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APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA
Técnico em Construção Civil e Edificações
Professor V. Filho
Físico e Matemático
2
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um
deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio
ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas
medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada
grandeza.
Medidas de comprimento
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir comprimentos é o metro,
cuja abreviação é m. Existem os múltiplos e os submúltiplos do metro, veja na tabela:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro Decímetro centímetro Milímetro
km hm dam m m cm mm
1 000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
Existem outras unidades de medida, mas que não pertencem ao sistema métrico decimal.
1 polegada = 25 milímetros ou 2,5 cm
1 milha = 1 609 metros
1 légua = 5 555 metros
1 pé = 30 centímetros
1 arroba = 15 kg.
1 palmo = 8 polegadas = 22 cm
1 barril de petróleo = 159,11315 litros (se for o barril imperial britânico)
3
Transformação de unidades de comprimento
Observando o quadro das unidades de comprimento, podemos dizer que cada unidade de
comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as sucessivas
unidades variam de 10 em 10.
Por exemplo:
7 m = 7 x 102 cm = 700 cm 500 m = 500 x 10-3 km = 0,5 km
Medidas de superfície
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir superfícies é o metro
quadrado, cuja representação é m2 . O metro quadrado é a medida da superfície de um
quadrado de um metro de lado. Como na medida de comprimento, na área também temos
os múltiplos e os submúltiplos:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 m2
Transformação de unidades de superfície
Veja os exemplos:
1. 5 m2 = 5 x 102 dm2 = 500 dm2
2. 3 km2 = 3 x 106 m2 = 3 000 000 m2
3. 20 000 m2 = 20 000 x 10-6 km2 = 0,02 km2
Obs. Quando queremos medir grandes porções de terra (como sítios, fazendas etc.)
usamos uma unidade agrária chamada hectare (ha).
O hectare é a medida de superfície de um quadrado de 100 m de lado.
4
1 hectare (há) = 1 hm2 = 10 000 m2
Em alguns estados do Brasil, utiliza-se também uma unidade não legal chamada alqueire.
1 alqueire mineiro é equivalente a 48 400 m2.
1 alqueire paulista é equivalente a 24 200 m2.
Medidas de volume
No sistema métrico decimal, a unidade fundamental para medir volume é o metro
cúbico, cuja abreviatura é m3 . O metro cúbico (m3) é o volume ocupado por um cubo de
1 m de aresta. Como nas medidas de comprimento e de área, no volume também temos
os múltiplos e os submúltiplos:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1 000 000 000
m3
1000 000
m3
1000
m3
1 m3 0,001 m3 0,000001
m3
0,000000001 m3
As mais utilizadas, além do metro cúbico, são o decímetro cúbico e o centímetro
cúbico.
Transformação de unidades de volume
Veja os exemplos:
1. 8,2 m3 = 8,2 x 103 dm3 = 8 200 dm3
2. 500 000 cm3 = 500 000 x 10-6 m3 = 0,5 m3
Medidas de capacidade
A unidade fundamental para medir capacidade de um sólido é o litro.
De acordo com o Comitê Internacional de Pesos e Medidas, o litro é, aproximadamente,
o volume equivalente a um decímetro cúbico, ou seja:
5
1 litro = 1,000027 dm3
Porém, para todas as aplicações práticas, simples, podemos definir:
1 litro = 1 dm3
Veja os exemplos:
1) Na leitura do hidrômetro de uma casa, verificou-se que o consumo do último mês foi
de 36 m3. Quantos litros de água foram consumidos?
Solução: 36 m3 = 36 000 dm3 = 36 000 litros
2) Uma indústria farmacêutica fabrica 1 400 litros de uma vacina que devem ser
colocados em ampolas de 35 cm3 cada uma. Quantas ampolas serão obtidas com essa
quantidade de vacina?
Solução: 1 400 litros = 1 400 dm3 = 1 400 000 cm3
(1 400 000 cm3): (35 cm3) = 40 000 ampolas.
Outras unidades para medir a capacidade
São também utilizadas outras unidades para medir capacidade, que são múltiplos e
submúltiplos do litro:
Múltiplos u.f. Submúltiplos
hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro
hl dal l dl cl ml
100 l 10 l 1 l 0,1 l 0,01 l 0,001 l
6
Transformação de unidades de capacidade
Veja os exemplos:
1) Expressar 15 l em ml.
Solução: 15 l = (15 x 103) ml = 15 000 ml
2) Expressar 250 ml em cm3.
