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CONCEPTOSDE MATEMATICA
PARA EL MAESTRO
01 CMC O O EL PROFESOR
EL ESTUDIANTE
En este número:
Introducción a la filosofía matemática.
¿Qué pasa con la reforma de la enseñanza de la matemática?
Geometría del portasegmento.
Lenguaje y notación conjuntiva.
Olimpíada matemática.
... <<
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■
OLIMPIADA MATEMATICAARGENTINAMATEMATICA I
A LAS ESCUELASBIBLIOTECASMAESTROSPROFESIONALESProfesionales
FECHAS DE REALIZACION DE LOS CERTAMENES
l
20 y 21 de Agosto:Certamen zonal. Primera y segunda prueba
V
l 14, 15 y 16 de Octubre:Certamen nacional. Primera, segunda y tercera prueba:
i10 de Noviembre:
Acto de entrega de premiosí!:■Todavía pueden adquirir una colección completa de;.
CONCEPTOS DE MATEMATICA
INSTITUTO NACIONAL PARA EL MEJORAMIENTO
DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS
(I. N. E. C.)
’
'APero recuerden que el N° 1 se está agotando.No se demoren, pues, y envíen de inmediato su pedido, acompañado de giro postal o bancario o cheque c/Bs. As., a ¡a dirección de la revista.
4 *
Av. Las Heras 2545 - 3er Piso - Buenos Airesi
ADHESION DE INECí
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i
CONCEPTOSCentro de Altos Estudios en Ciencias Exactas
DE MATEMATICACONCEFTO SDE MATEMATICA PUBLICACION I R1MLSTUAL0 UNIVERSIDAD PRIVADA N° 18ABRIL-M AYO-JUNIOAÑO V
AUTORIZADA POR EL DECRETO.DEL PODER EJECUTIVO NACIONAL N9 2227/68 CONFORME A LO ESTABLECIDO EN EL ARTICULO 79 DE LA LEY N9 17604.
Sede. Fernández Blanco 2045 - 8s.CARTA AL LECTORAs.;
Domicilio particular del director: Paraguay 1949 - 6o A - Bs. As.!
Muchos lectores saben de nuestra inquietud por publicar colaboraciones de docentes argentinos y no son pocos aquéllos a quienes hemos pedido que nos concedieran ei honor de que hiciéramos conocer por muestro intermedio alguno de sus trabajos. Lamentablemente, no siempre hemos tenido éxito en nuestro empeño. Ei cúmulo de tareas a que se ven sometidos y las múltiples obligaciones a que deben hacer frente ha determinado que pese a su buena voluntad no pudieran cumplimentar nuestro pedido.* Hemos obviado esa dificultad recurriendo a colaboraciones de ios más destacados especialistas de! mundo con io cuál nuestras páginas se han adornado con su capacidad, su originalidad y su entusiasmo por i a resolución de los problemas actuales de ia enseñanza de i a matemática. Aun cuando muchos así io reconocen, no ha faltado quien nos reprochara injustamente por ia ausencia arriba señalada. Queremos destacar que /as páginas de CONCEPTOS DE MATEMATICA siempre estarán abiertas a ios docentes argentinos que quieren hacer llegar por su intermedio las reflexiones que /es despierta ia enseñanza de nuestra disciplina.* Por suerte, en este número, abundan ias colaboraciones de
docentes argentinos. Ei profesor Oscar L. isnardi nos da a conocer su artículo sobre Matemática y Arte; de Emilio J. de Ceceo publicamos ia primera parte de La geometría del portasegmento; a Jorge Bosch pertenece un análisis sobre ia reforma de i a enseñanza en nuestro, país, indicando deficiencia y señalando soluciones con /as que, quizás, se podrá disentir, pero no nos quedan dudas acerca de i a importancia de ios problemas que plantea.* También plantea muchos problemas ei doctor César A. Trejo ai presidente de ia Comisión Nacional para ia Enseñanza de ia Matemática. Son muchos ios docentes que han expresado su opinión acerca de ia presunta inoperan cía de i a actuación de dicha comisión y creemos que ia respuesta a muchos de ios interrogantes que plantea Trejo esclarecerá cuestiones que se han suscitado.* Completan este número otros artículos cuya significación
habrá de ser apreciada por nuestros lectores y i as secciones habituales. Nos complacemos en señalar ia colaboración de ios profesores Rosa M. S. de Rega y Alfredo J. Cossi en i a búsqueda de problemas para ia sección de ia Olimpíada de Matemática.
Esperando que este número resulte de su agrado, ios sa-
iDirector EditorJOSE BANFIORGANIZACION DEPARTAMENTAL
Rector: Dr. HORACIO E. BOSCHI ♦
Asesores: José Babini, Juan I. Blu- quier, Frcdériquc Papy, Gcorges Papy, Luis A. Santaló.
Redactores: Raúl A. Chiappa, Emilio De Ceceo Juan C. Dalmasso, Haydée Fernández. Atilio Piaña, Lisa Sabbatliello, Andrés Valeiras y Cristina Vcrdaguer de Baníi
Dibujante: Arquitecto Julio R Juan.
Suscripción anual: Argentina $ 12, Exterior, 4 dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o sobre bancos de Buenos Aires, deben ,.cr extendidos a nombre de CONCEPTOS DE MATEMATICA
TITULOS BASICOS INTERMEDIOS Y SUPERIORESCARRERAS UNIVERSITARIAS COMPLETAS EN:
• BACHILLERATO SUPERIOR EN CIENCIAS EXACTAS• ESTADISTICA MATEMATICA• INVESTIGACION OPERATIVA© LICENCIATURA EN MATEMATICA PURA• LICENCIATURA EN MATEMATICA APLICADA• LICENCIATURA EN SISTEMAS• COMPUTACION CIENTIFICA• PROFESORADO DE MATEMATICA• CURSOS PERFECCIONAMIENTO DOCENTE EN FISICA Y
MATEMATICA (CICLOS INTERMEDIO Y SUPERIOR)• CURSO DE POSTGRADO DE LICENCIADOS
EN SISTEMA PARA:* INGENIEROS* CONTADORES PUBLICOS NACIONALES* LICENCIADOS EN ADMINISTRACION
I
Ejemplar suelto: mSn. 350.Ejemplar atrasado: mSn. 400.Lugares de venta: En nuestra sede,
Fernández Blanco 2045, Buenos Aires y en Librería y Editorial Alsina, Perú 127; Libería y Editorial El Ateneo, Florida 340; Librería del Colegio. Alsina y Bolívar; Librería General de Tomás Pardo. Maipu 618: Librería Ro- sio. Callao 62!; Librería Santa Fe, Santa Fe 2427, Buenos Aires, Librería del Azul, San Martin 4 72. Azul, Librería “F.ras- mo'\ San Martin 3330, Mar del Plata; Librería El Universitario, H. Irigoyen y San Juan. Corrien-
Cuerpo de profesores del departamento de matemáticas 1
tCS.Carlos Loiseau He be Ra buffet ti Armando O. Rojo Liiian RudinLiliana A/mosni de Sananes Alcira Torres
Mercedes Bergero Juana Cardoso Juan A. Foncuberta Ni ida G. de Ghiotto María S. de Hernández Roberto P. Hernández Kelly Kesteiman
Para colaboraciones, números atrasados, suscripciones y avisos, diri
girse directamente al editor. Registro de la Propiedad intelec
tual: N9 966.821.
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INSCRIPCION 26 DE JULIOInformes de 8 a 11 y de 18.30 a 21 hs.
SUIPACHA 245 - piso 1° $ £ V25 53 < e/i luda
EL DIRECTOR
3
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zar con 0 en lugar de 1; supondremos este grado de conocimiento y tomaremos punto de partida la sucesión.
retrocedamos al definir, siempre podamos ir más lejos todavía. Por otra parte, siempre es posible que, cuando el análisis se haya proseguido suficientemente, podamos llegar a términos que son realmente simples, y por tanto lógicamente no aptos para el tipo de definición que consiste en analizar. Esta es una cuestión que no necesitamos decidir; para nuestros objetivos es suficiente observar que, puesto que las potencias humanas son finitas, las definiciones que conocemos deben siempre comenzar en alguna parte con términos indefinidos por el momento, aunque acaso no permanentemente.
Toda la matemática pura tradicional, incluida la geometría analítica, puede considerarse como enteramente formada por proposiciones sobre los números naturales. Esto equivale a decir que los términos que se presentan pueden definirse mediante los números naturales, y las proposiciones pueden deducirse de ias propiedades de los números naturales con el agregado, en cada caso, de las ¡deas y las proposiciones de la lógica pura.
Que toda la matemática pura tradicional se puede derivar de los números naturales, es un descubrimiento relativamente reciente, aunque se lo sospechara desde hace mucho. Pitágoras, que creía que no sólo la matemática sino todo lo demás podía deducirse de los números, fue el descubridor del más serio obstáculo en el camino de lo que se llama la "aritmetización" de la matemática. Fue Pitágoras quien descubrió la existencia de los inconmensurables y, en particular, la inconmensurabilidad del lado del cuadrado y su diagonal. Si la longitud del lado es de 1 m, el número de metros de la diagonal es la raíz cuadrada de 2, que parece no ser del todo un número. El problema así planteado sólo se resolvió en nuestros días, y sólo fue resuelto completamente con la ayuda de la reducción de la aritmética a la lógica, de lo cual nos ocuparemos más adelante. Por ahora, daremos por sentada la aritmetización de la matemática, aunque esto fue un hecho de mayor importancia.
Habiendo reducido toda la matemática pura tradicional a la teoría de los números naturales, el próximo paso del análisis lógico consistió en reducir esta teoría al menor conjunto de premisas y términos no definidos de los cuales ella podía ser derivada. Este trabajo fue realizado por Peano. Mostró que toda la teoría de los números naturales se podía derivar de
PAGINAS MEMORABLES
Introducción a la Filosofía
Matemática
i comoi
0, 1,2, 3,. . .,/7, /?+!,.. .
y a esta sucesión nos referiremos cuando hablemos de la "sucesión de los números naturales".
Sólo en una etapa avanzada de la civilización podríamos tomar esta sucesión como punto de partida. Debe haber requerido muchos años descubrir que tanto un par de faisanes como un par de días eran ejemplos del número 2: el grado de abstracción necesario está lejos de ser fácil. Y el descubrimiento de que 1 es un número debe haber sido difícil. En lo que se refiere al 0 es una adición muy reciente; los griegos y los romanos carecían de dicho dígito. Si tiempo ha nos hubiéramos embarcado en la filosofía matemática, habríamos tenido que comenzar con algo menos abstracto que la sucesión de los números naturales, a la cual habríamos llegado como una etapa de nuestro viaje hacia atrás. Cuando nos familiaricemos más con los fundamentos lógicos de la matemática seremos capaces de comenzar otro retroceso hacia lo que es ahora una última etapa de nuestro análisis. Pero por el momento los números naturales parecen representar lo más fácil y lo más familiar de la matemática.
Pero aunque familiares, no son comprendidos. Muy pocas personas están preparadas para entender una definición de lo que se entiende por "número", por "0" o por "1". No es muy difícil ver que, comenzando por 0, se puede obtener cualquier otro número natural por adiciones repetidas de 1, pero tendremos que definir qué entendemos por "sumar 1" y qué entendemos por "repetidas". Estas cuestiones están lejos de ser fáciles. Hasta hace poco se entendía que alguna, por lo menos, de estas primeras nociones de la aritmética debían ser aceptadas por ser demasiado simples y primitivas como para ser definidas. Puesto que todos los términos que son definidos lo son por medio de otros términos, resulta claro que el conocimiento humano debe siempre contentarse con aceptar algunos términos como inteligibles sin definición, de manera de tener un punto de partida para sus definiciones. No resulta claro que pueda haber términos imposibles de definir: es posible que, por lejos que
BERTRAND RUSSELL (Gran Bretaña)
Podemos establecer la misma distinción de otra manera. Las cosas más obvias y fáciles de la matemática no son las que llegan lógica-
el comienzo; son cosas que, desde elLa sucesión de los números naturales
mente enpunto de vista de la deducción lógica, llegan más o menos a mitad de camino. Así como los cuerpos más fáciles de ver son los que no están ni muy cerca ni muy lejos, no son ni muy pequeños ni muy grandes, asi también las concepciones más fáciles de entender son las
ni muy complejas ni muy simples
La matemática es un estudio que, cuando comenzamos por sus partes más familiares, se puede proseguir en una u otra de dos direcciones opuestas. La dirección más familiar es constructiva, hacia grados de complejidad gradualmente crecientes: de los enteros a las fracciones, a los números reales, a los números complejos; de la adición y la multiplicación a la diferenciación e integración y a la matemática más alta. La otra dirección, que es menos familiar, avanza, por el análisis, hacia una abstracción y simplicidad lógica cada vez mayores; en lugar de preguntar qué se puede definir y deducir de lo que se admite para comenzar,
preguntamos qué ¡deas y principios más generales se pueden hallar mediante los cuales se pueda definir o deducir lo que era nuestro punto de partida. Este hecho de seguir esta dirección opuesta es lo que caracteriza a la filosofía matemática como opuesta a la matemática ordinaria. Pero, debe comprenderse que
está en el contenido,
l
que no son(usando "simple" en sentido lógico). Y asi co
necesitamos dos tipos de instrumentos, el telescopio y el microscopio, para la ampliación de nuestras potencias visuales, así también necesitamos dos tipos de instrumentos para la ampliación de nuestras potencias lógicas, uno
avanzar hacia la matemática más alta, y
mo
parael otro para retroceder a los fundamentos lógicos de las cosas que nos sentimos inclinados a dar por sentadas en matemática. Encontraremos que analizando nuestras nociones matemáticas ordinarias adquirimos visión fresca,
nos
nuevas potencias y los medios para alcanzar enteramente nuevos temas matemáticos mediante la adopción de frescas líneas de avance luego de nuestro viaje hacia atrás. Nos proponemos explicar simple y no técnicamente la filosofía matemática, sin detenernos en las partes que son tan dudosas o difíciles que resulta escasamente posible un tratamiento elemental. Un tratamiento completo se encontrará en Principia Mathematica; lo que hacemos aquí es meramente una introducción.
Para las personas de educación media de los días actuales, el punto de partida obvio de la matemática sería la sucesión de los números naturales;
tal distinción; sino en el estado mental del investigador. Los primeros geómetras griegos, que pasaron de las reglas empíricas de la topografía egipcia a las proposiciones generales que justificaron esas reglas y de ahí a los axiomas y postulados de Euclides, se ocuparon de la filosofía mate-
no
ii
mática, de acuerdo con la definición anterior; pero una vez que se alcanzaron los axiomas y postulados, su empleo deductivo, tal como lo encontramos en Euclides, perteneció a la matemática en el sentido común. La distinción entre matemática y filosofía matemática es tal que depende del interés que inspira la investigación y del estado que ésta ha alean: ido; no de las proposiciones a que se refiere la investigación.
1, 2, 3, 4,.. .,ete.
Probablemente, sólo una persona con algún conocimiento matemático pensaría en comen-
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!
Consideremos brevemente el tipo de camino por el cual resulta la teoría de los números naturales, de estas tres ideas y cinco proposiciones. Para comenzar definimos a 1 como "el
de 0", 2 como el "sucesor de 1", y
pretaciones diferentes, todas las cuales satisfacen a las cinco proposiciones primitivas. Daremos algunos ejemplos:
tres ideas primitivas y de cinco proposiciones primitivas, además de las de la lógica pura. Estas tres ideas y estas cinco proposiciones se convirtieron, pues, por decirlo así, en representantes de toda la matemática pura tradicional. Si pueden definirse y probarse mediante otras, también esto es posible para toda la matemática pura. Su "peso" lógico, si podemos usar una expresión tal, es igual al de la serie completa de ciencias que se ha deducido de la teoría de los números naturales; la verdad de esta serie completa está asegurada si la verdad de las cinco proposiciones primitivas está garantizada, siempre que, por supuesto, no haya nada erróneo en el aparato puramente lógico que también está implicado. El trabajo de analizar la matemática ha sido extraordinariamente facilitado por este trabajo de Peano.
