Seminraski rad - Medijana

UNIVERZITET U BEOGRADU FAKULTET ORGANIZACIONIH NAUKA

S E M I N A R S K I R A DS E M I N A R S K I R A DS E M I N A R S K I R A DS E M I N A R S K I R A D

Tema:

Lokacijski Lokacijski Lokacijski Lokacijski modelmodelmodelmodel medijane medijane medijane medijane Student:Student:Student:Student: Mentor:Mentor:Mentor:Mentor: Borović Marina 135/06 Prof. dr Nenad Mladenović Manojlović Oliver 222/06 mr Dragana Stojanović

Beograd, April 2010.

SSSS AAAA DDDD RRRR ŽŽŽŽ AAAA JJJJ

1. UVOD 1. UVOD 1. UVOD 1. UVOD ............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 3333

1.1. Teorija lokacijskih problema ................................................. 3

2. PROB2. PROB2. PROB2. PROBLEM MEDIJANE LEM MEDIJANE LEM MEDIJANE LEM MEDIJANE ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... ....................................................................... 3333

2.1. Matematička formulacija problema ........................................ 4

2.2. Algoritam za odreñivanje medijane ........................................ 5

2.3. Problem 1-medijane ............................................................ 6

2.3.1. Goldman-ov algoritam ............................................. 8

2.4. Problem p-medijane ............................................................ 9

2.4.1. Lagranžova relaksacija ........................................... 10

2.4.2. Proždrljiv (Greedy) algoritam .................................. 13

2.4.3. Lokacijsko-alokacijska heuristika ............................. 15

2.4.4. Verteksova metoda supstitucije ............................... 16

3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P----MEDIJANE MEDIJANE MEDIJANE MEDIJANE ............................................................................................................................................................................................................ 11118888

3.1. Primer 1 ........................................................................... 18

3.2. Primer 2 ........................................................................... 20

4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 21212121

4.1. Planiranje prodajnih teritorija u Nemačkoj ............................. 21

4.2. Relociranje vatrogasnih stanica u Barseloni ........................... 22

5. ZAKLJUČAK 5. ZAKLJUČAK 5. ZAKLJUČAK 5. ZAKLJUČAK ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 23232323

LITERATURA LITERATURA LITERATURA LITERATURA ............................................................................... ............................................................................... ............................................................................... .................................................................................... ..... ..... ..... 24242424

LOKACIJA I PROJEKTOVANJE OBJEKATA | problem medijane

- 3 -

1. UVOD1. UVOD1. UVOD1. UVOD 1.1. Teorija lokacijskih problema1.1. Teorija lokacijskih problema1.1. Teorija lokacijskih problema1.1. Teorija lokacijskih problema

O značaju teorije lokacije dovoljnan je podatak da se sa prvim pisanim

tragom o lokacijskim problemima susrećemo još u Bibliji, što govori o njihovom značaju i stalnom prisustvu u toku razvoja civilizacije. Razlog tolikog interesovanja jeste prisutnost problema u praksi, jer se oni koristiti pri donošenju odluke o lociranju objekta kako na makro tako i na mikro ekonomskom nivou, u inženjerskoj praksi, u vojsci, javnim službama...

U pitanju su najčešće strateške odluke, koje zahtevaju velika novčana

ulaganja i čijom realizacijom se očekuju dugoročni ekonomski efekti. Teorija lokacije pokušava da da odgovore na sledeća pitanja: Koliki je

ukupan broj objekata na mreži u kojima se obavlja opsluga?, Gde locirati ove objekte?, Na koji način izvršiti alokaciju klijenata?, i slično. Ono što treba napomenuti jeste da u odreñenim slučajevima objekte je moguće locirati u bilo kojoj tački posmatranog regiona (kontinualni lokacijski problemi). S druge strane, drugu grupu lokacijskih problema predstavljaju problemi u kojima se podrazumeva da je lociranje objekata moguće izvršiti samo u odreñenim, unapred definisanim tačkama (diskretni lokacijski problemi). Predmet naših razmatranja biće upravo ova druga grupa problema.

Ovaj tip problema zajedno sa problemima lokacije haba i lokacijskim

problemima fiksnih troskova spadaju u podgrupu modela ukupne ili prosecne udaljenosti. 2. PROBLEM MEDIJANE2. PROBLEM MEDIJANE2. PROBLEM MEDIJANE2. PROBLEM MEDIJANE

U slučaju problema medijane potrebno je locirati jedan ili više objekata na mreži‚ tako da se minimizira prosečno rastojanje (prosečno vreme putovanja, prosečni transportni troškovi) od objekta do korisnika ili od korisnika do objekta.

Problemi medijane su naročito značajni za transportnu delatnost, s

obzirom da se ova grupa problema javlja prilikom projektovanja različitih distributivnih sistema.

Za razliku od minimaxnih1 problema, problemi medijane spadaju u

grupu minisumnih2 lokacijskih problema. Problem medijane spada u grupu

1 Bira se minimum maximuma 2 Vrši se minimizacija sume


- 4 -

modela prosečne udaljenosti, a cilj je minimizirati sumu, što proističe i iz samog naziva. Naime, suština je sledeće: postoji nekoliko klijenata koje treba opslužiti, a poenta je minimizirati ukupne troškove dostave. Pošto svaka dostava podrazumeva pojedinačno putovanje, postoji više putanja dostave, što implicira da ukupni troškovi predstavljaju sumu svakog pojedinačnog troška svake dostave, koji je inače predstavljen kao proizvod izmeñu količine svake dostave i rastojanja izmeñu objekta i korisnika. Naravno problem postaje kompleksniji ukoliko postoji veliki broj korisnika koje treba zadovoljiti na jednoj ruti.

