Matemática

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A. Gomes, A. Tavares e C. Eduardo

Matemática

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Trabalho produzido por:

Aigla Gomes da Silva, Alex Tavares e Carlos Eduardo

Licenciatura em Matemática pela Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)

Primeira edição, 15/06/2015

Professor Orientador: Henrique N. Sá Saerp

Material Fictício Proposto ao 8º ano

Layout: Aigla Gomes da Silva

Como usar o Livro

Este livro possui uma proposta em seus capítulos que possui sempre a mesma estrutura

definida por:

1.Nome e número do Capítulo acima do exemplo de motivação do tema.

2.Recordando: Assuntos a ser relembrados (estudados anteriormente) antes de iniciar o

capítulo, sempre inclusos na primeira página do Capítulo.

3. Desenvolvimento: Composto sempre na ordem: Teoria>> Demonstração>>

Exemplos>> Exercícios Em Sala >> Curiosidades>>GeoGebra>> Jogos>> Conectados

3.1: Nova definição, sempre dentro da Teoria que abrange de 1 a 5 páginas.

3.2: Nova notação, exposta dentro da Teoria.

3.3: Lembre-se: Aborda assuntos já estudados e que são importantes no contexto.

3.4: Você Sabia? : curiosidade pertinente ao contexto dentro do conteúdo na Teoria.

3.5: Trabalho em Grupo: Atividades sugeridas ao professor para serem definidas como

atividades avaliativas abordando o conteúdo, 1 trabalho a cada 2 ou 3 capítulos.

Informações relacionadas ao tema estudado, de 1 a 3 páginas ao final dos 3.6: Curiosidades:

exercícios.

3.7: GeoGebra: Apenas dos conteúdos de geometria, um exercício por capítulo de geometria

de 1 a 2 páginas.

3.8: Jogos: Atividades propostas em grupo para aulas interativas dentro de sala com página

de anexos inclusa.

3.9: Conectados: Links úteis para um aprendizado mais profundo com o tema abordado em

aula.

4.Exercícios: Sempre após a conclusão do capítulo, em duas páginas amarelas. Exercícios

identificados por níveis de dificuldade, assim como os propostos em sala. Com exercícios em

azul, sempre vinculados as provas do Enem.

Fácil: Exercícios mecânicos, ou com explicação no cabeçalho. (tempo estimado por

item: 1 minuto)

Médio: Exercícios com problematização, mas que apresentam como fazer no cabeçalho

ou exercícios mecânicos que exigem mais tempo do aluno. (tempo estimado por item: 3

minutos)

Difícil: Exercícios com problematização onde o aluno deve propor seu método de

resolver, exercícios típicos de vestibular.

6.Vestibular: Duas páginas em roxo no livro, sempre após 2 capítulos no livro, propostas

para o estudo pré-avaliações e preparo para as provas do vestibular.

SUMÁRIO

Proporcionalidade..............................................1

Exercícios ...........................................................9

Teorema de Tales..............................................11

Exercícios .........................................................22

Vestibular.........................................................25

Anexo 1:Jogo de Tales.......................................27

1 Proporcionalidade

1

Número de pacotes de doces

Preço a pagar (em R$)

1 4,00

2 8,00

3 12,00

4 16,00

Neste capítulo vamos aplicar o conceito de proporcionalidade na Geometria, mas para antes vamos

resolver alguns problemas:

uem pontos em comum.

No 7º ano aprendemos diversas situações que envolviam o

conceito e proporcionalidade. Por exemplo, a quantidade de doces

que você compra e o preço que paga por eles são grandezas

diretamente proporcionais.

Lembre-se que quando você compra o dobro de doces, o preço a

pagar também dobra. Quando triplicar os doces, o preço triplica, e

assim por diante.

Recordando

Aprendemos também que a razão entre dois

valores de uma grandeza é igual à razão entre

os valores correspondentes da outra. 𝟏

𝟐=

𝟒

𝟖

𝟏

𝟑=

𝟒

𝟏𝟐

𝟐

𝟑=

𝟖

𝟏𝟐

A razão entre cada valor de uma grandeza e o

valor correspondente da outra é constante. No

caso é 𝟏

𝟒=

𝟐

𝟖=

𝟑

𝟏𝟐=

𝟒

𝟏𝟔

Em sala:

1.Em uma classe há 15 meninos e 20 meninas, totalizando 35 alunos. Calcule:

a) A razão entre o número de meninos e meninas;

b) A razão entre o número de meninos e total de alunos da classe;

c) A razão entre o número de meninas e meninos;

d) As razões em a) e c) são inversas. Qual é o produto das duas?

2. Use os números 2,4,5 e 10 e forme com eles todas as proporções possíveis.

3. Indique e dê o valor na forma de fração irredutível.

a) A razão entre 10 e 25

b) A razão entre 12 e 20

c) A razão entre 6 e 15

4. Comprove que 𝑎+𝑏

𝑎=

𝑐+𝑑

𝑐 ,

𝑎−𝑏

𝑏=

𝑐−𝑑

𝑑 ,

𝑎+𝑐

𝑏+𝑑=

𝑎

𝑏 e que

𝑎−𝑐

𝑏−𝑑=

𝑐

𝑑 usando a

proporção4

6=

10

15

2

A razão entre segmentos se dá através da razão entre suas medidas de comprimento na mesma

unidade, ou seja, a razão 𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐶𝐷̅̅ ̅̅=

4 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚=

𝟒

𝟔 , já a razão

𝐴𝐵̅̅ ̅̅

𝐺𝐻̅̅ ̅̅=

4 𝑐𝑚

0,06 𝑚=

4 𝑐𝑚

6 𝑐𝑚=

𝟒

𝟔.

