Schema lezione 5 Non centrerò Intervalli di confidenza ... · – tramite esercizi di interesse applicativo Schema lezione 5 ... di essi, ottenendo una media campionaria uguale a

11Statistica per la biologia 1 a.a. 2002-2003 Lauree specialistiche in biologia, Univ. Torino

COMPRENDERE:– Significato di intervallo di confidenza– Uso degli stimatori come quantità di pivot per stime intervallari

IMPARARE:– popolazioni normali: come determinare intervalli di confidenza

per media, varianza, differenza tra due medie– campioni di taglia grande: come determinare intervalli di

confidenza per la media– proporzioni e differenze tra proporzioni: come determinare

intervalli di confidenza

DISTINGUERE:– precisione da affidabilità

ELABORARE:– tramite esercizi di interesse applicativo

Schema lezione 5Intervalli di confidenza

Non centrerò quella barca, nesono convinto al95%


Probabilità di un intervallo/intervallo di confidenza 1

Modello teorico: il vero valore di µ è compresonell’intervallo con probabilità 0.95

Attenzione: qui si parla diconfidenza e non di probabilità! Ilvero valore di µ può o menoessere compreso nell’intervallotrovato, però se calcolassi tantiintervalli di confidenza, nel 95%di essi il vero valore di µcadrebbe all’interno dell’intervallo

Esempio :Livello di confidenza

Coefficiente di affidabilità

Con confidenza al 95% possiamo affermare:


Probabilità di un intervallo/intervallo di confidenza 2

Ogni intervallo può omeno contenere il verovalore di µ però per il95% degli intervalli ilvero valore di µ ècompreso.

E’ un vero lavoro dadetective: raduniamo leinformazionidisponibili per scoprirela verità: il vero valoredi µ !

x1

36

x2

24

x3

39

x10

20

x15

27

Vera distribuzione;µ=30, però

l’investigatore nonpuò saperlo.

Un ricercatore vuole determinare il livello di un certoenzima in una popolazione umana. Considera 10individui e determina il livello dell’enzima per ciascunodi essi, ottenendo una media campionaria uguale a 28.Sappiamo che la variabile di interesse è N(µ,45).Vogliamo stimare µ.Soluzione:


Intervalli di confidenza:precisione della stima

L’unico modo per ottenere un’alta probabilità perl’intervallo e un’alta precisione è di aumentare la tagliadel campione. Diversamente se aumenta la precisionedella stima diminuisce la confidenza dell’intervallo.

Per avere un intervallo di confidenza piccolo(molto preciso) devo correre il rischio che il verovalore non sia compreso in esso. E’ come centrareun bersaglio in un tiro a segno. Se il bersaglio èpiccolo la probabilità di non centrarlo è alta.

Posso avere più intervalli con

lo stesso livello diconfidenza: sceglierò

quello più preciso


Intervalli di confidenza: definizione

Definizione: Intervallo di confidenza di livello 1-α per τ(θ)


Tecnica per determinare un intervallo di confidenza:

1. Determiniamo una variabile aleatoria, tale che nella sua espressione siacoinvolto il parametro da stimare ma di cui sia nota la distribuzione, chenon coinvolge il parametro da stimare

Esempio: X±1.96 σ/Ïn

2. Sostituisco alle variabili aleatorie il valore stimato.

Nota: nel momento in cui sostituisco la stima alle variabili aleatorie nonposso più parlare di probabilità. L’intervallo sarà verificato con una certa

CONFIDENZA.

Devo scegliere queste variabili in un modo “furbo”: laloro distribuzione non deve coinvolgere il parametro dastimare!

Probabilità di un intervallointervallo di confidenza


Esempio

Perché l’intervallo al 99% è

più grande di quello al 95%?E’ ragionevole o hai sbagliato

i calcoli?


Intervallo di confidenza per la media

Popolazione normale σσσσ sconosciuta

Variabile casuale da utilizzare: Intervallo di confidenza di livello 1-α:

T di Studentcon n-1 gradi di

libertà

L’intervallo ha lunghezza minima se è simmetrico

Popolazione normale o campione di taglia grande, σσσσ notaVariabile casuale da utilizzare: Intervallo di confidenza di livello 1-α:

Se n è grandela T di

Student tendea una normalee ricadiamo

nel casoprecedente

Gli scienziati sonosicuri al 99% che il

rientro nell’atmosferaavverrà lì: è un’area

grande senza pericoli,posso sentirmi

tranquillo


Intervallo di confidenza per la mediascelta della statistica corretta

z

t z

n < 30

La varianza èNOTA ?

z t


Il campione èGRANDE ?

z t z


metodinon parametrici

metodinon parametrici


Il campione èGRANDE ?

