Oddelek za fiziko

Seminar Ib - 1. letnik, 2. stopnja

OPTICNI VRTINCI

Avtor: Katja MIHORKOMentor: izred. prof. dr. Irena DREVENSEK OLENIK

Ljubljana, april 2016

Povzetek

Opticni vrtinci so zelo zanimiv pojav v fiziki, ki je poznan ze kar nekaj casa. Raziskovanje njegovihlastnosti in obnasanja ter iskanja potencialnih aplikativnih plati tega pojava je rodilo povsem novo vejo fizike,imenovano singularna optika. V seminarju sem se osredotocila predvsem na razlago fizikalnih zakonitosti, kipopisejo opticne vrtince, raziskala sem nekaj moznosti njihovega nastanka in nekaj nacinov kako jih lahkonacrtno generiramo. Primerjala sem, kaksna je razlika, ce se elektromagnetni val, ki vsebuje opticni vrtinec,giblje po prostem prostoru, ali pa se propagira po mediju z nelinearnim odzivom. Poleg tega sem se nakratko dotaknila se dejstva, da svetloba lahko nosi orbitalno vrtilno kolicino in spin ter da obe vrtilni kolicinilahko opazujemo v singularnem zarku, v katerega ujamemo delec.

Kazalo

1 Uvod 2

2 Nastanek opticnih vrtincev 22.1 Kako se lahko nastanejo opticni vrtinci? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Laguerre-Gaussovi opticni snopi 4

4 Kreiranje opticnih vrtincev 64.1 Generiranje opticnih vrtincev z uklonskimi mrezicami z dislokacijami . . . . . . . . . . . . . . 74.2 Generiranje opticnih vrtincev s faznimi ploscicami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Generiranje opticnih vrtincev s pomocjo prostorskih modulatorjev snopa . . . . . . . . . . . . 8

5 Vrtilna kolicina svetlobe 95.1 Merjenje vrtilne kolicine zarka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

6 Interakcija z nelinearnimi kristali 11

7 Zakljucek 12

1 Uvod

Propagacijo valov v fiziki obravnavamo tako, da poiscemo resitve valovne enacbe. V kolikor obravnavamoproblem v dveh ali pa treh dimenzijah, vsebujejo resitve valovne enacbe singularne tocke oziroma linije,v katerih matematicne kolicine, ki opisujejo fizikalne lastnosti valov, postanejo neskoncne ali pa nezvezne.Primer so fazne singularnosti, v katerih je faza valovanja nedefinirana in intenziteta enaka 0. Fazne singular-nosti so pomembne lastnosti vseh vrst valovanj. Valovi, ki vsebujejo fazne singularnosti in rotirajoce poljes srediscem v teh singularnostih, imenujemo vrtinci [1]. Najdemo jih v stevilnih fizikalnih sistemih, kot sovodni vrtinci, tornadi v atmosferi ali pa znotraj elektromagnetnih polj (opticni vrtinci). Energijski tok sevrti okoli jedra vrtinca v doloceni smeri. Znotraj jedra bi bila hitrost rotacije neskoncna, zato intenzitetasvetlobe na tem mestu izgine. Preucevanje opticnih vrtincev in njihovih lastnosti je pomembno tako z vidikateoreticne kot tudi aplikativne fizike. Pricakuje se, da bodo opticni vrtinci zaradi svoje univerzalne naraveigrali pomembno vlogo na podrocju opticnega shranjevanja in obdelovanja podatkov. Opticne vrtince, ki sepropagirajo po zraku so ze predlagali za opticne povezave med elektronskimi cipi in vezji ali pa za komuni-kacijske povezave [1]. V tem seminarju se bom osredotocila predvsem na fizikalno razlago tega pojava, kajopticni vrtinci sploh so, kako nastanejo, kje vse jih lahko srecamo in kako jih lahko generiramo. Na kratkose bom posvetila se temu, kako opticne vrtince lahko detektiramo. Proti koncu seminarja bom na kratkopovzela se, kaj se zgodi, ce singularni zarek namesto po zraku potuje po mediju z nelinearnim odzivom.

2 Nastanek opticnih vrtincev

Leta 1804 je Thomas Young izvedel poskus pri katerem je poslal vzporeden snop svetlobe dolocene valovnedolzine pravokotno na dve rezi, ki sta bili med seboj razmaknjeni za neko razdaljo d. Na zaslonu, oddaljenemza h, je opazoval nastali interferencni vzorec. Opazil je, da se na zaslonu izmenjaje izrisejo svetli in temnipasovi, simetricno glede na srediscnico med rezama. To je bil najpomembnejsi dokaz, da je svetloba valovanjein na podlagi tega poskusa je Young tudi izpeljal znano interferencno enacbo:

d sin θm = mλ, (1)

kjer je λ valovna dolzina svetlobe, m celo stevilo, θm pa kot pri katerem se pojavi m-ti maksimum.

V zgoraj omenjenem eksperimentu na zaslonu torej nastanejo svetlo-temne proge oz. pasovi. Na mestih,kjer svetlobna zarka med seboj destruktivno interferirata, je intenziteta svetlobe enaka nic znotraj celegapasu, kot je razvidno iz Slike 1.

Ce eksperiment namesto z dvema rezama opravimo s tremi rezami ali vec, dobimo kvalitativno drugacentip destruktivne interference. Na splosno drzi, da ce med seboj interferirajo trije ali vec valov, amplituda

2

(a) (b) (c)

Slika 1: (a) Youngov poskus interference na dveh rezah, razmaknjenih za razdaljo d, na kateri pravokotnovpade vzporeden zarek svetlobe valovne dolzine λ. Na sliki so prikazani tudi koti θm pri katerih je intenzitetauklonjene svetlobe maksimalna [2]. (b) Interferencna slika, ki nastane na zaslonu oddaljenem za h od ravninena kateri se nahajata rezi [2]. (c) Prikaz dejanskega interferencnega vzorca, ki nastane na zaslonu. Dobroso vidne svetlo-temene proge oz. pasovi po celotni dolzini [3].

