CAPITOLUL VIII

Seminar Fenomene Optice

INSTRUMENTE OPTICE.

Prin aparat sau instrument optic se nelege orice instrument care este util la observarea sau msurarea unei mrimi optice.

Dup natura mrimii optice studiate, instrumentele se clasific astfel:

a) instrumente de optic geometric, care se folosesc la observarea imaginilor unor obiecte.

b) instrumente de optic ondulatorie, care se folosesc la observarea unui sistem de franje de interferen, a strii de polarizare a unui fascicul luminos sau a compoziiei spectrale a unei radiaii emise.

c) instrumente fotometrice folosite la msurtori de flux luminos, de strlucire a unei surse de lumin, etc.

Aparatele (instrumentele) optice sunt alctuite din una sau mai multe piese optice ca de

exemplu: oglinzi, lame cu fee plan paralele, prisme, lentile, reele de difracie, etc.

Piese optice.

Dioptrul sferic.

78Fig.8.77.

Un dioptru sferic este o calot sferic care separ dou medii transparente de indici de refracie diferii (fig.8.77.). Un dioptru sferic este caracterizat de urmtoarele mrimi:

-centrul optic al dioptrului care reprezint centrul suprafeei sferice a acestuia;

-axa principal a dioptrului OI, reprezint axa care trece prin centrul dioptrului i este i axa de simetrie a acestuia;

-axele secundare, de exemplu MC, reprezentate de oricare dintre razele suprafeei dioptrului;

-vrful dioptrului V, reprezentat de intersecia axei principale cu suprafaa dioptrului.

Atunci cnd indicele de refracie al mediului din interiorul sferei dioptrice este mai mare dect al mediului exterior, dioptrul este convergent, iar n caz contrar el este denumit divergent.

Razele de lumin care pleac din O, dup ce trec prin suprafaa refractant, se intersecteaz n punctul I formnd imaginea obiectului O.

Pentru stabilirea relaiilor matematice legate de orice dioptru sferic sau combinaie de dioptrii sferici se face urmtoarea convenie: toate distanele luate de-a lungul axei principale vor avea originea n vrful V al dioptrului, considernd pozitive distanele msurate de la V spre dreapta (sau n sensul propagrii luminii) i negative pe cele msurate spre stnga. De asemenea, vom considera pozitiv segmentul perpendicular pe axa optic dirijat n sus i negativ pe cel orientat n jos.

Unghiul pe care o raz de lumin l face cu axa optic (principal sau secundar) este considerat pozitiv, atunci cnd rotirea razei ctre axa optic respectiv se face n sensul trigonometric, i negativ, dac aceast rotire se face n sens invers (vezi semnele unghiurilor din fig.8.77).

Legea refraciei aplicat n punctul M este:

374(8.150)

Din triunghiul OMC i IMC rezult:

375(8.151)

Considernd cazul unui fascicul de raze care formeaz cu axul optic unghiuri mici, numit fascicul paraxial, putem face aproximaiile:

376(8.152)

Combinnd relaiile (8.150), (8.151) i (8.152), rezult:

377(8.153)

Aceasta este ecuaia general a unui dioptru cu deschidere mic, care mai poart numele i de ecuaia punctelor conjugate (O i I).

79Fig.8.78.

Planele perpendiculare pe ax care trec prin punctele conjugate O i I se numesc plane conjugate. Alte elemente ale dioptrului sunt focarele acestuia. Focarele unui dioptru reprezint locul unde este situat un izvor punctiform pentru ca razele care pleac de la el i se refract s fie paralele cu axul optic principal, respectiv locul n care se ntlnesc razele refractate provenite dintr-un fascicul incident paralel. Prin urmare, vor exista dou focare numite focare principale obiect i imagine.

Dup cum ele se obin la intersecia razelor reale sau a prelungirilor acestor raze, avem de-a face cu un focar real (a) sau un focar virtual (b) (fig.8.78.). Cu alte cuvinte, dac O se gsete la infinit (-p1=

seq Equation \* Arabic \h) imaginea sa i formeaz n focarul F2, deci p2=f2, unde f2 se numete distan focal imagine.

379(8.154)

Din aceast relaie se observ c f2>R.

In acelai mod se poate defini distana focal-obiect (p1=f1;p=

seq Equation \* Arabic \h) a crei expresie este:

381(8.155)

Intre cele dou distane focale f1 i f2 exist relaiile:

382(8.156)

Cu aceste relaii, formula dioptrului (8.153) poate fi scris sub forma:

383(8.157)

Focarele obiect, respectiv focarele imagine, ale tuturor axelor optice se gsesc ntr-un plan focal-obiect, respectiv plan focal-imagine.

80Fig.8.79.

