SCIENCE DES MATERIAUX DE L'ELECTROTECHNIQUE

Florin CIUPRINA Petru V. NOŢINGHER

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE

TRAVAUX PRATIQUES ET EXERCICES

UNIVERSITATEA POLITEHNICA BUCUREŞTI

Facultatea de Electrotehnică

Florin CIUPRINA Petru NOŢINGHER


TRAVAUX PRATIQUES ET EXERCICES

2001

Florin Ciuprina, Petru Noţingher Science des matériaux de l’électrotechnique – Travaux pratiques et exercices Referenţi ştiinţifici : Prof.dr.ing. V. Fireţeanu Prof.dr.ing. C. Flueraşu Printech, Bucureşti, 2001 Splaiul Independenţei 313, 77206, Bucureşti

Table de matières Préface 3 I. Travaux pratiques 1. Résistivité volumique et superficielle des matériaux isolants solides. 72. Rigidité diélectrique des matériaux isolants. 113. Permittivité relative et facteur de pertes diélectriques des matériaux isolants

solides. 174. Paramètres électriques des matériaux semiconducteurs. 235. Propriétés des matériaux magnétiques doux. 296. Propriétés des ferrites magnétiques douces. 337. Propriétés magnétiques des matériaux magnétiques durs. 378. Etude du phénomène d’hystérésis diélectrique. 41

II. Exercices 1. Propriétés conductrices des matériaux. 472. Propriétés diélectriques des matériaux. 533. Propriétés magnétiques des matériaux. 61 Bibliographie 69

I. TRAVAUX PRATIQUES

Préface

Connaître les propriétés des matériaux utilisés dans la construction des dispositifs

et des équipements électriques et électroniques, et aussi les modifications de ces propriétés

sous l’action des sollicitations du milieu ambiant, constitue l’un des éléments

fondamentaux de la formation de l’ingénieur du génie électrique. Dans ce sens, la

réalisation d’applications numériques et pratiques joue un rôle très important.

L’ouvrage Science des Matériaux de l’Electrotechniques – Travaux pratiques et

Exercices s’adresse surtout aux étudiants en troisième année de l’Université

POLITEHNICA de Bucarest, le Département de Sciences de l’Ingénieur, Filière

Francophone, Génie électrique et Informatique. Cet ouvrage a comme but principal de

fixer et de compléter les connaissances acquises au cours Science des Matériaux de

l’Electrotechnique et contient deux parties distinctes. La première partie – Travaux

pratiques – est basée sur le guide de laboratoire de Matériaux de l’Electrotechniques

élaboré par A. Ifrim, V. Fireţeanu, P. Noţingher et D. Stanciu, et présente 8 travaux

pratiques que les étudiants effectuent dans le cadre du Laboratoire de Matériaux de

l’Electrotechniques. Chaque travail contient un bréviaire de notions théoriques nécessaires

à la compréhension du travail a effectué, ce qui facilite l’interprétation des résultats

expérimentaux obtenus. La deuxième partie – Exercices – est basée sur le recueil

d’applications numériques de Matériaux de l’Electrotechniques élaboré par P. Noţingher

et I. Radu, et regroupe 26 applications numériques concernant les propriétés conductrices,

diélectriques et magnétiques des matériaux utilisés dans l’ingénierie électrique. La

réalisation de ces applications permet aux étudiants de fixer les ordres de grandeur des

principales propriétés des matériaux.

A l’élaboration de cet ouvrage (traduction de certains travaux en français) ont

participé aussi les thésards ing. Oana Vişata, ing. Laurenţia Dumitrescu et ing. Laurenţiu

Dumitran, auxquels les auteurs apportent les plus chaleureux remerciements.

Les auteurs remercient aussi aux professeurs Virgiliu Fireţeanu et Cezar Flueraşu

pour avoir fait le comte rendu de cet ouvrage et, surtout, pour les observations et les

suggestions destinées a l’amélioration de son contenu.

AUTEURS

GUIDE DE LABORATOIRE

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1. Résistivité volumique et superficielle des matériaux isolants solides

1. But

Le but général de ce travail est de déterminer les grandeurs qui expriment la résistance qu’un matériau oppose au passage du courant dans son volume ou sur sa surface, respectivement la résistivité volumique ρv et la résistivité superficielle ρs. Les mesures et les calculs effectués permettent de fixer les valeurs de ces grandeurs pour les isolants usuels.

2. Notions théoriques

La résistance de volume Rv [Ω] est le rapport entre la tension continue appliquée entre deux électrodes qui sont en contact avec les faces opposées d’un échantillon et le courant entre les deux électrodes, en excluant le courant de surface. La résistivité volumique ρv [Ωm] est le rapport entre l’intensité du champ électrique continu et la densité du courant qui parcourt le matériau isolant. Cette grandeur exprime la difficulté du passage du courant électrique à travers d’un matériau. La résistance de surface Rs [Ω] est le rapport entre la tension continue appliquée entre deux électrodes appliquées sur la surface d’un échantillon et le courant entre les deux électrodes. La résistivité superficielle ρs [Ω] est le rapport entre l’intensité du champ électrique continu et la densité linéaire du courant qui parcourt la couche superficielle d’un matériau isolant. La résistivité superficielle est numériquement égale à la résistance de surface entre deux électrodes qui forment les côtés opposés d’un carré de certaines dimensions. Quand on mesure les résistances, les valeurs indiquées par les appareilles ne doivent pas être notées immédiatement après l’application de la tension, mais après une période bien précisée Δt. La raison est que immédiatement après l’application de la tension, le courant à travers le matériau (appelé courant d’absorption) décroît asymptotiquement vers la valeur de régime stationnaire (figure 1). En pratique, la durée d’application de la tension est par convention d’une minute.

Figure 1. Courant d’absorption et courant de conduction dans un isolant

7

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE 3. Objectifs

2.1. Déterminer les valeurs de ρv et de ρs pour quelques isolants solides; 2.2. Comparer les résultats obtenus et expliquer les différences.

4. Déterminations expérimentales La figure 2 présente le montage utilisé pour effectuer les mesures expérimentales.

e1, e2 - électrodes de mesure; e3 - anneau de garde; M - matériau isolant; A - ampèremètre; V - voltmètre; K - commutateur; Rp - résistance de protection

de l’ampèremètre A;

Figure 2. Schéma du montage utilisé

Afin de déterminer la résistivité volumique on passe le commutateur K sur la

position a. On applique la tension d’essai U = 500 V et, après une minute, on mesure l’intensité du courant Iv qui circule, par le volume du matériau, entre les électrodes e1 et e2. Dans ce cas, e3 est un anneau de garde qui intercepte les courants de fuite sur la surface du matériau en les dirigeant en dehors du circuit de mesure. Après la mesure du courant Iv on coupe la tension et on passe le commutateur K sur la position b afin de déterminer la résistivité superficielle. Ensuite, on applique la même tension U = 500 V et (après une minute) on mesure le courant It qui est la somme entre le courant qui circule, par le volume du matériau, entre les électrodes e1 et e2 et le courant qui circule, sur la surface du matériau, entre les électrodes e1 et e3.

La résistivité volumique est calculée par la relation:

dSRvv =ρ ,

où pv

v RIUR −= , représente la résistance volumique, - la surface de

l’électrode e

4/21DS π=

1 et d - l’épaisseur de l’échantillon de mesure. La résistivité superficielle est calculée par la relation:

gPRss =ρ ,

où: tv

tvs RR

RRR−

= représente la résistance superficielle; R UI

Rtt

p= − ;

mDP π= ; )( 3121 DDDm += (figure 3);

)( 1321 DDg −= .

8


Figure 3. Notations des dimensions des électrodes

Noter les résultats obtenus dans un tableau de type suivant: Matériau isolant d [mm] U [V] Iv [A] Rv [Ω] ρv [Ωm] It [A] Rt [Ω] ρs [Ω]

5. Vérifications des résultats

Le tableau 1 présente les valeurs de ρv pour quelques matériaux isolants.

Tableau 1. Valeurs de ρv à 20°C et humidité relative 0%

Matériau isolant ρv [Ωm] Matériau stratifié à base de tissure de verre 1011 - 1012

Matériau stratifié à base de cellulose 108 – 109

PCV plastifié 109 - 1012

PCV non - plastifié 1011 - 1013

Carton comprimé 1011 - 1012

Matériau stratifié à base de texture textile 109 – 1010

Isolation mixte 1011 - 1012

Asbeste 103 - 1011

Micanite 1011 - 1012

Polyamide (Nylon) 1010 - 1011

9


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• •

•

5. Questions

Quelles sont les valeurs typiques de la résistivité volumique pour les matériaux isolants? Pourquoi est-il nécessaire de mettre un anneau de garde? Quelle est l’influence de l’humidité et de la température sur les valeurs des résistivités volumique et superficielle? Est-ce que l’intensité du champ électrique appliqué au matériau influence les valeurs des résistivités volumique et superficielle?

10


•

•

2. Rigidité diélectrique des matériaux isolants

1. But

Le but général de ce travail est de déterminer les valeurs de la rigidité diélectrique des matériaux isolants et de mettre en évidence le phénomène de contournement et de claquage des isolants. 2. Notions théoriques

Claquage d’un isolant: la perte subite de la propriété isolante d’un matériau soumis à un champ électrique. La rigidité diélectrique Ec est la valeur maximum de l’intensité du champ électrique auquel peut être soumis un isolant, sans apparition d’un claquage.

La rigidité diélectrique d’un matériau peut varier de plusieurs ordres de grandeur

selon l’utilisation qui en est faite. Dans des conditions de travail identiques, il n’est pas rare de voir Ec varier de simple au double. La pureté, le mode de mise en oeuvre, la forme de l’échantillon et le milieu environnant ne sont que quelques exemples de causes pouvant influencer fortement Ec. Cela explique les grandes différences entre les valeurs de Ec déterminées de façon théorique et celles déterminées expérimentalement. Pour déterminer la rigidité diélectrique expérimentale, les essais se déroulent selon des procédures très précisément définies de façon à garantir une certaine représentativité aux résultats obtenus. On peut diviser ces essais en deux classes:

Les essais sur échantillon dans lesquels on teste l’isolant pour lui-même. La forme de l’échantillon et des électrodes sont spécifiées, ainsi que l’environnement et la fonction du temps selon laquelle le champ est appliqué: champ continu varié par escaliers, champ sinusoïdal augmenté continûment, impulsions de même polarité ou de polarité alternées etc. Ces essais ont lieu en laboratoire et ils servent au contrôle de matières premières et à leur développement technologique.

Les essais sur installation. Il s’agit ici simplement de démontrer qu’en aucun point de l’installation, l’isolation ne présente de défauts ou n’est sollicitée de manière qu’un claquage puisse se produire en fonctionnement normal. Ces essais se résument à soumettre l’installation, pendant un temps déterminé, à une tension nominale U0 multipliée par un facteur supérieur à 1. Les facteurs 1,25 ou 2,5 sont utilisés couramment. Si l’isolation est sensible aux décharges partielles, le niveau de telles décharges sera vérifiée, par exemple, à 1,25 U0.

Les mécanismes responsables de claquages permettent de classer ces derniers en deux catégories: les claquages thermiques et les claquages électriques. • Claquage thermique. Les pertes diélectriques de conduction et de polarisation

provoquent un dégagement de chaleur dans les isolants. Tant que la chaleur ainsi produite est supérieure à celle que peut évacuer l’isolant, la température augmente et un claquage se produit, appelé claquage thermique.

• Le claquage électrique est défini comme un claquage dans le déclenchement duquel l’effet Joule, lié à un courant précédant la décharge proprement dite, ne joue aucun rôle.

11

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE 3. Objectifs

3.1. Déterminer la rigidité diélectrique du carton comprimé. 3.2. Déterminer la rigidité diélectrique de l’huile minéral de transformateur. 3.3. Etude du phénomène de contournement.

4. Déterminations expérimentales

La figure 1 présente le système d’électrodes (e1 – électrode plane, e2 – électrode

cylindrique) utilisées pour les essais sur des échantillons plans des isolants solides.

HT

Matériau isolantd

e2

e1Figure 1. Le système d’électrodes utilisé pour

le claquage des isolants solides

Pour les essais en champ uniforme, la rigidité diélectrique se calcule par la relation suivante :

EUdc

c= , (1)

où est la tension électrique de claquage et d est l’épaisseur de l’échantillon.

U c

Le schéma du montage utilisé est présenté dans la figure 2.

V

THT

220 V ~

A AT

L

Cage de protection

C

e

e1

2

A – interrupteur automatique; AT – autotransformateur; THT - transformateur élévateur; L - lampe de signalisation; C - contact de protection; V - voltmètre.

Figure 2. Schéma du montage utilisé

Le montage contient un transformateur élévateur de tension THT qui assure une valeur maximale Us,max = Usn = 60 kV aux bornes du secondaire pour la tension nominale du primaire Upn = 220 V (à une fréquence de 50 Hz). A l’aide du voltmètre

12

GUIDE DE LABORATOIRE (V) on mesure les valeurs de la tension dans le circuit primaire Upi et, en connaissant le rapport de transformation k = Usn/Upn = 60000/220 on peut déterminer la tension de claquage de l’échantillon, Uci = kUpi. Le réglage de la tension appliquée entre les électrodes se fait avec un autotransformateur (AT) connecté à une source de tension sinusoïdale U = 220 V.

