Univerzitet u Novom SaduTehniki fakultet Mihajlo PupinZrenjaninSEMINARSKI RADKAMATNI RAUNPredmetni nastavnik: Autor:dr Momilo Bjelica Grek Aleksandrabr. indeksa: 11/09M-25Dipl. akademske studije Inenjerski menadment MASTERSeminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________Zrenjanin, 2011. godinaSADRAJKamatni raun ... 31. Prost kamatni raun . 4 1.1. Neke primene prostog kamatnog rauna 41.1.1. Terminski raun .. 41.1.2. Eskontovanje ... 81.1.2.1. Komercijalni eskont ... 81.1.2.2. Racionalni eskont ... 91.1.2.3. Veza izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta . 102. Sloeni kamatni raun .. 11 2.1. Dekurzivni sloeni kamatni raun ... 112.1.1. Konformna kamatna stopa 162.1.2. Raun uloga kod dekurzivnog sloenog kamatnog rauna . 172.1.3. Raun uloga kod neprekidnog kapitalisanja 203. Literatura ... 212Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________KAMATNI RAUNKamatniraunjeraunkojiodreuje odnose kojise uspostavljajuizmeu dunikai poverioca. Naime, dunik pozajmljuje odreeni novac od poverioca na odreeno vreme i plaa odreenu novanu nadoknadu poveriocu, kao naknadu za korienje pozajmljenog novca. Suma koju dunik pozajmljuje od poverioca naziva se kapital ili glavnica i najee se oznaava sa K. Iznoskoji dunikgodinjeplaazasvakih100novanihjedinicaodpozajmljenog novca naziva se kamatna stopa ili interesna stopa. Kamatna (interesna) stopa se (isto kaoiprocentnastopa)moeizraavati iuprocentualnom i udecimalnomzapisu. Vezaizmeudecimalnogi procentualnogzapisakamatnestopepjeistakaoi kod procentne stope, tj: p(decimalni zapis) = p(procentualni zapis/100) . Ukupna suma koju dunik isplauje poveriocu, kao nadoknadu za pozajmljeni novac na odreenovreme, uzkamatnustopup, nazivase kamatailiinteresi najeese obeleava sa I. Vremetza koje dunik koristi novac poverioca i za koje se irauna kamata se moe dati u godinama ( tg), u mesecima ( tm)i u danima ( td).Ako je vreme za koje se rauna kamata dato u danima, onda se ono moe raunati ili po kalendaru uz pretpostavku da godina ima 360 ili 365 dana, to se obeleava sa (k,360) ili (k,365), ili uz pretpostavkuda svaki mesec ima 30dana, agodina 360ili 365dana, tose obeleava (30,360) ili (30,365).Kamatnastopap semoevremenskimenjati i moebitirazliita zarazliite iznose glavnice, to je predmet dogovora izmeu dunika i poverioca. Kamata se izraunava u nekim vremenskim intervalima,koji se odreuju dogovorom izmeu dunikai poverioca.Taj vremenski interval u kome se izraunava kamata se zove obraunski period. Kamatasemoeraunati naistuosnovicuusvimobraunskimperiodimai tadase takav raun naziva prost kamatni raun, a moe se raunati i tako to se osnovica, na koju se kamata rauna u datomobraunskomperiodu, uveava za kamatu iz prethodnogobraunskog perioda i tada se takav raun naziva sloen kamatni raun. 3Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________1. PROST KAMATNI RAUNProst kamatni raunjeraunkoji odreujezavisnosti izmeukapitala(glavnice)K, interesa (kamate)I, interesne (kamatne) stope p (koja je data na godinjem nivou)i vremena za koje se rauna kamata t, gde se kamata obraunava uvek na istu osnovicu. Ove zavisnosti odreuje sledea teorema.Teorema 1. (osnovna teorema prostog kamatnog rauna) Ako je dunik pozajmio glavnicu K od poverioca pod kamatnom (interesnom) stopom p, onda kamata (interes)Ikoju on mora da plati poveriocu posle vremenatdatog u godinama (t=tg)iznosigt p K I a njegov ukupni dug prema poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg)iznosi) 1 (g gt p K t p K K I K + + +Ako je vreme tdato u mesecima tm ili u danima td ( pod uslovima (k,360) ili (k,365)) onda vai365) 365 , (360) 360 , (12k t k t ttd d mg pa je kamata 365) 365 , (360) 360 , (12k t p K k t p K t p KId d m a ukupni dugje