Bitno je naglasiti i razliku izmeñu minisumnih i minimaxnih problema.

S jedne strane, imamo da jedan čvor u mreži reprezentuje veoma veliku tražnju (npr. grad), dok se druga vrsta problema može okarakterisati sa veoma niskom tražnjom (npr. pojedinac, individua). Suština minisume je da se usmerava na izbor lokacije sa veoma velikom tražnjom (npr. zanemaruje se pojedinac i akcenat se baca na ceo grad). Ukoliko se ove dve metode spoje, dobija se integracija koja se naziva centdian (od engleskih reči: center + median), koju je prvi analizirao Halpern 1976. godine.

Takoñe, bitno je napomenuti da sve dok je ukupnost tražnje

konstantna veličina, minimizacija sume rastojanja izmeñu korisnika i objekta jednaka je minimizaciji prosečnog rastojanja meñu njima3. 2.1. Formulacija problema2.1. Formulacija problema2.1. Formulacija problema2.1. Formulacija problema

Problem medijane prvi je formulisao Hakimi 1964. godine. Naime, teorema koju je definisao iz ove oblasti glasi: [T Hakimi] [T Hakimi] [T Hakimi] [T Hakimi] : Postoji bar jedno optimalno rešenje problema mediPostoji bar jedno optimalno rešenje problema mediPostoji bar jedno optimalno rešenje problema mediPostoji bar jedno optimalno rešenje problema medijane, koje se jane, koje se jane, koje se jane, koje se nalazi u čvoru mreže.nalazi u čvoru mreže.nalazi u čvoru mreže.nalazi u čvoru mreže.

Ova teorema pokazuje da postoji najmanje jedan skup medijana u čvorovima mreže, što znači da optimalna rešenja, tj. optimalne lokacije objekata u mreži mora da se nalaze isključivo u tim čvorovima mreže. Ova činjenica znatno olakšava proceduru nalaženja medijana, jer je potrebno ispitati samo lokacije koje se nalaze u čvorovima, i zato je ova teorema veoma značajna za rešavanje problema medijane. Iako teorema olakšava proceduru nalaženja optimalnog rešenja, ona ga ne čini prostim.

Razmotrimo neorijentisanu mrežu G=(N,A) koja ima n čvorova.

Označimo sa ai potražnju u čvoru i i čvora j, a sa p ukupan broj objekata koje treba locirati na mreži. Treba napomenuti da objekte možemo da lociramo u bilo kome čvoru mreže. Uvedimo u razmatranje binarne promenljive xij koje se definišu na sledeći način:

3 ReVelle and Swain (1970)


- 5 -

.

Kao što je već napomenuto, prilikom lociranje p objekata težimo minimiziranju ukupnog preñenog rastojanja izmeñu objekta i korisnika, pa je problem medijane moguće formulisati na sledeći način:

mininizirati ,

pri ograničenjima

Definisana kriterijumska funkcija odražava težnju da se minimizira ukupno preñeno rastojanje izmeñu objekta i korisnika. Prvo ograničenje se odnosi na to da svaki klijent je opslužen od strane samo jednog objekta. Drugo ograničenje pokazuje da na mreži treba da postoji ukupno p objekata. Treće ograničenje se odnosi na to da svaki klijent lociran u nekom od objekata dobija opslugu iz tog objekta.

Broj mogućih različitih rasporeda p objekata na mreži na kojoj postoji n čvorova, jednak je broju kombinacija bez ponavljanja od n elemenata p-te

klase, tj. .

2.2. Algoritam za odre2.2. Algoritam za odre2.2. Algoritam za odre2.2. Algoritam za odreññññivanje lokacije madijaneivanje lokacije madijaneivanje lokacije madijaneivanje lokacije madijane

Za rešavanje problema medijane u poslednjih 30 godina razvijeno je mnoštvo algoritama. Neki od njih su sledeći:

• Algoritam za generisanje skupa dopustivih rešenja; • Algoritam zasnovan na teoriji grafova; • Heuristički algoritmi; • Algoritmi zasnovani na matematičkom programiranju.

U ovom radu biće opisan prvi algoritam, tj. algoritam za generisanje

skupa dopustivih rešenja. Ovaj algoritam podrazumeva ispitivanje svih mogućih rešenja lokacija p-medijana, izračunavanje odgovarajućih vrednosti definisane kriterijumske funkcije i odreñivanja optimalnog rešenja. Ovakav


- 6 -

pristup moguće je primeniti jedino u slučaju mreža sa manjim brojem čvorova na kojima treba locirati manji broj objekata.

Ovo je jednostavan algoritam kojim se generiše skup dopustivih rešenja i odreñuje lokacija jedne medijane u slučaju neorijentisane mreže. Koraci su sledeći:

1. izračunati dužine najkraćih puteva dij izmeñu svih parova čvorova (i, j) mreže G i prikazati ih u matrici najkraćih puteva D (čvorovi i predstavljaju moguće lokacije za medijanu, a čvorovi j predstavljaju lokacije klijenata koji zahtevaju opslugu)

2. pomnožiti j-tu kolonu matrice najkraćih puteva sa brojem zahteva za

opslugom aij iz čvora j. Element ajdij matrice [aijdij] predstavlja “rastojanje” koje prevale korisnici iz čvora j koji se opslužuju u čvoru i. Matricu ajdij označiti sa D’.

3. izvršiti sumiranje duž svake vrste i matrice D’.

a dj i jj

n

⋅=∑

1 predstavlja ukupno “rastojanje” koje prevale korisnici u slučaju kada je oblekat lociran u čvoru i.