4.1. Détermination de la rigidité diélectrique du carton comprimé La détermination de la rigidité diélectrique se fait en conformité avec les

standards internationaux. Les échantillons de carton non-plié ont une forme carrée et les dimensions sont

300 x 300 mm. Pour les essais sur le carton plié on utilise le même type d’échantillon et le pliage se fait a 100 mm du bord de l’échantillon (figure 3).

Après l’introduction de l’échantillon entre les électrodes e1 et e2 (figure 2), on augmente la tension électrique entre les électrodes avec une vitesse constante, telle que le claquage se produit dans un intervalle de 10 - 20 s. On effectue n ≥ 5 essais successifs et on détermine les valeurs Uci (pour lesquelles le claquage se produit). La tension de claquage moyenne cU se calcule comme la moyenne des valeurs obtenues dans les n essais :

Lignes de pliages100

300

300

Figure 3. Echantillon de carton plié n

UU

n

ici

c

∑== 1 ,

ou Uci est la valeur individuelle de la tension de claquage.

On calcule aussi la déviation moyenne avec la relation :

1001 ⋅⋅

−=∑=

c

n

icci

Un

UUA .

4.2. Détermination de la rigidité diélectrique de l’huile minérale

En vue de déterminer la rigidité diélectrique de l’huile minérale on utilise un

récipient de porcelaine avec deux électrodes en cuivre en forme de calotte sphérique (figure 4). Le niveau de l’huile dans le récipient doit dépasser le niveau des électrodes de plus de 10 mm. Le rayon de courbure des électrodes est R = 25 mm et la distance entre les électrodes est d = 2,5 mm. L’essai se fait en augmentant la tension de zéro jusqu’au claquage de l’huile, avec une vitesse constante de maximum 2 kV/seconde.

13


dBorne deconnexion

Electrodes Récipient enporcelaine

Figure 4. Récipient pour la détermination de la rigidité diélectrique de l’huile minérale

Noter les résultats obtenus dans un tableau du type suivant:

Matériau isolant

d Upi Uci cU cE

[mm] [V] [kV] [kV] [kV/mm]

5. Vérifications des résultats Dans le tableau 1 on présente les valeurs approximatives de la rigidité diélectrique pour les matériaux étudiés. La figure 5 présente la variation de la tension de claquage Uc en fonction de la concentration volumique d’eau dans l’huile, tandis que la figure 6 présente la variation de Uc en fonction de la température.

Tableau 1. Valeurs de la rigidité diélectrique pour les matériaux étudiés (à 50 Hz et 20 °C).

Matériau isolant Rigidité diélectrique Ec [kV/mm] Carton comprimé 9 - 12 Verre 10 - 40 Huile minérale de transformateur >15

14


•

•

•

-40 -20 0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

f = 50 Hzd = 2,5 mmR = 25 mm

2

1

T [°C]

Uc [kV]

Figure 6. Variation de la tension de

claquage en fonction de la température : 1 – huile déshydratée ; 2 - huile non-

déshydratée.

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

10

20

30

40

50

f = 50 Hzd = 2,5 mmR = 25 mm

Contenu d'eau dans l'huile [%]

Uc [kV]

Figure 5. Variation de la tension de claquage en fonction du contenu de

l’eau dans l’huile 6. Questions

Quelle sont les causes des différences entre les valeurs déterminées dans le laboratoire et celles présentées dans le tableau 1 ? Pourquoi la rigidité diélectrique du carton dans la région pliée est inférieure à celle de la région non-pliée ? Essayer d’expliquer l’allure des courbes présentées dans les figures 5 et 6 .

15


16


3. Permittivité relative et facteur de pertes diélectriques des matériaux isolantes solides

1. But Le but général de ce travail est d’étudier les grandeurs physiques qui caractérise le phénomène de polarisation électrique. Les mesures et les calculs permettent de fixer les valeurs de la permittivité relative et du facteur de pertes pour quelques diélectriques usuels. 2. Notions théoriques • Dipôle électrique: un système de deux charges ponctuelles +q et -q séparées par une

distance d .

+q -qd

• Moment électrique dipolaire p : dqp = [Cm]. (1) • Vecteur polarisation: somme vectorielle des moments électriques dipolaires ip

contenus dans le volume infiniment petit ΔV :

( )

Vi

pP

Vi

V Δ=

∑ Δ

→Δ 0lim [C/m2]. (2)

• Polarisation temporaire: polarisation induite par l’intensité du champ électrique E et qui s’annule en son absence. La loi de la polarisation temporaire s’écrit :

Pt e= ε χ0 E , (3) où 0ε est la permittivité du vide ( 0ε = 8.85 ⋅ 10-12 F/m) et χe est la susceptibilité

électrique. • Diélectrique: matériau dont la propriété électromagnétique fondamentale est d’être

polarisable. • Matériau polaire: matériau constitué des molécules qui présentent un moment

électrique spontané. • Matériau non-polaire: matériau constitué des molécules qui ne présentent pas un

moment électrique spontané. • Mécanismes de polarisation:

∗ polarisation électronique: déplacement relatif de l’ensemble des électrons qui entourent le noyau d’un atome par rapport au noyau, sous l’effet d’un champ électrique;

∗ polarisation ionique: déplacement en sens contraires des ions de signes opposés sous l’effet d’un champ électrique;

∗ polarisation par orientation: rotation des moments dipolaires spontanés des particules constitutives sous l’effet d’un champ électrique.

Obs. Les matériaux non homogènes peuvent présenter, en plus, une polarisation supplémentaire appelée polarisation interfaciale.

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• Permittivité relative εr : er χε += 1 (4) En utilisant ε r , l’expression de Pt devient: Pt r= −ε ε0 1( )E (5) De la relation (5) on s’aperçoit que ε r exprime la facilité d’un matériau de se

polariser sous l’action d’un champ électrique. Donc, un matériau qui ne se polarise pas a ε r = 1, tandis qu’un matériau qui se polarise a ε r > 1. Plus ε r est grande, plus la polarisation du matériau est forte.

Dans le cas des champs électriques harmoniques, la susceptibilité électrique et la permittivité relative sont des grandeurs complexes:

ε χ ε εr e r j= r+ = ′ − ′′1 (6)

où rε ′ garde la même signification physique que ε r en champ continu, tandis que ′′ε r caractérise les pertes diélectriques dues à la polarisation électrique du matériau. Les valeurs de rε ′ dépendent de la structure physico-chimique des matériaux, de leur état d’agrégation, des caractéristiques du milieu ambiant, du champ électrique etc. Ainsi, les valeurs de rε ′ pour les matériaux polaires sont supérieures à celles des matériaux non polaires, les gaz ont rε ′ ≈1 et les matériaux qui présentent une polarisation permanente ont rε ′ égale a quelques centaines (Tableau 1).

Tableau 1.Valeurs de rε ′ pour différents matériaux Matériaux rε ′

Gaz ≈1 non polaires 1,5 ÷ 2,5 polaires 2,5 ÷ 6

Liquides

fortement polaires dizaines non polaires 2 ÷ 3 moléculaires polaires 3 ÷ 16

ioniques 5 ÷ 13 semiconducteurs 8 ÷ 16

Solides

ferroélectriques centaines – milliers

• Facteur de pertes diélectriques L’utilisation d’un isolant en électrotechnique implique le placement de l’isolant

entre deux conducteurs, ce qui correspond à la réalisation d’un condensateur. Il serait idéal que l’isolant assure l’isolation électrique parfaite des deux conducteurs l’un de l’autre, ce qui correspondrait à la réalisation d’un condensateur idéal dans lequel la puissance dissipée soit nulle.

A l’application d’une tension sinusoïdale au condensateur idéal, le déphasage

courant - tension serait ϕ π=

2 (figure 1.a). En réalité, le courant qui circule dans le

condensateur présente une composante aI en phase avec la tension U (figure 1.b.), ce qui correspond à une dissipation de puissance dans l’isolant. Cette puissance, en général non récupérable, constitue ce qu’on appelle les pertes diélectriques.

18


Les pertes diélectriques sont dues aux phénomènes de conduction électrique (effet Joule) et de polarisation électrique. Donc, pour un condensateur réel, le déphasage

entre le courant I et la tension U est ϕ π<

2. Le complément de ϕ , noté par δ

( ϕπδ −=2

), s’appelle angle de pertes diélectriques. La grandeur δ tg s’appelle

facteur de pertes diélectriques et caractérise les pertes diélectriques dans un matériau isolant.

I I

I

I

a

r

a) b)

δφφ

UU

Figure 1. Déphasage courant - tension: a) condensateur idéal; b) condensateur réel.

Le facteur de pertes a l’expression:

||||

|| tg tg tg

0 r

a

rr

rch I

IQP

==′

+′′′

=+=ωεε

σεεδδδ (7)

ou:

r

rh ε

εδ′′′

= tg = facteur de pertes par polarisation (hystérésis diélectrique);

ωεεσδ

rc ′

=0

tg = facteur de pertes par conduction électrique dans l’isolant de conductivitéσ , soumis a un champ électrique de pulsation ω ;

Q = = la puissance réactive correspondante au condensateur de −ωCU 2

capacité C soumis a une tension de valeur efficace U; P = = la puissance active dissipée dans l’isolant. δω tg2CU Les valeurs du facteur de pertes δ tg (entre 10-5 et 0,5), dépendent de la structure physico-chimique des matériaux, des caractéristiques du milieu ambiant, du champ électrique etc. En général, δ tg a des valeurs plus réduites pour des matériaux non polaires et qui ont σ petite (polyéthylène, polypropylène, quartz etc.), que pour des matériaux polaires et qui ont σ grande (PCV, polyamides etc.) (Tableau 2). 3. Objectifs 3.1. Déterminer rε ′ et δ tg pour quelques isolants solides en forme de plaques. 3.2. Calculer cδ tg , hδ tg et ′′ε r pour un polyéthylène de conductivité électrique

connue ( S/m). σ = ⋅ −5 10 17

4. Déterminations expérimentales

19


La figure 2 présente le montage utilisé pour effectuer les mesures expérimentales.

tgC δCondensateurde mesure

RLC - mètre

Cable coaxial

de mesureCellule

Figure 2. Schéma du montage utilisé pour déterminer rε′ et δ tg .

Afin de déterminer rε′ d’un isolant il faut mesurer la capacité du condensateur qui a comme diélectrique l’isolant étudié. L’appareil de mesure utilisé est un RLC-mètre qui indique pour un condensateur connecté à ses bornes la capacité Cx et le facteur de pertes diélectriques δ tg à l’une des fréquences 100 Hz ou 1 kHz. La connexion entre RLC-mètre et le condensateur de mesure se fait avec un câble coaxial de capacité connue (Cc). En même temps que la capacité réelle (Cr) du condensateur qui a comme diélectrique l’isolant étudié, on mesure aussi la capacité parasite de la cellule de mesure Cp = 43 pF. On a donc trois condensateurs connectés en parallèle aux bornes du RLC-mètre: Cc, Cr et Cp (figure 3). Evidemment, Cx est la capacité équivalente de ces trois capacités : Cx = Cc + Cr + Cp.

Avec Cx mesuré, on calcule Cr: Cr = Cx - Cc - Cp. (8) Comme Cr est la capacité d’un condensateur plan,

dAC rr εε ′= 0 , (9)

il résulte: ′ =ε rrC

C0

, (10)

où C Ad0 0= ε représente la capacité du

condensateur à air, avec la configuration géométrique identique à celle du condensateur qui a comme diélectrique le matériau étudié, A - la surface de l’électrode (de diamètre D = 10 cm) et d - l’épaisseur du matériau étudié.

C C Cc r pRLCmètre

Figure 3. Schéma équivalent

Noter les résultats obtenus dans un tableau de type suivant:

Matériau isolant

Epaisseur d

Fréquence f

Cx Cr Co rε′ δ tg Obs.

mm Hz pF pF pF


20


Le tableau 2 présente les valeurs expérimentales de rε′ et de δtg pour quelques matériaux isolants. Dans les figures 4 – 7 sont présentées les variations des grandeurs étudiées en fonction de la température et de la fréquence du champ électrique.

Tableau 2. Valeurs de rε′ et de δtg pour quelques isolants usuels

Matériau isolant rε′ δ tg

Carton électrotechnique 3-5 10-2

Micanite 4-6 10-2-10-3

Matériau stratifié a base de tissus textile

6 10-1-10-2

Matériau stratifié a base de tissus de verre

4-6 10-1-10-2

PCV plastifié 3-7 10-2

Asbeste 6-20 10-1

Résine polyépoxyde 4 10-3

Matériau stratifié a base de cellulose

6-7 10-1-10-2

Polyéthylène 2-2,3 10-3-10-4

Verre 4-16 10-3-10-4

εr'

εr"

εr'

εr"

Polarisation ionique

Polarisation électronique

f f f f0n 0o 0i 0e f

fréquencesindustrielles

fréquencesradio

fréquencesinfrarouges

fréquencesoptiques

Polarisation interfaciale

Polarisation d'orientation

Figure 4. Variation de rε ′ en fonction de la température.