Solução: 250 ml = 0,25 l = 0,25 dm3 = 250 cm3
EXERCÍCIOS________________________________________________
1. 15.000 mm2 + 15 cm2 é igual a:
A) 0,1515 dm2 B) 1,5015 dm2 C) 1,65 dm2
D) 15,15 dm2 E) 151,5 dm2
2. Se uma vela de 36 cm de altura diminui 1,8 mm por minuto, quanto tempo levará para
se consumir?
A) 2 h B) 2 h 36 min C) 3 h
D) 3 h 18 min E) 3 h 20 min
3. Um reservatório tem 1,2 m de largura, 1,5 m de comprimento e 1 metro de altura. Para
conter 1.260 litros de água, esta deve atingir a altura de:
A) 70 cm B) 0,07 m C) 7 m
D) 0,7 dm E) 700 cm
4. Uma parede de 5 m por 2,40 m tem uma porta de 2,00 m por 70 cm e deve ser azulejada
com peças quadradas de 10 cm de lado. O mínimo de azulejos necessários para não haver
sobra é igual a:
A) 106 B) 1.060 C) 10.600
7
D) 106.000 E) 1.060.000
5. Um município colheu uma produção de 9.000 toneladas de milho em grão em uma área
plantada de 2.500 hectares. Obtenha a produtividade média do município em termos de
sacas de 60 kg colhidas por hectare.
A) 50 B) 60 C) 72
D) 90 E) 100
Medida de massa
Introdução
Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:
Massa é a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em
qualquer lugar da terra ou fora dela.
Peso de um corpo é a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da
terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:
Quilograma
A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.
O quilograma (kg) é a massa de 1dm3 de água
destilada à temperatura de 4ºC.
Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática
o grama como unidade principal de massa.
Múltiplos e Submúltiplos do grama
Múltiplos Unidade
principal Submúltiplos
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
kg hg dag g dg cg mg
1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g
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Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente
inferior. Exemplos:
1 dag = 10 g
1 g = 10 dg
Relações Importantes
Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.
Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte
equivalência:
1 kg <=> 1dm3 <=> 1L
São válidas também as relações:
1m3 <=> 1 kl <=> 1t
1cm3 <=> 1ml <=> 1g
Observação:
Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:
1 arroba = 15 kg
1 tonelada (t) = 1.000 kg
1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg
Leitura das Medidas de Massa
A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas
lineares. Exemplos:
Leia a seguinte medida: 83,732 hg
kg hg dag g dg cg mg
8 3, 7 3 1
Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".
Leia a medida: 0,043g
kg hg dag g dg cg mg
0, 0 4 3
Lê-se " 43 miligramas".
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Medidas de tempo
Introdução
É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:
Qual a duração dessa partida de futebol?
Qual o tempo dessa viagem?
Qual a duração desse curso?
Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?
Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de
tempo. A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.
Segundo
O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as
sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.
O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.
As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.
Múltiplos e Submúltiplos do Segundo
Quadro de unidades
Múltiplos
minutos hora dia
min h d
60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s
São submúltiplos do segundo:
décimo de segundo
centésimo de segundo
milésimo de segundo
Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas
de tempo não é decimal.
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MÉDIA ARITMÉTICA
Em uma família com 4 integrantes, o primeiro consome 1200 ml de leite por dia,
o segundo 1400 ml, o terceiro 1000 ml e o quarto integrante consome 1600 ml de leite
por dia.
O consumo total diário desta família também seria de 5200 ml se cada um dos
seus 4 integrantes consumisse 1300 ml diários de leite.
A função da média é justamente esta, transformar um conjunto de números
diversos em um único valor, a fim de que se possa ter uma visão global sobre os dados.
Média Aritmética Simples
Dos vários tipos de médias utilizados, o mais simples e o mais comum é a média
aritmética simples.
Dados os números 1200, 1400, 1000 e 1600, para apurarmos o valor médio aritmético
deste conjunto, simplesmente o totalizamos e dividimos o total obtido pela quantidade de
valores do conjunto
1200 + 1400 + 1000 + 1600
4=5200
4= 1300
Digamos que em um concurso você tenha feito três provas e tenha tirado as seguintes
notas: 10, 8 e 3. Qual foi a sua nota média afinal?
Vejamos: 10 + 8 + 3
3=21
3= 7
Como a nota mínima para passar no concurso era a nota 7, você se sente feliz e aliviado
por ter conseguido alcançá-la.
