Sveuulite J.J Strossmayer

Elektrotehniki fakultet Osijek

Razlikovna godina

FRAUNHOFEROV OGIB SVJETLOSTI

NA PUKOTINI I HEISENBERGOVE

RELACIJE NEODREENOSTI

bacc. ing. Antonio Pu bacc. ing. Nemanja Niki

bacc. ing. Tomislav Renduli bacc. ing. Zvonimir Mor

bacc. ing. Mario Juri bacc. ing. Matija Babi

bacc. ing. Tvrtko Cvetani bacc. ing. Davor Gregani bacc. ing. Vedran Tukera

bacc. ing. Antonio Horvat bacc. ing. Filip Mikuli

bacc. ing. Ivan Ljusavec

Osijek, 2014

1. Uvod

Difrakcija ili ogib svjetlosti predstavlja prividno skretanje svjetlosti sa pravca u kojem se svjetlost prostire prilikom nailaenja na otvor ili prepreku.

Ogib se zbiva prema Hygens-ovom principu odnosno da svaka toka obasjane pukotine postaje izvor novog elementarnog vala i iri se u smjeru napredovanja vala. Kada je irina pukotine vea od valne duljine, interferencijom elementarnih kuglastih valova u odreenim dijelovima prostora iza pukotine nastaje valno gibanje, a u drugim se valno gibanje ponitava. Ako je irina pukotine manja od valne duljine, tada je rezultat interferencije tih valova kuglasti val u cijelom prostoru iza pukotine.

Interferencija svjetlosti je preklapanje dvaju ili vie valova svjetlosti. Interferenciju je mogue uoiti ako su ispunjena dva uvjeta: izvori moraju biti koherentni (razlika u fazi izmeu valova iz dva izvora svjetla je konstantna u vremenu (stalna razlika u fazi)) i drugi uvjet da izvori moraju biti monokromatski, odnosno iste frekvencije.

Koherentni izvor svjetla moemo dobiti pomou lasera, dok nekoherentno pomou arulje sa arnom niti ili fluorescentne arulje.

Trenutno postoje dvije teorije prirode svijetlosti. Prva je postavio Isaac Newton, te ona kae da je svijetlost snop estica koje se gibaju velikom brzinom. Drugu teoriju je postavio Christiaan Huygens, koji je smatrao da je svijetlost impuls koji se kree kroz neko elastino sredstvo. Potvrdu svoje teorije dobio je eksperimentima Thomasa Younga demonstrirajui interferenciju valova na dva bliska otvora. Ovaj pokus mu je pomogao doi do zakljuka da se svjetlost prostire kao val, nasuprot tvrdnjama mnogih znanstvenika da svjetlost ima estinu prirodu.

Meutim tek je Albert Einstein pretpostavio dualnu prirodu svjetlosti. On je smatrao da se svjetlsot sastoji od kvanata svjetlosti koji mogu imati valna i estina svojstva.

U ovom radu razmatrat emo Fraunhoferov ogib, tj. difrakciju kod koje se promatraju paralelni snopovi svjetlosti te se smatra da je izvor svjetlosti u beskonanosti i da su valne fronte ravnine.

Budui da u praksi ne moemo imati izvor beskonano udaljen od zaslona, moemo aproksimirati fraunhoferov ogib ako vrijedi izraz (1).

2

1W

L

U naem sluaju promatrat emo sustav koji se sastoji od lasera valne duljine 632,8nm, pukotine 0,1mm, udaljene do zaslona 1140mm. Kad to uvrstimo u izraz (1) dobijemo da ovako zadan sustav moemo promatrati kao da imamo Fraunhoferov ogib.

Kad valna fronta doe na pukotinu koju podijelimo u tanke pruge irine dx, one e se ponaati kao izvori novog elementarnog cilindrinog vala koji se iri u svim smjerovima. Svaki element pruge pukotine pridonosi ukupnom intenzitetu u toki P, ali budui da udaljenost koju mora proi val A (slika 2) nije jednaka udaljenosti vala B javit e se pomak u fazi izmeu tih valova.

Slika 1. Fraunhoferova difrakcija

Slika 2. Difrakcija na jednoj pukotini

Interferencijom tih valova (A i B) na pojedinima mjestima na zaslona doi e do konstruktivne ili destruktivne interferencije, tj. pojaanja ili priguenja intenziteta svijetlosti u toki P na osi x zaslona. Rezultat toga je vidljiv na slici 3.