Figure 5. Variations de ′ε r et de ′′ε r en fonction de la fréquence du champ électrique.

21


Figure 7. Variation du facteur de pertes diélectriques en fonction de la fréquence.

Figure 6. Variation de δ tg en fonction de la température.

6. Questions • Quelle est la cause des différences entre les valeurs des propriétés diélectriques

déterminées dans le laboratoire et celles présentées dans le tableau 2? • Lesquels des matériaux étudiés peuvent être utilisés dans les systèmes d’isolation

qui fonctionnent à hautes fréquences? • Pourquoi est-il nécessaire de connaître les fréquences propres (f0k) des matériaux? • Pourquoi les matériaux polaires ont les valeurs de ′ε r et δ tg supérieures aux celles

des matériaux non polaires? • Quelle est la valeur de ′ε r d’un matériau isolant soumis à un champ électrique de

fréquence optique?

22


•

•

•

4. Paramètres électriques des matériaux semiconducteurs

1. But Le but général de ce travail est de déterminer le type de conduction électrique dans les monocristaux semiconducteurs, la variation de leur conductivité électrique en fonction de la température, la concentration d’impuretés et la largeur de la bande interdite de Fermi. 2. Notions théoriques

Semiconducteurs: matériaux qui présentent une conductivité électrique σ dans le domaine 10-6 - 105 Sm-1, représentant, de ce point de vue, une catégorie intermédiaire entre les conducteurs (σ > 105 Sm-1) et les isolants (σ < 10-6 Sm-1). Les bandes d’énergie permises des semiconducteurs sont soit complètement occupées, soit complètement vides (non-ocupées). A T = 0 K, la dernière bande permise située au-dessous de la bande de Fermi (la bande interdite qui contient le niveau de Fermi wF), appelée bande de valence, est complètement occupée, tandis que la première bande permise au-dessus de la bande de Fermi, appelée bande de conduction, est vide (sans électrons). La bande de Fermi a la largeur inférieure à 2 eV. Semiconducteur intrinsèque: semiconducteur pur, sans impuretés (non-dopé). Les porteurs de charge sont obtenus exclusivement suite aux transitions des électrons de la bande de valence (bv) dans la bande de conduction (bc) (fig. 1a) grâce à l’énergie d’agitation thermique. Chaque électron qui effectue un transition de bv dans bc laisse un niveau vacant (non-occupé) dans bv. A ce niveau vacant on attribue une particule fictive de charge positive q0, appelée trou. Donc les électrons de bc et les trous de bv sont les porteurs de charge dans un semiconducteur intrinsèque. Semiconducteur extrinsèque: s’obtient par dopage, c’est-à-dire adjonction d’un très petit nombre d’atomes de dopage dans un semiconducteur intrinsèque.

Semiconducteur extrinsèque de type n: les atomes de dopage ont un nombre d’électrons de valence supérieur à celui de base (>4 pour Si et Ge qui ont 4 électrons de valence). Les atomes de phosphore, d’arsenic ou d’antimoine, possédant cinq électrons de valence, sont couramment utilisés comme dopants dans les semiconducteurs de type n. On appelle ces atomes donneurs car il fournissent des électrons à la bande de conduction. Ces électrons représentent les porteurs de charge majoritaires.

Semiconducteur extrinsèque de type p: les atomes de dopage ont un nombre d’électrons de valence inférieur à celui de base (<4 pour Si et Ge). Les atomes de bore, d’aluminium, d’indium ou de gallium, possédant trois électrons de valence, sont couramment utilisés comme dopants dans les semiconducteurs de type p. Ces atomes de dopage portent ici le nom d’accepteurs, car ils acceptent des électrons de la bande de valence, créant des niveaux vacants (trous) dans cette dernière. Les trous représentent les porteurs de charge majoritaires.

23


Bande de conduction

1'

1wF

Bande de valence

1 1'

1 1'

2 2'

a) b) c)

Electron Trou

wiwi

wi

wpwF

wn

wF 3

Figure 1. Transition des électrons et des trous dans les semiconducteurs intrinsèques (a) et extrinsèques (b – type n, c – type p)

3. Objectifs 3.1. Déterminer le type de conduction électrique dans des monocristaux de Si et Ge; 3.2. Déterminer la résistivité électrique des semiconducteurs et la concentration des

impuretés. 3.3. Pour un semiconducteur de Ge, déterminer la largeur wi de la bande interdite de

Fermi et la variation de la résistivité en fonction de la température. 4. Déterminations expérimentales 4.1. Type de conduction électrique Le dispositif utilisé (figure 2) contient deux sondes métalliques, l’une à la température ambiante (1), l’autre chauffée à 200…400°C (2), et un microampèremètre (4).

~

p n

- +

1

3

2

4

Figure 2. Dispositif utilisé pour déterminer le type de conduction extrinsèque:1- sonde froide, 2- sonde chaude, 3- semiconducteur,

4- microampèremètre.

La méthode de détermination du type de conduction électrique utilise l’effet Seebeck, qui consiste en l’apparition d’une tension électromotrice entre les deux sondes mises en contact avec la surface du cristal (figure 2). Dans ce cas, si le semiconducteur est de type n, alors un flux d’électrons va se déplacer dans le matériau, orienté de l’électrode chaude vers l’électrode froide ce qui conduira à un courant électrique orienté de la borne (-) vers la borne (+) de l’ampèremètre. Pour un semiconducteur de type p le courant, dû au déplacement des trous de l’électrode chaude vers l’électrode froide, sera orienté de la borne (+) vers la borne (-).

4.2. Résistivité électrique

24

GUIDE DE LABORATOIRE Pour la détermination de la résistivité d’un monocristal semiconducteur on utilise la méthode des quatre sondes (figure 3). Les sondes, alignées et distancées à s = 1,6 mm, sont mises en contact avec la surface du semiconducteur. On injecte le courant I = 1…10 mA par un générateur de courant connecté entre les sondes S1 et S4 et on mesure la tension U entre les sondes S2 et S3.

s ss

U

mV

ImA

d

Semiconducteur

>>

S2 S3 S4S1

Figure 3. Présentation schématique de la méthode des quatre sondes

Si l’épaisseur de l’échantillon d et la distance entre une sonde et le bord de l’échantillon sont supérieures à 3s, la résistivité se détermine par la relation :

sI

U πρ 2= . (1)

Pour déterminer la résistivité des plaquettes semiconductrices homogènes qui ont des épaisseurs d plus faibles (200 - 400 μm), avec d<<s, on utilise la relation :

dI

U⋅⋅=

2lnπρ . (2)

Dans le cas des couches de dopage diffusées (figure 4), la relation (2) - où d représente, dans ce cas, l’épaisseur de la couche - détermine la résistivité moyenne. La résistivité de la couche diffusée étant de 3 - 4 ordres de grandeur plus petite que la résistivité du semiconducteur de base, le courant

circule, pratiquement, seulement par cette couche.

dCouche de dopage diffusée

Figure 4. Plaquette semiconductrice avec une couche de dopage diffusée

La concentration des impuretés se détermine en utilisant le graphique présenté dans la figure 5.

25


26

Figure 5. Variation ρ = f (concentration des impuretés) pour différents semiconducteurs

extrinsèques. Noter les résultats obtenus dans un tableau du type suivant: No. ech.

Semiconducteur Type de conduction

U [mV]

I [mA]

ρ [Ωm]

Concentration des impuretés [m-3]

4.3. Variation de la résistivité avec la température et détermination de la largeur wi de

la bande interdite Fermi Pour une plaquette de Ge on va déterminer la caractéristique ρ(T) dans le domaine 20÷180°C. Pour la détermination de la résistivité, la plaquette de Ge et les quatre sondes sont introduites en huile silicone qui sera chauffée à l’aide d’une résistance chauffante.

Avec deux valeurs de la résistivité ρ ′ et ρ ′′ qui correspondent à deux températures et (entre 120°C et 180°C), on détermine la largeur de la bande interdite Fermi w

T ′ T ′′i en utilisant la relation:

TT

TTkwi ′−′′′′′′′−′

=)ln(ln2 ρρ (3)


27

où k représente la constante de Boltzmann (k = 1,38·10-23

J/K) et T - la température

(exprimée en Kelvin). Pour exprimer wi en électron-Volts [eV] on utilise la relation :

1 eV = 1,610-19

J.


T

[K]

U

[mV]

I

[mA]

[m]


Dans la figure 6 on présente la courbe de la variation de la résistivité d’un

semiconducteur extrinsèque en fonction de la température. Dans cette figure, Ts est la

température à laquelle tous les niveaux additionnels sont ionisés et Ti est la température

à laquelle le nombre des transitions des électrons de la bande de valence dans la bande

de conduction devient non négligeable. Pour T<Ts, la conduction extrinsèque est

prépondérante, étant correspondante aux éléments de dopage. Dans l’intervalle (Ts, Ti)

tous les niveaux additionnels sont ionisés et la conduction intrinsèque est encore

négligeable par rapport à celle extrinsèque. Pour T>Ti, la conduction intrinsèque devient

importante et la résistivité a une décroissance exponentielle.

TTS Ti

Figure 6. Variation = f (T) pour un semiconducteur extrinsèque.

Tableau 1. Valeurs de la résistivité intrinsèque i et de wi pour silicium et germanium

(déterminées à T = 300 K)

Matériau semiconducteur i

[m]

wi

[eV]

Silicium (2,5-3)103 1,1

Germanium 0,47 0,756


28

6. Questions

Définir un semiconducteur intrinsèque et un semiconducteur extrinsèque?

Comment varie la résistivité d’un semiconducteur avec la concentration des

éléments de dopage?

Expliquer la variation de la résistivité d’un semiconducteur extrinsèque avec la

température.

Comment se détermine la largeur de la bande interdite de Fermi en utilisant la

dépendance (T) pour un semiconducteur intrinsèque?


5. Propriétés des matériaux magnétiques doux 1. But Le but général de ce travail est de déterminer expérimentalement la courbe de première aimantation B(H), la courbe M(H), la courbe μ r (H), l’induction de saturation BBs, l’aimantation de saturation Ms et la valeur maximale de la perméabilité relative statiqueμ r max des matériaux magnétiques doux en champ continu (caractéristiques statiques d’aimantation). 2. Notions théoriques • Les grandeurs qui caractérisent complètement le champ magnétique dans un corps

sont l’induction magnétique B [T] et l’intensité du champ magnétique H [A/m]. • L’état d’aimantation d’un corps est caractérisé dans chaque point du corps par le

vecteur aimantation qui représente la somme vectorielle des moments magnétiques m i (associés aux particules magnétiques polaires) contenus dans le volume infiniment petitΔV :

( )

Mm

iVV

i V

=→

∑limΔ

Δ

Δ0 [A/m].

• La liaison entre B , H et M est exprimée par la loi: )(0 MHB += μ , où

0μ = 4π10-7 H/m est la perméabilité du vide. • L’aimantation peut être temporaire ( Mt ) ou permanente ( M p ): M M Mt p= + . • Aimantation temporaire: aimantation induite par l’intensité du champ magnétique

H et qui s’annule en son absence. La loi de l’aimantation temporaire s’écrit : HM mt χ= , où χ m est la susceptibilité magnétique. • Aimantation permanente : aimantation qui existe même en l’absence du champ

magnétique appliqué au matériau. • La courbe M(H) observée à champ croissant présente un palier de saturation, sur

lequel l’aimantation reste constante à une valeur M = Ms, pour H > Hs, où Hs est l’intensité du champ magnétique de saturation (figure 1.b).

• La dépendance B(H) observée à champ croissant sur un corps n’ayant jamais été aimanté s’appelle courbe de première aimantation. Cette courbe présente un palier de saturation, sur lequel l’induction reste pratiquement constante à une valeur B = Bs, pour H > Hs, où Hs est l’intensité du champ magnétique de saturation (figure 1.a). A champ décroissant, après l’aimantation, la dépendance B(H) s’écarte de la courbe de première aimantation, en raison du caractère irréversible de l’aimantation.

• Perméabilité magnétique relative statique ( rμ ) : est définie par la relation

HB

r0μ

μ = .

29

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE • Pour un champ magnétique alternatif, la dépendance B(H) prend la forme d’un cycle

d’hystérésis (figure 1.a).

0 H

BB

H

aimantationCourbe de premières

s

a)

Cycle d'hystérésisB(H)

M

Hs

Ms

H0

Cycle d'hystérésisM(H)

μrμrmax

H0

c)

b)

Figure 1. (a) Courbe de première aimantation et cycle

d’hystérésis B(H); (b) cycle d’hystérésis M(H); (c) dépendanceμ r (H)

• On appelle induction rémanente Br, l’induction qui subsiste dans le corps après qu’on a fait décroître H jusqu’à zéro. On appelle champ coercitif Hc le champ magnétique nécessaire pour annuler l’induction rémanente. L’induction rémanente et le champ coercitif sont des propriétés spécifiques du matériau considéré. Elles figurent sur le cycle d’hystérésis de saturation.

• On appelle matériaux magnétiques doux ceux dans lesquels le champ coercitif est petit (10-2÷102 A/m). Les matériaux magnétiques doux ont les valeurs de BBs et maxrμ élevées (tableau 1), et l’aire de la surface de leur cycle d’hystérésis de saturation est petite.

