das equações não fracionárias.

Exemplos resolvidos:

a) Onde , pois senão anularia o denominador

[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x

Então:

Eliminando os denominadores, pois eles são iguais:

»

Aplicando a fórmula de Bháskara:

Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4}

REFERÊNCIAS


ATIVIDADE 7

MAT 40

Matemática

Atlas, 2001.



ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 7

Matemática

MAT 41

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e comparar os conceitos e

propriedades de um logaritmo.

TEXTO

Na Matemática, o logaritmo de base b, maior que zero e diferente de

1, é uma função de domínio e imagem , bijetora e contínua que retorna o

expoente na equação bn = x. Usualmente é escrito como logb x = n. Por exemplo:

. Em termos simples o logaritmo é o expoente

que uma dada base deve ter para produzir certa potência. No último exemplo o

logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para

resultar 81.

O logaritmo é uma de três funções intimamente relacionadas. Com bn =

x, b pode ser determinado utilizando radicais, n com logaritmos, e x com

exponenciais.

Um antilogaritmo é usado para mostrar o inverso de um logaritmo. Ele

é escrito da seguinte maneira: antilogb(n) e significa o mesmo que bn.

Um logaritmo duplo é a inversa da exponencial dupla. Um super-

logaritmo ou hiper-logaritmo é a inversa da função super-exponencial. O super-

logaritmo de x cresce ainda mais lentamente que o logaritmo duplo para x grande.

Um logaritmo discreto é uma noção relacionada na teoria finita de

grupos. Para alguns grupos finitos, acredita-se que logaritmo discreto seja muito

difícil de ser calculado, enquanto exponenciais discretas são bem fáceis. Esta

assimetria tem aplicações em criptografia

LOGARITMO ATIVIDADE 8

MAT 42

Matemática

Logaritmos e exponenciais: inversas

Logaritmos em várias bases: uma linha representa a base e, outra a

base 10, e outra a base 1.7. Note como logaritmos de todas as bases passam pelo

ponto (1, 0).

Para cada base (b em bn), existe uma função logaritmo e uma função

exponencial; elas são as funções inversas. Com bn = x:

• Exponenciais determinam x quando dado n; para

encontrar x, se multiplica b por b (n) vezes.

• Logaritmos determinam n quando dado x; n é o número

de vezes que x precisa ser dividido por b para se obter 1.

Para diferenciar o gráfico da função logarítmica do gráfico da função

exponencial, pode-se utilizar a Regra da Mão Direita:

Bases não especificadas

• Matemáticos geralmente entendem "ln(x)" ou "log(x)"

como significando loge(x), i.e., o logaritmo natural de x, e escrevem "log10(x)"

se o logaritmo na base-10 de x é procurado.

Engenheiros, biólogos e outros escrevem apenas "ln(x)" ou (ocasionalmente)

"loge(x)" quando se trata do logaritmo natural de x, e tomam "log(x)" para log10(x) ou,

no contexto da computação, log2(x).

ATIVIDADE 8

Matemática

MAT 43

• Algumas vezes Log(x) (L maiúsculo) é usado significando

log10(x), pelas pessoas que usam log(x) com l minúsculo significando loge(x).

• A notação Log(x) também é usada pelos matemáticos

para se referir ao ramo principal da função logaritmo natural.

• Nas linguagens de programação mais usadas, incluindo

C, C++, Pascal, Fortran e BASIC, "log" ou "LOG" significa o logaritmo natural.

A maior parte das razões para se pensar em logaritmos na base 10

tornaram-se obsoletas logo após 1970 quando calculadoras de mão se tornaram

populares (para mais sobre esse assunto, veja logaritmo comum). Não obstante,

uma vez que calculadoras são feitas e normalmente usadas por engenheiros, as

convenções usadas por eles foram incorporadas nas calculadoras, agora a maioria

dos não-matemáticos tomam "log(x)" como o logaritmo na base 10 de x e usam

"ln(x)" para se referir ao logaritmo natural de x. A notação "ln" foi introduzida em

1893 por Irving Stringham, professor de matemática da Universidade de Berkeley.