Slika 3. Intenzitet svjetlosti difrakcije u odnosu na poloaj od osi reetke

Razlika u fazi izmeu vala iz toke A i onog iz toke s koordinatom x je:

2sin sinj x kx

= =

(2)

Valovi u krajnjim toaka najvie se razlikuju u fazi i to za

sinmj ka = (3)

Elektrino polje, koje u toki P dolazi valom iz djelia pukotine dx koje je poloaj odreen koordinatom x, moe se prikazati funkcijom:

0 cos( )dx

dE E t ja

= +

(4)

gdje je faktor 1/a dodan da bi relacija bila dimenzionalno ispravna i da bi ukupna amplituda bila E0

kada je = 0. Relaciju moemo prikazati i pomou realnoga dijela eksponencijalne funkcije s

imaginarnim eksponentom:

( )0

i t dxE E ea

+=

(5)

Rezultantno titranje u toki P dobiva se zbrajanjem svih elementarnih titranja, uzevi u obzir njihovu razliku u fazi.

( ) sin00

0 0

a ai t i t ikxEdxE E e e e dx

a a += =

(6)

rjeavanjem dobijemo:

sin

0

1

sin

ikxi teE E e

ika

=

(7)

Intenzitet svjetlosti razmjeran je prosjenoj vrijednosti kvadrata amplitude elektrinog polja:

*1

2I EE

=

(8)

Raspodjela intenziteta po kutu :

2

0 2

sinsin

2

sin2

ka

I Ika

=

(9)

gdje je I0 intenzitet sredinjeg maksimuma, tj. intenzitet za = 0. Zamjenom sa:

sinsin

2

ka ay

= =

(10)

formula poprima jednostavniji oblik:

2

0 2

sin yI I

y=

(11)

Za = 0 dobivamo sredinji maksimum: tada je y = 0 i siny = 0, pa je i I = I0. Minimumi nastaju uvijek kada je siny = 0 (za y 0). Uvjet za minimum glasi:

sinn

a

= n=1,2,3, (12)

2. Eksperimentalni dio

Mjerenje raspodjele intenziteta svjetlosti

pri Fraunhoferovom ogibu svjetlosti na pukotinama

Na sl. 4. prikazan je eksperimentalni postav za mjerenje raspodjele intenziteta svjetlosti pri

Fraunhoferovom ogibu svjetlosti na pukotinama. Eksperimentalni postav sastoji se od:

a) lasera He-Ne

b) kliznog okvira

c) fotoelmenta

d) voltmetra

e) univerzalnog mjernog pojaala

f) optike profilne-klupe

g) spojnog kabla

Slika 4. Eksperimentalni postav

Vano: Radi osiguranja konstantne jakosti svjetla lasera, laser treba ukljuiti pola sata prije

poetka eksperimenta, mjerenje treba obavljati u tamnoj sobi ili u sobi sa konstantnim

svjetlom, ako to nije mogue, ispred fotoelije se moe staviti to dua cijev (promjera oko

4cm) pocrnjena sa unutranje strane.

Postupak pri mjerenju sastoji se od nekoliko koraka:

1. korak: Pukotine irine d = 0,1mm postavite na udaljenost b =1140 mm od fotoelementa.

2. korak: Najprije traite poloaj glavnog maksimuma i oitavate pripadnu vrijednost napona

na voltmetru. Vrijednost koja je postavljena na kotaiu za pomicanje fotoelementa uzimamo

kao nau referentnu vrijednost, tj. nulu.

3. korak: Okretanjem kotaia za pomicanje fotoelementa u jednu stranu promatrate kako se

vrijednosti napona na voltmetru mijenjaju.

4. korak: Kada se fotoelement nalazi na mjestu prvog minimuma ( poloaj u kojem voltmetar

pokazuje najmanji napon na U) oitajte udaljenost fotoelementa od poetnog poloaja i

njemu pripadajui napon. Jedan okret kotaia za 360 pomakne fotoelement za 0,5mm.

5. korak: Taj postupak nastavite sve dok ne oitate vrijednosti i za 2. minimum te 1. i 2.

Maksimum

6. korak: Isti postupak ponovite za pukotinu irine d = 0,2mm na udaljenosti b = 1031mm od

fotoelementa.

a) Valni pristup:

Kada paralelna, monokromatska i koherentna zraka svjetlosti valne duljine prolazi kroz otvor

irine d na zaslonu se pojavljuje uzorak loma za glavni maksimum i nekoliko sekundarnih

(sporednih) maksimuma.