Notação: para dizemos que dois segmentos são diretamente proporcionais dizemos

simplesmente que são segmentos proporcionais.

Lembre-se: Como visto nos anos anteriores a palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão".

Analise as medidas dos lados dos dois triângulos dadas na mesma unidade.

Calcule em seu caderno a razão entre:

a) O lado maior do ΔABC e o lado maior do ΔEFG;

b) O lado menor do ΔABC e o lado menor do ΔEFG;

c) O 3º lado do ΔABC e o 3º lado do ΔEFG.

Vemos que as razões entre os lados correspondentes são iguais. Em casos como este dizemos que os

dois triângulos têm as dimensões proporcionais. ( Aprenderemos mais sobre triângulos semelhantes em

nossa próxima unidade.)

Capítulo 1

1.1 Razão entre segmentos

Em sala:

1. Qual é a razão entre um segmento de 14 cm e outro segmento de 0,3 m?

2. Os segmentos de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 6 cm, 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅= 15 cm, 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ =10 cm e 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ , nesta ordem são

segmentos proporcionais. Calcule a medida de 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ .

3. 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ , nesta ordem são segmentos proporcionais. Calcule a medida de

𝐶𝐷̅̅ ̅̅ sabendo que AB = 9 cm e EF = 40 mm.

3

Você Sabia?

A razão entre a medida do comprimento e a medida do diâmetro de um círculo é sempre a mesma. Esta razão

é conhecida como 𝝅.

Em sala:

1. Construa em seu caderno quadrados cujos lados meçam 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm e 6

cm. Em cada um deles determine seu perímetro. Faça uma tabela com os dados obtidos e

determine se as medidas dos lados dos quadrados são diretamente proporcionais aos seus

perímetros.

2.Os triângulos ABC e RSP têm os lados proporcionais e o coeficiente de

proporcionalidade entre ΔABC e ΔRSP é 3

4. Se os lados do ΔABC medem 12 cm, 15 cm e 14

cm, qual é a medida do lado maior do Δ RSP?

3. Um reservatório tem a forma de um

cilindro. Pedro usou um barbante, contornou

sua base e viu que a circunferência tem 15,5 m.

Calcule a medida do raio desse reservatório.

4. Uma pista tem 80 m de raio. Qual a

distância percorrida por um ciclista que dá 20

voltas nessa pista?

1.2 Escalas

Você saberia dizer a

distância entre as

duas cidades

sinalizadas?

Capítulo 1

4

Nos mapas, nas maquetes, nos modelos e plantas, as dimensões do modelo mantêm uma

proporcionalidade com a realidade que é definida pela escala. Ou seja:

Escala: É a relação matemática entre as dimensões do objeto real e a do desenho que o representa.

Constitui-se em um dos elementos essenciais de um mapa, além da orientação, a legenda e a fonte.

Como na maioria das vezes é inviável desenhar o mapa/planta no mesmo tamanho que os originais

(imagine desenhar uma cidade inteira em um papel), a escala serve para deixar de modo claro as

distâncias reais utilizando uma razão simples.

No desenho, a distância entre as cidades de São Paulo e Brasília é de 4 cm. Sua escala utilizada foi de

1:25 000 000 ou seja a cada 1 cm no desenho são 25 000 000 na realidade. Como 25 000 000 cm =

250000 m = 250 km na realidade.

Assim, a distância pelo nosso mapa é de: 1 𝑐𝑚

4 𝑐𝑚→

250 𝑘𝑚

𝑥, então, x=1000 km.

Nossa aproximação é muito boa já que a distância real entre São Paulo e Brasília é de: 1007,4 km.

A proporção Áurea

Proporção Áurea, Sequência de Fibonacci, Número de Ouro. Provavelmente você já escutou alguns desses termos ao longo de sua vida, talvez por ser um tema tão rico, tão misterioso e que, por isso, atrai tanta atenção.

Tudo começou com Leonardo Fibonacci, que foi o primeiro a entender que numa sucessão de números, tais que, definindo os dois primeiros números da sequência como 0 e 1, os números seguintes serão obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores, portanto, os números são: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377… Dessa sequência, ao se dividir qualquer número pelo anterior, extrai-se a razão que é uma constante transcendental conhecido como número de ouro ou a proporção áurea.

Em sala:

1.Faça o mesmo para as cidades de Varre-Sai e Mangaratiba do Estado do Rio de

Janeiro no mapa.

2.Desenhe um mapa da sua classe na escala de 1:150 cm.

3.As duas imagens são respectivamente de uma maquete e da real torre de Pisa.

Sabendo que a real torre de Pisa tem 56 m e

que nossa escala é de 1:200 cm. Descubra:

a) Qual a real altura da maquete?

b) Que altura seria uma miniatura de

um homem com 1,80 m em nossa

maquete?

