Simulación de Yacimientos de Petróleo - Khalid Aziz

1

SIMULACION DE YACIMIENTOS DE PETROLEO

KHALID AZIZ

Profesor de Ingeniera Qumica

Universidad de Calgary, Alberta, Canad

Y

Director del grupo de modelamiento computacional

Calgary, Alberta, Canad

&

ANTONIN SETTARI

Director de desarrollos tcnicos

Intercomp desarrollo de los recursos & ingeniera Ltd.

Calgary, Alberta, Canad

2

AGRADECIMIENTOS

Los autores estn en deuda con muchas personas e instituciones que han contribuido con este trabajo,

particularmente:

B. Agbi, A. Spivak y J.W. Watts por la revision del manuscrito.

S.C.M.Ko (quien tambin proporciono los resultados de algunos de sus trabajos inditos), J. Abou-Kassem, J.W.

Grabowski, R. Mehra, B. Rubin y muchos otros estudiantes y colegas por los comentarios en varias partes y

versiones del manuscrito a travs de los aos).

Pat Hitchner, Brenda Oberhammer, y Betty Lewis por la escritura de varias versioens del manuscrito con

considerable interes y gran paciencia, y por su ayuda en muchas otras formas.

Al consejo nacional de investigacin (Canada),Energia, Minas y Recursos (Canada), al departamento de Ingenieria

Quimica de la universidad de Calgary, y al grupo de modelamiento computacional por su apoyo directo o indirecto en

este proyecto.

A la universidad de Calgary por el premio a K. Aziz de beca de residencia para de esa manera permitir que este

trabajo se completara.

A Intercomp desarrollo de recursos e ingeniera (S.A) por darle a A. Settari permiso para trabajar en este proyecto y

por crear condiciones propicias para este trabajo.

K.H Coats y otros investigadores en este campo, incluyendo personal de Intercomp de cuya experiencia nos hemos

beneficiado.

A la sociedad de ingenieros de petrleos, a la prensa y a la sociedad de la matematica industrial y aplicada por el

permiso de reproducir el material procedente de sus publicaciones.

Marilyn Croot de la universidad de Calgary por la redaccin. Imraan Aziz y Natasha Aziz por la ayuda con los

archivos de literatura y el fotocopiado.

A los editores de la institucin editores de la ciencia aplicada por su gran inters en este manuscrito.

3

PREFACIO

Este libro est destinado tericamente a los ingenieros, y prcticamente orientado a los matemticos y cientficos

quienes quieren entender cmo desarrollar y utilizar modelos computacionales en yacimientos de petrleo.

Este no es un libro de anlisis numrico, aunque la mayor parte del libro trata acerca del uso de tcnicas numricas

para resolver ecuaciones diferenciales parciales. Hay varios libros sobre solucin numrica de ecuaciones

diferenciales parciales, pero no tratan con ecuaciones que no tienen todas las caractersticas importantes de las

ecuaciones que describen el flujo multifasico en yacimientos de petrleo. Las ecuaciones a resolver en la simulacin

de yacimientos de petrleo tienen algunas caractersticas muy especiales que deben ser consideradas por el

ingeniero de simulacin o cientfico. La ingeniera, la fsica y la matemtica del problema estn tan entrelazadas que

una buena comprensin de todos los tres aspectos es esencial antes de que uno pueda aspirar a desarrollar buenos

modelos.

El libro debe ser adecuado para pequeos cursos diseados para la prctica de ingenieros y para su propio estudio.

Tambin se espera que este sirva como referencia para cientficos e ingenieros ligados al desarrollo y aplicaciones

de tecnologas de simulacin. Muchas de las ideas desarrolladas ac aplican directamente a la simulacin del

movimiento de aguas subterrneas.

En nuestra propia experiencia no hemos encontrado ningn sustituto para obtener el tipo de comprensin de la

teora que es obtenida por parte de la escritura y de las pruebas de programas de computador. Por lo tanto se

recomienda que en cualquier curso que trate de simulacin de yacimientos a los lectores se les pida desarrollar

algunos programas de simulacin como un simple modelo monofsico unidimensional (capitulo 3), un modelo

unidimensional de dos fases (capitulo 5), y un modelo bidimensional monofsico (capitulo 7). Algunas de las sub-

rutinas bsicas requeridas para estos modelos se encuentran en el apndice B.

En la presentacin del material, hemos tratado de introducir todos los conceptos en el contexto ms simple posible y

manteniendo un nivel de tratamiento lo mas rigoroso posible sin ser innecesariamente abstracto. Una breve

discusin de algunos de los conceptos bsicos del anlisis numrico se ha previsto en el texto segn sea necesario y

se remite al lector a las referencias apropiadas para ms detalle.

En la presentacin del material relativo a la simulacin de yacimientos, hemos tratado de desarrollar una notacin

coherente y terminologa usada a lo largo de una minuciosa discusin de varios aspectos tericos y prcticos del

tema.

No ha sido nuestra intensin establecer la precedencia histrica, ya que las ideas han sido desarrolladas

simultneamente por varias personas y algunos resultados no han sido publicados por razones de competencia.

Este libro contiene un tratamiento relativamente completo de modelos de diferencias finitas para yacimientos de tipo

aceite negro (Black oil), pero no incluye temas como la simulacin de procesos de recuperacin trmica, adicin de

qumicos, desplazamiento miscible (excepto para un breve tratamiento presente en el captulo 12) y el uso de

mtodos variacionales en simulacin. Esto se ha hecho para mantener el tamao del libro razonable y tambin

porque estas reas estn experimentando un rpido desarrollo en estos tiempos.

KHALID AZIZ

ANTONIN SETTARI

4

CONTENIDO

Pag.