Média Aritmética Ponderada
Mas foi aí que lhe veio a surpresa! Na última hora você soube que a nota média
seria calculada atribuindo-se um peso diferente a cada prova. Você fica apreensivo. E
agora?
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Nos bastidores você soube que a primeira prova teria peso 3, a segunda peso 2 e a terceira
teria peso 5. Vamos aos cálculos:
10.3 + 8.2 + 3.5
3 + 2 + 5=30 + 16 + 15
10=61
10= 6,1
Que pena meu rapaz! Infelizmente a sua média de 6,1 não atingiu o valor mínimo de 7.
Resumindo, para se apurar a média aritmética ponderada, primeiramente multiplique
cada valor pelo seu respectivo peso. Some todos os produtos encontrados e divida este
total pela soma dos pesos.
Média Geométrica
Este tipo de média é calculada multiplicando-se todos os valores e extraindo-se a raiz de
índice n deste produto.
Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio aritmético deste
conjunto, multiplicamos os elementos e obtemos o produto 216. Pegamos então este
produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.
Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 elementos. Se
fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.
Neste exemplo teríamos a seguinte solução:
√4.6.93
= √2163
= 6
EXERCÍCIOS________________________________________________
1) Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?
2) Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os
seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?
3) Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?
4) Dado um conjunto de quatro números cuja média aritmética simples é 2,5 se incluirmos
o número 8 neste conjunto, quanto passará a ser a nova média aritmética simples?
12
5) A média das notas dos 50 alunos de uma classe e 7,7. Se considerarmos apenas as notas
dos 15 meninos, a nota média é igual a 7. Qual a média das notas se considerarmos apenas
as meninas?
RAZÕES E PROPORÇÕES
Revisar o estudo de proporções é neste momento muito importante, já que todos os temas
a serem trabalhados se baseiam nas grandezas proporcionais. Mas para compreendermos
o que é uma proporção, necessitamos, primeiramente, recordar o conceito de razão em
Matemática.
Razão
Razão como comparação entre dois números:
Quando se diz:
- Na minha cidade há um carro para cada 5 habitantes.
A razão entre 1 : 5 é representada pela fração 5
1
- Na sala de aula há 20 moças para 15 rapazes.
A razão entre 4 : 3 é representada pela fração 3
4
- No baile de formatura havia três moças para cada dois rapazes.
A razão entre 3 : 2 é representada pela fração 2
3
- Uma caixa de pó de gelatina permite fazer 4 porções.
A razão entre 1 : 4 é representada pela fração 4
1
Razão entre dois números é o quociente indicado entre eles.
Ex. A razão entre a : b é representada pela fração b
a
13
Se a e b representam dois números racionais (com b ≠ 0), então a razão entre a e
b é o quociente de a por b. O primeiro número é chamado antecedente e o segundo
consequente.
OBS.: As razões são escritas preferencialmente na forma de fração mais simples.
Razões especiais
Escala: (1 : 1000)
Escala de um desenho é a razão entre um comprimento no desenho e o
correspondente comprimento real medidos numa mesma unidade.
Exemplo: a escala 1 : 1000 significa que os comprimentos verdadeiros são 1.000
vezes maiores que os correspondentes comprimentos do desenho.
Assim, 5 cm no desenho equivalem a 5.000 cm no terreno, ou 50 metros.
Aplicação prática:
Num mapa a distância entre duas cidades está representada por 2,5 cm. Se a escala
usada é 1 : 10.000.000 qual é, em km, a distância entre as duas cidades?
Resposta: 2,5 x 10.000.000 cm = 25.000.000 cm = 250 km.
Velocidade média: (Km/h)
Velocidade média é a razão entre um espaço percorrido e o tempo gasto para
percorrê-lo.
Aplicação prática:
Um automóvel percorreu 240 km em 3 horas. Qual a velocidade média desse
automóvel?
14
Vm = Tempo
Distância => Vm =
horas
km
3
240 => Vm = 80 km/h.
Densidade demográfica: (hab/km²)
Densidade demográfica é a razão entre o número de habitantes e o número que
exprime a medida da superfície da região que habitam.
Aplicação prática:
Qual é a densidade demográfica de um país de área igual a 258.000 km² e que
possua 32.585.400 habitantes?
Resposta: D = 2km
hab D =
000.258
400.585.32 D = 126,3 hab/km².
Densidade de um corpo: (d)
Densidade de um corpo é a razão entre a sua massa e o seu volume. d = m/v
Aplicação prática
Uma estátua de bronze tem 140 kg de massa e seu volume é de 16 dm3. Qual é a
sua densidade?