4. Čvor, čijoj vrsti odgovara najmanje ukupno “rastojanje” koje

prevaljuju korisnici, predstavlja lokaciju za medijanu. 2.3. Probl2.3. Probl2.3. Probl2.3. Problem 1em 1em 1em 1----medijanemedijanemedijanemedijane

Ovaj problem predstavlja specijalni slučaj problema medijane u kome je neophodno locirati samo jedan objekat. Problem se može islustrativno prikazati preko sledeće slike:

Slika 1.Slika 1.Slika 1.Slika 1. Grafički prikaz distribucione mreže


- 7 -

Prateći instrukcije koje se date u delu o algoritmu i njegovim koracima, dobijamo sledeću matricu najkraćih puteva izmeñu svih parova čvorova:

Tabela 1.Tabela 1.Tabela 1.Tabela 1. D=dij

n1 n2 n3 n4 n5 n1 5 5 7 6 4 n2 5 0 2 4 6 n3 7 2 0 6 8 n4 6 4 6 0 2 n5 4 6 8 2 0

Nakon izvršenog trećeg koraka dobili bi podatke kao što su prikazani u narednoj tabeli:

Tabela 2Tabela 2Tabela 2Tabela 2. D’=aijdij

n1 n2 n3 n4 n5 n1 0 250 350 300 200 n2 100 0 40 80 120 n3 350 100 0 300 400 n4 420 280 420 0 140 n5 160 240 320 80 0

Sumiranjem po vrstame, tabele 2, dobili bismo vrednost ukupnog

transporta, koja odgovara objektu koji je lociran u nj. U tom smislu, u ovom primeru dobili bismo vrednosti za n1 do n5 i to respektivno 1100, 340, 1150, 1260 i 800. Optimalno rešenje bi zadovoljavao onaj čvor u kome se nalazi objekat čiji su ukupni transportni troškovi najniži, a to je u ovom slučaju n2.

To znači da je medijana locirana u čvoru n2 sa najmanjim transportnim

troškovima koji iznose 340. Problem lociranja medijane se može dosta pojednostaviti, ukoliko

bismo umesto mrežnog dijagrama koristili linijski. Uporeñujuci postupak rešavanja problema izmeñu ova 2 grafa,

dolazimo do osnovne razlike. Ona se odnosi na to što kod linijskog dijagrama se sve svodi na jednu putanju izmeñu samih objekata, sto znatno pojednostavljuje problem čije optimalno rešenje u tom slučaju ne zavisi od razdaljine meñu objektima. Najveći doprinos ovoj oblasti dali su Hua Lo-Keng


- 8 -

(1962. god.) i Goldman 1971. godine, po kome je i nazvan algoritam za rešavanje problema. 2.3.1. Goldmanov algoritam2.3.1. Goldmanov algoritam2.3.1. Goldmanov algoritam2.3.1. Goldmanov algoritam

Kao što je već pomenuto, rešava se po sistemu linijskog dijagrama gde postoje čvorovi u liniji i viseći čvorovi, gde se ispituje pogodnost da baš taj viseći čvor bude lokacija za medijanu. Ukoliko jeste, onda je problem rešen i tu se staje. Meñutim, ukoliko taj viseći čvor ne zadovoljava uslove za medijanu, on se pripaja svom „komšiji“ koji se nalazi na glavnoj liniji, tako što se potražnja koja odgovara visećem čvoru dodaje potražnji čvoru na liniji i time se bukvalno briše viseći čvor. Ovaj proces se ponavlja n-puta, tj. sve dotle dok se ne pronañe optimalno rešenje.

Pomenuti algoritam se može prikazati sledećim primerom (na slici će

se potražnja prikazivati brojevima odmah do čvorova; razdaljina neće biti prikazana jer nije relevatna):

Slika 2.Slika 2.Slika 2.Slika 2. Ilustracija problema medijane Goldman-ovim algoritmom Vrednost ukupne potražnje iznosi 220 (20 + 40 + 30 + 60 + 70).

Posmatramo čvor n2 kao moguću lokaciju za medijanu. U tom slučaju ćemo imati situaciju da se čvorovi n1 i n3 nalaze s jdne strane, a sa druge ćemo imati čvorove {n4 i n5}. Njihove potražnje su respektivno 20, 30, 130. Pošto potražnja desne grupe čvorova prelazi polovinu (220/2 = 110), možemo zaključiti da čvor n2 ne predstavlja medijanu. Ukoliko uzmemo kao potencijalno rešenje neki drugi čvor, npr. n4, dobićemo dve grupe čvorova: {n1,n2,n3}, s jedne strane i n5 sa druge strane, čije su potražnje respektivno 90 i 70. Obe strane su manje od polovine, tj. manje od 110, pa samim tim smo i dobili zadovoljavajuće optimalno rešenje. Medijana se nalazi u čvoru n4.


- 9 -

2.4. Problem p2.4. Problem p2.4. Problem p2.4. Problem p----medijanemedijanemedijanemedijane

Problemi P-medijane u opštem slučaju, predstavljaju probleme NP-težine. To znači da se u rešavanju susrećemo sa praktičnim ograničenjima u smislu veličine problema za koje možemo linearnim programiranjem doći do optimalnog rešenja. Čak i primenom posebnih tehnika koje složen probem svode na problem sa umerenim brojem ograničenja, ipak se smatra da je granica problem sa oko 150 čvorova.

Osnovna razlika u odnosu na problem 1-medijane je ta što broj

mogućih rasporeda p-medijane na mreži, gde je razmatrano n objekata, jednak je broju kombinacija bez ponavljanja od n-elemenata p-te klase.