3. Objectifs 3.1. Déterminer la courbe de première aimantation B(H), la courbe M(H), et la courbe

μr(H) pour un matériau magnétique doux (fer silicié, acier ou fonte) sous forme de barreau.

3.2. Déterminer l’induction de saturation BBs, l’aimantation de saturation Ms et la valeur maximale de la perméabilité magnétique relative statique maxrμ pour le matériau étudié.

4. Déterminations expérimentales L’aimantation en champ continu des matériaux magnétiques doux (sous forme de barreaux à section carré de 1 cm2 et de longueur lAB = 20 cm) se réalise avec le pérmeamètre Iliovici, dont le schéma est présenté dans la figure 2. Afin de déterminer la courbe de première aimantation il faut d’abord désaimanter le matériau, ce qui se fait de la manière suivante:

30

GUIDE DE LABORATOIRE a) On introduit le barreau

d’étude (marqué AB dans la figure 2) dans le pérméamètre et on lui applique un champ magnétique fort (H = 200÷300 A/cm), en augmentant le courant d’aimantation de 0 à 2,5 A.

b) On réduit doucement le courant jusqu’à ce qu’il devienne nul, en tournant en même temps le commutateur inverseur K avec environ deux rotations par seconde. Ainsi, on réalise des aimantations alternatives caractérisées par des cycles d’hystérésis (et, par conséquent, par des inductions rémanentes) de plus en plus petites, jusqu’à la désaimantation complète du barreau.

Figure 2. Schéma du pérmeamètre Iliovici

c) On établit des valeurs croissantes du courant I (Tableau 1) et on mesure les valeurs de B.

Tableau 1.

I [A] 0,025 0,05 0,07 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,7 1 1,5 2 2,5 c.1) Pour chaque valeur du courant on effectue la "compensation" (l’annulation du

champ magnétique sur le côté C2) ce qui permet de calculer l’intensité du champ magnétique par la relation:

IlN

HAB

a= , (1)

où Na représente le nombre de spires de la bobine d’aimantation. Dans les

conditions constructives du perméamètre Iliovici utilisé, on a π4

105=

AB

a

lN

et la

relation (1) devient :

IHπ4

105= [A/m], (2)

où l’intensité du courant I est introduite en Ampères. c.2) Afin de compenser le circuit on passe le commutateur K1 (figure 2) sur la position 1

(ou 2) et, ensuite, on tourne le commutateur K de 180o. Si la déviation du fluxmètre n’est pas nulle (α ≠ 0), la compensation n’est pas encore obtenue et il faut régler le courant de compensation (par Rc) jusqu’à ce qu’on obtient α = 0 (pour une rotation de 180o du commutateur K).

c.3) Pour déterminer l’induction B, on passe le commutateur K1 sur la position N = 25 spires. Ensuite, on tourne le commutateur K de 180o et on note la déviation α du fluxmètre. On calcule l’induction en utilisant la relation:

αNAk

B F

2= , (3)

31

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE où A est l’aire de la surface du barreau et est la constante du fluxmètre. Fk

Pour A = 1 cm2, = 10Fk -4 Wb/div, et dans le cas d’une bobine de mesure qui a N = 25 spires, on obtient:

B = 0,02α [T]. (4)


Matériau magnétique I [A] H [A/m] α [div] B [T] μr

Déterminer BBs et μ r max en utilisant les courbes B(H) et μ r (H) obtenues (voir Figure 1). 5. Vérifications des résultats Le tableau 2 présente les valeurs approximatives de maxrμ , de BBs et de Hc pour quelques matériaux magnétiques doux.

Tableau 2. Valeurs approximatives des grandeurs étudiées

Matériau magnétique μ r max BBs [T] Hc [A/m] Acier 2000 1,4 - 2 < 2 000

Fer silicié 8000 1,9 – 2 48 Fonte lamellaire 700 1,2 240

Permalloy (21,5% Fe, 78,5% Ni) 100000 1 4 Dynamax (32,7% Fe, 65% Ni, 2% Mo, 0,3% Mn) 1530000 1,26 0,4

6. Questions • Quelle est la cause des différences entre les valeurs des propriétés magnétiques

déterminées dans le laboratoire et celles présentées dans le tableau 2 ? • Est-ce qu’on peut utiliser les matériaux magnétiques doux comme des aimants

permanents ? • Qu’est-ce qu’il faut faire pour obtenir en laboratoire une valeur plus précise pour

maxrμ ? • Quelles sont les influences des impuretés sur les propriétés des matériaux

magnétiques doux ?

32


6. Propriétés des ferrites magnétiques douces 1. But Le but général de ce travail est de déterminer les principales caractéristiques des ferrites magnétiques douces: l’induction de saturation BBs, la température Curie θ et les dépendances de BsB et de la résistivité électrique en fonction de la température (ρ(T) et BB

•

s(T)). 2. Notions théoriques

Ferrites magnétiques douces: matériaux ferrimagnétiques doux réalisés par sintérisation (aux hautes températures et aux hautes pressions) de l’oxyde de fer (Fe2O3) avec des oxydes des métaux bivalents (Mn, Ni, Zn, Mg, Cu, Li etc.). Par rapport aux matériaux ferromagnétiques, les ferrites présentent quelques avantages:

résistivité électrique élevée, ρ ∈ (0,1÷107) Ωm, ce qui détermine des pertes magnétiques par courants de Foucault réduites;

une grande résistance à l’humidité de l’air, ce qui permet leur utilisation dans des milieux humides.

Pourtant les ferrites présentent quelques désavantages par rapport aux matériaux ferromagnétiques:

induction de saturation réduite (BB

•

s < 0,6 T); perméabilité magnétique initiale faible; température de Curie basse (60…450°C).

Il faut noter, aussi, que du point de vue mécanique les ferrites sont dures (étant préparées seulement par rectification avec des pierres abrasives) et cassantes, ayant une réduite résistance aux chocs. Pertes magnétiques : puissance, en général non récupérable, qui se dissipe dans un matériau magnétique placé dans un champ magnétique variable en temps. Dans un champ magnétique harmonique il y a deux composantes des pertes magnétiques:

Pertes par hystérésis magnétique Ph: , (1) VB = fP n

h maxηoù η est le coefficient de Steinmetz, f – la fréquence de champ magnétique, BBmax - l’amplitude de l’induction magnétique B, n – l’exposent de Steinmetz et V - le volume du corps magnétique. Les valeurs de η et de n dépendent de la nature du matériau. En pratique, on considère souvent n ≈ 2.

Pertes par courants de Foucault PF:

V B f Δρπ = PF

2max

222

6, (2)

où ρ est la résistivité électrique et Δ - l’épaisseur de l’échantillon. Température de Curie: température au delà de laquelle le matériau magnétique (ferromagnétique ou ferrimagnétique) devient paramagnétique.

•

Ayant une résistivité élevée (de semiconducteurs) par rapport aux ferromagnétiques (qui sont conducteurs), les ferrites présentent des pertes par courants de Foucault très

33

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE réduites. Cette propriété recommande l’utilisation des ferrites dans le domaine des hautes fréquences (103-109 Hz) : radios, téléviseurs, télécommunications, commutation etc. 3. Objectifs 3.1. Déterminer l’induction de saturation BBs, la variation de l’induction de saturation en

fonction de la température BsB (T) et la température de Curie θ pour un tore en ferrite MnZn.

3.2. Déterminer la dépendance de la résistivité électrique en fonction de la température pour une ferrite MnZn.

4. Déterminations expérimentales Pour déterminer les principales caractéristiques des ferrites magnétiques douces on utilise le montage présenté dans la figure 2. Dans l’enceinte 3 il y a deux ferrites: − Une ferrite sous forme de tore pour laquelle on détermine l’induction de saturation BBs

et la variation de BsB avec la température; − une ferrite sous forme de "E" pour laquelle on détermine la variation de la résistivité

avec la température.

1 - tore en ferrite; A - ampèremètre c.c. (0…2) A; 2 – ferrite “E”; In - inverseur; 3 - enceinte thermostatée; G - générateur de c.c.(2,5…10) mA; F - fluxmètre; mV - millivoltmètre de c.c. (0…1)V.

Figure 2. Schéma du montage utilisé.

34


Pour aimanter le tore jusqu’à la saturation on augmente le champ magnétique H (en augmentant le courant d’aimantation) jusqu’à ce que l’induction B reste pratiquement constante. La variation du flux magnétique dans le tore est réalisée avec l’inverseur In. La détermination de l’induction B se fait en mesurant au fluxmètre la variation du flux magnétique ΔΦ suite à la variation du courant d’aimantation de + Im a -Im :

ΔΦ = 2 N B S, (3) où N est nombre des spires de la bobine de mesure, B - l’induction magnétique et S - l’aire de la section transversale du tore en ferrite.

D’autre part on a : ΔΦ = kF α, (4)

où kF est la constante du fluxmètre et α est la déviation mesurée sur le fluxmètre quand le courant d’aimantation varie entre + Im et -Im . En tenant compte des relations (3) et (4) il résulte:

= k N Sk

B = BF αα

2. 5)

Afin de déterminer la résistivité des ferrites on utilise la méthode des quatre sondes. Les quatre sondes en contact avec la ferrite à étudié sont en wolfram et elles sont parallèles et équidistantes à une distance s = 1,6 mm. Le générateur de courant G injecte un courant constant entre les sondes extérieures (S1 et S4). Suite au passage du courant, entre les sondes intérieures (S2 et S3) apparaît une tension U. En tenant compte que l’épaisseur des ferrites et que la distance entre la sonde et l’extérieur sont supérieures à 3 s, on calcule la résistivité électrique avec la relation:

π s I

Uρ = 2 . (6)


Température T

Tension U

Courant I

Résistivité ρ

Déviation α

Induction BBs

[°C] [mV] [mA] [Ω m] [ div.] [T]

La température de Curie résulte de l’intersection de la courbe B(T) avec l’axe OT (Figure 3). 5. Vérifications des résultats

Le tableau 1 présente les valeurs approximatives de BBs, ρ, et θ pour quelques ferrites magnétiques douces, tandis que les figures 3 et 4 représentent les variations typiques de BsB et de ρ avec la température pour ces matériaux.

35


Tableau 1. Valeurs approximatives des BBs, ρ, et θ.

Type de

ferrite

BBs

[T]

ρ

[Ωm]

θ

[°C]

Mn Zn 0,25-0,5 0,1- 1 120-180

Ni Zn 0,2-0,4 10 - 106 60-400

Li Zn 0,1-0,3 10-106 200-500

Mg Zn 0,1-0,2 106-107 300-600

Mg Mn 0,1-0,2 106-107 300-600

T

ρ

Figure 4. Variation de la résistivité

électrique ρ en fonction de la température T, pour une ferrite douce.

θ

s

T

B

Figure 3. Variation de l’induction de

saturation BBs en fonction de la température T, pour une ferrite douce.

6. Questions • Est-ce qu'il y a des différences entre les valeurs des BBs, ρ, et θ déterminées dans le

laboratoire et celles présentées dans le tableau 1? Dans l’affirmative comment peut-on les expliquer ?

• Quel est le comportement des ferrites concernant les pertes magnétiques? • Pourquoi est-il nécessaire de connaître la température Curie θ et les caractéristiques

BBs(T) et ρs(T)?

36


7. Propriétés des matériaux magnétiques durs

1. But Le but de ce travail est de déterminer l’induction rémanente BBr, le champ coercitif Hc, l’indice de qualité (BH)max et la courbe de désaimantation des aimants permanents. Les mesures et les calculs permettent de fixer les valeurs des grandeurs physiques qui caractérisent les aimants. 2. Notions théoriques

• Matériaux magnétiques durs (aimants) : matériaux qui gardent l’état d’aimantation après l’annulation du champ magnétisant. Ils ont des cycles d’hystérésis larges (figure 1) et des valeurs élevées de l’induction rémanente BBr, du champ coercitif Hc et de l’indice de qualité (BH)max.

• Induction rémanente Br : valeur de l’induction magnétique qui subsiste dans l’échantillon pour un champ magnétique nul, après une aimantation de l’aimant jusqu'à la saturation.

• Champ coercitif Hc : intensité du champ magnétique nécessaire

pour annuler l’induction rémanente BBr.

rB

B

H H

rB-

- H

Courbe de désaimantation

c c

Figure 1. Cycle d’hystérésis typique des aimants.

• Indice de qualité (BH)max : valeur maximale de la densité volumique d’énergie développée en aimant. L’indice de qualité correspond à un champ HL et une induction BBL qui déterminent le point optimal de fonctionnement de l’aimant (HL, BL). Ce point peut être déterminé (avec approximation) comme dans la figure 3.

• Courbe de désaimantation : partie du cycle d’hystérésis de saturation, située entre le point (0, BBr) et le point (-Hc, 0) (figure 1).