,_

+

,_

+

,_

+ +365) 365 , (1360) 360 , (1121k t pKk t pKt pK I Kd d m1.1. Neke primene prostog kamatnog rauna 1.1.1.Terminski raun esto se deava da je dunik od poverioca pozajmio vie razliitih suma (glavnica) pod razliitimkamatnimstopama u razliitimvremenima i da eli da se u nekom vremenskomtrenutku odjednomrazdui i to ili pod istimkamatnimuslovima (kamatnimstopama) pod kojimse zaduio, ili pod nekimnovim, sa poveriocem dogovorenim, kamatnim uslovima izraenim preko neke nove srednje kamatne stope ps.4Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________Pitanje je kako nai vremenski period (odnosno vremenski trenutak)kada dunik treba da se razdui, a da ni on ni poverilac ne budu oteeni. Taj vremenski period se zove srednji rok plaanja, i nain na koji se on nalazi odreuje sledea teorema.Teorema 2. (srednji rok plaanja) Ako je dunik uzeo od poverioca na zajam sume K1, K2, , Knna vremenske periode t1, t2, , tn , uz kamatne stope p1, p2, , pn, , gde je glavnica Ki pozajmljena na vreme ti pod kamatom pi, tada se ove obaveze mogu odjednom vratiti u vreme ts koje je:a) za nepromenjene uslove razduivanja nkk knkk k ksp Kt p Kt11b) za nove, dogovorene uslove razduivanja, izraene kroz prosenu kamatnu stopu ps nkk snkk k ksK pt p Kt11U ovim formulama vreme tk(k=1,2,,n) moe biti u bilo kojim jedinicama. Banke ga uglavnom koriste u danima.Dokaz:Ukupna kamata dunika (ukupne obaveze) za pozajmljene iznose Ki, uzete za vremena ti pod kamatnim stopama pi gde je (i=1,2,,n), iznose (pod pretpostavkom da je ti dato u godinama, to ne utie na optost rezultata) + + + nkk k k n n nt p K t p K t p K t p K12 2 2 1 1 1...Ako se ove obaveze vraaju u vreme ts, vai:a) za nepromenjene uslove zaduivanja njihov iznos je: + + + nknkk k s s k k s n n s sp K t t p K t p K t p K t p K1 12 2 1 1...Ove obaveze koje se vraaju u trenutku tsmoraju biti jednake sa ukupnim obavezama dunika, jer samo tada ni poverilac ni dunik nee biti oteeni. Dakle,5Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________ nknknkk knkk k ks k k s k k kp Kt p Kt p K t t p K1 111b) za nove, dogovorene uslove razduivanja, izraene kroz prosenu kamatnu stopu ps njihov iznos je: + + + nknkk s s s s k s s n s s s sK p t t p K t p K t p K t p K1 12 1...Ove obaveze koje se vraaju u trenutku tsmoraju biti jednake sa ukupnim obavezama dunika, jer samo tada ni poverilac ni dunik nee biti oteeni. Dakle, nknknkk snkk k ks k s s k k kK pt p Kt K p t t p K1 111Kraj dokaza. Rok (datum) plaanja odreuje se dodavanjem izraunatog vremena tsonom vremenu od dospea obrauna u odnosu na koji smo odreivali vremena ti (i=1,2,,n). To vreme (taj datum) u odnosu na koji smo odreivali vremena ti(i=1,2,,n), se naziva epoha. Najee se za epohu uzima prvo dospee. Takoe se u praksi esto deava da su duniko poverilaki odnosi izmeu dva subjekta uzajamni, odnosno da postoje i dugovanja dunika prema poveriocu, ali i potraivanja od strane dunika ka poveriocu. Postavlja se pitanje kako odrediti vreme kada se moe isplatiti razlika izmeu dugovanja i potraivanja, a da ni dunik ni poverilac ne budu oteeni. Ovo vreme se naziva rok salda dugovanja i nalazi se na nain koji odreuje sledea teorema.Teorema 3. (rok salda dugovanja) AkosuK1, K2, , Knnovaneobavezenekogdunikauterminimat1, t2, ,tnsa kamatnim stopama p1, p2, ,pn respektivno i ako su njegova potraivanja P1, P2, , Pm u teminima t10, t20,, tm0 uz kamatne stopep10, p20,,pm0respektivno, tada je saldo dugovanja ts, dat saa) za nepromenjene duniko poverilake uslove nkmkk k k knkmkk k k k k ksp P p Kt p P t p Kt1 101 10 06Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________b) za nove, dogovorene uslove razduivanja izraene kroz prosenu kamatnu stopu ps