La Popolazione èNORMALE ?

sì no

sì no sì no

sì no sì no sì no sì no

sì no


Semiampiezza dell’intervallo

Determinazione della taglia del campioneper ottenere intervalli con confidenza prefissata

Popolazione grandeCampionamento CON reinserimento

Popolazione piccolaCampionamento SENZA reinserimento

2


Intervallo di confidenza per la varianza

Attenzione: il Chi quadroè una variabile sempre positiva

Probability Density Functiony=chi2(x;6)

0,000

0,044

0,087

0,131

0,175

0,00 6,25 12,50 18,75 25,00

Popolazioni normali


Segue la distribuzione del Chiquadro con n-1 gradi di libertà


Intervallo di confidenza per differenze tra due medie

Variabile casuale da utilizzare:

Popolazioni normali o campioni di taglia grande, σσσσ1111 e σσσσ2222 note

Intervallo di confidenza di livello 1-α:

(1-α/2) (1-α/2)-

Popolazioni normali σσσσ1111 e σσσσ2222 sconosciute ma uguali


(1-α/2)

Dove:

+t-(1-α/2)-t


Intervallo di confidenza per differenze tra due medie

Popolazioni normali σσσσ1111 e σσσσ2222 sconosciute e diverse

Non segue più la distribuzione di Student con n1+n2-2gradi di libertà

Variabile casuale da utilizzare:

Dove: con:

Intervallo di confidenza approssimato di livello 1-α:


Intervallo di confidenza per proporzioni

Campioni di taglia grandeVariabile casuale da utilizzare: Intervallo di confidenza di livello 1-α:

Ho un problema:la varianzadipendedal parametro dastimare p

E’ vero, però possiamostimare la varianza tramiteSn/n Ovviamente cosìintroduciamo una nuovaapprossimazione ma ètrascurabile


Intervallo di confidenza per proporzioni

Se il campione è di taglia piccolal’intervallo di confidenza non puòutilizzare l’approssimazionenormale. I calcoli vanno fattiusando la binomiale: sono calcolidifficili! Per fortuna esistono deigrafici che possono venir utilizzatiin questi casi.

Taglia del campione per intervalli diampiezza prefissata

Popolazione infinitaconreimbussolamento

Popolazione finita, senza reimbussolamento


Intervallo di confidenza per differenze traproporzioni con n1 e n2 GRANDI

2

Esempio: Dei ricercatori vogliono confrontare gli effetti di due diverse cure sul tempo diricovero di pazienti con una certa malattia. Si scelgono 200 pazienti a caso e si dividono in duegruppi uguali. Nel primo gruppo i pazienti ricevono il trattamento standard e 78 vengonodimessi entro 3 giorni. Degli altri 100, che hanno sperimentato il nuovo metodo, 90 sonodimessi entro 3 giorni. I medici vogliono stimare la differenza tra le due proporzioni di malatiche vengono dimessi entro 3 giorni usando un livello opportuno (p.es. 95%).Soluzione:


Intervallo di confidenza per il rapporto tra levarianze di due popolazioni normali

Popolazioni normali


Segue la distribuzione di Fisher con(n1-1, n2-1) gradi di libertà

Attenzione: la variabile di Fisher è sempre positiva

ed è tabulata (5,5)(10,5)(10,50)

Distribuzione di Fisher

0.000

0.375

0.750

1.125

1.500

0 1 2 3 4


Come faccio a determinare F0.025 con n1 en2gradi di libertà? Sulle tavole non c’è!


Esempio: Dei ricercatori selezionano un campione di 21 adulti apparentemente sani(campione 1). Indipendentemente selezionano un campione di taglia 16 da una popolazionedi pazienti con il morbo di Parkison (campione 2). La variabile che li interessa è il tempo direazione a un certo stimolo. Le varianze campionarie risultano 1600, per il primo campione,e 1225 per il secondo. Per confrontarle i ricercatori vogliono un intervallo di confidenza al95% per il rapporto

Soluzione

Dati del problema

Dalle tavole della distribuzione di Fishercon (20,15) gradi di libertà


Esercizi

• Si sono effettuate 40 misure del tempo di caduta (in centesimi di secondo)di un sasso da una certa altezza al suolo

63 58 74 78 70 74 75 82 68 6976 62 72 88 65 81 79 77 66 7686 72 79 77 60 70 65 69 73 7772 79 65 66 70 74 84 76 80 69

a. Stimare la deviazione standard delle 40 misureb. Calcolare la media delle 4 misure di ciascuna della colonne. Si può pensare aquesti dati come risultanti da 10 esperimenti, in ciascuno dei quali si è trovata lamedia di 4 tempi. Dato il risultato della parte a., cosa vi aspettate per ladeviazione standard delle 10 medie?c. Determinare un intervallo di confidenza al 99% per il tempo medio di cadutadel sasso.


• Cinque persone si sono fatte misurare la capacità respiratoria prima edopo un certo trattamento, dando luogo ai seguenti risultati:

Individuo Prima (X) Dopo (Y) VariazioneA 2750 2850 +100B 2360 2380 +20C 2950 2800 -150D 2830 2300 +30E 2250 2300 +50Si costruisca un intervallo di confidenza al 95% per µX - µΨ. Supponendo di aver

campionato da popolazioni normali caratterizzate dalla stessa varianza.


• Sedici stazioni meteorologiche, localizzate a caso in uno stato dalclima uniforme, misurano la caduta di pioggia. Nel 1999 registraronouna media di 10 pollici ed una deviazione standard di 1.5 pollici.Costruite, per la caduta media di pioggia nello stato:

– un intervallo di confidenza al 95%– un intervallo di confidenza al 99%

• Date le seguenti caratteristiche di due campioni casuali estratti da duepopolazioni

n1 =25 X1 =60.0 s1 =12n2 =15 X2 =68.0 s2 =10supponendo σ1= σ2 si determini un intervallo di confidenza al 95% per µ1- µ2


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Schema lezione 5 Non centrerò Intervalli di confidenza ... · – tramite esercizi di interesse applicativo Schema lezione 5 ... di essi, ottenendo una media campionaria uguale a