Las tres ¡deas primitivas de la aritmética de Peano son:
Entonces:
(1) "0 es un número", esto es, x0 es un miembro del conjunto.
(2) "El sucesor de cualquier número es un número", esto es, tomando cualquier término xn del conjunto, x en el conjunto.
(3) "No existen dos números que tengan el mismo sucesor"; esto es, si xm y xn son dos números diferentes del conjunto, xm + 1 Y *n + 1 son diferentes; esto resulta por el hecho de que (por hipótesis) no hay repeticiones en el conjunto.
(4) "0 no es el sucesor de ningún número", esto es, no hay ningún término en el conjunto antes de x0.
(5) Se convierte en: Cualquier propiedad de x0 y de x es de todas las x.
Esto ocurre por la propiedad correspondiente para los números.
Una sucesión de la forma:
* i , x2t- • •/ *n«* • •
(1) Tomemos (0) como si significara 100 y número para designar a los números de 100
sucesorasí sucesivamente. Obviamente podemos extendernos cuanto queramos con estas definí-
virtud de (2) cualquier
I en adelante en la serie de los números rales. Entonces, todas nuestras proposiciones primitivas son satisfechas, incluso la cuarta, pues, aún cuando 100 es el sucesor de 99, 99 no es un "número" según el sentido que estamos dando ahora al término "número". Es obvio que 100 se puede substituir por cualquier número en este ejemplo.
(2) Dejemos a (0) su significado usual, pero hagamos que "número" signifique lo que usualmente denominamos "números pares" y que e! "sucesor" de un número sea el número que resulte de agregarle 2. Entonces "1" será el número 2; "2" será el número 4, y así sucesivamente; la serie de "números" sería aho-
está tambiénnatu- n + 1ciones, puesto que, en número que alcancemos tendrá un sucesor, y en virtud de (3) éste no puede ser ninguno de los números ya definidos, porque, de serlo, dos números diferentes tendrían el mismo sucesor; y en virtud de (4) ninguno de los núme-
alcancemos en la serie de sucesoresros quepuede ser 0. Luego, la serie de sucesores da una serie sin fin de números continuamente
En virtud de (5) todos los números
nos
nuevos.aparecen en esta serie, que comienza con 0 y se continúa a través de sucesivos sucesores: pues (a) 0 pertenece a esta sucesión, y (b) si un número n pertenece a ella, también pertenece su sucesor, de donde, por inducción matemática, cualquier número pertenece a la su-
con tal que lo sea xn, lon + 1
0, número, sucesor ra:
cesión.Supongamos que se desea definir la suma
de dos números. Tomando cualquier número m, definimos m 4- 0 como m, y m + (n + 1) como el sucesor de m + n. En virtud de (5) esto da una definición de la suma de m y n, cualesquiera sean el número y n. En forma semejante podemos definir el producto de dos números cualesquiera. El lector puede convencerse fácilmente que cualquier proposición elemental ordinaria de la aritmética se puede probar mediante nuestras cinco premisas, y si encuentra alguna dificultad puede encontrar la prueba en Peano.
Ahora es el momento de volver a las consideraciones que hicieron necesario avanzar más allá del punto de vista de Peano, —quien representa la última perfección de la "aritmeti- zación" de la matemática—, al de Frege, el primero que logró éxito en la "logización" de la matemática; esto es, en reducir a la lógica las nociones aritméticas que sus predecesores habían demostrado ser suficientes para la matemática. En verdad no daremos, en este trabajo, la definición de Frege del número y de números particulares, pero daremos algunas de las razones por las cuales el tratamiento de Peano es menos definitivo de lo que pareciera.
En primer término, las tres ¡deas primitivas de Peano, a saber, "0", "número" y "sucesor", sirven para un número infinito de inter-
Por "sucesor", entiende el número siguiente en el orden natural. Es decir, el sucesor de 0 es 1, el sucesor de 1 es 2, y así sucesivamente. Por "número" entiende, en este aspecto, a la clase de los números naturales. No está admitiendo que conocemos todos los números de esta clase, sino sólo que sabemos lo que entendemos cuando decimos que éste o aquél es un número, de la misma manera que entendemos cuando decimos "Juan es un hombre", aún cuando no conozcamos individualmente a todos los hombres.
0, dos, cuatro, seis, ocho,. ..
Todas las cinco premisas de Peano estarían satisfechas aún.
(3) Hagamos que "0" signifique el número 1 y que "número" signifique el conjunto
- 1 1 1 1
v*n la que existe un primer término, un sucesor de cada término (de modo que no hay último término, no hay repeticiones, y cualquier término puede ser alcanzado desde el principio en un número finito de pasos, es denominado progresión. Las progresiones son de gran importancia para los fundamentos de la matemática. Como hemos visto, cualquier progresión satisface a los cinco axiomas de Peano. Se puede probar, recíprocamente, que cualquier serie que verifica los cinco axiomas de Peano es una progresión. Por tanto, estos cinco axiomas pueden usarse para definir la clase de las progresiones: las "progresiones" son las sucesiones que verifican los cinco axiomas. Cualquier progresión puede ser tomada como base de la matemática pura: podemos dar el nombre "0" a su primer término, el nombre "número" al conjunto completo de sus términos y el nombre "sucesor" al siguiente en la progresión. No es necesario que la progresión esté compuesta por números; puede estar compuesta por puntos en el espacio, o momentos en el tiempo, o cualquier otra cosa de las cuales hay una variedad infinita. Cada progresión diferente provocará una interpretación diferente de todas las proposiciones de la matemática pura tradicional; todas esas posibles interpretaciones son igualmente ciertas.
1,1 ____i____ 9
2 4 8 16
y que "sucesor" signifique "mitad". Entonces, todos los cinco axiomas de Peano serán ciertos para este conjunto.
Resulta claro que los ejemplos se pueden multiplicar indefinidamente. En efecto, dada cualquier serie:
Las cinco proposiciones primitivas de Peanoson:
(1) 0 es un número.(2) El sucesor de cuaiquier número es un número.
(3) No existen dos números que tengan el mismo sucesor.
(4) 0 no es el sucesor de ningún número.(5) Cualquier propiedad que pertenezca a 0, y también al sucesor de cualquier nú mero que tiene la propiedad, pertenece a todos los números.
El último es el principio de inducción matemática. Tendremos mucho que decir sobre la inducción matemática, pero, por ahora, estamos interesados sólo con lo que ocurre con el análisis de Peano de la aritmética.
*0, *1/*2,.X3___ _ xn'* ‘ •\que continúa indefinidamente, no contiene repeticiones, tiene un comienzo y no tiene términos que no puedan ser alcanzados desde el comienzo en un número finito de pasos, tenemos un conjunto de términos que verifican los axiomas de Peano. Esto se ve fácilmente, aún cuando la. prueba formal sea algo larga. Hagamos que "0" signifique x0f que "número" signifique todo el conjunto de términos, y que el"sucesor" de x sea x„ . -.n n t i.
67
i
tamiento similar puede aplicarse obviamente a cualquier otra clase dada en extensión.
(2) Es obvio que en la práctica podemos saber mucho sobre una clase sin ser capaces de numerar sus miembros. Ningún hombre puede en realidad enumerar a todos los hombres, ni siquiera a los habitantes de Londres, y con todo se conoce mucho acerca de cada una de dichas clases. Esto es suficiente para mostrar que la definición por extensión no es necesaria para conocer una clase. Pero cuando llegamos a considerar clases infinitas, hallamos que la enumeración ni siquiera es posible teóricamente para seres que sólo viven un tiempo finito. No podemos enumerar todos los números naturales; ellos son: 1, 2, 3, y así sucesivamente. En cierto punto debemos contentarnos con "así sucesivamente". No podemos enumerar todas las fracciones ni todos los números irracionales, ni todos los de cualquier otra colección infinita. Por tanto, nuestro conocimiento acerca de tales colecciones sólo se puede derivar de una definición por comprensión.
Estas notas son pertinentes, cuando estamos buscando la definición de número, de tres maneras diferentes. En primer término, los números mismos forman una colección infinita, y por tanto no pueden definirse por enumeración. En segundo término, las colecciones que tienen un número dado de términos presumiblemente forman ellas mismas una colección infinita; debe presumirse, por ejemplo, que hay una colección infinita de ternas en el mundo, pues si ese no fuera el caso el número total de cosas en el mundo sería finito, lo cual, aunque posible, parece improbable. En tercer término, deseamos definir al "número" de manera tal que sean posibles infinitos números; por tanto, debemos ooder hablar del número de términos de una colección infinita, y una tal colección debe definirse por comprensión, esto es, por una propiedad común a todos sus miembros y peculiar de ellos.
Para muchos objetivos, una clase y una característica definitoria de ella son prácticamente intercambialbles. La diferencia vital entre ambas consiste en que sólo hay una clase que tiene un conjunto dado de miembros, mientras que existen muchas características diferentes mediantes las cuales se puede definir una clase dada. Los hombres se pueden definir como bípedos implumes, o como animales racionales, o (más correctamente) por los trazos mediante los cuales Swift delineó el Yahoos.
sino con respecto a todos los conjuntos de términos que tienen ciertas propiedades. Un procedimiento total no es ¡lógico; en verdad, para ciertos objetivos, representa una generalización valiosa. Pero, desde dos puntos de vista, falla para dar una base adecuada para la aritmética. En primer término, no nos permite saber si hay algún conjunto de términos que satisfacen a los axiomas de Peano; ni siquiera dar la más mínima sugestión sobre alguna manera de descubrir si tales conjuntos existen o no. En segundo término, como ya se observó, necesitamos que nuestros números sean tales que se puedan usar para contar los objetos comunes, y esto requiere que nuestros números tengan un significado definido; no meramente que tengan ciertas propiedades formales. Este significado definido es definido por la teoría lógica de la aritmética.
Un número particular no es idéntico a ninguna colección de términos que tengan ese número; el número 3 no es idéntico a la terna formada por Brown, Jones y Robinson. El número 3 es algo que todos las ternas tienen en común y que las distingue de todas las otras colecciones. Un número es algo que caracteriza a ciertas colecciones, esto es, a las que tienen ese número.
En lugar de hablar de una "colección", podemos como regla hablar de una "clase" o a veces de un "conjunto". Otros términos que se usan en matemática con el mismo fin son "agregado" y "multiplicidad". Hay mucho que decir acerca de las clases. Por ahora, diremos tan poco como sea posible. Pero hay algunas observaciones que se deben hacer de inmedia-
En el sistema de Peano no hay nada que nos permita distinguir entre las diferentes interpretaciones de sus ideas primitivas. Se admite que sabemos lo que se entiende por "0", y que no supondremos que este símbolo significa 100 o aguja de Cleopatra o cualquiera de las otras cosas que pudiera significar.
Que "0", "número" y "sucesor" no se puedan definir mediante los cinco axiomas de Peano, sino que deben ser comprendidos independientemente, es un punto importante. Necesitamos nuestros números no sólo para verificar fórmulas matemáticas, sino para aplicarlos de manera correcta a objetos comunes. Necesitamos tener diez dedos, dos ojos y una nariz. Un sistema en el cual "1" signifique 100 y "2" signifique 101, y así sucesivamente, podría estar muy bien para la matemática pura, pero no se acomodaría a la vida diaria. Necesitamos que '0", "número" y "sucesor" tengan significados que nos den la asignación correcta de dedos, ojos y narices. Ya tenemos algún conocimiento (aunque no suficientemente articulado ni analítico) de lo que entendemos por "1" y "2" y así sucesivamente, y nuestro uso de los números en aritmética debe estar de acuerdo con este conocimiento. No podemos asegurar que éste será el caso con el uso del método de Peano; todo lo que podemos hacer, si lo adoptamos, es decir "sabemos lo que entendemos por "0", "número" y "sucesor" aún cuando no podamos explicarlo mediante otros conceptos más simples". Es bastante legítimo decir esto cuando sea necesario y en algún momento todos debemos hacerlo pero el objeto de la filosofía matemática es demorarlo, tanto como sea posible. Por la teoría lógica de la aritmética somos capaces de diferirlo por mucho tiempo.
Podría sugerirse que, en lugar de introducir "0", "número" y "sucesor" como términos de los cuales conocemos el significado aún cuando no podamos definirlos, podríamos considerarlos como tres términos cualesquiera que verifiquen los cinco axiomas de Peano. Ya no serán más términos que tengan un significado definido aunque no se los defina: serán "variables", términos respecto de los cuales hacemos ciertas hipótesis, por ejemplo, las establecidas en los cinco axiomas, pero que, de otra manera, son indeterminados. Si adoptamos este plan, nuestros teoremas no se probarán con respecto a un conjunto incierto de términos denominados "números naturales".
to.; Una clase o colección se puede definir de
dos maneras que a primera vista parecen bastante diferentes. Podemos enumerar sus miembros, como cuando decimos: "La colección a la que me refiero está formada por Brown, Jones y Robinson". O podemos mencionar una propiedad definitoria, como cuando hablamos de la "humanidad" o de los "habitantes de Londres". La definición que enumera es denominada definición "por extensión", y la que menciona una propiedad definida es denominada definición "por comprensión". De estos dos tipos, la definición por comprensión es lógicamente más fundamental. Esto se muestra mediante dos consideraciones: (1) que la definición por extensión siempre puede ser reducida a una por comprensión; y (2) que a menudo la definición por comprensión no puede ser reducida ni aún teóricamente por extensión. Cada uno de estos puntos requieren una pala-
II \
Definición de Número
La pregunta: ¿qué es un número? , ha sido formulada a menudo, pero sólo en nuestro tiempo se la respondió correctamente. La respuesta fue dada por Frege en 1884, en su G rundí agen der Arithmetik. Aunque este libro es bastante pequeño, no difícil, y de la más alta importancia, casi no atrajo atención, y la definición de número que contiene permaneció prácticamente desconocida hasta que fue redescubierta por este autor en 1901.
Al buscar una definición de número, lo primero que se debe aclarar es lo que podemos llamar la gramática de nuestra investigación. Muchos filósofos, cuando intentan definir al número, se están ocupando realmente de definir la pluralidad, lo cual es algo bastante diferente. Número es lo característico de los números, así como hombre es lo característico de los hombres. Una pluralidad no es un ejemplo de número, sino de algún número particular. Una terna de hombres, por ejemplo, es un ejemplo del número tres, y el número 3 es un ejemplo de número, pero la.terna no es un ejemplo de número. Este punto puede parecer elemental y escasamente digno de mención; empero ha resultado ser demasiado sutil para los filósofos, con pocas excepciones.
bra de explicación.(1) Brown, Jones y Robinson poseen todos
cierta propiedad que no es poseída por ningu- el universo, vale decir, la propiedad de
i!
no enser o Brown, o Jones, o Robinson. Esta propiedad se puede usar para dar una definición por comprensión de la clase formada por Brown, Jones y Robinson. Consideremos una fórmula tal como "x es Brown o x es Jones o
Robinson". Esta fórmula será verdad para
*
x essólo tres x, es decir, Brown, Jones y Robinson. En este aspecto se asemeja a una ecuación cúbica con sus tres raíces. Puede considerársela como asignando una propiedad común a los miembros de la clase formada por estos tres hombres y peculiar de ellos. Un tra-
!
¡8
9
{
esposas conjuntamente son el dominio de la relación de matrimonio. La relación de esposa a esposo es denominada recíproca de la relación de esposo a esposa. De la misma manera, menor es la recíproca de mayor, más tarde es la recíproca de más temprano, y así sucesivamente. Generalmente, la recíproca de una relación dada es la relación que ocurre entre y y x siempre que la relación dada ocurra entre x e y. El dominio recíproco de una relación es el dominio de su recíproca: así, la clase de esposas es el dominio recíproco de la relación de esposo a esposa. Ahora podemos establecer cómo sigue nuestra definición de semejanza:
Se dice que una clase es "semejante" a otra cuando existe una relación uno-a-uno en la cual una clase es el dominio en tanto que la otra es el dominio recíproco.