Slika 2: (a) Intenziteta za dvema rezama,kjer so lepo vidne svetlo-temne proge, ki soposledica konstruktivne in destruktivne in-terference. (b) Intenziteta za tremi rezami,kjer se destruktivna interferenca pojavi vtockah. (c) Prikaz faze valovanja za tremirezami. (d) Povecan odsek slike iz c pri-mera, kjer opazimo dva razlicna opticna vr-tinca (vsakemu od njiju se faza povecujeravno v obratni smeri) [4].

valovanja pade na nic v tockah in ne vec v pasovih, kot je bil primer v zgoraj opisanem Youngovem eksperi-mentu, ce gledamo le dvo-dimenzionalni prostor [4]. V teh tockah, kjer torej svetloba izgine, faza valovanjani definirana. V splosnem se okoli taksne singularnosti zvrstijo vse faze med 0 in 2π, kar je prikazano na Sliki2. Posledica tega je krozenje opticne energije okoli singularne tocke. Ce se preselimo v tri-dimenzionalniprostor, tocke postanejo linije, ki so neskoncno dolge in lezijo v ravnini, ki je pravokotna glede na smerpropagacije zarka. Obstajajo pa tudi zarki z neskoncnimi linijami, ki lezijo v smeri propagacije zarka; primertakega snopa je Laguerre-Gaussov snop. Tem linijam pravimo vozli, fazne singularnosti oziroma opticnivrtinci [4].

2.1 Kako se lahko nastanejo opticni vrtinci?

Generiranje opticnih vrtincev z uporabo treh uklonskih rez je le eden od nacinov, kako lahko ustvarimopolje, ki vsebuje opticne vrtince. Na zelo preprost nacin lahko opticne vrtince dobimo tudi tako, da ravnival sipamo na neskoncni polravnini, kot je to prikazano na Sliki 3. Nastanek opticnih vrtincev na osvetljenistrani lahko pojasnimo kot posledico interference treh valov (vpadlega ravnega vala, od polravnine odbitegavala in vala, katerega tockast izvor se nahaja na koncu polravnine). Ce se tocka na koncu polravnine nebi obnasala kot tockast izvor valovanja, bi namesto polja, ki vsebuje opticne vrtince, dobili interferenco ledveh valov in posledicno bi polje na osvetljeni strani polravnine sestavljal niz stojecih valov. Za razliko odvzorca opticnih vrtincev, ki nastanejo v primeru uklona na treh rezah, pa je vzorec, ki nastane v tem primeruneenakomeren [4].

Opticni vrtinci so pogost pojav, kadar govorimo o interferencni sliki vecih valov. Pogosto se pojavijo priodboju od neenakomernega oziroma kaoticnege medija ali pa pri propagaciji skozi taksen nakljucen medij.Se en preprost primer taksnega nakljucnega polja je prikazan na Sliki 4. Takemu polju s tujko pravimo kar’speckle field’, gre pa za polje, ki ga sestavljajo manjse koherentne ploskvice oz. packe. Primer taksnegapolja dobimo, kadar zelimo z metodo imenovano DLS (Dynamic light scattering) npr. dolociti radij delcev

3

Slika 3: (a) Intenziteta sipanja ravnega valana neskoncni polravnini. Nakljucni val vpadaz leve strani in se siplje na polravnini. (b)Faza in energijske tokovnice na istem pri-meru kot v (a). Lepo so vidne singularnostiin vse faze, ki se okoli njih zvrstijo [4].

v preiskovani raztopini. Zaradi stevilnih faznih singularnosti, ki jih taksno polje vsebuje, sta merjenje ininterpretacija taksnih polj bolj zapletena [4].

Slika 4: Na obeh slikah je prikazana simulacija na-kljucnega opticnega polja (speckle field), dobljenakot superpozicija 729 ravnih valov z nakljucnimifazami in amplitudami. (a) Leva slika prikazujeintenziteto taksnega polja. (b) Desna slika pri-kazuje fazo taksnega polja. Manjsa slika je lepovecava dela polja, kjer so s crnimi pikami pri-kazani opticni vrtinci s topoloskim nabojem +1, zbelimi pa opticni vrtinci s topoloskim nabojem -1[4].

3 Laguerre-Gaussovi opticni snopi

Kot sem omenila ze v zacetku tega seminarja, so Laguerre-Gaussovi opticni snopi primer elektromagnetnegavalovanja, ki vsebuje opticne vrtince, zato si jih poglejmo nekoliko natancneje. LG snopi svetlobe so resitveobosne valovne enacbe visjega reda za laserski zarek [5].

V splosnem, laser oddaja Gaussov zarek, ki se pri propagaciji postopoma razsirja. To so zarki, ki jih lahkov praksi realiziramo, svetloba je monokromaticna, snop pa je ozek in usmerjen (siri se le v eni smeri). Polegtega je svetloba koherentna, kar pomeni, da obstaja fazna povezava preko celega precnega profila [5]. Cezelimo obravnavati propagacijo taksnega vala, potem moramo poiskati resitve valovne enacbe. Pri obravnaviprivzamemo skalarni priblizek in valovno enacbo zapisemo v obliki

∇2E − µµ0εε0∂2E

∂t2= 0, (2)

kjer je µ0 permeabilnost vakuuma, ε0 dielektricna konstanta vakuuma, ε dielektricnost medija, µ perme-abilnost medija in E amplituda elektricnega polja. Iscemo torej resitve skalarne valovne enacbe, ki bodozadostile vsem zgoraj napisanim lastnostim laserskih snopov svetlobe. Za lazjo obravnavo, bomo na temmestu vpeljali cilindricne koordinate ρ, ϕ, z. Najpreprostejsa resitev enacbe, ki bi zadostila skoraj vsem po-gojem so ravni potujoci sinusni valovi. Tezava, ki nastopi je, da mi iscemo resitve, ki bodo omejene v precnismeri, ravni potujoci valovi pa so v precni smeri neskoncni. Zato za nas nastavek za resitev enacbe vseenovzamemo ravne potujoce sinusne valove, ki pa jih omejimo v precni smeri