,

za p = 1,2,...,n

Takoñe, jasno se vidi da je za veći broj objekata i veći broj lokacija koje je potrebno izračunati, enormno veliki broj vrednosti. Tako na primer, za objekte locirane na 20 lokacija, ako se želi odabrati 5 lokacije za medijanu, potrebno je izračunati 15504 vrednosti, a za isti broj odabranih lokacija za medijane uz objekte locirane na 40 lokacija, neophodno je izračunati 658008 vrednosti, što je u realnom vremenu nemoguće bez pomoći kompjutera i odgovarajućeg softvera.

I pored nedostataka, celobrojno linearno programiranje ostaje

najčešće korišćenjeno u slučaju velikog broja manjih problema, izmeñu ostalog i problema p-medijane koji su meñu najčešće analiziranim u čitavoj tepriji lokacije.

U cilju rešavanja problema p-medijane do optimalnosti mogu se

koristiti brojne tehnike kao sto su linarno programiranje - tehnika grananja i ograničavanja, , , , posebne tehnike na bazi primene Lagranžovih množitelja i heuristike koje se zasnivaju na substituciji ili izmeni strategija, metaheuristike, genetički algoritmi, tehnike na bazi simulacije i heuristička koncentracija. Neki od ovih tehnika se detaljnije razmatraju u okviru celobrojnog linearnog programiranja.

Što se tiče složenijih problema, često se primenjuju Langražove

metode, posebno specijalan slucaj Lagranžovog duala koji pruža zadovoljavajuću vezu sa originalnim primalnim modelom.


- 10 -

2.4.1. Lagranžova relaksacija i problem p-medijane

Možemo identifikovati 5 koraka u primeni Lagranžove relacije u rešavanju problema p-medijane:

Korak 1: Korak 1: Korak 1: Korak 1:

Determiniše se matrica == )( ijgG )( ijidw i započinje proces sa skupom

Lagranožovih množitelja ,, Iii ∈λ i =∝UB i 0=LB

Korak 2: Korak 2: Korak 2: Korak 2:

Determiniše se matrica ),( ij∆=∆ tako da −=∆ ijij g;0min{ }iλ i

∑∈

∀∆=∆Ii

ijj j. Definiše se skup },{ jP = takav da je || P = p i

.,, PkPjkj ∉∈∀∆≥∆ .

Korak 3:Korak 3:Korak 3:Korak 3:

Rešenje je Pjy j ∈∀= ,1 , a 0 u svakom drugom slučaju.

Uzimamo da je 11* =∀= yx ij i .iijidw λ<

Računamo: ∑∑∈∈

−∆=Ii

i

Jj

jjD yz λ* i z = ijij

Ii Jj

i xdw∑∑∈ ∈

,

gde je 1=ijx i }.{min1;

ijiy

iji dwdw=

=l

l

Uzimamo za };min{: zUBUB = i za }.;max{: *

DzLBLB =

Korak 4: Korak 4: Korak 4: Korak 4: Proverava se da li je UB=LB?

Ukoliko jeste, trenutno rešenje ),( xy sa ciljnom vrednošću z je

optimalno.

Ukoliko nije, idemo na korak 5.

Korak 5:Korak 5:Korak 5:Korak 5: Peti korak podrazumeva odreñivanje ( )∑ ∑ −

−=

i j

ijx

LBUBt

2* 1

)(α i novih

množitelja { })1(;0max: * −−= ∑j

ijii xtλλ , zatim se vraća na na korak 2.


- 11 -

Primer Lagranžove relaksacije

U mreži na slici jednocifreni brojevi označavaju razdaljine, a dvocifreni težine:

SlikaSlikaSlikaSlika 3.3.3.3. Ilustracija problema primenom Langranžove relaksacije

Cilj je optimalno locirati 2=p objekata. Matrica najkraćih rastojanja je:

=

02753

20674

76029

57207

34970

D

a matrica gde je ., jidwg ijiij ∀= :

=

04014010060

1200360420240

280240080360

150210600210

1502004503500

G

Uzimamo da je 100,200 54321 ===== λλλλλ , a .1=α Sada matrica izgleda

ovako:

−−−

−

−−

−−

−−

=∆

100600040

0100000

00100200

00401000

50000200


- 12 -

sa }{iijij g λ−=∆ ;0min , a sume kolona su

( ) [ ]150160140120240 −−−−−=∆ j

Sada je { }4,1=P , pa je trenutno rešenje problema 141 == yy i to dalje

implicira sledeća rešenja primala ijx i rešenja duala *

ijx .

Ponovo je 1=ijx , za 1=jy a liy predstavlja minimum reda , i 1

*

=ijx ,

ako je 1=jy i 0<∆ ij .

=

01000

01000

01000

00001

00001

ijx i

=

01001

01000

00000

00000

00001

*ijx

Zatim je 4904002402100 =++++== xGz , i

200600160240* =+−−=+∆= ∑∑i

ijjD yz λ , tako da je 490=UB i 200=LB .

Postojeće rešenje nije optimalno i množitelji se moraju podesiti. Ovde

je 9710110

)200490(1≅

++++−

=t . Brojevi u denominatoru se dobijaju na osnovu

dualnog rešenja *

ijx .Rešenje dobijamo dodelom elemenata 0, 1, 1, 0, i 1.

Dobijeni su novi množitelji 100),1(97100,200 4321 =−−=== λλλλ , i

3)1(971005 =−=λ .

Uvoñenjem ovih množitelja dolazimo do nove matrice:

−

−

−−

−−−

−−

=∆

30000

0100000

001971170

4701371970

50000200

.

Sume kolona su sada:

( ) [ ]100100334314200 −−−−−=∆ ij .


- 13 -

Sada je { }3,2=P , pa je novo rešenje 132== yy i 0

541=== yyy .

Postupak se nastavlja na isti način, a rezultati su dati u tebeli, gde je sa # označen broj iteracija, a sa 1=jy lokacija objekta.