Até 2005, alguns matemáticos adotaram a notação "ln", mas a maioria usa "log". Em

Ciência da Computação o logaritmo na base 2 é escrito como lg(x) para evitar

confusão. Este uso foi sugerido por Edward Reingold e popularizado por Donald

Knuth.

Quando "log" é escrito sem uma base (b faltando em logb), o significado

pode normalmente ser determinado através do contexto:

• logaritmo natural (loge) em Análise;

• logaritmo binário (log2) com intervalos musicais e em

assuntos que lidam com bits;

• logaritmo comum (log10) quando tabelas de logaritmos são

usadas para simplificar cálculos manuais;

• logaritmo indefinido quando a base é irrelevante.

ATIVIDADE 8

MAT 44

Matemática

Mudança de base

Apesar de existirem identidades muito úteis, a mais importante para o

uso na calculadora é a que permite encontrar logaritmos com bases que não as que

foram programadas na calculadora (normalmente loge e log10). Para encontrar um

logaritmo com uma base b usando qualquer outra base a:

PROVA DA FÓRMULA DE MUDANÇA DE BASE

por definição

aplica-se em ambos os lados

simplifica-se o lado esquerdo da

igualdade

divide-se por logk(b)

Tudo isso implica que todas as funções logaritmo (qualquer que seja

sua base) são similares umas às outras.

Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são

desconhecidos. Eles possuem derivadas simples, por isso eles são comumente

usados como soluções de integrais . Além disso, várias quantidades na ciência são

expressas como logaritmos de outras quantidades.

Algumas vezes (especialmente em análise) é necessário calcular

funções exponenciais arbitrárias f(x)x usando se apenas a exponencial natural ex:

ATIVIDADE 8

Matemática

MAT 45

= exlog(f(x))

Logaritmos trocam números por expoentes. Mantendo-se a mesma

base, é possível tornar algumas poucas operações mais fáceis:

OPERAÇÃO

COM NÚMEROS

OPERAÇÃO COM

EXPOENTESIDENTIDADE LOGARÍTMICA

Demonstração da identidade log(a) + log(b) = log(ab)

Por definição, se: log(a) = x então a = 10x. Logo, considerando-se b =

10y, tem-se:

Observa-se em ambos os lados da expressão acima que x + y = x + y,

o que comprova a identidade.

Antes da calculadora eletrônica, isto fazia com que operações difíceis

de dois números fossem muito mais fáceis. Simplesmente se achavam os logaritmos

dos dois números (multiplique e divida) ou o primeiro número (potência ou raiz, onde

um número já é um expoente) em uma tabela de logaritmos comuns, realizava-se

uma operação mais simples neles, e se encontrava o resultado numa tabela. Réguas

de cálculo realizavam as mesmas operações usando logaritmos, mas mais

rapidamente e com menor precisão do que usando tabelas. Outras ferramentas para

realizar multiplicações antes da invenção da calculadora incluem Napier's bones e

calculadoras mecânicas.

ATIVIDADE 8

MAT 46

Matemática

História

Joost Bürgi, um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel,

foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos. O método dos logaritmos

naturais foi proposto pela primeira vez em 1614, em um livro intitulado Mirifici

Logarithmorum Canonis Descriptio escrito por John Napier, Barão de Merchiston na

Escócia, quatro anos após a publicação de sua memorável invenção. Este método

contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com

que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de

calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em

observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua

imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um

papel muito importante em matemática teórica.

De início, Napier chamou os logaritmos de "números artificiais" e os

antilogaritmos de "números naturais". Mais tarde, Napier formou a palavra logaritmo,

para significar um número que indica uma razão: ?o?o? (logos) que significa razão, e

a???µo? (arithmos) significando número. Napier escolheu dessa forma porque a

diferença entre dois logaritmos determina a razão entre os números dos quais eles

são tomados, de forma que uma série aritmética de logaritmos corresponde a uma

série geométrica de números. O termo antilogaritmo foi introduzido no final do século

XVII e, apesar de nunca ter sido usado muito na matemática, persistiu em coleções

de tabelas até não ser mais usado.