E = E0ψ(ρ, ϕ, z)eikz−iωt, (3)

kjer je funkcija ψ(ρ, ϕ, z) prostorsko omejena in pojema z ρ.Ta nastavek nato nesemo v skalarno valovno enacbo in hkrati upostevamo se zapis v cilindricnih koordi-

natah

∇2 =1

ρ

∂

∂ρ

(ρ∂

∂ρ

)+

1

ρ2∂2

∂ϕ2+

∂2

∂z2. (4)

Prvi in drugi clen desne strani enakosti predstavljata ∇2⊥ v precni smeri.

Dobimo sledeco enacbo

(∇2⊥ψ)E0e

ikz−iωt +

(∂2ψ

∂z2+ 2ik

∂ψ

∂z− k2ψ

)E0e

ikz−iωt + k2E0ψeikz−iωt = 0, (5)

4

kjer je k2 = ω2µµ0εε0 = ω2

c2 = ω2

c20n2, pri cemer je k velovni vektor, ω frekvenca valovanja, c hitrost

razsirjanja valovanja v mediju, c0 hitrost razsirjanja valovanja v vakuumu in n lomni kolicnik medija.

Nas zanimajo resitve v blizini opticne osi (osi z; pri majhnih ρ), kjer valovne fronte niso mocno ukrivljene,zato lahko uporabimo obosni oz. paraksialni priblizek:

∂2ψ

∂z2� k

∂ψ

∂z. (6)

Clen, ki vsebuje drugi odvod po z zato lahko zanemarimo in tako pridemo do obosne oz. paraksialnevalovne enacbe

∇2⊥ψ = −2ik

∂ψ

∂z. (7)

Najpreprostejsa resitev te enacbe je osnovni Gaussov snop, ki ima obliko

E(ρ, z) = E0w0

w(z)e

−ρ2

w(z)2 eikz−iωteikρ2

2R(z) eiϕ(z), (8)

kjer je ρ radialna oddaljenost od opticne osi zarka, z aksialna oddaljenost od grla zarka, w(z) radij zarkapri oddaljenosti z od grla, w0 radij zarka v grlu snopa, R(z) ukrivljenost valovnih front zarka pri oddaljenostiz od grla in ϕ(z) dodatni fazni clen.

Intenziteta taksnega snopa svetlobe se v precni smeri spreminja Gaussovsko, vrh pa ima tocno na opticniosi. Vrh intenzitete se vedno nahaja na opicni osi, najvisji je v grlu snopa, z oddaljenostjo od grla pa se vrhniza, kar prikazuje Slika 5.

(a) (b)

Slika 5: a) Na sliki je v vzdolznem prerezu prikazan osnovni Gaussov snop ter spreminjanje intenzitete vprecnem profilu z oddaljevanjem od grla zarka. Vidimo lahko, da je intenziteta tocno na opticni osi vednonajvisja, kar je ravno obratno kot v primeru LG snopov svetlobe. b) Slika prikazuje osnovni Gaussov snop inLaguerre-Gaussove snope vecih redov v intenzitetnem precnem profilu. Pri LG visjega reda lahko opazimo,da je intenziteta na osi zarka enaka nic [11].

Osnovni Gaussov snop ne vsebuje nobenih opticnih vrtincev, vendar je to le ena od moznih resitevobosne valovne enacbe. Za namen tega seminarja so bolj zanimive resitve valovne enacbe visjega reda -Laguerre-Gaussovi snopi svetlobe, ki imajo obliko

E ∝(√

2ρ

w

)|l|Llp

(2ρ2

w(z)2

)eilϕe

− ρ2

w(z)2 eikρ2

2R(z) e−ηp,l(z)eikz−iωt, (9)

kjer so Llp generalizirani Laguerrovi polinomi (oznacimo jih s celima steviloma p in l, pri cemer je p ≥ 0radialni indeks in l azimutalni indeks, ki je lahko pozitiven ali negativen ali nic), ηp,l(z) fazna retardacija, kije enaka (2p+|l|+1) arctan( zz0 ), ostali parametri imajo enake definicije, kot v primeru osnovnega Gaussovega

snopa. Vidimo, da tak snop vsebuje odvisnost od eilϕ, kar pomeni, da bo njegov precni profil intenziteteprecej drugacen kot v primeru osnovnega Gaussovega snopa, ki odvisnosti od ϕ ne vsebuje. V tem primerubo imela amplituda elektricnega polja na nekaterih mestih tudi nicle, ko se oddaljujemo od opticne osi, bopa vedno simetricna glede na opticno os, saj je odvisnost od ϕ skrita le v fazi valovanja [5]. Na mestih, kjerintenziteta svetlobe pade na nic, se nahaja opticni vrtinec, kar lahko vidimo tudi na Sliki 6. Le Gaussovisnopi z l = 0 imajo na opticni osi intenziteto razlicno od nic, za vse ostale visje rede pa je stevilo vozlov vradialni smeri enako p+ 1 [12].