Es fácil probar: (1) que toda clase es seme-
mostrar que el conjunto de esos objetos es semejante al conjunto de los números 1 a 10. La noción de semejanza se presupone lógicamente en la operación de contar, y es lógicamente más simple aunque menos familiar. Al contar, es necesario tomar los objetos, contados en cierto orden, como primero, segundo, tercero, etc., pero el orden no es la esencia del número: es una adición innecesaria, una innecesaria complicación desde el punto de vista lógico. La noción de semejanza no requiere un orden: por ejemplo, vimos que el número de esposos es el mismo que el número de esposas, sin tener que establecer un orden de precedencia entre ellos. La noción de semejanza tampoco requiere que las clases que son semejantes sean finitas. Tómese, por ejemplo, los números naturales (excluido el 0) por una parte, y las fracciones que tiene 1 como numerador, por otra parte: es obvio que podemos correlacionar 2 con 1/2, 3 con 1/3, y así sucesivamente, probando entonces que las dos clases son semejantes.
Podemos, pues, usar la noción de "semejanza” para decidir cuándo dos colecciones tienen que pertenecer al mismo haz, en el sentido que hemos considerado antes.
Tenemos que construir un haz que contenías clases que no tienen miembros: esto
ocurriría con el número 0. Luego necesitamos un haz para todas las clases que tienen un miembro; esto ocurrirá para el número 1. Luego, para el número 2, necesitamos un haz formado por todos los pares, luego uno para todas las ternas; y así sucesivamente. Dada cualquier colección, podemos definir el haz al que pertenecerá como la clase de todas las colecciones que son "semejantes" a ella. Es muy fácil ver que si (por ejemplo) una colección tiene tres miembros, la clase de todas las colecciones que son semejantes a ella será la clase de las ternas. Y cualquiera sea el número de términos que pueda tener una colección, las colecciones que son "semejantes" a ella tendrán el mismo número de términos. Podemos tomar esto como "definición" de "tener el mismo número de términos". Es obvio que se obtiene un resultado conforme al uso en tanto nos limitemos a colecciones finitas.
Hasta aquí no hemos sugerido nada del más leve acento paradógico. Pero cuando vamos la definición real de los números no podemos evitar lo que a primera vista parece una paradoja, aunque esta impresión rápidamente desa-
(sigue en pág. 17)
ESte hecho de que una característica definito- ria no sea nunca única es lo que hace que las clases sean útiles; de otra manera, nos podríamos contentar con las propiedades nes y peculiares de sus miembros. Cualquiera de esas propiedades se pueden usar en lugar de la clase cuando la unicidad no es importante.
Retornando ahora a la definición de número, resulta claro que el número es una manera de reunir ciertas colecciones, esto es, las que tienen un número dado de términos. Podemos imaginar a todos los pares en un haz, a todas las ternas en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos diversos haces de colecciones, consistiendo cada haz de todas las colecciones que tienen cierto número de términos. Cada haz es una clase cuyos miembros son colecciones, esto es, clases; por tanto cada, uno es una clase de clases. El haz formado por todos los pares, por ejemplo, es una clase de clases: cada par es una clase con dos miembros, y el haz total de pares es una clase con un número infinito de miembros, cada uno de los cuales es una clase con dos miembros.
¿Cómo decidiremos si dos colecciones pertenecerán al mismo haz? La respuesta que se sugiere por sí misma es ésta: "Descubrir cuántos miembros tiene cada una y colocarlos en el mismo haz si tienen el mismo número de miembros". Pero esto presupone que hemos definido números y que sabemos cómo descubrir cuántos términos tiene una colección. Hemos usado así la operación de contar de modo tal que una conjetura pueda pasar fácilmente inadvertida. En verdad, sin embargo, contar, aunque familiar es lógicamente operación muy compleja; además sólo es utilizadle, como medio de descubrimiento del número de términos que posee una colección, cuando la colección es finita. Nuestra definición de número no debe admitir en adelante que todos los números son finitos, y no podemos en todo caso, sin caer en un círculo vicioso, contar para definir números, porque los números son usados para contar. Necesitamos, por tanto, algún otro método para decidir cuándo dos colecciones tienen el mismo número de términos.
En la realidad, es más simple descubrir lógicamente si dos colecciones tienen el mismo número de términos que definir lo que es ese número. Un ejemplo aclarará ío dicho. Si no hubiera poligamia o poliandria en ninguna parte del mundo, resulta claro que el número de
esposos que viven en cualquier momento sería exactamente el mismo que el número de esposas. No necesitamos ningún censo para asegurarnos de esto, ni necesitamos saber cuál es el número real de esposos y de esposas. Sabemos que el número debe ser el mismo en ambas colecciones, porque cada esposo tiene una esposa y cada esposa un esposo. La relación de esposo y esposa es lo que se denomina "uno-a -uno".
comu-
Se dice que una relación es "uno-a-uno" cuando x tiene la relación en cuestión con respecto a y, ningún otro término x' tiene la misma relación con respecto a y, y x no tiene la misma relación con ningún otro término y' que no sea y. Cuando sólo se cumple la primera de estas dos condiciones, la relación es denominada "uno-a-muchos"; cuando sólo se cumple la segunda, es denominada "muchos-a- uno". Se observará que el número 1 en estas definiciones.
En los países cristianos, la relación
jante a sí misma; (2) que si una clase cc es semejante a una clase j3, entonces 0 es semejante a a; (3) que si á es semejante a (3 y /3 a 7, entonces o: es semejante a y Se dice que una relación es reflexiva cuando posee la pri-
de estas propiedades, simétrica cuando
no se usa
entreesposo y esposa es uno-a-uno; en los países mahometanos es uno-a-muchos. En el Tibet es muchos-a-uno. La relación de padre a hijo es uno-a-muchos; la del hijo al padre es muchos- a-uno; pero la del hijo mayor al padre es a-uno. Si n es cualquier número, la relación de n a n X 1 es uno-a-uno; también lo son las relaciones de n a 2n o, a 3/7. Cuando consideramos sólo números positivos, la relación de n - ?2 es uno-a-uno; pero cuando se admiten los números negativos, se vuelve dos-a-uno, puesto que n y — n tiene el mismo cuadrado. Estos ejemplos bastarán para aclarar las nociones de las relaciones:
meraposee la segunda, y transitiva cuando posee la tercera. Es obvio que una relación que es simétrica y transitiva debe ser reflexiva en todo su dominio. Las relaciones que poseen estas propiedades son de importancia, y merece observarse que la semejanza es una relación
uno-
ga
de este tipo.Es obvio para el sentido común que dos
clases finitas tienen el mismo número de términos si son semejantes, pero no en otro caso. El acto de contar consiste en establecer una correlación uno-a-uno entre el conjunto de objetos contados y los números naturales (excluido el 0) que se emplean en el proceso. De acuerdo con esto, el sentido común llega a la conclusión de que hay tantos objetos en el conjunto por contar como números se emplean para llegar al último número usado en la cuenta. Y también sabemos que, siempre que
números finitos, hay n núme-
a n
una uno-a-uno, uno-a-muchos y muchos-a-uno, que intervienen en gran parte de los fundamentos de la matemática; no sólo
respecto a la definición de los números, sino en muchos otros aspectos.
Se dice que dos clases son "semejantes" cuando hay una relación uno-a-uno , que hace corresponder cada término de una clase con un término de la otra clase, de la misma ñera que la relación matrimonial hace ponder esposos y esposas. Unas definiciones preliminares ayudarán a establecer más precisamente esta definición. La clase de los términos que tienen una relación dada otra, se llama dominio de esa relación; así los padres son el dominio de la relación de padre e hijo; esposos son el dominio de la relación de esposo a esposa; esposas son el dominio de la relación de
con Ji*
manos limitemos a
desde 1 hasta n. Ocurre, por tanto, que el contar una colec-
corres-rosúltimo número usado para
__ el número de términos de la colección, con tal que la colección sea finita. Pero este resultado, aunque sólo sea aplicable a coleccio-
finitas, depende y supone, el hecho de que dos clases que son semejantes tienen el mismo número de términos, por lo cual lo que hace-
cuando contamos (digamos) 10 objetos es
ción escon una cosa u
anes
esposa a esposo, y esposos y mos
10 11
3asa con la Reforma
nseñanza de la Matemática
reforma en el campo de la enseñanza de la matemática. En algunos países -como Francia y Bélgica, por ejemplo— este movimiento cristalizó en estudios profundos y en aplicaciones sistemáticas. En nuestro país hemos asistido una vez más a la dilapidación de esfuerzos y al desaprovechamiento de los recursos naturales. Teníamos, en efecto, un magisterio y un profesorado de excelente nivel, una fuerte tradición pedagógica, un movimiento cultural de primer orden, una buena escuela matemática en el nivel de la enseñanza universitaria y la investigación, un núcleo de propulsores calificados y entusiastas. Con esta materia prima, un mínimo de sensatez en la conducción hu-
llamada "reforma educativa" que terminó en el fracaso. Se ha malgastado el potencial intelectual de nuestro país, que es uno de los más elevados de América; se ha perdido la oportunidad -que existía ciertamente- de colocar la enseñanza de la matemática en la Argentina en el más alto nivel internacional, lo que hubiera sido una concreta y auténtica contribución al desarrollo del país.
a
JORGE E. BOSCH (Argentina)
tualmente desprejuiciada tuvo un éxito préndente en la post-guerra. Se aplicó la teoría de la información a la genética, la teoría de los juegos a la economía, la teoría de los conjuntos ordenados a la sociología. Por todo el mundo circula una nueva sed de conocimientos, —como en las grandes épocas de Abelardo o Miguel Angel— un nuevo estilo de investigación y de análisis, una nueva inquietud por comprender todo y por replantear todos los problemas: un segundo Renacimiento, sin ninguna duda.
Es importante destacar que en este gran hervidero de ideas, la matemática desempeña un papel central: no sólo ha penetrado en ciencias tradicionalmente alejadas de sus métodos, como la sociología o la psicología, sino que comienza a invadir con firmeza terrenos que parecían esencialmente vedados al pensamiento exacto, como la estética, la música y la crítica teatral.
Hasta comienzos de nuestro siglo, la matemática fue considerada como una proeza de carácter lógico y como una clave esencial comprender la naturaleza; pero se entendía por "naturaleza" el conjunto de fenómenos estudiados por la física y la química. Ahora la matemática aparece como un recurso universal aplicable a todo tipo de problemas, sin limitaciones preconcebidas.
La enseñanza de una ciencia de estas características debe constituir un tema prioritario para todos los que se interesan por la marcha de la civilización y la cultura. La trascendencia del problema es tan grande, que deberíamos meditar profundamente antes de tomar decisiones: éste es uno de esos temas en los que la ligereza, la improvisación y la incompetencia son imperdonables.
La oportunidad perdidaDesde hace unos diez años tiene vigenci
todo el mundo un creciente movimiento de
Algunos defectos concretos
Voy a apoyar estas reflexiones generales en una lista —que no pretende ser exhaustiva— de defectos concretos en los que se observa el fracaso a que estoy aludiendo.
1) En el año 1968 fue creada, por decreto del Poder Ejecutivo, una Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática. A más de dos años de su creación, esta comisión ha sido prácticamente ignorada por las autoridades: prueba de ello es que se han gestado programas, proyectos de programas, temas nuevos, recomendaciones, etc., que no han sido elaborados por ella. Intervienen asesores en cuyo anonimato se diluye la responsabilidad de los errores que se cometen.
2) También en 1968 tuvo lugar en la ciudad de Córdoba, con gran despliegue de recursos materiales y humanos, el Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias, organizado por el INEC, donde se trabajó intensamente y se aprobaron recomendaciones que estimo de la mayor importancia. Pero todavía no han sido publicadas las actuaciones de ese Simposio,
lo cual esa excelente realización del INEC pierde buena parte de la eficacia a que podía aspirar. Como el INEC es un organismo que se ha distinguido por su eficiencia y por el alto nivel de sus aportes al mejoramiento de la enseñanza científica, es lícito suponer que alguna dificultad administrativa está demorando, o acaso impidiendo, la publicación de aquel importante documento.
3) La gestación misteriosa y anónima de programas de estudio alcanza a veces a producir situaciones que se prestan a la sospecha. A ese extremo se llegó el año pasado, cuando aparecieron de pronto libros impresos en España cuyo contenido se adaptaba milagrosamente a los nuevos programas argentinos, que hasta poco antes se habían mantenido prácticamente en secreto. La Confederación Argentina de Maestros y Profesores (CAMYP) efectuó la correspondiente denuncia, ante la cual
Trascendencia del problemá sor-Creo que estamos asistiendo, en el nivel de
la civilización contemporánea, a un segundo Renacimiento (o a un tercero, si se quiere tomar en cuenta el Renacimiento carolingio); en las tres últimas décadas se ha operado una de las transformaciones culturales más profundas de la historia humana. Entre otros factores, la última guerra mundial exigió un grado tal de colaboración y entendimiento entre especialistas de diferentes ramas del conocimiento científico, que quedaron echadas las bases de una actividad interdisciplinaria tan profunda y sorprendente como nunca se había visto antes. Son numerosos y sugestivos los ejemplos que pueden citarse al respecto. Uno de los más importantes es el de la creación de la cibernética, o ciencia del control y de la comunicación en los animales y en las máquinas. Su promotor más eminente fue el ¡lustre matemático, físico y filósofo Ñorbert Wiener, pero no cabe duda de que la cibernética fue el resultado del entendimiento entre varios matemáticos, físicos y fisiólogos. Al comentar, en 1947, la colaboración habida entre él y el fisiólogo Arturo Rosenblueth, colaboración que fue decisiva para la creación de la cibernética, Wiener escribió:
"Estábamos de acuerdo sobre estos temas mucho tiempo antes de hgber elegido el campo de nuestras investigaciones conjuntas y nuestras respectivas partes en el mismo. El factor decisivo en este nuevo paso fue la guerra."
El horror de esa guerra total, que se transformó en una dramática lucha por la supervivencia, aguzó el ingenio de los hombres, impuso el trabajo en equipo, obligó a ensayar soluciones que en épocas normales se hubieran considerado extravagantes. Aquella tragedia sombría produjo al menos esta luz: nada es lo suficientemente extravagante como para no merecer un
biera bastado para obtener un éxito brillante. Sin embargo, estamos al borde del fracaso. En efecto: no se ha introducido —a lo largo de diez años— ninguna reforma orgánica; apenas han aparecido en los diversos programas algunos puntos aislados que no se articulan con el resto y que, en definitiva, producen más desorientación que comprensión de las nuevas ¡deas. Los alumnos de la escuela secundariaegresan con una preparación matemática deficiente, que se hace notoria en los cursos de ingreso y en los primeros años de las carreras universitarias. Sin embargo, aunque parezca paradójico, lo poco que se ha hecho ha resultado excesivo; las tímidas e incoherentes reformas introducidas han resultado, en la práctica, insospechadamente audaces. La explicación de esta paradoja es sencilla. Los ministerios de educación autorizaron la implantación de refor-
los programas sin emprender simultáneamente una tarea de actualización sistemática del personal docente. El INEC (Instituto Nacional
el Mejoramiento de la Enseñanza de las Ciencias) organizó y continúa organizando excelentes cursos para docentes de matemática, real i-
distribuye publicaciones, canaliza una ¡rodé información, y organizó con
mas en conpara
para
í
1 za yportante masa impresionante éxito el Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias (Córdoba, 1968). Pero corresponde a los más altos niveles administrativos del Ministerio de Cultura y Educación la elaboración y l3 instrumentación de un plan orgánico, profundo y sistemático, tendiente a lograr la actualización de la totalidad de los docentes argentinos en un plazo calculado yfijado de antemano.
Un plan semejante, con la ¡mplementación material y humana que presupone, no existió ni existe. En cambio, se perdieron tiempo y
la elaboración de unea enanálisis científico. Esta actitud intelec-
recursos cuantiosos en
1213
canza a los propios docentes, que se ven en la imposibilidad de enseñar con coherencia un programa que no la tiene.