Prefacio

Nomenclatura

1. INTRODUCCION 19

1.1 Que es un modelo computacional? 19

1.2 Otros modelos 19

1.3 Que preguntas puede responder el modelo computacional? 20

1.4 Conclusiones 20

2. ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS 21

2.1 Introduccin 21

2.2 Ley de la conservacin de la masa 21

2.2.1 Flujo monofsico 21

2.2.2 Flujo multifsico 23

2.3 Ley de Darcy 25

2.3.1 Flujo en una fase 25


2.4 Ecuaciones bsicas de flujo 26

2.4.1 Flujo en una fase 26


2.4.3 Uso del Pseudopotencial 29

2.4.4 Condiciones lmites 29

2.5 Formas alternativas de ecuaciones de flujo para mltiples fases 29

2.5.1 Formulacin en forma Parablica 30

2.5.2 Formulacin en forma Hiperblica 31

2.6 Ecuaciones de flujo que incluyen efectos No-Darcy 33

2.6.1 Altas tasas de flujo (Efectos inerciales y de turbulencia) 33

2.6.2 Efecto de deslizamiento y umbral 34

2.6.3 Flujo No Newtoniano 35

2.6.4 Otros efectos 35

2.7 Propiedades de la roca y del fluido 35

5

2.7.1 Propiedades del fluido 36

2.7.2 Propiedades de la roca 36

2.8 Conclusiones 44

3. FLUJO DE UN FLUIDO EN UNA DIMENSION 48

3.1 Introduccin 48

3.2 Aproximacin de diferencias finitas 48

3.2.1 Discretizacin en el espacio 49

3.2.2 Discretizacin en el tiempo 53

3.2.3 Discretizacin de errores 54

3.3 Otros mtodos seleccionados 60

3.3.1 Otros mtodos explcitos 60

3.3.2 Otros mtodos implcitos 61

3.3.3 Mtodos ODE 62

3.3.4 Comparacin de los mtodos 64

3.4 Sistema de malla y condiciones limite 65

3.4.1 Dos mtodos para construir una malla 65

3.4.2 Condiciones limite 66

3.5 Discretizacin de ecuaciones en una dimensin con coordenadas cartesianas 69

3.5.1 Ecuaciones diferenciales para una malla irregular 70

3.5.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 73

3.5.3 Tratamiento de coeficientes variables 74

3.6 Discretizacin de ecuaciones de flujo 1D en coordenadas radiales cilndricas 76

3.6.1 Ecuaciones diferenciales para mallas irregulares 77

3.6.2 Ecuaciones diferenciales en forma de Matriz 80

3.6.3 Tratamiento de coeficientes variables 80

3.7 Algunas propiedades de ecuaciones de diferencias finitas 81

3.7.1 Existencia de solucin y balance de materia 81

3.7.2 Tratamiento de No-Linealidades 84

3.8 Conclusiones 90

4. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ TRIDIAGONAL 106

4.1 Introduccin 106

6

4.2 Mtodos de solucin 107

4.2.1 Algoritmo de Thomas 107

4.2.2 Algoritmo de Tang 109

4.2.3 Solucin de ecuaciones de Matriz tridiagonal simtrica 111

4.2.4 Casos especiales de No nica solucin 112

4.2.5 Otros casos especiales 113

5. FLUJO MULTIFASICO EN UNA DIMENSION 116

5.1 Introduccin 116

5.2 Mtodo de solucin simultanea (SS) 116

5.2.1 Mtodo SS para flujo bifsico 116

5.2.2 Extensin del mtodo SS a flujo trifsico 120

5.2.3 Otras formulaciones del mtodo SS 121

5.3 Mtodo implcito presiones - explicito saturaciones (IMPES) 123

5.3.1 Mtodo IMPES para flujo trifsico 123

5.3.2 Otras derivaciones del mtodo IMPES 125

5.4 Anlisis de los mtodos IMPES y SS 126

5.4.1 Estabilidad 126

5.4.2 Existencia y unicidad de solucin 131

5.4.3 Convergencia 134

5.5 Tratamiento de no linealidades 135

5.5.1 Ponderacin de las transmisibilidades 136

5.5.2 Aproximacin de las transmisibilidades en el tiempo 138

5.5.3 No linealidad debido a la funcin PC 146

5.5.4 Filtracin de Gas 147

5.6 Mtodo de solucin secuencial (SEQ) 148

5.6.1 Mtodo SEQ para flujo bifsico 148

5.6.2 Otras formas y derivaciones 151

5.6.3 Resultados numricos 152

5.6.4 Mtodo SEQ para flujo trifsico 154

5.6.5 Discusin 156

7

5.7 Tratamiento de trminos de produccin 156

5.7.1 Forma diferencial y condiciones de frontera 157

5.7.2 Discretizacin de condiciones de frontera 159

6. SOLUCION DE ECUACIONES DE BLOQUE TRIDIAGONAL 180

6.1 Introduccin 180

6.2 Mtodos de solucin 181

6.2.1 Extensin del algoritmo de Thomas 181

6.2.2 Uso de los mtodos para matrices banda 183

7. FLUJO DE UN FLUIDO EN DOS DIMENSIONES 184

7.1 Introduccin 184

7.2 Clasificacin de los problemas 2D 184

7.2.1 Problemas Areales (x,y) 184

7.2.2 Problemas de la seccin de la Cruz (x-z) 185

7.2.3 Problemas de un solo pozo (r-z) 186

7.2.4 Comentarios sobre modelos bidimensionales 187

7.3 Discretizacin de las ecuaciones de flujo 187

7.3.1 Aproximaciones por diferencias 187

7.3.2 Estabilidad de los esquemas de diferencias 190

7.4 Condiciones limite 190

7.4.1 Fronteras cerradas o sin flujo 190

7.4.2 Limites de flujo 191

7.4.3 Discretizacin de las condiciones limite 192

7.5 Condiciones iniciales 194

7.6 Tratamiento no lineal 194

7.7 Tratamiento de los pozos individuales 194

7.8 Ecuaciones en forma de matriz 198

7.9 Mtodos especiales de problemas 2D 200

7.9.1 Alternando explcitamente la direccin (ADE) 200

7.9.2 Alternando implcititamente la direccin (IDA) 201

7.9.3 Mtodos de comparacin 203

7.10 Construccin del Grid 204

8

7.10.1 Grid irregular en 2D 204

7.10.2 El uso de una cuadricula curvilneo 205

7.11 Conclusiones 209

8. SOLUCION DE ECUACIONES DE MATRIZ PENTADIAGONAL 216

8.1 Introduccin 216

8.2 Mtodos directos de solucin 220

8.2.1 Factorizacin LU 220

8.2.2 Ordenamiento de ecuaciones 222

8.2.3 Tcnicas para matrices dispersas 222

8.3 Mtodos iterativos 228

8.3.1 Mtodo de Jacobi 230

8.3.2 Mtodo Gauss-Seidel 231

8.3.3 Mtodo de relajacin (SOR) 231

8.3.4 Mtodo SOR lnea y bloque 233

8.3.5 Mtodos de correccin aditiva 234

8.3.6 Mtodos iterativos implcitos de direccin alternativa (ADI) 236

8.3.7 Mtodos fuertemente implcitos 241

8.3.8 Otros mtodos 243

8.3.9 Comparacin de mtodos iterativos 244

8.3.10 Consideraciones practicas en el uso de mtodos iterativos 250

8.4 Comparacin de mtodos iterativos y directos 252


9. FLUJO MULTIFASICO EN DOS DIMENSIONES 263

9.1 Introduccin 263

9.2 Clasificacin de los problemas 2D 263

9.2.1 Problemas de rea (x, y) 263

9.2.2 Problemas seccin-cruz (x-z) 264

9.2.3 Problemas de pozo sencillo (r-z) 264

9.2.4 Comentarios generales 265

9.3 Mtodos de solucin y su comparacin 265

9.3.1 Discretizacin en 2D 265

9

9.3.2 Estabilidad de los mtodos IMPES y SS en dos dimensiones 267

9.3.3 Comparacin de mtodos de solucin y requerimientos computacionales 270

9.4 Condiciones Frontera 272

9.4.1 Formulacin diferencial 272

9.4.2 Condiciones de compatibilidad y sus limitaciones 273

9.4.3 Formulacin en diferencias finitas 274

9.5 Condiciones iniciales 276

9.6 Simulacin de acuferos 277

9.7 Simulacin de areas y problemas de la seccin transversal 279

9.7.1 Uso del Grid curvilneo 279

9.7.2 Tratamiento de pozos individuales 280

9.7.3 Fenmeno de orientacin de la malla 281

9.8 Simulacin de problemas de single-well 284

9.8.1 Tratamiento de los trminos de produccin (modelo de pozo) 284

9.8.2 Comparacin de estabilidad y eficiencia de tratamientos de transmisibilidad 288

9.8.3 Consideraciones prcticas 290


10. SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE BLOQUE PENTADIAGONAL 293

10.1 Introduccin 293

10.2 Mtodos directos 294

10.3 Mtodos iterativos 294

10.3.1 Mtodo BSOR 295

10.3.2 Mtodo iterativo ADI 295

10.3.3 Mtodo SIP 295

10.3.4 Comparacin de los mtodos iterativos 296

10.4 Comparacin de los mtodos directos e iterativos 296


11. PROBLEMAS TRIDIMENSIONALES Y TECNICAS DE SOLUCION 298


11.2 Flujo de una sola fase 298

11.2.1 Ecuacin bsica y Discretizacin 298

10

11.2.2 Mtodos especiales para problemas 3D 299

11.2.3 Mtodos directos de solucin 300

11.2.4 Mtodos iterativos 302

11.2.5 Comparacin de los mtodos 307

11.3 Flujo multifsico 308

11.3.1 Mtodos de solucin bsicos y sus exigencias de trabajo 308

11.3.2 Mtodos para resolver las ecuaciones de la matriz 309


12. TOPICOS ESPECIALES 313


12.2 Pseudo funciones 313

12.2.1 Modelo de equilibrio vertical 313

12.2.2 Otras Pseudofunciones 316

12.3 Tubos de corriente y modelos relacionados 317

12.4 Simulacin de problemas de punto de burbuja no constante 317

12.5 Simulacin de sistemas no descritos por el modelo de aceite negro 321

12.5.1 Simulacin de desplazamiento miscible 322

12.5.2 Simulacin de efectos composicionales 324

12.6 Dependencia de la historia de las funciones de saturacin 325

12.6.1 Modelo fsico de histresis 325

12.6.2 Tratamiento numrico de histresis 327

12.7 Simulacin de yacimientos naturalmente fracturados 329

12.8 Control automtico con el intervalo del tiempo 330


13. CONSIDERACIONES PRCTICAS 333

13.1 Desarrollo del programa 333

13.1.1 Desarrollo del modelo matemtico 333

13.1.2 Desarrollo del modelo numrico 334

13.1.3 Desarrollo del modelo de computadora 334

13.2 Uso del programa 337

13.2.1 Pasos involucrados en un estudio de simulacin 337

11

13.2.2 Seleccin y diseo del modelo 338

13.2.3 Ajuste histrico 340


APENDICE A 342

APENDICE B 350

BIBLIOGRAFIA 361

12

NOMENCLATURA

A rea de seccin transversal de un bloque

B1 Factores volumtricos de formacin definidos por las Ec. (2.8-2.10)

b1 = 1/B1 Reciproco del factor volumtrico de formacin

C Una constante arbitraria

C Concentracin, Capitulo 12

c Coeficiente de acumulacin

Cf Compresibilidad del fluido, Ec. (2.37)

CR Compresibilidad de la roca, Ec. (2.41)

En = max Norma de error

ei = Ui ui Error en la solucin aproximada en el punto i, funcin inversa de Pc(Sw)