Resposta: d = v
m d =
316
140
dm
kg d = 8,75 kg/dm3
EXERCÍCIOS________________________________________________
1. Escreva a razão, sob forma de fração mais simples, das seguintes expressões:
15
a) 7 meses para um ano.
b) 300 poltronas ocupadas para 900 poltronas disponíveis.
c) 10 metros para 2 dam.
d) 0,8 litros para 200 cm3 (1 litro = 1 dm3)
e) 10 metros para 2 dam.
f) 5 metros para 0,5 km.
g) a para b sendo (a e b ≠ 0)
h) 40 dm3 para 20 litros.
i) 5 kg para 100 gramas.
Qual a razão igual à 5
2, cujo antecedente é igual a 8?
3. Qual a razão igual a 4
1, cujo conseqüente é igual a 12?
4. A razão entre dois números é 2
3. Qual é a razão entre os triplos desses números?
5. Qual é a razão igual a 42
30, cujo antecedente é igual a 5?
6. Quem tem a maior razão de acertos: Antônio, que em 40 exercícios acertou 32 ou Paulo
que em 36 exercícios acertou 28?
7. A escala de trabalho é 1 : 1.000. Responda:
a) 1 cm corresponde na realidade a quantos metros?
b) 500 m correspondem na realidade a quantos quilômetros?
c) 8 mm correspondem na realidade a quantos metros?
8. Qual a densidade demográfica de um município de área igual a 258.000 km2 e que
possua 32.585.400 habitantes? .
9. Um trem parte da cidade A às 17:45 h e chega na cidade B às 21;45 h. Se a distância
da cidade A até a cidade B é de 290 km, qual a velocidade média do trem nesse percurso?
10. Um avião voa 1.800 km em 3 horas. Qual é a razão que dá o número de quilômetros
percorridos para o número de horas empregadas no vôo?
16
11. A distância entre São Paulo e Brasília é de 1.150 km. Qual a velocidade média de um
ônibus que faz esse percurso em doze horas e meia?
12. Uma pedra preciosa tem 67,2 g de massa e ocupa um volume de 16 cm3. Qual a
densidade dessa pedra preciosa?
Proporções
Proporção é a igualdade entre duas razões
Sejam os números 3, 4, 6 e 8, onde a razão dos dois primeiros (3 : 4) é igual à
razão dos dois últimos (6 : 8).
Então 3 : 4 = 6 : 8 e dizemos que os números 3, 4, 6 e 8, nessa ordem, formam uma
proporção
Indicação e leitura
3 : 4 = 6 : 8 ou 4
3 =
8
6 ou 3 : 4 : : 6 : 8
(lê-se três está para quatro assim como seis está para oito)
Os números 3, 4, 6 e 8 são chamados termos da proporção, sendo o primeiro e o
quarto os extremos e o segundo e o terceiro os meios.
Os números 3 e 6 são os antecedentes 4 e 8 os consequentes da proporção.
Propriedades das Proporções
Em toda proporção a soma dos dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo,
assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou quarto.
17
Se b
a =
d
c então
a
ba =
c
dc ou
b
ba =
d
dc
Exemplo:
Se 4
3 =
8
6 então
3
43 =
6
86 ou
4
43 =
8
86
Aplicação prática:
Os volumes de dois cubos estão entre si assim como 3 está para 4. Calcular o
volume de cada cubo, sabendo-se que a soma desses volumes é 21 dm3.
21
4
3
ba
b
a
a
ba =
3
43 =>
a
21=
3
7 => a =
7
3.21 => a = 9
Como a + b = 21 vem: 9 + b = 21 => b = 21 – 9 => b = 12
NÚMEROS PROPORCIONAIS
Números diretamente proporcionais
Seja uma sucessão de números: 5 8 10
Multiplicado por um mesmo número (2 por exemplo), obtém-se uma nova sucessão:
10 16 20
Observe que a razão entre os números dessas sucessões é sempre a mesma.
10
5 =
16
8 =
20
10 =
2
1 (razões iguais)
Nestas condições, dizemos que os números dessas sucessões são diretamente
proporcionais. A razão igual (1/2 no exemplo) entre dois números correspondentes é
denominada fator de proporcionalidade.
18
Aplicação prática:
Sabendo-se que os números das sucessões 8
a e
d
3 são diretamente proporcionais
e que o fator de proporcionalidade é 1/4 determinar os valores de a e d.