Tabela 3.Tabela 3.Tabela 3.Tabela 3. Rezultati dobijeni primenom LR

# Množitelji iλ 1=jy z *

Dz UB LB

1 200, 100, 100, 100, 100 (1, 4) 490 200 490 200

2 200, 197, 197, 100, 3 (2, 3) 810 49 490 200

3 258, 139, 139, 158, 61 (1, 4) 490 259 490 259

4 200, 197, 197, 158, 3 (2, 3) 810 107 490 259

5 246, 151, 151, 204, 49 (1, 4) 490 296 490 296

6 181, 216, 216, 204, 49 (2, 3) 810 152 490 296

7 220, 177, 177, 243, 88 (4, 5) 540 286 490 296

8 177, 177, 226, 194, 39 (2, 3) 810 141 490 296

9 210, 138, 187, 233, 78 (3., 4) 300 300 300 300

2.4.2. Greedy (proždrljiv) algoritam

Algoritam proždrljivosti koristi sledeći koncept: u prvom koraku navedenog algoritma rešava se problem 1-medijane. Nakon toga se čvor koji je identifikovan kao rešenje problema uvrsti u skup rešenja, a zatim u svakoj sledećoj iteraciji na isti način u rešenja uključuje po još jedan čvor. Uvrstavani čvorovi se biraju tako što se njihovim uključivanjem u rešenja najviše smanjuje ukupna vrednost rastojanja koja prelaze korisnici usluga. Na taj način se minimiziraju putni troškovi, vreme putovanja…

Princip je isti za odabir svih p medijana. Tada se smatra da je problem

rešen.

Korak 1: Korak 1: Korak 1: Korak 1: Da li je ?pJ =

Ako jeste, postupak se prekida jer trenutna lokacija p objekata

predstavlja rešenje. Ako nije: Postaviti 1:=l i idemo na korak 2.


- 14 -

Korak 2: Korak 2: Korak 2: Korak 2: Da li je 1+= nl

Ako jeste odreñujemo { }l

l

∆= minargk i lociramo objekat u čvoru kn ,

zatim se vraćamo na korak 1. Ako nije, idemo na korak 3.

Korak3:Korak3:Korak3:Korak3: Determinišemo ( { } } ,,;minmin1

Jddw iijJj

n

i

i ∉∀=∆∈=

∑ lll

(ako ,J∈l definišemo →∝∆l

), uzimamo da je ,1: += ll i vraćamo se na

korak 2. Primer algoritma proždrljivosti

Uzimamo da je 3=p broj objekata koje treba locirati. Formiramo

matricu najkraćih rastojanja i težinskih vektora ][ 40,70,50,20,60=w .

:D

02864

20646

86027

64205

46750

5

4

3

2

1

54321

n

n

n

n

n

nnnnn

Prva iteracija algoritma proždrljivosti je identična iteraciji u primeru problema 1-medijane. Ostaje ( ) ][ 900,820,200,1,920,030,1=∆=∆

l tako da prvi

objekat bude lociran u čvoru 4n . Kako je 1=J < p=3 , nastavljamo postupak. Sada imamo

( ) ][ 620,,480,480,460 ∞=∆=∆l

pa je drugi objekat lociran u čvoru 1n . U

sledećoj iteraciji, imamo da je ( ) ][ 380,,120,180, ∞∞=∆=∆l

pa je treći,

poslednji, objekat lociran u čvoru 3n .

Na taj način je postupak završen sa objektima u čvorovima 41 ,nn i 3n ,

ukupnim transportnim troškovima od 120 novčaniih jedinica, a ta je vrednost jednaka najmanjem

l∆ koju smo dobili u poslednjoj iteraciji.


- 15 -

2.4.3. Lokacijsko-alokacijska heuristika Korak 1: (Alociranje) Korak 1: (Alociranje) Korak 1: (Alociranje) Korak 1: (Alociranje) Dodeliti svakom skupu najbliži objekat, kako bi svi kupci S1,…,Sp; bili opsluženi sa k-objekata.... Korak 2: (Lociranje) Korak 2: (Lociranje) Korak 2: (Lociranje) Korak 2: (Lociranje) Za svako k=1,…,p, izvršiti optimizaciju lokacija k-objekata uzimajući u obzir sve kupce u Sk. Korak 3: Korak 3: Korak 3: Korak 3: Prethodna dva koraka se ponavljaju dok sve mogućnosti nisu ispitane. Primer lokacijske-alokacijske heuristike Razmotrimo ponovo sliku 1. Ako pretpostavimo da je broj objekata za koje tražimo lokaciju 2=p . Takoñe, pretpostavljamo da se objekti na početku

nalaze u čvorovima 1n i 2n , a date su nam lokacije { }511 , nnS = i

{ }4322 ,, nnnS = , takve da se iz 1n opslužuju kupci u iz 1n i 5n , a iz 2n , kupci

iz čvorova 2n , 3n i 4n . Ovakva konfiguracija za vrednost ciljne funkcije ima

540=z . Dobijamo matricu najkraćih rastojanja i težinskih vektora za čvor 1n :

=

04

401D

i ]40,60[1 =w , tako da je ]240,160[11 =Dw sa medijanom u 1n . Za drugi objekat imamo:

=

064

602

420

2D ,

]70,50,20[2 =w i ]380,460,380[22 =Dw pa imamo dve medijane, u 1n i 4n . Ako

bismo izabrali 2n , onda bi lokacija novih objekata bila u 1n i 2n . S obzirom da je ovako dobijeno rešenje jednako rešenju dobijenom u prethodnom koraku, metod konvergira rešenju sa vrednošću ciljne funkcije od 160 + 380 = 540. Ako bismo, umesto 2n , izabrali 4n , onda bismo dobili da je lokacija novih

objekata u 1n i 4n . Alociranje kupaca u sledećoj iteraciji daje { }11 nS = i

{ }54322 ,,, nnnnS = . Optimalno lociramo unutar odgovarajućeg skupa rezultata

na lokacijama 1n i 4n , tako da metoda ponovo konvergira. Vrednost ciljne funkcije sada iznosi 460, dakle dobijena je bolja vrednost. Ovim su