Fw Funcin inversa de PC (Sw)

f Una funcin arbitraria

fn = /( + ) Coeficiente de flujo fraccional de la fase no mojada

fw = /( + ) Coeficiente de flujo fraccional de la fase mojada

g Aceleracin de la gravedad

g Vector de la gravedad

gc Constante de conversin, =32,2 lbm / lbf . ft/sec2

h Espaciamiento del grid, Capitulo 3

h Espesor del yacimiento, Capitulo 12

h Elevacin (positiva hacia abajo)

Ki Relacin de equilibrio vapor-liquido (valor K) para el componente i

k.kx,y,z Permeabilidad, o los componentes del tensor de permeabilidad

Krl Permeabilidad relativa de la fase l

Krog Permeabilidad relativa del aceite en el sistema aceite-gas

Krow Permeabilidad relativa del aceite en el sistema aceite-agua

L Longitud

M Peso molecular, Capitulo 2

M Numero de puntos en un sistema grid, Capitulo 3

13

M = / Relacin de movilidad

M = o / s Relacin de movilidad para un flujo miscible, Capitulo 12

m = Masa por unidad de volumen

Flujo de masa, flujo de masa por unidad de rea por unidad de tiempo

N Nmero de incgnitas en un esquema de diferencias finitas despus de que las

. incgnitas han sido eliminadas debido a las condiciones de frontera

Pc Presin Capilar

Pco Valor de la presin capilar afuera del medio poroso

Pcog Presin capilar aceite-gas

Pcow Presin capilar aceite-agua

PI Funcin de influencia, Ec. (9.52)

P Presin (U, u tambin representan presin)

Pb Presin en el punto de burbuja

Pl Presin de la fase l

Ps Presin de saturacin

Pw Presin en el wellbore

Pwf Presin de fondo fluyendo

QI Funcin de influencia, Ec.(9.51)

Qlp =

Derivada de la tasa con respecto la presin

Qlm =

Derivada de la tasa con respecto a la saturacin

QTL Tasa total de flujo de lquido

QTo Tasa total de flujo de aceite

QTT Tasa total de flujo de fluidos

q Sumidero (produccin por unidad de tiempo),q es negativo para inyeccin

Agotamiento de masa por unidad de volumen por unidad de tiempo, positivo para

. produccin, negativo para inyeccin

qi Valor promedio aproximado de q en un bloque i

ql = l / ISTC Volumen de un componente l producido en un tanque de almacenamiento por

. unidad de volumen de yacimiento por unidad de tiempo

R Constante universal de los gases

R(Av) Tasa promedio de convergencia para v iteraciones

Ri Error local de discretizacion en el punto i

14

Rs Solubilidad del gas en el petrleo

r Espacio coordenado (distancia en la direccin radial)

re Radio externo

rw Radio del pozo

Sl Saturacin de la fase l

Sgc Saturacin del gas residual dependiendo de la direccin del desplazamiento

Sgc Saturacin de gas residual en el desplazamiento de lquidos, Capitulo 12

Sgcr Saturacin critica de gas, Capitulo 12

Sgmax Mxima saturacin de la fase gaseosa

Snc Saturacin critica de la fase no mojada en un ciclo de drenaje o saturacin .

. residual en un ciclo de imbibicin

Swc Saturacin critica de la fase mojada en un ciclo de imbibicin o saturacin residual

. en un ciclo de drenaje

Swmax Saturacin mxima de la fase agua

Swo Valor de Sw correspondiente a Pco

T Temperatura, Capitulo 2

T =

Transmisibilidad, diferencias finitas

Tl = ()

Transmisibilidad para la fase l, diferencias finitas

t Tiempo

t Incremento de tiempo

U Variable dependiente (solucin exacta de una ecuacin diferencial parcial)

u Velocidad superficial de Darcy

ui Aproximacin de U en un punto i del grid

uT Velocidad total uw + un de un flujo bifsico en un volumen

V Volumen

WI Coeficiente de productividad (proporcional al ndice de productividad)

x Distancia

xi Valor de x en un punto i del grid.

y Distancia

Z Factor de compresibilidad

z Distancia

15

=

Coeficiente

Factor de turbulencia, Ec. (2.96)

Lmite del yacimiento

=

Densidad en trminos de presin/distancia

= yw - yn Diferencia de densidades

= k/(B) Transmisibilidad

=

+ Mobilidad promedio

i Valores propios

l = KKrl / (l Bl) Transmisibilidad de la fase l

l = KKrl / l Mobilidad de la fase l

max Modulo mximo de valores propios

R = Kr / ( B) Transmisibilidad radial

T = K

+

+

Mobilidad total

X = Kx / (B) Transmisibilidad en la direccin x

Y = KY / (B) Transmisibilidad en la direccin y

Z = KZ / (B) Transmisibilidad en la direccin z

Viscosidad

v Nivel de iteracin

m Factor de amplificacin, Ec. (3.51)

Densidad del fluido

= In r Transformado en coordenadas radiales, Capitulo 3

(B) Radio espectral de la matriz B

l Densidad de la fase l

O Orden de aproximacin

Angulo

Porosidad

=

z Pseudo-potencial

Pseudo- presin, Ec. (2.52)

Lmite del yacimiento

16

Parmetro de mezcla, Capitulo 12

Factor de relajacin en el mtodo SOR

b Valor optimo de en el mtodo SOR

li Fraccin de masa del componente i en la fase l

i Fraccin de masa del componente i en la mezcla

OPERADORES

A Coeficiente de la matriz de un sistema de ecuaciones algebraicas

A Operador diferencial para coordenadas cartesianas

B Coeficiente de la matriz un

, Ec.(3.54)

C Coeficiente de la matriz para problemas de valor de los lmites de la cuarta clase

C Operador diferencial para coordenadas cilndricas

D Matriz de acumulacin

E Matriz tridiagonal simtrica con 2s en la diagonal principal y 1s en las diagonales inferiores y superiores

G Vector de los trminos de gravedad

I Matriz identidad

J Jacobiano

L Matriz triangular inferior para la factorizacin LU

L Operador de diferencias finitas para coordenadas cartesianas

M Operador de diferencias finitas para coordenadas cilndricas

Q Vector fuente

S Matriz tridiagonal simtrica, Capitulo 4

T Matriz de transmisibilidad

U Matriz triangular superior para la factorizacin LU

Operador diferencial

2 Operador diferencial para la segunda derivada

S Espaciamiento del grid en coordenadas s (s = x, y, z, r, etc.)

t Operador diferencial para la derivada del tiempo

17

SUBINDICES

dg Gas disuelto

f fluido

fg Gas libre

i Inicial, Capitulo 12

i

Limites del bloque que contiene el punto i

i Punto i del grid

J Matriz Jacobiana

l Componente o fase, l = o, g, w (oil, gas, water)

N ndice del espacio del punto del grid correspondiente a la ultima incgnita

n Fase no mojante

RC Condiciones de reservorio

R Roca

r, , z Direcciones en el sistema de coordenadas cilndricas

s Solvente, Capitulo 12

sf Fase arena

STC Condiciones estndar o stock tank

T Total

w Fase agua o mojante

x, y, z Direcciones en el sistema de coordenadas cartesianas

SUPERINDICES

b Diferencia hacia atrs

f Diferencia delantera

L Logartmico

n Nivel de tiempo, n = o, 1, 2, 3,

o Condiciones iniciales (t=0) o condiciones de referencia

p Orden de la aproximacin d la diferencia finita

r Referencia

T Matriz o vector transpuesto

2 Centrado

18

Solucin intermedia o perturbada

o

o

.