,_

nkmkk k snkmkk k k k k ksP K pt p P t p Kt1 11 10 0 Izraz nkmkk kP K1 1je ukupni saldo dugovanja i obino se obeleava sa S.Dokaz: Ukupne kamatne obaveze dunika prema poveriocu su jednake kamati koju on dugujepoveriocuzapozajmljeni novacumenjenoj zavrednost kamatekojunjemu dugujepoverilacnaosnovudunikovihpotraivanjaodpoverioca. Odnosnoukupne kamatne obaveze dunika su nkmkk k k k k kt p P t p K1 10 0a) utrenutkuts, kadaseduniki poverilac razduujuuznepromenjeneduniko-poverilakeodnose, kamatneobavezedunikamorajubiti isteukupnim(poetnim) kamatnimobavezama, jer samotakoni dunikni poverilac nee biti oteeni. U trenutku ts kamatne obaveze dunika su

,_

nkmknkmkk k k k s s k k s k kp P p K t t p P t p K1 1 1 10 0Dakle, imajui u vidu da ni dunik ni poverilac ne smeju biti oteeni vai: ,_

nkmkk k k knkmkk k k k k ksnkmkk k k k s knkmkk k k k kp P p Kt p P t p Kt p P p K t t p P t p K1 101 10 01 10 01 10b)u trenutku ts, kada se dunik i poverilac razduuju uz promenjene duniko-poverilake odnose, izraene novom srednjom kamatnom stopom ps,kamatne obaveze dunikamorajubitiisteukupnim (poetnim) kamatnim obavezama,jer samo takoni dunik ni poverilac nee biti oteeni. U trenutku ts kamatne obaveze dunika su7Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________S p t P K p t t p P t p Ks snkmknkmkk k s s s s k s s k ,_

1 1 1 1Dakle, imajui u vidu da ni dunik ni poverilac ne smeju biti oteeni vai:snkmkk k k k k knkmkk k snkmkk k k k k ksnkmkk k s s knkmkk k k k kp St p P t p KP K pt p P t p KtP K p t t p P t p K

,_

,_

1 10 01 11 10 01 101 10Kraj dokaza1.1.2. Eskontovanje U platnom prometu dugovanja i potraivanja (menice, hartije od vrednosti, krediti, i sl.) esto se planirane obaveze ne izvravaju u ugovorenim rokovima, ve kasnije ili ranije od planiranog. Naravno, mogu nastupiti sledei sluajevi:a) obaveza se realizuje tano u roku pa se onda plaa samo obaveza;b) obaveza se realizuje posle dospea (kasni), pa se onda ona poveava za interes za period zakanjenja;c) obaveza se realizuje pre dospea (ranije), pa se onda ona smanjuje za interes perioda ranije realizacije.Ako je u pitanju realizacija pre dospea, onda se ova operacija naziva eskontovanje. Interes za koji se obaveza smanjuje, a koji se obraunava od dana preuzimanja obaveze do dana njenog dospea naziva se eskont. Umanjena vrednost obaveze za iznos eskonta naziva seeskontovanavrednost.Stopa kojom se rauna interes naziva seeskontna stopa. U praksi se koriste dve vrste eskonta, komercijalni i racionalni eskont. 1.1.2.1. Komercijalni eskont Interes (eskont) izraunat nanominalnuvrednost obaveze(neumanjenu)prostim kamatnimraunomod dana eskontovanja do dana dospea obaveze, naziva se komercijalni eskont i oznaava sa Ek.Nain izraunavanja komercijalno eskontovane vrednosti odreuje sledea teorema.Teorema 4. (komercijalno eskontovana vrednost)Ako je Knnominalna vrednost obaveze, K0,kkomercijalno eskontovana vrednost obaveze u trenutku t=0, d- broj dana od dana eskontovanja do dana dospea obaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je komercijalno eskontovana vrednost K0,k data sa:8Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________

,_

3601, 0p dK Kn kDokaz: Dokaz teoremesledi direktno iz definicije komercijalnog eskonta kao interesa (eskont) izraunatog nanominalnu vrednost obaveze(neumanjenu)prostim kamatnimraunomoddanaeskontovanjadodanadospeaobaveze.Imajui uvidu pravila prostog kamatnog rauna, komercijalni eskont, obeleimo ga sa Ek, je360p d KEnk a komercijalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze umanjena za iznos komercijalnog eskonta, tj.