- 16 -

predočene prednosti “multi-start metode”, u kojoj je skup početnih rešenja poboljšan heuristikom poznatom kao tehnika lokacije-alokacije. Najbolje od rešenja dobijenih na ovaj način se bira kao konačno rešenje problema. Bitno je pomenuti da dobijeno rešenje ne mora biti optimalno, kao sto je slučaj sa parom lokacija 1n i 4n i vrednošću ciljne funkcije 460=z . Optimalno rešenje

dobijamo lociranjem u čvorovima 3n i 5n , i tada je vrednost ciljne funkcije

420=z . 2.4.4. Verteksova metoda substitucije

Primena Verteksove metode na problem p-medijane se bazira na sledećem konceptu. Kreće se od postojećeg rasporeda (početnog modela) p objekata, a zatim se sistematski razmatra relokacija za pojedinacni čvor. Ukoliko se zaključi da bi se na taj nacin dobila bolja vrednost ciljne funkcije, vrši se izmena, ukoliko to nije slučaj, razmatra se vrednost ciljne funkcije za relokaciju sledećeg čvora. Smatra se da je metoda završena kada se zaključi da se ponovnom iteracijom ne može doći do boljeg rešenja.

Postupak započinjemo sa probnim lokacijama objekata u skupu J, čija

je ciljna vrednost .Jz Skup JH ⊆ čvorova koji su već bili razmatrani za

zamenu je skup =:H Ø. Algoritam može biti predstavljen kroz 3 koraka: Korak 1: Korak 1: Korak 1: Korak 1: Proveravamo da li je H=J.

Ukoliko jeste, ovo je kraj procesa jer trenutna lokacija objekta predstavlja rešenje problema.

Ukoliko nije, idemo na korak broj 2. Korak 2: Korak 2: Korak 2: Korak 2: Izaberemo neki objekat HJn \∈

l izračunavamo

{ } JNndz ij

ni nnJj

\,min}{}{\

∈∀=∪∈

∑ µµ

µl

l i

{ }

lµµ

zk minarg= .

Korak3: Korak3: Korak3: Korak3: Proveravamo da li je µzzkl = .

Ako jeste { } { }

ll kjJk zzznnJJ +=∪= :,\: , idemo na korak 1.

Ako nije { }lnHH ∪=: , i idemo na korak 2.


- 17 -

Jedna skorija tehnika pod nazivom metoda heurističke koncentracije je izložena 1997. (Rosing i ReVelle). Njom se prvo heuristika, poput Verteksove motode, koristi kako bi se došlo do rešenja iz kojih je dobijen manji podskup originalnog skupa područja. Nakon čega se ovakav skup uključuje u formulaciju problema celobrojnog programiranja kako bi se izabrala najbolja alternativa. Tako dobijeno rešenje neće biti lošije od najboljeg rešenja koje smo dobili pri generisanju skupa alternativa. Ova dve faze u procesu su se pokazale kao jako dobre u iznalaženju optimalnog rešenja prioblema medijane.

Primer Verteksove metode supstitucije Ponovo razmatramo sliku II.9 i uzimamo da je broj objekata 2=p .

Pretpostavljamo da početno rešenje uključuje { }21 ,nnJ = , tako da je 540=jz . S

obzirom da za sada nijedan čvor nije zamenjen =H Ø.

U prvoj iteraciji biramo da je 1=l i razmatramo relokaciju objekta koji se nalazi u

čvoru 1n . Izračunavamo 82031 =z , 48041 =z i 48051 =z . Kako bi uklonili jednakost

između 41z i 51z , biramo da 1=k . S obzirom da je jzz =<= 54048041 , menjamo 1n sa

4n , tako da je { }42 ,nnJ = i 480=jz .

Druga iteracija počinje ponovo sa =H Ø. Biramo da je 2=l , pa se dobija

480,460 3212 == zz i 62052 =z , tako da je .1=k Pošto je jzz =<= 48046012 menjamo

2n sa 1n , i uzimamo i postavljamo { }41 ,: nnJ = sa .460=Jz

Treća iteracija počinje ponovo sa =H Ø, a uzimamo da je 1=l . Dalje se dobija

620,480,480 513121 === zz , pa je 1=k . Ipak, imamo da je Jzz =>= 46048021 , pa

imamo { }1nH = . Sa nepromenjenim skupom { }41 ,: nnJ = , uzimamo 4=l i dalje

dobijamo 54024 =z , 62034 =z i 59054 =z , pa je 2=k . Ponovo je Jzz =>= 46054024

pa redefinišemo { }41 ,: nnH = . I sada je JH = , pa se postupak završava sa rešenjem

da objekte treba locirati u čvorovima 1n i 4n sa vrednošću ciljne funkcije 460=z .

U pitanju je dovoljno dobro, ali ne i optimalno rešenje.


- 18 -

3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P3. PRIMENA PROBLEMA P----MEDIJANEMEDIJANEMEDIJANEMEDIJANE

U privatnom sektoru se uglavnom primenjuju u clju poboljšanja položaja firme na tržištu, dok je u javnom sektoru prioritet efikasnost obezbeñivanja usluge koja je u nadležnosti državnih organa, a poslednjih decenija rad u ovoj oblasti postaje sve značajniji u borbi za očuvanje životne sredine.