6} Pero es una utopía y una irresponsabilidad poner en marcha una reforma de la enseñanza de la matemática si no se aplica simultáneamente, o, mejor aún, previamente, un plan sistemático y global de actualización docente, con etapas previstas y calculadas, con plazos estimado, con medios y con personal idóneos. Aquí ha fallado —a mi modo de ver— la comprensión de las ideas directrices del problema; ha fallado lo que suele llamarse "la filosofía" de la cuestión. En efecto: se ha creído que la función específica del ministerio público es establecer normas y programas y que la función específica del docente es arreglárselas como pueda para ejecutar aquellas directivas. Este profundo error de enfoque bastaría por sí solo para llevar al fracaso todo intento de renovación de la enseñanza de la matemática en nuestro país. Cuando se aspira a producir una transformación honda en los métodos y en los contenidos, la actualización de los docentes deja de ser una cuestión individual y se sitúa en el nivel de los problemas nacionales. Si el ministerio público no arbitra los fondos, los planes, el material y los medios de toda índole para llevar a cabo en forma sistemática, como tarea nacional, la actualización de los docentes, no tiene ningún derecho a exigir de éstos el cumplimiento de los nuevos programas y de las nuevas normas. No es el docente el que debe realizar sacrificios individuales para llevar a cabo la reforma, sino que es el ministerio público el que debe poner en ejecución la tarea de la actualización docente, con el mismo criterio de empresa nacional con que pone en ejecución la tarea de impartir instrucción a los niños y a los jóvenes.
Creo que los profesores de matemática y los maestros encargados de enseñar una matemática muy distinta de la que ellos mismos han aprendido, tienen derecho a negarse a poner en ejecución los nuevos programas si no se les resuelve total y previamente el problema de su actualización. Creo también que si hasta ahora los maestros y los profesores de matemática han puesto una excesiva buena voluntad en llevar adelante una tarea imposible, es porque no han tomado claramente conciencia de la injusticia que se está cometiendo con ellos ni de lo descabellado de la tarea les exige. Me agradaría saber qué sucedería si
de un día para otro el gobierno decidiera biar los ferrocarriles por aviones y comunicara simplemente al personal ferroviario que debe actualizarse y que cada uno se las debe glar como pueda para llevar a cabo con toda felicidad esa transformación.
Que la actualización de los docentes es el problema crucial de la reforma de la enseñan za de la matemática, es un principio pedagógico muy conocido por todos excepto por los funcionarios que en ciertos países tienen la responsabilidad de conducir la política educativa. En el número anterior de esta revista se publicaron sendos artículos de dos matemáticos eminentes, que tienen participación activa y decisiva en el movimiento mundial por la re forma de la enseñanza de la matemática; como era de prever, ambos ponen singular énfasis en el problema de la actualización docente. Dice André Lichnerowicz, presidente de la Comisión Internacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Matemática:
"La calidad de una enseñanza, la posibilidad de mutaciones cuidadosamente elaboradas, descansa en primer término sobre los maestros que efectúan esa enseñanza matemática. Casi afirmaría gustoso que en adelante los maestros de matemática ocuparán un lugar entre los hombres más importantes de nuestra sociedad, aquéllos que determinarán profundamente su futuro."
Y dice Marshall Stone, figura de prestigio mundial en los planos de la investigación y de la enseñanza:
"Uno de los más arduos problemas de la
correctos desde el punto de vista científico: en muchos de ellos hay fundamentales errores de concepto, que de ningún modo pueden atribuirse a descuidos o a defectos de impresión. La indiferencia total de las autoridades ante este fenómeno ha de basarse —se me ocurre— en un mal entendido respeto por la libertad de prensa. No se discute que-alguien tenga derecho a publicar libros de matemática plagados de errores: hasta ahí llega la libertad de prensa; otra cosa completamente distinta es aceptar un libro tal como texto de enseñanza en la escuela pública. Volviendo al símil de los ferrocarriles insinuado en el punto anterior, imaginemos que —además de decidir de un día para otro el cambio de ferrocarriles por aviones y de comunicar al personal ferroviario que debe arreglárselas como pueda— el gobierno permitiera la adopción oficial de manuales de instrucción sobre el manejo de aviones, escritos apresuradamente para llenar un fin evidentemente lucrativo y pletóricos de gruesos errores.
se prometió una investigación oficial. Hasta donde llegan mis informaciones, los resultados de esa investigación no han sido todavía dados a publicidad. El caso es importante, pues estarían implicados en esta situación algunos de esos asesores que en los últimos años han frecuentado el Ministerio de Educación. El resultado más interesante que podría tener una investigación como la mencionada sería, a mi juicio, que conoceríamos por fin —aunque por un medio un tanto indirecto— la identidad de quienes elaboran los planes de matemática en este país.
4) Las actuaciones del Ministerio de Educación y del Conade en lo que se refiere a la reforma educativa han tenido un marcado carácter tecnocrático; dejando de lado toda discusión acerca de la conveniencia de imprimir tal carácter a la puesta en marcha de una reforma educativa, resulta curioso advertir que esta solución tecnocrática tiene serias deficiencias precisamente desde el punto de vista técnico. Entre todos los funcionarios que, de un modo u otro, intervinieron en la elaboración de la llamada "reforma educativa", no hay uno so/o que sea matemático profesional; sin embargo, la reforma de los planes de estudio y de los programas de matemática es presentada como uno de los aspectos de la reforma educativa. Llamativos tecnócratas, que creen conveniente prescindir de los técnicos en matemática cuando se trata de reformar los planes de enseñanza de la matemática.
5) Los temas llamados "de matemática moderna" que se han incorporado a los programas poseen un marcado efecto negativo: aparecen aislados, desvinculados del resto, con lo cuál el alumno recibe la impresión de que se trata de temas gratuitos e inútiles. Si el punto de vista de la teoría de conjuntos no se adopta en forma coherente y sistemática en la totalidad de la enseñanza, su efecto unificador y su capacidad de proporcionar una base conceptual simple y potente, se pierden por completo. La inclusión de ideas conjuntistas en temas aislados, como se hace ahora, resulta perjudicial para la formación intelectual del alumno, pues éste se ve así sometido a saltar incomprensiblemente de un punto de vista a otro, sin lograr en ningún momento una comprensión global y estructural de la metodología matemática. Más aún: la mezcla de lenguajes y concepciones irreconciliables tiene consecuencias caóticas, y el desconcierto al-
cam-
arre-
1
Balance y perspectivasTengo la impresión de que muchos han
subestimado la dificultad del problema: los conjuntos pintados, el símbolo de pertenencia cuidadosamente dibujado, los ejemplos familiares acerca de tías, perros y flores, confieren a las nociones conjuntistas un aire rosado e inofensivo. Pero lo cierto es que —aún en los niveles más elementales— el tema es profundo y difícil. A pesar de los cursos de actualización (bien o mal dictados), a pesar de los abundantes libros (bien o mal escritos), a pesar de las conferencias y de los congresos, y a pesar de los varios años transcurridos, todavía esta- mos muy lejos de haber logrado un buen nivel de actualización global en el profesorado secundario de matemática; todavía son muy frecuentes las confusiones sobre temas fundamentales. Voy a mencionar un solo ejemplo entre muchos: todavía se cometen demasiado a menudo errores de enfoque en la definición y en el tratamiento de las relaciones de orden; más específicamente: todavía se presentan demasiado a menudo serias dudas cuando se trata de establecer si una relación puede ser simultáneamente simétrica y antisimétrica. Esta es una cuestión que corresponde a los niveles más elementales de la teoría de conjuntos, pero requiere una sutileza de pensamiento y una claridad de ¡deas que, a mi juicio, todavía
reforma es la preparación de los maestros y profesores para que sean capaces de enseñar los tópicos modernos, y hay que confesar que muchas veces no sabemos cómo hacerlo. Entiendo que una vez que se ha decidido que un país modernizará el programa oficial, debería ser posible organizar un plan de estudios parael adiestramiento de los profesores.'
Frases como éstas se han escrito y dicho miles de veces en todo el mundo durante diez años. La doctrina que ellas sintetizan es perfectamente conocida por maestros, profesores e investigadores. Los únicos que todavía no la han aprendido son los planificadores y los ex
funciones
1I
i
pertos en educación que ocupan directivas en algunos países: en ellos reside el subdesarrollo.
7) De los libros de matemática que los alumnos usan como texto, no
que setodos son
14 15
;.\
sumen orgánico sobre las características de la matemática moderna y sus posibilidades de aplicación en todos los niveles de la enseñanza. Esta propuesta tiene el carácter de una peregrinación a las fuentes: ya que se trata de enseñar la matemática moderna, averigüemos antes qué debe entenderse por tal expresión, y cuáles son las características relevantes que debe tomar en cuenta cualquier plan educativo. Los únicos que están en condiciones de suministrar esta información eminentemente técnica son los matemáticos profesionales, y el organismo que tiene las mayores probabilidades de acertar en la designación de esa Comisión es la asociación profesional que reúne a los matemáticos argentinos. Debe encomendarse, pues, a la Unión Matemática Argentina, que proponga los integrantes de la Comisión Nacional de Matemática.
4) Ampliar, con el nombramiento de algunos matemáticos profesionales designados por las universidades nacionales, la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática —que ya existe- y encomendar a esta Comisión la tarea específica de elaborar programas sintéticos de matemática para los ciclos primario y secundario, sobre la base del resumen orgánico elaborado previamente por la Comisión Nacional de Matemática mencionada en el punto anterior.
5) Encomendar a la misma Comisión Nacional de Matemática mencionada en el punto 3, el nombramiento de todas las personas que actuarían en el Plan de Actualización Docente en Matemática, con excepción de las que representen a las asociaciones profesionales y/o gremiales de maestros y profesores, y al INEC. El Plan deberá estar concebido de tal modo que se cumplan por lo menos los dos objetivos siguientes: a) Asegurar la actualización de todos los docentes de matemática en un plazo no superior a los cinco años; b) Asegurar la actualización permanente de los docentes por tiempo indefinido, mediante mecanismos eficientes y ágiles.
6) Poner en vigencia gradualmente los programas elaborados por la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática, según lo expresado en el punto 4.
7) Dar a publicidad los programas con más de un año de anticipación a su puesta en vigencia: éste es el único método por el cual se podrá eliminar toda suspicacia con respecto a la aparición súbita de libros que responden a programas adoptados precipitadamente. Es, a- demás, el único método por el cual se puede
no han sido logradas con la amplitud deseable. Ejemplos como éste revelan que la cuestión no es fácil ni sencilla y que, si bien contamos con unt profesorado secundario en matemática de muy alto nivel, las dificultades naturales e intrínsecas del tema hacen que el problema de la actualización docente sea sumamente delicado.
estimular a los autores para que escriban libros de texto con el cuidado y la dedicación que el caso requiere. En un comienzo, el plazo debe ser de dos años.
8) Encomendar a la Comisión Nacional de Matemática mencionada en el punto 3, que nombre una Comisión de Lectura de textos de matemática. Es esencial que las tareas de esta Comisión de Lectura sean retribuidas con honorarios adecuados y sean compatibles con el régimen de dedicación exclusiva de las universidades. Esta Comisión leería los textos sometidos a su consideración y elaboraría dictámenes sintéticos acerca de la presencia o ausencia de errores científicos. Sobre la base de tales dictámenes, el Ministerio de Educación aprobaría o desaprobaría los libros de texto de matemática que editoriales y autores sometieran a su consideración.
9) Apoyar y promover la investigación seria en enseñanza de la matemática, sobre todo en los niveles primario y secundario. En este sentido, en nuestro país nó se ha hecho nada,
lo cual contrasta con la obra notable que se ha llevado a cabo en otros países, como Francia, Bélgica y Canadá.
10) Estimular por medios concretos y efectivos el perfeccionamiento científico y pedagógico de los docentes de matemática.
Palabras finalesNinguna reforma educativa tendrá éxito si
no se la promueve por medios democráticos ¡dóneos para obtener la colaboración entusiasta de todos. Ninguna reforma educativa tendrá éxito si no se cuenta con un personal docente decorosamente remunerado; con un sistema de información racional que evite toda desorientación al maestro, al profesor y al alumno; y con un sistema de estímulos materiales, morales e intelectuales que permita a los docentes -en todo el ámbito del país- emprender con optimismo la delicada tarea de convertir a nuestros hijos en protagonistas del renacimiento cultural de nuestra época.
Si ésta es la situación en la enseñanza secundaria, fácil es imaginar cuál puede ser en el nivel primario, donde los maestros carecen de la especialización que poseen los profesores de matemática, y donde la supuesta actualización ha sido llevada a cabo en forma mucho más apresurada, más caótica y más irresponsable. Un mínimo de sensatez indica que debe suspenderse de inmediato todo intento de introducción de la llamada matemática "moderna" en la escuela primaria e iniciar, en cambio, un proceso bien calculado y planificado de actualización de los maestros, extremando las precauciones para que esta tarea recaiga en manos idóneas y para cerrar el paso a los productores de manuales y recetarios lucrativos.
El balance es francamente negativo: con programas mal confeccionados, con un personal docente de alta capacidad pero que no halla oportunidades orgánicas ni estímulos adecuados para su actualización en escala nacional, y con textos que, en general, no satisfacen requisitos mínimos de seriedad
científica, la enseñanza de la llamada "matemática moderna" está en una difícil encrucijada en el nivel secundario, y ante la perspectiva de un fracaso total en el nivel primario.
Se ha causado ya un daño irreparable a la educación argentina, pero se está a tiempo —naturalmente— de evitar que se causen nuevos daños irreparables. Para ello se deben tomar algunas medidas urgentes, entre las cuales podrían contarse las que siguen:
1) Dar a publicidad las actuaciones del Primer Simposio para la Enseñanza de las Ciencias, desarrollado en Córdoba en 1968.
2) Congelar los programas de matemática de la escuela secundaria hasta que llegue el momento de efectuar una auténtica reforma, y suprimir drásticamente todo intento de introducir la llamada "matemática moderna" en la escuela primaria, también hasta que llegue el momento de efectuar una auténtica reforma.
3) Crear una Comisión Nacional de Matemática, integrada por matemáticos profesionales, que se encargaría de redactar
\
(viene de pág. 11)parezca. Pensamos naturalmente que la clase de pares (por ejemplo) es algo diferente al número 2. Pero no existe duda acerca de la clase de pares; es indubitable y no difícil de definir, en tanto que el número 2, en cualquier otro sentido, es una entidad qietafísica sobre la cual nunca podemos estar seguros que exista o cuya pista podamos seguir. Por tanto, es más prudente contentarse con la clase de pares, de la cual estamos seguros, que perseguir a un problemático número 2 que siempre puede, debe, permanecer esquivo.
El número de una dase es la dase de todas las clases que son semejantes a ella.
Así el número de un par será la clase de todos los pares. En efecto, la clase de todos los pares será el número 2, de acuerdo con nuestra definición. A expensas de una pequeña singularidad, esta definición asegura definitivi- dad e indubitabilidad, y no es difícil probar que los números así definidos tienen todas las demás propiedades que esperamos tengan los números.
Podemos ahora definir números en general cualquiera de los haces en que la seme-
i las clases. Un número será un , de clases tales que dos cualesquiera
semejantes entre sí y ninguna exterior es ¡emejante a ninguna que pertenezca al conjunto. En otros términos, un número (en general)
es cualquier colección que es el número de sus miembros, o más simplemente todavía.
Un número es algo que es el número de alguna dase.
Una definición tal tiene la apariencia verval de ser circular, pero en realidad no lo es. Definimos el "número de una clase dada" sin usar la noción de número en general; por tanto, podemos definir número en general mediante el "número de una clase dada" sin cometer ningún error lógico.