- Pseudo valor de profundidad promedio para clculos de VE, Capitulo 12

ABREVIACIONES

GOR Relacin Gas-Aceite

LSOR Lnea SOR

SOR Relajacin superior sucesiva

WOR Relacin Agua-Aceite

SIP Procedimiento fuertemente implcito

1DC Correccin en una dimensin

2DC Correccin en dos dimensiones

PI ndice de Productividad

1-D Unidimensional

2-D Bidimensional

3-D Tridimensional

ODE Ecuacin (es) diferencial ordinaria

PDE Ecuacin (es) diferencial parcial

IMPES Presin implcita Saturacin explicita

SS Solucin simultanea

SEQ Solucin secuencial

VE Equilibrio vertical

w-n Mojante No mojante

C-N Crank - Nicolson

D2 Rgimen de ordenacin

D4 Rgimen de ordenacin

WI Coeficiente de productividad

19

CAPITULO 1

INTRODUCCION

1.1 QUE ES UN MODELO COMPUTACIONAL?

El objetivo principal del estudio de un reservorio es predecir el comportamiento futuro del reservorio y encontrar caminos o medios que permitan incrementar el recobro final. La Ingeniera de yacimientos clsica ofrece en un modelo bsico (modelo de tanque) y no puede explicar adecuadamente las variaciones en el reservorio y los parmetros de los fluidos en el espacio y en el tiempo. La simulacin de Yacimientos por computadores permite estudiar de manera ms detallada el reservorio dividindolo en un nmero de bloques (algunas veces varios miles) y aplicar la ecuacin fundamental de flujo en medios porosos a cada bloque. Los programas de ordenadores digitales que realizan los clculos necesarios para realizar estudios de este modelo son llamados modelos de computadora. Debido a los avances realizados desde la dcada de 1950 en hardware y software tecnolgicamente, ahora es posible escribir modelos ms sofisticados que simulan algunos de los procesos ms complejos que tienen lugar en los reservorios durante la ejecucin de los planes de recuperacin. La tecnologa de la simulacin de yacimientos est siendo constantemente mejorada y ampliada, Nuevos modelos para simular ms y ms complejos planes de recuperacin se proponen todo el tiempo. En este libro nosotros tratamos con el ms bsico de todos los modelos de yacimientos, conocido como el modelo de aceite negro o modelo beta. Un profundo conocimiento de las tcnicas usada para el modelo de aceite negro es esencial para desarrollar una cierta apreciacin de los modelos ms complejos. En la descripcin de un modelo de computadora trminos como modelos matemticos, modelos numricos, simulador numrico, modelos grid, modelos en diferencias finitas y simulador de yacimientos son usados casi indistintamente. En realidad, hay tres clases de modelos envueltos en el desarrollo de un programa para simulacin un yacimiento. 1.1.1 Modelo Matemtico

El modelo fsico a ser modelado debe ser expresado en trminos de las ecuaciones matemticas apropiadas. Este proceso casi siempre implica suposiciones. Las suposiciones son necesarias desde el punto de vista prctico, a fin de hacer manejable el problema tratado. Por ejemplo, cada ingeniero de yacimientos conoce que el concepto de permeabilidad relativa tiene limitaciones, pero en esencia, no tenemos ms remedio que usarlo. La formulacin de un modelo matemtico es considerada en el captulo 2; resulta en un conjunto de ecuaciones no lineales parcialmente diferenciales con las correspondientes condiciones inciales y de frontera. 1.1.2 Modelo Numrico

Las ecuaciones que constituyen un modelo matemtico de un yacimiento son casi siempre tambin complejas y son solucionadas por mtodos analticos. Las aproximaciones deben ser hechas al poner las ecuaciones en una forma que es susceptible a ser solucionadas por las computadoras digitales. Como un conjunto de ecuaciones forma un modelo numrico. Esto es discutido en los captulos del 3 al 12. 1.1.3 Modelo computacional

Un programa de computadora o un conjunto de programas escritos para solucionar las ecuaciones del modelo numrico constituyen un modelo computacional del yacimiento. Algunos aspectos prcticos del modelo computacional son discutidos en el captulo 13. El uso de un modelo computacional para solucionar problemas prcticos sern referenciados como simulacin de yacimientos en este libro.

1.2 OTROS MODELOS

Muchas clases de modelos han sido usados por los Ingenieros de Petrleos. Ellos deben ser divididos en dos categoras, (a) modelos anlogos, y (b) modelos fsicos. Los ms comunes modelos anlogos son los modelos elctricos, donde el potencial elctrico y la corriente sirven como las variables anlogas. Modelo elctrico discreto (R-C y R-R redes) las cuales son anlogas de las ecuaciones por diferencias finitas, han sido aplicados a problemas de yacimiento por Bruce (1943) y Karplus (1956). Los modelos continuos de tipo Electroltico son discutidos por Botset (1946). Anlisis exhaustivo de estos y otros mtodos de computadora anloga se pueden encontrar en un texto de Karplus (1958).

20

Sin embargo, los mtodos anlogos ahora han sido completamente reemplazados por modelos computacionales. La literatura de los modelos fsicos es extensa (Rapoport, 1955; Geertsma et al., 1956; Perkins and Collins, 1960; Redford et al., 1976), y ellos juegan un papel importante en la comprensin del comportamiento de un reservorio. Los modelos fsicos pueden ser clasificados en dos categoras (cf Redford et al., 1976), (a) Modelos a escala, y (b) modelos elementales. En el modelo a escala, las dimensiones del reservorio, las propiedades de la roca y fluidos son escalados por el modelo de laboratorio de modo que la relacin entre las distintas fuerzas en el reservorio y las de los modelos fsico son las mismas. Un modelo a escala proporcionara resultados que pueden aplicarse directamente en el campo. Infortunadamente, todos los modelos a escala son difciles o imposibles de construir (Geertsma et al., 1956; Pozzi and Blackwell, 1963). En un modelo elemental, los experimentos son llevados a cabo con actuales (o simulados) rocas y fluidos del yacimiento. Obviamente los resultados de cada modelo no son directamente aplicables al campo, pero pueden ayudar a responder algunas preguntas bsicas acerca de la mecnica del yacimiento. Las ecuaciones de flujo de fluido bsicas que describen el flujo en el reservorio (modelo matemtico) son tambin validas para los modelos a escala y elemental. Esto significa que un modelo computacional puede ser verificado e incluso ajustado, incluso mediante el uso de los resultados de los modelos fsicos y luego usarlos para predecir el comportamiento del campo. Por lo tanto un mximo entendimiento de los fenmenos complejos en el reservorio debe exigir el uso adecuado de los modelos fsicos y los modelos computacionales. Debe quedar claro que los modelos computacionales no pueden eliminar la necesidad de los modelos fsicos, ya que no se puede utilizar para determinas la fsica del problema. Por otro lado, el uso optimo de los datos de los modelos fsicos es en muchos casos posible solamente a travs de los modelos computacionales. En conclusin, sera correcto decir que los modelos computacionales de los reservorios de petrleo no pueden reemplazar todos los modelos fsicos. Los modelos computacionales pueden, sin embargo, mejorar la comprensin de los datos obtenidos por modelizacin fsica, y ayuda en el diseo de experimentos realizados en los modelos fsicos.

1.3 QUE PREGUNTAS PUEDE RESPONDER EL MODELO COMPUTACIONAL?

Los modelos computacionales pueden ser herramientas valiosas para el ingeniero de petrleo intentando responder preguntas del siguiente tipo: 1. Cmo debe ser desarrollado y producido un campo con el fin de maximizar en orden para maximizar la

recuperacin econmica de hidrocarburos? 2. Cul es el mejor esquema de recobro mejorado para el yacimiento? Cmo y cundo debe ser

implementado? 3. Porque el yacimiento no se comporta de acuerdo a las predicciones hechas por los estudios previos de

simulacin o la ingeniera de yacimientos? 4. Cul es la recuperacin econmica definitiva para el campo? 5. Qu tipo de datos de laboratorio es requerido? Cul es la sensibilidad de las predicciones de los modelos a

diferentes datos? 6. Es necesario hacer el estudio de los modelos fsicos del reservorio? Cmo pueden los resultados ser

escalados para las aplicaciones del campo? 7. Cules son los parmetros crticos que deberan ser medidos en el campo cuando es aplicado un esquema de

recuperacin? 8. Cul es el mejor esquema de completamiento para los pozos en un reservorio? 9. De qu porcin del reservorio proviene la produccin? Esas son algunas preguntas generales; muchas ms preguntas especficas deben ser resueltas cuando estamos considerando un estudio particular de simulacin. La Definicin de los objetivos del estudio debe realizarse con cuidado e indicando las preguntas a ser resueltas es un paso extremadamente importante en la realizacin de cualquier estudio de simulacin

1.4 CONCLUSIONES

La simulacin de yacimientos es una herramienta que permite al Ingeniero de petrleos obtener un mayor conocimiento sobre el mecanismo de recuperacin que sera posible. Puede, si se utiliza adecuadamente, ser una herramienta muy valiosa. No, sin embargo, sustituir la buena prctica que es esencial para la realizacin de todos los estudios de yacimiento (cf. Coats, 1969; Staggs y Herbeck, 1971). Adems, no todos los reservorios requieren un modelo de estudio sofisticado y en muchos casos estudios de yacimientos convencionales o estudios de modelos computacionales extremadamente simples pueden responder a las preguntas que se plantean. Es fcil generar nmeros por un modelo computacional; en la mayora de los casos la interpretacin correcta de los nmeros requiere un anlisis cuidadoso por alguien quien entienda el modelo matemtico, numrico y computacional. El objetivo de este libro es presentar el material bsico para la comprensin de este tipo.