Slika. 5. Difrakcija (Franhofer) na velikoj udaljenosti

Intenzitet svjetlosti I, kao funkcija kuta otklona , u skladu sa Kirchoffovom formulom

otklona:

2sin

( ) (0)I I

=

(14 )

Gdje je

sind= (15)

Poloaj minimuma je:

dnn

arcsin= , gdje je n= 1, 2, 3, .... (16)

Kut za pojavljivanje maksimuma je:

o00 =

1 arcsin 1.430d

=

(17)

Relativne visine sekundarnih maksimuma:

)0(0472.0)( 1 II = (18)

)0(0165.0)( 2 II =

Intenzitet svjetlosti (I) je proporcionalan oitanom naponu (U) na voltmetru pa relacije (18)

moemo provjeriti preko napona:

)0(0472.0)( 1 UU =

)0(0165,0)( 2 UU = (19 )

2 arcsin 2.459d

=

Pozicije maksimuma i minimuma se raunaju preko pravokutnog trokuta:

Slika 6.

b

atg =

(20)

gdje vrijedi:

za minimume:

kut pojavljivanja minimuma

b = 1140 mm (udaljenost pukotine od fotoelementa)

a = udaljenost promatranog minimuma od glavnog maksimuma

za maksimume:

kut pojavljivanja maksimuma

b = 1140 mm (udaljenost pukotine od fotoelementa)

a = udaljenost promatranog maksimuma od glavnog maksimuma

b) Kvantno-mehaniki pristup:

Heisenbergov princip neodreenosti kae da dvije kanoniki konjugirane veliine kao poloaj

i koliina gibanja ne mogu biti tono odreene u istom trenutku. Ako uzmemo, za primjer,

ukupan broj fotona ija je gustoa vjerojatnosti opisana funkcijom fy i ija je koliina gibanja

(impuls) opisana funkcijom fp. Neodreenost poloaja y i koliine gibanja p je definirana

standardnim devijacijama kao:

4h

py (21)

gdje je 34106262.6 =h Js , Planckova konstanta (konstanta akcije). Za niz fotona koji

prolaze kroz pukotinu irine d, izraz je:

y=d (22)

Meutim, fotoni ispred pukotine se gibaju samo u smjeru okomito na ravninu pukotine (x-

smjer), no nakon prolaska kroz pukotinu imaju i komponentu u y-smjeru.

Koristimo prvi minimum da bi definirali neodreenost brzine (sl. 7. a i b).

Slika 7. Geometrija difrakcije na jednoj pukotini:

a) poloaj prvog minimuma, b) komponenta brzine fotona

1sin= cv y (23)

gdje je 1 kut prvog minimuma.

Neodreenost koliine gibanja je dakle:

1sin= cmp y (24)

gdje je m masa fotona i c brzina svjetlosti.

Koliina gibanja i valna duljina estice su povezani de Broglie-vom relacijom:

cmph ==

(25)

Prema tome,

1sinh

p y =

(26)

Iz (16) kut prvog minimuma je:

d

=1sin (27)

Ako uvrstimo (27) u (26) i (22) dobijemo jednadbu neodreenosti:

hpy y == (28)

Ako je irina stranice y manja, prvi min. difrakcijske slike se dogaa pod veim kutovima

1. U naem eksperimentu kut 1 je odreen poloajem prvog minimuma (Slika 7. a):

b

atg =1 (29)

Ako uvrstimo (29) u (26) dobivamo:

sinyh a

p arctgb

=

(30)

Uvrtavanje (22) i (30) u (28), nakon dijeljenja s h, daje:

sin 1d a

arctgb

=

(31)

Rezultati mjerenja potvruju (31) unutar granica pogreaka.

3. Rad u laboratoriju

Zadatak 1:

Izmjerene vrijednosti napona i poloaja klizaa s fotoelementom glavnog i sporednih

minimuma i maksimuma unesite u tablice. Za mjerenja s pukotinom irine d = 0.1 mm na

udaljenosti b =1140 mm od pukotine.

Tablica 1.

D=0,1 mm a (mm) U (mV) a (mm) U (mV)

Glavni max. 0 2,43 0 2,43

1. min -8,25 -0,1 7,75 0

1. max -11,25 -0,19 10,75 0,1

2. min -17,75 -0,18 14,5 0

2. max -15,5 -0,26 17,5 0,04

Zadatak 2:

Izmjerene vrijednosti napona i poloaja klizaa s fotoelementom glavnog i sporednih

minimuma i maksimuma unesite u tablice za mjerenja s pukotinom irine d = 0.2 mm na

udaljenosti b =1031 mm od pukotine.