Las definiciones de esta clase son en verdad muy comunes. La clase de los padres, por ejemplo, podría definirse definiendo primero en qué consiste ser el padre de alguien; luego la clase de los padres será la de todos aquellos que son padres de algo. Semejantemente, si necesitamos definir los números cuadrados (digamos), debemos definir primero lo que entendemos al decir que un número es el cuadrado de otro, y luego definir los números cuadrados como aquéllos que son los cuadrados de otros números. Esta manera de proceder es muy común, y es importante comprender que es legítimo y muy a menudo necesario.
Hemos dado, pues, una definición de los números que servirá para colecciones finitas Queda por ver si servirá para colecciones infinitas. Pero primero debemos decidir qué entendemos por "finito" e "infinito".
1
comojanza reúne aconjuntoson
un re-
16 17
i
■
expresa: longitud de AB/ longitud de U — a, lo que se lee: medida de AB con respecto a 0).
material plástico. El material más adecuado es aquél que presenta una superficie despulida y traslúcida.
Se recorta un trozo rectangular de 1,5 a 3 cm de ancho y de 10 a 15 cm de largo. Claro está que estos valores pueden variar mucho, de acuerdo con el uso. También resulta práctico tener preparados varios p.s. diferentes medidas.
r-----II5. Efectuar operaciones con segmentos: su
reste, multiplicación por un número abs-i aA
ma ytracto. Producto de segmentos.
6. División de un segmento por un número abstracto: a/n = b; a/b = n, siendo n un número abstracto. El número n expresa la razón
>
c9geométrica a : b = n. En este caso conviene comenzar haciendo que b sea parte alícuota de a, (Principio de la divisibilidad de Arquíme- des). Este proceso llevará al concepto de medida de un segmento.
Las operaciones fundamentales que es necesario aplicar para la solución de los ejercicios propuestos son las siguientes:
—trazar la mediatriz de un segmento;—segmentos y ángulos consecutivos ordena
damente congruentes a otros segmentos y ángulos dados;
—trazado de la bisectriz de un ángulo.Veamos, a continuación, algunos ejemplos
que, como hemos dicho, se han resuelto utilizando como única herramienta el portaseg- mentos. En las construcciones que se proponen se aplican las propiedades de la regla y de las paralelas.
1o. Trazas la perpendicular a una recta. Sea a la recta dada. (Fig. 2)
Colocar el p.s. en las posiciones (1) y (2). Se marcan los puntos M, N, A y B.
><r
Fig. 3i
mediante los trazos b, b'; c, c'; e, e'; d, d'. Trazando la recta que contenga los puntos M
*r>
y N se tendrá la perpendicular pía. (Fig. 3)2o. Trazar la mediatriz de un segmento.
Este problema puede tener otro enunciado: dividir un segmento en dos partes iguales (y por reiteración dividir un segmento en 2n partes ¡guales), etc.
Se apoya el p.s. en los extremos del segmento dado (A, B) en las posiciones ( ' y (2) de la fig. 4 y se marcan los trazos a, i y b, b'. Quedarán determinados los puntos M • N
oque definen la perpendicular p, la cual con. •
Nne al punto C tal que AC = CB.
Para el caso del segmento, basta observar lafigura.
En cuanto al ángulo, se hace coincidir uno de los bordes del p.s. (posición 1) con uno de los lados del ángulo, por ejemplo, OM. Se marcan en el p.s. el vértice O y la intersección N. Luego se lleva el p.s. a la posición 2 sobre la recta mn sobre la cual se ha de transportar el ÑOM. Se marcan los puntos N', O' y M' y se obtendrá N'O'M' = ÑOM.
En este ejercicio se aplica el carácter transitivo de la congruencia de ángulos.
4°. Trazado de la bisectriz de un ángulo.Este ejercicio puede resolverse de distintas
laneras:a) Sea xoy el ángulo dado.Se coloca el p.s. en la posición (1) (fig. 6)
se hace el trazo a'; luego se coloca el p.s. enposición (2) y se hace el trazo a". Así se
‘termina el punto O'. Se traza la semirrecta ► •*>
0' = b' que es la bisectriz pedida.
La fig. 1 muestra su uso para trazar las rectas'a y*6 que ¡ntersectan a la mm' en los puntos A y B.
Uso del portasegmentos
Creo que convendría comenzar efectuando algunas actividades que contribuyan a la adquisición de conceptos básicos, por ejemplo:
1. Probar que por dos puntos pasa solamente una recta. (Dos puntos determinan una recta)
/*
(O \
^ a —-Xz
/i(
•>- CÍ Vr
✓ ■—
c2. Comparar segmentos mediante el p.s.; llegar a la conclusión a = b; a > b o a < b. (Concepto: Los segmentos son magnitudes)
3. Dar la idea de segmentos consecutivos colineales. Probar que a + b = c (Concepto: Los segmentos son magnitudes aritméticas).
4. Siempre es posible expresar la longitud de un segmento en función de un segmento tomado como unidad. (Concepto: La medida de un segmento es un número abstracto que
y s^ ^ ó
(z) ;/Vf/,/ ✓ N. c J/>
I N /
Fig. 430. Transporte de un segmento y de un
ángulo.Fig. 2\
2223
Aplicando el trazado de perpendiculares (figs. 2, 3 y 4) y de la bisectriz (figs. 6 y 7)
podrán construir ángulos de 90°, 45°, 22°30\ 135°, etc.
6o. Construcción de ángulos de 60°, 30°, 15°, 120°, etc.
Sea mm' la recta dada y P el punto desde*. ■ > ,
el cual se desea trazar la perpendicular a mmb) Otro procedimiento podría ser el si
guiente.La fig. 10 muestra distintos ángulos relacio
nados con el de 60°.7o. Trazado de paralelas.se (Fig. 12)
Se comienza colocando el p.s. en la posición (1) de manera que uno de sus bordes cor
e te a mrn' y contenga a P. Se marcan en el p.s. los puntos A y B, de modo que A coincidirá
punto M y B con P. Se lleva luego el
c?
i(y/ i con un
p.s. a la posición (2) haciendo coincidir a B con P y a A con un punto de mm' que llama-
3 ó '
nn /N. Se comprende fácilmente que
M G'mm'; N £ mm' y MP= NP.Se traza la'mediatriz del segmento MN co
mo se ha visto en las figs. 2, 3 y 4. Sea xy’lMN en P'; MP'= NP'. PP' es la parte de la perpendicular xy>que mide la distancia de P a mm'.
Este problema puede tener distintos enunciados, como por ejemplo:
—hallar la distancia de un punto a una rec-
remos
o/
*rn ii
/ \L
d'ifFig. 7
Sobre OX se toman los segmentos ÓM y ÓN arbitrarios. Se toma OM' = OM y M'N' — MÑ. Se une N con M'y M con N' con lo que quedará determinado el punto O'. Se traza la semirrecta OO' = b, que es la bisectriz pedida.
Este ejercicio puede enunciarse de distintas maneras:
-dividir un ángulo en dos partes iguales;—trazar el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de los lados del ángulo;
—trazar la semirrecta que contenga los centros de las circunferencias tales que los lados del ángulo sean tangentes a dichas circunferencias.
Por reiteración del problema se podrá dividir el ángulo en 2n partes ¡guales.
5o. Construir un ángulo de 45°, 90°, 135°, etc.
Fig. 11 ta;i—construcción de un triángulo isósceles da
da la base (MÑ) y la altura (PT>').9°. Construir un cuadrado dado el lado.
Se comienza trazando la recta at Se coloca el p.s. en la posición (1) y se traza una recta ScP cualquiera, secante a aT, marcando en el p.s. los puntos A y B. La recta ácF*es la directriz. Para cualquier posición en que los puntos A y B coincidan con la directriz Sd*, los bordes del p.s. pertenecen a rectas paralelas. Así tendremos: a H b H c H d H e H\ H', etc.
8o. Por un punto exterior a una recta trazar una perpendicular a dicha recta.
Fig. 9
Se comienza trazando la recta mm' y sobre ella se marcan los puntos A y B y la perpendicular en su punto medio M. Sobre el p.s. se marcan los puntos A' y B' tales que Á'B' = ÁB. Se coloca el p.s. en la posición (1), haciendo coincidir A' con A y B' con la perpendicular p sobre la cual se marca el punto C. El ángulo CAB es de 60°.
La^fig. 9 muestra cómo mediante la bisectriz Ab se forma el ángulo de 30°; de igual manera podría obtenerse el de 15° ral, el de 60°/2n.
1>\p
vY
p' '•Y
- '&*> \
y, en gene-
-Xx**/ (O Tb 6'
!/ i* / \ \/ \/ \/ \ i/ i\/ \/ d \/ \\* /b / \\
Fig. 13\/ \/\ / \
v'
Pf Sobre una recta xy*se toma AB= l según lo visto antes (figs. 2, 3 y 4). Se trazan~p y"p' perpendiculares a AB én A y B, respectivamente. Sobre ellas se toman AD = AB y BC = AB. Se obtienen los puntos A, B, C y D que son los vértices del cuadrado ABCD pedido.
V nih IN/ni
I¡y
Fig. 8 Fig. 10 Fig. 12
24 25
dio M. La recta rñm' corta a ÁTp y a Áy en B y en D. A, Bf C, D son los vértices del cuadrado pedido.
11°. Construir un rombo dada la diagonal y un lado.
10°. Construir un cuadrado dada la diago-LA ENSEÑANZA PRIMARIA
LENGUAJE Y NOTACION
CONJUNTISTAV
JAMES W. HEDDENS . (Estadps Unidos)Actividades de los niños
Los conjuntos equivalentes, no equivalentes e ¡guales presentan situaciones que desarrollan la conciencia de la necesidad de hacer elecciones discriminatorias. Si se ofrece a un niño una elección entre dos conjuntos de barras de chocolate —uno de cuatro barras y el otro de dos— no tiene ninguna dificultad para decidir si son equivalentes.
En una situación más abstracta crece la dificultad de identificación. Esto se aclarará mediante muchas experiencias de correspondencias biunívocas entre conjuntos. La comparación de conjuntos que no tienen el mismo número de miembros o elementos ayudará a desarrollar la discriminación visual. Finalmente, a medida que el niño progresa hasta el punto de que puede comprender y usar el simbolismo más adecuado de los paréntesis, está comenzando a aplicar su comprensión de los conjuntos y de la notación conjuntista para objetivos de comprensión e identificación.
(
A
iV
7Sobre una recta xy se toma AC = d. Se tra-
íb la perpendicular en el punto medio_de AC (figs. 3 y 4): pp\L AC, que corta a AC en el punto medio (ÁM ^ MC). Sobre pp', a partir de M se toma MDaMBaÁM. ABCD es el cuadrado pedido.
Este ejercicio puede efectuarse de otra ma-
Sobre una recta xy se toma la diagonal d; d = AC. Se traza la mediatriz de AC, quedando determinado el punto M, (fig. 4). Con el p.s. se toma el lado I y apoyando en A se corta la perpendicular 'pp’ en D, en la posición (1): AD = 1. Luego se repite la operación en (2) y se obtiene CD_= I.
A, B, C, D son los vértices del rombo pedi-
PRIMER Y SEGUNDO GRADO
Conjuntos equivalentes y no equivalentes
• Haga poner de pie a un grupo de cinco niños. Luego, haga poner de pie a otro grupo de cinco niños, haga que cada niño del primer grupo encuentre un compañero en el segundo grupo. Pregúntese a la clase si los dos conjuntos son equivalentes. Pídase a otro niño que escriba el símbolo que designa al número de cada grupo. Muchas variaciones de esta actividad pueden hacerse
otros objetos concretos, dibujos sobre el pizarrón y representaciones sobre el franelógrafo.• Dibuje una línea numérica de "cuadrados” sobre el piso.
ñera:
I b/r7J
do.I conó 120. Construir un rombo dadas las dia
gonales.I
3 52 61 7I*'-^7
IFig. 1*
b yA f/V' /V I
Haga que los niños se paren sobre los cuadrados en correspondencia biunívoca.• Disponga niños en dos grupos, 6 en un grupo, 4 en el otro. Haga que los niños del primer
grupo encuentren compañeros en el segundo grupo. Pregunte a la clase si los dos conjuntos equivalentes. Pregunte cuál conjunto tiene más. Haga que un niño escriba los símbolos que representan el número de cada grupo.
• Disponga dos conjuntos en el pizarrón o en el franelógrafo.
:
d son
Fig. 15
En un punto A de xy* se traza 1 xy. Se construye la bisectriz ÁÍ> como se indicó en la fig. 6. Sobre ÁÉ,AC = d. Se traza mm' 1 AC en su punto me- □□□□□a partir de A se marca
Fig. 2
26 27
■
niño escriba el número debajo de cada conjunto y diga qué conjunto tiene menosHaga que un elementos.
• Sobre el pizarrón dibuje un gráfico de conjuntos.
• ¿Cuál conjunto tiene menos objetos?
★ ★ ★
★ ★ ★á£&AA □□□□OOO
Fig. 3 Fig. 8
De una colección de dibujos de conjuntos, haga que un niño seleccione uno que represente más que cada uno de los conjuntos anteriores. Luego haga que un niño seleccione uno que represente menos que cada uno de los conjuntos anteriores.
• En cada una de las segundas regiones de los gráficos que siguen dibuje un conjunto con un elemento más que los que se encuentran e». el conjunto dado:
• ¿Cuáles conjuntos tienen el mismo número de objetos?
afcajojí tt * **t
R S TFig. 9í'
• Dibuje rayas para mostrar cuántos caramelos hay para cada niño.Fig. 4
Conjuntos equivalentes
• Marque el conjunto que tiene el mayor número de objetos.
OG0QGGÍ90i
(★jT★ Coo og^)^o o o cPcj) dcT^ CFig. 10
!5 3 4 ó 2 0• Dibuje rayas para mostrar cuántos globos hay para cada niño.
Fig. 5
K3• Marque el conjunto que tiene el menor número de objetos.
CO) Q r \>
;■ □ Q □BBS
a a aD B
l- Fig. 113 2 7 5 2
• Encierre en un círculo la cifra que designa al número mayor.Fig. 6• ¿Cuál conjunto tiene más objetos?
23 5 2 1o o oFig. 7 187 ó■ o 9o o
Fig. 12
28 29
• Encierre en un círculo al símbolo que designa al númerocírculo la cifra que designa al número menor. menor.• Encierre en un
74 o 712 16 -0 55 o 4489 o2 o6 o
19 Q 20
123 o 1323 79 ° 97 15 o 5145 o731 oo
203 - 320 230 ° 032Fig. 13
¿Cuál conjunto tiene menos elementos?!
• ¿Cuál conjunto tiene más elementos? Fig. 17.
TERCER Y CUARTO GRADO.
Conjuntos equivalentes, no equivalentes o ¡guales
• Compare los siguientes conjuntos.DBA iConjunto A = ---------- , -Conjunto B = ---------- , —Los conjuntos A y B son Conjunto A = Conjunto B
□ □ □ □ □ □ □□ A □ OAno*0*0*0'*0 *0
9 9 9*e 9□ □ conjunto Bconjunto A
• Conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5 } Conjunto D = { 1, 3, 5, 2, 4 } Los conjuntos C y D son ----
H Conjunto G = {1, 2, 3, 4 } Conjunto H = {2, 3, 4, 5}¿Es conjunto G = ConjuntoH?
GFEFig. 14
más elementos que el conjunto dado. Dibuje un conjunto con menos# Dibuje un conjunto con elementos que el conjunto dado. Sue
John
* * #
# # V.Joe
menos elementosmás elementos • ¿Los conjuntos A, B y C (pueden, no pueden) ser puestos en correspondencia biunívoca?
Los conjuntos A, B y C son (¡guales, equivalentes).
• Conjunto X = { 2, 4, 6} Conjunto. Y = {3, 5, 7 }Conjunto X
• Conjunto A = { □, o, a } Conjunto B = {A*oa}
Conjunto A
9 Represente cada uno de los siguientes conjuntos encerrando sus elementos entre llaves.
Fig. 15
círculo al símbolo que designa al número mayor.9 Encierre en unConjunto Y(=, =£}í
19 « 1745 ° 46
99 ° 9028 ° 18 Conjunto B(=, =£ )
66 0 771011 o
345 0 435100 » 101222 - 232 a) Un conjunto de cuatro nombres de niños que comienzan con la letra J.b) Un conjunto de los nombres de tres provincias.