,_

3601, 0p dK E K Kn k n kKraj dokaza1.1.2.2. Racionalni eskont Interes (eskont) izraunat na aktuelnu vrednost obaveze (realnu vrednost obaveze u trenutkueskontovanja), tj. naeskontovanuvrednostobaveze, prostimkamatnim raunom od dana eskontovanja do dana dospea obaveze, naziva se racionalni eskont i oznaava sa Er.Nain izraunavanja racionalno eskontovane vrednosti odreuje sledeateorema.Teorema 5. (racionalno eskontovana vrednost)Ako je Kn nominalna vrednost obaveze, K0,r racionalnoeskontovana vrednost obaveze u trenutku t=0, d - broj dana od dana eskontovanja do dana dospea obaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je racionalno eskontovana vrednost K0,r data sa:3601, 0p dKKnr+Dokaz: Dokazteoreme sledi direktnoizdefinicijeracionalnogeskontakaointeresa (eskont) izraunatog na eskontovanu vrednost obaveze prostim kamatnim raunom od dana eskontovanja do dana dospea obaveze.Imajui u vidu pravila prostog kamatnog rauna, racionalni eskont, obeleimo ga sa Er , je360, 0p d KErr a racionalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze umanjena za iznos racionalnog eskonta, tj.9Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________36013601360, 0 , 0, 0, 0p dKK Kp dKp d KK E K Knr n rrn r n r+

,_

+ dok je vrednost racionalnog eskontap dK p dp dKp d KEn nrr++ 36013603601360, 0 Kraj dokaza1.1.2.3. Veza izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta Komercijalni i racionalni eskont su nejednaki usled toga to se u komercijalnom eskontuinteresraunananominalnuvrednost,tojesamatematikestranepotpuno neopravdano, jer je nominalna vrednost realno vea od stvarne. Vezu izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta odreuje sledea teorema.Teorema 6. (veza izmeu komercijalnog i racionalnog eskonta) Ako su Ek i Er komercijalni i racionalni eskonti respektivno, izraunati za d-broj dana od dana eskontovanja do dana dospea i za eskontovanu stopu p datu u decimalnom zapisu, onda je:r kEd pE

,_

+ 3601Dokaz:Kako je360p d KEnk a360, 0p d KErr sledi da je( )r r n r kEp dK Kp dE E 360 360, 0jer jer r nE K K , 0Sada je oigledno da vai:10Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________