Tablica 2.

D=0,2 mm a (mm) U (mV) a (mm) U (mV)

Glavni max. 0 16,45 0 16,45

2. min -2,5 0,2 2,25 0,28

3. max -5 0,77 3,5 0,73

4. min -7 0,21 5,5 0,29

2. max -8,5 0,34 7,25 0,51

Zadatak 3:

Vrijednosti a i b za prvi minimum uvrstite u izraz (31) i utvrdite koliki je izmjereni

koeficijent za obje pukotine. Popunite tab. 3 (=632.8 nm)

Tablica 3.

irina pukotine d/mm Prvi minimum a/mm Udaljenost pukotine

od fotoelementa b/mm )sin(

b

aarctg

d

0.101 7.75 1140 1.09

0.202 3.5 1031 1.084

Zadatak 4:

Za dobivenu vrijednost u zadatku 3. odredite tonost mjerenja u odnosu na oekivanu

vrijednost (za obje pukotine).

Oekivana vrijednost prema izrazu (31) iznosi 1, te iz toga slijedi:

%0,101

%0,202

1,009 1100% 0,9%

11,084 1

100% 8,4%1

p

p

= =

= =

4. Analiza rezultata

Zadatak 1:

a) Koristei relaciju (16) izraunajte kutove pojavljivanja minimuma.

=632,8 nm arcsin , 1,2,3,...n n nd = =

Tablica 4.

d (mm) 1 2

0,101 0,359 0,718

0,202 0,179 0,359

b) Koristei relaciju (17) izraunajte kutove pojavljivanja maksimuma. (Kutove izrazite

u stupnjevima.)

=632,8 nm , 1 arcsin 1,430d =

, 2 arcsin 2,459d

=

Tablica 5.

d (mm) 1 2

0,101 0,513 0,883

0,202 0,266 0,441

Zadatak 2:

a) Odredite visine sekundarnih maksimuma pomou jednadbi (19) kao omjere

intenziteta svjetlosti )0(

)(

I

I n ,(oitane kao :)0(

)(

U

U n ) za izraunate i eksperimentalno

odreene kutove , gdje je n broj sekundarnog maksimuma.

( ) ( )( ) ( )

1

2

0,0472 0

0,0165 0

U U

U U

=

=

Za sluaj d=0,101 mm

1

2

( ) 0,11.max 0,0412

(0) 2,43

( ) 0,042.max 0,0165

(0) 2,43

U

U

U

U

= = =

= = =

Za d=0,202 mm

1

2

( ) 0,771.max 0,0468

(0) 16,45

( ) 0,342.max 0,0207

(0) 16,45

U

U

U

U

= = =

= = =

b) Procijenite tonost mjerenja eksperimentalno dobivenih visina sekundarnih

maksimuma.(Prihvaene vrijednosti visina sekundarnih maksimuma dane su u izrazu

(19).)

%0,101( 1)

%0,101( 2)

0,0412 0,0472100% 12,7%

0,0472

0,0165 0,0165100% 0%

0,0165

k

k

p

p

=

=

= =

= =

%0,202( 1)

%0,202( 2)

0,0468 0,0472100% 0,8%

0,0472

0,0207 0,0165100% 25,45%

0,0165

k

k

p

p

=

=

= =

= =

Zadatak 3:

Nacrtajte graf ovisnosti intenziteta svjetlosti I (oitane preko napona U) o udaljenosti a (iz tab

l. i tab 2.) kao funkciju I =f (a) - pretpostavite da su izmjerene vrijednosti jednake

(simetrine) na obje strane grafa.

Graf 1. Ovisnost intenziteta o udaljenosti a za pukotinu d=0,101mm

Graf 2. Ovisnost intenziteta o udaljenosti a za pukotinu d=0,202mm

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

U (

mV

)

a (mm)

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

-10 -5 0 5 10

U (

mV

)

a (mm)

Usporedba simulacije i izmjerenih veliina

Na kraju ovog rada radili smo raunalnu simulaciju ogiba svjetlosti za pukotinu od 0,101

mm, te smo dobivene rezultate simulacije usporedili sa izmjerenim vrijednostima.

