Upload
des-mira
View
246
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/21/2019 Seb Diskrit
1/17
SEBARAN PELUANGBERSAMA
Idhia Sriliana
7/21/2019 Seb Diskrit
2/17
Sebaran Peluang Bersama Diskrit
Definisi
Fungsi f(x,y) merupakanfungsi peluang
bersama peubah acak diskritXdan Y bila:
( , ) 0 untuk semua ( , )
( , ) 1
( , ) ( ; )
x y
f x y x y
f x y
f x y P X x Y y
=
= = =
7/21/2019 Seb Diskrit
3/17
Sebaran Peluang Marjinal Diskrit
Fungsi peluang marjinalpeubah acak diskrit
Xsaja dari suatu sebaran peluang bersamaadalah:
= ,y
Fungsi peluang marjinalpeubah acakdiskrit Ysaja dari suatu sebaran peluang
bersama adalah:
( ) ( , )Yx
f y f x y
=
7/21/2019 Seb Diskrit
4/17
Contoh 1
Misalkan bahwa 3 bola diambil dari sebuah kantong
yang berisi 3 bola merah, 4 putih dan 5 biru. JikaXadalah banyaknya bola merah yang terambil dan Y
adalah banyaknya bola putih yang terambil. Carilah
fungsi peluang bersama dariXdan Y,( , ) ( , )i j P X i Y j= = =
7/21/2019 Seb Diskrit
5/17
7/21/2019 Seb Diskrit
6/17
Sebaran Peluang Bersama bagi Contoh 1
f(x,y) x
0 1 2 3
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
( ) ( , )Yx
f y f x y=
Sebaran peluang bersama bagiXdan Y untuk contoh inidapat dinyatakan dalam rumus berikut
UntukX=0,1,2,3; Y=0,1,2,3; 0X+Y3
2 30/220 18/220 48/220
3 4/220 4/220
84/220 108/220 27/220 1/220 1
3 4 5
3( , )
12
3
y x yf x y
=
( ) ( , )Xy
f x f x y=
7/21/2019 Seb Diskrit
7/17
Contoh 2
Fungsi peluang bersama dari X dan Y berbentuk:
a. Tentukan nilai konstanta c!
( , ) ( 2 ); 0,1,2,3 0,1,2,3f x y c x y x dan y= + = =
b.
ung ,c. Hitung
d. Hitung
e. Hitung
( 1, 2)P X Y
(1 2)X atau
(3)Yf
7/21/2019 Seb Diskrit
8/17
Penyelesaian3 3
0 0
. ( , ) 1
(0, 0) (0,1) (0, 2) ... (3, 3) 1
0 2 4 ... 9 1
72 1
x y
a f x y
f f f f
c c c
c
= =
=
+ + + + =
+ + + + =
=
( )
3 2
1 0
72
4 1. (2,1)
72 18
1. ( 1, 2) 272
1(1 3 5 2 4 6 3 5 7 )
72
36 1
72 2
x y
c
b f
c P X Y x y= =
=
= =
= +
= + + + + + + + +
= =
7/21/2019 Seb Diskrit
9/17
Sebaran Peluang Bersama Kontinu
Fungsi f(x,y) merupakanfungsi peluang
bersama peubah acak kontinuXdan Y bila:
( , ) 0 untuk semua ( , )f x y x y
( , ) 1
[( , ) ] ( , )A
f x y dx dy
X Y A f x y dx dy
=
=
untuk setiap daerah Apada bidang datar (x,y)
7/21/2019 Seb Diskrit
10/17
Sebaran Peluang Marjinal Kontinu
Fungsi peluang marjinal peubah acak kontinu
X saja dari suatu sebaran peluang bersamaadalah:
( ) ( , )x x d
=
Fungsi peluang marjinal peubah acak kontinu
Y saja dari suatu sebaran peluang bersama
adalah:
( ) ( , )Yf y f x y dx
=
7/21/2019 Seb Diskrit
11/17
Tugas Jelaskan definisi mengenai Peluang Bersyarat dan Peubah Acak
Independen (Saling Bebas)
Misalkan fungsi peluang bersama dari X dan Y:
1. Tentukan nilai k