,_

+ + 3601360p dE Ep dE Er r r kKraj dokazaAnalizirajui rezultat ove teoreme zakljuujemo da je komercijalni eskont uvek vei od racionalnog, odnosno Ek>Er, to sa svoje strane uslovljava da je komercijalna vrednost neke obaveze uvek manja od njene racionalne vrednosti, tako da prilikom otkupljivanja obavezapre rokakupacobavezaimainteresada insistirana komercijalnoj vrednosti obaveza dok to prodavcu ne odgovara. Matematiki realna vrednost obaveze je racionalno eskontovana vrednost.2. SLOEN KAMATNI RAUNKao to je ve reeno, osnovna razlika izmeu prostog i sloenog kamatnog rauna je u tome tosekodprostogkamatnograuna kamata usvimobraunskimperiodima obraunava na istusumu(poetnu glavnicu), a kodsloenogkamatnog rauna, u svakomobraunskomperiodu, kamataseraunanasveveuglavnicu, odnosnona glavnicu iz prethodnog periodauveanu za iznos kamate iz prethodnog perioda. Zbog ovakvog poveanja glavnice iz perioda u period, vei su iznosi kamate kod sloenog kamatnog rauna od kamata koje daje prost kamatni raun.Upraksi se kamata najee obraunava i dodaje kapitalu (kapitalie) godinje, polugodinje, kvartalno (tromeseno) i neprekidno uz kamatnu stopu p(decimalni zapis) koja se odreuje na godinjem nivou.Ako se izraunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vri na kraju svakog obraunskog perioda, tada se takvo raunjanje kamate naziva dekurzivnim i obeleava se slovom d uz kamatnu stopu, na primer 5%(d).Akoseizraunavanjekamatei njenododeljivanjekapitaluvri napoetkusvakog obraunskog perioda (unapred), tada se takvo raunjanje kamate naziva anticipativnim i obeleava se slovom a uz kamatnu stopu, na primer 5%(a).2.1. Dekurzivni sloeni kamatni raun Veliine koje figuriu prilikom izraunavanja dekurzivnog sloenog kamatnog rauna su:K0-poetna vrednost kapitala, odnosno glavnica koju je dunik pozajmio od poverioca pod odreenim kamatnim uslovimat - vreme na koje je dunik pozajmio novac, odnosno vreme posle koga se izraunava krajnja vrednost kapitalaKt-krajnjavrednost kapitala, odnosno zbir glavnice i kamate na tu glavnicu koje dunik duguje poveriocu posle vremena tp(d) - dekurzivna interesna (kamatna) stopa na godinjem nivou (decimalni zapis) 11Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________m - broj obraunskih perioda u toku jedne godine (ovaj broj je obino ceo broj)tm- vreme obraunskog perioda, odnosno vremenski interval obraunavanja kamate i njegovog dodavanja kapitalu l - ukupan broj obraunskih perioda u toku ukupnog vremena t na koje je dunik pozajmio novac (ovaj broj ne mora biti ceo broj)Naravno, proizvod ukupnog broja obraunskih perioda i vremena obraunskog perioda predstavlja ukupno vreme na koje je dunik pozajmio novac, odnosnomt l t odnosnomttl Takoe, ako je vreme obraunskog perioda (tm) dato u godinama, izmeu broja obraunskih perioda u toku jedne godine (m) i vremena obraunskog perioda datog u godinama (tm)vai sledea relacija1 mt mOdnos izmedju krajnje i poetne vrednosti kapitala kod sloenog kamatnog rauna, zadateuslovekamaenja, kadajevremenakojejedunikpozajmio novacjednako celom brojuobraunskih perioda (l je ceo broj)je odnos izmeu krajnje i poetne vrednosti kapitala i odreuje ga sledea teorema.Teorema 7. (sloen kamatni raun, vreme ukamaivanja je jednako celom broju obraunskih perioda) Akojedunikuzeoodpoverioca nazajamkapitalK0podgodinjomdekurzivnom kamatnomstopomp(decimalni zapis), uz godinjekapitalisanje umobraunskih perioda, onda posle vremena t koje je jednako l obraunskih perioda, gde je l ceo broj, krajnja vrednost kapitala Kt iznosiltmpK K

,_

+ 10Primena ove teoreme u sluaju kada je kapitalisanje godinje (m=1), a vreme za koje se rauna krajnja vrednost kapitala dato u godinama (t = n godina) daje sledee:( )nnp K K + 10U sluaju kada se m puta u toku godine vri kapitalisanje, a vreme za koje se rauna krajnja vrednost kapitala je takodje dato u godinama ( t = n godina), tada je12Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________n m l pa jen mmnmpK K

,_

+ 10Izraz( )nnpp

,_

+ +100%1 1se vrlo esto koristi u sloenom kamatnom raunu za razliite vrednostip% in , pa su, zbog njegove lake i bre primene, izraunate vrednosti tog izraza za razne vrednosti p% in, i date u vidu tablicenpI%.Recipronavrednost tablinihvrednosti tablice npI% jedatauvidutablicenpII%.Dakle, vai npnpIII%%1Teorema 7. definie odnos izmeu pet veliinaK0, Kt, p, m, l. Ako su poznate bilo koje etiriodovih veliina, ondaje uvekmogue izraunatipreostalu nepoznatuveliinu jednostavnim reavanjem jednaine date u Teoremi 7. po toj nepoznatoj veliini.Odnos izmedju krajnje i poetne vrednosti kapitala kod sloenog kamatnog rauna, za date uslove kamaenja, kada vreme na koje je dunik pozajmio novac nije jednako celom broju obraunskih perioda(l nije ceo broj): u praksi, vreme na koje je dunik pozajmio novac, esto nije jednako celom broju obraunskih perioda ( l nije ceo broj) . Veza izmeu krajnje i poetne vrednosti kapitala se u tom sluaju moe odrediti kombinovanjem metode prostog i sloenog kamatnog rauna (ovo su takozvane metodeprekidnog kapitalisanja), kao i metodomneprekidnog (kontinualnog) kapitalisanja. U ovom sluaju:a) je kolinik realan brojmttl b) i da , ako se sa1]1