U razmatranju konkretnih slučajeva iz prakse na njih najčešće

nailazimo u saobraćaju. Naime, najveći broj saobraćajnih terminala moguće je zbog postojanja geografskih, urbanističkih, pravnih, ekonomskih i organizacionih ograničenja locirati samo u odreñenom broju čvorova.

Problemi p-medijane su često analizirani u rešavanju problema i na

makro i na mikro nivou. Na makro nivou primer bi bio donošenje odluke gde locirati skladište

koje prima robu iz vise fabrika sa poznatim lokacijama ili koje bi trebalo da distribuira robu mreži maloprodajnih objekata, dok je na mikro nivou, tipična primena problema iznalaženje optimalne lokacije za novu mašinu u okviru pogona fabrike.

3.1. 3.1. 3.1. 3.1. PrimerPrimerPrimerPrimer 1 1 1 1

Posmatramo slučaj distributivne mreže sa m maloprodajnih objekata, gde je zbog povećanja broja korisnika poželjno u mrežu uključiti još jedan objekat. Dakle, potrebno je minimizirati ukupne transportne troškove izmeñu postojećih i novog objekta.

m – broj objekata u mreži; ci - jedinični troškovi transporta izmeñu postojećeg objekta i novog; fi – veličina transportnog toka izmeñu postojećeg objekta i novog objekta 9 što može biti izraženo kao frekvencija transporta, količina…) xi, yi – koordinate postojećeg objekta i .

Tada je funkcija cilja u modelu medijane:

Gde su:

- ukupni troškovi transporta, distribucije i,

----optimalne koordinate.


- 19 -

S obzirom da je proizvod cifi poznat za svaku lokaciju, ona odgovara

težini wi koja je korespodentna objektu i. Uvoñenjem smene

funkcija cilja dobija sledeći oblik:

Minimum zbira jednak je zbiru minimuma.

Osim na ovaj način koordinate yx, se mogu razdvojiti i dobiti

nezavisno jer ukupni troškovi TC ustvari predstavljaju sumu troškova transporta u x i y smerovima. Pored toga, ove dve funkcije su nezavisne, odnosno, rešenje jedne ne utiče na rešenje druge.

Na osnovu definisanog primera, mogu se identifikovati osnovni koraci

jednog mogućeg pristupa u primeni ovog metoda: 1. Za postojeće objekte poreñaju se koordinate x po neopadajućem redosledu. 2. Pronalazi se j-ta koordinata x u kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

3. Za postojeće objekte poreñaju se koordinate y po neopadajućem redosledu. 4. Pronalazi se k-ta koordinata y u kojoj su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:


- 20 -

3.2. 3.2. 3.2. 3.2. Primer Primer Primer Primer 2222

Drugi problem koji razmatramo odnosi se na pronalaženje optimalne lokacije za skladište koje opslužuje 4 maloprodajna objekta od kojih svaki ima koordinate )( yx, . Poznat nam je i prosečan broj realizovanih transportnih

opsluga u nedelji izmeñu skladišta i malooprodajnog objekta ( )if .

Broj m.o.

X koordinata Y koordinata

Jedinični transportni troškovi (ci)

Prosečan broj realizovane transportne

opsluge u nedelji (fi)

1 10 2 1 6 2 10 10 1 10 3 8 6 1 8 4 12 5 1 4

Cilj je rešiti problem primenom metode medijane ako se pretpostavlja da sva putovanja počinju i završavaju se u skladištu. Korak 1. Korak 1. Korak 1. Korak 1. Reñamo koordinate po neopadajućem redosledu:

Broj m.o. X neopadajućem redosledu wi ∑

=

j

i

iw1

3 8 8 8 1 10 6 14 2 10 10 24 4 12 4 28

Korak 2. Korak 2. Korak 2. Korak 2. Pronalazimo j-te kooordinate cije su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

∑∑==

≥m

i

ij

i

i

ww

11 2odakle imamo da je 14

2

28

1

=≥∑=

j

i

iw

Kumulativne težine su jednake polovini ukupne težine, u ovom slučaju to će značiti da je optimalna koordinata x = 10.


- 21 -

Korak 3. Korak 3. Korak 3. Korak 3. Reñamo koordinate yi po neopadajućem redosledu:

Broj m.o. y neopadajućem redosledu wi ∑

=

j

i

iw1

1 2 6 6 4 5 4 10 3 6 8 18 2 10 10 28

Korak 4. Korak 4. Korak 4. Korak 4. Pronalazimo k-te kooordinate čije su kumulativne težine jednake ili prekoračuju polovinu ukupne težine:

∑∑==

≥m

i

ik

i

i

ww

11 2odakle imamo da je 14

2

28

1

=≥∑=

k

i

iw

Pošto smo dobili da su kumulativne težine veće od polovine ukupnh

težina, odnosno 18>14 na y=6, što je, u ovom slučaju, optimalna koordinata.

Dakle, optimalne koordinate su (10,6). Ukupne transportne troškove dobijamo iz izraza:

9211

=−⋅+−⋅= ∑∑==

yywxxwTC i

m

i

ii

m

i

i novčane jedinice.

4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE4. PRIMERI IZ PRAKSE 4.1. 4.1. 4.1. 4.1. Planiranje Planiranje Planiranje Planiranje prodajnih teritorija u Nema prodajnih teritorija u Nema prodajnih teritorija u Nema prodajnih teritorija u Nemaččččkojkojkojkoj

Ovde je problem razmatran sa aspekta lokacije postrojenja, i to kroz grupisanje manjih prodajnih jedinica u veće. Bio je poznat gornji i donji nivo prodaje, kao i n prodajnih jedinica konkretne prodajne teritorije s tim da je podrazumevano da agent pripada odgovarajućoj teritoriji odnosno, u okviru teritorije, odreñenoj prodajnoj jedinici. Definisana je maksimalna dozvoljena razdaljina prodajne jedinice kojoj pripada agent od onih koje snabdeva ili vreme putovanja. Dakle cilj se može formulisati kao identifikovanje m novih prodajnih teritorija kako bi se minimizirala ukupna razdaljina u koju je smešten trgovački agent od onih koje snabdeva u okviru novih prodajnih teritorija. On će dakle, snabdevati sve prodajne jedinice kojima je bliži od ostalih trgovačkih putnika i na taj način će se postići povoljnija vrednost ciljne funkcije.


