1

Econometría de Series de Tiempo1

Econometría II Prof. Arlette Beltran Barco

En esta sección, se desarrollará un análisis de la econometría de series de tiempo que abarcará tres grandes temas: el análisis univariado, la metodología de vectores autorregresivos y las funciones de transformación. En el primero, se analizará el comportamiento de una serie de tiempo en función de su propio pasado, lo que hará posible diferenciar sus componentes cíclicos y tendenciales. Asimismo, se incidirá sobre el problema de la no estacionariedad de la serie y la posible presencia de una raíz unitaria, así como sus implicancias económicas. La metodología de vectores autorregresivos (VAR) se concentrará en el análisis de sistemas de ecuaciones simultáneas de variables endógenas en las que no se impondrán restricciones a priori, como ocurría en el caso de los sistemas estructurales, en donde ellas eran indispensables para identificar las ecuaciones y poderlas estimar. Esta metodología permitirá además un análisis del impacto de diferentes shocks sobre las variables que componen el sistema, a través de las funciones de impulso-respuesta y la descomposición de la varianza. Finalmente, se presentará el tema de funciones de transformación en donde el centro de atención será la presencia de variables exógenas, su condición de tales y la influencia de las mismas sobre las variables a ser explicadas. Este análisis incluirá tres tópicos: causalidad, exogeneidad y cointegración. Análisis Univariado

El análisis univariado de series de tiempo consiste en relacionar cada variable exclusivamente con su pasado, identificando su condición de estacionariedad y descomponiendo sus elementos cíclicos y tendenciales. Empezaremos este análisis con un par de definiciones básicas.

Definiciones básicas

PPrroocceessoo EEssttooccáássttiiccoo DDiissccrreettoo ((PPEEDD))

Un PED es una sucesión de variables aleatorias ty , donde t= -∞, ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... ∞. Dos ejemplos de PED podrían ser:

EEll rruuiiddoo bbllaannccoo tε ::

Es un PED con media cero, varianza constante e independiente.

1 Realizado con la colaboración de Cecilia Sánchez.

2

EEll rraannddoomm wwaallkk oo ccaammiinnoo aalleeaattoorriioo::

Es un PED cuyas primeras diferencias son un ruido blanco, es decir:

tt

t1-tt

t1-tt

y

y- y

y y

εεε

=∆=+=

1.

EEssttaacciioonnaarriieeddaadd EEssttrriiccttaa

Un PED es estacionario en sentido estricto si para toda m-tupla ( t1, t2, t3, ..., tm) y todo entero k, el vector de variables (yt1, yt2, yt3, ..., ytm) tiene la misma distribución de probabilidad conjunta que el vector (yt1+k, yt2+k, yt3+k, ..., ytm+k). Por ejemplo, para una dupla de periodos, es decir donde m=2, (yt,ys) deben mostrar la misma distribución de probabilidad conjunta que (yt+k,ys+k), por lo que debe ser cierto que Cov (yt,yt-2) = Cov (ys,ys-2) = Cov (ys+k,ys+k-2) = Cov (yt+k,yt+k-2) etc.

EEssttaacciioonnaarriieeddaadd DDéébbiill

Un PED es estacionario en sentido débil si se cumple la condición de estacionariedad estricta sólo en el caso de que m=1, situación en la cual se dice que es idénticamente distribuido, ya que cumple las siguientes condiciones:

( )( )

( ) ( ) kt,∀γ==∀⟨∞σ=

∀⟨∞δ=

+ kkttk-tt

y2

t

t

y,yCovy,yCov

t yV

t yE 2.

Series de tiempo estacionarias (débiles)

En el caso que las series sean estacionarias en el sentido débil, se podrán modelar a través de un conjunto de especificaciones conocidas como los modelos AR, MA y ARMA. El objetivo de los mismos es explicar el componente cíclico de la serie (o su componente estacionario) a través de su pasado por medio de diferentes tipos de relaciones.

EEssttaaddííssttiiccooss ddee eessppeecciiffiiccaacciióónn ddee mmooddeellooss uunniivvaarriiaaddooss

Antes de presentar dichos modelos, se mostrarán un conjunto de estadísticos indispensables en su correcta identificación.

3

FFuunncciióónn ddee AAuuttooccoovvaarriiaannzzaa ((FFAACC))

La FAC de un PED y t es una función igual a:

( ) k t, y, yCov k-ttk ∀=γ 3.

FFuunncciióónn ddee AAuuttooccoorrrreellaacciióónn SSiimmppllee ((FFAASS))

La FAS de un PED y t es una función igual a:

( )

( ) ( )k-tt

k-ttk

yVyV

y,yCov=ρ ∀ t, k 4.

Nótese que, si la serie es estacionaria, las varianzas serán constantes a lo largo del tiempo, es decir, V(yt)=V(yt-k), con lo cual el denominador de (4) es simplemente V(y) o γo, por lo que:

o

kk γ

γ=ρ 5.

Para estimar la FAS de orden k de un PED, se utilizará el estimador tradicional dado por:

( )( )

( ) ( )∑∑

∑

+==

+==T

1kt

2k-t

T

1t

2t

T

1ktk-tt

k

y-yK-T

1y-y

T

1

y-yy-yk-T

1

ρ 6.

no obstante, hay que observar que, asintóticamente, T

1

k-T

1 ≈ , y ∑∑+==

≈T

1kt

T

1t

, por lo tanto,

podemos reescribir (6) como:

( )( )

( )∑

∑

=

+==T

1t

2t

T

1ktk-tt

k

y-y

y-yy-y

ρ 7.

lo que equivale a estimar el coeficiente de la ecuación que relaciona yt é yt-k.

4

FFuunncciióónn ddee AAuuttooccoorrrreellaacciióónn PPaarrcciiaall ((FFAAPP))

La FAP de un PED y t es igual a su FAS, pero corregida por los rezagos intermedios, ya que indica

el efecto marginal que cada t-k tiene sobre t. En adelante, denominaremos a la FAP como kφ . Para estimar la FAP de orden k de un PED es necesario correr una regresión que relacione yt é yt-k pero en presencia de los rezagos intermedios. Así, por ejemplo, para hallar la FAP de orden 1 (que es igual a la FAS del mismo orden, ya que no habrían rezagos intermedios), se corre la regresión:

11 −φ= tt y~ˆy~

donde y~ es la desviación de y. Sin embargo, para estimar la FAP de orden 2, se requiere correr la regresión:

2-t1-tt y~ˆy~y~ 2φ+λ=

donde φ2 es la FAP de orden 2, pero λλλλ no es la FAP de orden 1. Algo similar ocurre si queremos estimar la FAP de orden 3 corriendo la regresión:

3-t2-t1-tt y~y~y~y~ 3φ+τ+λ=

siendo φ3 la FAP de orden 3, pero teniendo en cuenta que ni λλλλ ni ττττ son las FAP de orden 1 y 2, respectivamente. Téngase en cuenta, finalmente, que, como lo comprobaremos más adelante, la FAS y la FAP tienden a 0 en el caso de que las series sean estacionarias.2

MMooddeellooss AAuuttoorrrreeggrreessiivvooss

Son aquellos que tienen como variables explicativas a los valores pasados de la variable explicada.

MMooddeelloo aauuttoorrrreeggrreessiivvoo ddee oorrddeenn 11,, AARR((11))

Este modelo tiene la siguiente especificación:

t1-tt yy εθ += 8.

donde εt es ruido blanco. Hay que tener en cuenta, como lo veremos más adelante, que yt es estacionario si y sólo si |θ | < 1.

2 En el caso de un tε son cero excepto para k=0, cuando ρ=φ=1.

5

Podemos reescribir este modelo como una función de ruidos blancos, reemplazando sucesivamente yt-1 y los rezagos que vayan apareciendo en la ecuación, de forma tal que se llegue a que:

∑∞

==

0ss-tty εθ s 9.

De esta forma, a partir de (9) se puede verificar que:

( ) 0=Ε ty 10.

dado que todos los elementos de la sumatoria son ruido blanco3. Asimismo,

( ) ∑∞

==

0

22tyV

s

sεσθ 11.

por lo que:

( )2

2

1 θ−

σ= ε

tyV 12.

Observando la expresión (12) se confirma que la condición de estacionariedad de la serie vendría dada por 1<θ , con lo que se garantiza una varianza finita y positiva. No obstante, y como veremos

más adelante, esta será una condición necesaria pero no suficiente. Antes de analizar el comportamiento de las funciones de autocorrelación de un AR(1), hay que establecer la relación que existe entre yt y los errores de la ecuación. Podemos plantear ésta a dos niveles: • La relación de yt con errores futuros:

( ) 0y0s

s-k-ts

tk-t =

Ε=Ε ∑

∞

=tεεθε 13.

En este caso el valor esperado planteado va a ser siempre igual a 0 ya que se relacionan errores (ruidos blancos) no contemporáneos. • La relación de yt con errores presentes o pasados:

( ) 2k

0k-ts-t

sk-tty εσθεεθε =

Ε=Ε ∑

∞

=s

14.

En este caso el valor esperado planteado se hace distinto de cero siempre que s=k (momento en el cual se relacionan dos errores contemporáneos), siendo k la distancia que hay entre yt y tε .

3 Note que este valor esperado será 0 sólo en el caso de modelos sin constante como el planteado en la ecuación (8). De lo contrario, el mencionado valor será igual a la constante incluida.

6

Este análisis demuestra que yt va a tener relación con los errores pasados y presentes, pero nunca con los futuros.

ANÁLISIS DE LA FAC

2

22

1 θσ

σγ ε

−== yo 15.

( ) ( ) 0yyyy 0t1-t2

1-t1-tt1 +=+Ε=Ε= θγεθγ 16.

( ) ( ) 02

2 0 γθ=+θγ=ε+θΕ=Ε=γ 1t2-t2-t1-t2-tt yyyyy 17.

Y así sucesivamente, por lo que, en general, se puede decir que:

0k

k γθγ = ∀ k ≥ 0 18.

Además, y como 1<θ , puede observarse que a medida que k crece, la FAC converge a cero a ritmo

θ .

ANÁLISIS DE LA FAS

Como vimos previamente 0γ

γ=ρ kk , de forma tal que:

10 =ρ 19.

θγ

θγγγ

ρ ===0

0

0

11 20.

2

0

02

0

22 θ

γγθ

γγ

ρ === 21.

Y en general,

k

0

kk θ

γγ

ρ == ∀ k ≥ 0 22.

De forma tal que a medida que k crece la FAS converge a cero al mismo ritmo θ.

7

ANÁLISIS DE LA FAP

Como se dijo anteriormente, para hallar la FAP es necesario correr regresiones en las que se relacione yt con el respectivo rezago y los intermedios. Así, para hallar la FAP de orden 1 se estima el modelo4:

tεφ += 1-t1t yy 23.

de forma tal que:

1-t1t yˆy φ= 24.

siendo la 1φ=1FAP Lo mismo se aplica en el caso de que k=2, usando el modelo

t2-t1-tt yyy ε+φ+λ= 2 25.

2-t1-tt yˆyy 2φ+λ= 26.

donde, si tenemos en cuenta que se trata de un AR(1), el φ2 o la FAP2 será igual a cero por definición. Lo mismo ocurrirá con las FAP's de órdenes superiores, por lo que podemos concluir que en este tipo de modelos la FAP es igual a cero para todo k>1.

MMooddeelloo aauuttoorrrreeggrreessiivvoo ddee oorrddeenn 22,, AARR((22))

Un proceso AR(2) se modela a través de la siguiente especificación:

tεθθ ++= 2-t21-t1t yyy 27.

donde tε es ruido blanco.

Este proceso será estacionario si se cumplen las tres condiciones siguientes sobre sus coeficientes:

12 <θ , 112 <+θθ y 112 <−θθ , es decir, el efecto individual del segundo rezago es menor que

uno, así como su efecto conjunto con el primer rezago y el marginal respecto a este último. Estas condiciones garantizarán que la varianza de la serie sea finita y positiva lo que, como ya se dijo anteriormente, es una condición necesaria pero no suficiente de estacionariedad. Tomando la esperanza de la serie podemos comprobar que ésta es igual a cero (siempre que el modelo no tenga constante). Así:

( ) ( ) ( )2-t1-tt yyy Εθ+Εθ=Ε 21 28.

4 Note que en este caso, como E(yt)=0, se trabaja directamente con la variable, la que equivale al desvío correspondiente.

8

dado que se trata de una serie estacionaria, las tres esperanzas de la expresión anterior son iguales, por lo que E(yt) termina siendo cero.

ANÁLISIS DE LA FAC

Para determinar la FAC de un proceso AR(2) es necesario trabajar con lo que se conoce como las ecuaciones de Yule-Walker. Para ello se postmultiplica la ecuación (27) por yt-k, de forma que:

k-ttk-t2-t2k-t1-t1k-tt yyyyyyy εθθ ++= 29.

luego, a esta expresión se le toma el valor esperado:

( ) ( ) ( ) ( )k-ttk-t2-t2k-t1-t1k-tt yyyyyyy εθθ Ε+Ε+Ε=Ε 30.

obteniéndose la siguiente expresión, para todo k>0

2-k21-k1k γθγθγ += 31.

por lo que se puede concluir que la FAC también sigue un proceso autorregresivo. Así, y si tenemos en cuenta que pp γγ =− , podemos utilizar (31) para escribir:

2

2211 εσ+γθ+γθ=γ0 cuando k=0 5

1201 γθ+γθ=γ1 cuando k=1 32.

