Univerza v LjubljaniFakulteta za matematiko in fiziko

Oddelek za fiziko

Seminar 2

V. van Gogh sreča A. N. Kolmogorova

Gašper KokotMentor: prof. Rudolf Podgornik

Ljubljana, oktober 2007

Povzetek

V seminarju bomo najprej obnovili glavne rezultate teorije turbulence K41.

Pogledali si bomo, katere količine so pomebne pri eksperimentih s poudarkom na

varianci logaritma hitrosti disipacije, saj se tu napovedi K41 razhajajo z eksperi-

menti. Omenili bomo β-model, ki se bolje ujema z meritvami, in izpeljali model

hitrostne porazdelitve, ki iz predpostavk K41 vseeno reproducira rezultate β-modela.

To porazdelitev bomo uporabili pri analizi slik V. van Gogha, kjer je zaradi narave

človeškega očesa smiselno enačiti hitrost s svetlostjo slike.

1

Kazalo

1 Uvod 3

2 Sklepi K41 3

3 Eksperimenti s turbulenco 73.1 β-model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Hitrostno polje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4 Uporaba K41 pri analizi slik V. van Gogha 104.1 Efekt gibanja v slikarstvu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Zaključek 12

Literatura 15

2

1 UVOD 3

1 Uvod

Trenutna teorija ve o turbulenci veliko, vendar so njeni temelji še vednole hipoteze, ki niso dognane na podlagi fundamentalnih premis. Današnjedojemanje turbulence je postavil A. N. Kolmogorov s serijo člankov leta 1941- od tod tudi oznaka teorije K41.

K41 je bila kasneje izpostavljena pretresanju in kritiki. Izumili so novepopravljene modele, ki poskušajo zakrpati pomanjkljivosti. Vseeno obstajaše mnogo odprtih dilem, ki jih pestijo nekateri eksperimentalni podatki, sajodstopajo od napovedi. Sprva je bilo nemalo težav pri določanju meritvenihparametrov, predvsem z zagotavljanjem konvergirajoče statistike. Večinaproblemov, kar se tiče načina merjenja, je danes rešenih in v člankih pred-stavljene količine so standardizirane.

Da se pri uporabi principov K41 ne smemo omejevati le na hidrodi-namiko, dokazuje več aplikacij. Poleg obravnave fluktuacij menjalnih teča-jev so pred nedavnim odkrili primer tudi v slikarstvu. Analizirali so slikeV. van Gogha [6], ki so nastale med ali po obdobjih daljše psihoze. Izkazalose je, da "turbulentno stanje" umetnikove duše ni zgolj lepo zveneča fraza,ampak najdemo njeno potrditev v K41.

2 Sklepi K41

Kot turbulentnega označimo tok v vrtinčastem stanju, kjer se tokovno polje(hitrost, pritisk ...) naključno spreminja s krajem in časom. Glavna enačbahidrodinamike, Navier-Stokesova enačba (navedena je za nestisljive, viskoznetekočine) [1]:

ρ

(∂~v

∂t+(~v · ~5

)~v

)= −~5p + η ~5

2~v + ~f, (1)

kjer smo nestisljivost upoštevali z:

~5 · ~v = 0, (2)

tudi v turbulenci igra pomembno vlogo.Razlaga turbulentnega toka v maniri K41 se opira na obravnavo ener-

gijskega toka na različnih skalah. Ohranitvi gibalne in vrtilne količine

2 SKLEPI K41 4

sta vsebovani v enačbah, vendar ne ponudita nobenega novega spoznanja.Ohranjanje vrtilne količine na primer pomeni samo, da je napetostni tenzorsimetričen. Šele opazovanje pretoka energije nam prikaže sliko energijskekaskade.

V turbulentnem toku se spremembe dogajajo na različnih dimenzijskihnivojih oz. skalah. Skalo lahko smiselno definiramo v Fourierovem prostorus pomočjo dekompozicije [2], tako da določimo dodaten parameter K > 0,s katerim transformiranko razdelimo na dva dela:

f<K(~r) ≡

∑k≤K fkei~k~r za velike skale in

f>K(~r) ≡

∑k>K fkei~k~r za majhne skale.