Napier não usou uma base como a concebemos hoje, mas seus

logaritmos eram na base . Para facilitar interpolações e cálculos, é útil fazer a razão

r na série geométrica próximo de 1. Napier escolheu r = 1 ? 10 ? 7 = 0.999999, e

Bürgi escolheu r = 1 + 10 ? 4 = 1.0001. Os logaritmos originais de Napier não tinham

log 1=0, ao invés disso tinham log 107 = 0. Desse modo se N é um número e L é seu

logaritmo tal qual calculado por Napier, N = 107(1 ? 10 ? 7)L. Uma vez que (1 ? 10 ? 7)

é aproximadamente 1 / e, L é aproximadamente 107log1 / eN / 107.

ATIVIDADE 8

Matemática

MAT 47

Tabelas de logaritmos

Antes do advento do computador e da calculadora, usar logaritmos

significava usar tabelas de logaritmos, que tinham de ser criadas manualmente.

Logaritmos de base-10 são úteis em cálculos quando meios eletrônicos não são

disponíveis. Veja logaritmo comum para detalhes, incluindo o uso de características

e mantissas de logaritmos comuns (i.e., base-10).

Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de

logaritmos comuns, contendo os logaritmos com 8 dígitos de todos os inteiros

inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logaritima",

contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000,

juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos.

O intervalo de 20.000 a 90.000 foi preenchido por Adrian Vlacq; mas em sua tabela,

que apareceu em 1628, os logaritmos eram de somente 10 dígitos.

Foram descobertos mais tarde 603 erros na tabela de Vlacq, mas "isso

não pode ser considerado uma grande quantidade, quando se é considerado que a

tabela foi um resultado de um cálculo original, e que é possível haver erros quando

mais de 2.100.000 números são utilizados." (Athenaeum, 15 de Junho de 1872. Veja

também as "Notícias Mensais da Sociedade Real de Astronomia" de Maio, 1872.)

Uma edição do trabalho de Vlacq, contendo diversas correções, foi publicado em

Leipzig, 1794, titulado de "Thesaurus Logarithmorum Completus" por Jurij Vegal.

A tabela de 7 dígitos de Callet (Paris, 1795), ao invés de parar em

100.000, dava os logaritmos de oito dígitos dos números entre 100.000 e 108.000,

visando diminuir os erros de interpolação, que eram grandes no início da tabela; e

essa adição era geralmente incluída em tabelas de 7 dígitos. A única extensão

publicada importante da tabela de Vlacq foi feita por Mr. Sang, em 1871, cuja tabela

tinha os logaritmos de 7 casas de todos os números abaixo de 200.000.

Briggs e Vlacq também publicaram tabelas originais de logaritmos de

funções trigonométricas.

ATIVIDADE 8

MAT 48

Matemática

Além das tabelas mencionadas acima, uma grande coleção, chamada

Tables du Cadastre, foi feita sob a direção de Prony, por um cálculo original, sob a

ajuda do governo republicano francês. Esse trabalho, que continha os logaritmos de

9 dígitos de todos os números até o 100.000, e de 24 dígitos dos números entre

100.000 e 200.000, existe apenas no manuscrito in seventeen enormous folios, no

observatório de Paris. Esse trabalho foi iniciado em 1792, e para garantir uma

grande precisão de todos os cálculos, o trabalho foi realizado de duas formas

diferentes, e ambos os manuscritos foram subsequentemente e cuidadosamente

unidos, tendo todo o trabalho sido realizado em um período de dois anos (English

Cyclopaedia, Biography, Vol. IV., artigo "Prony"). Interpolação cúbica poderia ser

utilizada para encontrar o valor dos logaritmos, com uma precisão similar.

Para os estudantes de hoje, que contam com a ajuda de calculadoras,

o trabalho a respeito das tabelas acima mencionada, é pequeno para o avanço dos

logaritmos.

Algoritmo

Para calcular logb(x) se b e x são números racionais e x ? b > 1:

Se n0 é o maior número natural tal que bn0 ? x ou, alternativamente,

então

Este algoritmo recursivamente produz a fração contínua

ATIVIDADE 8

Matemática

MAT 49

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.



ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 8

MAT 50

Matemática

ATIVIDADE 8

Matemática

MAT 51

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar e interpretar corretamente os conceitos

de função.

TEXTO

Função quadrática (Parábola)

A função quadrática f:R->R é definida por

f(x)=ax²+bx+c

onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta

função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a

expressão

a x² + b x + c = 0

representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente

uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do

segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

A função do segundo grau mais simples é a função . Todo ponto de

seu gráfico é da forma , ou seja, a ordenada de cada ponto é o quadrado da abscissa.A curva obtida denomina-se parábola


MAT 52

Matemática

O objetivo aqui é o de descobrir como é o gráfico da função do

segundo grau y=ax2+bx+c, onde , quando comparado ao gráfico de y=x2,

observando as transformações realizadas, dependendo dos parâmetros a, b e c.

Para adquirir essa compreensão, começamos com situações mais simples, tendo

sempre como referência o gráfico de y=x2.

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 9

Matemática

MAT 53

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar e entender os conceitos de função do

primeiro e segundo graus.

TEXTO

O PLANO CARTESIANO

Referência histórica: Os nomes Planos Cartesiano e Produto

Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e

matemático francês. O nome de Descartes em Latim era Cartesius, daí vem o nome

cartesiano. plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y

perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das

abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando

a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano

cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par

ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada

respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medida do deslocamento a partir da origem

para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

ATIVIDADE 10

MAT 54

Matemática

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima

(se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se

a b.

Funções quadráticas

Sejam a, b e c números reais, com o não nulo. A função quadrática é

uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x²

2. f(x)=-4 x²

3. f(x)=x²-4x+3

4. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada

parábola.

Construção gráfica de uma parábola.

ATIVIDADE 10

Matemática

MAT 55

Seja y = x²+2x-3

Temos: a = 1 , b = 2 e c= -3 , logo ∆= b2 – 4 a c = 2 2- 4 ( 1)(-3)=16

x1= 1

x = - b ± ? ∆ = - 2 ± 4 = raízes ou zeros da função( 1,0) e ( -3,0)

2 b 2(1) x 2= -3

Vértice da parábola : V = ( - b , -∆ )

2a 4a

Assim temos :

x v = -2 = -1 y v = -16 = - 4 , logo V = ( -1, -4 )

2 4

Agora observe como ficou o gráfico que representa a parábola:

Construir, usando o procedimento apresentado acima, para a

representação gráfica das funções quadráticas :

a) y = x 2- 4 x + 3

b) y= -x 2+ 10 x -16

c) y = x 2

d) y = x 2 – 6 x + 9

ATIVIDADE 10

MAT 56

Matemática

Construir, usando o procedimento apresentado acima, para a

representação gráfica das funções quadráticas :

a) y = x 2- 4 x + 3

b) y= -x 2+ 10 x -16

c) y = x 2

d) y = x 2 – 6 x + 9

2) Expressar a área de um círculo em função de seu raio r .Qual é o

domínio desta função?

3) O comprimento de um dos lados de um campo de futebol de forma

regular é 40% maior que o comprimento do outro lado. Um jogador deve percorrer a

diagonal do campo. Qual é o modelo funcional que descreve a distância a ser

percorrida pelo jogador em função:

a) do comprimento maior do campo?

b) do comprimento menor do campo?

4) Construir um modelo funcional que descreva a área de um triângulo

eqüilátero em função do seu lado.

5) O comprimento dos lados iguais de um triângulo isósceles é de 10 cm.

Construa um modelo funcional que descreva a área desse triângulo em função do

terceiro lado.

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.



ATIVIDADE 10

Matemática

MAT 57

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar os conceitos de limites e derivadas e

aplicações.

TEXTO

A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , é igual ao valor da

tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva

representativa de

y=f(x), no ponto x = x0, ou seja, a derivada é o coeficiente angular da reta tangente ao

gráfico da função no ponto x0.

DERIVADAS

A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também

pelos símbolos:

y' , dy/dx ou f ' (x).