02112 γθγθγ += cuando k=2

Resolviendo el sistema de ecuaciones (32) es posible hallar γ0, γ1 y γ2. Así,6

( )( )( )[ ]2

12

22

22

011

1

θ−θ−θ+

σθ−=γ ε 33.

2

011 1 θ−

γθ=γ 34.

( )0

2

2122

2 1

1 γ

θ−θ+θ−θ=γ 35.

5 Cuando k=0, el último elemento de la ecuación (30), E(εt yt-k), no se hace cero, sino que es igual a θkσ2

ε, es decir, σ2ε.

6 Se deja al lector la demostración de que, a partir de la expresión (33), es posible verificar que las condiciones de estacionariedad mencionadas anteriormente garantizan una varianza finita y positiva.

9

A partir de estas expresiones, es posible demostrar que la FAC de un AR(2) converge a cero, bajo diferentes formas, dependiendo de los valores que tomen θ1 y θ2.

ANÁLISIS DE LA FAS

Utilizando las expresiones (33) á (35), podemos escribir:

2

1

0

11 1 θ−

θ=γγ=ρ 36.

2

21

20

22 1 θ−

θ+θ=γγ=ρ 37.

Así, en general7

0k 2-k1-k0

kk >∀ρθ+ρθ=

γγ=ρ 21 38.

Como en el caso del FAC, el FAS de un AR(2) converge a cero ya que depende de sus rezagos y de los θ's, los cuales van cayendo a través del tiempo; no obstante, no se puede determinar a priori en qué momento esta función se hará cero, ni la forma en la que lo hará. Cabe mencionar, finalmente, que las ecuaciones de Yule-Walker debieran tener como finalidad estimar los valores de la FAC y la FAS a partir de los estimadores de los θ's y del de σ2

ε. Sin embargo, en la práctica, se utiliza como un método de estimación de los θ's, alternativo al de MCO, a partir de los valores estimados de los γ's y de σ2

y

ANÁLISIS DE LA FAP

La estimación de la FAP requiere, otra vez, la estimación de un conjunto de ecuaciones donde el último rezago incluido es el del orden respectivo de la FAP a estimar. Así,

t1-tt yy ε+φ= 1 , se usará para hallar la FAP1=φ1 39.

7 Esta expresión puede ser verificada a partir de las ecuaciones (36) y (37). Por ejemplo, utilizando la primera de ellas, y según (38):

1-01 ρθ+ρθ=ρ 21

lo que, usando la simetría que provee la estacionariedad de la serie, es igual a:

11 ρθ+θ=ρ 21

dado que ρ0=1. Así,

2

11 1 θ−

θ=ρ

10

t2-t1-tt yyy ε+φ+λ= 2 , se usará para estimar la FAP2=φ2 40.

y así sucesivamente. Nótese que en la ecuación (40) la FAP2 es igual, por definición, a θ2, mientras que la FAP1, que proviene de la estimación de la ecuación (39), no es igual a θ1. Por lo mismo, si deseamos hallar la FAP3, utilizando la ecuación (41)

t3-t2-t1-tt yyyy ε+φ+λ+λ= 321 41.

observaremos que, de acuerdo a la especificación del modelo (de orden 2), el φ3 es cero. Esto será además cierto para todo k>2. Finalmente, generalizando para procesos AR de orden p podemos decir que: • La FAC y la FAS convergen a cero de distintas formas dependiendo de los signos de los

respectivos sθ .

• La FAP es igual a cero ∀ k > p. De esta manera, la FAP va a ser de particular importancia en este tipo de modelos univariados, porque va a permitir identificar el orden del AR, el que coincide con el rezago a partir del cual la FAP se hace cero.

MMooddeelloo ddee MMeeddiiaass MMóóvviilleess

Son aquellos que especifican la serie como un promedio ponderado de los errores presentes y pasados.

MMooddeelloo ddee mmeeddiiaass mmóóvviilleess ddee oorrddeenn 11,, MMAA((11))

Este modelo tiene la siguiente especificación:

1−αεε= t tt -y 42.

Nótese que un proceso de medias móviles es siempre estacionario porque es una combinación lineal de ruidos blancos, y estos siempre son estacionarios. Tomando la esperanza y la varianza a la expresión 42 se puede verificar que:

( )( ) ( )2

22

2

2

t

t

1yV

0yE

ασασσ εεε +=+=

= 43.

ANÁLISIS DE LA FAC

11

En lo que respecta a la función de autocovarianza de este tipo de serie se tiene que:

( ) 222y0 1 εσασγ +==

( ) ( )( )[ ] 221111 εασαεεαεεγ −=−−Ε=Ε= −−−− tttttt yy

( ) ( )( )[ ] 0yy 3t2t1tt2tt2 =−−Ε=Ε= −−−− αεεαεεγ 44.

( ) 0yy 3tt3 =Ε= −γ

y así sucesivamente, por lo que podemos generalizar este resultado diciendo que:

1k 0k >∀=γ 45.

ANÁLISIS DE LA FAS

A partir de la expresión 44 podemos hallar la FAS de una serie MA(1), dividiendo los respectivos γ’s entre γo; así,

10 =ρ

20

11

1 αα

γγρ

+−== 46.

00

22 ==

γγρ

por lo que generalizando se tiene que:

1k 0k >∀=ρ 47.

ANÁLISIS DE LA FAP

Dado que el modelo de medias móviles, tal y como está planteado en la ecuación 42, sólo evidencia una relación entre yt y los errores presentes y pasados, es necesario realizar un proceso de inversión a fin de rescatar la relación entre la primera y sus propios valores pasados. De esta forma, a partir de la mencionada expresión 42 tenemos que:

1ttt y −+= αεε 48. y rezagando 48 sucesivas veces obtenemos que:

2t1t1t y −−− += αεε

3t2t2t y −−− += αεε 49.

.

12

.

.

Realizando los reemplazos de 49 en 48 resulta que:

( )[ ]3t2t1ttt yyy −−− +++= αεααε 50.

3t3

2t2

1ttt yyy −−− +++= εαααε 51.

De 51 se puede despejar yt para obtener:

t3t3

2t2

1tt yyy εεααα +−−−= −−− 52.

de lo que podríamos deducir que, si continuáramos reemplazando los rezagos de εt, yt estaría en función de su propio pasado en forma infinita, o lo que es lo mismo:

∑∞

=− +−=

1stst

st yy εα 53.

Nótese además que la ecuación 53 es la representación AR de un proceso MA. Debido a que un proceso MA es siempre estacionario, su representación AR también tiene que serlo. Para que esto último se cumpla α tiene que ser menor que 1 en valor absoluto, por lo que se dice entonces que un proceso MA será invertible (tendrá una representación AR estacionaria) si y sólo si 1<α .

Todo esto además implica que la FAP de un proceso MA(1) converge a cero, bajo diferentes formas, dependiendo del signo de α: si es positivo converge a cero, pero siempre con valores negativos; si es negativo, el primer valor de la FAP será positivo y luego alternará en signo.

MMooddeelloo ddee mmeeddiiaass mmóóvviilleess ddee oorrddeenn 22,, MMAA((22))

Este modelo tiene la siguiente especificación:

2t21t1tty −− −−= εαεαε 54.

por lo que se puede deducir que su valor esperado y varianza son iguales a:

( ) 0y t =Ε 55.

( ) ( ) 22

221

222

221

2t 1yV εεεε σαασασασ ++=++= 56.

13

ANÁLISIS DE LA FAC

Utilizando procedimientos similares a los de los modelos vistos previamente, la FAC de un MA(2) puede derivarse de la siguiente manera:

( ) 222

21

20 1 εσαασγ ++== y

( ) ( )( )[ ] ( )1yy 22

12

212

13t22t11t2t21t1t1tt1 −=+−=−−−−Ε=Ε= −−−−−− ασασαασαεαεαεεαεαεγ εεε

( ) ( )( )[ ] 224t23t12t2t21t1t2tt2 yy εσαεαεαεεαεαεγ −=−−−−Ε=Ε= −−−−−−

03 =γ 57.

.

.

. a partir de lo cual es posible generalizar que:

2k 0k >∀=γ 58.

ANÁLISIS DE LA FAS

De igual forma podemos derivar la FAS; así:

10 =ρ

( )( )2

221

21

0

11

1

1

αααα

γγρ

++−==

22

21

2

0

22

1 ααα

γγρ

++−==

00

33 ==

γγρ

y generalizando:

2k 0k >∀=ρ

ANÁLISIS DE LA FAP

La FAP de un proceso MA(2) es algo más difícil de analizar y requiere desarrollar un procedimiento de inversión similar al del MA(1). En general, se puede decir que, como en el caso de este último, esta función converge a cero bajo distintas formas, dependiendo de los signos de α1 y α2.

14

Finalmente, generalizando para procesos MA de orden q podemos decir que: • La FAC y la FAS son iguales a cero ∀ k > q. • La FAP converge a cero de distintas formas dependiendo de los signos de los respectivos α’s. De esta manera, la FAS va a ser de particular importancia en este tipo de modelos univariados, porque va a permitir identificar el orden del MA, el que coincide con el rezago a partir del cual la FAS se hace cero.

MMooddeelloo AARRMMAA

Son aquellos que incorporan una parte AR y una MA en la especificación del comportamiento de la serie.

MMooddeelloo AARRMMAA ddee oorrddeenn 11,, AARRMMAA((11,,11))

Este modelo tiene la siguiente especificación:

1tt1tt yy −− −+= αεεθ 59.

De esta forma, el proceso ARMA (1,1) será estacionario cuando 1<θ , es decir, cuando la parte AR

de la serie lo sea, mientras que será invertible toda vez que 1<α .

Si tomamos valor esperado a 59 comprobaremos que:

( ) 0y t =Ε 60.

por lo que la varianza se puede hallar de la siguiente forma:

( ) ( )11112

1222

122 222)( −−−−−− −−+++Ε=Ε= ttttttttttt yyyyyV εαεεθαεθεαεθ 61.

al tomar esperanza al término del lado derecho varios elementos se hacen cero, de tal forma que:

22222 2)()( εεε θασσασθ −++= tt yVyV

( ) ( )θαασθ ε 211)( 222 −+=−tyV 62.

( )( )2

22

1

21)(

θθαασ ε

−

−+=tyV

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ANÁLISIS DE LA FAC

Usando procedimientos similares a los de los modelos previos se tiene que:

( )( )2

22

01

21)(

θθαασ

γ ε

−−+

== tyV

( ) [ ]1t1t1tt2

1t1tt1 yyyyy −−−−− −+Ε=Ε= αεεθγ

22

201

1

))(1(εε σ

θαθθαασθγγ

−−−=−= 63.

( ) ( )2t1t2tt2t1t2tt2 yyyyyy −−−−−− −+Ε=Ε= αεεθγ

12 θγγ = Generalizando, la FAC de un proceso ARMA (1,1) tiene el siguiente comportamiento:

1k 1kk >∀= −θγγ 64.

ANÁLISIS DE LA FAS Y LA FAP

A partir de la estimación de la FAC podemos derivar la FAS del modelo:

10 =ρ

( )( )θαα

αθθαγγ

ρ21

12

0

11 −+

−−== 65.

10

1

0

22 θρ

γθγ

γγ

ρ ===

Generalizando:

1k 1k0

1k

0

kk >∀=== −

− θργ

θγγγ

ρ 66.

Las expresiones 64 y 66 nos permiten verificar que el comportamiento de la FAC y la FAS de un ARMA (1,1) es muy similar al de un AR(1): decrece a una tasa θ. Nótese, sin embargo, que ello ocurre desde el momento en que k>1, o mejor dicho, a partir del momento en que k es mayor que el orden de la parte MA; ello es así porque, como hemos visto antes, la FAC y FAS del MA se hace

16

cero para todo k mayor que su orden, por lo que en el comportamiento de estas funciones sólo prima el componente AR de la serie. Lo contrario ocurrirá en el caso del FAP: a partir del k>1 primará el comportamiento del componente MA, porque la FAP de la parte AR se hace cero. Así: FAS ARMA (1,1) ≈ FAS AR(1) para todo k>1 FAP ARMA (1,1) ≈ FAP MA(1) para todo k>1 Generalizando para los modelos ARMA de orden mayor podemos decir que, en el caso de un modelo ARMA (p,q) se tiene que: FAS ARMA (p,q) ≈ FAS AR(p) qk >∀ FAP ARMA (p,q) ≈ FAP MA(q) pk >∀

AAnnáálliissiiss ddee rreessiidduuooss eenn llaa iiddeennttiiffiiccaacciióónn ddeell mmooddeelloo uunniivvaarriiaaddoo

Si suponemos que hemos elegido correctamente el tipo de modelo que se ajusta a nuestros datos, la elección del orden del mismo pasaría entonces por la realización de pruebas de significancia basadas en las funciones de autocorrelación simple y parcial. Así, para determinar el orden de los modelos AR nos basaremos en la FAP, y para el de los modelos MA en la FAS. Si el verdadero modelo es un AR(p), la distribución de los valores estimados de la FAP es igual a: φj ∼ N(0,1/T) ∀ j > p 67. de forma tal que, si el estimado de φJ se encuentra en el intervalo ± 2/√T, para todos los valores de j mayores a p, entonces no se puede rechazar la hipótesis de que el orden del modelo es igual o menor a p De otro lado, se sabe que en un ruido blanco las estimaciones de la FAS tienen una distribución de la forma: ρj ∼ N(0,1/T) ∀ j 68. por lo tanto, si las estimaciones de ρj caen en el intervalo ± 2/√T para todo j mayor que q, entonces no podemos rechazar la hipótesis de que el modelo es un MA(q). Asimismo, si esto fuera cierto para todo j estaríamos en presencia de un ruido blanco.