Capítulo 1

5

Desde a Antiguidade, a proporção áurea é usada na arte. É frequente a

sua utilização em pinturas renascentistas, como as do mestre Leonardo

Da Vinci. Este número está envolvido com a natureza do crescimento.

Phi (não confundir com o número Pi ), como é chamado o número

de ouro, pode ser encontrado de forma aproximada no homem

(o tamanho das falanges, ossos dos dedos, por exemplo), nas colmeias, entre inúmeros outros

exemplos que envolvem a ordem de crescimento na natureza.

Proporção Áurea Proporção Áurea na Natureza

Justamente por ser encontrado em estudos de crescimento o número de ouro ganhou um

status de "ideal", sendo alvo de pesquisadores, artistas e escritores. O fato de ser apoiado

pela matemática é que o torna fascinante.

Mas como se forma esta proporção? Veja.

Considere um segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ cuja medida AB é de uma unidade de comprimento. Nele

podemos localizar um ponto D, de tal modo que D divide 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ na seguinte proporção: A razão

entre o segmento todo e a parte maior é igual à razão entre a parte maior e a parte menor.

Assim:

Resolvendo esta equação, temos o valor positivo de b que é √5−1

2. Consideremos a razão

1

𝑥=

2

√5−1=

2(√5+1)

5−1=

1+√5

2 .

Este número irracional 1+√5

2 cujo valor aproximado é 1,618034 é o conhecido número de

ouro, razão de ouro ou razão áurea .

L.Fibonacci

𝑎(𝑎 − 𝑏) = 𝑏2 → 𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑏2

𝑎2 − 𝑎𝑏 = 𝑏2 → 𝑏2 + 𝑏 − 1 = 0

Mas como a=1 então,

Mas como fazer um

retângulo áureo?

Capítulo 1

6

Podemos construir um retângulo áureo partindo de um segmento AE = a e a partir deste,

construir o quadrado ABEF, como a seguir:

Marcar o ponto médio do segmento AE:

Com a ponta seca do compasso em G e abertura = GF traçar o arco FD, que jaz na reta AE e E é

interno ao segmento AD:

Prolongar o segmento BF e traçar CD perpendicular ao segmento AD:

Dividindo o lado maior do retângulo construído pelo menor temos:

,ou seja, o retângulo construído tem proporções áureas.

Capítulo 1

7

Para saber mais sobre a proporção áurea assista :

Pato Donald no País da Matemágica

https://www.youtube.com/watch?v=wbftu093Yqk

1. Construa em seu caderno um retângulo de proporções áureas iniciando com um segmento

de 2cm

2. Confira se a razão entre as medidas do comprimento e da largura é de aproximadamente

1,6.

3. Em um retângulo de ouro, se o comprimento mede 3,6 cm, quanto medirá a largura?

4. Se a largura de um retângulo de outo é de 5,6 cm, qual será a medida do comprimento?

5. Se o perímetro do retângulo de ouro é de 104 cm, esse retângulo tem quais dimensões?

6.Tente fazer uma imagem que tenha a proporção áurea.

Proporção

áurea na arte

Proporção

áurea na

arquitetura

Capítulo 1

Resumo

Ao encontrarmos um problema sobre proporcionalidade em geometria

devemos:

1. Verificar os segmentos proporcionais

2. Descobrir a razão que define as figuras

3. Se as figuras são proporcionais, então sempre vale que:

a = c

b = d

Por exemplo:

Sabendo que o triângulo ABC é proporcional ao triângulo DEF, defina

o valor de x.

12 x

4

10

Como ABC é proporcional a DEF, então temos que 12 = x, logo:

10 = 4

12.4=10.x -> x=4.8

8

A

B C

D

E F

9

1. Dois números somados totalizam 510.

Sabe-se que a proporção entre eles é de 8

9.Quais

são os dois números?

2. Um número a somado a um outro número

b totaliza 216. Sabe-se que a proporção entre eles

é de 12

15.Qual o valor de a e de b?

3. Uma empresa possui atualmente 2100

funcionários. Se a relação entre o número de

efetivos e contratados é 5

2. Quantos são os

efetivos?

4.A soma das idades de um pai, de um filho e

de um neto é de 105 anos. Sabendo-se que a

idade do pai está para 8, assim como a do filho

está para 5 e a do neto está para 2. Qual a idade,

em anos, de cada um?

5.Um bar vende suco e refresco de

tangerina. Ambos são fabricados diluindo em água

um concentrado desta fruta. As proporções são

de uma parte do concentrado para três partes de

água, no caso do suco e, de uma parte de

concentrado para seis de água no caso do

refresco. O refresco também poderia ser

fabricado diluindo x partes de suco em y partes de

água, se a razão x/y fosse igual a:

a) 1/2

b) 3/4

c) 1

d) 4/3

e) 2

6. Os segmentos AB, CD, EF e GH formam,

nessa ordem, uma proporção. Sendo AB=15 cm,

CD= 10 cm e EF=12 cm, calcule a medida de GH.

7. Os segmentos AB, CD, MN e PQ, nessa

ordem, são proporcionais. Calcule a medida de

MN, sabendo que AB= 6 cm, CD= 14 cm e PQ= 21

cm.

8. Analise as medidas dos dois triângulos

dadas na mesma unidade.