A derivada de uma função f(x) no ponto x0 é dada por:

São comuns as interpretações da derivada: geométrica e

trigonométrica, isto é, geometricamente, a derivada é a reta tangente à uma curva

de uma função qualquer y = f(x), em um ponto x0 da mesma (daí a importância de se

definir derivada em um ponto x0), enquanto que trigonometricamente, seu valor é

igual à tangente que essa reta faz com o eixo dos x. É importante deixar claro que

não são duas interpretações independentes como parece, mas são formas de

interpretar que se complementam.

ATIVIDADE 11

MAT 58

Matemática

Exemplos

a) Queremos estudar o comportamento da função y= x2 + 4 próximo

ao ponto p = 3. Para isso, vamos calcular a taxa média de variação no intervalo de

extremos 3 e x ,

b = x y = f (x ) = x2 + 4

a = 3 y = f( 3 )= 3 2 + 4 = 13

∆ x = x – 3 ∆ y = x2 + 4 – 13 = x2 – 9 ∴ TMV = ∆ y = x2 – 9

∆ x x – 3

Se queremos o comportamento da TMV próximo ao ponto p = 3 devemos calcular o

limite:

Lim x 3 = x2 – 9

x – 3

que é o limite que conduz a uma fração do tipo 0 .

0

Portanto devemos construir tabelas :

x y x y2

2,9

2,99

2,999

5

5,9

5,99

5,999

4

3,1

3,01

3,001

7

6,1

6,01

6,001

3 6 3 6

Logo o valor do limite é, L = 6

ATIVIDADE 11

Matemática

MAT 59

A derivada de y x2 + 4 no ponto p=3 vale 6, e indicamos: y ´= (3) = 6.

Interpretação : próximo ao ponto p= 3, a tendência da função é crescer 6.

Cálculo da função derivada

1) Derivada da potência

Se y = x α , com α∈R ,então sua derivada é y ´= (x α ) ´= α x α- 1 .

Exemplos

a) y = 3 x 2 y ´= 6 x 1

b) y = 5x 6 y´ = 30 x 5

c) y = x -3 y ´= -3 x -4

Regras de derivação

R1 Derivada do produto de uma constante k por uma função.

Se y =k x α , com α∈R ,então sua derivada é y ´= k(x α ) ´= kα x α- 1 .

Exemplos :

a) y = 3 y´ = ( 3x -2) ´ = -6 x -3

x 2

b) y = 5 √ x y ´= ( 5 x ½)´= 5 ( x ) -1/2

2

ATIVIDADE 11

MAT 60

Matemática

R2 Derivada da soma (ou diferença) de funções

Se f e h são funções deriváveis e y = f ± h ,então sua derivada é: y ´= ( f ± h)´= f ´±

h´.

Exemplos:

a) y = x 3 + x 2 y ´= 3 x 2 + 2 x

b) y = x 6 + x 8 y´= 6 x 5 + 8 x 7

2) Derivada de uma constante

Seja y = k , sua derivada é y ´= ( k) ´

Exemplos:

a) y – 12 y ´= 0

b ) y = - 0,56 y ´= 0

3) Derivada de um produto de duas funções .

Se y = f (x ) . h( x) y´= f(x) + h(x)´+ f ( x) ´h(x)

Exemplos : y = 3 x2 . (6x + 1) y ´= 3 x2 .6 + 6x .( 6x + 1) = 54 x2 + 6

ATIVIDADE 11

Matemática

MAT 61

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.


São Paulo:Atlas, 2007.

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 11

MAT 62

Matemática

ATIVIDADE 11

Matemática

MAT 63

LIMITES

OBJETIVOS

O aluno será capaz de relacionar e interpretar corretamente os conceitos

de função.

TEXTO

DEFINIÇÃO

Dizer que o limite de uma função y= f(x),em um ponto p ,é um número L,é

afirmar que, à medida que x se aproxima de pós valores da função aproxima-se do

número L.

Calcular limites desse tipo não gera problema algum, pois a função dada

está definida no ponto para o qual a variável x está tendendo. Nesse caso, usamos o

Teorema sobre as propriedades dos limites, que nos permite calcular o limite da

soma, produto ou quociente de funções, desde que algumas hipóteses estejam

satisfeitas.