17

El problema de este tipo de prueba es que se sospecha que la verdadera varianza de las estimaciones de la FAP y la FAS ha sido sobreestimada, lo que produciría intervalos de confianza muy grandes que llevarían a dejar de aceptar la presencia de una estructura autorregresiva importante. Ante este riesgo se propone utilizar intervalos más conservadores: ±1.2 ó 1.5 la desviación estándar en vez del ±2σ antes propuesto.

18

EEssttiimmaacciióónn ddee llooss mmooddeellooss uunniivvaarriiaaddooss

AARR

En el caso de un AR(1) como el de la ecuación (8), es posible estimar el θ utilizando MCO, es decir:

∑

∑−

−=2

1t

1ttMCO

y

yyθ 69.

No obstante, hay un conjunto de observaciones alrededor de este estimador:

1. “Xt”, la variable explicativa, es en realidad Yt-1, y en general, Xt+j =Yt+j-1

Por lo que al verificar la ortogonalidad entre la variable explicativa y el error, se observa que ( ) 0)(, 1 == − tttt yCovxCov εε

( ) 0)(, 211 ≠== −

−++ εσθεε jtjttjt yCovxCov

Por lo tanto, sólo hay independencia contemporánea, pero no con los valores futuros de las X’s.

2. Las variables explicativas no son exógenas, son endógenas rezagadas o predeterminadas (explicadas en un periodo previo por el modelo).

3. El estimador MCO es sesgado, es decir, ( ) θθ ≠Ε ˆ . Así:

[ ]

∑∑

−

−− +=

21t

t1t2

1t

y

yyˆ

εθθ 70.

∑

∑−

−+=2

1t

t1t

y

yˆ

εθθ 71.

( )4434421

21

1ˆ

sesgo

t

tt

y

y

Ε+=Ε

∑∑

−

− εθθ 72.

19

Dado que yt no es exógena, no hay nada que garantice que la esperanza del cociente entre corchetes sea cero, por lo que el sesgo no desaparece.

Ante esto es indispensable verificar las propiedades asintóticas del estimador, principalmente si es consistente o asintóticamente insesgado, es decir:

?ˆ θθ →pMCO

de la expresión (71) se puede concluir que:

∑∑

−

−=−2

1

1ˆt

tt

y

y εθθ 73.

dividiendo por T el numerador y denominador de la expresión de la izquierda de (73) se tiene que:

Ty

Ty

t

tt

∑

∑

−

−

=−2

1

1

ˆε

θθ 74.

de esta forma, por la ley de grandes números, el numerador tendería a cero y el denominador a σ2; consecuentemente todo el cociente tendería a cero, comprobándose la convergencia en probabilidad del θ por MCO a su verdadero valor, es decir, su consistencia. De la misma manera, se pueden verificar las propiedades de la distribución del estimador planteado, siendo el objetivo en este caso demostrar que es una normal. Para ello será necesario formar la siguiente expresión:

( )θθ −ˆT =

∑∑

−

−2

1

1

t

tt

y

yT

ε =

Ty

Ty

t

tt

∑

∑

−

−

21

1ε

75.

De esta forma, podemos utilizar el teorema de Lindberg-Feller para formar un cociente que converja a una distribución normal con media cero y varianza 1. Es decir:

)1,0(NC

Sd

t

t → 76.

Así, si definimos:

∑ −= ttt yS ε1 77.

20

)( tt SVC = = ∑ )()( tt VyV ε = 22εσσ yT = εσσ yT 78.

reemplazamos estas expresiones en (75), y tenemos en cuenta que el denominador de dicha expresión converge en probabilidad a σ2, podemos construir:

2y

t

TS

σ 79.

lo que puede rescribirse, multiplicando numerador y denominador por εσ , de forma que:

ε

εσσ

σ2y

t

T

S=

yt

t

C

S

σσ ε 80.

Con ello y recordando la expresión (76), se puede determinar que:

( )

→−

2

2

,0ˆεσ

σθθ y

dNT 81.

Obteniendo de esa forma que:

→

2

2

,ˆy

d TN

σσ

θθ ε 82.

Con lo que se demuestra la convergencia en distribución del estimador MCO del modelo AR(1) a una normal. Por lo tanto, es eficiente usar MCO para estimar modelos de series de tiempo siempre que tengamos muestras grandes.8 Este análisis puede ser extendido a modelos AR de cualquier orden.9 MMAA La estimación directa de los modelos MA involucra métodos iterativos que requieren valores iniciales predeterminados para los parámetros.

8 La regla práctica sugiere utilizar por lo menos 60 observaciones. Además siempre es mejor utilizar series de mayor cobertura que de más periodicidad, es decir, 100 años serán preferidos a 100 meses. 9 Cabe mencionar que un método alternativo de estimación de estos modelos es el de las ecuaciones de Yule-Walker. El mismo tiene propiedades asintóticas similares a MCO pero arroja estimaciones diferentes. La práctica sugiere utilizar MCO.

21

Una alternativa muy sencilla es usar la representación AR de un MA, lo que además tiene la ventaja de facilitar la interpretación de resultados (siempre es más fácil interpretar la relación entre la variable y sus valores pasados que con los respectivos errores). Sin embargo, surge el problema de que la representación AR de un MA es infinita, por lo que no podría ser estimada. Cabe recordar, no obstante, que si un MA se puede representar como un AR, o mejor dicho es invertible, deberá ser cierto que 1i <α , por lo que los rezagos más alejados tendrán cada vez menor significancia para

explicar el valor presente de la variable en cuestión. Una aproximación del punto de corte relevante nos lo da el siguiente teorema: Teorema de Said y Dickey (1984): Un proceso ARMA (p,q) se puede aproximar por un ARMA(n,0), donde n no debe ser mayor a T1/3. De esta forma, el valor T1/3 será continuamente utilizado para establecer el grado de correlación de la serie con su pasado, a fin de garantizar errores no correlacionados en la ecuación final estimada.

AARRMMAA

Para estimar un modelo de este tipo se propone un proceso de estimación en dos etapas: − Hallar la representación AR(p) que se ajusta mejor a la serie que se analiza. − Verificar que los errores de la ecuación estimada no estén correlacionados; de lo contrario

incorporar elementos MA a fin de resolver este problema. De esta manera, se privilegiarán aquellos modelos con menor cantidad de términos MA y, muy probablemente, de menor grado (más parsimoniosos, como lo explicaremos más adelante).

22

MMééttooddoo ddee sseelleecccciióónn ddee mmooddeellooss ddee BBooxx--JJeennkkiinnss

Box y Jenkins propusieron en 1976 una estrategia en tres etapas para seleccionar un modelo univariado de series de tiempo que permitiera estimar y predecir en forma adecuada. Estas etapas se detallan a continuación.

Etapa de Identificación Consiste en un análisis visual del gráfico de la serie y su correlograma. El primero permitirá ubicar uno de cualquiera de los siguientes problemas: − La presencia de “outlayers” (observaciones extremas) o “missing values” (valores perdidos), los

cuales deben ser corregidos antes de empezar el análisis.10 − La no estacionariedad en media o varianza de la serie, cuyo proceso de corrección será

presentado más adelante. − La existencia de cambios estructurales en la serie, los mismos que deben ser también eliminados

(un análisis más exhaustivo al respecto se presentará más adelante). Corregidos todos estos problemas será necesario inspeccionar el correlograma de la serie, específicamente la FAS y la FAP. La primera nos permitirá establecer los posibles términos MA presentes en el modelo, mientras que la segunda hará lo propio con los términos AR. A partir de éstos será posible construir diferentes combinaciones tentativas de dichos términos que arrojarán distintos modelos a estimar.

Etapa de estimación Los modelos que arroja la primera etapa son estimados testeando la significancia de incluir las diferentes combinaciones de términos identificados a partir del correlograma. Aquellos que pasen esta primera prueba serán sometidos al análisis de correlación de errores y al de parsimonia. •Correlación de Errores: Se espera que el error de la ecuación final sea ruido blanco, ya que de lo contrario estaría indicando un problema de variable omitida, que en este caso sería un rezago omitido. Para verificar esta condición se utiliza el estadístico Q, sea el Box-Pierce (1970) o el Ljung-Box (1978). Como es este último el que usa el Eviews en el correlograma de los errores, nos concentraremos en él. Así, siendo la hipótesis nula: Ho = un conjunto de k correlaciones es igual a cero (error no está correlacionado) el estadístico es:

( ) ( ) qpk

kj

Q −−=

Χ≈+= ∑ 2

1j

2

j-T2TT

ρ 83.

10 El primer problema puede ser corregido a través de dummies construidas apropiadamente, y el segundo por medio de la exclusión de los valores perdidos, si es que no se presentan problemas adicionales al hacerlo.

23

Para aceptar la nula Q debe ser chico (y la probabilidad asociada a aceptar la nula mayor que 5%). Se preferirá entonces el modelo con menor Q. •Parsimonia: se basa en la comprobación de Box y Jenkins que modelos con menor cantidad de parámetros a estimar, pero buen ajuste, producen mejores predicciones que los modelos sobreparametrizados. Por ello, se busca aquellos con menor cantidad de rezagos dado un nivel de ajuste aceptable. La parsimonia se evalúa a través de los criterios de información, que representa un balance entre la mejora del ajuste del modelo y la pérdida de grados de libertad que produce la incorporación de nuevos regresores. Los principales criterios de información utilizados en modelos temporales son: Akaike Information Criterion (AIC) AIC= - 2L/T + 2K/T Schwartz Bayesian Criterion (SBC) SBC= -2L/T + (K lnT)/T donde K es el número de parámetros estimados (p+q en el caso de modelos univariados), L es la función de verosimilitud que mide el ajuste del modelo y T es el número de observaciones disponibles en TODOS los modelos que se comparan. Se prefieren los modelos con AIK y SBC más bajo, ya que a medida que se incorporan regresores aumenta K pero debería reducirse L en valor absoluto; si un regresor no tiene poder explicativo ambos estadísticos aumentan con su inclusión. Nótese que el SBC castiga mucho más el número de regresores (por lo general Ln T > 2) razón por la cual, de haber contradicción entre ellos, se preferirá éste último.

Etapa de Diagnóstico Someter el modelo elegido a todas las pruebas tradicionales; especialmente verificar si

todavía se observa autocorrelación de errores o si estos han sido adecuadamente limpiados.

Econometría de Series de Tiempo1 Econometría II Prof. Arlette Beltran B.

1.3. Series de tiempo no estacionarias

11..33..11.. NNoo eessttaacciioonnaarriieeddaadd ddee llaa vvaarriiaannzzaa

Supongamos que tenemos la serie:

tt εµ +=ty 1.

donde µt es la parte determinística y εt la aleatoria. Asumamos además que el error de la ecuación depende de una variable cualquiera xt, de forma tal que:

ttt xv=ε 2.

siendo vt un ruido blanco con media 0 y varianza σ2, por lo que:

22)()( ttt xVyV σε == 3.

es decir, la varianza del error no es constante. Hay que considerar entonces dos situaciones:

aa)) SSii llaa XX eess ccoonnoocciiddaa yy σσ22 eess ccoonnssttaannttee:: Sería el caso, por ejemplo, de que la variable x sea una función de µ:

( )tt hx µ= 4.

por lo que:

( ) ( ) 2t

2t hyV σµ= 5.

Sabiendo ello, se puede transformar la data a fin de estabilizar la varianza (que no dependa de t). Así, se plantea una transformación de yt, g(yt), vía una transformación de Taylor alrededor de µ:

( ) ( ) ty'-y)g()(t

tttt

=+≈ g

yyg

tµ

µµ 6.

1 Realizado con la colaboración de Cecilia Sánchez.

[ ] ( )

( ) ( ) 2t

2

2

t

t

2

t

t

hty'

)(Vty')g(yV

σµµ

µ

=

=

g

yg

7.

Entonces, para estabilizar la varianza la transformación a aplicar debería ser:

( ) ( )tt

h

1ty'

µµ=

g 8.

de forma tal que la varianza de la serie transformada sea igual a σ2. Por ejemplo, si yt tiene una desviación estándar proporcional a su nivel, es decir, h(µt)=µt, entonces:

( ) 1

yt

t'

µ=g 9.

por lo que:

( ) )(yg tt µLn= 10.

es decir, se tiene una transformación logarítmica de la serie a través de la cual se garantizaría la estabilidad de su varianza. Cabe notar que esta es la transformación más utilizada para realizar la corrección de no estacionariedad en varianza.

bb)) SSii uunnaa ddee llaass ddooss ccoonnddiicciioonneess nnoo ssee ccuummpplleenn:: llooss mmooddeellooss AARRCCHH Si la transformación logarítmica no corrige la no estacionariedad en varianza, y no se tiene claridad de cuál podría ser la transformación apropiada, se opta por modelar la volatilidad de la serie a través de los procesos ARCH: el modelo de heterocedasticidad condicional2 autorregresiva cuyo principal objetivo es modelar y predecir la volatilidad de una serie.