(3)

Njun seštevek je seveda prvotna Fourierova transformacija f(~r) = f<K(~r) +

f>K(~r), dolžina l = 1/K pa služi za skalo filtriranja.

Na (1) in (2) delujemo z operatorjem PK : f(~r) 7→ f<K(~r), ki naredi

Fourierovo transformiranko in jo filtrira za velike skale (3)1:

ρ ∂∂t~v

<K + PK

[(~v<

K + ~v>K

)· ~5(~v<

K + ~v>K

)]=

= −~5p<K + η ~5

2~v<

K + ~v<K · ~f<

K .(4)

~5 · ~v<K = 0, (5)

Enačbo (4) skalarno pomnožimo z ~v<K ter povprečimo po osnovni perio-

dični celici2, da dobimo:

ρ ∂∂t

⟨|~v<

K |2

2

⟩+⟨~v<

K ·[(

~v<K + ~v>

K

)· ~5(~v<

K + ~v>K

)] ⟩=

= −⟨~v<

K · ~5p<K

⟩+ η⟨~v<

K · ~52~v<

K

⟩+⟨~v<

K · ~f<K

⟩.

(6)

Upoštevajoč kontinuitetno enačbo in enačbo stanja p = p(ρ) lahko črtamočlen s tlakom. Drugi del na levi strani enačbe v nasprotju z nedekompoziranoenačbo ne izgine povsem, ampak sta na račun nestisljivosti (5) ničelna le dvaod štirih členov:⟨

~v<K ·(~v<

K · ~5~v<K

)⟩=⟨~v<

K ·(~v>

K · ~5~v<K

)⟩= 0. (7)

1Uporabimo tudi dejstvo, da PK komutira z operatorjema ~5 in ~52.

2Uporabimo relaciji za realni periodični funkciji f in g: 〈f>Kg<

K〉 = 0 in 〈f(PKg)〉 =

〈(PKf)g〉 =P

k≤K fkg−k .

2 SKLEPI K41 5

V prvem delu enakosti nastopajo samo hitrosti na velikih skalah, torej inter-akcije med velikimi skalami ne morejo spremeniti njihove celotne energije.Drugi enačaj pove, da transport v tekočini, ki ni difuzivne narave, oz. ad-vekcija velikih skal z manjšimi (advekcijski operator je v našem primeru~v>

K · ~5) ne spremeni celotne energije na velikih skalah.Če ponovno zapišemo preostanek enačbe (6) in upoštevamo (3), je pred

nami energijska kaskada oz. zapis zaloge energije, ki se prenaša od skale doskale:

ρ∂

∂t

12

∑k≤K

|vk|2 +⟨~v<

K ·(~v<

K · ~5~v>K

)⟩+⟨~v<

K ·(~v>

K · ~5~v>K

)⟩= (8)

= −η∑k≤K

k2|vk|2 +∑k≤K

fk · v−k.

ali zapisano strnjeno:

∂

∂tEK + ΠK = −2ηΩK + FK . (9)

Ubesedimo enačbo (9) od leve proti desni: sprememba energijskega toka(EK) na skalah do l = 1/K je enaka minus energijskemu toku na manjšeskale od l zaradi nelinearnih interakcij oz. inercijskemu členu (ΠK), minusdisipirani energiji na skali l oz. disipacijskemu členu (2ηΩK), plus energiji,ki jo je prinesla zunanja sila, oz. gonilnemu členu (FK). Oris pravkarpovedanega nam nudi Slika 1. V območju velikih Reynoldsovih števil

Re =LV ρ

η, (10)

kjer sta L karakterističen premer in V karakteristična hitrost toka, ρ gos-tota ter η viskoznost, za prenos energije med skalami skrbi inercijski člen,saj v tem režimu sistem ne izmenjuje energije z okolico. Velika Reynoldsovaštevila pomenijo, da imamo popolnoma razvito turbulenco, kjer inercijskičlen prevlada nad viskoznim. Za večino tokov, ki so jih opazovali v labora-toriju, se to zgodi nad Re ≈ 2100 [9].