DEFINIÇÃO DE DERIVADA

Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a

secante (reta que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na tangente

à curva no ponto a, ou seja calculamos o limite da razão incremental quando a

distância entre os dois pontos tende para zero.

Geometricamente, a derivada é o declive da reta r no ponto a quando h

tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada duma função num ponto a é

determinar a tangente trigonométrica da tangente geométrica a curva nesse ponto.

ATIVIDADE 12

MAT 64

Matemática

Definição analítica. : f é derivável em a se existe eescreve-se :

outra forma menos usual de apresentar esta definição é

onde representa o acréscimo da variável

Do que foi visto anteriormente, a derivada duma função exprime o coeficiente de variação da função no ponto a.

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 12

Matemática

MAT 65

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e relacionar os conceitos de

derivadas.

TEXTO

Observando a fig. ao abaixo onde está representada uma função f(x),

verifica-se que quando o valor de x aumenta de a para b a função f(x) também passa

de f(a) para f(b). Portanto à variação de para b sucede a variação de f(a) para f(b).

Para calcular a variação média da função basta fazer o quociente entre estas duas

variações. No fundo estamos a calcular o declive da reta secante à curva em a e b

É, por exemplo, o que se passa quando se quer calcular a velocidade

média de um móvel cuja trajetória é a curva f(x)

DERIVADAS ATIVIDADE 13

MAT 66

Matemática

Definição de derivada

Quando os dois pontos da curva se aproximam indefinidamente, a

secante (reta que passa por esses dois pontos) acaba por transformar-se na

tangente à curva no ponto a, ou seja calculamos o limite da razão incremental

quando a distância entre os dois pontos tende para zero.

Geometricamente, a derivada é o declive da reta r no ponto a

quando h tende para zero. Por outras palavras: calcular a derivada duma

função num ponto a é determinar a tangente trigonométrica da tangente

geométrica a curva nesse ponto.

Definição analítica. : f é derivável em a se existe eescreve-se

outra forma menos usual de apresentar esta definição é

onde representa o acréscimo da variável

ATIVIDADE 13

Matemática

MAT 67

Exemplo 1:

1- Determinar, usando a definição , a derivada de v(x) = x2 - x no ponto 3

Notação de Leibniz

Até aqui temos designado a derivada de uma função f por f '(x) ( ou

também como D(f(x)) ). Mas existe outra notação, devida a Leibniz, para traduzir a

derivada duma função:

Algumas derivadas básicas

Nas fórmulas abaixo, u e v são funções da variável x.

a, b, c e n são constantes.

Derivada de uma constante

Derivada da potência

Portanto:

ATIVIDADE 13

MAT 68

Matemática

Soma / Subtração

Produto por uma constante

Derivada do produto

Derivada da divisão

Potência de uma função

Derivada de uma função composta

REFERÊNCIAS

Silva, Sebastião Medeiros da, Matemática básica para cursos superiores. São Paulo: Atlas, 2001.

Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas.São Paulo:Atlas,2007

ATIVIDADE 13

Matemática

MAT 69

TÁBUA DE INTEGRAIS

OBJETIVOS

O aluno será capaz de reconhecer e aplicar corretamente os conceitos

de integral.

TEXTO

Integração é uma das duas operações básicas em cálculo. Como, ao

contrário da diferenciação, é uma operação não-trivial, existem tabelas de integrais

conhecidas que frequentemente se mostram úteis. Esta página relaciona algumas das

antiderivadas mais comuns.

Usa-se C como constante arbitrária de integração que só pode ser

determinada se tivermos conhecimento do valor da integral em algum ponto específico.

Cada função tem infinitas antiderivadas, diferenciadas entre si pelo valor específico de

C.

O uso do sinal ( ‘ ) denota a derivada da função em ordem a x.

Estas fórmulas são apenas outra forma de apresentação das asserções

da tabela de derivadas.

INTEGRAL DE RIEMANN

Definição

Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e a = xo < x 1 < x2 < ....< x n =b,

a subdivisão do intervalo[a,b] em intervalos parciais.Em cada um desses intervalos

parciais, escolhemos um ponto p.