2 ¿Por qué hablamos de una varianza condicional?. Porque es más pequeña que la no condicional (esta última se considera además como la predicción de largo plazo de la varianza). Veámoslo en el caso de un AR(1). Como vimos antes, para ese modelo:

( ) 0y t =Ε ( )2

2

t1

yVθ

σ ε

−=

Si en cambio queremos hallar estos estadísticos condicionados a la información pasada tendríamos:

( ) 1-ttt yy θ=Ε ( ) ( )21-tttt yyyV θ−Ε= 2

εσ=

Supongamos entonces que podemos modelar la varianza condicional (no constante) como un AR(q), es decir:

t2

q-tq2

2-t22

1-t102t υεαεαεααε +++++= K 11.

donde vt es un ruido blanco. Tomando esperanza condicional de la ecuación anterior se obtiene que:

( ) 2

q-tq2

2-t22

1-t102tt εαεαεααε ++++=Ε K 12.

es decir:

2q-tq

22-t2

21-t10

2 εαεαεαασ ++++= Kt 13.

que no es otra cosa que el modelo ARCH (q) (Engle, 1982) 3. Este tipo de modelos son de especial importancia cuando se quiere estimar y predecir las fluctuaciones de variables de interés, como podrían ser los precios de las acciones y otra información financiera. Asimismo, el mejorar la estimación de la varianza hace posible la determinación de intervalos de confianza de mayor precisión y eleva la calidad de la estimación de los parámetros del modelo original. Finalmente, la varianza estimada puede ser utilizada como variable explicativa en algún modelo económico en el que se quiera relacionar el comportamiento de una variable con la volatilidad de otra. Cabe mencionar que, la especificación lineal no es la más conveniente ya que el modelo para yt y su varianza condicional son estimados mejor simultáneamente usando MV. Por ello, Engle propone trabajar con una especificación multiplicativa, cuyo ejemplo más simple es:

2110 −+= ttt v εααε 14.

donde vt es un ruido blanco con media 0 y varianza 1, εt-1 es independiente y α0 y α1 son constantes tal que α0>0 y 0<α1<1. Esta especificación se traduce en una varianza condicional dependiente del primer rezago de la misma, o ARCH (1), de la forma: E t t t o t( / , ,... )ε ε ε α α ε2

1 2 1 12

− − −= + 15. Existe una vinculación importante entre θ1 y α1. Así, un shock importante en vt se asociará con una varianza igualmente considerable en εt la que será más persistente a medida que α1 sea mayor. De otro lado, a mayor sea θ1 la persistencia de cada cambio en yt también

y dado que 1<θ , podemos deducir que Vt(yt)<V(yt).

3 Engle, R. “Autoregressive Conditional Heterocedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation”. Econometrica 50 (julio 1982), 987-1007.

será mayor y por lo tanto más fuerte la tendencia de yt de permanecer fuera de su media, lo que se traducirá en una mayor varianza de esta variable. Cabe mencionar que es posible generalizar la especificación del proceso a través de un ARCH de orden mayor, de tal manera que:

ε α α εt t o i t i

q

vi

= +=

−∑ 2

1 16.

el que da origen a un ARCH de orden q.

cc)) EEll mmooddeelloo GGAARRCCHH Bollerslev (1986) extendió el modelo anterior al especificar la varianza condicional como un proceso ARMA, dando origen a un modelo GARCH (p,q) de la forma4:

ε t t tv h= 17.

donde:

∑ ∑++== =

−−q

i

p

iitiitiot hh

1 1

2 βεαα 18.

en el que se incorpora una estructura dinámica más compleja en la ecuación de la varianza, con componentes autorregresivos y de medias móviles. Se puede observar que en este caso que:

∑ ∑++=== =

−−−−q

i

p

iitiitiotttt hhE

1 1

221

2 ,...),/( βεααεεε 19.

donde los α’s y β’s son menores que 1, para que el modelo no sea explosivo. Así, como se ve en (18), la varianza condicional depende de una constante, de la volatilidad pasada y de la estimación de la varianza condicional en el pasado. Hay que considerar que un modelo ARCH de orden alto puede tener una representación GARCH más parsimoniosa, que es más sencilla de identificar y estimar. Es por esta razón que los modelos GARCH suelen ser más beneficiosos.

Por ejemplo, aplicando (18) para un GARCH(1,1), se puede escribir:

2

1-t2

1-t02t βσαεασ ++= 20.

Luego, es posible hallar la representación ARCH( ∞ ) de (19) sustituyendo recursivamente el rezago de la varianza:

4 Bollerslev, Tim. “Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity” Journal of Econometrics 31 (1986), 307-27.

∑∞

=

+−

=1j

21-t

1-j02t 1

εβαβ

ασ 21.

Nótese que la expresión (21) es similar al estimador de la varianza muestral pero con pesos menores para rezagos más distantes de εt.

dd)) EEssppeecciiffiiccaacciióónn ddeell mmooddeelloo AARRCCHH Para especificar un modelo ARCH es posible llevar a cabo las siguientes etapas:

1. Especificar correctamente la media de la serie, a través del método de selección

Box & Jenkins; estimar el modelo y recoger los residuos. 2. Analizar los residuos al cuadrado de la estimación de 1., a través de dos

procedimientos: • Observar el correlograma de los residuos al cuadrado, para determinar qué

componentes ARCH (GARCH) son significativos. • Llevar a cabo el ARCH-LM test, cuya hipótesis nula es que no hay términos

ARCH (GARCH), es decir, dado:

( )sf ';,,ˆ 22-t

21-t

2t αεεε K=

testear:

Ho: 0' =sα (no hay términos ARCH-GARCH)

Para ello se utiliza el estadístico 2

q2 TR χ≈

3. Con el modelo GARCH(p,q) elegido probar de nuevo 2 a fin de verificar que toda la

regresividad de la varianza haya sido bien recogida.

ee)) MMooddeellooss AARRCCHH--MM ((EEnnggeell,, LLiilluueenn,, RRoobbiinnss 11998877))

Este modelo permite que la media de una serie dependa, entre otras variables, de su propia varianza condicional (o su desviación estándar). Es decir:

tt2tt xy εβλσ ++= 22.

El objetivo del modelo es determinar la relación existente entre la media y la varianza de la serie. De esta manera, por lo general, este tipo de modelos se utilizan para estudiar mercados de acciones, y establecer el trade-off que existe entre el riesgo (su volatilidad) y el rendimiento (su valor medio) de una acción.

ff)) MMooddeellooss AAssiimmééttrriiccooss

Estos modelos intentan medir el efecto leverage que caracteriza el mercado de valores: las variables son más volátiles ante shocks negativos que ante shocks positivos. Las dos especificaciones más utilizadas son las siguientes:

f.i) TARCH (ZAKAIAN, GLOSTEN, JAGANATHAN Y RUNKLE, 1993) Este modelo consiste en una especificación cuadrática de la asimetría de la forma:

21-t1-t

21-t

21-t10

2t d βσγεεαασ +++= 23.

donde: 0 si 1d 1-t1-t <= ε

d.o.m 0d 1-t = .

Nótese que “las buenas noticias” tienen un impacto α1, mientras que “las malas” tienen uno α1+γ. Por tanto si 0>γ se confirma el efecto leverage; si 0<γ no hay leverage sino sólo asimetría.

f.ii) EGARCH (NELSON, 1991 Es una especificación logarítmica de la asimetría, de la forma:

( ) ( )1-t

1-t

1-t

1-t21-t0

2t loglog

σε

γσε

ασβασ +++= 24.

por lo que el efecto asimétrico sería exponencial antes que cuadrático. El efecto leverage se produce siempre que γ<0.

11..33..22.. NNoo eessttaacciioonnaarriieeddaadd eenn mmeeddiiaa

La no estacionariedad en media puede ocurrir, básicamente, en dos circunstancias:

• Cuando la media se comporta como un polinomio de orden d en el tiempo, de forma tal que:

a(L)+t=y

+u=y

tj

j

d

0=jt

ttt

ϕβ

ε

∑ 25.

es decir, se observa una tendencia determinística en la serie5. Esta tendencia puede ser removida diferenciando la serie tantas veces como sea el orden del polinomio temporal. Por ejemplo, en el caso de que d=1, es decir:

5 Siempre que los βj sean constantes a lo largo del tiempo.

t y 10t t∈++= ββ 26.

se ve que E(yt)= βo+β1t, por lo que crece con el tiempo, es decir, no es estacionario en media. Como se dijo, la solución pasa por diferenciar una vez la serie:

( )

1-tt 1 1-t t

1-t1 10

1-t 101-t

y-y

-t

1-t y

∈−∈+=∈++=

∈++=

ββββ

ββ 27.

de forma tal que:

1-tt 1 t w ∈−∈+= β 28.

siendo (28) un modelo ARMA estacionario –ya que E(wt)= β1- pero no invertible. • Cuando se tenga un proceso autorregresivo que no cumpla con las condiciones de

estacionariedad. En este caso la estacionariedad está asociada al polinomio en el operador de rezago que se puede construir a partir del AR de orden p:

t 1 t -1 2 t -2 p t - p ty = y + y +...+ y +θ θ θ ε 29. el que se puede expresar en función del operador de rezago:

t 1 t 22

t pp

t t

1 22

pp

t t

t t

y = Ly + L y +...+ L y +

(1- L - L -...- L ) y =

(L) y =

θ θ θ εθ θ θ ε

θ ε 30. Así, la ecuación característica que resuelve la ecuación diferencial (22) sería: θ(L)= 0 31. Si las soluciones de (31) son mayores que 1 la serie será estacionaria, de lo contrario deberá ser diferenciada tantas veces como raíces unitarias tenga. Esta serie diferenciada, ya estacionaria, se conoce como integrada de orden d, I(d), donde d indica el número de raíces unitarias o diferenciaciones necesarias antes de obtener una serie estacionaria. De esta forma, se conocerá como una serie ARIMA(p,d,q) a aquella que tiene que ser diferenciada d veces antes de poder ser modelada como una serie ARMA(p,q). El ejemplo más simple de una serie con raíz unitaria es el camino aleatorio o random walk en donde el proceso AR de orden 1 de la forma:

t t - ty = y +θ ε−1 32.

tiene el coeficiente θ igual a 1; este modelo puede incluir constante caso en el cual toma el nombre de random walk with drift:

t o t ty = + y +θ ε−1 33.

Resolviendo las ecuaciones diferenciales (24) y (25)6 se obtienen los siguientes procesos:

εθθ i-ti

N+t

0=i

N+tN-t + y=y ∑ 34.

en el caso del random walk, y:

εθθ i-ti

N+t

0=ioN-t +N)+(t y=y ∑+ 35.

en el de un random walk with drift. A partir de la ecuación (34) se puede determinar que la esperanza condicional de yt en to es igual a y-Nθt+N, que además de ser una función creciente en el tiempo cambia estocásticamente con él: de acuerdo a cuándo se tome la esperanza condicional aparecerán términos de error que indicarán la presencia de una tendencia estocástica7. La esperanza condicional de un random walk with drift que se deriva de la ecuación (35), en to, es y-N +(t+N)θ, la que no sólo implica una media creciente en el tiempo sino además una tendencia determinística si tenemos en cuenta que:

oN-ooot N+y= donde t,+=)yE( θβθβ 36.

aa)) LLooss tteesstt ppaarraa ddeetteeccttaarr llaa eexxiisstteenncciiaa ddee rraaiizz uunniittaarriiaa El uso de los test estadísticos tradicionales para medir la significancia de la capacidad explicativa de una variable en una ecuación o modelo econométrico pierden validez cuando trabajamos con series no estacionarias. Supóngase el caso de una serie I(1) de la forma de la ecuación (32), donde por definición θ=1. Si diferenciamos la serie de forma tal que obtenemos: ∆ t t-1 t

t-1 t

y = ( - 1) y +

y +

θ εδ ε=

37.

fácilmente podríamos utilizar el t estadístico para verificar la Ho: δ =0, que equivale a testear la Ho: θ=1. Sin embargo, hay dos problemas que surgen al usar este método de contrastación.8 En primer lugar, bajo la hipótesis nula de que existe raíz unitaria el t

6 Se supone que el proceso se inicia en to = -N. Ver Mills (1990), Capítulo 6. 7 Recuérdese que:

k<j si=

k>j si0=][E

j

jk

ε

ε

8 Ver Kennedy (1993).

estadístico no tiene una distribución t student. Por otro lado, los valores críticos dependerán del tipo de proceso I(1) del que se trate, ya sea que incluya o no un drift, una tendencia o ambas cosas. Estos valores fueron calculados por Dickey y Fuller (DF) para las diferentes especificaciones mencionadas y se conocen como la distribución DF9 (el estadístico τ10) recibiendo el test de verificación de raíz unitaria el mismo nombre. Dicha distribución fue estimada sobre la base de dos supuestos: i) que el proceso bajo el que se contrasta la existencia de una raíz unitaria es AR(1) y ii) que no existe autocorrelación en los errores del modelo. Así, con el propósito de garantizar el cumplimiento de estas condiciones y, específicamente, de la ii), se utiliza una versión ampliada del test de DF, en la que se incorporan rezagos de la serie en diferencias, de tal forma que recojan la posible autocorrelación de los errores y garanticen que éstos sean ruido blanco. Este modelo es conocido como el Dickey-Fuller aumentado (ADF), y en él se testea la Ho: δ1=0 en el siguiente modelo ampliado para un AR(p):

∆ ∆t t -1 j t j t

j

p

y = + y + yδ δ γ ε0 1

1

1

−=

−

+∑ 38.