3. Objectifs 3.1. Déterminer la courbe de désaimantation d’un aimant. 3.2. Déterminer l’induction rémanente BBr et le champ coercitif Hc. 3.3. Déterminer l’indice de qualité (BH)max et le point optimal de fonctionnement de

l’aimant. 4. Déterminations expérimentales

37

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE Le montage utilisé pour déterminer les principales propriétés des aimants est présenté sur la figure 2:

AR

KP1 P2

M

120 V =

T

B1 B2

SH

Circuit magnétique

δ2 lm

δ1

M - aimant étudié; SH - sonde Hall ; R - rhéostat; T - teslamètre; K - inverseur; A - ampèremètre; P1, P2 - pôles magnétiques; B1, B2 - bobines inductrices.


L’intensité du champ magnétique Hm se détermine par la relation :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

2

11

0

2δδ

mm - B

δδ B

lμδ = H , (1)

où BBδ1 est l’induction dans l’entrefer d’épaisseur δ1, Bδ2 B – l’induction dans l’entrefer d’épaisseur δ2, lm = δ1 - δ2 et μ0 - la perméabilité magnétique absolue du vide (μ0 = 4 π 10-7 H/m). Pour déterminer l’induction magnétique de l’aimant BBm on introduit la sonde Hall dans l’entrefer δ2 et on mesure . En tenant compte de la loi du flux magnétique appliqué pour une surface S qui passe par aimant et l’entrefer δ

2δB

2 (figure 2), il résulte .

2 = δBBm

Afin de déterminer l’induction rémanente il faut d’abord magnétiser l’aimant jusqu’à la saturation. Ensuite on annule le champ magnétique et on obtient l’induction rémanente. La saturation de l’aimant peut être obtenue soit par l’augmentation continue du courant d’aimantation jusqu’à ce que l’induction de l’aimant n’augmente plus, soit par une aimantation en courts chocs de courant. La deuxième méthode, utilisée dans ce

38

GUIDE DE LABORATOIRE travail, consiste en l’application des chocs de courant de plus an plus forts, en mesurant après chaque choc l’induction correspondante au champ magnétique nul en aimant. Cela se répète jusqu’à ce que l’induction mesurée n’augmente plus. La dernière valeur mesurée représente l’induction rémanente.

2δB

Une fois l’induction rémanente déterminée on met l’inverseur K sur la position de désaimantation et les rhéostats du circuit d’aimantation sur la position de résistance maximale. Ensuite on augmente le courant I et on détermine des points (BBm,Hm) situés sur la courbe de désaimantation.

En utilisant la courbe de désaimantation on détermine les valeurs de (BH)max, HL et BL (figure 3). Noter les résultats dans un tableau du type suivant:

Aimant

Bm = Bδ2 Bδ1 Hm |Bm Hm| Obs.

[T] [T] [A/m] [ kJ/m3]

5. Vérifications des résultats Dans le tableau 1 sont présentées les valeurs des grandeurs étudiées pour quelques aimants utilisés en électrotechnique.

Tableau 1. Valeurs des grandeurs BBr, Hc et (BH)max

Aimant BBr [T]

Hc[kA/m]

(BH)max[kJ/m3]

Aciers martensitique >0,8 >4 >1 Aciers peu alliés >1 >5,6 >2,2

Aimants métalliques AlNi 0,5-1,25 20-90 5,5-24 Aimants métalliques AlNiCo 0,6-1,4 20-90 6-40

Ferrite de Ba isotrope >0,2 >116 >5,6 Ferrite de Ba anisotrope >0,35 >131 >22,3

Ferrite de Ba plastoferrite >0,135 >91 >3 Ferrite de Sr isotrope >0,21 >90 >6,7

Ferrite de Sr anisotrope >0,36 >223 >23,9 Aimant SmCo5 0,95 1800 180

Aimant Sm2 Co17 1,07 1200 225 Aimant Nd2 Fe14 B 1,20 800 270

Aimant Nd Fe B (2e génération)

1,30 1100 320

La figure 3 présente la courbe de désaimantation et la courbe BH = f(H) typiques.

39


Figure 3. Courbe de désaimantation typique et variation typique BH = f(H) 6. Questions • Quelle sont les différences entre les aimants et les matériaux magnétiques doux? • Est - que il y a des différences entre les valeurs de BBr, Hc et (BH)max déterminées en

laboratoire et celles présentées dans le tableau 1? Dans l’affirmative essayer d’expliquer ces différences.

• Pourquoi est-il nécessaire de connaître la courbe de désaimantation et les valeurs de BBr, Hc et (BH)max ?

40


8. Etude du phénomène d’hystérésis diélectrique

1. But Le but général de ce travail est de mettre en évidence le phénomène d’hystérésis diélectrique et de déterminer les grandeurs qui le caractérisent. Aussi, on fait la différence entre les diélectriques linéaires et les ferroélectriques. Les mesures et les calculs effectués permettent de fixer les valeurs des pertes par hystérésis diélectrique et de la permittivité relative pour les diélectriques linéaires et pour les ferroélectriques. 2. Notions théoriques • Hystérésis diélectrique : le retard de la polarisation P (et de l’induction électrique

D ) par rapport à l’intensité du champ électrique E . Ce retard est dû au temps nécessaire aux dipôles associées aux particules constitutives du diélectrique de s’orienter sous l’action du champ électrique.

• Matériau ferroélectrique : matériau diélectrique dans lequel les moments dipolaires sont couplés. Ce phénomène de couplage constitue la ferroélectricité. Le préfixe ferro a été choisi en raison des très nombreuses analogies entre ces matériaux et les matériaux ferromagnétiques. Les matériaux ferroélectriques sont caractérisés par une permittivité relative extrêmement élevée, de l’ordre de 103 et même 104. Toutes leurs propriétés électriques sont très sensibles à la température. Le comportement ferroélectrique disparaît au delà d’une température appelée température de Curie ferroélectrique.

3. Objectifs 3.1. Mettre en évidence de l’hystérésis diélectrique et mesurer le déphasage δh entre D

et E pour des diélectriques linéaires. 3.2. Visualiser le cycle D(E) pour diélectriques linéaires et pour des ferroélectriques. 3.3. Déterminer les pertes par hystérésis diélectrique pour les diélectriques étudiés. 4. Déterminations expérimentales

V

Cm

Cet

Ua

OSC

ATUc

220 V ~

AT - autotransformateur; Cm - condensateur de mesure; OSC - oscilloscope; Cet - condensateur étalon; V - voltmètre.


41


La figure 1 présente le montage utilisé pour effectuer les mesures expérimentales. Pour le condensateur de mesure Cm, qui est un condensateur plan ayant comme diélectrique le matériau d’étude, sont valables les relations suivantes : (1) dUE /=et , (2) SQD /=où E est l’intensité du champ électrique dans le diélectrique de Cm, U - la tension aux bornes de Cm, D - l’induction électrique, Q - la charge de Cm, d – l’épaisseur du diélectrique et S – l’aire de la surface d’une armature. Par conséquent, la dépendance Q(U) va respecter la même loi que D(E) mais à une autre échelle. Afin de visualiser le cycle d’hystérésis diélectrique il suffit d’appliquer une tension Ux proportionnelle à U entre les plaques verticales de l’oscilloscope et une tension Uy proportionnelle à ∫= idtQ (où i est le courant par le diélectrique du condensateur) entre les plaques horizontales de l’oscilloscope. Le condensateur étalon, de capacité Cet le condensateur de mesure, de capacité Cm, étant connectés en série, leurs armatures ont la même charge Q. Par suite la tension Uet aux bornes de Cet, appliquée, aussi, aux plaques verticales de l’oscilloscope est:

∫ ==etet

et CQidt

CU 1 = Uy. (3)

Cette tension est proportionnelle à Q et, donc, à D. On choisi Cet >> Cm pour que la tension aux bornes de condensateur étalon soit négligeable par rapport à la tension aux bornes du condensateur de mesure. Dans ce cas on peut admettre que la tension aux bornes du condensateur de mesure U est quasiégale à la tension de la source Ua. Pour la mise en évidence de l’hystérésis diélectrique on visualise sur oscilloscope les variations Ux(t) = U(t) et Uy(t) = Uet(t). Puisque Uy est proportionnel à D et Ux est proportionnel a E, le retard (le déphasage) de Uy par rapport à Ux représente le retard de D par rapport a E. On mesure sur oscilloscope le déphasage δh entre D et E. Ensuite, on passe l’oscilloscope en mode XY et on visualise le cycle Uy(Ux) qui représente le cycle D(E) à l’autre échelle. On note les valeurs maximales Uxm et Uym (en divisions). Avec les valeurs des grandeurs mesurées, on calcule les valeurs des parties réelle ε′ et imaginaire ε″ de la permittivité complexe εεε ′′−′= j , du facteur de pertes tg δh et des pertes par hystérésis diélectrique Ph, en utilisant les relations suivantes:

d

Ud

UE xmmm == (4)

SUC

SQD ymetm

m == (5)

hm

mr E

Dδεεε cos0 =′=′ (6)

hm

mr E

Dδεεε sin0 =′′=′′ (7)

(8) SdEPh2εω ′′=

où Um, Qm, Em, Dm sont les valeurs maximales des grandeurs harmoniques (de pulsation ω) U, Q, E et D.

42



Matériau diélectrique

Epaisseur d

Fréquencef

tg δh Xm Em Ym Dm rε ′

rε ′′

Ph

mm Hz div. V/m div. C/m2 W

5. Vérifications des résultats Dans la figure 2 est présentée l’ellipse D(E) pour un diélectrique linéaire, tandis que la figure 3 présente le cycle d’hystérésis D(E) pour un ferroélectrique.

EEm

mD

D

Figure 2. Ellipse D(E) pour un diélectrique linéaire.

D

E

Figure 3. Cycle d’hystérésis

ferroélectrique.

6. Questions • Quelle est l’explication de la non-linéarité très prononcé des ferroélectriques ? • Pourquoi les ferroélectriques ont les valeurs de ′ε r et de δ tg supérieures aux celles

des diélectriques ?

43

II. EXERCICES

EXERCICES

1. Propriétés conductrices des matériaux Exercice 1.1. Calculer en pour-cent la variation du volume et de la densité d’un cristal de fer au passage de l’état Feβ dans l’état Feγ. On connaît: RFeγ = 1,27·10−10 m, RFeβ = 1,241·10−10 m, MFe = 55,487, NA = 6,025·1026 kmol-1.

a) b)

Figure 1. a) Cube au volume centré (CVC); b) Cube aux faces centrées (CFC)

Solution Le Feβ cristallise en CVC et le Feγ en CFC.

La cellule CVC contient: N β = ⋅ + =818

1 2 atomes,

et la cellule CFC contient: N γ = ⋅ + ⋅ =818

612

4 atomes.

Donc, deux cellules CVC se transforment en une cellule CFC. Les côtés et les volumes des deux cellules sont :

m10863,23

10241,143

4 1010

−−

⋅=⋅⋅

=⋅

= ββ

FeRa ⇒ 3103 m 10467,23 −⋅== ββ aV

m105921,321027,14

24 10

10−

−

⋅=⋅⋅

=⋅

= γγ

FeRa ⇒ 3103 m 1034,46 −⋅== γγ aV

La variation du volume est: 3101010 m10585010462321034462 −−−

βγ ⋅−=⋅⋅−⋅=−=Δ ,,,VVV La variation du volume, calculée en pour-cent, est:

%,,,

VV)V( r 251

4672325850100

2100

=⋅

⋅=

⋅Δ⋅

=Δβ

47

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE Exercice 1.2. Calculer la résistivité d’un cristal de cuivre qui contient c = 2⋅10-4 atomes d’argent pour un atome de cuivre et qui se trouve à la température t = 20° C. On connaît: la résistivité du cuivre pur à t = 20 °C, ρ0 = 1,7⋅10-8 Ωm, la concentration volumique des atomes du cristal N = 8,45⋅1028m-3, le rayon de l’ion d’argent Ri = 1,444Å, la masse de l’électron m0 = 9,1⋅10-31 kg, la vitesse de Fermi vF = 1,57⋅106 m/s et la charge de l’électron q = -1,6⋅10-19 C.

Solution On considère l’un des Ne = N électrons libres du cristal qui se déplacent au long de l’axe Ox. Cet électron subit des chocs seulement avec les atomes d’impuretés dont le centre se trouve dans un cylindre de rayon Ri. Supposons que, dans le cas d’une concentration d’impuretés réduite, l’électron subit sur la distance L un nombre de chocs Nc égal au nombre d’impuretés avec les centres dans le cylindre de rayon Ri et de longueur L.

L

qe- V

O

O1

2

xRiRi

Ri

LRNVNN iicic ⋅⋅⋅=⋅= 2π

2

~ 1

iic RNNLl

⋅⋅==

π

2

20

0

2

01i

F*

i~

F*

ii R

qvm

NN

lqN

vm⋅π⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅=

σ=ρ ,

où Ni représente la concentration volumique de impuretés (Ni = c⋅ N), - la masse

effective de l’électron et - le chemin libre moyen;

*0m

l~

En considérant , il résulte: 0*

0 mm ≅

( )( )

Ωm1007301061

104441105711019102 8219

2106314

20

20 −

−

−−− ⋅=

⋅

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅π⋅⋅⋅=ρ ,

,,,,

qRvm

c iFi

La résistivité du cristal est (Mathiessenn):

Ωm10773,1 80

−⋅=+= iρρρ

L’augmentation de la résistivité est:

Δρρρi

i= ⋅ =⋅⋅

⋅ =−

−0

10

8100 7 3 101 7 10

100 4 3%,,

,

48

EXERCICES Exercice 1.3. On considère un cristal d’arséniure d’indium (InAs) sans impuretés à T = 300K. Calculer: a) les temps de relaxation des porteurs de charge: τn et τp; b) la conductivité intrinsèque du cristal σi. On connaît: la masse effective de l’électron mn

* = 0,03m0, la masse effective du trou mp*

= 0,4m0, la mobilité des électrons libres μn = -3,3 m2/Vs, la mobilité des trous μp = 0,046 m2/Vs, la concentration des électrons libres Nn = 1,561·1021 m-3, la masse de l’électron m0 = 9,1·10-31 kg, la charge de l’électron q0 = -1,6·10-19 C.