Use llaves para encerrar conjuntos que sean equivalentes pero no ¡guales a los dos conjuntos anteriores. Luego forme conjuntos ¡guales a los dos conjuntos.
Fig. 16
31
30
QUINTO Y SEXTO GRADO ® ¿Puede Ud. pensar algunos de los subconjuntos de los siguientes conjuntos dados? Puede haber más de uno:
el conjunto de los estudiantes de su escuela; el conjunto de los números naturales menores que 10; el conjunto de los estudiantes de su clase.
• Conjunto K = Saúl, Saverio, SeverinoEscriba todos los posibles subconjuntos del conjunto K.• Empleando la siguiente lista de subconjuntos, escriba un conjunto de cuatro elementos tal
que todos puedan ser subconjuntos de él.
{Juan, José, Julio} ; {José, Julio} ; {Juan} ;j lomas, Julio} ; {Juan, Tomás}
• Nombre dos subconjuntos de cada uno de los siguientes conjuntos.
Conjunto C ={ 8, 10 } ; Conjunto D = { r, s } ; Conjunto E = { Juan, Tomás, José }
• ¿Verdadero o falso?
a) Cada elemento de { 1,2} es elemento de 1, 2, 3, 4 }b) Cada elemento de{ 4, 3, 2, 1} es elemento de 2, 1 }c) Cada elemento de{ 3, 9, 4, 8 } es elemento de 4, 8, 3, 9}d) Cada elemento dej 9, 4, 8} es elemento de 8, 3, 4, 9 } .
• Conjunto R CConjunto S significa que Conjunto R es un Conjunto A
Conjuntos equivalentes, no equivalentes e iguales
• Compare los siguientes conjuntos.
;i
Fig. 20del Conjunto S.
Conjunto B significa que Conjunto A es un subconjunto del Conjunto B.¿Cuáles conjuntos, si los hay, son equivalentes?¿Cual.es conjuntos, si los hay, son iguales?
• Examine los siguientes conjuntos y luego indique cuáles de los siguientes juicios son verdaderos (V) y cuáles son falsos (F).
Conjunto A = \ Conjunto B = ) Conjunto C =oA oI /
i Fig. 23Conjunto A Conjunto B- Conjunto Cj-Tom Conjunto A = Conjunto B Conjunto A =£ Conjunto B Conjunto A <-*■ Conjunto B Conjunto A Conjunto B
Joe T I BillJack CConjunto-----— del Conjunto
CConjunto y conjunto-
Conjunto son ambos -
ConjuntoConjuntoSet BSet AI
{1. 3, 5. 7) Conjunto C = Conjunto DConjunto C i=- Conjunto DConjunto C *-*■ Conjunto DConjunto C </*■ Conjunto D
Set C Set D (3, 7. 1, 5}
; ¡'
Conjunto E = Conjunto FConjunto E Conjunto F Conjunto E Conjunto E V* Conjunto F
Set E Set F
< □ ☆}{ o □ o > Fig. 24Conjunto Fi
ide { A, B, C, D }El diagrama muestra que { B, C } es un-
Fig. 21
Subconjuntos• ¿Puede Ud. dibujar diagramas para mostrar los siguientes conjuntos y sus subconjuntos?
(▲ □ o ★ O A • Los elementos del conjunto F son también elementos del ----------
El conjunto F es un junto E.
a) el conjunto cuyos elementos son 5, 8, 2, 7 y el conjunto cuyos elementos son 2 y 7.b) el conjunto cuyos elementos son los números naturales entre 5 y 10, y el conjunto cuyos
elementos son 6 y 7.del con-Fig. 22
3332
¿Verdadero o falso? bananas, manzanas C R
7, 8, 9 <Z T bote (7 R 3, 5 C T
C S2, 3, 4, 5, 6 C T
• Examine los conjuntosConjunto R = { manzana, banana, coco \ Conjunto S = { auto, bote, tren } Conjunto T ={ 2, 3, 4, 5, 6 }
MatemáticaSEXTO GRADO
OSCAR L. ISNARDI (Argentina)Conjunto universal
Dos artes, la plástica y la música, tienen a la matemática como elemento fundamental para su correcta realización. Nos referiremos, ahora, a la plástica exclusivamente.
La pintura concreta de nuestros días usa esencialmente de las relaciones geométricas centradas en los casos de simetría y sus composiciones. Un buen artista de la pintura y el dibujo actual no puede ignorar el manejo del par de ejes coordenados cartesianos ortogonales y la representación de funciones.
Es de capital importancia que el maestro especial de dibujo de las escuelas primarias, intermedias y medias vaya formando a sus alumnos en imágenes geométricas y, en colaboración con el profesor de matemática, analice gráficamente, por un lado, y analíticamente, por el otro, ciertas funciones que el educando va a usar en cualquier campo de las artes o de las ciencias.
Analicemos, entonces, cómo se deben componer ciertos casos geométricos sumamente ú- tiles en el dibujo:
de traslado, y sus relaciones o funciones correspondientes.• ¿Cuál puede ser un conjunto universal para cada uno de los siguientes conjuntos?
a) un conjunto de aviones de pasajeros,b) el conjunto de los números 1,3, 5, 7, 9,c) el conjunto de los números primos comprendidos entre 1 y 15.
© Si U =l{ 1, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 15} , formar los siguientes subsonjuntos:
a) el conjunto de los enteros impares.b) el conjunto de los enteros pares,c) el conjunto de los números fraccionarios,d) el conjunto de los números primos.
AMPLIACION'
i
¿Verdadero o falso?• Examine los conjuntos
U = conjunto de los números pares. M= { 0, 4, 8. 12, 16}P= {0. 2, 4, 5, 6}S = {1.3, 5, 7,9}
Fig. 2MC U PC U SC U UC U
El profesor de dibujo realiza su función artística y el profesor de matemática se interna en el concepto de semejanza geométrica.
REFLEXION O SIMETRIA AXIAL
i
(viene de pág. 26) :TRASLACION
Sobre xy se toma AC = dj. Se traza la me- diatriz de AC (fig. 4). Con el mismo procedimiento se* divide a d2 en dos partes ¡guales. Sobre pp* se toma Ñ D = Ñ B = d2/2. ABCD es el rombo pedido.
13°. Construir un triángulo equilátero dado el lado.
Sobre una recta xy* se toma ÁB = lf lado del triángulo. Se traza la mediatriz de AB (fig. 4). Con el p.s. se marca MN' = I y apoyándose en^A se corta a pj? en C de manera que AC = NN' = I. Se une C con B y queda determinado el triángulo equilátero ABC de lado dado I.
Fig. 3
En este caso cobra sentido la ley de reflexión, o carácter reflejo para algunos autores. El profesor de matemática irá componiendo las reflexiones axiales y centrales.A3A:Ai;ROTACION
><o Fig. 1* :
Mientras el profesor de dibujo realiza este gráfico técnicamente, el profesor de matemática introduce la noción de vector como elemento
Fig. 4Fig. 18
34 ■
35
,
:A
/
i
ITRASLACION REFLEXIVA Yt Lemniscata de Bernoulli.Reflexión con respecto al eje y.
Con este punto se analizará el signo del ángulo trigonométrico según el sentido de giro.
h 4)COMBINACIONES DE ESTAS REALIZACIONES r = a
Espiral de Arquímedes. Rototraslación constante.v ♦
AMPLIACION TRASLA TORIA X
yrFig. 8
u —
ROTO-TRASLACION
Estrofoide.Reflexión con respecto al eje x.
—O- ♦X1“ " -"O**-*.
'R R 2)iJ y1 x} + y3 — 3ax = 0ÓFig, 5 t
Y5)-P-- # 0 'P
*AMPLIACION ROTATORIA r = e
Espiral logarítmica.Rototraslación variable.
***Fig. 9
+ROTACION REFLEXIVA X**
******
*X
Folium de Descartes.Reflexión con respecto a la función y = x.Fig. 10
Fig. 66)Estas no son las únicas posibilidades gráficas
pero sí las que dan mayores oportunidades para el trabajo.
Una vez que los alumnos dominan estos casos deberán analizar algunas funciones en sus gráficos, de manera que esta simple enseñanza participa de una gran relación entre matemática y dibujo en toda la carrera del estudiante, sobre todo entre bachillerato y escuela técni-
f 3) r = a sen 2 y Rosa de cuatro pétalos.
Rotación.
(x2 + y2)2 = a2(x'! —y2) ó r2 = a2 eos 2 y?
!
AMPLIACION REFLEXIVA 1 yy
i
i ca.t ■*-i
X< Por ejemplo:1)
a 4- xy2 = x2Fig. 7 (sigue en pag. 40)a - x
36 37
rio (y, casi diría, suficiente) con un
/°) También
ser consecuenteenfoque conjuntista sistemático. j se advierte el origen de aquellas espec-
tativas en que por suerte es inevitable la toma de conciencia de igualmente obvios:a) La necesidad impostergable de actualizar
planes y programas cambiando los métodos y enfoques tradicionales si se quiere evitar que la enseñanza quede al margen de la revolución cultural de en el mundo de hoy.
b) Que tomando
bros que responden punto por punto a programas adoptados para vigencia casi inmediata. (Ver por ej. el comentario editorial "Presuntas anomalías que deben- ponerse en claro"; La Prensa. 10-1-1970.)
Creo importante que la Comisión proponga y prevea medios ¡dóneos para evitar la "fabricación" apresurada de textos, estimular la producción de textos variados y de calidad, y romper la excesiva servidumbre a un programa. En lo que sigue formulo algunas sugerencias al respecto.
10°) Sería redundante señalar la distancia que media entre una mera indicación de contenidos y la estructuración de un programa orgánico. En esta última tarea son esenciales dos aspectos: por una parte el análisis de la coherencia interna, condición primordial e ineludible en todo plan de estudios de matemática, y por otra parte el estudio de los medios metodológicos y didácticos idóneos para asegurar un aprendizaje adecuado. Curiosamente estos dos aspectos suelen presentar como antagónicos, cuando es obvio que se complementan y se apoyan mutuamente. Creo que esto se debe a que con harta frecuencia se considera uno solo de ellos ignorando el otro; para evitarlo es necesaria la colaboración de matemáticos profesionales y didactas. Afortunadamente ambos "sectores", asi como el de la dirección y supervisión de la enseñanza, están representados en la Comisión.
11°) Creo que
Preguntas a la
Comisión Nacionapor lo menos cuatro hechos
que somos participes
en cuenta el ritmo evolutivo de la civilización actual se advierte claramente que llegar, digamos en 1980, solución
cas espectativas en sectores de docentes de diversas partes del país. Son precisamente los sectores más calificados por el empeño con que buscan orientarse y orientar mediante una conducción orgánica en el propósito de poner en marcha una sustancial modernización en la enseñanza de la matemática. Esto lo hemos constatado sin duda todos los miembros, sobre todo en los primeros tiempos, por los reiterados requerimientos que se inician con las preguntas acerca de lo que la Comisión hizo, hace o proyecta hacer.
5o) Es fácil advertir el origen de las espectativas y lo justificado de los requerimientos. Se viene hablando de reforma y modernización desde hace alrededor de 10 años, pero no se ha estructurado aún —no digamos implantado— ninguna reforma orgánica y coherente. Han aparecido diversos programas con sectores y puntos de orientación moderna; son de diversos orígenes, que a veces es difícil o tal vez imposible conocer, pero lo que importa es que en ellos -en cuanto conozco— los "temas modernos" no se articulan orgánicamente con el resto, por lo que en definitiva producen más desorientación que comprensión. Además están lejos de proveer enfoques coherentes.
6o) He señalado esta situación que estimula el florecer de una prosa vacua, llena de "estructuras" y "situaciones" pero carente de toda visión orgánica de metas o fines y de los medios ¡dóneos para alcanzarlos. Para concretar lo he hecho con referencia a la primera etapa ineludible en la actualización: la implantación de un enfoque conjuntista sistemático. Nadie duda de que hay que graduar las dificultades por etapas, esto es obvio; pero esto no significa en modo alguno adoptar un enfoque conjuntista a medias, o un enfoque "cada vez más conjuntista" por remiendo progresivo de lo nuevo en lo viejo. Precisamente muchas dificultades y desconciertos que se observan en los procesos de modernización de la enseñanza se deben a que obviamente el enfoque conjuntista no puede adoptarse a medias. Ello lleva a mezclar dofc concepciones,
incluso dos lenguajes incongruentes, y conduce a la imprecisión y al
Es un hecho indiscutible que las ideas con- juntistas conducen a una exposición estructurada de toda la matemática. Para ello
Señor Presidente de la Comisión Nacional para la Enseñanza de la Matemática:
Doctor Luis A. Santaló
a unapara problemas planteados en
1960, lejos de denotar prudente sabiduría podría significar un absurdo anacronismo.
c) Que la velocidad de expansión de los procesos culturales en el mundo de hoy alienta esperanzas acerca de la implantación de una reforma orgánica que otorque estructuración y coherencia. Estas esperanzas quedan sólidamente fundadas en la magnitud del "gradiente de actualización" proveniente de países más avanzados, y su creciente influencia en nuestro medio.
d) Que también es alentador el hecho innegable de que la educación es uno de los factores esenciales del desarrollo de los países en el cual es posible efectuar, con método, organización y decisión, progresos profundos sin pasar por lentas etapas de desarrollo económico y tecnológico.
8o) Hace ya varios años se elaboraron algunos contenidos o anteproyectos de programas a los que se dio alguna difusión sin indicaciones sobre las bases científicas y didácticas que los fundamenten. En ese entonces, una ¡dea basada en la experiencia de otros países era esperar que la publicación de libros meditados con diversos enfoques, variados caminos y diferentes ¡deas, permitiera seleccionar pautas para estructurar planes y programas adecuados a nuestro medio.
Es bien sabido que este esquema fracasó rotundamente y por lo demás gran parte de los libros fueron escritos para responder paso a paso a contenidos prefijados.
Acaso esto se deba a un excesivo estatismo
S/D.
Tengo el agrado de dirigirme al señor Presidente con el objeto de formular -en mi carácter de miembro de la Comisión como representante de la Universidad de Buenos Aires— algunas sugerencias sobre tareas a las cuales en mi opinión la Comisión puede y debe abocarse.
Ante todo reitero cuanto le manifestara en ocasiones anteriores así como lo propuesto en reunión reciente en el sentido de que la Comisión se aboque cuanto antes a la estructuración de planes y programas de estudio. Entiendo que ésta y otras tareas relativas a una modernización en la enseñanza de la matemática deben realizarse sin más demoras en forma amplia y orgánica, y al respecto formulo las consideraciones siguientes:
1o) Entiendo que la Comisión no debe limitarse a las tareas que le sean expresamente encomendadas o requeridas por organismos oficiales —como ser el proyecto de contenidos fundamentales que elaboró respondiendo a un requerimiento— y quedar luego a la espera de ser consultada.
Por lo contrario, creo que aunque la Comisión no tenga facultades ejecutivas, puede y debe tomar la iniciativa en el estudio de problemas que son de su competencia específica de acuerdo con los fundamentos de su creación
2o) La misma Comisión ha afirmado tener competencia en algunos problemas y cuestiones determinados por ella Lo ha hecho por de pronto al constituir algunas de sus subcomisiones, como la de programas de estudio, de profesorados y perfeccionamiento docente.
3o) Mientras la Comisión no haga oír su voz mediante la elaboración de los proyectos y propuestas que resulten de su trabajo sistemático, y también señalando problemas a los organismos competentes para estudiarlos, o dando pautas de orientación, en mi opinión es natural —aunque no del todo aceptable— que no sea consultada por funcionarios y organismos ejecutivos
4°) Un hecho que compromete y a la vez alienta el accionar de la Comisión es que su propia constitución, hace dos años y medio, despertó lógi-
seI
)
un plan de estudios realmente orgánico y coherente debe constar de programasbreves —acaso sintéticos para acentuar la libertad del profesor y del texto (ver 8o y 9°) — pero cada uno seguido de una amplia y explícita formulación de los cauces científicos y didácticos que lo fundamenten. Este último requisito es no solamente un ficaz recaudo para garantizar la "organicidad" del programa; además hace que éste sea realmente orientador papa el docente en la imprescindible clarificación de fines o metas, y de las alternativas de dios idóneos para alcanzarlos según cauces de naturalidad y coherencia.