5

Slika 6: Slika prikazuje inten-ziteto v precnem profilu za ne-kaj najnizjih redov Laguerre-Gaussovih snopov svetlobe. [12]

Kljucni del LG snopov svetlobe je fazni clen, ki vsebuje odvisnost od ϕ, saj le ta povzroci, da se valovnefronte zvijejo okoli z osi oz. opticnega vrtinca, kot to prikazuje Slika 7. Valovna fronta oziroma povrsina zenako fazo, se okoli opticnega vrtinca zvije v obliki vijacnice, za katero velja enakost lϕ+kz = konst. Po tem,ko valovna fronta opravi en obhod okoli singularnosti, se zvezno nadaljuje v naslednjo valovno fronto, locenoza lλ, kjer je λ valovna dolzina valovanja, l pa imenujemo topoloski naboj in je na Sliki 7 oznacen s crkama qin m [12]. Tak prehod je prisoten med vsemi valovnimi frontami, kar sestavlja zvezno vijacno valovno fronto.Ce se vijacnica zvija v smeri urinega kazalca, potem tej strukturi pripisemo pozitvni topoloski naboj (l > 0)in obratno. V primeru, ko je |l| > 1, je valovna fronta sestavljena iz |l| identicnih vijacnic, razporejenih okolisingularnosti, locenih z valovno dolzino λ [12]. Topoloski naboj lahko matematicno definiramo s sledecimizrazom

l =1

2π

∮C

∇ϕdr =1

2π

∮C

dϕ, (10)

kjer je l topoloski naboj (pozitivno ali negativno celo stevilo), ϕ faza valovanja in C kroznica, s katerozaobjamemo opticni vrtinec.

(a) (b)

Slika 7: (a) Na sliki vidimo valovne oziroma fazne fronte, intenziteto, ki jo posamezni zarek izrise naoddaljenem zaslonu in fazno sliko zarka. Prvi v vrsti je svetlobni zarek, ki ne nosi nobenega opticnega vrtinca(njegove valovne fronte so ravni valovi), ostali trije pa predstavljajo zarke, ki nosijo po en opticni vrtinec(topoloski naboj opticnega vrtinca raste od 1 do 3) [6]. (b) Tudi na tej sliki ponovno vidimo valovne frontesingularnega zarka. Opazimo lahko razliko med negativno in pozitivno nabitim opticnim vrtincem (valovnefronte se sucejo ravno v obratni smeri) [7].

4 Kreiranje opticnih vrtincev

Do te tocke smo si pogledali kaj so to opticni vrtinci in kje jih lahko srecamo, sedaj pa je cas, da nekajpovemo se o tem, kako jih kreiramo. Poleg ze omenjenega laserskega kreiranja Laguerre-Gaussovega snopa,bom v tem poglavju opisala se tri nacine generiranja opticnih vrtincev: z uporabo fazne ploscice, opticneuklonske mrezice z dislokacijami in s pomocjo prostorskih modulatorjev snopa.

6

4.1 Generiranje opticnih vrtincev z uklonskimi mrezicami z dislokacijami

Poglejmo si najprej kako lahko opticne vrtince generiramo s pomocjo uporabe uklonskih mrezic z dislo-kacijami. Moznost uporabe taksnih uklonskih mrezic za transformiranje prostorsko koherentnih zarkov sploscatimi valovnimi frontami v zarke, ki vsebujejo opticne vrtince in imajo vijacne valovne fronte so prei-skovali ze leta 1900 [4]. Ugotovili so, da ce namesto navadne uklonske mrezice uporabijo uklonsko mrezico,ki v centru vsebuje se dislokacijo, bo uklonjeni zarek prvega reda vseboval opticni vrtinec, kar prikazuje Slika8 [4].

Slika 8: Ilustracija vpada nakljucnega osnovnega Gaussovega snopa na uklonsko mrezico z dislokacijo. Vidimolahko uklon prvega reda in obliko uklonske mrezice z dislokacijo v centru. [4]

Dislokacija je lahko implementirana kot amplitudna ali pa kot fazna mrezica, v obeh primerih pa dobimododatni clen, eilϕ, ki popisuje vijacno valovno fronto. V primeru fazne mrezice se nekaj energije ukloni tudiv visje uklonske rede, ki pa jih od prvega uklonskega reda, kateri vsebuje opticni vrtinec, lahko brez vecjeganapora locimo s prostorskim filtrom, saj se vsak uklonski red ukloni pod drugacnim kotom.

4.2 Generiranje opticnih vrtincev s faznimi ploscicami

Druga moznost generiranja opticnih vrtincev je z uporabo faznih ploscic. Prvi koraki v smeri kreiranjasingularnih zarkov s pomocjo faznih ploscic so se priceli z uporabo cilindricnih lec, ki so Hermite-Gaussoveopticne snope (resitve obosne valovne enacbe visjega reda v kartezicnih koordinatah) pretvorile v Laguerre-Gaussove opticne snope (resitve obosne valovne enacbe visjega reda v cilindricnih koordinatah). Vsak HGsnop reda m in n se je transformiral v LG snop z azimutalnim indeksom l = m − n in radialnim indeksomp = min(m,n) [4]. Cilindricne lece lahko pretvorijo HG snove v LG snope skoraj brez izgub, a kot vstopnisnop zahtevajo HG visokih redov ter vsakrsna nepopolnost v poravnavi cilindricne lece s snopom vodi vastigmatizem LG snopa (precni presek nima cilindricne oblike in opticni vrtinci s topoloskim nabojem |l| > 1se pri propagaciji razcepijo v |l| opticnih vrtincev s topoloskim nabojem enakim ena). Zaradi teh velikihpomanjkljivosti, so raziskave preusmerili s cilindricnih lec na opticne komponente imenovane spiralne fazneploscice. To so diski z lomnim kolicnikom n in opticno debelino ∆t, ki se povecuje z azimutalnim kotom kot∆t = ϕ(n−1)lλ/2π [4]. Na disk vpadajo ravni valovi, ki pri transmisiji skozi taksno fazno ploscico pridobijofazni clen, ki je enak eilϕ. Izstopni zarek posledicno vsebuje opticni vrtinec, ki se nahaja vzdolz opticne osi.