4
1
8
a =>
4
1.8a => a = 2
4
13
d =>
1
4.3d => d = 12
Números inversamente proporcionais
Sejam as duas sucessões de números: │4 6 8
│12 8 6
Esses números, que não são diretamente proporcionais pois (12
4 ≠
8
6 ≠
6
8), têm uma
propriedade comum: o produto do antecedente pelo seu consequente é sempre o mesmo
(48).
4 x 12 = 6 x 8 = 8 x 6
Nestas condições, dizemos que os números 4 6 8
12 8 6
São inversamente proporcionais e que o produto comum (48) é o fator de
proporcionalidade.
Aplicação prática:
Determinar a e b na sucessão de números inversamente proporcionais:
│52 a 13
│1 26 b
Como os números são inversamente proporcionais, temos:
52 x 1 = a x 26 = 13 x b => a x 26 = 52 => a = 26
52 => a = 2
b x 13 = 52 => b = 13
52 => b = 4
19
EXERCÍCIOS________________________________________________
1. Repartir 32 em partes diretamente proporcionais aos números 3, 5 e 8.
2. Repartir 92 em partes diretamente proporcionais a 4
3,
3
2 e
2
1.
3. Repartir 144 em partes inversamente proporcionais aos números 3, 4 e 12.
4. Repartir 2.500 em partes inversamente proporcionais a 2
3,
4
1 e
8
9.
5. Repartir 3.900 em partes inversamente proporcionais aos números 1, 7
1 e 0,2.
Exercícios de recapitulação
1. Determine a forma mais simples de cada uma das seguintes razões:
a) 12 : 120 b) 0,3 : 0,33 c)
2
11
3
2.
4
3.
3
1
2
1
d)
5
1
3
2.
10
125
1
5
3
2. Marcelo tinha 1,57 m de altura na 5ª série e agora na 6ª série mede 1,61 m. Determine
a razão da altura atual para a do ano anterior.
3. Se numa prova de 15 questões Lúcia acertou 12 e numa de 20 questões Ana acertou
18, quem teve a maior razão de acertos?
4. Na planta de uma casa 2 cm representam 4 m. Qual a escala empregada?
5. Num baile havia 3 homens para cada 2 mulheres. Se havia 90 homens, quantas eram
as mulheres? Quantas pessoas havia no baile?
6. Dois cubos são tais que a resta de um é a terça parte da aresta do outro. Calcule as
razões entre os volumes.
7. Desenhe numa escala 1:100 um canteiro retangular de 3 m de comprimento e 2,5 m de
largura.
8. Desenhe numa escala 1:30 um canteiro circular de 1,5 m de raio.
9. Num guia rodoviário, uma estrada que liga duas cidades x e y tem 12,8 cm de
comprimento. Se a escala usada foi de 1:1.000.000, qual é a distância real entre as duas
cidades?
10. Um carro percorreu 600 km em 8 h. Qual foi a sua velocidade?
11. Calcule a densidade demográfica de uma sala de aula de 8 m de comprimento por 6
m de largura, frequentada por 41 alunos mais o professor.
20
REGRA DE TRÊS
Regra de três simples direta
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que
envolvem duas grandezas diretamente proporcionais.
Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um
segundo valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra.
Se as grandezas são diretamente proporcionais, a regra de três diz-se direta.
A técnica para resolver problemas consiste em obter com os três dados e a
incógnita procurada uma proporção e dela tirar o valor desejado.
Exemplo:
Se 15 m de certo tecido custam R$ 90,00, quanto custarão 32 m desse tecido?
Indicando por x o preço dos 32 m de tecido, temos a seguinte disposição prática:
↓ 15 -------------- 90 ↓
↓ 32 -------------- x ↓
Como neste exemplo as grandezas comprimento e custo são diretamente
proporcionais, assinalamos essa variação na disposição prática mediante flechas no
mesmo sentido.
A proporção resultante é:
32
15
x
90 onde x =
15
90.32 => x = 192
Logo, os 32 m de tecido custarão R$ 192,00
21
Regra de três simples inversa
É uma técnica de cálculo, mediante a qual são resolvidos problemas que
envolvem duas grandezas inversamente proporcionais.
Conhecido um par de valores correspondentes das duas grandezas, procura-se um
segundo valor de uma delas que corresponda a um segundo valor assinalado na outra.
Se as grandezas são inversamente proporcionais, a regra de três diz-se inversa.