Tak pogled je plival na A. N. Kolmogorova leta 1941, ko je napisal svojofenomenološko razlago. Omejil se je na inercijsko skalo (desno stran enačbe(9) postavimo na nič) in s preprosto dimenzijsko analizo dobil enega po-membnejših rezultatov, zvezo med hitrostjo disipacije energije ε = ∂〈v2〉/∂t

2 SKLEPI K41 6

Slika 1: Energijska kaskada z vrtinci, ki na vseh skalah zapolnijo prostor.Skica vzeta iz [2].

ter hitrostjo v na skali l:

v ∼ (εl)1/3. (11)

V statističnem smislu prepišemo (11) v enačbo za tretji moment porazdelit-vene funkcije hitrosti in z natančnejšim izračunom določimo tudi sorazmer-nostni faktor:

〈(δv||(l))3〉 = −45εl. (12)

Homogeni prirastki k hitrosti so definirani kot:

δ~v(~r,~l) ≡ ~v(~r +~l)− ~v(~r). (13)

V duhu dimenzijske analize dobimo še drugi moment:

〈(δ~v(~r,~l))2〉 ∼ ε2/3l2/3. (14)

Skupaj z ugotovitvijo, da nam statistični pogled v limiti velikih Reynoldsovihštevil (10), proč od mej ter na majhnih skalah, povrne vse simetrije Navier-Stokes enačbe (1), ki jih je turbulenca zlomila, pa imamo zbrane primarnezaključke vseh treh hipotez K41.

3 EKSPERIMENTI S TURBULENCO 7

3 Eksperimenti s turbulenco

Ker sprva ni bilo na voljo teorije, ki bi točno proizvedla gostoto porazdelitvehitrostnega polja, so se meritve osredotočale na momente porazdelitvenefunkcije (14) in predvsem t.i. zakon štirih petin (12).

Prvi poskus, da v račun vzamemo fluktuacije hitrosti disipacije ε, staleta 1962 naredila Kolmogorov in Obukhov, ki sta za logaritem hitrosti disi-pacije predpostavila Gaussovo porazdelitev. Podrobneje to pomeni, da ε

povprečimo po sferi z radijem r, dobimo njegovo pričakovano vrednost inpredpostavimo Gaussovo porazdelitev njegovega logaritma z varianco [3]:

〈[∆ (lnεl)]2〉 = A(~r, t) + µln(L/l), (15)

kjer je A odvisen od gibanja na velikih skalah, µ je univerzalni faktor inL zunanja karakteristična dolžina. Kolmogorov je iz tega izračunal splošenizraz za momente porazdelitvene in pokazal, da se taka porazdelitev ujemaz zakonom štirih petin (12). Slednje ujemanje je bilo tudi post festum opra-vičilo za predpostavko.

3.1 β-model

Prva čer, na katero je naletela teorija K41, je prav enačba (15). Desetletjaeksperimentov in kasnejša teorijska dognanja so nabrala prepričljive dokaze,da varianca ne uboga (15). Nastalo je nekaj novih modelov, med njimi tudiβ-model.

Energijsko kaskado diskretiziramo in vpeljemo dokaj svobodno dom-nevo, da vrtinec iz večje skale na manjšo skalo rodi v povprečju N po-tomcev (manjših vrtincev). Pri tem prenese tudi znaten del svoje energije.Glavna razlika od prejšnje razprave je, da naše razmišljanje lokaliziramona trenutno skalo, kjer opazujemo turbulenco, in ne povezujemo največjegavrtinca neposredno s hitrostjo disipacije. V inercijskem režimu zanimanja jerelevantna količina energijski tok na tej skali, ne pa hitrost disipacije.