Glavni motiv za iznajdbo faznih ploscic je bila zelja po generiranju opticnih vrtincev brez nevarnostiza pojav astigmatizma, kar s taksnimi diski lahko dosezemo. Opticni snop, ki izstopi iz fazne ploscice paje zelo odvisen od natancnosti generiranja stopnice, ki mora biti pri ϕ = 2π natanko enaka (n − 1)lλ,ce zelimo dobiti tocno dolocen opticni vrtinec [4]. Tekom casa so se tehnike izdelave faznih ploscic dopotankosti izpopolnile, tako da danes znamo proizvesti debeline faznih ploscic, ki so v dopustnih mejahtoleranc za kreiranje zelenega opticnega vrtinca. Ce visina stopnice spiralne fazne ploscice ni enaka celemustevilu, potem poleg fazne singularnosti na opticni osi zarka, dobimo se radialno fazno nezveznost, ki imazapleteno vrtincno strukturo. Kadar je visina stopnice spiralne fazne ploscice enaka polovicnemu celemustevilu, dobimo verigo opticnih vrtincev z izmenjajocim se predznakom topoloskega naboja pri propagaciji.

4.3 Generiranje opticnih vrtincev s pomocjo prostorskih modulatorjev snopa

Kljub temu, da se opticne vrtince da kreirati tako s cilindricnimi lecami, kot s spiralnimi faznimi ploscicamiali pa s spremenjenimi laserskimi izvori, jih lahko najlazje ustvarimo s pomocjo racunalnisko generiranih

7

Slika 9: Podobno kot Slika 8 tudita predstavlja vpad nakljucnegaosnovnega Gaussovega snopa sve-tlobe, tokrat na fazno ploscico.Na desni strani fazne ploscice vi-dimo generirani LG snop sve-tlobe, ki vsebuje opticni vrtinec.Lepo je vidno spreminjanje de-beline fazne ploscice, ki privededo tega, da ravne vpadle valovnefronte spremenimo v vijacne. [4]

hologramov. Z njimi namrec lahko z istim zacetnim laserskim zarkom ustvarimo zarke s poljubno orbitalnovrtilno kolicino, kar prikazuje Slika 10.

(a) (b)

Slika 10: a)Hologram lahko ustvari svetlobni zarek z vijacnimi faznimi frontami ter orbitalno vrtilno kolicinoenako lh na foton. Hologram, ki je potreben za generacijo taksnega zarka, lahko ustvarimo numericno zracunalnikom ali pa s pomocjo interference med zelenim zarkom in ravnim valovanjem. Ko tak hologramosvetlimo z ravnim valovanjem, ima uklonski zarek prvega reda zelene vijacne fazne fronte. b) Par cilindricnihlec lahko sluzi kot pretvornik med HG in LG snopi svetlobe, ki nosijo orbitalno vrtilno kolicino (podobno kots π/4 ploscico lahko pretvorimo linearno polarizirano svetlobo v cirkularno polarizirano). Ker ena samakombinacija cilindricnih lec lahko pretvori poljuben HG snop, lahko na ta nacin dobimo siroko paleto LGsnopov svetlobe. Ce povecujemo razmak med cilindricnima lecama, s tem lahko obrnemo rocnost LG snopa(podobno kot lahko s π/2 ploscico obrnemo smer cirkularno polarizirane svetlobe). [13]

Potrebni hologram lahko ustvarimo na fotografski film tako, da nanj zapisemo interferencni vzorec rav-nega vala in zarka, ki ga zelimo ustvariti. Ce nastali hologram nato osvetlimo z ravnimi valovi, bomo vprvem uklonskem redu dobili zarek zelene intenzitete in faznega vzorca. Holografski pristop lahko dobroizkoristi prednost uporabe komercialno dostopnih prostorskih modulatorjev svetlobe - SLM (Spatial LightModulators). Gre za napravo, ki za delovanje uporablja tekoce kristale in je sestavljena iz stevilnih pikslov[13].

Uporabljamo jo namesto fotografskega filma pri klasicnem eksperimentu, zeleni interferencni vzorecpa ustvarimo numericno z racunalnikom. Te naprave ustvarijo racunalnisko nadzorovane holograme, kiomogocajo, da preproste laserske zarke spremenimo v eksoticne s prakticno poljubno fazno in amplitudnostrukturo [13]. Dodatne prednost je, da lahko obliko holograma in s tem izstopni zarek zamenjamo nekajkratna sekundo. Slika 10 prikazuje kako lahko s preprostim hologramom spremenimo vpadle ravne valove v dvaLG zarka, ki nosita orbitalno vrtilno kolicino.

Do nedavnega je proizvodni proces SLM naprav povzrocil generiranje astigmatizma v kreiranem zarku.Ta pojav je mozno popraviti s t.i. Gerchberg-Saxton algoritmom, ki izracuna obliko potrebnega holograma,ki ga dodamo osnovnemu hologramu, za to, da se nepravilnost (astigmatizem zarka) odpravi [4]. Ta vplivnialgoritem je bil prvotno sicer razvit za kristalografijo, vendar se dandanes siroko uporablja na podrocjuoblikovanja racunalnisko generiranih hologramov. Nacin delovanja tega algoritma je sledec: s pomocjo

8

hitre Fourierove transformacije izracuna intenzitetno in fazno porazdelitev svetlobe v zelo oddaljenem polju(’far-field’), nato pa s pomocjo inverzne transformacije preracuna ti porazdelitvi na ravnino holograma. Tapostopek veckrat ponovi, vendar vsakic nadomesti intenziteto s tisto, ki pripada trenutni osvetljenosti. Ponekaj korakih polje skonvergira k zelenemu, tako da dobimo fazo zahtevanega holograma [4].