Construcia imaginii unui segment O, perpendicular pe axul optic principal, ntr-un dioptru convergent este dat n figura (fig.8.79.). Raportul:

384(8.158)

se numete mrire transversal a dioptrului. Din triunghiurile haurate (fig.8.79.) rezult:

385(8.159)

i folosind relaiile (8.150), (8.151), (8.152) obinem:

386(8.160)

sau, n funcie de distanele focale (relaia (8.156)):

387(8.161)

Formula lui Newton. Pentru unele aplicaii este comod ca originea distanelor la punctul obiect s fie luate n focarul obiect al dioptrului, iar distanele la punctul imagine, n focarul imagine. Dac n figura (fig.8.79.) facem notaiile:

388(8.162)

i folosim expresiile:

389n relaia (8.157), rezult relaia:

390(8.164)

Relaia lui Lagrange-Helmholtz. Din figura (fig.8.77.), n cazul unui fascicul paraxial, rezult:

391(8.165)

In acest caz, mrirea dioptrului devine:

392(8.166)

Raportul:

393(8.167)

se numete mrirea unghiular a dioptrului. Din ultimele dou relaii rezult:

394(8.168)

numit relaia lui Lagrange-Helmholtz, care arat c produsul dintre mrirea transversal i mrirea unghiular este o constant.

Dioptrul plan.

81Fig.8.80.

Un dioptru plan este un caz particular al dioptrului sferic, cu raza infinit (r=

seq Equation \* Arabic \h). Din (8.153) rezult:

396(8.169)

care este valabil pentru razele paraxiale, adic razele incidente s formeze un unghi mic cu normala.

Construcia imaginii I a unui obiect punctiform O ntr-un dioptru plan este dat de figura (fig.8.80.) Din figur se poate calcula direct relaia care d p1 cnd unghiul i are valori mari. In acest caz, rezult, n locul relaiei (8.169), formula:

397(8.170)

Asociaii de dioptri.

Dioptrii nu pot fi folosii dect asociai, cte doi sau mai muli. Un ansamblu de doi dioptri plani paraleli formeaz o lam transparent cu fee plan paralele, iar un ansamblu de doi dioptri plani nclinai unul fa de altul formeaz prisma. Un ansamblu de doi dioptri curbi sau unul curb i unul plan constituie o lentil.

Lama cu fee plan paralele.

82Fig.8.81

Considerm o raz de lumin care trece dintr-un mediu cu indice n1 printr-o lam cu fee plan paralele de indice de refracie absolut n2 (fig.8.81.). Presupunem n2>n1 (asemntor unei lame de sticl n aer). Imaginea punctului O se formeaz n I. Pentru calcularea deplasrii PK a razei emergente, din triunghiul PQM avem:

398(8.171)

iar din triunghiul PKQ:

399(8.172)

Deplasarea PK este proporional cu grosimea lamei i depinde de i fiind nul cnd i=0 (r=0).

De asemenea, se poate calcula distana dintre obiect (O) i imagine (I) astfel: IO=PL i din triunghiul PLQ rezult:

400(8.173)

i deoarece:

401rezult:

402(8.174)

Cnd observarea obiectului (O) se face perpendicular (i(0;r(0), din (8.174) rezult:

403(8.175)

Aceast relaie poate fi folosit la msurarea indicelui de refracie al materialului prin msurarea grosimii e i a distanei IO. Din ultima relaie rezult:

404(8.176)

Prisma. Acromatizarea prismelor.

83Fig.8.82.

Prisma este caracterizat prin unghiul prismei, care este unghiul format de cele dou plane i prin seciunea principal a prismei, care este o seciune perpendicular pe muchia prismei. Dac pe o prism de unghi A i indice de refracie n2, care se gsete ntr-un mediu de indice de refracie n1, cade o raz de lumin (fig.8.82.), ntre mrimile care intervin n propagarea acestei raze pot fi scrise relaiile:

405(8.177)

Experimental se constat c deviaia

seq Equation \* Arabic \h capt o valoare minim

seq Equation \* Arabic \h, cnd i=i' i r=r'. Cu aceste condiii, relaiile (8.177) devin:

408 (8.178)

din care rezult o expresie de calcul pentru indicele de refracie n21:

409(8.179)

84Fig.8.83.

Remarcm faptul c pentru prismele cu A mic i pentru unghiuri mici, relaiile (8.177) pot fi scrise sub forma:

410(8.180)

La trecerea unui fascicul de lumin compus printr-o singur prism are loc att deviaia razelor fasciculului, ct i dispersia razei incidente datorit faptului c unghiul de deviaie

seq Equation \* Arabic \h depinde de indicele de refacie n al prismei, care la rndul lui depinde de

seq Equation \* Arabic \h a radiaiei incidente (fig.8.83.). De multe ori sunt necesare sisteme prismatice pentru devierea unui fascicul de lumin fr a avea i dispersia acestuia. Un asemenea sistem se numete acromatic.

Acromatizarea prismelor se poate realiza atand prismei dispersatoare o a doua prism, rsturnat fa de prima, alctuit din alt substan (deci alt n) i cu un unghi convenabil (fig.8.84.). Fie cele dou prisme cu unghiurile A i A' i cu indici de refracie nr i nv, respectiv nr' i nv', pentru radiaiile: roie i violet a spectrului. Dac unghiurile A i A' sunt mici, atunci deviaiile, conform (8.180) sunt:

413(8.181)

85Fig.8.84.