9. Calcule em seu caderno a razão entre:

a) O lado maior do ΔABC e o lado maior do

ΔEFG;

b) O lado menor do ΔABC e o menor do

ΔEFG;

c) O 3º lado do ΔABC e o 3º lado do ΔEFG.

Copie a tabela a baixo em seu caderno e

complete-a. A figura A’B’C’D’E’ é uma ampliação

da figura ABCDE.

Figura ABCDE(em cm) Figura A’B’C’D’E’(em cm)

AE= A’E’=

BC= B’C’=

AB= A’B’=

Responda em seu caderno:

Exercícios

10

a) As medidas dos ados da figura ampliada

são diretamente porporcionais às

medidas dos lados correspondentes da

figura original? Explique.

b) Que relação existe entre os ângulos AÊD e

A’Ê’D’? E entre os demais ângulos

correspondentes?

10. Veja esta imagem real da planta de uma

casa:

a) Se na imagem o lado cozinha tem 1,5 cm.

Determine a escala em que está

desenhada a planta da casa.

b) Caso a cozinha estivesse desenhada com

10 cm.Qual seria as dimensões dos outros

cômodos?Faça este desenho em seu

caderno.

11.Em um mesmo mapa, a distância de Belo

Hortizonte(MG) a Belém (PA) é de 4,3 cm e a

distância de Goiânia (GO) a São Luis(MA) é de 3,4

cm.Como a distância real, em linha reta, de Belo

Horizonte a Belém é de 2150 km, responda em

seu caderno:

a) Qual é a escala do mapa?

b) Qual é a distância, em linha reta, de

Goiânia a São Luís?

12.Em um mapa de uma pequena cidade,

detaca-se a presença de uma rodovia, cuja

extensão é de 15 quilômetros.No mapa em

questão, sua medida está em 10 cm, então qual é

sua escala cartográfica?

(ENEM-2012)O esporte de alta competição da atualidade

produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o

limite do corpo humano? O maratonista original, o grego

da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42

quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando

sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez

vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma

o texto sobre a capacidade do maratonista americano,

desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que

representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.be. Acesso em:25

jun.2011(adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma

pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo

professor e a percorrida pelo atleta?

a)1:700 b)1:7000 c)1:70000

d)1:700000 e)1:7000000

(ENEM-2011) Algumas pesquisas estão sendo

desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores

teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média,

para cada 100 g de arroz cozida, o teor de ferro é de 1,5 g

e o zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o

teor de ferro e de 3 mg de zinco. Sabe-se que as

necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma

pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e

10 mg de zinco.

Disponível em http://www.embrapa.br. Acesso em:29

abril2010(adaptado).

Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas

necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas

arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva

completamente todos os micronutrientes oriundos

desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a

pessoa deveria comer diariamente arroz e feijão

respectivamente:

a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g

c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g

e) 400 g e 89 g

2 Teorema de Tales

11

A pirâmide de Quéops (foto) foi construída por volta de 2500 a.C. e tem aproximadamente 150

metros de altura. Esta pirâmide é considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo.

A tradição atribui a Tales de Mileto a história de medir a altura de uma pirâmide com base no

comprimento de sua sombra. Você teria alguma ideia de como fazer esta conta? Como você

pensaria em calcular a altura da pirâmide apenas com uma estaca pequena de madeira?

Reta: A menor distância entre dois pontos distintos

Retas Paralelas: Duas retas distintas que pertencem a um mesmo plano são ditas paralelas quando não

possuem pontos em comum.

Retas Concorrentes: Retas de um plano que têm um único ponto em comum

Reta transversal: Reta que intersecciona outras duas retas em dois pontos distintos

Retas t e r paralelas Retas s, t e r concorrentes Reta s transversal a t e r

Recordando

Como resolver o problema apresentado na introdução? Tales de

Mileto percebeu que os raios do sol podem ser considerados

paralelos, fazendo que as sombras dos objetos sejam

proporcionais a sua altura.

Ou seja, para descobrir a altura da pirâmide, Tales fincou uma

estaca na areia, mediu as sombras respectivas da pirâmide e da

estaca em uma determinada hora do dia e estabeleceu uma

proporção:

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒=

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎

𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎

Assim, ao generalizar a situação podemos definir o Teorema de Tales da seguinte forma:

Mas como podemos ver essa ideia geral?

Considere a seguinte situação:

Capítulo 2

2.1 Altura da Pirâmide

Você Sabia?

Tales foi um filósofo, matemático, engenheiro, astrônomo e homem de

negócios da Grécia Antiga. Nasceu na cidade de Mileto, colônia

grega localizada na Ásia menor. Desenvolveu um dos Teoremas mais importantes na área de geometria:

O Teorema de Tales. Além disso, ele foi o primeiro a

explicar o eclipse solar, ao verificar que a Lua é iluminada pelo sol e foi

o primeiro filósofo ocidental que conhecemos, entre muitos outros

feitos.

Teorema de Tales: Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por

segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente

correspondentes

1º) Aline traçou três retas

paralelas:

2º)Traçou uma transversal e

mediu os segmentos

formados por ela:

3º) Depois ela traçou outra

reta e mediu os segmentos:

12

Veja agora o que descobrimos com os números obtidos pela Aline:

𝟑

𝟕=

𝟒.𝟓

𝟏𝟎.𝟓

Este fato ocorre para qualquer feixe de paralelas cortados por uma transversal, e este é um

exemplo do Teorema de Tales.