Cabe mencionar que MacKinnon (1990)11 presentó un conjunto mayor de réplicas de los diversos modelos que aquéllas que sustentaron las tablas DF, a partir de las cuales ha sido posible calcular el valor crítico DF para cualquier tamaño muestral y/o especificación que se quiera constrastar (con constante y/o tendencia o ninguna).

bb)) EEssttaacciioonnaarriioo eenn tteennddeenncciiaa vveerrssuuss eessttaacciioonnaarriioo eenn ddiiffeerreenncciiaass Perron (1988) ha demostrado que el estadístico τ que corresponde a la especificación (38) (conocido como τµ ya que el modelo incluye constante) no es capaz de contrastar un proceso estacionario alrededor de una tendencia lineal (ecuación 25) de un proceso con una raíz unitaria y constante (ecuación 33). El rechazo de la existencia de una raíz unitaria es improbable si la serie es estacionaria alrededor de una tendencia lineal y sería imposible a medida que aumenta el tamaño de la muestra. Por ello la inclusión de una constante y/o tendencia en la estimación del test puede alterar sustancialmente la conclusión obtenida, más aún si se tiene en cuenta que el DF tiene, en general, bajo poder para rechazar la hipótesis nula. Por tanto, la elección de la especificación del modelo sobre la cual se determinará el test debe realizarse en forma cuidadosa.

9 Fuller (1976). Introduction to Statistical Time Series. Wiley. Dickey (1976). Estimation and Hypothesis Testing in Nonstationary Time Series, PhD dissertation, Iowa State University. 10 El τ tiene la misma forma que el tradicional estadístico t, es decir,

$$

$τ δ

σ δ

=

11 MacKinnon (1990). Critical Values for Cointegration Test. Working Paper. U.California, enero 1990.

Una prueba para diferenciar (25) de (33) se puede llevar a cabo si utilizamos una extensión de la metodología de contraste discutida. Así, el estadístico τ que corresponde a la regresión:

∆ ∆y y t yt t j t j t

j

p

= + +− −=

−

∑ + +δ δ ∂ γ ε0 1 1 2

1

1

39.

conocido como τt -ya que la especificación del modelo incluye una tendencia- es la prueba apropiada para testear que δ1=0 (o que θ=1) y puede ser comparada con las tablas del estadístico DF. Sin embargo, la presencia de una tendencia determinística t como regresor adicional altera la distribución del estadístico y, por ende, los valores críticos12.

Para manejar estas complicaciones, Dolado, Jenkinson y Soslavilla-Rivero (1990) proponen la siguiente estrategia para contrastar raíces unitarias en la presencia de posibles tendencias: 1) Estimar el modelo:

∆ ∆y y t yt t j t j t

j

p

= + +− −=

−

∑ + +δ ∂ ∂ γ ε0 1 1 2

1

1

40.

• testear la Ho: δ1=0. Si se rechaza Ho, se concluye que no hay raíz unitaria13. Si se acepta Ho es necesario testear la significancia de la tendencia (t). Para ello:

• testear la Ho: δ2=0 dado δ1=014.

Si se rechaza Ho, retestear la Ho: δ1=0, utilizando la distribución t; el rechazo de esta hipótesis nos lleva a concluir que no existe raíz unitaria y su aceptación a confirmar su presencia. Si se acepta la Ho se deberá estimar un nuevo modelo.

2) Estimar el modelo:

∆ ∆y y yt t j t j t

j

p

= +− −=

−

∑ + +δ ∂ γ ε0 1 1

1

1

41.

• testear la Ho: δ1=0. Si se rechaza Ho, se concluye que no hay raíz unitaria. Si se acepta Ho es necesario testear la significancia de la constante (δo). Para ello:

• testear la Ho: δo=0 dado δ1=0 Si se rechaza Ho, retestear la Ho: δ1=0, utilizando la distribución t; el rechazo de esta hipótesis nos lleva a concluir que no existe raíz unitaria y su aceptación a confirmar su presencia. Si se acepta la Ho se deberá estimar un nuevo modelo.

12 Por ejemplo, en grandes muestras, el valor crítico al 0,05 es τt=-3,41 en contraste con el valor de τµ de -2,86. 13 Recuerde que el test tiene baja potencia para rechazar la nula. 14 Para llevar a cabo este tipo de prueba están disponibles tablas DF para la contrastación de diferentes hipótesis nulas, incluso las condicionales; ver por ejemplo Novales (1993).

3) Estimar el modelo:

∆ ∆y y yt t j t j t

j

p

= +− −=

−

∑ +∂ γ ε1 1

1

1

42.

• testear la Ho: δ1=0.

Si se rechaza Ho, se concluye que no hay raíz unitaria. Si se acepta Ho se confirma la presencia de raiz unitaria.

El poder de las pruebas de raíz unitaria depende muy poco del número de observaciones per se y fundamentalmente de la cobertura de los datos. Para un número dado de observaciones, el poder es mayor a medida que esta última también lo es. Por el contrario, para un período de cobertura determinado, observaciones obtenidas utilizando los datos muestrales de mayor frecuencia (por ejemplo mensuales en vez de trimestrales) conduce sólo a un incremento marginal en el poder de la prueba (Shiller y Perron, 1985; Perron, 1991). En este sentido, un conjunto de datos con observaciones anuales en un período de tiempo largo conducirá a pruebas de raíz unitaria de mayor poder que aquéllas calculadas a partir de datos que contienen más observaciones pero referidos a períodos trimestrales o mensuales15.

cc)) CCoonnttrraassttaannddoo llaa pprreesseenncciiaa ddee mmááss ddee uunnaa rraaíízz uunniittaarriiaa En general, si se comprueba la existencia de una raíz unitaria en una serie de tiempo cualquiera, es necesario contrastar la hipótesis de la presencia de una segunda raíz unitaria (es decir, que la mencionada serie sea I(2)). El procedimiento estándar para evaluar esta segunda raíz se ha basado, tradicionalmente, en contrastar si las diferencias de yt (∆yt) la contienen o no. Dicho procedimiento no es justificado teóricamente, dado que las pruebas del tipo Dickey-Fuller son basadas en el supuesto de un número no mayor a una raíz unitaria. Si el número verdadero de raíces es mayor que uno, el tamaño empírico de la prueba es mayor que su tamaño nominal, por lo que la probabilidad de encontrar raíces unitarias es reducido. Dickey y Pantula (1987) proponen una secuencia de pruebas que tienen justificación teórica cuando asumimos que yt contiene más de una raíz unitaria. Por ejemplo, supongamos que yt contiene un máximo de dos raíces unitarias. Para contrastar la hipótesis nula de dos raíces unitarias contra la alternativa de una, comparamos el coeficiente τ de δ2 en la regresión: ∆ ∆2

0 2 1y yt t t= + +−δ δ ε 43. con las tablas τµ. Si la nula es rechazada, entonces se debería evaluar la hipótesis de que sólo existe una raíz unitaria contra la alternativa de que no se presenta ninguna, comparando el coeficiente τ de δ1 en la regresión:

15 Este aspecto es de vital importancia cuando se analizan series de tiempo financieras, que a menudo tienen un gran número de observaciones, obtenidas de muestras en intervalos muy finos sobre un corto período de tiempo. En tales circunstancias, sería difícil rechazar la hipótesis nula de raíz unitaria aún si esta es falsa, particularmente cuando la alternativa es una raíz que está cerca a la unidad. Pruebas de Montecarlo brindan evidencia en apoyo de este argumento (De Jong et al., 1992a, 1992b).

∆ ∆20 1 1 2 1y y yt t t t= + + +− −δ δ δ ε 44.

con la distribución τµ. Esta prueba puede además ser aumentada (incorporando más rezagos de la dependiente) para evitar el problema de errores correlacionados.

dd)) EEll tteesstt ddee PPhhiilllliippss--PPeerrrroonn ((11998888)) Phillips y Perron desarrollaron una generalización del procedimiento de Dickey-Fuller que permite supuestos menos restrictivos respecto de los errores: pueden ser dependientes y heterogéneamente distribuidos. La regresión utilizada para realizar el test es el modelo AR(1) antes visto, pero mientras que el ADF corrige la autocorrelación de orden mayor a través de la incorporación de rezagos a la derecha de la ecuación, el test PP corrige no paramétricamente el t del coeficiente θ del AR(1). El estadístico PP es el siguiente:

σωγω

ωγ θθ

ˆ2

)( 022/1

0 TsttPP

−−=

donde: tθ y sθ son el estadístico t y la desviación estándar del θ estimado, σ es la desviación estándar del error de la regresión,

∑

+

−+==

q

jjq

j

10

2

112 γγω , la corrección de Newey-West para heterocedasticidad y

autocorrelación, donde q es el rezago de truncamiento16; y

∑=+=

−T

jtjttj T 1

ˆˆ1 εεγ .

La distribución asintótica del test PP es la misma que la del ADF, por lo que se utilizan los mismos críticos. Igualmente hay que especificar si se incluyen constante, constante y tendencia o ninguna.

11..33..33.. RRaaíízz uunniittaarriiaa yy ccaammbbiioo eessttrruuccttuurraall

El análisis econométrico de las series de tiempo se vio revolucionado a principios de la década de los ochenta por el boom de la raíz unitaria: en un trabajo presentado por Nelson y Plosser en 1982, los autores encontraron que la mayoría de las series macroeconómicas norteamericanas presentaban una no estacionariedad en media vinculada con la presencia de una raíz unitaria. El significado económico de este hallazgo era, sin lugar a dudas, de gran importancia ya que ponía en tela de juicio la teoría de los ciclos económicos, bajo la

16 Es el número de períodos de correlación serial que se asume para correr el test. En el caso del Eviews se propone usar el q del procedimiento Newey-West, que es igual al entero mayor que no exceda (4(T/100)2/9).

cual las fluctuaciones económicas ocurrían alrededor de una tendencia más o menos estable. La presencia de una raíz unitaria en una variable macroeconómica significaba entonces que los shocks aleatorios tenían más bien un carácter permanente.

La sospecha respecto a la debilidad de esta aparente verdad absoluta llevó a una serie de autores a analizar la validez de los test de raíz unitaria frente a diversas particularidades de la serie que se analiza. La más importante es la presencia de uno o más cambios estructurales a lo largo del tiempo. Veamos brevemente los efectos de dichos cambios sobre los test de raíz unitaria, basados en los trabajos de Perron17.

Perron (1993) analiza los resultados de un test de DFA aplicado a dos series de tiempo con los siguientes procesos estocásticos discretos:

t 2 t ty = DL +µ ε 45.

en el caso de un cambio en la media, y,

t 1 2 1 t ty = t + ( - ) DT +β β β ε 46.

si se produce un cambio en la pendiente. En ambas ecuaciones DLt=1 y DTt= t-Tb si t >Tb, mientras que DLt = DTt =0 si t ≤Tb siendo Tb el momento en el que se produce el cambio estructural y t el momento actual. Se asume que εt ~ N(0,1), que Tb=50 y que el número total de observaciones, T, es igual a 100.

De esta forma Perron estudia el comportamiento del t estadístico aplicado a la Ho: δ1=0 en la ecuación (38) para un AR(1), AR(3) y AR(6) usando 5000 réplicas generadas por (45) y (46). Los resultados obtenidos indican que, para ambos PED, el test DFA pierde validez en presencia de cambio estructural, en media o pendiente: la función de densidad acumulada del estadístico t estimado para la Ho: δ1=0 se desplaza a la derecha en la medida que los cambios aumentan, lo que implica valores cada vez más pequeños que hacen perder relevancia a la zona de rechazo que indican las tablas DF.

Por ello, Perron concluye que el no rechazo de la hipótesis nula de la presencia de una raíz unitaria es consistente con la posibilidad de que el proceso esté caracterizado por fluctuaciones estacionarias alrededor de una tendencia pero con un cambio estructural en media y/o pendiente.

Para corregir estas debilidades del test de DF, Perron propone aplicar el test sobre la serie corregida, en la que se modelen los cambios estructurales en media y/o pendiente con las variables dummies necesarias. Para ello se requerirá identificar previamente el tipo de cambio estructural que se produce y el momento del mismo, así como el grado del proceso autorregresivo sobre el que se trabaja. Específicamente en lo que se refiere al momento del cambio, se presentan dos metodologías de trabajo diferentes de acuerdo a si éste es determinado exógenamente (a través de la observación de la data o por un conocimiento a priori del investigador), o endógenamente, es decir, de acuerdo al comportamiento mismo de la serie.

17 Ver Perron 1989, 1990a, 1990b, 1993, 1994.

aa)) CCuuaannddoo TTbb eess eexxóóggeennoo

En la práctica, es recomendable modelar primero el cambio estructural en la serie original y trabajar luego con la serie “limpia” de este problema a fin de determinar la presencia de una raíz unitaria. En el caso de una serie con cambios instantáneos (aditivos), se especifica cualquiera de los tres modelos siguientes de acuerdo con el tipo de cambio estructural observado, es decir:

t t t tcy = + t + DL + yµ β γ 47.

en el caso de un cambio estructural en media,

t t t tcy = + t + DT + yµ β ∂ 48.

si el cambio estructural es en pendiente, y

t t t t tcy = + t + DL DT yµ β γ ∂+ + 49.

cuando el cambio estructural se produce tanto en media como en pendiente. El error de estas ecuaciones, denominado yc

t , se convierte así en la nueva variable corregida a la que

se le aplicará el test de raíz unitaria para Ho: δ1=0, en:

ε tj-tj

p

j1-tot +y+y+=y ˆˆˆ

1

11 ∆∂∑∂∂∆

−

= 50.

Para ello se utilizarán los valores críticos estimados por Perron (1989)18. En el caso de cambios estructurales graduales (innovativos), lo que se modifica es la especificación de las variables dummies; la forma más sencilla es incluirlas con rezagos de acuerdo a la gradualidad esperada del cambio estructural.

bb)) CCuuaannddoo TTbb eess eennddóóggeennoo

Christiano (1992) y Zivot y Andrews (1992) demuestran que si Tb es elegido endógenamente, los valores críticos estimados por Perron (1989) llevan a rechazar la existencia de una raíz unitaria cuando ésta efectivamente está presente. Por ello plantean, alternativamente, llevar a cabo test t secuenciales, utilizando el siguiente procedimiento:

• Calcular el τ en presencia de quiebre para todos los Tb que permita la muestra19, y

todos los posibles tipos de quiebre. Por ejemplo, en el caso de un quiebre en media y pendiente estimar:

∑ +∆+++∆=

−−p

jtjtjtotttt yyDTDL+t+=y

11 εϕϕ∂γβµ 51.