Prejšnje ugotovitve (11) še vedno držijo lokalno - na trenutni skali l.Če si energijsko kaskado (Slika 1) predstavljamo kot diskretno serijo vrt-incev (trenutno generacijo v tej seriji označimo z n), se zavemo, da moramo

3 EKSPERIMENTI S TURBULENCO 8

nekako upoštevati še zmanjševanje celotnega volumna, ki ga zavzemajo vrt-inci. Uvedemo parameter Bn = Nl3n+1/l3n, s katerim merimo, za kolikose zmanjša volumen generacije vrtincev napram prejšnji. Med globalnopovprečeno energijsko gostoto En in lokalno povprečeno hitrostjo vn pos-tuliramo zvezo:

En ∼ Bnv2n. (16)

Z nekaj računskega truda [2],[3] za deviacijo logaritma energijskega toka nainercialni skali namesto (15) dobimo:

〈[∆ (lnεl)]2〉 ∼ (l/L)−β , (17)

kjer gre brezdimenzijski paramter β proti nič, ko gre Reynoldsovo številoproti neskončno.

β lahko geometrično interpretiramo kot efektivno dimenzijo toka. Čeimamo v toku neko disipativno strukturo in je disipacija ter s tem gradienthitrosti osredotočena nanjo, potem se bodo pomenljive spremembe hitrostidogajale samo pravokotno na to strukturo. To pogledno je β tudi kodimen-zija te disipativne strukture.

3.2 Hitrostno polje

V tem razdelku se bomo posvetili teoretski porazdelitvi hitrosti iz [5], kiso jo [6] uporabili pri obravnavi slik V. van Gogha. Porazdelitev izhaja izpredpostavke, da je ln ε porazdeljen Gaussovo in vseeno reproducira variancoβ-modela. Razlikuje dva nivoja fluktuacij:

• fluktuacije hitrostnega polja vr pri danem energijskem toku ε in

• fluktuacije energijskega toka.

Fiksiramo ε in se spomnimo, da Gaussovo porazdelitev povsem določavarianca σ, ki po dimenzijski analizi enako kot hitrost uboga (11), in napišemoporazdelitev:

Pε(v) =1

σ√

2πexp

(− v2

2σ2

). (18)

3 EKSPERIMENTI S TURBULENCO 9

Sedaj upoštevamo še fluktuacije ε, tako da postuliramo Gaussovo porazde-litev lnσ:

Qλ(σ)dσ =1

λ√

2πexp

(− ln2(σ/σ0)

2λ2

)d lnσ, (19)

kjer smo s σ0 označili pričakovano vrednost variance hitrosti v in z λ variancolnσ.

Če povežemo (18) in (19), dobimo za porazdelitev v:

Πas,λ(v) =A(as)2πλ

∫ +∞

0exp

(− v2

2σ2

)exp

[− ln2(σ/σ0)

2λ2

]dσ

σ2. (20)

Ker želimo zajeti vse prispevke fluktuacij σ, smo porazdelitev (19) integri-rali.

Iz empiričnih podatkov vemo, da porazdelitev hitrosti ni simetrična, zatoza nastavek vzamemo malce spremenjeno običajno Gaussovo porazdelitev:

Pε(v) ∝ exp[− v2

2σ2

(1− d lnσ2

drl(v)

)], (21)

kjer l(v) predstavlja r′ − r. Z r smo označili razdaljo med dvema točkamav toku in z r′ razdaljo med istima točkama nek karakterističen čas prej, sajje za kratke čase obnašanje toka napovedljivo.

Ker poznamo lastnosti, ki jih želimo zajeti, nastavimo člen, ki popravljaeksponent Gaussove porazdelitve v (21), tako da jim ustreza. Pri temmoramo uvesti dodaten parameter as. Za gostoto porazdelitve hitrosti do-bimo:

Πas,λ(v) =A(as)2πλ

∫exp

[− v2

2σ2

(1 + as

vσ

(1 + v2

σ2 )12

)]exp

[−

ln2( σσ0

)2λ2

]dσ

σ2,(22)

kjer je A(as) normalizacijska konstanta odvisna od univerzalnega parametraas. S prilagajanjem na različne nabore podatkov so v [5] določili vrednostas = 0, 18.

Ujemanje predlagane porazdelitve (23) z eksperimentalnimi podatki jeizjemno (Slika 2). Edini parameter, ki ga določimo s prilagajanjem je λ:

9λ2 = 〈[∆ (lnεl)]2〉. (23)

Večji kot je, več skal smo zajeli, zato se repi obnašajo manj Gaussovo inpadajo počasneje. Če spreminjamo razdaljo med dvema točkama v toku r,dobljeni λ ubogajo β-model oz. enačbo (17).