𝟑

𝟕=

𝟒.𝟓

𝟏𝟎.𝟓=

𝟔

𝟏𝟒=

𝟕,𝟓

𝟏𝟕.𝟓… etc.

Então, sendo a estaca com 30 cm, a sombra da estaca 45 cm e a sombra da pirâmide 225 m

temos:

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒=

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎

𝑠𝑜𝑚𝑏𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

225 𝑚=

30 𝑐𝑚

45 𝑐𝑚

Precisamos manter todos na mesma unidade, logo:

𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑟â𝑚𝑖𝑑𝑒

22500 𝑐𝑚=

30 𝑐𝑚

45 𝑐𝑚

E assim descobrimos que a altura da pirâmide é de 15000 cm = 150 metros.

Assim como qualquer teorema devemos demonstrar matematicamente porque é sempre válido, logo

vamos mostrar duas maneiras de provar:

1ªProva:

Consideramos agora, ΔA’MB’ e ΔB’NC’. Usando o caso ALA da semelhança de triângulos, podemos

garantir que eles são congruentes, pois 𝐴′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵′𝑁̅̅ ̅̅ ̅, 𝑀Â′𝐵′ ≅ 𝑁�̂�′𝐶′ (ângulos correspondentes com

m//n e s transversal) e 𝐴′�̂�𝐵′ ≅ 𝐵′�̂�𝐶′ (ângulos correspondentes formados por paralelas: m//n e b//c).

2.2 O Teorema de Tales

Dividiremos a prova em dois casos:

1º) Os segmentos determinados em uma transversal são

congruentes.

Observe a figura ao lado: a, b e c formam um feixe de paralelas, r e

s são duas transversais e 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ , ou seja, a razão 𝐴𝐵

𝐵𝐶= 1. (I)

Traçamos mais duas retas transversais, ambas paralelas a r: m

passando por A’ e n passando por B’. Formamos assim dois

paralelogramos: ABMA’ e BCNB’. Como todo paralelogramo tem os

lados opostos congruentes, 𝐴′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ e sendo

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , podemos afirmar que 𝐴′𝑀̅̅ ̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵′𝑁̅̅ ̅̅ ̅.

Capítulo 2

13

Se ΔA’MB’=ΔB’NC’, então 𝐴′𝐵′ ≅ 𝐵′𝐶′, ou seja, a razão 𝐴′𝐵′

𝐵′𝐶′ = 1. (II)

Com (I) e (II) chegamos ao que queríamos provar: 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐴′𝐵′

𝐶′𝐷′.

2º) Os segmentos determinados em uma transversal não são congruentes( mas têm como medidas

números racionais)

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑝.𝑥

𝑞.𝑥=

𝑝

𝑞 e

𝐴′𝐵′

𝐵′𝐶′ = 𝑝.𝑦

𝑞.𝑦=

𝑝

𝑞 . Comparando as igualdades, chegamos ao que queríamos provar.

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝐴′𝐵′

𝐵′𝐶′.

*A demonstração pode ser estendida com mais de três retas paralelas.

*A proporção é válida para números irracionais, mas esta prova não a abrange.

a) O lado maior do ΔABC e o lado maior do ΔEFG;

b) O lado menor do ΔABC e o lado menor do ΔEFG;

c) O 3º lado do ΔABC e o 3º lado do ΔEFG.

Vemos que as razões entre os lados correspondentes são iguais. Em casos como este dizemos que os

dois triângulos têm as dimensões proporcionais. ( Aprenderemos mais sobre triângulos semelhantes em

nossa próxima unidade.)

2ª Prova:

Dividiremos também a prova em dois casos:

1º ) Retas r e s não paralelas.

No caso ao lado, como 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ têm medidas diferentes, mas

racionais, podemos dividir 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ em m número inteiro de partes

iguais, de mesmo tamanho.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ está dividido em p partes (p=3) e 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ em q partes (q=2), todas de

medida x.

Pelo que foi visto no 1º caso, traçando as paralelas indicadas em

verde, cada segmento de medida x em r corresponde a um segmento

de medida y em s, e podemos escrever:

Caso r e s não sejam paralelas, podemos afirmar que elas se

encontram em um determinado ponto formando a imagem ao

lado.

Como OÂA’ é ângulo correspondente a 𝑂�̂�𝐵′ , OÂ’A é ângulo

correspondente a 𝑂�̂�′𝐵 e Ô é ângulo em comum então temos que

pelo caso AA~ da semelhança de triângulos temos que as retas OA

é semelhante a OB e OA’ é semelhante a OB’.

Logo: 𝑂𝐴

𝑂𝐵=

𝑂𝐴′

𝑂𝐵′.

Temos o mesmo para o triângulo ΔOCC’≅ΔOBB’≅ΔOAA’. Como

Capítulo 2

14

A distância até o ponto C dos vértices pertencentes à reta OC (vértices A,B e C) é inversamente proporcional ao

tamanho do triângulo. E que a distância até o ponto C’ dos vértices pertencentes à reta OC’ (vértices A’,B’ e C’) é

inversamente proporcional ao tamanho do triângulo. A partir de 𝑂𝐴

𝑂𝐵=

𝑂𝐴′

𝑂𝐵′, temos que:

𝐴𝐶

𝐴𝐵=

𝐴′𝐶′

𝐴′𝐵′

2º) Retas r e s paralelas.