21

CAPITULO 2

ECUACIONES DE FLUJO DE FLUIDOS

2.1 INTRODUCCION

Antes de simular un yacimiento de petrleo en un computador, es necesario un modelo matemtico del sistema. El desarrollo de cada uno de los modelos es el objetivo de este captulo. Los movimientos de los fluidos en medios porosos son gobernados por las mismas leyes fundamentales que rigen su movimiento, por ejemplo, la atmosfera, los oleoductos y ros. Esas leyes estn basadas en el principio de conservacin de la masa, el momento y la energa y son discutidas en detalle en numerosos libros incluyendo Bird et al. (1960), Schlichting (1968), y Monin y Yaglom (1971). Desde un punto de vista prctico es imposible en este momento tratar de aplicar estas leyes bsicas directamente a los problemas de flujo en medios porosos. En cambio, un enfoque semi-empirico se utiliza cuando se emplea la ley de Darcy en lugar de la ecuacin de movimiento. Las bases tericas de la ley emprica de Darcy son analizadas por Whitaker (1966, 1969); dichos estudios proporcionan una comprensin de las limitaciones de las relaciones empricas. Adems de las relaciones discutidas anteriormente, las propiedades fsicas de los fluidos implicados en el sistema tambin deben ser conocidas en funcin de las variables dependientes. Este libro trata solamente con algunos de los modelos matemticos los cuales deben ser conocidos por su importancia prctica. Los mtodos numricos para la solucin de ecuaciones resultan de esos modelos que sern discutidos en el captulo 3. Un breve desarrollo de las ecuaciones a resolver ms adelante se presentara en la seccin 2.2. La discusin quedara limitada a flujo isotrmico monofsico, o flujo multifsico de hasta 3 fluidos inmiscibles. En este contexto, los siguientes sistemas monofsicos y multifsicos son de importancia prctica: gas; aceite; gas-aceite; aceite-agua; aceite-agua-gas. Los primeros dos libros tratan con el mecanismo de flujo de fluidos en medios porosos que fueron publicados por Muskat (1937, 1949). Esos libros son de gran importancia histrica y contienen muchas contribuciones propias de Muskat. Un libro sobre la teora del movimiento de las aguas subterrneas se publico en la URSS por Polubarinova-Kochina (1962). Este libro trata con esos problemas de fluidos monofsicos donde las soluciones analticas son posibles. Un libro de estudio de la fsica de los fluidos fue publicado por Scheidegger (1974). Este libro trata brevemente con una seleccin de temas relacionados con la recuperacin de petrleo en yacimientos subterrneos; est diseado como una referencia para los investigadores. El libro de Collins (1961) trata con los aspectos tericos y prcticos de la ingeniera de yacimientos de petrleo. La sociedad de ingenieros de petrleos of AIME ha publicado 3 monografas; dos tratan de la aplicacin de los principios de flujo de fluido a las pruebas de ascenso de presin (Matthews and Rusell, 1967; Earlougher, 1977); la tercera monografa de Craig (1971) proporciona tratamientos prcticos de el problema de inyeccin de agua en yacimientos de petrleo. Bear (1972) proporcin un tratamiento completo de la dinmica y esttica de los fluidos en medios porosos. Sin embargo, la mayora de los problemas considerados en el libro por Bear estn orientados hacia la hidrologa de aguas subterrneas. La aplicacin de la teora de flujo de fluidos a las pruebas de pozos de gas es mejorada en una publicacin de la Energy Resources Conservation Board de Alberta (ERCB, 1975).

2.2 LEY DE LA CONSERVACION DE LA MASA 2.2.1 Flujo monofsico

Considera el flujo de un fluido monofsico (un solo componente o una mezcla homognea) en la direccin axial en un ncleo cilndrico como el mostrado en la figura 2.1. El volumen de control debe ser representativo del medio poroso (ver Bear, 1972; p.19), i.e., debe ser grande comparado con el tamao del poro pero pequeo comparado con el tamao del ncleo. Las propiedades fsicas bsicas del medio poroso, como la porosidad, deben asociarse con el volumen de control. Si la porosidad est definida como una fraccin del volumen de control no ocupado por la matriz solida, luego nosotros podemos ver que si el volumen de control tiene el tamao de un poro, la seria uno o cero. Como nosotros incrementamos el tamao del volumen de control, los valores de porosidad fluctuaran antes de llegar a un valor representativo.

22

L Flujo de Flujo de Entrada Salida Volumen de control

Fig.2.1 Flujo lineal en una roca porosa cilndrica de longitud x

El valor de la porosidad asociada con un punto P es el valor representativo para un volumen de control que contiene el punto P. Otras propiedades fsicas son definidas en un punto en el medio poroso de igual manera. Este es el enfoque continuo, donde el medio poroso actual es reemplazado por uno continuo ficticio a cualquier punto al cual podemos asignar variables y parmetros que son funciones continuas del espacio y el tiempo en coordenadas. Mx ser el componente x del vector de flujo de masa (flujo de masa por unidad de superficie por unidad de tiempo)

de un fluido de densidad (una fase, nico componente) Se refiere a las figura 2.1 nosotros vemos el flujo de entrada

de masa a travs del volumen de control en x sobre un intervalo de tiempo t es:

m x x At

y el flujo de salida de masa a travs del volumen de control en x+x sobre un intervalo de tiempo t es:

m x x+xAt

La diferencia entre el flujo de entrada y el de salida debe ser igual a la suma de la acumulacin de masa dentro del

volumen de control. La acumulacin de masa trata la compresibilidad sobre un intervalo de tiempo t es:

()

Y la eliminacin de masa del volumen de control, i.e. agotamiento de masa (acumulacin) debido a un sumidero de la

fuerza q (masa por unidad de volumen por unidad de tiempo) sobre un intervalo de tiempo t es:

q Vt Ahora tenemos

(m x x m x x+x ) At =

() + q Vt (2.1)

Dividiendo por Vt y tomando V= Ax, obtenemos:

(m x x m x x+x )

=

+ q

Tomando el lmite como x0 tenemos la ecuacin de la conservacin de la masa para este sistema:

=

+ q (2.2)

Note que q es negativa para una fuente ya que nosotros asumimos que sea positivo para un sumidero. Es posible expresar el flujo de masa en trminos de una velocidad superficial (o Darcy).

= (2.3) Donde Ux es una velocidad en la direccin x definida por la ecuacin (2.3). Substituyendo la ecuacin (2.3) en la ecuacin (2.2) obtenemos:

x

23

=

+ q (2.4)

La ecuacin correspondiente para el flujo en 3 dimensiones en un medio poroso de forma arbitraria debe ser

derivada en una manera similar por considerar un volumen de control x y z. Esto conduce a:

+

+

=

+ q

Para el sistema en coordenadas cartesianas. Ms generalizada, la ecuacin debe ser escrita como:

. =

+ q (2.5)

El operador de divergencia sobre el lado izquierdo de la ecuacin (2.5) debe ser expandido en cualquier sistema de

coordenadas. Por ejemplo, en coordenadas cilndricas (r, , z) la ecuacin de conservacin es:

1

+

1

+

1

=

+ q (2.6)

2.2.2 Flujo multifsico La conservacin para el flujo en una sola fase (ecu. 2.5) puede ser generalizada de la siguiente manera:

. =

+ (2.7)

Donde es la masa del componente en una unidad de volumen medido, es el flujo de masa de un componente y . o dividido en es la tasa de flujo de salida de masa por unidad de volumen. Hay dos importantes modelos matemticos en la ingeniera de yacimientos de petrleo: (1) flujo multifsico o de una sola fase donde ms de dos componentes hidrocarburos son considerados y (2) flujo multifsico donde el sistema de hidrocarburos puede ser aproximado por 2 componentes, un componente no voltil (aceite negro) y un componente voltil (gas) soluble en la fase aceite. Nosotros consideraremos el segundo caso exclusivamente este es conocido como el modelo o el modelo de aceite negro. El sistema de composicin variable ser considerado brevemente solo en el Capitulo 12. 2.2.2.1 Modelo En este modelo el problema del flujo de fluidos supone que hay 3 distintas fases: Aceite, Agua y Gas. Usualmente el agua es la fase mojante, el aceite tiene una capacidad de mojabilidad intermedia y el gas es la fase humectante. El agua y el aceite son asumidos inmiscibles y no experimentan cambios de masa o cambios de fase. El gas es asumido soluble en aceite pero usualmente no en agua. Si asumimos que la solubilidad del gas es cero a condiciones de tanque entonces el yacimiento debe ser considerado como una solucin de dos componentes: aceite a condiciones de tanque y gas a condiciones estndar. Adems, en este tipo de tratamiento se asume que los fluidos estn a temperatura constante y en equilibrio termodinmico en todo el yacimiento. En estas condiciones el comportamiento de la presin- el volumen- la temperatura (PVT) del sistema puede ser expresado por los factores volumtricos de formacin definidos:

= +

= (2.8)

=

[ ]= (2.9)

=

= (2.10)

En las ecuaciones anteriores [] representa el volumen ocupado por un componente de masa fija (o, w, g) a condiciones de yacimiento y [] es el volumen ocupado por el mismo componente a condiciones de tanque o

condiciones estndar. Notamos que algunos autores prefieren trabajar con los factores invertidos, i.e. =1

. La

transferencia de masa entre las fases aceite y gas son descritas por la relacin de aceite y gas en solucin:

=

= (2.11)

24

La cual da la cantidad de gas disuelto en el aceite como funcin de la presin de la fase aceite. Las densidades de las tres fases a condiciones de yacimiento estn relacionadas con las densidades a condiciones de tanque:

=1

+ (2.12)

=1

(2.13)

=1

(2.14)

La densidad de la fase aceite puede ser expresada tambin como

= + (2.15)

Donde y son las densidades de los dos componentes

=1

(2.16)

=

(2.17)

Antes de considerar el flujo multifsico el concepto de saturacin debe ser introducido. La saturacin, de la fase es la fraccin del volumen de poroso ocupado por la fase . Obviamente, = 1. La ecuacin de la conservacin de la masa para cada componente puede ser escrita considerando la ecuacin 2.7. Para el componente aceite en la fase aceite

= (2.18)

= (2.19) Sustituyendo la ecuacin 2.18 y 2.19 en la 2.7 y dividiendo por se obtiene

. 1

=

1

+ (2.20)

Donde

=

Todos los trminos en la ecuacin 2.20 tiene la dimensin

.