Lo realmente importante en los programas es la organicidad. En particular creo muy pernicioso introducir algunos conceptos conjuntistas que luego no se utilizan sistemáticamente. Si se opta por adoptar un punto de vista conjuntista, que es fuertemente normativo, toda la enseñanza debe ser consecuente con este enfoque; de lo contrario no se logra nada de la gran simplificación que puede proveer.
En resumen, creo que los programas sintéticos y a la vez fundamentados, aseguran por parte del Estado una conducción efectiva precisamente por ser una conducción con libertad, y desde luego sin el paternalismo que ha resultado nefasto en todos los órdenes y países y sería desde luego inaceptable en el plano cultu-
me-
i
vigente entonces en la aplicación del curriculum. Si bien en este aspecto se advierte un loable progreso hacia lo que podríamos llamar —con redundancia sólo aparente— la mentalidad liberal del Mundo Libre, lo cierto es que por momentos nuestro esquema curricular edu cativo fue en la práctica más estatista que los de algunos estados totalitarios, al menos a juzgar por documentos recientes provenientes de países socialistas.
9o) A primera vista parecería sin interés actual señalar que otrora fue inútil esperar libros variados antes de estructurar programas. El hecho es que subsiste una marcada tendencia a ajustarse muy estrictamente a programas oficiales a veces detallados. Por otra parte, en ocasiones se ha señalado y criticado la aparición súbita de l¡-
1
eral.caos.
12°) La única manera de evitar la "fabricación" precipitada de textos, y episodios como los señalados en 9o, es dar a publicidad programas aprobación definitiva y amplia anticipación
es necesa- cona
38!39
i-i
j
j
a) Redacción de anteproyectos cuyos contenidos y estructuración sean susceptibles de conferir, desde un punto de vista científico,
la matemática de la enseñanza secundaria la fisonomía de la matemática actual.
b) Estudio de estos anteproyectos con referencia a sus posibilidades y conveniencias didácticas y pedagógicas.
c) Síntesis de lo realizado en las dos etapas anteriores y redacción de los programas y de su fundamentación.
11, Tener especialmente en cuenta en la elaboración de los programas nuevos los siguientes temas:a) Desarrollo consecuente del punto de vista
conjuntista.b) Desarrollo consecuente del punto de vista
vectorial.c) Desarrollo sistemático y coherente de la
geometría a través del concepto de transformación. Uso del álgebra de la composición de transformaciones y de los grupos correspondientes en el estudio y la estructuración de la geometría.
d) Desarrollo de las estructuras abstractas del álgebra con aplicaciones inmediatas a diversas ramas de la aritmética, del álgebra y de la geometría.
12. Aplicar los mismos criterios para la elaboración de programas para cursos experimentales.
15°) Es cierto que los recaudos contenidos en la parte 10 a, b, c de estas recomendaciones obligan a una tarea ardua, pero su aplicación correcta es poco menos que ineludible para garantizar una labor eficaz en la estructuración de una reforma orgánica. Por tal motivo, propongo que la Comisión considere explícitamente estas recomendaciones, que sin duda podrá ampliar, modificar y perfeccionar, para luego emprender sobre bases y procesamientos que garanticen un resultado matemáticamente sano y didácticamente eficaz, la" estructuración de planes y programas. Una parte preliminar de esta ardua tarea ya está hecha con la elaboración de contenidos fundamentales.
Sería redundante señalar la trascendencia de esta labor; la situación actual afecta a miles de docentes algunos de los cuales estamos entre los cifentos de miles de padres de alumnos. Me sentiría muy feliz si la Comisión aceptara algunas de estas sugerencias, y aún más si las sustituyera por otras más eficaces.
Saludo al Señor Presidente con mi consideración más distinguida.
vigencia, por ejemplo un año. Ensu puesta en mi opinión seria muy conveniente que la Comisión elaborara una propuesta fundada al respec-
ato.13°) Al buscar las causas que dificultan la moderni
zación de la enseñanza se advierte que una muy principal es nuestro subdesarrollo organizativo. A veces se realizan esfuerzos costosísimos cuyos resultados permanecen inéditos largo tiempo o tal vez para siempre archivados en alguna oficina, y por otra parte, con frecuencia mucho mayor, se empieza desde cero dejando de lado la labor ya hecha.
El problema de la enseñanza de las ciencias en el nivel medio se analizó muy detenidamente en el Primer Simposio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias, realizado en la ciudad de Córdoba en 1968. En varias ocasiones he recordado en la Comisión sus recomendaciones con respecto a matemática. La eficaz utilización de los cuantiosos recursos materiales necesarios para los gastos de organización, de amplia publicidad, de profusa impresión de material preparatorio, de traslado y alojamiento de una concurrencia masiva, el pedido con tiempo de colaboraciones que desde luego debían ser inéditas, etcétera, aseguraron el éxito de la reunión durante el tiempo de su desarrollo. Tras larga y fecunda discusión se aprobaron recomendaciones que estimo de la mayor importancia y contienen recaudos ¡dóneos para garantizar una tarea orgánica y eficaz en la modernización de la enseñanza y la estructuración de planes y programas.
Pero lamentablemente no puede decirse lo mismo de la eficacia o del éxito definitivos de la reunión. En efecto, a más de dos años y medio de la cuantiosa inversión de medios materiales y esfuerzos, todo este trabajo, así como las colaboraciones aceptadas y las pedidas, siguen inéditos, sus autores carecen de noticias y desde luego ignoran si se publicarán algún día como en su momento se dijo, o si quedarán archivados para siempre.
14°) En muchas de las consideraciones anteriores me baso en las recomendaciones para matemática del Simposio, por lo cual, teniendo en cuenta que es inédito, transcribo este importante documento:
D. Con respecto a MATEMATICA:10. Preparar programas con coherencia interna, relativamente breves pero cada uno seguido de una minuciosa fundamentación y motivación y por un estudio detallado de los cauces matemáticos y criterios de estructuración.
Tres son las etapas que se prevén para esa
Conclusiones del Simposio
CONCEPTOS DE MATEMATICA en su oportunidad informó a sus lectores acerca del Primer Simposio Nacional sobre la Enseñanza de las Ciencias que se realizó en la ciudad de Córdoba entre el 16 y 19 de octubre de 1968. Hoy tenemos el placer de publicar las importantes conclusiones que allí se votaron referentes a nuestra asignatura.
Desarrollar la capacidad para la interpretación de los hechos corrientes de la vida diaria, incluyéndolos en modelos coherentes.
Desarrollar las capacidades y aptitudes intuitivas.Estimular la imaginación y desarrollar la capaci
dad creadora.Acostumbrar a la precisión, claridad y concisión
en el lenguaje.Desarrollar la habilidad para emplear adecuada
mente el vocabulario científico.Inculcar hábitos de orden y exactitud en el traba-
i
TEMA I
LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS: SUS OBJETIVOS Y METODOS
jo.Desarrollar hábitos de perseverancia y continuidad
en el esfuerzo.Favorecer la comprensión de la relación entre las
ciencias y del modo en que el progreso de una contribuye al progreso de las otras.
Desarrollar la capacidad para integrar la historia del progreso científico y tecnológico en la historia de la cultura de cada época.
Introducir en el conocimiento de las teorías actuales que resumen hechos comunes a las diversas ciencias.
Desarrollar la comprensión de la fuerte influencia que en el mundo actual tiene la ciencia y la tecnolo-
Considerando:Que la enunciación explícita de objetivos es el
paso primordial para toda mejora en la enseñanza de las ciencias.
Que, en lo posible, dicha enunciación debe formularse en forma operativa, es decir, en términos de conductas esperadas de modo que puedan elaborarse los instrumentos de medición y los criterios de evaluación del aprendizaje.
Que puede distinguirse tres grupos de objetivos:— Los generales de la enseñanza de las ciencias;— Los comunes a la enseñanza de las ciencias
experimentales;— Los particulares de la enseñanza de cada una de
las ciencias.Que para el logro de los objetivos han de utilizar
se métodos y técnicas que aprovechen las adquisicio- más recientes de la psicología evolutiva, del
aprendizaje y de la psicología social, así como dios auxiliares de enseñanza que proporciona la derna tecnología.
Que es conveniente someter a experimentación, pnétodos y medios antes de proceder a su aplicación generalizada.
gía.Favorecer la capacidad para la adaptación a los
cambios derivados de la aplicación de la ciencia y la tecnología.
t
Los siguientes OBJETIVOS COMUNES DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXPERIMENTALES (BIOLOGIA, FISICA Y QUIMICA).
nes rmemo- • ;
Desarrollar la capacidad para la observación metódica y reflexiva, y la habilidad para la medición, descripción e interpretación de los datos o conclusiones.
j
Predisponer para la búsqueda de regularidades y para la ordenación sistemática de los datos, de modo que se facilite la formulación de proposiciones de valor más general.
Habilitar gradualmente para la organización del trabajo propio en la experimentación científica para que el estudiante pueda ir prescindiendo de la guía del docente.
Habituar a la crítica de los métodos empleados y la contrastación de los resultados obtenidos, con
las hipótesis adelantadas por el estudiante.Desarrollar la habilidad para la presentación esta
dística de los datos, con exactitud y precisión.Desarrollar la capacidad para el análisis de los
EL PRIMER SIMPOSIO NACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA
DE LAS CIENCIAS,
I
labor: César A. Trejo Recomienda:Los siguientes OBJETIVOS GENERALES DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS:
Desarrollar la capacidad para pensamiento lógico y el examen l maciones y observaciones. ...
Habilitar para distinguir las proposiciones cientiti-
la honesti-
:(viene de pág. 37)
De esta forma los alumnos obtendrán una preparación pre-universitaria acorde al momento científico y artístico en que vivimos.
Todo esto nos dice de la importancia que
la abstracción, el crítico de las infor-
deben tener en la enseñanza media los elementos esenciales de geometría proyectiva y descriptiva; asi como cierta profundidad de metría vectorial y analítica.
a
cas de las no científicas.Desarrollar una actitud de respeto por
dad intelectual y la objetividad.
geo- i
41 i
*
r ••
TEMA II BIBLIOGRAFIAdatos experimentales y la generalización de los resultados obtenidos.
Desarrollar la habilidad para el tratamiento de los errores experimentales.
Desarrollar la habilidad para la descripción verbal o gráfica de los hechos y objetos observados
dificultades para enseñar los temas incluidos en el texto y los alumnos logran captarlos convenientemente, será un síntoma del buen nivel alcanzado al cual habrán contribuido sin duda la esforzada labor de las autoras.
CONTENIDOS FUNDAMENTALES,DE CADA CIENCIA EN LOS DIFERENTES
NIVELES, CICLOS Y ORIENTACIONES DE LA ENSEÑANZA tapia, Nelly V. de BIBILONI, Alicia T. de,
PARENDEX MATEMATICA, Sexto grado. 300 páginas, EDITORIAL ESTRADA, Buenos Aires, 1971.
Considerando:Asegurar la habilidad en el cálculo aritmético y algebraico y en el trazado e interpretación de gráficos.
<Julio R. JuanQue para el cumplimiento de los objetivos enunciados en el Tema I es imperioso actualizar los contenidos de la enseñanza de las ciencias;
Que es conveniente indicar lineamientos generales con relación al-procedimiento a seguir en la elaboración de planes y programas y las características de estos;
Habituar al uso de la matemática como instrumento auxiliar de otras disciplinas.
Favorecer la convicción de que las afirmaciones científicas pueden ser refutadas por nuevos hechos o evidencias.
Ejercitar la habilidad manual.
Se votaron los siguientes OBJETIVOS PARTICULARES DE LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA:
Desarrollar y ejercitar el pensamiento lógico rigu-
El hecho de que en algunas provincias argentinas se hayan puesto en vigencia nuevos programas en los que se introducen conceptos modernos, ha provocado sensibles dificultades en muchos maestros que se ven en la necesidad de impartir conocimientos que ellos mismos nunca han recibido en su tránsito por la escuela normal, sin recibir tampoco los cursos adecuados de capacitación que hubiera correspondido. No cabe ninguna duda de la complejidad del problema planteado y de la dificultad de hallar la solución del mismo.
BREUER J. Initiation a la Theorie des ensenóles Langage et méthode de la mathématique moderne. 116 páginas DUNOD, París, 1969.Que asimismo es necesario definir los contenidos
de la enseñanza de Is ciencias básicas, ya sea enunciándolos o bien caracterizándolos suficientemente; No abundan mucho los libros en que se
exponga claramente la teoría de los conjuntos. Por ello resulta interesante que la empresa editora haya impreso la 12a. edición de esta obra, cuyo original apareció en Hannover, Alemania, en 1964.
La primera parte se dedica a los conjuntos finitos y a las operaciones sobre los mismos; la segunda a los conjuntos infinitos, numerables y no numerables y a las operaciones sobre los números cardinales; la tercera parte a los cojuntos ordenados, tipos de orden y conjuntos bien ordenados; en la cuarta parte trata de los conjuntos de puntos, conjuntos lineales, puntos de acumulación y de condensación y conjuntos particulares. La última parte, intitulada Complementos, se refiere a los conceptos de base, las paradojas de la teoría de los conjuntos, el infinito potencial y el infinito actual y los desarrollos más recientes. Concluye el .libro recapitulando los teoremas más importantes y dando una importante bibliografía.
Breuer emplea las ¡deas directrices recientemente concebidas para una enseñanza estructurada de la matemática, la cual asigna a la teoría de los conjuntos una función primordial basándose en principios pedagógicos muy simples como por ejemplo no introducir una noción nueva sin emplear ejemplos adecuados o sin decir porqué las nociones ya explicadas no bastan para expresar la misma ¡dea. Muestra además que los desarrollos, incluso los más abstractos, son siempre la respuesta a cuestio-
formuladas simplemente. El autor expresa "el valor de la teoría depende en primer
término de ser ante todo un lenguaje común a todas las disciplinas matemáticas", que se ha impuesto rápidamente como un instrumento de trabajo eficaz para el descubrimiento de las estructuras generales que puedan servir de base
EL PRIMER SIMPOSIO NACIONAL SOBRE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS,
Recomienda:roso.Lograr que el estudiante adquiera conocimientos
básicos elementales de teorías matemáticas con vigencia actual y habilidad para operar con los entes en ellas involucrados.
Con respecto a los CONTENIDOS DE LAS CIENCIAS, en general:
Elaborar los planes y programas de las ciencias básicas de los diferentes niveles, ciclos y modalidades de enseñanza con asesoramiento de comisiones integradas con investigadores y docentes especialmente calificados.Conforme a los siguientes procedimientos y características:
Pero como no se podía permanecer indiferente ante la situación, he aquí que, en la medida de sus posibilidades, los docentes se han hecho presentes para aportar su granito de arena mediante la escritura de libros que pudie-
ser usados al efecto. Este que comentamos pertenece a dos entusiastas docentes argentinas de cuyo esfuerzo, por estar presente en este movimiento de renovación de la enseñanza de la matemática, están perfectamente enterados nuestros círculos docentes. Ahora han emprendido una ardua tarea cuya finalidad es la de colaborar con la no menos ardua de los docentes responsables de ese nivel de enseñanza.