A soma :

Σ f( pi) .∆xi= f (p1) .∆x1+ f (p2) .∆x2+…..+ f(pn) .∆xn

recebe o nome de Soma de Riemann da função f sobre o intervalo [a,b] para as

ATIVIDADE 14

MAT 70

Matemática

divisão adotada e para a escolha dos pontos p em cada intervalo.

Cálculo da integral definida

Exemplo

Dado y = f(x),calcular sua primitiva F(x).

Seja y = 5 ,x ÎR

A função F(x)= 5x é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x)´= 5

A função F(x)= 5x + 10 é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x + 10)´= 5

A função F(x)= 5x - 4 é uma primitiva de f, pois :F´(x) =(5 x- 4 )´= 5

INTEGRAL INDEFINIDA

∫ f (x) dx = F( x) + C

Exemplo:

Calcular a integral indefinida da função: y = 4x + 5 , x ∈ R .

∫ (4x + 5) dx = 2 x2 + 5 x + c

Cálculo da integral indefinida

Fórmulas básicas de integração

Sejam f e g funções que tenham primitivas

P1 – A integral da soma ou diferença de duas funções.

P2-A integral do produto de duas funções

ATIVIDADE 14

Matemática

MAT 71

Integrais de Funções Simples

Logaritmos

Caso particular:

Funções Exponenciais

Caso particular:

Funções Trigonométricas

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Calcular as integrais indefinidas

a) ∫ 4 dx

b) ∫ -6 dx

c) ∫0,5 dx

d) ∫ ¾ dx

e) ∫(x 2 – x ) dx

f)∫10x 4 dx

g) ∫6x 2 + 3x – 7)dx

h) ∫ 2 ex dx

i) ∫ 3 sen x dx

j) ∫ ( 3x – 2 cox ) dx

l) ∫ ( (1 – 2 cos x) dx

ATIVIDADE 14

MAT 72

Matemática

REFERÊNCIAS


Atlas, 2001.

Silva,Fernando César Marra e. Matemática básica para decisões administrativas. São

Paulo:Atlas, 2007

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 14

Matemática

MAT 73

OBJETIVOS

O aluno será capaz de resolver e relacionar derivadas e integral.

TEXTO

Regras de integração de funções em geral

ou, de outra forma,

INTEGRAIS DE FUNÇÕES SIMPLES

Logaritmos

Caso particular:


MAT 74

Matemática

Funções Exponenciais

Caso particular:

Funções Trigonométricas

Uma aplicação da integral indefinida

1) A integral indefinida funciona como uma espécie de inversa para a derivada. Se f(x)=x², então:

x² dx = x³/3 + C

Algumas regras das integrais indefinidas

Como a derivada de f(x)=xn+1/(n+1) é igual a g(x)=xn, segue que:

xn dx = xn+1/(n+1) + C

ATIVIDADE 15

Matemática

MAT 75

É fundamental que n seja diferente de -1, pois a derivada da função

logarítmica f(x)=ln(x) é a função g(x)=1/x, assim:

(1/x) dx = ln(x) + C

Como a derivada da função exponencial f(x)=exp(x)=ex é a própria

f(x)=ex, então:

ex dx = ex + C

2)Se a taxa de crescimento da população de uma cidade daqui a x

anos pode ser considerada como f(x)=117+200x e hoje existem 10.000 pessoas na

cidade, qual será o número total de pessoas da cidade daqui a 5 anos? Como:

P’(x) = 117 + 200x

então:

P(x)= P’(x)dx= (117+200x)dx=117x+100x²+C

assim, podemos obter o valor de C pois P(0)=10.000. Realmente:

10000 = P(0) = 117×0 + 100×0² + C

logo

P(x) = 117x + 100x² + 10000

e daqui há 5 anos, a população da cidade será:

P(5)=117×5 + 100×5² + 10000 = 13085

ATIVIDADE 15

MAT 76

Matemática

ANOTAÇÕES

ATIVIDADE 15

Documents

Apostila de Matematica