- 22 -

Skup jedinica koje on opslužuje će formirati prodajnu teritoriju, dok će gornji i donji nivo tražnje u konkretnom modelu predstavljati ograničenja. Dodato je i ograničenje koje se odnosi na logičan zahtev da agent snabdeva prodajnu jedinicu ukoliko ne postoji bliži agent. U cilju postizanja što boljeg rešenja, poželjno je da početni podaci obuhvate definisane lokacije agenata kao ni broj novih teritorija. 4.2. 4.2. 4.2. 4.2. Relociranje vatrogasnih stanica u BarseloniRelociranje vatrogasnih stanica u BarseloniRelociranje vatrogasnih stanica u BarseloniRelociranje vatrogasnih stanica u Barseloni

Donešena je odluka o relokaciji vatrogasnih stanica pre svega zato što je njihov položaj odgovarao istorijskim okolnostima iz 1960. godine kada su izgrañene. Barselona je podeljena na 201 transportnu zonu, a za svaku je bio poznat procenjeni broj stanovnika i vreme putovanja izmeñu zona. Postavka problema je podrazumevala da dan bude podeljen na sedam intervala jer se vreme putovanja razlikuje u zavisnosti od doba dana pa je u skladu sa tim, za svako doba dana razvijen poseban scenario. Model p-medijana je na taj način bilo moguće primeniti jer je za njega potrebno poznavati vreme putovanja izmeñu zona.

Na osnovi postavke su analizirana dva moguća pristupa rešavanju

problema koji se zatim rešavao procedurom koju su razvili Teitz i Bart 1968. godine. Postavke su se razlikovale u kriterijumu.

Prvi kriterijum je minimax i podrazumeva dobijanje drugog rešenja za

svaki od scenarija u cilju minimizacije prosečnog vremena putovanja. Nakon formiranja matrice u kojoj su data izračunata vremena za svaki scenario i za svaku lokaciju, utvrñuje se maksimalno vreme putovanja za odreñeni scenario. Nakon dislociranja jednog čvora na drugo mesto, postupak se ponavlja. U slučaju da je dobijeno maksimalno vreme putovanja manje nego u prethodnoj fazi rešenje se zadržava, pa se u okviru njega vrši dislociranje nekog drugog čvora. Ukoliko dobijeno maksimalno vreme nije manje, vraća se na prethodni korak, i dislocira se neki drugi čvor.

Drugi krterijum je kriterijum minimalnog žaljenja. I drugi pristup

zahteva definisanje scenarija, a zatim rešavanje klasičnog p-medijana problema formiranjem matrice. Zatim se za svaku datu kombinaciju računa žaljenje koje je dato kao razlika izmedñu najkraćeg vremena za dati scenario i vremena koje smo dobili za konkretnu lokaciju. Sledeća faza uključuje odreñivanje maksimalnog žaljenja za svaki scenario pa se procedura ponavlja kao u slučaju primene prethodnog kriterijuma. Znači cilj je pronalaženje rešenja sa najmanjim žaljenjem.


- 23 -

5. ZAKLJUČAK5. ZAKLJUČAK5. ZAKLJUČAK5. ZAKLJUČAK

U prvom delu rada opisan je problem medijane sa aspekta teorijskih razmatranja, dok je u drugom delu bliže objašnjen postupak rešavanja zadataka i analiza kokretnih primera iz prakse kako bi se teorijska postavka lakše povezala sa realnim situacijama. S obzirom da se realni modeli češće odnose na primenu problema p-medijane u odnosu na probleme 1-medijane, oni su razmatrani kroz probleme prodajnih teritorija u Nemačkoj i relociranje vatrogasnih stanica u Barseloni. Kroz date primere može se uočiti da su potencijali primene motode p-medijane u najrazličitijim oblastima ogromni. Kao i da, uprkos brojnim radovima na ovu temu, teorija lokacije i dalje ima prostora za razvoj.

- 24 -

LITERATURALITERATURALITERATURALITERATURA 1.1.1.1. Arizanović G., Arizanović M., Erić D., „Rešavanje problema lokacije skladišta za potrebe preduzeća GLAST-PLAST iz Kruševca“, IMK, br. 29, januar 2008., str. 73-76. 2.2.2.2. Eiselt H.A., Sandblom C.-L., „Decision Analysis, Location Models, and Scheduling Problems“, Springer, 2004., pp. 188-205. 3.3.3.3. Kalcsics J., Melo T., Nickel S., Gundra H., “Planning Sales Territories – A Facility Location Approach”, Springer Verlag Berlin, 2002., pp. 141-148. 4.4.4.4. Serra D., Marianov V., “The P-Median Problem in a Changing Network: The Case of Barcelona”, VII International Symposium on Locational Decisions, Canada, Edmonton, July 23., 1996. 5.5.5.5. Teodorović D., „Transportne mreže“, Univerzitet u Beogradu, Beograd, 1996. 6666.... Vujošević M., Panić B., „Mrežni modeli lokacije i njihove primene“, Tehnička Dijagnostika, br. 3-4, 2006., str. 32-39.

Documents

Seminraski rad - Medijana