5 Vrtilna kolicina svetlobe

Slika 11: Orbitalna vrtilna kolicina je za razlikood spina zarka neodvisna od polarizacije. Izvira izvijacnosti faznih front, pri cemer Poyntingov vektorni vec vzporeden s smerjo propagacije zarka, ampakse spiralno zvija okoli opticne osi. Za vsak l na sliki,je levi stolpec skica trenutne faze zarka. Srednji stol-pec predstavlja precni intenzitetni profil zarka za posa-mezen l. Desni stolpec pa predstavlja interferenco LGsnopa posameznega l z ravnim valovanjem. Opazimolahko nekaksne repe svetlobe, katerih stevilo je enako lzacetnega LG snopa. [13]

Tako kot vsa valovanja, ima tudi svetloba svojemehanicne lastnosti. Kar nekaj casa je ze znano,da svetloba nosi gibalno kolicino, ki je enaka hkna foton (k = 2π

λ je valovni vektor). Poleg gi-balne kolicine, cirkularno polarizirani svetlobi lahkopripisemo tudi spinsko vrtilno kolicino, ki je enaka±h na foton [13]. Tako gibalna kolicina, kot tudispinska vrtilna kolicina sta bili pri svetlobi odkritize v zacetku 20. stoletja. Veliko kasneje, proti koncu20. stoletja, pa se je prvic pojavila ideja, da lahkosvetlobni zarki, ki vsebujejo azimutalno fazno kom-ponento eilϕ, nosijo vrtilno kolicino, ki je neodvisnaod polarizacije svetlobe [13]. Kot ϕ predstavlja azi-mutalno koordinato precnega preseka zarka, l pa jelahko poljubno celo stevilo. Predvideli so, da greza orbitalno vrtilno kolicino, ki znasa L = lh na fo-ton. Podobno kot v primeru spinske vrtilne kolicine,predznak l doloca rocnost orbitalne vrtilne kolicineglede na smer propagacije zarka. Za dani l vsebujezarek l prepletenih vijacnih faznih front, kot je toprikazano na Sliki 11.

Znacilnost zarkov z vijacnimi faznimi frontami jesingularnost na opticni osi, kjer intenziteta svetlobepade na nic - opticni vrtinci [13]. Posledicno imaintenzitetni precni profil takega zarka obrocast vzo-rec in ne glede na to, kako dobro sfokusiran zarekimamo, bo le ta v sredini temen. Ravno zato, ker LGsnopi svetlobe ze po definiciji vsebujejo fazni clen, kije enak eilϕ, so naravna izbira za obravnavo opticnihvrtincev.

Natancna analiza elektromagnetnega polja nampodaja, da je celotna vrtilna kolicina katere koli sve-tlobe enaka vsoti njene spinske in orbitalne vrtilnekolicine (J = L+ S). Poyntingov vektor, ki podaja

smer in amplitudo energijskega toka, je v praznem prostoru kar vektorski produkt med jakostjo elektricnega ingostoto magnetnega polja (P = ε0E×B). Znotraj paraksialne aproksimacije lahko pokazemo, da za vsako cir-kularno polarizirano valovanje, ki se propagira v z smeri in ga lahko opisemo z izrazom u(ρ, ϕ, z) = u(ρ, z)eilϕ

imajo r, ϕ in z komponente Poyntingovega vektorja sledece odvisnosti:

pr = ε0ωkrz

z2R + z2|u|2, (11)

pϕ = ε0

(ωl

r|u|2 − 1

2ωσ

∂|u|2

∂r

), (12)

pz = ε0ωk|u|2, (13)

kjer se komponenta pr nanasa na razsirjanje zarka pri njegovi propagaciji. Vidimo, da je prvi clenazimutalne komponente pϕ odvisen od l in je zato povezan z orbitalno vrtilno kolicino zarka, drugi clenpa je povezan s spinsko vrtilno kolicino zarka (ce je σ = ±1 opisuje levo oz. desno cirkularo polarizi-ran zarek, ce pa je −1 < σ < 1, opisuje elipticno polariziran zarek). Zadnja komponenta pz pa opisuje

9

gibalno kolicino zarka v smeri njegove propagacije [14]. Relativna velikost vsake od komponent dolocatrajektorijo Poyntingovega vektorja, kar je prikazano tudi na Sliki 12. V primeru osnovnega (l = 0) li-nearno polariziranega (σ = 0) Gaussovega snopa, azimutalnega prispevka k Poyntingovemu vektorju ni,medtem ko je je za vse LG snope, ki imajo l razlicen od 0, azimutalna komponenta razlicna od nic.

Slika 12: Trajektorija Poyntingovega vek-torja in njegove posamicne komponente. θje kot rotacije, S pa je Poyntingov vektorP . [14]

Za vijacne fazne fronte ima torej Poyntingov vektor azimutalnokomponento razlicno od nic, kar je z zeleno puscico prikazanotudi na Sliki 11. Ta komponenta Poyntingovega vektorja jeodgovorna za nastanek orbitalne vrtilne kolicine vzporedno zopticno osjo zarka [13]. Ker energijski tok, in z njim tudi Poyn-tingov vektor, krozi okoli opticne osi, pravimo, da taksni zarkivsebujejo opticne vrtince.

Spinska vrtilna kolicina ima le dve neodvisni stanji (levo-in desno-cirkularno polarizirano), orbitalna vrtilna kolicin panam omogoca prakticno neskoncno stevilo moznih stanj, ki jihdoloca celo stevilo l. Paziti moramo, da ne povezemo orbitalnekomponente direktno s topoloskim nabojem opticnega vrtinca.Zavedati se namrec moramo, da je center opticnega vrtincatocka, kjer je intenziteta svetlobe enaka nic. To pomeni, daopticni vrtinec sam po sebi ne nosi niti gibalne niti vrtilnekolicine. Vrtilna kolicina zarka je povezana s podrocji, kjer jeintenziteta svetlobe velika (kar je za LG snop obrocek okolivrtinca). Orbitalna vrtilna kolicina je razlicna od nic vsakic,

ko fazne fronte zarka niso pravokotne na smer propagacije zarka. Takrat so zarki, ki sestavljajo snop svetlobenagnjeni glede na opticno os zarka [13].