1

La ecuacin para la fase agua es obtenida de manera similar:

. 1

=

1

+ (2.21)

El componente gas existe tanto en la fase gas como en solucin en la fase aceite

= + (2.22)

= + (2.23)

= +

= + (2.24)

25

La ecuacin final para el gas:

.

+

1

=

+

1

+ + (2.25)

Los trminos de produccin , , representan el volumen producido a condiciones de tanque(o estndar), por unidad de tiempo por unidad de volumen de yacimiento.

2.3 LEY DE DARCY

2.3.1 Flujo en una Fase Adems de la ecuacin de continuidad o conservacin de la masa desarrollada en la anterior seccin, requerimos una relacin entre la tasa de flujo y el gradiente de presin en cada fase. Tal relacin fue descubierta por Darcy (1856) para flujo en una fase. La forma diferencial de esta relacin es

=

+

(2.26)

Donde es el tensor de permeabilidad absoluta del medio poroso, es la viscosidad del fluido, es el vector

aceleracin gravitacional y es una constante de conversin con unidades de

2 en el sistema de unidades de

ingeniera. Si la coordenada en la vertical con direccin hacia abajo es z entonces podemos escribir

=

= (2.27)

Con la definicin anterior de podemos escribir la Ley de Darcy como

=

(2.28)

Cuando u=o, la relacin de la ecuacin anterior en coordenadas cartesianas con el eje vertical z y orientado hacia abajo son:

= (2.29)

=

= 0 (2.30)

El tensor de permeabilidad usado en la ecuacin 2.26 se define por la ecuacin y debe ser determinado experimentalmente. En la mayora de los problemas prcticos es posible (o necesario) asumir que es un tensor diagonal dado por,

=

Si = = , el medio es llamado isotrpico, de lo contrario es anisotropico. Las limitaciones de la Ley de Darcy

son completamente discutidas en la literatura (e.g. Hubbert, 1956; Scheidegger, 1974; Collins, 1961; Whitaker, 1966, 1969) y no sern considerados aqu. 2.3.2 Flujo Multifsico La ley puede ser extendida para describir el flujo simultneo de ms de una fase:

=

+

(2.31)

Donde = , , (fase aceite, agua y gas respectivamente) y es la permeabilidad relativa de la fase . La ecuacin 2.31 tambin puede ser escrita en trminos de .

=

(2.32)

26

Donde

=

(2.33)

Y est en la direccin positiva vertical hacia abajo. Si la velocidad esta en cm/seg, la viscosidad en centipoises y el gradiente de presin en atm/cm entonces las unidades de es el Darcy. Puede ser mostrado como,

1 Darcy= 9.869 x 10-9

cm2

= 1.062 x 10-11

ft2

Con frecuencia la unidad de milidarcy o mD (1 Darcy= 1000 milidarcys) es usado.

2.4 ECUACIONES BASICAS DE FLUJO

Las ecuaciones de flujo para flujo en una fase y flujo multifasico son obtenidas por la combinacin apropiada de la Ley de Darcy y la ecuacin de conservacin de la masa. La densidad del fluido es expresada explcitamente o implcitamente como una funcin de la presin a travs de una ecuacin de estado. Diferentes situaciones prcticas sern consideradas aqu. 2.4.1 Flujo en una Fase 2.4.1.1 Ecuacin general para Fluidos Compresibles Cuando todo el espacio poroso es ocupado por una sola fase, ecuacin 2.28 puede ser sustituido en la ecuacin 2.5 para obtener,

.

=

+ (2.34)

Dividiendo por y usando la definicin de =

tendremos

. =

+ (2.35)

Donde

= 1

(2.36)

2.4.1.2 Ecuacin para fluidos ligeramente compresibles.

Para el flujo del liquido es posible asumir que la compresibilidad del fluido definida por,

= 1

) =

1

) (2.37)

Es constante en el rango de presin de inters. Esta ecuacin puede ser integrada para obtener

= 0 exp 0 (2.38)

Donde 0 es la densidad a la presin de referencia 0. De la definicin del factor volumtrico de formacin vemos que:

0=

0

= exp

= 1 + 0 +

1

2!

2 0 2 + .. (2.39)

Donde 0 es el factor volumtrico de formacin a 0. Considerando solo los primeros dos trminos de la expansin tenemos,

=0

1+ 0

(2.40)

Esto es justificado por que es pequeo (10

-5 a 10

-6).

27

Si la variacin del volumen de poro con la presin es insignificante, esto debe ser representado por (ver ecuacin 2.121).

= 0[1 + ( 0) (2.41)

Donde es la compresibilidad de la roca.

El termino de la derivada con respecto al tiempo de la ecuacin 2.35 puede ser expresada en trminos de

usando la expresin para 1 dada por la ecuacin 2.40 y para por la ecuacin 2.41.

Cuando esto se hace, la ecuacin 2.35 se convierte,

. =

+

+ (2.42)

Otra til forma de la ecuacin de flujo es obtenida sustituyendo la ecuacin 2.38 en la 2.34 y despreciando trminos

del cuadrado del gradiente de presin multiplicado por en comparacin con otros trminos en la ecuacin. El resultado de la ecuacin es:

2 =

+

(2.43)

En la escritura de la ecuacin anterior, la cual es conocida como la ecuacin de difusividad (Carslaw and Jaeger, 1959), tenemos tambin que asumir que las propiedades de los fluidos son constantes, = 0, y que los trminos de gravedad son despreciables. 2.4.1.3 Ecuaciones para flujo de gas Para el flujo de gas no es usualmente apropiado asumir que la compresibilidad es constante para estas ocasiones la ecuacin de flujo puede ser escrita como:

. =

+ (2.44)

Donde

=

1

+

(2.45)

Otra forma de la ecuacin es obtenida si utilizamos la ley de las gases

=

(2.46)

Sustituyendo la ecuacin (2.46) en la ecuacin (2.34) y despreciando trminos gravitacionales, los cuales son normalmente pequeos para flujo de gas, tenemos que:

.

=

+

2.47

En la ecuacin de arriba nosotros asumimos que son constantes, teniendo que 2. = 2 , entonces podemos escribirla en la ecuacin (2.47).

22

2 ln( (2)2 =

2

+ 2

(2.48)

La derivada a la derecha se pude escribir como:

=

(2.49)

28

Donde

=1

=

1

1

2.50

Sustituyendo en la ecuacin (2.49) y despreciando el segundo trmino de la izquierda de la ecuacin (2.48) tenemos:

22 =

2

+

2

2.51

Esto es tambin posible arriba en la ecuacin para el otro procedimiento. Una ecuacin ms rigurosa de la compresibilidad del fluido es obtenida definiendo pseudo presin , como:

= 2

2.52

0

Desde

=

=

2

Y tambin

=

=

2

La ecuacin original (2.47) se transformo en:

2=

+

2

(2.53)

Note que esta ecuacin es la misma forma de la ecuacin (2.51), y no involucra asumir simplificaciones. Una completa discusin de ecuacin de flujo de gas en una sola fase est disponible en el manual publicado por ENERGY RESOUCES CONSERVATION BOARD de Alberta (ERCB, 1975). 2.4.2 Flujo Multifsico

La ley de Darcy ecuacin (2.32) puede ser sustituida en la ecuacin de conservacin de la energa para cada fase (ecua 2.20, 2. 21, y 2.25) para obtener la ecuacin de flujo de fluidos:

. 0 0 0 =

00

+ 0 2.54

. =

+ 2.55

. 00 0 0 + =

0

0 +

+ 0 + 2.56

Donde la movilidad esta definida por

=

Mientras la ecuacin de conservacin es suficiente para describir flujo en una sola fase (solo depende de la variacin de la Presin) este no es el caso para flujo en mltiples fases. De las Ecuaciones (2.54) a (2.56) cuentan con seis variables dependientes. Tres correlaciones adicionales se requieren para completar esta descripcin.