Exemplo 1: Descubra quanto vale x sabendo que r//s//t

c

Para o caso de r//s ABB’A’ e BCC’B’ formam paralelogramos,

fazendo com que AB≅A’B’ e BC≅B’C’.

Assim 𝐴𝐵

𝐴′𝐵′=

𝐵𝐶

𝐵′𝐶′=1.

Pesquise com até mais três colegas pelo menos mais duas formas de se provar o

Teorema de Tales e algumas aplicações no cotidiano deste teorema.

2.3 Aplicações do Teorema de Tales

Pelo Teorema de Tales, temos que 5

𝑥=

4

12 então:

5.12=4.x 60=4x 60

4=x x= 15

Capítulo 2

15

Exemplo 2: Descubra quanto vale x sabendo que r//s//t

x.2x=3.8 2x²=24 x²=12 x=±2√3 , mas como −2√3 é um número

negativo então não pode ser o valor de algum segmento de reta. Logo x=2√3

Exemplo 3: Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s

eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c e d. Sabendo disso, calcule o

comprimento x e y da figura.

Obs.: Os fios da rede central são paralelos.

𝑥

8=

6

𝑦

4

8=

6

𝑦 4.y=8.6 4y=48 y=12cm

1. Calcule o valor de x sabendo que r//s//t

a) b)

Devemos ver agora que a proporção dada é:𝑥

8=

3

2𝑥

Assim:

Aplicando o teorema temos que 10

𝑥=

15

6 então:

10.6=15.x 60=15x 60

15=x x=4cm

Capítulo 2

16

2. Calcule o valor de x e y sabendo que a//b//c//d

a) b)

3) Encontre os valores de x

4)A figura à baixo nos mostra duas avenidas que partem de um mesmo ponto A e cortam duas

ruas paralelas. Na primeira avenida, os quarteirões determinados pelas ruas paralelas têm 80 m e

90 m de comprimento. Na segunda avenida, um dos quarteirões mede 60 m. Qual o

comprimento do outro quarteirão?

Capítulo 2

17

Vamos verificar agora o Teorema de Tales dentro do programa GeoGebra seguindo o passo a

passo a seguir:

1. Remova os Eixos clicando com o botão direito do mouse na Janela de Visualização,

depois em Eixos. Crie uma reta horizontal clicando no terceiro ícone acima em Reta,

criando dois pontos.

2.No quarto ícone clique em Reta paralela>>Reta a(reta desenhada) e arraste.

3.Faça uma nova reta paralela da mesma maneira. E crie duas retas transversais como de

acordo com o item 1.

Capítulo 2

18

4.Retire da tela os pontos criados, clicando sobre os ícones azuis da Janela de Álgebra. Crie

pontos de intersecção das retas clicando no segundo ícone em Pontos e depois nos locais

adequados.

5.No terceiro ícone clique em Segmento e crie segmentos em cima destes pontos criados (no

seu desenho estará em preto, para alterar a cor clique com o botão direito no segmento na

Janela de Álgebra e depois e propriedades)

6.Calcule 𝑚𝑒𝑑(𝑓)

𝑚𝑒𝑑(𝑔) e

𝑚𝑒𝑑(ℎ)

𝑚𝑒𝑑(𝑖) e verifique que são iguais. Mesmo que alteremos as retas esta

proporção será a mesma, esta propriedade é verificada a partir do Teorema de Tales. Mova

as retas pelo menos mais duas vezes e verifique.

Para alterar a posição das retas, clique novamente nos pontos que as definem na Janela de

Álgebra e depois no primeiro ícone em Mover. Após isto mova os pontos desejados.

Capítulo 2

19

7.Por último faça o mesmo desenho em seu caderno com a ajuda de régua e compasso e

verifique as mesmas proporções

Para saber mais sobre o Teorema de Tales acesse :

Teorema de Tales Geogebra

http://geogebra.org/student/m123635

Teorema de Tales Khan Academy Parte 1 e 2

https://www.youtube.com/watch?v=YZSgNn3ea-I

Junte-se com mais quatro colegas e destaque a atividade 1(Anexo ao

final do livro) de um dos integrantes.

Capítulo 2

20

Resumo

Ao encontrarmos um problema que envolva o Teorema de Tales

devemos:

1. Encontrar as retas paralelas.

2. Encontrar as retas transversais.

3. Descobrir a razão que as define.

Por exemplo:

Sabendo que a avenida A mede 120 metros e que o quarteirão 1 mede

40 metros para a av.A e 60 metros para a av.B, descubra quanto mede

a avenida B.

Temos que as ruas 1,2 e 3 são paralelas, logo as avenidas A e B são as

transversais para o nosso Teorema de Tales, assim:

40 = 120 ->

60 = x

40.x=7200 ->

x = 180 metros

21

Avenida A

120

Rua 1

Rua 2

Rua 3

40

22

1. Encontre os valores de x:

a)

b)

c)

d)

e)

2. Descubra o valor de x sabendo que r//s//t;

3.Na figura a seguir temos que PQ= 4m,

QR=6 m e RS= 10 m.Sabendo que os segmentos

QQ’, RR’ e SS’ são paralelos e que PS’ mede 26

.Determine o comprimento do segmento PQ’.