Exemplo:
Se 6 operários levam 10 dias para levantar um muro ao redor de um campo de
futebol, quantos operários seriam necessários para levantar o muro em 3 dias.
Como o tempo necessário para efetuar uma obra é inversamente proporcional
ao número de operários empregados, temos a seguinte disposição prática, agora
assinalada com flechas de sentidos contrários:
↓ 6 operários------------------ 10 dias ↑
↓ x operários ----------------- 3 dias ↑
Invertendo a segunda razão (10 / 3), resultará a seguinte proporção:
x
6
10
3 onde x =
3
10.6 => x = 20
Portanto, são necessários 20 operários para levantar o muro em 3 dias.
Exercícios:
1. Cinco operários fazem um serviço em 8 dias. Se forem contratados mais 3
operários, em quantos dias ficaria pronto o serviço?
2. Se uma torneira enche 1/6 de um tanque em uma hora, quanto tempo levará para
encher o tanque todo?
22
3. Calcule a altura de um edifício que projeta uma sombra de 19,60 m. no mesmo
instante em que um bambu de 3,8 m, plantado verticalmente, projeta uma sombra
de 4,90 m.
4. Uma roda dá 2.376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1 h 27 min?
5. Um automóvel percorre um determinado trajeto em 2 horas, com a velocidade de
40 km/h. Se triplicar a velocidade, para percorrer o mesmo trajeto, qual será o
tempo do percurso?
6. Cinco homens, em 8 dias, ganham US$ 480,00. Quantos dias seriam necessários
para 9 homens ganharem US$ 2.376,00?
7. Para alimentar uma família de 6 pessoas durante dois dias, são necessários 3 litros
de leite. Para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes duas pessoas, quantos
litros de leite serão necessários?
Regra de três composta
É uma técnica de cálculo empregada para resolver problemas que envolvem
mais de duas grandezas.
A grandeza cujo valor é procurado pode ser diretamente ou inversamente
proporcional a todas as outras ou ainda diretamente proporcional a umas e inversamente
proporcional a outras.
Aplicação Prática:
1. Em 6 dias de trabalhos aprontam-se 720 uniformes escolares fazendo funcionar 16
máquinas de costura. Em quantos dias de podem aprontar 2.160 uniformes escolares,
fazendo funcionar 12 máquinas iguais às primeiras?
Temos a seguinte distribuição prática:
Dias Uniformes Máquinas
↓ 6 720 ↓ 16 ↑
↓ x 2.160 ↓ 12 ↑
Invertendo os valores correspondentes à 3ª grandeza:
23
16.2160
12.7206
x
Lembrando a propriedade que caracteriza a existência de uma grandeza
diretamente proporcional a várias outras (os valores que exprimem sua medida são
diretamente proporcionais aos produtos dos valores correspondentes das outras), vem:
16.2160
12.7206
x =>
12.720
16.2160.6x => x = 24 dias
2. Foram empregados 24 kg de fio para tecer 120 m de brim de 0,82 m de largura. Quantos
metros de brim de 1,23 m de largura serão tecidos com 30 kg do mesmo fio?
Quilos Comprimento Largura
↓ 24 120 m ↓ 0,82 m ↑
↓ 30 x ↓ 1,23 ↑
82,0.30
23,1.24120
x =>
23,1.24
82,0.30.120x => x = 100 m
EXERCÍCIOS________________________________________________
1) Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1.000 m. de tecido. Quantos dias, de
6 horas levaria para fazer 2.000 m de um tecido que apresenta dificuldade igual a ¾ do
primeiro?
(20 dias)
2) Foram empregados 36 kg de fio para tecer 126 m de tecido com 0,60 m de largura.
Pergunta-se: quantos metros de tecido de 0,72 m de largura se podem tecer com 48 kg do
mesmo fio?
(140 m)
3) Uma equipe de mineiros composta de 15 homens extraiu, em 30 dias, 3,5 toneladas de
carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 homens, em quanto tempo será extraída a
mesma quantidade de carvão?
(22,5 d)
24
4) Se três homens podem arar um campo de 8 ha em 5 dias, trabalhando 8 horas diárias,
em quantos dias 8 homens poderão arar 192 ha trabalhando 12 horas diárias?
(30 d)
5) Para o piso de uma sala empregaram-se 750 tacos de madeira de 45 cm de comprimento
por 8 cm de largura. Quantos tacos, de 40 cm de comprimento por 7,5 de largura, são
necessários para um piso cuja superfície é o dobro da anterior?