Los capítulos del libro son los siguientes: Conjuntos; Conjuntos de números; Conjuntos de puntos; Curvas; Relaciones; Relaciones geométricas; Operaciones y funciones; Divisibilidad; Polígonos; Números racionales; Números decimales; Equivalencia y superficie de figuras planas; Razones y proporciones; Circunferencia y círculo; Números enteros; figuras del espacio. La amplitud de este temario da idea de la magnitud del trabajo realizado, el cual además contiene centenares de ejercicios, gran profusión de gráficos a dos colores a veces muy ingeniosos, ejemplos para discutir, temas para recordar, pruebas de ingenio, ejercicios de repaso, invitaciones a que los alumnos saquen conclusiones, problemas integrados, multitud
explicados y
Favorecer la comprensión del proceso de materna- tización de las ciencias operado en las últimas décadas.
r
Desarrollar la capacidad para abordar situaciones complejas no necesariamente matemáticas, pero a menudo matematizables. a) Formulación de un esquema general para el
aprendizaje de las ciencias desde los nueve años de edad teniendo presente que el entrenamiento en la observación debe comenzar en el jardín de infantes.
b) Estructuración de los anteproyectos de planes y programas de modo que confieran a la enseñanza de las ciencias la fisonomía de la ciencia actual, se atengan ai método adecuado a la edad de los educandos y respondan a la articulación entre los distintos niveles, ciclos y modalidades.
c) Coordinación de los contenidos de la enseñanza de las ciencias básicas con miras a su integración conceptual.
d) Selección y puesta al día
ranAdemás en los referente al METODO DE LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, se votó:
Aplicar preferentemente el método activo.En las ciencias experimentales, procurar por todos
los medios adecuados la realización de experiencias por los educandos, en forma individual o en pequeños grupos, no obstante las limitaciones que hubiera en cuanto a la existencia y dotación de laboratorios.
En matemática, no ceñirse a un método único y utilizar recursos intuitivos, inductivos y experimentales que puedan convenir en una primera etapa, si se los emplea para crear situaciones motivadoras del razonamiento matemático propiamente dicho. En todos los casos las formas pedagógicas que asuma el proceso enseñanza-aprendizaje guardarán estrecha coherencia con la unidad estructural del conocimiento matemático previamente programado.
En lo referente a CURSOS EXPERIMENTALES:
Fomentar y apoyar la organización de cursos experimentales para la enseñanza de las ciencias básicas con medios técnicos, materiales y administrativos eficaces. En el proyecto y evaluación de tales cursos se procurará la participación de personas de reconocida competencia científica y didáctica.
En matemática convendrá investigar experimentalmente los contenidos y la mejor forma de enseñarlos y de distribuirlos en los distintos cursos cuando se trate de temas nuevos cuya introducción se considere indispensable como, por ejemplo, probabilidades y estadística, computación y elementos de cálculo.
permanente de contenidos procurando incluir en todos los cursos temas de actualidad y usarlos en ejemplificación.
e) Flexibilidad suficiente de los programas para su adaptación a condiciones y circunstancias regionales y extensión compatible con el tiempo disponible para su desarrollo completo.
f) Presentación de los programas analíticos, en lo posible, en forma operacional, es decir, en términos de comportamiento esperado de los alumnos, incluye la habilidad
l
quepara resolver problemas específi
cos.g) Ensayo y evaluación de los proyectos antes de
su aplicación generalizada.h) Integración de las comisiones de planes
gramas de ciencias para el ciclo primario tros y con profesores secundarios de la respectiva asignatura, especialmente capacitados..Con
nesque
y pro- con maes-
;de problemas sobre los ternas otros de repaso, etc.
Si los maestros
respecto a MATEMATICA: Preparar programas
vamente breves para cadacoherencia interna, relati-
uno seguido de una minu- (sigue pág. 46)
con ide sexto grado no tienen i
42 43 ?
ií
?
están impresos en el nuestro han perdido vigencia en la matemática actual.
Satisfacer estas necesidades y convertirse en un medio útil para la enseñanza ha sido el propósito de los autores. No residía la dificultad en la distribución de los temas que en
fue la siguiente: 1, Revisión de no-
a futuros desarrollos. Por ello, más que un simple formalismo, como lo entrevio Cantor, la teoría de conjuntos es un método de análisis que permitirá obtener resultados fundamentales para el ulterior desarrollo de la matemática.
La obra concluye exponiendo ciertos resultados de topología, una de las disciplinas más fecundas de la matemática moderna, para cuyo desarrollo la teoría de conjuntos ha servido de lenguaje y de método.
El libro tiene una cuidadosa presentación editorial.
NOTICIAS1. Cúmplenos informar a nuestros lectores
que no ha caído en el vacío nuestro llamado para la obtención de suscriptores protectores de la revista y que tenemos esperanza de que su número aumente grandemente. Recuérdese que no sólo se es amigo de la revista enviándonos una suma adicional sino también contribuyendo a que aumente el número de suscriptores. Hoy cumplimos con el deber de incorporar como amigos de CONCEPTOS DE MATEMATICA a Elda C. de Alberto, Juan Blaquier, Norma S. Brachman, Irma Cordova, Hilda O. de Damiani, Ricardo J. Dupleich, Isaac Feldman, Ramona G. Fernández, Ana E. O. C. de Fregenal, Elba G. de Giménez, Beatriz M. S. de Giuntoli, Justo F. Yllanes, Juan M. López, María J. Llaona, Marta M. H. de Maciel, Cora R. de Sadosky y Angela T. de Sosa.
10 al 31 de agosto. Prof. María L. Schweit-este casociones conjuntistas; 2, Funciones; 3, Límites de sucesiones numéricas. Series; 4, Límites de funciones reales; 5, Definición topológica de límite y teoremas básicos; 6, Continuidad; 7, Derivadas; 8, Variación de funciones; 9, Primitivas e integrales.
La dificultad residía en el enfoque. De-
zer.amigos o
° Números en color en el primer ciclo de la escuela elemental. Martes, de 18 y 15 a 20 y 30, del 20 de julio al 31 de agosto. Prof. Nélida O. de Gutiérrez.
• Números en color en el segundo ciclo de ¡a escuela elemental. Martes, de 18 y 30 a 20, desde el 14 de setiembre al 26 de octubre. Prof. María L. Schweitzer.
° Números en color en el primer ciclo de la escuela intermedia. Martes y jueves de 18 y 30 a 20, del 4 al 23 de noviembre. Prof. Edgardo H. Dávila.3. Con todo éxito se está desarrollando en
el local de la Confederación de Maestros, Av. de Mayo 963, primer piso, el curso de enseñanza moderna de matemática para maestros que organizado por el Instituto de Perfeccionamiento Docente "Pedro B. Franco" de dicha institución dicta todos los sábados de 17 a 19 el profesor Emilio De Ceceo. La elevada cantidad de maestros inscriptos obligó a desdoblar el curso que ahora se dicta también, con el mismo horario, los días miércoles.
4. El director de la Dirección General de Investigación y Desarrollos del Ministerio de Defensa de nuestro país, capitán de navio José Luis Nicolini nos informa que la Escuela de Investigación Operativa dictará diversos cursos por correspondencia (introducción a la computación, programación por camino crítico, planeamiento y control de stocks, programación lineal, etc.). Información más detallada se podrá obtener personalmente en Moreno 1402 y por escrito en San José 317, Buenos Aires.
5. De la misma fuente se nos informa que se ha programado un Seminario sobre Computación para dirigentes, que se desarrollará en agosto de este año y al cual podrá concurrir militares y civiles. La información se podrá obtener en las mismas direcciones indicadas
la
Cristina Verdaguer de Banfijemos hablar a los autores: "El problema fundamental reside en los conceptos básicos: función, límite, continuidad, derivada, integral y muy especialmente en dos de ellos: límite e integral. Parecería que una vez solucionado el problema didáctico que originan estas nociones, los desarrollos ulteriores no plantearán dificultades más graves que las que se hallan en la enseñanza del álgebra". Con ellos coincidimos en que no basta con dar nociones intuitivas y aproximadas sino que es preciso llegar a definir matemáticamente las mismas en for-
BOSCH, Jorge E.; HERNANDEZ, Roberto. Análisis matemático para la enseñanza media. Editorial CAECE S.A., Buenos Aires, 1971.
Se refiere este libro a temas introducidos en los programas vigentes en la enseñanza secundaria de nuestro país y estamos conformes con los autores en que puede ser usado con provecho en los cursos básicos de las diversas carreras universitarias.
No es de ningún modo desconocida para la mayoría de nuestros lectores la personalidad de Jorge Bosch y de Roberto Hernández a través de la cátedra, del libro y de la actuación en diversas reuniones relativas a los problemas de la enseñanza de nuestra asignatura. Al emprender esta tarea, debieron tener en cuenta, en primer término, que tanto alumnos como profesores deben manejar conceptos y notaciones con los cuales no están suficientemente habituados cuando no las desconocen totalmente como ocurre en el caso de muchos alumnos. En segundo término, los libros de texto de que se dispone si son realmente buenos están en general escritos en otros idiomas y si
2. Los cursos organizados por el Instituto de Perfeccionamiento Docente "Carlos M. Biedma" de la Escuela Argentina Modelo, Río Bamba 1059, Buenos Aires, para la segunda mitad del año 1971 son los siguientes:° Ciencia en el primer ciclo de la escuela
elemental. Martes de 18 y 15 a 20 y 30, del 20 de julio al 24 de agosto. Profs. Jorge A. Ratto y Liliana Spadavecchia.
° Matemática en el segundo ciclo de la escuela elemental. Lunes y miércoles, de 18 y 15 a 20 y 30, del 23 de agosto al 13 de setiembre. Prof. María L. Schweitzer.
° Ciencia en el segundo ciclo de la escuela elemental. Jueves, de 18 y 15 a 20 y 30, del 2 al 20 de setiembre. Profs. Jorge A. Ratto y Eduardo A. Pattis.
° Matemática en el primer ciclo de la escuela intermedia. Lunes y miércoles, de 18 y 15 a 20 y 30, del 22 de setiembre al 30 de octubre. Prof. Edgardo H. Dávila.
° Ciencia en el primer ciclo de la escuela intermedia. Martes, de 18 y 15 a 20 y 30, del 5 de octubre al 9 de noviembre. Profs. Jorge A. Ratto y Eduardo Pattis.
• Geometría moderna para maestros. Martes y jueves, de 18 y 30 a 20, del 20 de julio al 3 de agosto. Prof. Juan C. Giorgetti.
• Enfoques didácticos de geometría moderna. Martes y jueves, de18y15a20y 30, del
ma precisa y han sido consecuentes con esta manera de ver, pero siempre recordando el problema didáctico y recurriendo cuando la ocasión lo exigió a la subdivisión de las dificultades mediante ¡deas ingeniosas. El resultado es esta obra a la que no es difícil vtaicinar una favorable acogida en los medios para los cuales ha sido concebida.
Este éxito se acrecentará si en próximas ediciones se emplea una tipografía más moderna y se la complementa con las necesarias notas históricas.
/{
J. F. B
I
!!
La esencia de la matemática es la Libértad más arriba.6. El Instituto Nacional para la Enseñanza
de las Ciencias prosigue desarrollando intensa labor. En la Escuela Normal N° 2 de Buenos Aires, el ingeniero Francisco H. Val y la profe-
Lidia M. de Castrillo hablaron el 4 de sobre "Actividades extraprogramáticas.
;
G. CANTORsorajunio
44 • i45í
."
ESSKrZfCJorge E. Bosch: ¿QUE PASA CON LA RE
FORMA EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA? Conferencia diferida para el mes de octubre.
César A. Trejo: MATERIALES PARA LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRIA, 30 de
clubes y ferias de ciencia", y los profesores Beatriz S. de Palau y Juan Carlos Dalmasso sobre "Olimpíadas Matemáticas". El 3 de junio, el profesor Renato H. Vólker desarrolló el tema "La metodología y la didáctica de las ciencias" para los participantes de los cursos latinoamericanos del Programa Regional de Desarrollo Educativo.
7. En el aula magna del pabellón de industrias de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales, del 10 al 15 de mayo se desarrolló el "Curso para profesores Líderes en actividades científicas extraescolares", organizado por el Instituto Nacional para el Mejoramiento de Enseñanza de las Ciencias (INEC).
8. Cumplimos finalmente en informar que el Seminario de Matemáticas "Dr. Claro C. Dassen" de la Sociedad Científica Argentina, Av. Santa Fe 1145, ha organizado 8 reuniones para tratar sobre "actualización de la enseñanza de la matemática en el ciclo medio, de acuerdo con el siguiente programa, que siempre comenzarán a las 18 y 30.
Textos de
MatemáticaModerna
junio.J. E. Bosch: EL PUNTO DE VISTA CATE-
GORIAL EN LA ENSEÑANZA DE LA MATEMATICA, 11 de agosto.
Atilio Piaña: REFLEXIONES QUE SUSCITA LA SUPERVISION DE LA ENSEÑANZA, 25 de agosto.
Roberto P. J. Flernández: LA INTRODUCCION DEL ANALISIS MATEMATICO EN LA ENSEÑANZA MEDIA, 8 de setiembre.
C. A. Trejo: EQUIVALENCIAS; I: IGUALDAD, PARALELISMOS, 22 de setiembre.
C. A. Trejo: EQUIVALENCIAS; II: CONGRUENCIA; SEMEJANZA, 6 de octubre.
Armando O. Rojo: ENFOQUE DE "PROBABILIDADES" EN LA ENSEÑANZA MEDIA, 20 de octubre.
a nivel primario
1° Grado: GREGORIO SUMA, de 2o Grado: CUENTOS CON CUENTAS, de N.D. Schefini y A. Schefini 3o Grado: MATEMATICA MODERNA. EJERCICIOS PARA PRIMERO,
SEGUNDO Y TERCER GRADOS de A.M. Ceci y O.M. de Paglilla
6o Grado: APRENDEX MATEMATICA, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni
7° Grado: APRENDEX MATEMATICA, de N.V. de Tapia y A.T. de Bibiloni
E.T. de Lagomarsino y A.F. de Ferrari
i
(viene de la pág. 42)
Tener especialmente en cuenta en la elaboración de programas nuevos los siguientes temas:
ciosa fundamentación y motivación y por un estudio detallado de los cauces matemáticos y criterios de estructuración.
T<-es son las etapas que se preven para esa labor:a) Redacción de anteproyectos cuyos contenidos
y estructuración sean susceptibles de conferior, desde un punto de vista científico, a la matemática de la enseñanza secundaria la fisonomía de la matemática actual.
1a) Desarrollo consecuente del punto de vista con- juntista.
b) Desarrollo consecuente del punto de vista vec-
;
torial.
c) Desarrollo sistemático y coherente de la geometría a través del concepto de transformación. Uso del álgebra de la composición de transformaciones y de los grupos correspondientes en el estudio y la estructuración de la geometría.
d) Desarrollo de las estructuras abstractas del álgebra con aplicaciones inmediatas a diversas ramas de la aritmética, del álgebra y de geometría.
b) Estudio de esos anteproyectos con referencia a sus posibilidades y conveniencias didácticas y pedagó- . gicas.
Biblioteca de Ciencias de ¡a EducaciónDe próxima aparición:
LA POTENCIA DE LA MATEMATICA de Z.P. Dienes EL APRENDIZAJE DE LA MATEMATICA. UN ESTUDIO EXPERIMENTAL, de Z.P. Dienes
c) Síntesis de lo realizado en las dos etapas anteriores y redacción de los programas y de su funda- mentación.
i
Opiniones
La matemática no es para el artista la matemática. Ño se trata forzosamente de cálculos sino de la presencia de uno realeza; de una ley de resonancia, consonancia y ordenación infinitas. El rigor es tal que de ella resulta verdaderamente la obra de arte, ya se trate de un dibujo de Leonardo, de la terrorífica exactitud del Partenón -comparable en la talla de su mármol o la talla de las máquinas-herramientas-, del implacable juego constructivo de Ia catedral o de la unidad que da Cézanne a la ley que determina el árbol, el esplendor unitario de las raíces del tronco, de las ramas, de las hojas, de las flores y de los frutos. No hay ningún azar en la naturaleza Si se comprende qué es la matemática en el sentido filosófico se la discierne en todas sus obras. El rigor la exactitud 'on los medios de la solución, la. causa del carácter, la razón de la armonía.
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