Sejarah

Kalkulus

D.I.Y Production

Isi Kandungan

Pengenalan 1

Sejarah Perkembangan Kalkulus :

Awal

Pertengahan

Akhir

2-3

4-6

6-9

Tokoh-tokoh Matematik

Zu Chong Ji 10

Isaac Newton 11

Gottfried Leibniz 12

Johann Carl Friedrich Gauss 13

Joseph Louis Lagrange 14

Srinivasa Ramanujan 15

Bibliografi 16

(1)

(1)

Pengenalan

Kalkulus yang juga bermaksud “batu kecil” dalam bahasa Latin merupakan salah satu cabang ilmu matematik

yang merangkumi had, terbitan, kamiran, dan deret tak

terhingga. Kalkulus merupakan ilmu mengenai perubahan

dan mempunyai aplikasi yang luas dalam bidang-bidang

sains, ekonomi, dan teknikal. Selain daripada itu, kalkulus

dapat menyelesaikan pelbagai masalah yang tidak dapat

diselesaikan dengan algebra asas.

Kalkulus mempunyai dua cabang utama, iaitu kalkulus

pembezaan dan kalkulus kamiran yang saling berhubungan

melalui teorem asas kalkulus. Pembelajaran tentang ilmu

kalkulus merupakan pintu gerbang menuju pembelajaran

matematik lain yang lebih mencabar.

Sejarah

Perkembangan

Kalkulus

Awal (580 SM 221 SM)

Pada zaman ini, para ahli matematik seperti

Archimedes, Euclid dan Pythagoras telah

memperkenalkan beberapa idea yang membuatkan skop

kalkulus lebih meluas dan secara tidak langsung

mengembangkan idea-idea tersebut dengan lebih teratur

dan sistematik.

Selain itu, terdapat beberapa idea tentang konsep

kalkulus iaitu pengamiran telah muncul. Walau

bagaimanapun, idea-idea tersebut tidak dikembangkan

dengan baik dan sistematik. Kaedah pengiraan isipadu

dan luas yang merupakan fungsi utama konsep

pengamiran telah ditelusuri kembali pada Papirus Moskwa oleh Vladimir Goleniščev.

Cebisan daripada Papyrus Mowska

Pada zaman ini, orang Mesir telah mengira isipadu piramid.

Rentetan itu, Archimedes telah mengembangkan idea ini dengan

lebih meluas dan menghasilkan pendekatan yang lebih heuristik

yang menyerupai kalkulus integral.

Semasa tamadun Yunani, ahli matematik Eudoxus (408-355 SM) telah memperkenalkan ‘method of exhaustion’ yang menggunakan poligon yang kecil yang dimuatkan ke dalam ruang yang ingin dicari untuk mengira keluasan dan isipadu. ‘Method of exhaustion’ ini kemudian diciptakan kembali di China oleh Liu Hui

pada abad ke-3 untuk mencari luas lingkaran. Pada abad ke-5, Zu

Chongzhi membentuk kaedah yang kemudiannya disebut prinsip

Cavalieri 's untuk mencari isipadu sebuah sfera.

Method Of Exhaustion

Archimedes

pertengahan (Abad Ke-6 Hingga Abad Ke-12)

Pada zaman ini iaitu pada tahun 499, ahli matematik India,

Aryabhata telah menggunakan konsep kecil tak terhingga dan

mengekspresikan masalah astronomi dalam bentuk persamaan

pembezaan. Persamaan ini kemudiannya telah membantu

Bhaskara II pada abad ke-12 untuk mengembangkan bentuk awal

turunan yang mewakili perubahan yang sangat kecil tak terhingga dan menjelaskan bentuk awal dari “Teorema De Rolle“. Di samping itu, pada sekitar tahun 1000, seorang ahli

matematik daripada Iraq, Ibn al-Haytham (Al Hazen) menjadi

orang pertama yang menurunkan rumus perhitungan hasil

jumlah pangkat empat. Selain daripada itu, Ibn al-Haytham juga

telah berjaya menggunakan induksi matematik untuk

mengembangkan suatu kaedah untuk menurunkan rumus umum

dari hasil pangkat pengamiran yang sangat penting terhadap

perkembangan kalkulus iaitu pengamiran.