0 + + = 1 2.57

= 0 + = , (2.58)

= + = , (2.59)

29

La relacin entre la presin capilar y la saturacin es usualmente emprica. 2.4.3 Uso del Pseudopotencial

Esta es a menudo conveniente para la ecuacin de conservacin y en forma no explicita involucra trminos de gravedad. Esta es necesaria para la definicin de potencial introducida por Hubbert (1940, 1956). Define que

=

0

2.60

La ley de Darcy pude ser escrita como:

=

=

2.61

Y la ecuacin de flujo es formalmente simplificada. Por ejemplo la ecuacin para una sola fase (ecuacin (2.44)) seria:

. =

+

Y la ecuacin (2.54) seria:

. 000 =

00

+ 0

Solo para flujo incompresible puede ser usado el verdadero potencial

= El cual es luego relacionado para ser

= 2.4.4 Condiciones lmites El modelo matemtico discute que tan lejos se encuentra de las condiciones inciales necesarias, sin embargo, esto es instructivo para presentar una discusin para prximos trabajos con representacin de diferencias finitas (modelo numrico). Las condiciones de lmite para flujo en una sola fase estn dadas en la seccin 3.4 del captulo 3 y ms detallada en la seccin 7.4 y 7.7 del captulo 7. Las condiciones de lmite para mltiples fases est dada en el captulo 5 seccin 5.7 y ms profundamente en el captulo 9, seccin 9.4 y 9.8

2.5 FORMAS ALTERNATIVAS DE ECUACIONES DE FLUJO PARA MULTIPLES FASES

Varias alternativas para la formulacin de ecuaciones de flujo en secciones previas pueden ser derivadas aqu. Para mayor claridad, el desarrollo es restringido para flujo de mltiples fases, los subndices w y n denotan la fase hmeda o no humedad, respectivamente. La formulacin en cuatro variables esta en esta notacin.

. =

+ 2.62

. =

+ 2.63

= = (2.64)

+ = 1 (2.65)

30

2.5.1 Formulacin en forma parablica

Suponga que la funcin inversa existe para ()

= = (2.66) La funcin Fw existe si Pc es monoatmicamente creciente o monoatmicamente decreciente, entonces la ecuacin (2.62) y (2.63) puede ser expresado como:

. =

+ 2.67

. =

(1 )

+ 2.68

La ecuacin (2.67) y (2.68) son las bsicas para el mtodo llamado mtodo de solucin simultanea en la literatura del petrleo introducida por (Douglas et 1959; Coats 1968; Sheffield 1969). La ecuacin queda acoplada al libre tratamiento de linealidades Pc la funcin debe ser empleada para la simulacin de cero capilaridad. Formulacin en Pn y Pc Esta formulacin es similar a las anteriores y puede ser escrita como:

. =

+ 2.69

. =

(1 )

+ 2.70

Una formulacin equivalente tambin puede ser escrita como: Formulacin en Pn y Sw

Donde Pw es expresada como Pn Pc La ecuacin (2.64) es usada obteniendo

. =

+ 2.71

. =

(1 )

+ 2.72

La forma en diferencias finitas de esas ecuaciones puede ser derivada bajo la siguiente suposicin. Esto es mejor visto si la ecuacin (2.71) y (2.72) son expresadas en diferentes formas. Donde la ecuacin (2.71) es multiplicada por Bw, la ecuacin (2.72) por Bn y a a ecuacin se le aade lo obtenido.

Bn. + . Bw. Sw +

= 1

+ +

+ 2.73

Donde

= (2.74) La ecuacin (2.73) es una forma alternativa de la ecuacin (2.71).note que en la p, s la formulacin esta expresada en funcin de la presin capilar que puede ser arbitraria siempre y cuando Pc exista. En forma de diferencias finitas,

si la saturacin en la ecuacin (2.73)a tomado la forma explcita, entonces , , y son conocidos y

puede ser como una funcin de Pn. Ecuacin (2.72)es para solucionar la Sw. Esto es conocido como presin implcita saturacin explicita, O mtodo IMPES (Stones y Gader 1961; Breitenbach 1969)y es ampliamente usada en la simulacin de yacimientos. Cuando el tratamiento explicito para la saturacin es no ajustable, como en el caso de la conocida simulacin, la ecuacin derivada queda. Cuando = 0( = = ) La ecuacin (2.73) y (2.72) simplificada para

Bn. 0 + .

31

= 1

+ +

+ (2.75)

=

1

+ (2.76)

Una diferencia de simplificacin de resultados para flujo incompresible en un medio incompresible cuando Bw, Bn y son constantes (Bw, Bn no necesariamente igual a uno), entonces la siguiente ecuacin queda como:

. (Bn + Bw)( ) . Bw pc

= Bn + Bw 2.77

. Bn( ) =

+ Bn (2.78)

Finalmente para flujo de fluidos incompresible de igual densidad con Bw=Bn=1 y Fuerzas externas de presin capilar, la clsica ecuacin propuesta por (Muskat 1937; Collins 1961) estn dadas:

. ( + )( ) = + 2.79

. =

+ ( 2.80)

Obviamente la ecuacin tambin puede ser presentada en funcin de , ; , , . 2.5.2 Formulacin en forma hiperblica

Esta formulacin es posible en una simple forma solo para fluido incompresible. Esta fue la primera utilizada para calcular la inyeccin de agua (Fayers y Sheldon, 1959) y redirigida ms recientemente por HIATT (1968). La formula general nos puede dar aqu vista, tambin puede ser encontrada en Bear (1972) y spivak (1974). La ecuacin de la conservacin de la masa para dos fases con una compresibilidad despreciable de la roca.

. =

+ (2.81)

. =

(1 ) + (2.82)

En el termino antes de la expansin, la ecuacin es dividida por la densidad y se adhiere conjuntamente el termino de la velocidad = + es obtenido.

. = . +

= + ( 1)

1

.

1

. (2.83)

Donde = / en el caso de la compresibilidad, todos los trminos son ceros y la ecuacin (2.83) simplificada:

. = ( + ) = (2.84) La ley de Darcy la podemos escribir como:

= , = Donde

=

= , (2.85)

Esta fase movible (L) en la ecuacin anterior puede ser combinada para obtener la ecuacin de flujo fraccional.

= + (2.86)

Donde = / es el radio de movilidad y = la velocidad puede ser remplazad por en la ecuacin (2.86) para obtener:

=1

1 + (2.87)

32

Finalmente la ecua (2.87) se puede sustituir en la ecuacin (2.86) con la suposicin le la incompresibilidad. Con la definicin de flujo fraccional y la movilidad como:

=

+ =

+

(2.88)

=

+ (2.89)

El resultado de la ecuacin es:

. =

(2.90)

Varios trminos en esta ecuacin pueden ser en funcin de la saturacin:

=

. = . + . = .

. = . = .

En las anteriores ecuaciones se asumi que no es funcin de la posicin. Esto puede satisface el sistema ordinario. De la ecua (2.88).

=

Y desde + = 1 se puede escribir como:

+ = Despus sustituimos la expresin anterior en la ecuacin (2.90) y la ecuacin resultante es.

.

+

=

(2.91)

La ecuacin (2.91) es la formula general que incluye la ecuacin derivada de Fayers y Sheldon, (1959) y HIATT (1968) como caso especial. En otra solucin de esta ecuacin, esto es necesario para resolver la primera ecuacin (2.84) para el cual es necesario para un caso dimensional. (el ejercicio 2.2 que se encuentra al final de este capitulo ). La ecuacin generalizada para tipo parablico por que / < 0 y cambiadas para tipo hiperblico si Pc=0 entonces se reduce a:

+

=

(2.92)

Esta es la ecuacin para el caso hiperblico, por que

> 0. finalmente si se tiene igual densidad de fluido o

( = 0) la ecuacin fraccional de flujo de fluidos se simplifica a:

= = Y la ecuacin (2.92) para este caso puede llegar a escribirse de esta manera, y de forma similar para la ecuacin de inyeccin de agua.

. = =

(2.93)

33

La ecuacin (2.84) y (2.93) son equivalente para el sistema de ecuacin (2.79) y (2.80), el termino fuente seria cero para produccin cuando = por ley de Darcy, sin embargo al inicio de la inyeccin puede llegar a ser cero. Por ejemplo cuando la fase humedad es inyectada = y

= (1 ) 0.

Un anlisis ms detallado del trmino de esta discusin est en el captulo 5 y 7. La derivacin de flujo de fluido compresible son de la misma linealidad. Pero el resultado de esta ecuacin es considerablemente ms complejo. Escribiendo el trmino de estos son los resultados,

. + .