Solution

a) *

2

n

nnnnnnn m

qNqN τμσ ⋅⋅=⋅⋅= ⇒ μ

τn

n n

n

qm

=⋅

*

Les temps de relaxation sont: ( ) s,

,,,,

qμm

τn

n*n

n13

19

31

106351061

331019030 −−

−

⋅=⋅−

−⋅⋅⋅=

⋅=

s,,

,,,qμm

τp

p*p

p13

19

31

1004611061

0460101940 −−

−

⋅=⋅−

⋅⋅⋅=

⋅= ,

ou qn et qp sont la charge de l’électron, respectivement du trou.

b) La conductivité intrinsèque du cristal est : ( )

( ) S/m 1035680460331061105611 21921

0

⋅=+⋅⋅⋅=

=μ+μ−=μ+μ=σ− ,,,,,

qNqNqN pnnpppnnni

ou : et N Nn p= q qn p= −

Exercice 1.4. La conductivité électrique d’un cristal de silicium pur a la valeur σ1 = 408 μS/m à la température T1 = 300 K et la valeur σ2 = 1,54 mS/m à la température T2 = 320 Κ. Déterminer la largeur de la bande interdite de Fermi wi. Solution Comme le cristal ne contient pas d’impuretés, la conduction électrique est assurée en exclusivité par les électrons et par les trous propres, donc il n’existe que la conduction intrinsèque. Par conséquent:

)2/exp(- = 11,1 kTwC iiσ )2/exp(- = 22,2 kTwC iiσ

En négligeant les variations de Ci,1 et de Ci,2 avec la température, on obtient Ci,1 = Ci,2 et:

21

21

2

1 - 2

= lnTTTT

kwi

⋅σσ ,

respectivement:

2 = 1

2

1 2

12

σσ

−ln

TTTTkwi

et

. eV 1,1 = J 10 76,1 10 40810 54,1

300-320320 300 10 38,1 2 = 19-

6-

3-23- ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅

⋅⋅ lnwi

wi = 1,1 eV.

49

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE Exercice 1.5. Dans un semiconducteur extrinsèque la mobilité des électrons |μn| est trois fois plus grande que la mobilité des trous μp (|μn| = 3μp). En sachant que la résistivité électrique du semiconducteur est ρ = 1,17 Ωm et que les concentrations volumiques des électrons libres et des trous sont Nn = 1019 m-3 et, respectivement, Np = 1020 m-3 calculer les mobilités μn et μp. Solution La conductivité électrique du semiconducteur est donnée par la relation:

σ μ μ μ μ = + = + )N q N q q N Nn n n p p p n n p p0 (− Comme ρσ 1/ = et -μn = 3μp, il résulte:

1 / = 3 + )p pρ μ μq N Nn p0 ( et

)3(

3- = ;)3(

1 =0

n0

pnpnp NNqNNq ++ ρ

μρ

μ ,

respectivement :

Vs./m 0,0411 = )10310(10 1,6 1,17

1 = 2192019-p ⋅+⋅⋅⋅

μ

./Vsm 0,1233- = 0,0411 3- = 2

n ⋅μ Exercice 1.6. La conductivité électrique correspondante aux ions de Na+ dans le sel NaCl a les valeurs : σ1 = 1,96·10-6 S/m à T1 = 550 °C et σ2 = 2·10-4 S/m à T2 = 727 °C. En sachant que la valeur de la constante du réseau pour NaCl est a = 5,63 Å, calculer: a) l’énergie d’activation wa correspondante aux ions de Na (en cal/mol); b) les valeurs du coefficient de diffusion à T1 et à T2 (D1 et, respectivement D2); c) les valeurs des constantes D0 et σ0. On connaît: NA = 6,025·1026 Kmol-1, q0 = 1,6 10-19 C, k = 1,38·10-23 J/K. Solution En utilisant l’expression de la conductivité ionique:

),/exp( = 0 kTwb−σσ (1) il résulte:

),/exp( = 101 kTwb−σσ )/exp( = 202 kTwb−σσ

En tenant compte des ces expressions on trouve:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅

1

2

12

21 ln = σσ

TTTTkwb ,

J10 2,97 101,96

102 ln 8231000

100082310 1,38 19-6-

-423- ⋅=

⋅⋅

−⋅

=bw

. eV 1,86 =J 10 2,97 -19=bw

50

EXERCICES respectivement,

cal/mol. 809 42 18,4

10025,610 2,97 = 18,4

23

19- =⋅

⋅= Aba

Nww

b) En utilisant la relation:

σ = N q D,2

k T (2)

où 328

310-3..

.., m10242)10 (5,63

4 4 = −⋅=⋅

== ,aV

NN

elc

elca

représente la concentration volumique des ions de Na+, Na,c.el. – le nombre des ions et Vc.el – le volume de la cellule élémentaire et q = +q0, il résulte:

/sm 1088,31096,1)106,1(1024,2

8231038,1 = 217621928

23

121

1−−

−

−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=σNq

TkD

/sm 1081,4102)106,1(1024,2

10001038,1 = 215421928

23

2221

2−−

−

−

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅=σ

NqTkD .

c) En utilisant l’expression du coefficient de diffusion D W kTb= D0 exp( / )− ,

il résulte:

/sm1083,88231038,1

1097,2exp1088,3)/exp( = 2623

1917

110−

−

−− ⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅⋅⋅=− kTWDD b

/sm10838 260

−⋅, = D . Avec la relation (1) on obtient:

S/m 1045,48231038,1

1097,210 1,96 )/exp( = 523

196-

110 ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅

⋅⋅⋅=− −

−

kTWbσσ

. S/m 10454 50 ⋅= ,σ

ObservationOn peut constater que si la température dépasse des valeurs supérieures à la température de fusion, le NaCl devient pratiquement conducteur. Exercice 1.7. Pour un cristal d’aluminium on a detérminé expérimentalement les valeurs de la résistivité électrique ρ = 28 nΩm, de la constante de Hall RH = -0,43·10-10 m3/C et de la densité d = 2,7 kg/dm3. Calculer: a) la concentration volumique des électrons libres Nn; b) la mobilité des électrons libres μn ; c) le nombre moyen des électrons libres n qui correspondent à un atome.

51

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE Exercice 1.8. Déterminer la position du niveau limite de Fermi wF(T) = wF pour un cristal pur d’antimoniure d’indium (InSb) qui se trouve à la température ambiante. On connaît: la masse effective de l’électron = 0,013 m*

nm 0, la masse effective du trou

= 0,6 m*pm 0, la constante de Boltzmann k = 1,38·10-23 J/K, q0 = 1,6·10-19 C et

m0 = 9,1·10-31 kg. Exercice 1.9. Sachant que l’oxyde de calcium (CaO) a une structure cristalline de type NaCl, que le coefficient de diffusion des ions de calcium (Ca2+) a les valeurs D1 = 10-14 m2/s à T1 = 2000 K et D2 = 1,58·10-16 m2/s à T2 = 1666 K, et que la constante du réseau est a = 4,81 Å, calculer: a) l’énergie d’activation wb correspondante à la diffusion des ions de calcium (Ca2+)

dans l’oxyde de calcium; b) la valeur du coefficient de diffusion D0 correspondante à une valeur très élevée de la

température (T → ∞); c) les valeurs de la conductivité électrique σ1, σ2 et σ3, correspondantes aux ions de

calcium à T1, T2 et T3 = 300 K, respectivement.

52

EXERCICES

2. Propriétés diélectriques des matériaux

Exercice 2.1. On considère le hélium en état de gaz dans un champ électrique d’intensité E = 106 V/m. Calculer: a) le facteur de polarisation de l’atome d’hélium, αe; b) le moment électrique induit, pe; c) la permittivité relative εre et la polarisation électronique Pe dans les conditions:

p = 105 N/m2, T = 300 K; d) la permittivité relative εre

1 et la polarisation électronique Pe1 dans les conditions:

p1 = 100p et T1 = T. On connaît: NA = 6,025·1026 kmol-1, R = 8314 J/(kmol·K), ε0 = 8,85·10-12 F/m, RHe = 0,582 Å.

Solution a) Le facteur de polarisation électronique est:

241310123

He0 mF10221058201085844 ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅π⋅=⋅ε⋅π⋅=α −−− ,),(,Re

b) Le moment électrique induit pe est:

mC102,210102,2 356410 ⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅= −−EEp eee αα

c) La permittivité relative a l’expression:

εα

εreeN

= + e⋅1

0

,

où NNV

NVe

t= = ν A est la concentration volumique des atomes, V est la volume du gaz

et ν =pVRT

est le nombre de mols.

Il résulte :

325265

m1042,23008314

10025,610 −⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅

=TR

NpN Ae

ε re = +⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−

−1 2 42 10 2 2 108 85 10

1 00006225 41

12

, ,,

,

La polarisation électronique est:

2103525 mC10325102210422 −−− ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= ,,,pNP eee

d) Pour la valeur de la pression p1 = 100 p on obtient :

3272511 m1042,21042,2100100100 −⋅=⋅⋅=⋅=⋅⋅⋅

=⋅⋅

= eAA

e NTR

NpTRNpN

53


εα

εree eN11

0

27 41

121 1 2 42 10 2 2 108 85 10

1 0062= +⋅

= +⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−

−

, ,,

,

28352711 mC1032,5102,21042,2 −−− ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= eee pNP

Exercice 2.2. Dans les conditions normales de pression (p0 = 1 bar) et de température (t0 = 0°C), l’argon (Z = 18), a la permittivité relative εr = 1,00044. Calculer: a) le facteur de polarisation αe; b) le rayon de l’atome d’argon R0; c) le déplacement (x) du centre de la sphère dans laquelle on suppose que se trouvent

les électrons par rapport au centre de l’atome, dans le cas de l’application d’un champ électrique d’intensité E = 104 V/m.

On connaît: NA = 6,025·1026 kmol-1, ε0 = 8,85·10-12 F/m, Vm = 22,41 dm3.

Solution a) Pour les gaz neutres l’expression de la permittivité relative est:

εα

εre eN

= +⋅

10

,

où: NNVe

A

m

= est le nombre des atomes par unité de volume,

est le numéro d’Avogadro et 123 mol10025,6 −⋅=AN Vm = 22,41 dm3 est le volume molaire.

Le facteur de polarisation électronique est: 240

23

81200 Fm10448,1

10025,6)1041,221085,8)100044,1()1()1( −

−

⋅=⋅

⋅⋅⋅⋅−=

−=

−=

A

mr

e

re N

VN

εεεεα

b) En utilisant l’expression du facteur de polarisation électronique , on obtient :

3004 Re πεα =

m10092,11085,84

10448,14

10312

403

00

−−

−

⋅=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅=

πεπα eR .

c) Le moment électrique du dipôle qui se trouve dans un champ électrique E a l’expression:

EPEEp eeee ⋅=+=⋅= αεγαα )(

0

0 (pour les gaz γ = 0 )

De l’autre part, on peut exprimer le moment électrique du dipôle par l’expression:

ep = xq ⋅ , respectivement p Z qe x= ⋅ ⋅0 Il résulte :

m1003,5106,118

1010448,1 1919

440

0

−−

−

⋅=⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

=qZEx eα

54

EXERCICES Exercice 2.3. La permittivité relative de l’oxyde de magnésium (MgO), mesurée dans un champ électrique d’intensité E = 105 V/m et fréquence f = 10 GHz, est εr = 9,6 et l’indice de réfraction n = 1,74. Sachant que MgO cristallise dans la structure de NaCl et que la constante du réseau est a = 4,2 Å, déterminer: a) l’intensité du champ électrique intérieur E0; b) la permittivité relative εre et le facteur de polarisation αe (globale, correspondant aux

ions positifs et négatifs); c) la permittivité relative εri et le facteur de polarisation αi ; d) La polarisation électronique Pe, la polarisation ionique Pi et la polarisation totale P.

Solution a) Avec les relations:

PEE ⋅+=0

0 εγ

EEP re )1(00 −=⋅⋅= εεχε on détermine :

V/m1086,310)]16,9()3/1(1[)]1(1[ 550 ⋅=⋅−⋅+=−+= EE rεγ

b) La permittivité relative qui corresponde au polarisation électronique est: ε re n= = =2 21 74 3 03, , .