4. Para melhorar a qualidade do solo,

aumentando a produtividade do milho e da soja,

em uma fazendo é feito o rodízio entre essas

culturas e a área destinada ao pasto.Com essa

finalidade, a área produtiva da fazenda foi

dividida em três partes conforme a figura:

Exercícios

Considere que

– os pontos A, B, C e D estão alinhados;

– os pontos H, G, F e E estão alinhados;

– os segmentos AH,BG,CF e DE e são, dois a dois,

paralelos entre si;

AB =500 m , BC = 600m , CD = 700 m, HE = 1980 m

Nessas condições, a medida do segmento GF é,

em metros,

a) 665.

b) 660.

c) 655.

d) 650.

e) 645. 5.Na figura abaixo, um garoto está em cima

de um banco. Qual é a altura desse garoto que

projeta uma sombra de 1,2 m, sabendo que o

banco de 30 cm projeta uma sobra de 40 cm?

6.No desenho a baixo, as frentes para a rua A

dos quarteirões I e II medem, respectivamente,

250 m e 200 m, e a frente do quarteirão I para a

rua B mede 40 m a mais do que a frente do

quarteirão II para a mesma rua. Sendo assim,

pode-se afirmar que a medida, em metros, da

frente do menor dos dois quarteirões para a rua B

é:

a) 160

b) 180

c) 200

d) 220

e) 240

7.A crise energética tem levado as médias e

grandes empresas a buscarem alternativas na

geração de energia elétrica para a manutenção do

maquinário. Uma alternativa encontrada por uma

fábrica foi a de construir uma pequena

hidrelétrica, aproveitando a correnteza de um rio

que passa próximo às suas instalações.

Observando a figura e admitindo que as linha

retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar que

a barreira mede:

a) 33 m

b) 38 m

c) 43 m

d) 48 m

e) 53 m

8.No triângulo abaixo DE//BC, calcule as

medidas dos lados AB e AC do triângulo.

23

9.(Saresp-SP) No desenho abaixo estão

representados os terrenos I, II e III.

Quantos metros de comprimento deverá ter o

muro que o proprietário do terreno II construirá

para fechar o lado que faz frente co a Rua das

Rosas?

10. Sabendo que Sabrina tem 1,30m de

altura e que em determinado horário do dia sua

sombra tem 43 cm de comprimento. Determine a

altura de Marcos cuja sombra se prolonga por 60

cm neste mesmo horário.

11. Uma estátua projeta uma sombra de 6 metros ao

mesmo tempo o pedestal projeta a uma sombra de 1,5 m.

O pedestal tem 1 metro de altura da estatua de mármore?

12. Desenhe o seguimento AB para seu

caderno.

A|_____________________________| B

Trace uma semirreta partindo de A e divida essa

semirreta em sete partes congruentes. Com a

ajuda de um esquadro ligue as sete partes com o

ponto B, em seguida trace paralelas a esse

seguimento. O que acontece com o seguimento

AB? Tente explicar e justificar o acontecimento.

ENEM-2012)O esporte de alta competição da atualidade

produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o

limite do corpo humano? O maratonista original, o grego

da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42

quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando

sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez

vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma

o texto sobre a capacidade do maratonista americano,

desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que

representaria o percurso referido.

Disponível em: http://veja.abril.com.be. Acesso em:25

jun.2011(adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma

pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo

professor e a percorrida pelo atleta?

a)1:700 b)1:7000 c)1:70000

d)1:700000 e)1:7000000

(ENEM-2011) Algumas pesquisas estão sendo

desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores

teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média,

para cada 100 g de arroz cozida, o teor de ferro é de 1,5 g

e o zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o

teor de ferro e de 3 mg de zinco. Sabe-se que as

necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma

pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e

10 mg de zinco.

Disponível em http://www.embrapa.br. Acesso em:29

abril2010(adaptado).

Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas

necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas

arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva

completamente todos os micronutrientes oriundos

desses alimentos. Na situação descrita, que quantidade a

pessoa deveria comer diariamente arroz e feijão

respectivamente:

a) 58 g e 456 g b) 200 g e 200 g

c) 350 g e 100 g d) 375 g e 500 g

e) 400 g e 89 g

(ENEM-2009) A rampa de um hospital tem na sua

parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um

paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se

deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8

metros. A distância em metros que o paciente ainda

deve caminhar para atingir o ponto mais alto da

rampa é:

a) 1,16 metros

b) 5,6 metros

c) 3,0 metros

d) 7,04 metros

e) 5,4 metros

(ENEM-2000) Um marceneiro deseja construir uma

escada trapezoidal com 5 degraus, de maneira que o

mais baixo e o mais alto tenham larguras

respectivamente iguais a 60 cm e 30 cm, conforme a

figura a baixo:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça

linear de madeira cujo comprimento mínimo, em

cm, deve ser:

a) 144

b) 180

c) 210

d) 225

e) 240

24

1

1.(Fupac-Ubá/2013) A figura a baixo mostra 3

retas coplanares paralelas, denominadas de r,s e

t, cortadas por duas outras retas.