4 UPORABA K41 PRI ANALIZI SLIK V. VAN GOGHA 10

Slika 2: Prilagajanje enačbe (23) na podatke za eksperimenta v a) vetrov-niku, λ = 0, 428 in b) curku, λ = 0, 334. Abscisi sta v logaritemski skali,α = δv/〈(δv)2〉. Grafa vzeta iz [5].

Kljub uspešnemu prileganju avtorji opozarjajo na nekatere težave, npr.odsotnost korelacije med pozitivnimi in negativnimi fluktuacijami. Ker jenamen porazdelitve zgolj merjenje parametra λ, se na to ne ozirajo preveč.

4 Uporaba K41 pri analizi slik V. van Gogha

4.1 Efekt gibanja v slikarstvu

Svetlost je količina, ki jo v fizikalnem merilu merimo z W/(sr ·m2), v fizio-loškem pa z cd/m2. Opisuje količino svetlobe, ki gre skozi oz. se izseva izdoločene površine v prostorski kot. Slikarji impresionisti so bili prvi, ki soizkoriščali tehniko ekvisvetlosti, da so na sliki dosegli občutek premikanja.Motiv, naslikan s kontrasti enake svetlosti, vdahne sliki gibanje.

Za razlago tega efekta si moramo podrobneje ogledati merilnik, ki gauporabljamo pri opazovanju slik - človeško oko. V očesu sta dva tipa spre-jemnikov za svetlobo: čepki in paličice. Tri vrste čepkov so zadolžene zazaznavanje barv oz. fotoptično gledanje, paličice pa za zaznavanje svetlostioz. skotoptično gledanje. Napram čepkom so paličice veliko bolj pogostain občutljivejša čutilna celica v očesu. Združene so v svežnje, ki so speljani

4 UPORABA K41 PRI ANALIZI SLIK V. VAN GOGHA 11

Slika 3: Vidne celice v očesu. Č - čepek s stožčastim zunanjim odsekom. P- paličica s paličastim zunanjim odsekom. Fotografija vzeta iz [4].

na en internevron, kjer se signal še ojača. Zaradi tega so paličice precejbolj občutljive na gibanje. Pri ekvisvetli sliki je tako položaj objektov začloveškega opazovalca rahlo nedoločen, kar se odraža v občutku migotanja.

Kot postimpresionist je van Gogh verjetno poznal navedeno tehniko. Kernjegova dela med in po razvrvanih obdobjih življenja dajejo vtis turbulence,je možno, da je tehniko nevede povzdignil na nov nivo. Vzporedenje gostoteporazdelitve svetlosti z gostoto porazdelitve hitrosti iz 3.2 bomo opraviliv naslednjem razdelku.

4.2 Analiza

Eden izmed formatov digitaliziranih slik je RGB, kar stoji za rdeč (R),zelen (G) in moder (B) kanal. Opirajoč se na predhodno razpravo bomoobčutek turbulentnosti ob opazovanju slike analizirali tako, da bomo svetlostL izenačili s hitrostjo v. Ker je oko različno občutljivo na barve, svetlost

5 ZAKLJUČEK 12

piksla dobimo s približno formulo:

v = L = 0, 299LR + 0, 587LG + 0, 114LB. (24)

Sestavimo matriko z razliko svetlosti δv med piksli v vrsticah in razdaljomed piksli R v stolpcih. Gostoto porazdelitve fluktuacij svetlosti, ki jodobimo iz te matrike, normaliziramo s korenom drugega momenta:

PR(δvR) =δvR√〈(δvR)2〉

. (25)

Na dobljene točke nato prilagajamo (23) in določimo parameter λ (Slika4). Resolucija slik ne vpliva na rezultat, dokler je ne zmanjšamo toliko, daizginejo podrobnosti potez čopiča.