En utilisant les relations:

EEP reeee )1(0,0 −=⋅⋅= εεχε et P N p N p N E N Ee e e e e e r= ⋅ + ⋅ = + = ⋅ + − ⋅+ − −+ − +( ) [ ( )]α α α γ ε0 1 1

il résulte :

αε ε

γ εere

rN=

−+ −0 1

1 1( )

[ ( )],

où N = N+ = N- est la concentration des ions du magnésium, respectivement d’oxygène et +eα et −eα sont les facteurs de polarisation correspondants aux deux types d’ions. Le nombre des atomes qui se trouve dans une cellule élémentaire est:

N c el, = + =8 18

6 12

4

et, par conséquent, la concentration des ions est: 328

3103,

,

, m104,5)102,4(

4 −− ⋅=

⋅===

aN

VN

N elc

elc

elc

Le facteur de polarisation électronique est: 240

28

12

mF1086,0)]16,9(

311[104,5

)103,3(1085,8⋅⋅=

−+⋅⋅

−⋅⋅= −

−

eα

c) La polarisation ionique est: P P P E E Ei e r re r r= − e= − − − = −ε ε ε ε ε ε ε0 0 01 1( ) ( ) ( ) (1)

D’autre part: P Ei ei ri= ⋅ E⋅ = −ε χ ε ε0 0 1( ) (2)

55


P N E N Ei i i r= ⋅ ⋅ = ⋅ + −α α γ ε0 1[ ( )]1 . (3) En utilisant (1) et (2) on obtient la permittivité relative ionique:

ε ε εri r re= − + = − + =1 9 6 3 03 1 7 57, , , . En utilisant (2) et (3) on obtient le facteur de polarisation ionique:

240

28

120 mF1079,2

)]16,9(311[104,5

)157,7(1085,8)]1(1[

)1(⋅⋅=

−+⋅

−⋅⋅=

−+−

= −−

r

rii N εγ

εεα

d) Les polarisations Pe , Pi et P ont les valeurs: 26512

0 C/m1079,110)103,3(1085,8)1( −− ⋅=⋅−⋅⋅=−= EP ree εε 26512

0 C/m1082,510)157,7(1085,8)1( −− ⋅=⋅−⋅⋅=−= EP rii εε 26512

0 C/m1061,710)16,9(1085,8)1( −− ⋅=⋅−⋅⋅=−= EP rεε .

On voit que la relation est vérifiée. 26 C/m1061,7 −⋅==+ PPP ie

Exercice 2.4. Sachant que le facteur de polarisation du méthane (CH4) est αe = 2,7·10-

40 Fm2, déterminer la distance entre les centres des charges positifs et négatifs des molécules, quand dans le corps on établit un champ électrique d’intensité E = 1 MV/m. On connaît: ZC = 6, ZH = 1 et q0 = 1,6·10-19 C. Solution Dans le cas des gaz, γ = 0 et on obtient:

0d E = Z q = αp ee et:

d E

Zq= eα

0

,

où d représente la distance entre les centres des charges positives et négatives et Z = ZC + ZH = 6 + 4 = 10 - le nombre total des électrons de la molécule. Il résulte:

d = 2,7 10 m-40⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅−

− −1010 1 6 10

1 69 10 1 69 106

1916 6

,, , Å .

d = 1 69 10 6, ⋅ − Å .

Exercice 2.5. Le diélectrique d’un condensateur plan est constitué d’hélium en conditions normales de pression et de température. Calculer les composantes ε r

' et ε r''

de la permittivité complexe ε r et les valeurs du facteur de pertes par hystérésis

diélectrique tgδh, dans le cas d’un champ électrique harmonique, pour différentes valeurs de la fréquence: a) f = 50 Hz ; b) f = 0.145 PHz; c) f = 2 PHz . On connaît : le nombre des électrons de l’atome d’hélium Z = 2, le volume molaire Vm = 22,414 m3/kmol, la fréquence propre de résonance f0 = 0,15 PHz, ε0 = 8,85 10-12

56

EXERCICES F/m, μ0 = 4π 10-7 H/m, m0 = 9,1 10-31 kg, q0 = 1,6 10-19 C et NA = 6,025 1026 kmol-1, γ = 0. Solution Puisque ce diélectrique présente seulement une polarisation de déformation électronique, pour le calcul les grandeurs ε r

' , ε r'' et tg δh on utilise les relations:

εε

ω ωω ω ω φ

ω ωω ω ω αr

'

0

'

2

'

2= +

⋅ ⋅⋅

−− +

= +−

− +1 10

2

0

02 2

02 2 2 2

02

02 2

02 2 2

N Z qm m

B( )

[( ) ] /( )

[( ) ] 2

εε

ωφω ω ω φ

αωω ω ωr

''

0

02 2

m=

⋅ ⋅⋅ − +

=− +

N Z qm m

B02

0 02 2 2 2

02

02 2 2

/[( ) ] / [( ) ] α 2

tg δ ε εh r

''r' = / ,

où N représente la concentration volumique des atomes de He, ω -la pulsation du champ électrique, ( ) /'ω ω γ ε ω0

202

0 0= − =02

02NZq m (pour les gaz), φ μ ω π= 0 / 6 c q0

202 une

constante de matériau, c = 0,3 Gm/s - la vitesse de la lumière, α φ= / m0 et B NZq m= 0

20 0/ ε .

On a: -11415

00'0 s 10425,91015,022 ⋅=⋅⋅=== ππωω f

N N VA m= = ⋅ = ⋅/ , / , ,6 025 10 22 414 2 69 1026 25 m-3

φ ππ

= ( ) ( ) Ns / m4 10 1 6 10 9 425 106 3 10

5 05 107 19 2 14 2

824⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

− −−, , , .

α = 5,05 10 s-24

-1⋅⋅

= ⋅−9 1 10

5 55 1031

6

,,

B = 2,69 10 (1,6 10 ) s25 -19 2

-2⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅− −

28 85 10 9 1 10

1 71 1012 31

29

, ,, .

a) Pour f = 50 Hz, la pulsation ω = 2π·50 = 314,16 rad/s est très inférieure à la pulsation de résonance rad/s et les relations de calcul se simplifient:

10425,9 140

'0 ⋅==ωω

ε ωε αω ω

r' '

r' ' '

( )( )

= +

=

1 02

04

BB

// .

Il résulte: ε r

' 29 14 2= 1 + 1,71 10 (9,425 10 )⋅ ⋅ =/ ,1193

ε r' ' 29 14 4= 1,71 10 (9,425 10 )⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ −5 55 10 314 16 3 778 106 2, , / , 2

tg h δ =⋅

= ⋅−

−3 778 101193

317 1022

22,,

, .

b) Pour f = 1,45·1014 Hz on obtient les valeurs:

57


ω = 2π·1,45 1014 = 9,111 1014 s-1

ε r' 29

2 2

2 2 2 2= 1 + 1,71 10 ( ) ( )

[( ) ( ) ] ( ) ( )

=

⋅2

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=9 425 10 9 111 10

9 425 10 9 111 10 9 111 10 5 55 10

3 938

14 14

14 14 14 6

, ,, , , ,

,

ε r' ' 29

2 2 2 2= 1,71 10

[( ) ( ) ] ( ) ( )

=

⋅2

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ −

5 55 10 9 111 109 425 10 9 111 10 9 111 10 5 55 10

2 552 10

6 14

14 14 14 6

7

, ,, , , ,

,

tg h δ =⋅

= ⋅−

−2 552 103 938

6 48 107

8,,

, .

c) Pour f = 2 PHz on obtient les valeurs:

ω = 2π⋅2⋅1015 = 12,56 1014 s-1

ε r' 29

2 2

2 2 2 2= 1 + 1,71 10 ( ) (12,56 )

[( ) (12,56 ) ] (12,56 ) ( )

= ,752

⋅2

⋅ − ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=9 425 10 10

9 425 10 10 10 5 55 10

0

14 14

14 14 14 6

,, ,

ε r' ' 29

2 2 2 2= 1,71 10

[( ) ( ) ] ( ) ( )

=

⋅2

⋅ ⋅ ⋅⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ −

5 55 10 12 56 109 425 10 12 56 10 12 56 10 5 55 10

2 5 10

6 14

14 14 14 6

8

, ,, , , ,

,

tg h δ =⋅

= ⋅−

−2 5 100 752

3 32 108

8,,

, .

Observations 1) Dans des champs électriques aux fréquences industrielles, la permittivité relative εr

a des valeurs proches de 1, et les pertes par hystérésis diélectrique sont extrêmement réduites (tg δh = 10-22).

2) Pour des valeurs de la fréquence proches de la valeur de résonance, εr et tg δh présentent des variations importantes (pour f = 0,145 PHz, tg δh a une croissance de 14 ordres de grandeur).

3) Pour les fréquences supérieures a f0 (mais très proches de cette valeur), εr devient inférieur à 1. Ainsi, on met en évidence le phénomène de dispersion anomale du diélectrique.

58

EXERCICES Exercice 2.6. On considère un corps gazeux constitué des atomes d’hélium. Sachant que le moment électrique induit dans un atome par un champ électrique d’intensité E = 106 V/m est pe = 4,3·10-35 Cm, calculer la valeur de la polarisation P du corps qui se trouve à la température T0 = 293 K et à la pression p = 10 bar. Exercice 2.7. La molécule de l’acide chlorhydrique (HCl) a le moment électrique dipolaire pp = 3,5·10-30 Cm. Supposant que le gaz se trouve à 0 oC dans un champ électrique d’intensité E = 1 MV/m, déterminer la pression du gaz pour laquelle la polarisation a la valeur P = 4·10-8 Cm-2. Exercice 2.8. La permittivité relative de la chlorure de potassium mesurée aux fréquences optiques est ε(∞) = 2.1. Calculer la valeur du facteur de polarisation des ions de potassium (α+) sachant que KCl a le même type de réseau cristalline que NaCl, et que la constante du réseau est a = 6,29 Å. On connaît: le facteur de polarisation électronique de l’ion de chlore α- = 3,4·10-40 Fm2 et la permittivité du vide ε0 = 8,85·10-12 F/m.

59


60

EXERCICES

3. Propriétés magnétiques des matériaux

Exercice 3.1. L’induction de saturation d’un cristal de fer est BB

M S

s = 2,1 T. Déterminer : a) l’aimantation à saturation Ms ; b) le nombre moyen de magnétons de Bohr-Procopiu nBP correspondants à un atome du

cristal considéré. On connaît: la masse atomique relative du fer M = 55,85, la densité d = 7,87 kg/dm3, la valeur du magnéton de Bohr-Procopiu mBP = 9,27⋅10-24 Am2, le nombre d’Avogadro NA = 6,025⋅1026 kmol-1 et la perméabilité du vide μ0 = 4π⋅10-7 H/m.

Solution a) La loi de la liaison entre l’induction, l’intensité du champ magnétique et l’aimantation, écrite pour l’état de saturation est:

B M HS S S= + ≅μ μ0 ( ) 0 (car MS >>HS ). On obtient :

A/m1067110412 6

70

⋅=⋅π

=μ

= − ,,BM S

S

b) D’autre part : M N m N n mS P BP BP= ⋅ = ⋅ ⋅

où: N N dMA= est la concentration volumique des atomes de fer.

Il résulte :

1221027910877100256

85551067124326

6

,,,,

,,mdNMM

mNM

nBPA

S

BP

SBP =

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⋅⋅⋅

=⋅

= −

Observations1. Pour l’atome de fer isolé on obtient, théoriquement, nBP = 4. La valeur plus petite du

nBP obtenue – en utilisant la valeur mesurée de BBs - dans le cas du cristal (nBP = 2,12) est due aux orientations différentes des spins des électrons par rapport aux orientations des spins dans les atomes isolés (considérés identiques).

2. Evidemment, les valeur du nBP des atomes neutres diffèrent de ceux des ions. Exercice 3.2. La susceptibilité magnétique d’un cristal de nickel (Ni) a la valeur χm1 = 4,35⋅10-4 à la température T1 = 773 K et la valeur χm2 = 1,1⋅10-4 à la température T2 = 1173 K. Calculer: a) la valeur de la température de Curie de paramagnétisme θ ; b) le nombre moyen de magnétons de Bohr-Procopiu nBP. On connaît: la masse atomique relative du nickel M = 58,71, la densité du nickel d = 8,9 kg/dm3, k = 1,38·10-23 J/K, NA = 6,025⋅1026 kmol-1, mBP = 9,27⋅10-24 Am2, μ0 = 4π⋅10-7 H/m. Solution a) La susceptibilité des ferromagnétiques est donnée par la relation Curie-Weiss:

χθm

CT

=−

.