5.1 Merjenje vrtilne kolicine zarka

Razlozila sem ze kako lahko opticne vrtince kreiramo, sedaj pa si nakratko poglejmo se kako jih lahko detekti-ramo. Stevilne raziskovalne skupine so se problema detektiranja orbitalne vrtilne kolicine zarka lotile tako, daso opazovale njen prenos na mikroskopske delce, ujete v opticno past.

Slika 13: Slika prikazuje prenos orbitalnevrtilne kolicine (zgoraj) in spinske vrtilnekolicine (spodaj) svetlobe na delec. Delec jeujet na podrocje, kjer je intenziteta svetlobenajvecja - v to ga prisili intenzitetni gradi-ent. [13]

Osnova delovanja opticne pasti oz. opticne pincete je mocanintenzitetni gradient pri fokusu zarka, pri katerem mikroskop-sko velik, lahek, dielektricni delec obcuti gradientno silo, ki jedovolj velika, da ga privlaci v center zarka. Prvi poskus pre-nosa orbitalne vrtilne kolicine svetlobe na keramicen delec, ujetv opticni pasti, so izvedli tako, da so uporabili nepolariziran la-serski zarek z vijacnimi faznimi frontami. Nekaj let kasneje soeksperiment spremenili tako, da so uporabili cirkularno pola-riziran laserki zarek z vijacnimi faznimi frontami. Z njim soustvarili t.i. opticni kljuc [13]. Pokazali so, da ko imata kom-ponenti spina in orbitalne vrtilne kolicine enak predznak (zal = 1), se zdruzita na tak nacin, da povzrocita hitro vrtenjemajhnega prozornega delca. Kadar pa imata komponenti na-sproten predznak (vsota spina in orbitalne vrtilne kolicine jeenaka nic), se delec ne vrti. Ta eksperiment je pokazal, daje orbitalna vrtilna kolicina za l = 1 mehanicno ekvivalentnavrtilni kolicini h povezani s spinom fotona.

Ceprav sta si spinska in orbitalna vrtilna kolicina vmarsicem podobni, pa imata v splosnem razlicne interakcijskelastnosti. Ker orbitalna vrtilna kolicina zarka izvira iz naklonafaznih front, je njene interakcije z delci, oddaljenimi od opticneosi, najlazje razloziti v povezavi z azimutalno komponento gi-balne kolicine zarka. Na mikroskopski ravni so te interakcije

opazovali s polariziranimi zarki vijacne oblike. Majhen, prozoren delec je bil v eksperimentih vezan naobmocju, kjer je intenziteta zarka najvecja. Tangentni odmik delca od osi zaradi vijacnih faznih front jepovzrocil krozenje delca okoli opticne osi, kar je pomenilo prenos orbitalne vrtilne kolicine svetlobe na delec[13]. Hkrati je prislo tudi do prenosa spinske vrtilne kolicine zarka na delec, ki pa je povzrocila vrtenje delca

10

okoli lastne osi, kar je s puscico tudi prikazano na Sliki 13.

6 Interakcija z nelinearnimi kristali

Sedaj ze vemo, da ima laserski zarek, ki vsebuje opticni vrtinec obliko obrocka oziroma krofa in poznamoze njegovo obnasanje, kadar potuje po praznem prostoru. Kadar pa se tak zarek propagira po nelinearnemmediju, lahko opazimo stevilne zanimive pojave.

Nelinearne opticne medije opisemo z njihovim elektromagnetnim odzivom na vpadlo svetlobo. Polarizacijotaksnega medija lahko opisemo kot

P = ε0χ(1)E + ε0χ

(2)E2 + ε0χ(3)E3, (14)

kjer je E amplituda elektricnega polja vpadle svetlobe, koeficienti χ pa opisujejo linearni in nelinearniodziv medija. Koeficient χ(1) opisuje linearno opticno susceptibilnost medija, koeficienta χ(2) in χ(3) pa pred-stavljata nelinearno opticno susceptibilnost medija. Kadar je kristal nelinearnega medija centrosimetricen,je koeficient χ(2) enak 0 in zato glavni prispevek k nelinearnemu odzivu medija prispeva tretji clen v enacbi,ki je posledica spremembe opticne susceptibilnosti zaradi intenzitete vpadle svetlobe [5].

Do nelinearnega odziva materiala pride takrat, ko je gostota moci vpadle svetlobe dovolj velika, kar se vprimeru laserske svetlobe zgodi pogostokrat. Svetloba, ki izstopi iz taksnega kristala vsebuje tudi frekvence,ki jih v vstopnem zarku ni bilo. Ce na kristal posvetimo z zarkom, ki vsebuje dve razlicni frekvenci, bomoznih nelinearni odzivov vec. Del vpadlih zarkov se bo prepustil (frekvenci ostaneta nespremenjeni), delbo interagiral med seboj in tvoril vsoto ali pa razliko obeh zacetnih frekvenc (pojavu pravimo generacijavsote in razlike frekvenc [5]), del svetlobe pa bo vseboval podvojeni frekvenci. Podrobneje poglejmo pojavgeneracije vsote in razlike frekvenc, saj je pojav podvajanja frekvenc le poseben primer pojava generacijevsote frekvenc [15]. Energija se na nivoju fotonov ohranja, kar doloca, da je najvecja od treh frekvenc vsotaostalih dveh frekvenc. Ohranjati pa se mora tudi vrtilna kolicina, kar pa si zaradi preprostosti poglejmona primeru podvajanja opticne frekvence. En vpadli zarek razcepimo na dva locena identicna zarka in juposljemo na kristal, izstopni zarek pa bo nato imel dvakratno frekvenco vpadlega zarka. Orbitalna vrtilnakolicina zarka se bo pri tem podvojila (zato, da se bo ohranila), kar na nivoju fotonov pomeni, da se dva fotonazdruzita v enega, ki ima dvakratno energijo, gibalno kolicino in orbitalno vrtilno kolicino zacetnega fotona[13]. Nasprotno pa v primeru spinske vrtilne kolicine mora priti do prenosa le te na kristal, saj posamezenfoton ne more nositi spina enakega 2h. V primeru generacije razlike frekvenc zacetni zarek razcepimo na dva