(1800 t)
6) Três operários trabalhando durante 6 dias, produzem 400 peças. Quantas peças desse
mesmo tipo produzirão sete operários trabalhando 9 dias?
(1.400 peças)
7) Duas máquinas produzem 32 peças de um certo produto em 4 dias. Quantas peças
produzirão 5 máquinas iguais as primeiras em 3 dias?
(60 peças)
8) Um motociclista percorre 120 km em 2 dias, durante 3 horas por dia. Em quantos dias
percorrerá 500 km rodando 5 horas por dia?
(5 dias)
9) Em uma tecelagem, 12 teares produzem 600 m de tecido em 5 dias trabalhando 8 horas
por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 15 teares para produzirem 1.200 m do
mesmo tecido em 8 dias?
(8 horas por dia)
10) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem em 8 horas de
serviço diário, 240 pares de calçados. Quantos operários são necessários para produzir
600 pares de calçados por dia, com 10 horas de trabalho?
(32 operários)
11) Em 30 dias uma frota de 25 táxis consome 100.000 litros de combustível. Em quantos
dias uma frota de 36 táxis consumirá 240.000 litros de combustível?
(50 dias)
12) Para construir uma ponte em 75 dias de 8 horas diárias de trabalho foram contratados
100 operários. Como se deseja terminar a obra em 40 dias de 10 horas de trabalho
determine quantos operários a mais devem ser contratados?
(50 operários)
13) Um edifício é construído em 18 meses por 20 operários trabalhando 10 horas por dia.
Em quanto tempo esse edifício seria construído, se fossem demitidos 5 operários e o
restante trabalhasse com um jornada de 12 horas por dia?
(20 meses)
14) Um folheto enviado pela Corsan informa que uma torneira, pingando 20 gotas por
minuto, em 30 dias, ocasiona um desperdício de 100 litros de água. Na casa de Helena,
uma torneira esteve pingando 30 gotas por minuto durante 50 dias. Calcule quantos litros
de água foram desperdiçados?
(250 litros)
25
15) Meia dúzia de datilógrafos prepara 720 páginas em 18 dias. Em quantos dias 8
datilógrafos, com a mesma capacidade, prepararão 800 páginas?
(15 dias)
16) Numa fábrica de calçados trabalham 16 operários que produzem, em 8 horas diárias
de serviço, 240 pares de calçados por dia. Quantos operários serão necessários para
produzir 600 pares de calçado por dia, se a jornada de trabalho diária for de 10 horas?
(32 op)
17) Durante 60 dias, 10 máquinas, funcionando um certo número de horas por dia,
produzem 90.000 peças. Qual é o número de dias que 12 dessas máquinas, funcionando
o mesmo número de horas por dia, levarão para produzir 135.000 peças?
(75 dias)
18) Dois carregadores levam caixas de um depósito para um caminhão. O primeiro leva
4 caixas por vez e demora 3 minutos para ir e voltar. O segundo leva 6 caixas por vez e
demore 5 minutos para ir e voltar. Mantendo o mesmo ritmo, enquanto o primeiro leva
240 caixa, quantas caixas leva o segundo?
(216 cx)
19) Uma tonelada de ração alimenta 20 vacas durante 30 dias. Quantos quilogramas de
ração serão necessários para alimentar 30 vacas durante 75 dias?
(3.750 Kg)
20) Em uma granja, 120 galinhas produzem em média 100 dúzias de ovos em 10 dias.
Quantas dúzias de ovos serão produzidas por 80 galinhas em 18 dias?
(120 duz)
PERÍMETRO E ÁREA DE FIGURAS PLANAS
Os cálculos de perímetro e área são necessários, seja para a compra de um móvel,
para saber as dimensões ou a medida da superfície de um determinado cômodo, para saber
quanto de papel é necessário para encapar um livro, etc.
Perímetro
Observação: Para calcular o perímetro de um polígono, devemos usar a mesma unidade
de medida para todos os seus lados.
Exemplo 1: Determine o perímetro da figura abaixo.
Perímetro de um polígono é a soma das
medidas dos lados desse polígono.
26
Sol.:
P = 10 cm + 3 cm + 2 cm + 7 cm + 2 cm + 1 cm +
3 cm + 8 cm
P = 36 cm
Exemplo 2: Quanto mede o lado de um octógono equilátero cujo perímetro é igual a 120
cm?