Pri van Goghovi sliki Zvezdnata noč, ki je nastala jeseni 1889 po umet-nikovi mesec in pol trajajoči težki krizi, opazimo neverjetno ujemanje s tur-bulentnimi tokom (Slika 4). Podobno je tudi s sliko Žitno polje z vranami(Slika 5) iz istega obdobja in sliko Cesta s cipreso in zvezdo, ki jo je ustvarilleta 1890 po zadnji psihozi v njegovem življenju (Slika 6). Da bi bila takatehnika slikanja vseh njegovih slik, zanika obdelava Avtoportreta z obvezo,ki je bil narejen v povsem pomirjenem duševnem stanju (Slika 7).

5 Zaključek

V tem seminarju opisani način obravnave umetniških del ni osamljen primer.Prvi poskus so naredili leta 1999 s fraktalnim opisom Pollockovih slik. Navprašanje, zakaj neko delo dojemamo kot mojstrovino in drugo ne, je težkoodgovoriti.

Pri Pollocku in van Goghu so našli matematično dokazljive posnetke na-ravnih procesov. Je kvaliteta umetnine v človeških očeh določena s kvalitetoposnemanja narave? Vsekakor lahko znanstvena objektivnost močno pripo-more k razumevanju umetnosti.

5 ZAKLJUČEK 13

Slika 4: Zgoraj: van Goghova slika Zvezdnata noč. Spodaj: Gostota po-razdelitve za šest razdalj med piksli (od spodaj navzgor) R = 60; 240;400; 600; 800; 1200. Za boljšo vidljivost so krivulje navpično zamaknjene.Prilagajanje iz (23) kažejo polne črte, vrednosti parametrov so (od spodajnavzgor) λ = 0, 2;0,15; 0,12; 0,11; 0,09; 0,0009. Slika in graf vzeta iz [7] in[6].

5 ZAKLJUČEK 14

Slika 5: Slika Žitno polje z vranami in njena gostota porazdelitve svetlosti.Slika in graf vzeta iz [8] in [6].

Slika 6: Slika Cesta s cipreso in zvezdo in njena gostota porazdelitve svet-losti. Slika in graf vzeta iz [8] in [6].

LITERATURA 15

Slika 7: Slika Avtoportret z obvezo in njena gostota porazdelitve svetlosti.Neujemanje s prejšnjimi slikami je očitno. Slika in graf vzeta iz [8] in [6].

Literatura

[1] PODGORNIK, R. (2006). Mehanika kontinumov. Skripta. Ljubljana:Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani.

[2] FRISCH, U. (1996). Turbulence: the legacy of A. N. Kolmogorov. 2.natis. Cambridge: Cambridge University Press.

[3] McCOMB, W. D. (1992). The physics of fluid turbulence. 2. natis.Združene Države Amerike: Oxford University Press Inc. New York.

[4] PÉRILLEUX, E., B. ANSELME, D. RICHARD. (1999). Biologijačloveka, Anatomija, fiziologija, zdravje. 1. izdaja. 1. natis. Ljubljana:DZS, d. d.

[5] CASTAING, B., Y. GAGNE in E. J. HOPFINGER. (1990). Velocityprobability density functions of high Reynolds number turbulence. V:Physica D. 46. 177-200.

[6] ARAGON, J. L., G. G. NAUMIS, M. BAI, M. TOR-RES in P. K. MAINI. (2006). Turbulent luminance inimpassioned van Gogh paintings. [Online]. [Citirano 4.oktobra 2007; 13.55]. Dostopno na spletnem naslovu:http://arxiv.org/PS_cache/physics/pdf/0606/0606246v2.pdf.

LITERATURA 16

[7] WIKIPEDIA. [Online]. [Citirano 5. oktobra 2007; 10.05]. Dostopno naspletnih naslovih: http://sl.wikipedia.org in http://en.wikipedia.org.

[8] THE ARTCHIVE. [Online]. [Citirano 6. okto-bra 2007; 11.50]. Dostopno na spletnem naslovu:http://www.artchive.com/artchive/V/vangogh.html.

[9] GLOSSARY OF METEOROLOGY. [Online]. [Citirano24. oktobra 2007; 18.20]. Dostopno na spletnem naslovu:http://amsglossary.allenpress.com