Deoarece prismele produc deviaiile n sensuri contrare, deviaia total pentru radiaia roie este:

414(8.182)

iar pentru violet:

415(8.183)

Pentru a nu avea procesul de dispersie trebuie ca:

416(8.184)

sau folosind (8.181), rezult:

417(8.185)

Cunoscnd pe A i cei patru indici de refracie, se poate calcula unghiul A' al prismei a doua care prin alipire cu prima prism, se spune c o acromatizeaz.

Lentile.

86Fig.8.85.

Prin asociaia a doi dioptri cu suprafee curbe obinem ceea ce se numete o lentil. In particular, aceste suprafee pot fi sferice, plane sau cilindrice. Dreapta care unete centrele dioptrilor constituie axul optic al lentilei. Dac distana dintre vrfurile V1 i V2 ale celor doi dioptri este neglijabil fa de celelalte lungimi care intervin n formarea imaginilor, spunem c avem o lentil subire. De fapt, la acestea ne vom referi n cele ce urmeaz. Dup proprietile lor, lentilele pot fi clasificate n convergente i divergente (fig.8.85.). Dup forma geometric, ele se clasific n:

1) biconvexe, plan convexe, menisc convexe, care sunt convergente;

2) biconcave, plan concave, menisc concave, care sunt divergente (fig.8.86.).

Poziia imaginii unui obiect ntr-o lentil, n cazul unui fascicul de raze paraxial, este dat de relaia:

418(8.186)

unde p1 i p2 sunt distanele de la obiect i imagine pn la lentil, R1 i R2 sunt razele de curbur a celor doi dioptri, iar n2 este indicele de refracie al mediului lentilei i n1 al mediului exterior lentilei.

Din relaia (8.186) se pot defini distanele focale ale lentilelor: pentru p1=

seq Equation \* Arabic \h, rezult p2=f2 i deci:

420(8.187)

87Fig.8.86.

sau, dac p2=

seq Equation \* Arabic \h, rezult p1=f1 i:

422(8.188)

din care se observ c f1=f2=f.

In acest caz putem scrie:

423(8.189)

care reprezint formula lentilelor subiri, relaie n care f se ia cu semnul plus dac focarul este real i cu semnul minus dac focarul este virtual.

O mrime caracteristic lentilelor este convergena lentilelor, definit astfel:

424(8.190)

Unitatea de msur a convergenei este dioptria, care este convergena unei lentile cu distana focal f de un metru.

PROBLEMA 8.5.

Lentilele din figura p.8.5 au razele de curbur R=40 cm i sunt fcute din sticl cu n=1,65. S se calculeze distanele lor focale.

REZOLVARE.

88Fig.p.8.5.

Din relaia (8.187) obinem:

425

Tinnd seama c n2=n i n1=1, n cazul primei lentile avem:

426de unde f=+31 cm, ceea ce arat c lentila este convergent.

Pentru a doua lentil, obinem:

427de unde f=-31 cm. Deci, avnd distana focal negativ, lentila este divergent.

Oglinzi sferice i plane.

89Fig.8.88

90Fig.8.87.

O suprafa ce separ dou medii, unul transparent i cellalt opac, razele de lumin reflectndu-se pe aceast suprafa,

reprezint o oglind sferic.

Oglinzile sunt concave sau convexe dup cum suprafaa reflecttoare se gsete pe partea concav, respectiv convex, a suprafeei separatoare (fig.8.87.).

Ecuaia punctelor conjugate n cazul oglinzilor sferice se obine astfel: se consider o oglind sferic concav (fig.8.88.), n faa creia se gsete obiectul O a crui imagine este I. Se consider c fasciculul de raze care pleac de la obiectul O este paraxial. Aplicnd teorema sinusului n triunghiurile OMC i CMI avem:

428(8.191)

429(8.192)

Deoarece i=r, mprind cele dou relaii una la alta, membru cu membru, obinem:

430(8.193)

91Fig.8.89.

Dac p1=

seq Equation \* Arabic \h, atunci p2=f2=

seq Equation \* Arabic \h, iar dac p2=

seq Equation \* Arabic \h, p1=f1=

seq Equation \* Arabic \h. Se observ c exist un singur focar f1=f2=f. Cu aceste considerente, ecuaia (8.193) se poate scrie:

435(8.194)

care reprezint ecuaia punctelor conjugate pentru oglinzi sferice.

Un caz particular al oglinzii sferice l constituie oglinda plan. Dac n ecuaia punctelor conjugate (8.194) punem R=

seq Equation \* Arabic \h, deci f=

seq Equation \* Arabic \h, obinem p2=-p1, relaie care arat c imaginea unui punct real este virtual, situat la aceeai deprtare de oglind ca i obiectul, dar n spatele oglinzii (fig.8.89.).