Sol.: Um octógono equilátero possui todas as suas medidas iguais, e chamemos de x a
medida de um dos lados do octógono, então temos:
120 8
120
8
15
P x x x x x x x x
x
x
x cm
EXERCÍCIOS_______________________________________________________
1. Calcule o perímetro do polígono abaixo, dando a resposta em centímetros:
2. Meu terreno retangular tem o comprimento igual ao triplo da largura. Desejando murar
esse terreno, consultei um pedreiro para saber quantos tijolos deveria comprar. Ele me
disse que seriam necessários 130 tijolos por metro. Então, comprei 10 000 tijolos.
Sabendo que a largura desse terreno é 10,8 metros, sobraram ou faltaram tijolos?
Quantos?
3. A chácara do senhor Luís tem o formato e as medidas da figura abaixo.
27
Quantos metros de arame farpado ele precisa comprar para
cercar a chácara com 6 voltas de fio?
4. A pista do autódromo de Interlagos tem 4 309 metros. Nas provas de Fórmula 1, os
pilotos devem percorrer 71 voltas. Qual é o total de quilômetros percorridos quando o
piloto consegue completar esse número de voltas?
5. Um terreno retangular tem 200 m de comprimento. O perímetro dele é igual ao de
outro terreno quadrado que tem 165 m de lado. Calcule a largura desse terreno
retangular.
6. Na figura abaixo, as medidas estão expressas em centímetros e o seu perímetro é igual
a 36 cm. Qual é o valor de x?
O perímetro de um triângulo é 27 cm. As medidas dos lados desse triângulo são expressas
por três números inteiros e consecutivos. Quais são as medidas dos lados do triângulo?
Área do quadrado
Área do quadrado = medida do lado. medida do lado
A = l2
28
Exemplo 1: Calcule a área de um terreno quadrado com 4 m de lado.
Solução:
A = l . l
A = 4.4
A = 16 m2
Exemplo 2: Ache a medida do lado de um quadrado cuja área é de 121 cm2.
Solução:
A = l . l
121 = l2
l = ±√121
l = ± 11 por se tratar de medida, não consideramos a resposta negativa
l = 11 cm
Área do retângulo
Exemplo 1: Calcule a área do retângulo abaixo.
Sol.:
A = b . h
A = 12,5 . 6 A = 75 cm2
Área do retângulo = medida da base . medida da altura
A = b . h
ou
Área do retângulo = medida do comprimento . medida
da largura A = c . l
29
Exemplo 2: Quanto mede a altura de um retângulo, cuja base é igual a 26 cm e a área é
igual a 364 cm2:?
Solução:
A = b . h
364 = 26 . h
h =364
26
h = 14 cm
EXERCÍCIOS________________________________________________
7. Qual é a área de um quadrado cujo perímetro é igual a 52 cm?
8. Patrícia resolveu trocar o piso de seu quarto. Para isso, comprou lajotas de 900 cm2 de
área. Quantas lajotas são necessárias para cobrir a superfície do piso considerando que
o quarto tem 9 m2 de área?
9. Certo tabuleiro de xadrez tem área igual a 1 024 cm2. Quantos centímetros quadrados
tem uma casa desse tabuleiro?
10. Calcule a área da região mais escura.
30
11. Um quadrado tem área de 25 cm2. O que acontece com a área desse quadrado, se os
lados forem duplicados?
12. A aresta de um cubo mede 8 cm. Quanto mede a área de uma face desse cubo? Quanto
mede a área total desse cubo?
13. Um campo de futebol tem 100 m de comprimento por 70 m de largura. Para cobrir
esse campo, foram compradas placas de gramas com 3,50 m2 de área cada placa.
Quantas placas de grama serão necessárias para cobrir totalmente o campo?
14. Um jardim de forma retangular tem área de 54 m2. Qual é o comprimento desse
jardim, sabendo-se que a largura mede 3 m?
15. Em um terreno retangular, a medida do contorno é de 80 metros. A lateral mede o
triplo da frente do terreno. Se for colocada grade de ferro na frente do terreno, quantos
metros de grade serão necessários?
16. (Cesgranrio – RJ) A área da região representada na figura é?
17. Mário fez uma horta em um terreno de 7 m de comprimento e 13 m de largura. Ele
plantou cenoura numa área de 6 m de largura e 7 m de comprimento, tomate em uma
área de 4 m de largura e 7 m de comprimento, e na restante ele plantou repolho. Mário
utilizou quantos metros quadrados para plantar repolho?