Graf 3. prikazuje intenzitete dobivene raunski i pomou simulacije

Graf 3. Intenzitet dobiven raunski i eksperimentalno

Iz navedenog grafa moemo primijetiti da imamo znaajno odstupanje na kraju mjerenja to

moe biti kako posljedica promjene vanjskog intenziteta osvjetljenja u laboratoriju, ili

vanjskih meteorolokih uvjeta. Prilikom podeavanja fotoelementa kalibrirali smo ga samo na

poetku izvoenja mjerenja i u tom dijelu se rezultati poklapaju sa oekivanima

vrijednostima.

Ova pogreka bi se prilikom mjerenja mogla smanjiti ako tokom mjerenja na vie mjesta

provjeravamo dali fotoelement pokazuje istu vrijednost kad nije obasjan laserskom

svjetlou, te po potrebi zapisivati potrebne korekcije vanjskog intenziteta svijetla.

-0,2000

0,0000

0,2000

0,4000

0,6000

0,8000

1,0000

1,2000

-30 -20 -10 0 10 20 30

I

N

T

E

N

Z

I

T

E

T

UDALJENOST (mm)

=632,8nm, L=1140mm, n=1, 0.1mm

Intenzitet

ekperimentalno

Intenzitet

simulacija

Budui da je graf simetrian sa ishoditem, prilikom izrauna pogreaka koristili smo samo

lijevu (toniju) polovicu grafa u tablici 6.

Tablica 6. prikazuje dobivene vrijednosti minimuma i maksimuma za simulaciju i

eksperimentalini dio, te odstupanja eksperimentalnog dijela.

Tablica 6.

Udaljenost Intenzitet Udaljenost Intenzitet Razlika Odstupanje Oekivani Odstupanje Odstupanje

simulacija simulacija eksperiment eksperiment udaljenosti % intenziteti simulacija eksperiment

Glavni

max 0 1 0 1 0

1 0 0

1.min 7,5 0 8 0,04 0,5 6,67%

1.max 10,5 0,047 9,3 0,078 -1,2 -11,43% 0,0472 0,00020 -0,03080

2.min 15 0 12 0,062 -3 -20,00%

2.max 18,5 0,016 16,75 0,107 -1,75 -9,46% 0,0165 0,00050 -0,09050

Nakon to smo napravili usporedbu za pukotinu od 0,1mm, ostala nam je usporedba i za drugu pukotinu.

Graf 4. prikazuje usporedbu za eksperimentalno dobivene rezultate i rezultate simulacije.

Mjerena u ovom sluaju se preciznije poklapaju, nego u prethodnom sluaju.

U tablici 7. su prikazane vrijednosti minimuma i maksimuma te njihova odstupanja od izmjerenih i simuliranih vrijednosti.

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-11 -6 -1 4 9

I

N

T

E

N

Z

I

T

E

T

UDALJENOST (mm)

=632,8nm, L=1031mm, 0.2mm

Intenzitet

ekperimentalno

Intenzitet simulacija

Tablica 7.

Udaljenost Intenzitet Udaljenost Intenzitet Razlika Odstupanje Oekivani Odstupanje Odstupanje

simulacija simulacija eksperiment eksperiment udaljenosti % intenziteti simulacija eksperiment

Glavni

max 0 1 0 1 0

1 0 0

1.min -3,5 0 -3,75 -0,0043 -0,25 -7,14%

1.max -5 0,046 -5 0,029 0 0,00% 0,0472 0,00120 0,01820

2.min -7 0 -7 0,0019 0 0,00%

2.max -8,5 0,0162 -8,5 0,0111 0 0,00% 0,0165 0,00030 0,00540

Zakljuak

U ovom radu je bilo obraeno kako se svijetlost nailaskom na pukotinu ponaa kao i val iako geometrijska optika kae da zrake svjetlosti putuju pravocrtno i baca otru sliku pukotine na zaslonu.

Mjerenja su izvedena pomou dvije pukotine od 0,1 i 0,2mm, te pomou fraunhoferove metode ogib svjetlosti. Dobivene rezultate smo obradili pomou valnog i kvantno-mehanikog pristupa, te smo usporedili dobivene vrijednosti sa reultatima dobivenim simulacijom.

Izvoenjem vjebe zakljuili smo da se nai dobiveni rezultati poklapaju sa rezultatima dobivenim simulacijom, odnosno da se svjetlost ima valna svojstva. Odstupanja u mjerenjima su se veim dijelom dogodila zbog vanjskih imbenika.