mtt obelei ceo deo tog realnog broja, vaiost mmt tttt + 1]1

gdetostmoe biti dato:13Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________- u danima, obeleavamo ga sa tost (d) - u mesecima, obeleavamo ga satost (m) - u godinama, obeleavamo ga sa tost (g) Tako, na primer ako je: t = 7godina i 8 meseci (odnosno 92 meseca), a tm= 6 meseci onda je:333 , 1569268 12 7 + mtt156921]1

1]1

mtt( ) 6 15 92 1]1

+ 1]1

mmost ost mmtttt t t ttttmeseci = 2 mesecaMetode prekidnog kapitalisanja su: - racionalni metod - komercijalni metod. Nain izraunavanja krajnje vrednosti kapitala racionalnom metodomprekidnog kapitalisanja, odreuje sledea teorema.Teorema 8. (racionalni metod)Akojedunikuzeoodpoverioca nazajamkapitalK0podgodinjomdekurzivnom kamatnomstopomp(decimalni zapis), uz godinjekapitalisanje umobraunskih perioda, onda posle vremena tkrajnja vrednost kapitala Kt , po racionalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosimtttmpK K

,_

+ 10gde je tm vreme obraunskog perioda.Nain izraunavanja krajnje vrednosti kapitala komercijalnimmetodomprekidnog kapitalisanja, odreuje sledea teorema. Teorema 9. (komercijalni metod) Akojedunikuzeoodpoverioca nazajamkapitalK0podgodinjomdekurzivnom kamatnomstopomp(decimalni zapis), uz godinjekapitalisanje umobraunskih perioda, onda posle vremenat krajnja vrednost kapitala Kt,po komercijalnommetodu prekidnog kapitalisanja,iznosi:14Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________a) ako je tost u godinama( ) ( ) g t pmpK Kosttttm + ,_

+ 1]1

1 10b) ako je tost u mesecima( )

,_

+

,_

+ 1]1

121 10m t pmpK Kosttttmc) ako je tost u danima( )

,_

+

,_

+ 1]1

3601 10d t pmpK Kosttttmgde je tm vreme obraunskog perioda.Oiglednojedakomercijalnametodapredstavljakombinovanjesloenogi prostog kamatnog rauna, na nain, gde se za deo vremena t, koji predstavlja ceo broj obraunskih perioda 1]1

mtt,kamata obraunava pravilima sloenog kamatnog rauna, dok se za ostatak vremena tost, kamata obraunava pravilima prostog kamatnog rauna.Metodneprekidnogkapitalisanjaodreujekrajnjuvrednost kapitalakaograninu vrednostkrajnje vrednosti kapitala dobijene pomou metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obraunskih perioda u toku jedne godine tei u beskonanost (m). Nainizraunavanjakrajnjevrednosti kapitalaneprekidnimkapitalisanjemodreuje sledea teorema. Teorema 10. (neprekidno kapitalisanje) Akojedunikuzeoodpoverioca nazajamkapitalK0podgodinjomdekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz uslove neprekidnog kapitalisanja, onda posle vremena t datog u godinama,krajnja vrednost kapitala Ktiznosi:t pte K K 0Dokaz:Potojevremet datougodinama, ondauformuli zametoduracionalnog prekidnogkapitalisanjai vrednost zatm jetakoedataugodinama.Zatmdatou godinama , kao to je ranije reeno, vaimmtm t m11 15Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________pa imajui u vidu da metod neprekidnog kapitalisanja odreuje krajnju vrednost kapitala kaograninuvrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoumetoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obraunskih perioda u toku jedne godine tei u beskonanost (m), vai sledee:t pt ppmmt mmttmte KmpKmpKmpK Km