Teorema De Rolle

Pada abad ke-12, ahli matematik daripada Persia iaitu Sharaf

al-Din al-Tusi telah memperkenalkan turunan dari fungsi kubik

yang merupakan sebuah hasil yang penting dalam kalkulus iaitu

pembezaan. Pada abad ke-14 pula, Madhava, bersama dengan

Jyesthadeva seorang ahli matematik dan ahli astronomi daripada

mazhab Kerala telah menjelaskan perkara khusus dari deret Taylor ataupun ‘Taylor Series’, yang dituliskan dalam teks Yuktibhasa.

Teks Yuktibhasa ini adalah karya yang unik, kerana

mengandungi bukti dan derivasi dari pelbagai toerem. Hal ini

merupakan sesuatu yang tidak biasanya dilakukan oleh ahli-ahli

matematik yang lain pada zaman itu. Beberapa perkembangan

penting yang terdapat dalam teks ini antara lain meliputi

pengembangan deret takterhingga dari suatu fungsi, deret

pangkat, deret Taylor, deret trigonometri untuk sinus, kosinus, tangen, dan lengkung tangen, deret pangkat untuk π, π/4, θ, jari-jari, diameter dan lingkar dan ujian kovergensi (convergency test).

Taylor Series

Sharaf al-Din al-Tusi

akhir (Abad ke-12 hingga abad ke-17)

Pada zaman ini, dua tokoh matematik yang terkenal iaitu Leibniz

dan Newton telah menyumbangkan idea-idea yang hampir serupa dan

menyebabkan mereka dianggap sebagai pengasas kalkulus. Newton

mengaplikasikan kalkulus secara umum ke bidang fizik sementara

Leibniz mengembangkan notasi-notasi kalkulus yang banyak digunakan

sekarang.

Konsep aturan produk (product rules) dan aturan rantai (chain

rules), gagasan derivatif lebih tinggi, deret Taylor, dan fungsi analisis

diperkenalkan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang digunakan

untuk menyelesaikan masalah matematik dan fizik. Newton juga telah

menggunakan kaedah kalkulus untuk menyelesaikan masalah

pergerakan planet, bentuk permukaan cairan berputar dan banyak

masalah lain yang dibahas dalam bukunya Principia Mathematica

(1687). Selain itu, beliau tururt mengembangkan ekspansi turutan

(series expansion) untuk fungsi. Hal ini jelas menunjukkan bahawa

beliau memahami prinsip-prinsip dari deret Taylor. Walau

bagaimanapun, beliau tidak mendedahkan semua penemuan beliau.

Principia Mathematica

Gottfried Wilhelm Leibniz pula adalah orang pertama yang

mendedahkan hasilnya tentang perkembangan kalkulus. Idea-

idea ini adalah sistematik terutamanya dalam konsep kalkulus

iaitu infinitesimals yang pada awalnya dituduh meniru idea-idea

yang diperkenalkan oleh Newton. Beliau sekarang dianggap salah

seorang penyumbang terbesar dalam kalkulus. Antara konsep

yang diperkenalkan olehnya adalah set aturan untuk

memanipulasi jumlah yang sangat kecil, membolehkan pengiraan

turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk

dan aturan rantai sama ada dalam konsep pembezaan mahupun

pengamiran. Tidak seperti Newton, Leibniz memberi perhatian

pada formalisme dan sering menghabiskan hari-harinya untuk

menentukan simbol-simbol yang sesuai untuk konsep kalkulus.

Tidak dapat disangkal lagi, Leibniz dan Newton

sememangnya merupakan perintis kepada penemuan kalkulus.

Newton adalah yang pertama menerapkan konsep kalkulus untuk

menyelesaikan masalah fizik dan Leibniz mengembangkan

banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus hari ini. Antara

sumbangan terbesar Newton dan Leibniz adalah dalam hukum

pembezaan dan pengamiran kedua dan turunan yang lebih tinggi,

serta gagasan dari siri polinomial aproksimasi.

Gottfried Wilhelm Leibniz

Isaac Newton