18 En las tablas correspondientes, para escoger el crítico adecuado, no sólo es importante el nivel de significancia deseado, sino también la posición del cambio estructural, que se recoge a través de la variable λ=Tb/T, de la cual se hace depender también los críticos mencionados. 19 Se deberá eliminar un porcentaje de observaciones de los extremos a fin de evitar el problema de matriz singular.

y calcular τ que permite testear la Ho: ϕo=0

• Escoger el τ más alto en valor absoluto, es decir, el menos favorable a la aceptación de la H0, y compararlo con los críticos reportados en Zivot y Andrews (1992). Si éste es mayor que el crítico en valor absoluto, entonces se rechaza la nula y no hay raíz unitaria.

• Si no hay raíz unitaria, identificar el mejor modelo de cambio estructural, usando el test F secuencial, que consiste en correr todos los posibles modelos de cambio estructural, en cuanto a tipo y posibles Tb, y quedarse con aquel que reporta mayor F, o menor probabilidad asociada. En caso de que hubiera raíz, bastará con diferenciar la serie.

11..33..44.. FFiillttrrooss aalltteerrnnaattiivvooss ppaarraa ccaappttuurraarr eell ccoommppoonneennttee eessttaacciioonnaarriioo oo ccíícclliiccoo ddee

uunnaa sseerriiee ddee ttiieemmppoo

Existen diversos filtros alternativos al método tradicional de tomar las primeras diferencias de una serie para eliminar su componente tendencial. Uno de los más utilizados en la literatura de ciclos económicos es el filtro de Hodrick y Prescott (HPF, 1984)20. Este filtro parte de la premisa de que una serie de tiempo yt se caracteriza por tener un componente cíclico, yt

c y un componente tendencial yt

g. Asimismo, se define un parámetro λ que refleja la varianza relativa de yt

g respecto a ytc. Dado λ, el HPF consiste en elegir el yt

g que minimiza la función de pérdida:

[ ]( ) ( ) ( )y y y y ytc

t

Tg

tg

tg

tg

t

T

t

=−

=∑ ∑+ − − −+

1

21

2

1

1λ 52.

El objetivo de esta optimización es mediatizar la importancia de ytg dentro de la serie de

forma tal de resaltar su componente cíclico. Nótese que ello dependerá del valor que se fije para λ, la cual es una constante arbitraria que refleja el “costo” de incorporar fluctuaciones dentro de la tendencia. Si λ=0 la resolución del problema minimizará el componente cíclico de la serie, haciendo que prime el componente tendencial de la misma. Cuando λ tienda a infinito el problema de minimización tendrá solución sólo si el término que lo acompaña -la segunda diferencia de yt

g- es cero, lo que llevaría a tener una tendencia lineal. Es decir, valores más elevados de λ tienden a suavizar la tendencia hasta convertirlos en una lineal.

El HPF tiene el efecto de suprimir las fluctuaciones de muy baja frecuencia y enfatizar aquéllas de frecuencia usual21. Por su parte diferenciar la serie suprime sólo las fluctuaciones de menor frecuencia y enfatiza los movimientos de muy alta frecuencia dentro de la serie; de esta forma, diferenciar genera un yt

c con mayores fluctuaciones que aquél que se obtiene con el HPF, no permitiendo obtener el verdadero ciclo económico de la serie.

20 Hodrick y Prescott (1980). Postwar U.S Business Cycles. Carnegie Mellon University Working Paper. 21 Según Burns y Mitchell (1946) la frecuencia usual de un ciclo económico es entre 3 y 5 años. Ver Burns y Mitchell (1946). Measuring Business Cycles. New York: National Bureau of Economic Research.

Baxter y King (1995) plantean un filtro de medias móviles que permite capturar el componente cíclico de una serie22. Se trata de un filtro lineal que elimina los componentes de muy baja frecuencia y los de muy alta frecuencia, dejando tan solo aquéllos de frecuencia intermedia (ciclo económico).

Este filtro consiste en transformar la serie original a través de un promedio móvil simple de la forma:

∑=−=

K

Kkt

kk

ct yLay 53.

donde:

12

110 +

−=K

a 12

1

+== − K

aa KK 54.

Kk ,...,3,2,1=∀ y,

akk K

K

== −∑ 0 55.

22 Ver Baxter y King (1995). Measuring Business Cycles Approximate Band-Pass Filters for Economic Time Series. NBER Working Paper #5022.

2. Análisis Multivariado

2.1. La metodología de vectores autorregresivos (VAR)

La metodología VAR es, en cierta forma, una respuesta a la imposición de restricciones a priori que caracteriza a los modelos econométricos keynesianos: en un sistema de ecuaciones simultáneas se requiere imponer restricciones sobre los parámetros de las mismas para garantizar la identificación, y posible estimación, de las ecuaciones que lo conforman. Para ello, además, es indispensable diferenciar entre las variables endógenas y las predeterminadas, es decir, aquéllas cuyos valores no son determinados por el modelo en el período actual. Estas últimas pueden ser exógenas o endógenas rezagadas. El VAR presenta alternativamente, un sistema de ecuaciones simultáneas en el que cada una de las variables son explicadas por sus propios rezagos y los del resto de variables del sistema. Es decir, no se admiten restricciones a priori y todas las variables son consideradas endógenas. La única información a priori que se incluye está referida al número de rezagos de las variables explicativas, que se incorporan en cada ecuación a partir del análisis de la data. No obstante, en términos operativos, una correcta especificación del sistema requiere que la determinación de las variables a ser incluidas en él se base en el conocimiento de un modelo teórico relevante. Un VAR tiene, en general, la siguiente especificación:

t

p

iitit yy µ+∑ Π=

=−

1 1.

donde yt é yt-i son vectores de orden m (m es el número de variables del sistema) y Πi es la matriz (cuadrada de orden m) de coeficientes del rezago i de las variables explicativas de las m ecuaciones. De esta forma, se puede observar que deberán estimarse tantas matrices Πi como rezagos se incluyan en el sistema. Matricialmente, y utilizando una especificación de operadores de rezago:

y

y

y

a a a

a a

a a

y

y

y

t

t

mt

L L m L

L m L

m L mm L

t

t

mt

t

t

mt

1

2

11 12 1

21 2

1

1

2

1

2

M

L

O

M M

L

M M

=

+

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

µµ

µ

2.

En este sistema :

[ ]E jµ µt t - j' = ∀ ≠0 0 3.

[ ]E µ µt t' = ∑ 4.

es decir, no se tiene autocorrelación entre los errores de una misma ecuación pero se observa correlación contemporánea entre los errores de las diferentes ecuaciones. Veamos, por ejemplo, el caso de un VAR(1) con dos variables, de la forma:

yt1-t121-t11t1210t zyzy εββγβ +++−=

zt1-t221-t21t2120t zyyz εββγβ +++−= 5.

donde yt y zt son variables endógenas estacionarias, εyt y εzt son ruidos blancos y no están correlacionados entre sí. La ecuación 60 sería entonces la forma estructural del sistema ya que se tienen endógenas como explicativas. Si se quiere obtener la forma reducida, es decir, expresar la endógenas en función sólo de predeterminadas (rezagos de las endógenas), se debe resolver:

+

+

=

zt

yt

1-t

1-t

2221

1211

20

10

t

t

21

12

z

y

z

y

1

1

εε

ββββ

ββ

γγ

6.

lo que se puede rescribir en términos vectoriales como:

tε++=Γ 1-t10t XBBX

siendo Xt un vector que contiene a yt y zt

t1

1-t11

01

t XBBX ε−−− Γ+Γ+Γ=

t1-t10t XAAX e++= 7.

es decir:

1t1-t121-t1110t zyy eaaa +++=

2t1-t221-t2120t zyz eaaa +++= 8.

La ecuación 63 es la forma reducida del VAR(1) de la ecuación 59. En ella los errores sí están correlacionados debido a que recogen la presencia de yt y zt como explicativas del VAR original. Así:

∆∆−

∆−

∆=Γ−

1

1

21

121

γ

γ 9.

donde 21121 γγ−=∆ y,

∆+

∆−

==Γ−

zte εγε

εγε

ε21yt

zt12yt

tt1

- 10.

ya que

=

zt

yt

εε

ε t

( )

∆

−++−=Ε

2

212122121

2

ztytztztytztytyt

Eeeεγεεγγεεγε

11.

( ) 02

2z12

2y21

ztyt ≠∆

−−=Ε

σγσγee 12.

La ecuación anterior no va a ser cero siempre que 0 ,0 1221 ≠≠ γγ , es decir, mientras que yt y zt estén presentes en la forma estructural del VAR.

22..11..11.. EEssttiimmaacciióónn ddeell VVAARR

Trabajando en general con un VAR(p) de la forma:

tp-tp2-t21-t10t XAXAXAAX e+++++= K 13.

se puede observar que: 1. Se tiene un problema de sobreparametrización: hay que estimar mpm 2 + parámetros,

lo que produce un grave problema de pérdida de grados de libertad. No obstante, el objetivo de un VAR es encontrar la interrelación entre las variables y no realizar predicciones de corto plazo, lo que reduce la importancia del problema.

2. Dado que se trabaja con la forma reducida, los errores de cada ecuación no están autocorrelacionados y tienen varianza constante, el mejor método de estimación es aplicar MCO ecuación por ecuación. No obstante, para que sea un estimador eficiente todas las ecuaciones deben tener igual número de rezagos de cada explicativa.

En términos prácticos se recomienda utilizar la siguiente receta: 1. Limpiar cada una de las series de cualquier tipo de no estacionariedad . 2. Estimar por MCO cada ecuación, individualmente. 3. Determinar el número de rezagos de las variables explicativas que deben permanecer

en cada ecuación. Para ello se sugieren dos tipos de test: • El test F por bloques, para probar la hipótesis nula de que un número i de rezagos

deben incluirse como explicativas en cada ecuación, versus la alternativa de que dicho número es i+r>i. Este test tiene el problema de que debe ser aplicado individualmente a cada ecuación, pudiendo llegarse a la conclusión de que el número de rezagos a incluirse en ellas es diferente en cada caso. Esto le restaría eficiencia al estimador de MCO.

• El Test de Máxima Verosimilitud para el conjunto de ecuaciones. La hipótesis nula de este test es que el sistema tiene un número i de rezagos versus la alternativa de que este número es i+r. El estadístico sería:

[ ]( )* log logT c i i r− − +Σ Σ 14.

donde: log |Σ a | = logaritmo del determinante de la matriz de varianzas y covarianzas para el modelo con a rezagos. T = número de observaciones c = parámetros del modelo no restringido en cada ecuación = m(r+i) Este test se distribuye χ2 con grados de libertad igual al número de restricciones en el sistema (q=m2r). Este test tiene poco poder para rechazar test sucesivos de restricción de rezagos; por ello el rezago referencial debe ser el de mayor valor en el sistema, es decir, cualquier hipótesis nula debe ser contrastada contra el rezago (i+r).

4. No se debe utilizar el test t ni dar importancia a los signos de los coeficientes, ya que existe una gran multicolinealidad entre las variables de cada ecuación. La magnitud de los coeficientes es un indicador relativo de la significancia de la variable (un coeficiente pequeño generalmente acompaña a una variable poco significativa).

22..11..22.. LLaa ffuunncciióónn iimmppuullssoo--rreessppuueessttaa yy llaa ddeessccoommppoossiicciióónn ddee llaa vvaarriiaannzzaa

Una forma alternativa de representación del VAR consiste en hacer depender el vector de valores actuales de las variables del valor actual y los infinitos rezagos del vector de errores:

ttt µ+∑ Π==

p

j

ji yLy

1 15.

tt

p

iyLI µ=

∑Π−=1

ji 16.

A L yt t( ) = µ 17.

yA Lt

t=µ( )

18.

yt t t t= + + + +− −δ µ ψ µ ψ µ1 1 2 2 L 19. donde (73) es una representación MA(∞). Esta representación puede ser transformada de tal forma que los valores actuales de las variables sean una función de los valores presentes y pasados de un vector de innovaciones ortogonales: como los errores en (69) no tienen por qué estar no correlacionados, se acostumbra premultiplicar dicha ecuación por la única matriz triangular (T), con unos en la diagonal principal, que diagonaliza la matriz de covarianzas del error. Así, se obtiene un nuevo modelo con errores ortogonales:

T y T yt i t ii

p

t= +−=∑Π

1

η 20.

donde: n Tt t= µ , es el vector de las innovaciones ortogonalizadas, y D T T= ∑ ' .

Es decir, para cada matriz Σ real, simétrica y definida positiva existe una única matriz triangular baja P con unos en la diagonal y una única matriz diagonal D con entradas positivas en la diagonal, tal que: Σ = PDP' 21. Si se quiere obtener un nuevo modelo con errores ortogonales, bastará con hacer T=P-1, de forma tal que:

( ) [ ] ( )[ ]E n n P E Pt t t t' ''= − −1 1µ µ 22.

[ ] [ ]= − −P P1 1Σ ' 23.

[ ] [ ]= − −P PDP P1 1

' ' 24.