,_

,_

+ ,_

+ ,_

+ 0 0 0 01 lim 1 lim 1 limKraj dokaza.2.1.1. Konformna kamatna stopa Mogue je pokazati da se poveanjembroja kapitalisanja u toku jedne godine (poveanjem m), uz uslov nepromenjenosti kamatne stope p, poveavaju iznosi kamate i iznosi krajnje vrednosti kapitala Kt. Ovu injenicu zajmodavac (recimo tedia) moe iskoristititi tako, to bi podizao svoje uloge zajedno sa pripadajuom kamatom ranije od obraunskogperioda, i taj ulogzajednosapripadajuomkamatomponovopoistim uslovima oroavao. Ponavljanjemovakvog procesa, tedia bi postigao da mu se glavnica vie puta kapitalie od unapred dogovorenog broja kapitalisanja i samim tim mnogo vie uvea od oekivanog.Ovakve operacije postaju beskorisne ako banka uvede novu kamatnu stopu koja bi, i pored veeg broja kapitalisanja u toku jedne godine, davala za godinu dana iste iznose kamate kao i godinja kamatna stopa sa jednim kapitalisanjem.Takva kamatna stopa naziva se konformna kamatna stopa, i obeleavamo je sa pk,m (decimalni zapis).Teorema 11. (konformna kamatna stopa)Konformna kamatna stopa pk,m(decimalni zapis), tj. stopakojasamkapitalisanja poetnog kapitala K0u toku godine, daje isti iznos krajnje vrednosti kapitala Kt kao i kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem u toku godine, se izraunava po formuli:1 1, + mm kp pDokaz: Krajnja vrednost poetnog kapitala K0posle jedne godine sa godinjim kapitalisanjem kamatnom stopom p je( ) p K Kt+ 10dokkrajnja vrednost poetnog kapitala K0posle jedne godine uz m kapitalisanja u toku jedne godine sa kamatnom stopom pk,miznosi( )mm k tp K K, 01+ Iz uslova jednakosti ova dva kapitala, sledi( ) 1 1 1 1, , + + +mm kmm kp p p p16Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________Kraj dokaza.2.1.2. Raun uloga kod dekurzivnog sloenog kamatnog rauna Dosadanjaanalizadekurzivnogsloenogkamatnograunapodrazumevalaje jednokratni poetni ulog(poetni kapital K0 ), bez dodatnih ulaganja. Naravno, ovakva situacija je veoma retka, jer se esto ukazuje potreba za dodatnim ulaganjima.Dodatna ulaganja mogu biti u istim ili razliitim iznosima, u istim ili razliitim vremenskim intervalima, koji se mogu poklapati sa vremenskim intervalima kapitalisanja, a mogu biti ei ili rei od perioda vremena kapitalisanja.Dodatni ulozi su u istimiznosima i istimvremenskimintervalima, koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godinjeg dekurzivnog kapitalisanja: ako se dodatni ulozi ulauuistimiznosima napoetku svakogobraunskogperioda (na poetku svake godina), onda za takva ulaganja kaemo da su anticipativna. Teorema12. (anticipativni ulozi koji sepoklapajusavremenskimintervalima godinjeg dekurzivnog kapitalisanja) Akose poetkomsvake godine ulae suma odKdinara uz godinju dekurzivnu kamatnu stopu p(decimalni zapis) i godinje dekurzivno kapitalisanje, onda e stanje ukupnog kapitala anS za n godina biti11 rrr K Snangde jep r + 1Dokaz:Poto se suma od K dinara ulae na poetku svake godine, to e na kraju n-te godine prvi ulog od K dinara da naraste na ( )n nr K p K + 1dinara (odnosno prvi ulog e imati n obrauna), drugi ulog e narasti na( )1 11 + n nr K p Kdinara (imae n-1 obrauna) i tako redom sve do poslednjeg uloga koji e imati samo jedan obraun i koji e da naraste na( ) r K p K + 1dinara.17Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________Ukupan kapital nakon ovih n godina je naravno suma svih ovih iznosa i on iznosi:( )11... 