Assinale a opção que apresenta, respectivamente,

o valor dos segmentos a e b, mostrados acima.

a) 2√41 e 10√5

b) 9 e 24

c) 11 e 24

d) 5

7 𝑒

12

7

e) 40

3 𝑒

80

3

2. (UFRRJ - 05) Pedro está construindo uma

fogueira representada pela figura abaixo. Ele sabe

que a soma de com é e que as retas , e são

paralelas.

A diferença x-y é :

a) 2

b) 4

c) 6

d) 10

e) 12

3. (UNESP - 03) Considere retas coplanares

paralelas, , e , cortadas por outras retas, conforme

a figura. Os valores dos segmentos

identificados por e são, respectivamente,

a) 3

20 𝑒

3

40

b) 6 e 11

c) 9 e 13

d) 11 e 6

e) 20

3 𝑒

40

3

4.(Vunesp-SP) Um observador situado num ponto

O, localizado na margem de um rio, precisa

determinar sua distância até um ponto P,

localizado na outra margem em que se encontra,

de tal forma que P, O e B são alinhados entre si e

P,A e C também.

Além disso, 𝑂𝐴̅̅ ̅̅ é paralelo a 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ , e AO=25 m, BC=

40 m e OB= 30 m, conforme a figura.Qual a

distância em metros do observador em O até o

ponto P?

5.(UFMA) Uma determinada firma imobiliária

resolveu lotear um terreno em 4 outros menores

com duas frentes: uma para a rua 1 e outra para a

rua 2, como mostra a figura abaixo. Sabendo-se

que as divisões laterais são perpendiculares à rua

1 e que a frente total a rua 2 é de 480 m, qual a

Vestibular

25

2

medida da frente de cada lote, para a rua 2,

respectivamente?

6. (ENEM-2012)Um biólogo mediu a altura de

cinco árvores distintas e representou-as em uma

mesma alha quadriculada, utilizando escalas

diferentes, conforme a figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real?

a) I

b) II

c) III

d) IV

e) V

7.(Fuvest-2013) O mapa de uma região utiliza a

escala de 1:200 000.A porção desse mapa,

contendo uma Área de Preservação Permanente

(APP), está representada na figura, na qual 𝐴𝐹̅̅ ̅̅ e

𝐷𝐹̅̅ ̅̅ são segmentos de reta, o ponto G está no

segmento AF, o ponto E está no segmento 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ ,

ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio.

Se AF=15, AG=12, AB=6, CD=3 e 𝐷𝐹 = 5√5

indicam valores em centímetros no mapa real,

então a área da APP é:

a) 100 km²

b) 108 km²

c) 210 km²

d) 240 km²

e) 444 km²

8.(PUC-MG) Na figura, se AB=3, AE=700 e

BC=200, a medida de DB é:

a) 1/3

b) 2/3

c) 4/3

d) 5/3

e) 7/3

10. Um dos grandes problemas da poluição dos

mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo

hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos

encanamentos que estão interligados com

o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros

de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de

litros de água potável.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055),

Cláudia(ed. 555), National Geographic (ed.93) e Nova Escola (ed.

208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1.000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade?

A)10-2 B)103 C)104

D)106 E)109

26

Anexo 1:

Material: Cartas (próxima folha)

Integrantes: 4 participantes

Média: 50 minutos

Descrição: Embaralhar as 24 cartas tipo I (que possuem os feixes de paralelas)

juntamente com a carta MICO e distribuir para os 4 participantes.

Todos ficarão com 6 cartas, menos um (com 7 cartas) e este começará o jogo.

Depois se embaralham as 24 cartas restantes (do tipo II, respostas) e distribui-se

igualmente entre os estudantes. O objetivo do jogo é formar os pares

correspondentes com todas as cartas que o jogador possui.

Após a verificação dos pares nas mãos, inicia-se a partida com as cartas que não

formaram pares (mais o MICO), e a pessoa que tem uma carta a mais deixa o jogador

do lado pegar uma carta sua. Esse calculará o valor de x e verifica se tem o valor

correspondente em suas cartas. Se não tiver deixa a carta em seu monte e o próximo

jogador faz o mesmo, e assim por diante até que alguém forme 6 pares. Quem no

final estiver com a carta MICO, perderá.

27

28

29

Bibliografia

Tales

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http://matematicaparaoenem.com.br/site/teorema-de-tales/

http://geogebra.org/student/m123635

http://www.academia.edu/7447901/Atividade_resolvida_teorema_de_tales

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Proporcionalidade

Geometria Euclidiana Plana e Contruções Geométricas edição 2011

Temas e problemas elementares Coleção Profmat 2015

Dante 8ªsérie –Tudo é Matemática-Editora África-2005

Matemática Construir e aprender-Ernesto Rosa-FTD-2004

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José Jakubovic – Matemática na medida certa 2005

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Figuras

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http://fotos.habitissimo.com.br/foto/planta-casa-pre-fabricada-sugestao-de-planta_168923

-planta casa

http://www.123rf.com/ - homens 3d, pesquisas:

3d man internet; Working 3d ; Studying boy; Atention 3d man; Geometry man 3d; Playing

man; Test 3d

*Em conectados, as imagens são prints dos vídeos recomendados ao alunos