( , ) ; 1, 2,3 1,2,3f x y kxy x dan y= = =
2. Hitung
3. Hitung
Misalkan fungsi peluang bersama dari X dan Y:
1. Tentukan nilai k
2. Hitung
3. Hitung
2 2( , ) ( ); 1,0,1,3 1, 2,3f x y k x y x dan y= + = =
( 0, 2) ( 2 )P X Y dan P X Y= >
, ,an > >
(0) ( 1)X Yf dan f
(2) (3)X Yf dan f
7/21/2019 Seb Diskrit
12/17
Sebaran Peluang Bersyarat Jika dua peubah acak X dan Y, baik diskrit
maupun kontinu, maka dapat didefinisikansebaran peluang bersyarat dari peubah acakX
pada Y=y sebagai:
sebaran peluang bersyarat dari peubah acak Y
pada X=x sebagai:
( , ) ( , )( ) = dimana ( ) 0( ) ( )
Y
Y
f x y P X x Y yf x y f yf y P Y y
= == >=
( , ) ( , )( ) = dimana ( ) 0
( ) ( ) x
x
f x y P X x Y yf y x f x
f x P X x
= == >
=
7/21/2019 Seb Diskrit
13/17
ContohDari Sebaran bersama berikut
f(x,y)x
Total Baris0 1 2 3
y
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
2 30 220 18 220 48 220
a. P(X=0|Y=1)
b. P(X=1|Y=1)c. P(X2|Y=1)
3 4/220 4/220Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1
7/21/2019 Seb Diskrit
14/17
Jawaba. P(X=0|Y=1) =
P(Y=1) = fY(1) =
( 0, 1)
( 1)
P X Y
P Y
= =
=
3
0
( ,1)x
x=
, , , ,
=
Sehingga
P(X=0|Y=1) =
40 60 12 112
220 220 220 220+ + =
( 0, 1) 40 / 220 40( 1) 112 / 220 112
P X YP Y
= == ==
7/21/2019 Seb Diskrit
15/17
b. P(X=1|Y=1) =
c. P(X2|Y=1) =
( 1, 1) 60 / 220
( 1) 112 / 220
P X Y
P Y
= ==
=
( 2, 1) ( 2, 1) ( 3, 1)
( 1) ( 1)
P X Y P X Y P X Y
P Y P Y
= = = + = ==
= =
= 12 / 220 0 12112 / 220 112
+=
7/21/2019 Seb Diskrit
16/17
Peubah Acak yang Bebas (Independent)
Definisi
Misalkan X mempunyai fungsi sebaranfx(x), Y mempunyai fungsi sebaranfy(y), dan Xdan Ymemiliki fungsi sebaran bersamaf(x,y), maka X dan Y dikatakan bebas jika dan
hanya jika
x = x .
untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)Jika X dan Y diskret dengan fungsi peluang bersama p(x,y) dan fungsi peluang
marginal px(x) dan py(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
p(x,y) = px(x)py(y)
untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)
Jika X dan Y kontinu dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x,y) dan kepekatanmarginal fx(x) dan fy(y), maka hubungan di atas benar jika dan hanya jika
f(x,y) = fx(x)fy(y)
untuk setiap pasang bilangan nyata (x,y)
7/21/2019 Seb Diskrit
17/17
Contoh
f(x,y) x
Total Baris0 1 2 3
y
0 10/220 30/220 15/220 1/220 56/220
1 40/220 60/220 12/220 112/220
2 30/220 18/220 48/220
Bila X dan Y memiliki Sebaran Peluang Bersama seperti berikut:
Total Kolom 84/220 108/220 27/220 1/220 1
Apakah X dan Y saling bebas?
Jawab.Untuk X=0 dan Y=0, kita dapatkan f(0,0) adalah 10/220, sedangkan fX(0) =
84/220 dan fY(0) = 56/220 sehingga
f(0,0) fX(0).fY(0) X dan Y tidak saling bebas