1 ...1 2 1 + + + + + + + rrr K r r r r K r K r K r K Snn n n anjer je 1+ r + r2 ++ rn-1 suma konanog geometrijskog reda.Kraj dokaza.Izraz 11rrrnse naziva faktor dodajnih uloga i njegova vrednost za dato p% i n se daje u vidu treih kamatnih tablicanpIII%, odnosno 11% rrr IIInnppa jenpanIII K S% Ako se dodatni ulozi ulau u istim iznosima na kraju svakog obraunskog perioda (na kraju svake godine), onda za takva ulaganja kaemo da sudekurzivna. Teorema 13. (dekurzivni ulozi koji se poklapaju sa vremenskimintervalima godinjeg dekurzivnog kapitalisanja) Ako se krajem svake godine ulae suma od K dinara uz godinju dekurzivnu kamatnu stopu p(decimalni zapis) i godinje dekurzivno kapitalisanje, onda e stanje ukupnog kapitala dnSza n godina biti:11 rrK Sndngde jep r + 1Dokaz: Poto se suma od K dinara ulae na kraju svake godine, to e na kraju n-te godine prvi ulog od K dinara da naraste na( )1 11 + n nr K p Kdinara (odnosno prvi ulog e imati n-1 obrauna), drugi ulog e narasti na( )2 21 + n nr K p K18Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________dinara (imae n-2 obrauna) i tako redomsve do poslednjeg uloga koji se nee kapitalisati, odnosno iznosie K dinara. Ukupan kapital nakon ovih n godina je naravno suma svih ovih iznosa i on iznosi:( )11... 1 ...1 2 2 1 + + + + + + + rrK r r r K K r K r K Snn n n dnjer je 1+ r + r2 ++ rn-1 suma konanog geometrijskog reda.Kraj dokaza.Poto je( )1 11111 111111%1 1+ + + + npn n n nIIIrrrrr r rrr r rrrvai da je ( ) 11% + npdnIII K SDodatni ulozisu u istim iznosima i ulau se u istim vremenskim intervalima, m puta u toku godine, uz primenu godinjeg dekurzivnog kapitalisanja: oigledno je da je u ovom sluaju ulaganje ee od kapitalisanja, (odnosno ulaemo m puta u toku jedne godine, a kapitaliemo samo jednom). Meutim, primenom konformne kamatne stope mi moemo izjednaiti broj kapitalisanja sa brojemulaganja, i samimtim primeniti formule za izraunavanje ukupnog kapitala.Naime, poTeoremi11., konformnakamatnastopapkimasamkapitalisanjautoku godine iste efekte kao i godinja kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem, naravno uz uslov da je1 1, + mm kp pPrimenom konformne kamatne stope, broj kapitalisanja za period od n godina, postaje jednak broju ulaganja za taj isti period i naravno on iznosi n m, tako da vai sledea teorema.Teorema 14. (ulaganja ea od kapitalisanja)AkoseuistimvremenskimintervalimaulaeistasumaodKdinaramputautoku godine, po godinjoj kamatnoj stopi p i godinjem kapitalisanju, onda stanje ukupnog kapitala posle n godina iznosi:a) za sluaj anticipativnog ulaganja19Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________11 kn mkkanrrr K Sb) za sluaj dekurzivnog ulaganja11 kn mk anrrK Sgde je1 1, + mm kp pam k kp r,1+ 2.1.3. Raun uloga kod neprekidnog kapitalisanja Prilikomkorienjaneprekidnogkapitalisanja mnogi problemi pri izraunavanjuse uproavaju, a neki od njih gube i smisao, poput, recimo anticipativnog i dekurzivnog ulaganja.Neprekidno kapitalisanje dosta jednostavno izraunava stanje uloga za sluaj nejednakih uloga u nejednakim vremenskim intervalima ulaganja, to odreuje sledea teorema.Teorema 15. (raun uloga pri neprekidnom kapitalisanju)AkosuuloenesumeK1, K2, , Knuvremenimat1, t2, , tn, pri neprekidnom kapitalisanju uz godinju kamatnu stopu p, onda stanje svih uloga u trenutku ts (gde je ti tsza i=1,2,,n) iznosi( ) nkt t pk ti sse K S1gde je vreme t dato u godinama.Vremenski interval ts-tk, k=1,2,,n predstavlja vremenske razmake od trenutka ulaganja tk do trenutka izraunavanja stanja na raunu ts, izraene u godinama.3. LITERATURA20Seminarski rad iz predmeta Finansijska matematikaKamatniraun______________________________________________________________________[1] prof. dr elimir Branovi, Poslovna matematika sa primerima i zadacima, Tehniki fakultet Mihajlo Pupin, Zrenjanin, 2005.[2] Branislav Ivanovi, Matematika za ekonomiste, Nauna knjiga, Beograd, 1996.[3] Koovi Jelena, Finansijska matematika, Ekonomski fakultet, Beograd, 1993.[4] Marko Backovi, Jovo Vuleta, Ivana Prica, Zoran Popovi, Ekonomsko matematiki metodi i modeli, Ekonomski fakultet, Beograd, 2008.21