= D 25. donde D, la matriz de varianzas y covarianzas de los errores transformados, es una matriz diagonal que garantiza su ortogonalidad. A partir de este modelo transformado se puede obtener la función impulso-respuesta ortogonalizada, calculando el efecto sobre yt+s de un impulso unitario en ηjt. Estos multiplicadores, describen cómo nueva información sobre yjt nos lleva a revisar nuestra predicción de yt+s, aún cuando la definición implícita de nueva información es diferente para cada variable j. El orden en que se coloquen las variables en el sistema tendrá un impacto importante sobre los multiplicadores calculados: al elegir un orden recursivo particular de las variables, implícitamente, se responde a un conjunto de preguntas específicas respecto a la predicción; el ordenamiento dependerá de la razón por la cual queremos responder esas preguntas en primer lugar. Asimismo, pueden existir razones teóricas para suponer que una de las variables no se ve afectada por los shocks contemporáneos de las otras. La importancia del ordenamiento depende de la magnitud de la correlación de los errores no ortogonalizados del sistema. En la práctica, una correlación baja (menor a 0.2) disminuye la relevancia de un ordenamiento adecuado. Si la correlación es elevada, en cambio, será indispensable probar diferentes ordenamientos y analizar cuánto cambian los resultados. En principio, una buena especificación del sistema debería arrojar resultados muy similares con cualquier ordenamiento utilizado. Asimismo, es posible realizar un análisis de descomposición de la varianza a partir del modelo ortogonalizado. Este consistirá en calcular la contribución de la innovación j sobre el error de predicción del período t+s. Es de esperar que en el corto plazo la propia innovación explique la mayor proporción de este error. Cabe resaltar que este análisis también se ve afectado por el ordenamiento de las variables del sistema, por lo que se sugiere probar diferentes ordenamientos, al igual que en el caso de la función impulso- respuesta.

2.2. Causalidad

Generalmente no resulta fácil determinar la existencia de una relación de causalidad entre dos varibles y menos aún su dirección. Para ello se recurre, en la práctica, a la teoría económica aún cuando la verificación de la validez de dicha relación resulta ser poco rigurosa si se precondiciona la misma a la existencia de una teoría que la apoya. La alternativa econométrica de verificación consiste en general en estimar una regresión entre las variables que se analizan y observar la significancia de los coeficientes obtenidos. Sin embargo, una alta correlación entre dos variables no asegura una relación causa-efecto entre ellas, ya que la posibilidad de que se haya obtenido una correlación espúrea no debe ser descartada. Es por estas razones que se ha desarrollado el concepto de causalidad1 en econometría, el mismo que se basa en el desarrollo teórico llevado a cabo por Granger 2. Formalmente podemos definir la llamada causalidad a lo Granger diciendo que: la variable x causa a la variable y si al tomar en cuenta los valores pasados de x se mejoran las predicciones de y. Granger se refiere a las predicciones insesgadas de y que se obtienen a través de la estimación por MCO, midiendo la precisión de las mismas a través de la varianza del error de predicción o error cuadrático medio: ECM = E[(y - y ) ]2$ 26. Así, x causa a y si:

)x-U/y(<)U/yECM( ~~ 27. mientras que X causa instantáneamente a Y si:

x)-/Uy(</U)yECM( ~~ 28. donde U es un set de toda la información disponible pasada y presente, U es el mismo set pero que contiene sólo la información pasada, X contiene toda la información pasada y presente de dicha variable y x sólo la información pasada. Asimismo, y~ es el predictor MCO de y. La posibilidad de hacer operativa esta definición pasa por la necesidad de acotar el set U de toda la información disponible, aún cuando ello implique recurrir a la teoría económica y, de algún modo, perder parte de la objetividad ganada aplicando el concepto mismo de causalidad. Son principalmente tres los test que se utilizan para verificar las existencia de una relación de causalidad entre dos series de tiempo.

1/ Dos aspectos fundamentales a tener en cuenta cuando se habla de causalidad es que: • El futuro no puede causar al pasado, por lo que la relación de causalidad debe,

necesariamente, provenir del pasado y dirigirse hacia el presente y/o el futuro. • La causalidad tiene sentido cuando analizamos variables aleatorias. 2 Granger, C. Investigating causal relations by econometric models and cross-spectral methods. Econometrica, 37, 1969.

aa)) EEll tteesstt ddiirreeccttoo La hipótesis a testear será:

oH : y x/→ 29. es decir, se requiere examinar si y no causa a x. Para ello se estima la relación entre xt, los m primeros rezagos de yt y los n primeros rezagos de xt:

t t - 1 t - 2 t - m t - 1 t - 2 t - nx = f( y , y , . . . , y , x , x , . . . , x ) 30. y luego se verifica la significancia conjunta de los rezagos de yt; si ellos no fueran significativos entonces xt estaría explicado solamente por su propio pasado y por el elemento aleatorio respectivo. Para que el test arroje un resultado correcto es necesario asegurarse que la especificación del modelo sea la adecuada, de tal forma que el error asociado sea ruido blanco. Por lo mismo se requiere escoger cuidadosamente los valores de m y n, especialmente en el caso de los rezagos de x, ya que la eliminación de estos últimos, si es que son importantes para explicar el comportamiento de x, inflarían artificialmente la significancia de los rezagos de y llevándonos a obtener una conclusión falsa respecto de la relación de causalidad entre x é y.

bb)) EEll tteesstt ddee SSiimmss Consiste en regresionar yt en función de los valores pasados y futuros de xt, de forma tal de testear que yt no causa xt sobre la base de la significancia de los coeficientes asociados con los valores futuros de xt. Dicho de otro modo, si existe una relación entre el valor presente de yt y los valores futuros de xt ésta debe expresar una causalidad de y á x y no de x á y, ya que el futuro no puede causar al presente (ver nota 1)3. Así, se plantea correr la regresión:

y x zt tm

n

t= +−= −∑ γ τ τ

τ 31.

donde se testea la Ho: γ-1 = γ-2 = ... = γ-m = 0 Lo más importante de la aplicación de este test es que para que arroje un resultado correcto el error de la ecuación debe ser ruido blanco. De no ser así, deberá ser estimada por mínimos cuadrados generalizados, luego de identificar la estructura autorregresiva del error. Sims simplificó este proceso asumiendo a priori dicha estructura: w w wt t t t= − +− −15 0 56251 2. . ε 32.

3 El teorema de Sims que sustenta esta metodología de testeo de la causalidad sostiene que: “cuando (y,x) tienen una representación AR, y puede ser expresado como una función de rezagos y valores actuales de x, con un residuo no correlacionado con ningún valor de x, pasado o futuro, si y sólo si y no causa a x en el sentido Granger”.

y multiplicando cada variable de la ecuación por (1-1.5L+ 0.5625L2) antes de estimarla. Este se convirtió entonces en el filtro ad-hoc de Sims.

cc)) EEll tteesstt ddee GGeewweekkee Geweke trató de resolver el problema del test de Sims, que implicaba tener que determinar una estructura autorregresiva para el error o utilizar el filtro ad-hoc. Para ello, se plantea una corrección de la ecuación original: y L x Lt t t= + −γ φ ε( ) ( )1 33. que implica multiplicar cada uno de sus elementos por el polinomio AR(p), φ(L), de forma que: φ φ γ ε( ) ( ) ( )L y L L xt t t= + 34. donde, por definición, existe la garantía de que el error es ruido blanco. Esta transformación implica agregar a la ecuación, como explicativas, p rezagos de x é y, de forma tal de limpiar el error; luego se testea la hipótesis de Sims de que los coeficientes asociados con los valores futuros de las x son no significativos.

2.3. Exogeneidad (Engle, Hendry y Richard, HER, 1983)

Un PED bivariado puede aproximarse por alguna función de distribución conjunta, la cual puede ser factorizada en dos componentes: la función marginal y la función condicional; es decir:

( ) ( )43421

321

lcondiciona

tt

marginal

ttt xyxy,x

= fff 35.

donde:

( )Ω≈

,N

x

y

t

t µ

=

2

1

µµ

µ

=Ω

2221

1221

σσσσ

36.

Por ejemplo:

t1tt xy εβ += Ecuación condicional 37.

t21-t21-t1t yxx εαα ++= Ecuación marginal 38.

donde:

≈

2221

1221

2t

1t ,0

0N

σσσσ

εε

39.

Suponga que la ecuación de interés es la (12). El asunto clave parece ser la exogeneidad de xt. No obstante, EHR afirman que lo importante es más bien tener claro para qué servirá la mencionada ecuación. Tres son los posibles propósitos: a) Hacer inferencia sobre un parámetro de interés, por ejemplo β . En este caso se

requiere exogeneidad débil. b) Predecir yt en función de xt. De ser este el caso se requiere exogeneidad fuerte. c) Testear si (12) es estructuralmente invariante a cambios en la distribución marginal

de xt. En este caso se requiere super exogeneidad.

22..33..11.. EExxooggeenneeiiddaadd ddéébbiill

1. Para verificar este tipo de exogeneidad es necesario definir los siguientes grupos de

parámetros:

• 1λ , los parámetros de la condicional.

• 2λ , los parámetros de la marginal

• ( )2= λλθ 1 , los parámetros de la distribución conjunta.

• ψ , los parámetros de interés. La exogeneidad, entonces, está relacionada con ψ: una variable es exógena para unos determinados parámetros de interés. 2. Condiciones para que se dé exogeneidad débil.

• ( )1λψ f= exclusivamente

• y 21 λλ son de libre variación, es decir, los valores que toma el primer conjunto de parámetros no afectan al otro.

Por ejemplo, suponga que multiplicamos la ecuación (13) por 22

12

σσ

, restando el resultado

de la (12). A través de esta operación diagonalizamos la matriz de varianzas y covarianzas del error, obteniendo:

t1-t21-t1t0t yxxy µδδδ +++= 40.

siendo (3) la nueva ecuación condicional, donde:

22

120 σ

σβδ +=

22

1211 σ

σαδ −=

22

1222 σ

σαδ −= t22

2

12t1t ε

σσ

εµ −= 41.

por lo que:

−=

22

22

212

11

2t

t

0

0Var

σσσ

σεµ

42.

De esta forma:

( )1222

2121 ,,,,, σσσααβθ θε=

( )212101 ,,, µσδδδλ = 43.

( )2

2212 ,, σααλ = Supongamos ahora que se define como parámetro de interés β, es decir:

( )βψ =

Verifiquemos entonces las dos condiciones de exogeneidad débil:

a) 2

20

1

10 α

δδ

αδ

δβ +=+=

por lo que β depende de ( )101 , δδλ , pero también depende de ( )212 , ααλ . Es decir, la

primera condición no se cumple. b) 2112 δαδα = por lo que 21 y λλ sí tienen relación, incumpliéndose también la segunda condición. En conclusión, definido el parámetro de interés como β , xt no es exógenamente débil.

Veamos, sin embargo, algunas variantes. Si 012 =σ , es decir los errores de las

ecuaciones 12 y 13 no están correlacionados, entonces β es igual a 0δ , siendo este

último un parámetro que pertenece exclusivamente a 1λ ; de aquí que la primera condición sí se cumple. De otro lado, la relación anterior b) desaparece (dado que δ1 = δ2 = 0) por lo que la segunda condición también se cumple.

Nótese que si σ2 ≠ 0, pero el nuevo parámetro de interés fuese δ0, se cumpliría la primera condición pero no la segunda. Para que esta última también se cumpliera se requerirá, además, que yt no cause a xt. Se deja al lector la demostración detallada de este caso.

22..33..22.. EExxooggeenneeiiddaadd FFuueerrttee

Para que xt sea exógenamente fuerte respecto a β, se debe cumplir que: a) Xt sea exógena débilmente respecto a β . b) Yt no cause a Xt.

22..33..33.. SSuuppeerr EExxooggeenneeiiddaadd

xt es super exógena si los parámetros de la distribución condicional son invariantes a cambios en la distribución marginal.

22..33..44.. TTeesstt ddee eexxooggeenneeiiddaadd

aa)) EExxooggeenneeiiddaadd ddéébbiill

1. Comprobar que yt no cause instantáneamente a xt. 2. Probar que Ho: 012 =σ . Para ello: a) Correr las ecuaciones condicional y marginal, y recoger los errores de ambas,

21 y εε ,respectivamente.

b) Correr la regresión ( )2t1 , xconstante, εε f=

c) Se rechaza la nula si ( )1~TR 22 χ excede el valor crítico correspondiente.

bb)) EExxooggeenneeiiddaadd ffuueerrttee

1. Comprobar que xt es exógenamente débil. 2. Demostrar que yt no causa a xt.

cc)) SSuuppeerreexxooggeenneeiiddaadd

1. Realizar un test de estabilidad de parámetros sobre la condicional. 2. Hallar un conjunto de dummies que expliquen la inestabilidad de parámetros de la

marginal. 3. Correr la ecuación condicional incluyendo las dummies anteriores como

explicativas y testear Ho: los coeficientes de las dummies son cero.

Si se acepta ésta, entonces la ecuación condicional es invariante a cambios en la marginal.

