SEGMENTOS NOTÁVEIS NO

TRIÂNGULO

Nos triângulos temos três segmentos que se destacam, esses segmentos são chamados de cevianas . As cevianas são: medianas, bissetrizes e as alturas do triângulo.

•Mediana: Segmento do triângulo que tem um extremo no vértice e o outro extremo no ponto médio do lado oposto.

Mediana

Ponto Médio

•Bissetriz interna: Semi-reta que divide um ângulo interno em dois ângulos congruentes.

Bissetriz

•Altura: Segmento de reta que tem um extremo no vértice e o outro extremo no lado oposto ou prolongamento desse. A altura, por definição, é perpendicular ao lado ou ao prolongamento desse.

Altura

Altura

•Mediatriz de um segmento: É a reta que passa pelo ponto médio desse segmento e é perpendicular a ele.

Mediatriz do lado AB

Ponto MédioA B

OBSERVE QUE A MEDIATRIZ NÃO É UMA CEVIANA, POIS ELA NÃO PARTE DO VÉRTICE

PONTOS NOTÁVEIS NO

TRIÂNGULO

BARICENTRO - DefiniçãoO ponto de encontro das três medianas de um

triângulo é o baricentro do triângulo.

Baricentro divide cada mediana em duas partes tais que, a parte que contém o vértice é o DOBRO da outra.

AG = 2 . GM1

AM1 BM2 CM3 = { G }

M1

M2M3 G

A

B C

Ele divide cada mediana em duas partes, onde a parte ligada ao vértice é o dobro da parte ligada ao lado.

Ele é o ponto de encontro das medianas do triângulo.

As medianas dividem o triângulo em 6 triângulos de mesma área.

M2

M3

M1

Baricentro é o centro de gravidade do triângulo.

INCENTRO – DefiniçãoO ponto de encontro das três bissetrizes internas de um triângulo é o incentro do triângulo.

Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

Incentro é o ponto do plano do triângulo que fica à igual distância de seus LADOS .

S1

S2

S3

A

B

I

C

AS1 BS2 CS3 = { I }

CIRCUNCENTRO – Definição O ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um

triângulo é o circuncentro do triângulo.

circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo. 

circuncentro é o ponto do plano do triângulo quefica à igual distância de seus VÉRTICES .

• m1 m2 m3 = { O }

m1

m2 m3

ORTOCENTRO – DefiniçãoO ponto de encontro das alturas de um triângulo é o

ortocentro do triângulo.

As alturas são perpendiculares aos lados por ela interceptados.

Obs. : Os únicos pontos notáveis que podem ser externos ao triângulo são o CIRCUNCENTRO e o ORTOCENTRO.

A

B CH1

H3

H2

H

AH1BH2CH3 = {H}

CIRCUNCENTRO

ORTOCENTRO

1)Três amigos compraram juntos um sítio e cada um construiu

sua casa. Como, naquela região estava ocorrendo muitos assaltos, elesresolveram construir uma guarita ( figura ) e colocar um vigiapara cuidar da segurança de todos. Se essa guarita deve sercolocada em um local eqüidistante das casas, esse local é o:A) Baricentro do triângulo determinado pelas casas.B) Incentro do triângulo determinado pelas casas.C) Circuncentro do triângulo determinado pelas casas.D) Ortocentro do triângulo determinado pelas casas.E) Tricentro do triângulo determinado pelas casas.

CASA 1

CASA 2

CASA 3

O circuncentro é o ponto de um triângulo que é equidistante de seus vértices (RAIO)

Circuncentro é o centro da circunferência que circunscreve o triângulo.

Ele é o ponto de encontro das retas mediatrizes dos lados do triângulo.

2) Uma praça tem a forma de um triângulo escaleno. Nela, deseja-se construir um heliporto com formato circular, de modo a haver o máximo aproveitamento do terreno, isto é, o heliporto deve tangenciar os três lados da praça. Com base nessas informações, podemos afirmar que o centro desse heliporto deve ser:a)O encontro das bissetrizes dos ângulos internos do triângulob)O encontro das medianas do triânguloc)O encontro das retas mediatrizes dos lados do triângulod)O encontro das alturas do triânguloe)N. D. A

3) Um fazendeiro comprou uma fazenda cuja forma é um triângulo escaleno (figura). Esse fazendeiro deseja construir a sede dessa fazenda em um local que está a uma mesma distância das três estradas que delimitam esta fazenda. O ponto exato onde a sede deverá ser construída é chamado de:

A) Ortocentro

B) Incentro

C) Baricentro

D) Circuncentro

E) N. D. A

O incentro é o ponto de um triângulo que é equidistante de seus lados

Ele é o ponto de encontro das retas bissetrizes dos ângulos do triângulo.

Incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.

16) No triângulo ABC abaixo os pontos M, N e P são os pontos médios de seus lados e G é o ponto de encontro dos segmentos AM, BN e CP. Analise as afirmações abaixo.

I) Se AM = 12, logo AG = 8. ( )

II) BG = CG.( )

III) A área do triângulo APG é congruente com a área do triângulo BGM. ( )

IV) G é o centro da circunferência inscrita no triângulo ABC. ( )

B

C

A

P

M

N

G

V

F

V

F

15) No triângulo ABC abaixo, o ponto I é o incentro do triângulo e os lados AB, BC e AC medem, respectivamente 12 cm, 8 cm e 10 cm. Se RS é paralelo ao lado BC, o valor do perímetro do triângulo ARS é:

a) 20 cm

b) 22 cm

c) 24 cm

d) 26 cm

e) 28 cmI

A

B

C

R

S

I

A

B

C

R

S

Como I é o incentro, logo BI e CI são bissetrizes de seus ângulos

Se RS e BC são segmentos paralelos logo o ângulo RÎB será congruente com o ângulo ( ALTERNOS INTERNOS)

CBI ˆ

Acontece o mesmo com os ângulos SÎC e BCI ˆ

Os triângulos BRI e CSI são isósceles, onde BR = RI e SI = SC

x

x yy

12 12 -

x10

10 - y

PERÍMETRO DE ARS

2P = 12 – x + x + y + 10 - y

2P = 12 + 10

2P = 22 cm