=

+ (1 )

+

+ (2.94)

+

. + .

.

=

. . (2.95)

Donde = 1/

= /

+

, =

Y para esta nueva definicin: =

En el ejercicio (2.2) y (2.3) en nuestro entorno la derivacin de la ecuacin de flujo de dos fases dada arriba y la correspondiente ecuacin para tres fases.

2.6 ECUACIONES DE FLUJO QUE INCLUYEN EFECTOS NO-DARCY

Estrictamente hablando, la Ley de Darcy es vlida slo para fluidos Newtonianos en un rango limitado de tasas de flujo donde la turbulencia, la inercia y otros efectos de alta velocidad son insignificantes. Adems, a presiones muy bajas esta ley no aplica debido al fenmeno de deslizamiento. En esta seccin son dadas algunas de las relaciones usadas en la prctica cuando las formas tradicionales de la Ley de Darcy no funcionan. 2.6.1 Altas Tasas de Flujo (Efectos Inerciales y de Turbulencia) Cuando la velocidad de flujo incrementa, las desviaciones de la Ley de Darcy pueden ser observadas. Investigadores han atribuido diversamente esto al flujo turbulento (Fancher y Lewis, 1993; Elenbaas y Katz, 1947; Cornell and Katz, 1953) o a los efectos inerciales (Hubbert, 1956; Houpeurt, 1959). La explicacin general aceptada (Wright, 1968) es que, como la velocidad incrementa, la desviacin es debida a los efectos inciales de inercia, seguida ms tarde por efectos de turbulencia. En 1956, Hubbert seal la desviacin de la Ley de Darcy al nmero de flujo de Reynolds como aproximadamente 1 (Basado en la media del dimetro de grano no-consolidado), mientras que la turbulencia no fue observada hasta que el nmero de Reynolds se aproxim a 600. La transicin desde el flujo laminar hasta el flujo turbulento es largo. Este rango de tasas de flujo es adecuadamente representado por una ecuacin cuadrtica (Forschheimer, 1901) dada para flujo en estado-estable unidimensional sin efectos gravitacionales significativos mediante,

d

d=

+ (2.96)

Donde es el factor de turbulencia (Katz et al, 1959). Para flujo multidimensional la ecuacin puede ser escrita como (Geertsma, 1974):

p =

+

34

La ecuacin (2.96) la cual incluye efectos laminar, inercial y de turbulencia es una ecuacin general de balance de cantidad de movimiento. Esta puede ser reorganizada a la forma,

= k

d

d (2.97)

Donde

=1

1 +

Es el factor de correccin de la turbulencia (Wattenbarger y Ramey, 1968; Govier, 1961). Cuando =1.0, la ecuacin anterior (2.97) es equivalente a la Ley de Darcy. En un medio anisotrpico, es distinta en diferentes direcciones. El flujo a travs de este medio se da entonces, en forma generalizada, por

= 1

(2.98)

Donde en general k y son tensores. Es evidente que la ecuacin (2.98) representara tanto el flujo laminar como el flujo donde los efectos inercia-turbulencia (IT) estn presentes. Esta ha sido referenciada como la ecuacin generalizada laminar-inercial-turbulento (LIT) en el manual ERCB (1975). Sus efectos son importantes slo con flujo de gas cerca al pozo. La ecuacin de flujo de gas obtenida combinando la ecuacin (2.98) con la ley de conservacin de la masa es

.

=

+

Ecuaciones de este tipo deben ser resueltas iterativamente. 2.6.2 Fenmeno de Deslizamiento y Umbral

Experimentalmente se ha observado que cierto gradiente de presin diferente de cero es necesario para iniciar el flujo. La relacin entre q y / para tasas bajas es mostrada en la Fig. 2.2. El fenmeno de deslizamiento (o Klinkenberg) se presenta en flujo de gas a bajas presiones y resulta en un aumento de la permeabilidad efectiva en comparacin con la medida para lquidos. Aunque ambos fenmenos son en lo relativo, poco importantes, la Ley de Darcy puede ser fcilmente modificada por ellos. Para una discusin detallada de estos efectos, ver los trabajos de Collins (1961) y Bear (1972).

Fig. 2.2. Fenmeno de Umbral.

Actual

Ley de Darcy

Umbral

q

p/x

35

2.6.3 Flujo No Newtoniano

Algunos fluidos (por ejemplo, soluciones de polmeros) muestran un comportamiento no Newtoniano, caracterizado por una dependencia no-lineal del esfuerzo de corte en la tasa de corte. La teora de tal comportamiento, la cual est ms all del alcance de este libro, es discutida en la literatura sobre reologa. Para fines prcticos, la resistencia al flujo en medios porosos puede ser descrita por la Ley de Darcy, la cual incluye la viscosidad aparente app

dependiente de la velocidad de flujo. Un ejemplo de la funcin para una solucin polimrica se encuentra en la Fig. 2.3. La velocidad de Darcy puede por lo tanto ser escrita como

=

() z (2.99)

La regin de flujo pseudoplstica puede ser aproximada en un amplio rango de velocidades mediante el modelo de la Ley de Potencia (ecuacin de Blake-Kozen, ver Bird et al., 1960):

app = H1 (2.100)

Las constantes H y n deben ser determinadas empricamente.

Fig. 2.3 Viscosidad Aparente para fluidos no-Newtonianos (Despus Bondor et al., 1972).

2.6.4 Otros Efectos

Aqu son presentados otros efectos que causan linealidades adicionales en las ecuaciones bsicas de flujo. Estas estn normalmente asociadas a tcnicas secundarias y terciarias de recobro. Por ejemplo, un polmero en una solucin es absorbido por la roca reservorio y la solucin cambia en el agua. Por lo tanto, el contacto con el polmero reduce la permeabilidad relativa del anterior flujo de agua. Las propiedades que dependen de la concentracin deben ser consideradas cuando las ecuaciones de inmiscibilidad son aplicadas a sistemas miscibles, CO2 y caudales micellar, etc. En tcnicas trmicas de recobro, todos los coeficientes de la Ley de Darcy se convierten en funciones de la temperatura. Como un ltimo ejemplo, Finol y Farouq Ali (1975) tambin consideraron la compactacin de la roca reservorio bajo cambios de presin (grado de subsidencia).

2.7 PROPIEDADES DE LA ROCA Y FLUIDO

El carcter de las ecuaciones y la clase de mtodos que deben ser empleados para simularlas dependen en gran medida de las propiedades de la roca y el fluido. Una breve discusin de estas propiedades es presentada en esta seccin, debido al rol que estas desempean en la simulacin de yacimientos, el cual es completamente apreciable. El tratamiento completo de las propiedades fsicas y la recopilacin de correlaciones se encuentran en Frick y Taylor (1962) y Katz et al. (1959).

max

min

Pseudoplstico Flujo Dilatante

log u

log

a

pp

36

2.7.1 Propiedades del Fluido

Para fluidos que pueden aproximarse mediante el modelo- isotrmico, los factores volumtricos de formacin y las viscosidades son slo funciones de la presin, y deben ser determinados a la temperatura del yacimiento. Se debe tener en cuenta que Bg est relacionado con la compresibilidad del gas Z, y debido a que la compresibilidad del agua

Cw es pequea, este puede ser expresado mediante la ecuacin (2.40).

=

1+ (2.101)

Donde y son las condiciones en algn punto de referencia (normalmente el punto de burbuja). Las viscosidades del aceite y el gas generalmente son funciones bastante dependientes de la temperatura y esto debe tenerse en cuenta si los cambios de esta propiedad no pueden ser ignorados, como en el caso de flujo en pozo o el caso de procesos de recuperacin trmica. La dependencia de la temperatura a una presin dada normalmente puede ser asumida como lineal en coordenadas logartmicas, esto es,

=

(2.102)

Donde y son los valores en un punto de referencia y la constante C debe ser determinada del valor de a una . Obviamente, esta aproximacin no ser precisa para aceite, si el punto de burbuja es atravesado dentro del rango de temperatura considerado. Cuando el modelo- no es adecuado, deben ser especificados ms datos de la caracterizacin composicional de los fluidos. En la Fig. 2.4 se muestra un ejemplo de las propiedades dependientes de la presin para aceite y gas. 2.7.2. Propiedades de la Roca

2.7.2.1 Presin Capilar En la primera aproximacin, la presin capilar y las permeabilidades relativas deben ser consideradas como funciones slo de la roca reservorio. En caso de dos fases, la curva tpica de presin capilar es representada mediante la Fig. 2.5. La capilaridad depende de la saturacin del fluido mojante y de la direccin del cambio de saturacin (Curva de drenaje o imbibicin). El valor , el cual es necesario para iniciar el desplazamiento recibe el nombre de presin de Umbral (Bear, 1972) y es important

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Simulación de Yacimientos de Petróleo - Khalid Aziz