En écrivant cette relation pour T1 et pour T2, il résulte:

61


K6637101110354

117310117731035444

44

21

2211 ,,,,,TT

mm

mm−−

−−

⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅

=χ−χ

⋅χ−⋅χ=θ

b) La constante C a l’expression: C N mp= ⋅ ⋅μ 0

2 / k

où: mp= nBP⋅mBP est le moment magnétique d’un atome, et N N dMA= est la

concentration volumique des moments magnétiques (des atomes). Il résulte:

kmNT pm /)( 20 ⋅⋅=− μθχ

N)T(k

mn m

BPBP ⋅μ

θ−⋅χ⋅=

0

1

et 28

326

101397158

1098100256⋅=

⋅⋅⋅= ,

,,,N m-3

( ) 2870

1013910466371173101110381

102791

287

423

24 ,,

,,,,

nBP =⋅⋅⋅π

−⋅⋅⋅⋅

= −

−−

−

Observations: 1. Expérimentalement θ = 631 K; 2. Pour l’atome de nickel isolé on a obtenu théoriquement : nBP = 2. Exercice 3.3. Un cristal de fer ayant la température de Curie de paramagnétisme θ = 1093 K est introduit dans un champ magnétique d’intensité H = 24 kA/m. Calculer: a) la constante de Weiss γ; b) l’intensité du champ magnétique intérieur H0. On connaît: la masse atomique relative du fer M = 55,85, la densité d = 7,87 kg/dm3, l’induction de saturation du fer BBs = 2,1 T, le magnéton de Bohr-Procopiu mBP = 9,27⋅10 Am , le nombre moyen de magnétons Bohr-Procopiu de l’atome du fer n

-24 2

BP = 2,1, NA = 6,025⋅10 kmol et μ26 -10 = 4π⋅10 H/m. -7

Solution a) La température de Curie de paramagnétisme a l’expression:

θ γ= ⋅ C , où , mkmNC p /)( 2

0 ⋅= μ p = nBP.mBP et N est la concentration volumique des moments

magnétiques.

Il résulte : 28326

104888555

10877100256⋅=

⋅⋅⋅== ,

,,,

MdN

N A m-3

K 9262,C =

62

EXERCICES

5,373==Cθγ

b) L’intensité du champ magnétique intérieur a l’expression: H H M0 = + ⋅γ Pour H = 24 kA/m, le cristal atteint la saturation magnétique, et donc M ≅ MS . Il résulte:

( )SS MHB +μ= 0

A/m10641102410412 63

70

⋅=⋅−⋅π

=−μ

= − ,,HB

M SS

et 6161064153731024 63

0 ≅⋅⋅+⋅=⋅γ+= ,,MHH S MA/m.

Exercice 3.4. Entre les pôles d’un électroaimant (figure 1) on place un tube en forme de U, de manière qu’une seule branche soit située dans le champ. On introduit dans le tube un fluide paramagnétique (par exemple eau oxygéné : χm = 2 105). Le niveau du fluide est fixé sous l’axe de symétrie N-S des pôles magnétiques. Dans quel sens se produit la dénivellation du fluide quand dans les bobines de l’électroaimant on établit un courant électrique d’intensité I ?

Figure 1. Fluide paramagnétique dans un champ non-uniforme

Solution A cause de la forme spéciale des pôles magnétiques, le champ magnétique est fortement non- uniforme: son intensité a la valeur maximale dans les points situées sur l’axe N-S et décroît quand la distance de l’axe augmente. Par suite, comme le fluide est paramagnétique ( M et H sont omoparalleles), il va se déplacer dans la zone où le champ est plus intense et, en conséquence, le fluide va monter dans la branche placée entre les pièces polaires (branche A). ObservationLes valeurs des susceptibilités des corps paramagnétiques sont réduites, mais positives (par rapport à celles des matériaux diamagnétiques) (Tableau 4.1).

Tableau 4.1 Les valeurs des susceptibilités des corps paramagnétiques χm,p

Elément Li Na K Mg Al Ca Sr Ti V χm,p x 106 2,38 0,85 0,59 1,19 2,10 1,50 3,33 18,01 35,80

Elément Y Zr Nb Mo Pd Pt U χm,p x 106 10,30 10,56 23,70 10,68 79,80 26,14 66,40

63

SCIENCE DES MATERIAUX DE L’ELECTROTECHNIQUE Exercice 3.5. Pour deux alliages Ni-Cu, ayant les concentrations des atomes de cuivre η1 = 10 % et η2 = 38 % on détermine expérimentalement les valeurs du nombre de magnétons de Bohr Procopiu n (n1 = 0,5, respectivement n2 = 0,18) et de la température de Curie de paramagnétisme θ (θ1 = 520 K, respectivement θ2= 200 K). Déterminer: a) Les moments magnétiques atomiques moyens (mp1 et mp2); b) Le moment magnétique atomique moyen dans le cristal du nickel pur (mp) et le

nombre moyen des magnétons Bohr-Procopiu (n); c) Les susceptibilités magnétiques des alliages (χm,1 et χm,2) à T = 773 K. On connaît: μ0 = 4π·10-7 H/m, k = 1,38·10-23 J/K, mBP = 9,27·10-24 Am2, NA = 6,025·1026 kmol-1, M = 58,71 et d = 8,9 kg/dm3. Solution a) Les moments magnétiques atomiques moyens ont les valeurs:

m n mp BP1 124 240 5 9 27 10 4 635 10= = ⋅ ⋅ = ⋅− −, , , Am 2 ,

m n mp BP2 224 240 18 9 27 10 1 669 10= = ⋅ ⋅ = ⋅− −, , , Am 2 .

b) On détermine le moment magnétique atomique moyen de l’atome dans le cristal pur (mp) avec la relation:

BPpap mvmm 100,η

−= ,

où mp,a représente le moment magnétique atomique moyen de l’atome dans l’alliage, η - la concentration des impuretés et v - leur valence (pour cuivre v = 1). Il résulte:

BPBPpp mvnmvmm 100 =

100 + = 1

11

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ηη ,

respectivement,

mp = + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅ ⋅ = ⋅− −0 5 10

1001 9 27 10 5 562 1024 24, , , Am 2 .

Le nombre moyen des magnétons de Bohr-Procopiu est:

100 = = 1

1 vnmm

nBP

p η+ ,

respectivement,

n = + ⋅ =0 5 10100

1 0, ,6 .

c) Pour déterminer la valeur de la constante de Weiss γ on utilise la relation suivante: θ γ= C ,

où C Nmp = kμ 02 / représente la constante de Curie.

En considérant que la concentration de particules est constante et égale à la valeur correspondante du cristal pur :

NNM

dA= =⋅

⋅ ⋅ = ⋅6 025 10

58 718 9 10 9 133 10

263 2,

,, , m-38 ,

il résulte:

CNmk

Nn mk

p BP1

0 12

0 12 2

= μ μ

=

64

EXERCICES

CNmk

Nn mk

p BP2

0 22

0 22 2

= μ μ

=

et ensuite:

C1

7 28 24 10 9 133 10 0 5 0 1786=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−π , , ,(9,27 10 )1,38 10

K-24 2

-23 ,

C2

7 28 24 10 9 133 10 0 18 0 0232=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅=

−π , , ,(9,27 10 )1,38 10

K-24 2

-23,

Finalement:

γθ

11

1

5200 1786

2912= = =C ,

γθ

22

2

2000 0232

8621= = =C ,

.

b) Pour calculer les susceptibilités magnétiques on utilise la relation de Curie-Weiss. On obtient:

χθm

CT1

1

1

40 1786773 520

7 06 10=−

=−

= ⋅ −, ,

χθm

CT2

2

2

50 0232773 200

4 05 10=−

=−

= ⋅ −, ,

Observation La croissance du contenu des impuretés détermine une réduction du nombre moyen des magnétons de Bohr-Procopiu de l’atome de nickel et, évidement, la température de Curie de paramagnétisme. Exercice 3.6. Déterminer l’induction de saturation de la ferrite de nickel [(NiFe4O4)8]. La cellule élémentaire de la ferrite est cubique et a la contante de réseau a = 8,34 Å. On connaît: ZFe = 26, ZNi = 28, mBP= 9,27·10-24 Am2 et μ0 = 4π·10-7 H/m. Solution A la saturation on a Ms >>Hs et, en tenant compte de la loi de liaison entre l’induction, intensité du champ magnétique et l’aimantation, il résulte:

B Ms s= μ 0 . L’aimantation de saturation Ms est:

M N m m vs p c el c el= = . ./ . où mc.el. représente le moment magnétique résultant de la cellule élémentaire, vc.el. = a3 - le volume de la cellule élémentaire. Le moment mc.el. est obtenu comme la somme vectorielle des moments magnétiques permanents des ions de Fe et de Ni résultants et des moments magnétiques de spin (voir Tableau 4.2.). L’orientation des spins et des moments propres des ions est la suivante:

↑ Fe3+ : 8 x 5 = 40 mBP avec l’orientation ↑ ↓ Fe3+ : 8 x 5 = 40 mBP avec l’orientation ↓ ↑ Ni2+ : 8 x 2 = 16 mBP avec l’orientation ↑ .

65


Le moment magnétique résultant de la cellule élémentaire mc.el. a le module mc.el. = 16 mBP et l’orientation ↑ .

Tableau 4.2. Les valeurs théoriques des moments magnétiques des atomes (ions) Atome (ion)

N° elec.

1s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 4d L’ordre des spins mp

Fe 26 2 2 6 2 6 6 2 - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ 4mBP

Ni 28 2 2 6 2 6 8 2 - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ 2mBP

Fe3+ 23 2 2 6 2 6 5 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 5mBP

Ni2+ 26 2 2 6 2 6 8 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ 2mBP

Fe2+ 24 2 2 6 2 6 6 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ 4mBP

Mn2+ 23 2 2 6 2 6 5 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ 5mBP

Co2+ 25 2 2 6 2 6 7 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ 3mBP

Cu2+ 27 2 2 6 2 6 9 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓ 1mBP

Mg2+ 10 2 2 6 - - - - - - ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ 0 Li+ 2 - - - - - - - - - ↑ ↓ 0

Zn2+ 28 2 2 6 2 6 10 - - - ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓↓

0

Cd2+ 46 2 2 6 2 6 10 2 6 10 ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↓ ↓ ↓ ↓↓

0

L’aimantation de saturation est

MA/m.0,2557A/m102557,0)10(8,34/1027,916/ 16/ 63-10243

....

=⋅=⋅⋅⋅=== −

s

BPelcelcs

MamvmM

et l’induction de saturation résulte: B Ms s= ⋅ ⋅ ⋅ =μ π0

60 2557 10 0 321 = 4 10 T-7 , , T 321,0=sB .

Observations1. La valeur de l’induction de saturation calculée est proche de la valeur expérimentale

BBs = 0,37 T. 2. La valeur du moment magnétique moléculaire est mp,molec = mc.el./8 = 16mBP/8 = 2mBP.

Exercice 3.7. Pour un cristal de cobalt (Co) pur, aimanté à la saturation on a déterminé l’induction BBs = 1,7 T pour l’intensité du champ magnétique H = 30 kA/m. Calculer : a) la perméabilité magnétique relative statique μrs et la susceptibilité magnétique χm; b) l’aimantation à saturation Ms ; c) le moment magnétique propre moyen de l’atome de Co ; d) le nombre moyen des magnétons de Bohr-Procopiu nBP qui correspondent à un

atome ; e) la constante de Weiss. On connaît : la température Curie de paramagnétisme θ = 1388 K, la densité d = 8,9 kg/dm3, la masse atomique relative du cobalt M = 58,9332, le magnéton de

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EXERCICES Bohr-Procopiu mBP = 9,7·10-24 Am2, le nombre d’Avogadro NA = 6,025·1026 kmol-1 et μ0 = 4π·10-7 H/m. Exercice 3.8. Pour un cristal antiferromagnétique d’oxyde de manganèse (MnO) on a déterminé expérimentalement les valeurs de la susceptibilité magnétique à T1 = 150 K et à T2 = 250 K, en obtenant χm1 = 10,4·10-4 et, respectivement χm2 = 9,17·10-4. Calculer la température de Curie asymptotique θ’. Exercice 3.9. Le noyau ferromagnétique d’une bobine de section 1 x 1 cm2 est réalisé en tôle de fer silicié laminée à froid qui a l’épaisseur g = 0,35 mm, la densité d = 7,65 kg/dm3 et de résistivité ρ = 4.8·10-7 Ωm. Pendant le fonctionnement de la bobine, dans le noyau on établit un champ magnétique d’induction B = 0,3 T et de fréquence variable. Calculer les pertes spécifiques par courants de Foucault dans les cas suivants : a) f1 = 50 Hz ; b) f2 = 1 MHz ; c) On remplace le noyau en tôle par un noyau similaire en ferrite Ni-Zn avec

ρ = 103 Ωm et d = 4,5 kg/dm3.

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GUIDE DE LABORATOIRE ET EXERCICES Bibliographie 1. A. Ifrim, P. Notingher, Materiale electrotehnice, Ed. Didactica si Pedagogica,

Bucuresti, 1992. 2. A. Ifrim, V. Fireteanu, P. Notingher, D. Stanciu, Indrumar de laborator de

materiale electrotehnice, Litografia IPB, 1985. 3. P. Notingher, I. Radu, Materiale electrotehnice – Aplicatii, Litografia IPB, 1992. 4. P. Robert, Matériaux de l’électrotechnique, Presses polytechniques romandes,

Lausanne, 1989. 5. P. Brissonneau, Magnétisme et matériaux magnétiques pour l’électrotechnique, Ed.

Hermès, Paris, 1997. 6. E. Burzo, Magneti permanenti, Editura Academiei, Bucuresti, 1986. 7. A. Nicula, F. Puskas, Dielectrici si feroelectrici, Ed. Scrisul Romanesc, Craiova,

1982. 8. M. Dragomirescu, P. Svasta, O. Dragomirescu, Materiale si componente electronice

– Indrumar de laborator, Litografia IPB, 1973.

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