2.4. Cointegración y modelo de corrección de errores

22..44..11.. IInnttrroodduucccciióónn

Una regla general que se puede comprobar fácilmente está referida al orden de integración de la combinación lineal de dos series de tiempo: la serie resultante será de un orden igual al mayor de las dos series que la conforman. Por ejemplo, si xt∼I(d) é yt∼I(e) se combinan linealmente, de forma que: z = x + y

t t tα β 44. donde el orden de integración de yt es mayor que el de xt (e>d), y posteriormente se procede a diferenciar d veces zt:

dt

dt

dtz = x + y∆ ∆ ∆α β 45.

se puede verificar que la serie resultante no es estacionaria ya que uno de sus componentes, ∆dyt, requiere ser diferenciada (e-d) veces más antes de serlo. Si se continúa diferenciando zt hasta que:

et

et

et z = x + y∆ ∆ ∆α β 46.

se habrá obtenido una serie estacionaria luego de e diferenciaciones sucesivas, por lo que puede concluirse que zt es integrada de orden e, es decir, igual que la serie de mayor orden de integración que la compone4. La excepción a esta regla es la cointegración, es decir, cuando dos o más series de igual orden de integración se combinan linealmente y dan como resultado una serie de menor orden de integración.

aa)) CCooiinntteeggrraacciióónn eenn pprreesseenncciiaa ddee uunn ssoolloo vveeccttoorr ddee ccooiinntteeggrraacciióónn Definición: El conjunto de variables que componen el vector xt se dice que son cointegradas de orden d, b [xt ~ CI (d, b)] si: • Todos los componentes de xt son I(d). • Existe un vector α, diferente de 0, tal que zt = α xt ~ I(d-b), b>0, siendo α el

vector de cointegración. Nótese que esta definición implica que si se tienen series de diferente orden de integración no será posible que ellas cointegren. En todo caso, podrían combinarse series en niveles con otras en diferencia, con el propósito de satisfacer dicha condición. Por ejemplo, si se tienen xt∼I(2) é yt∼I(1), sus niveles no podrán ser cointegrados; sin

4Note que diferenciar una serie que ya es estacionaria, como ∆dxt, no afecta su condición de estacionariedad.

embargo, sí será posible cointegrar ∆ xt, que es I(1), con yt en niveles, ya que ambas tendrán el mismo orden de integración. Cabe mencionar que en economía es la CI(1,1) la que interesa, es decir, cuando el componente tendencial estocástico de dos o más variables no estacionarias se compensan exactamente para dar una combinación lineal estacionaria. De esta forma, la existencia de cointegración entre series económicas no hace sino evidenciar la presencia de una relación de equilibrio de largo plazo: aún cuando presenten un comportamiento no estacionario o tendencial, la relación (o combinación lineal) entre ellas es estable; por tanto, podemos hablar de una relación observada que puede, en promedio, ser mantenida en un largo período de tiempo.

a.i) LOS TESTS PARA VERIFICAR LA EXISTENCIA DE COINTEGRACIÓN

El Durbin Watson de la ecuación de cointegración [Sargan y Bhargava, 1983]. A partir de la ecuación de cointegración: y x zt t t= +α 47. se prueba la Ho: DW = 0, lo que equivale a testear que φ=1 en: z zt t t= +−φ ε1 48. es decir, se estaría verificando la presencia de una raíz unitaria en la ecuación autorregresiva de zt. De esta forma, si no se pudiera rechazar la hipótesis nula, se estaría aceptando que el error es no estacionario y no se podría aceptar la presencia de cointegración entre xt é yt. Una regla práctica vinculada con este test de cointegración sugiere que un buen R2 y un DW por encima de 0.5 son un indicativo de la presencia de cointegración.

El DFA del error de la ecuación de cointegración Un test alternativo consiste en verificar la existencia de raíz unitaria en la ecuación: z zt t t= +−φ ε1 49. a través del test ADF. Es decir, verificar la Ho:ρ=0 (que equivale a testear que φ=1) en:

∆ ∆z = z + z + v t ti =

p

i t i tρ δ− −∑11

50.

donde p debe ser lo suficientemente grande para garantizar que vt sea ruido blanco. En este caso, el no rechazo de la hipótesis nula lleva a no aceptar la existencia de cointegración entre xt é yt.

a.ii) ESTIMACIÓN DEL VECTOR DE COINTEGRACIÓN Generalmente, se estima el vector de cointegración utilizando el método de mínimos cuadrados ordinarios. Esta práctica proviene de la constatación de que si un conjunto de variables son CI (1, 1), con un vector de cointegración α, el estimador MCO de α será más consistente de lo que hubiera sido de no existir cointegración; es decir será superconsistente (Stock). Por ejemplo, si se tienen dos variables xt, yt ~ CI(1,1), y se estima la siguiente ecuación: y x zt t t= +α 51. entonces si α estimado coincide con su verdadero valor, por definición, zt (el error de la ecuación) será estacionario, ya que representa la combinación lineal de dos series que cointegran: z y xt t t= − α 52. es decir, la varianza de zt será mucho menor que si el α estimado fuera diferente de su valor verdadero. Dado que MCO elige el α estimado que minimiza la varianza del error, garantiza que éste sea estacionario y, de esta forma, se convierte en un estimador superconsistente de α.

a.iii) EL TEOREMA DE REPRESENTACIÓN DE GRANGER Si xt es un vector Nx1 tal que xt ~ CI (1, 1) y α es el vector de cointegración [α'xt ~ I(0)], luego la siguiente representación de corrección de errores puede ser derivada: φ α θ ε( )( ) ' ( )L L x x Lt t t1 1− = − +− 53. Esta ecuación modela las relaciones de corto plazo de las variables así como el ajuste en cada período a su relación de largo plazo. Este último es recogido por el término -α‘xt-1, que no es otra cosa que la combinación lineal de las variables incluidas en el modelo. El signo negativo que precede a este término indica que cualquier desajuste de la relación de largo plazo que se verifique en el período t-1 debe ser corregido (en la dirección contraria al desajuste) en el período t, de tal forma de garantizar el equilibrio de largo plazo. Nótense algunas implicancias importantes que se desprenden de este modelo: • La ecuación anterior relaciona solamente variables estacionarias. • La relación entre la cointegración y el modelo de corrección de errores es biunívoca:

si el proceso de generación de la data de un conjunto de series de tiempo es una ecuación como la anterior, entonces dichas series de tiempo deben estar cointegradas.

• Si xt é yt están cointegradas y cada una de ellas es individualmente I(1) entonces xt debe causar a lo Granger a yt ó yt debe causar a lo Granger a xt. Esto se deriva del hecho de que la existencia del modelo de corrección de errores sugiere que por lo menos el valor rezagado de una de las variables está incluida en la ecuación explicativa de la otra.

a.iv) ESTIMACIÓN DEL MODELO DE CORRECCIÓN DE ERRORES Supóngase, por ejemplo, que se quiere estimar el siguiente modelo de corrección de errores: ∆ ∆y x y xt t t t t= − − +−δ δ α ε ε σ1 2 1( ) ) , iid N(0, 2 54. donde: z y xt t t= − α 55. es la combinación lineal de xt é yt, dos variables que se supone son CI(1,1). δ1 indica el efecto impacto o la relación de corto plazo entre ellas, mientras que δ2 es el efecto feedback o de ajuste a la relación de largo plazo, yt=αxt, (note que δ2 se encuentra precedido por un signo negativo). Engle y Granger (1987) proponen el siguiente procedimiento para estimar este tipo de modelos. 1. Verificar que, efectivamente, xt e yt sean integradas de orden 1. 2. Estimar por MCO la ecuación de cointegración (o relación de largo plazo):

y x zt t t= +α 3. Verificar que, efectivamente, zt sea integrada de orden 0, es decir que xt e yt

cointegren. 4. Utilizar zt-1 (el error de la ecuación de cointegración rezagado un período), junto con

∆yt-1, ∆xt-j para estimar la ecuación de corrección de errores.

bb)) CCooiinntteeggrraacciióónn mmuullttiivvaarriiaaddaa:: llaa ttééccnniiccaa ddee JJoohhaannsseenn ((11998888)) Existen una serie de problemas vinculados con la metodología propuesta por Engle y Granger. En primer lugar, la estimación de la relación de cointegración, tal y como está planteada, requiere identificar previamente cuál de las variables debe colocarse a la derecha de la ecuación. El resultado del test debiera ser invariable a cualquier ordenamiento de las variables utilizadas. Sin embargo, esto no se observa en el caso de la metodología propuesta. En segundo lugar, no da cabida a la posibilidad de que se presente más de un vector de cointegración. Finalmente, la existencia de dos etapas sucesivas de estimación (la relación de largo plazo, primero, y la de corrección de errores, después) implica una acumulación de errores a lo largo de las mismas que resta eficiencia a la estimación de la relación de largo plazo.

Es por ello que surge una especificación alternativa del problema, en la que se incorpora la posibilidad de que exista más de un vector de cointegración entre un mismo conjunto de variables.

Así, si el vector de variables xt tiene n componentes (n variables no estacionarias), existe la posibilidad de que hayan, por lo menos, n-1 vectores de cointegración linealmente independientes. El número de vectores de cointegración se conoce como el rango cointegrante de xt.

Por ejemplo, supongamos que tenemos el siguiente vector de variables conformado por el dinero (mt) el nivel de precios (pt), el ingreso real (yt) y la tasa de interés (rt):

=

t

t

t

t

r

y

p

m

1

x t 56.

éste puede tener dos vectores de cointegración como:

−

−−−−=

01

1

110

321o

γγγββββ

β 57.

en donde la primera línea representa una ecuación de demanda de dinero de largo plazo:

ttttt rypm 13210 εββββ ++++=

58. y la segunda, una regla monetaria de feedback entre el dinero y el PBI nominal:

( ) ttt pym 2110 εγγ +−−= 59.

Como las dos combinaciones lineales (58) y (59) son estacionarias podemos concluir que el rango cointegrante de xt es 2. La especificación de la metodología de Johansen se basa en una generalización multivariada del DF. Así, si Xt es un vector de n variables que siguen un proceso VAR(1):

t1tt XAX ε+= − 60.

entonces, restando Xt-1 en ambos lados de la ecuación anterior se obtiene:

t1t1t1t XXAX ε+−=∆ −− 61.

( ) t1t1t XIAX ε+−=∆ − 62.

t1tt XX ε+Π=∆ − 63.

La atención se centra en la matriz Π y particularmente en el análisis de su rango. Dado que existen n variables que constituyen el vector Xt, la dimensión de Π es nxn y su rango no puede ser mayor que n. A partir del Teorema de Representación de Granger (Engle y Granger, 1987; Johansen, 1989) podemos afirmar, bajo ciertas circunstancias, que:

1. Si el rango de la matriz Π es igual a n (el número total de variables explicadas en el modelo VAR), el proceso vectorial Xt es estacionario (es decir, todas las variables en Xt son integradas de orden cero).

2. Si el rango de la matriz Π es igual a r < n, existe una representación tal que Π=αβ‘, donde α y β son matrices nxr.

La matriz β es denominada matriz de cointegración y tiene la propiedad que β' Xt ~ I(0) cuando Xt ~ I(1); es decir, las variables en Xt están cointegradas, con vectores de cointegración β1, β2, ..., βr como columnas particulares de β. Mientras tanto los elementos de α constituyen los factores de ajuste hacia la relación de largo plazo. Por tanto, en un modelo VAR que explica n variables, podrían existir no más de r = n-1 vectores de cointegración.

3. Si Π es una matriz de ceros de tal forma que su rango es igual a 0, entonces todas las variables son procesos con raíz unitaria y no hay combinaciones lineales de Xt, es decir, las variables no cointegran.

Se puede generalizar el modelo para un proceso de mayor orden, reparametrizando un VAR(p) de la siguiente manera:

tptp2t21t1t XAXAXAX ε++++= −−− K 64.

restando Xt-1 de ambos lados:

( ) tptp2t21t1t XAXAXIAX ε++++−=∆ −−− K 65.

sumando y restando ( ) 2t1 XIA −− del lado derecho de la ecuación anterior:

( ) ( ) tptp2t121t1t XAXIAAXIAX ε+++−++∆−=∆ −−− K 66.

Sumando y restando ( ) 3t12 XIAA −−+ del lado derecho de la ecuación anterior:

( ) ( ) ( ) tptp3t1232t121t1t XAXIAAAXIAAXIAX ε++−+++−++∆−=∆ −−−− K

y así sucesivamente hasta que se obtenga la siguiente especificación:

tpt

p

iitit XXX ε+Π∑ +∆Π=∆ −

−

=−

1

1 67.

donde (67) es el modelo de corrección de errores, cuyo ajuste al largo plazo se produce con p rezagos. Así, note que el término de corrección hacia la relación de largo plazo es ΠXt-p, es decir, un desajuste de dicha relación en el período t-p tiene efecto p períodos después. Esto lleva a que, en general, la especificación de este modelo tenga más bien un p bajo, ya que de otra forma la corrección del error tendría poco significado económico.

b.i) EL TEST DE COINTEGRACIÓN Dado que la determinación del número de vectores de cointegración depende del rango de Π y, por ende, del número de raíces características distintas de cero de dicha matriz, se requiere utilizar un test para verificar dicho número. Si se tienen las n raíces de la matriz Π, λi, donde λ1>λ2>…>λn, se puede plantear el siguiente test con Ho: número de vectores de cointegración ≤ r

( ) ( ) jj~ˆ1LnTrn

1rii∑

+=

−−= λλ (1990) 68.

donde iλ es la raíz característica estimada. Note que cuanto mayor número de λ’s sean

iguales a cero menor será el λ (r).

El contraste y el análisis de cointegración en un modelo VAR es considerado a menudo superior al método uniecuacional desarrollado por Engle y Granger. Las propiedades estadísticas del procedimiento de Johansen son generalmente mejores y el poder de la prueba de cointegración es más elevado. Sin embargo, se debe poner énfasis en que los procedimientos de Engle-Granger y Johansen se basan en diferentes metodologías econométricas y por tanto no pueden ser comparados directamente.