Slika 14: Nelinearni pojav podvajanja opticne frekvence, pri cemer imata oba vpadla zarka enake vijacnefazne fronte. Pri tem pojavu se ohranja tako gibalna kolicina kot tudi orbitalna vrtilna kolicina in energijasvetlobe. Oba vpadla zarka izvirata iz enega zacetnega zarka, izhodni zarek pa ima tocno dvakratno frekvencozacetnega zarka. Pri procesu se podvoji tudi lh - orbitalna vrtilna kolicina na foton. [13]

locena zarka s poljubno kombinacijo frekvenc. Njuna vsota mora biti enaka frekvenci zacetnega zarka, da sebo energija ohranjala. Razmerje frekvenc, po katerem se zarka locita, doloca pogoj ujemanja faz. Drugaceje pri razmerju, po katerem se lahko razcepi orbitalna vrtilna kolicina. V tem primeru prakticno ni nobeneomejitve. Zacetni zarek se lahko razcepi v dva locena zarka s poljubnim razmerjem orbitalnih vrtilnih kolicin,le da je vsota obeh enaka orbitalni vrtilni kolicini zacetnega zarka.

11

7 Zakljucek

Opticni vrtinci so v 70. letih prejsnjega stoletja postali glavna tema raziskav na podrocju moderne optike.K temu so mocno prispevali tudi vedno boljsi laserki izvori svetlobe, ki generirajo prostorsko in casovno ko-herentne zarke, s katerimi je zelo enostavno ustvariti elektromagnetno valovanje z opticnimi vrtinci. Cepravopticne vrtince pogosto poimenujemo singularne fazne tocke, se moramo zavedati, da so to v tridimenzional-nem polju v resnici linije popolne destruktivne interference, ki so nekako ugnezdene v prostoru, napolnjenems svetlobo. Te linije so zvezne in lahko tvorijo zanke, ali pa se raztezajo v neskoncnost. Azimutalni faznigradient svetlobe, ki obdaja opticni vrtinec, se odraza v nenicelni azimutalni komponenti Poyntingovegavektorja. To pa privede do tega, da singularni zarek poleg spina nosi se orbitalno vrtilno kolicino, obe vrtilnikolicini se lahko prenasata z zarka na delec, ujet v pasti. Taksno konfiguracijo imenujemo opticni kljuci, kiso bili v tem seminarju nakratko predstavljeni. Raziskave opticnih vrtincev in orbitalne vrtilne kolicine soprivedle do spoznanja, da energijski tok, predstavljen s Poyntingovim vektorjem, nosi informacije, ki jih nimoc razbrati le iz intenzitete ali porazdelitve svetlobe v prostoru. To podrocje fizike je po eni strani ze precejraziskano (predvsem kar se tice fizikalne plati pojava), po drugi strani pa je se mocno v povojih (moznostiuporabe se niso dodobra raziskane). Vsekakor pa lahko v prihodnosti pricakujemo, da bodo z nadaljnjimrazvojem mikromanipulacije in kvantnega procesiranja podatkov opticni vrtinci verjetno igrali se pomembnovlogo.

Literatura

[1] Yuri S. Kivshar and Elena A. Ostrovskaya, Optical vortices: folding and twisting waves of light, Opticsand Photonics News, 2001

[2] https : //sl.wikipedia.org/wiki/Uklon (14.2.2016, Slika 1a), http : //hyperphysics.phy −astr.gsu.edu/hbase/phyopt/dslit.html (18. 4. 2016, Slika 1b)

[3] http : //uh.edu/engines/epi2631.htm (14.2.2016, Slika 1c)

[4] Mark R. Dennis, Kevin O’Holleran and Miles J. Padgett, Singular Optics: optical vortices and polari-zation singularities, Progress in Optics, 2009, 53, Chapter 5

[5] Lastni zapiski s predavanj Fotonika pri prof. dr. Drevensek-Olenik iz leta 2015

[6] http : //cnqo.phys.strath.ac.uk/research/quantum − theory − of − light/optical − angular −momentum/oam− examples/ (20.2.2016, Slika 3a)

[7] http : //www.nature.com/ncomms/journal/v3/n8/figtab/ncomms1996F 1.html (20.2.2016, Slika 3b)

[8] https : //sl.wikipedia.org/wiki/PojavGoos (29.2.2016, Slika 4a)

[9] K. T. Gahagan and G. A. Swartzlander Jr., Optical vortex trapping of particles, Optical Society ofAmerica, 1996, 21, 11

[10] E. Wolf, A. S. Desyatnikov, L. Torner and Y. S. Kivshar, Optical vortices and vortex solitons, Progressin optics, 2005, 47

[11] http : //openspim.org/SPIMOptics101/Theoreticalbasics, (Slika 5, 11.04.2016)

[12] http : //mafija.fmf.uni − lj.si/seminar/files/20142015/MatejaHrastSeminar1b.pdf , (Slika 6,11.04.2016)

[13] Miles Padgett, Johannes Courtial and Les Allen, Light’s orbital angular momentum, Physics Today,2004

[14] L. Allen, M.J. Padgett, The Poynting vector in Laguerre-Gaussian beams and the interpretation of theirangular momentum density, Elsevier Science B.V, 2000

[15] https : //en.wikipedia.org/wiki/Second− harmonicgeneration

12