KÜMELER

KÜME:Nesnelerin iyi tanımlanmış bir listesidir.Kümeyi oluşturan nesnelere Kümenin Elemanları denir.

Kümeler;A,B,C,D,...gibi büyük harflerle gösterilir. Kümede bir eleman birden fazla yazılamaz.Elemanların,

kümenin içerisinde yer değiştirmesi kümeyi değiştirmez A kümesinin eleman sayısı s(A) ile gösterilir.1

KKOONNUULLAARR

KONULAR

Kümenin Gösterilişi Eşit Küme

Boş KÜME Alt KÜME

Öz Alt KÜME Evrensel KÜME,Tümleme

Kümelerin BirleşimiKÜMELERİN KESİŞİMİ

İKİ KÜMENİN FARKI Sonlu ve Sonsuz Küme

KÜMENİN GÖSTERİLİŞİ

10 Tabanında,elemanları 5 ten büyük rakamlardan oluşan kümeyi 3 ayrı yöntemle gösterilir.

1)Liste yöntemi: Elemanları küme parantezi({ })içerisine alıp,her bir eleman arasına virgül ( , ) gelecek şekilde yazılılır ve kümeler adları büyük harfle yazılır.

2)Ven Şeması: Düzgün kapalı şekil içerisine eleman yazılarak küme oluşturulur.

3)Ortak Özellik yöntemi: A={ x I x,10 tabanındaki beşten büyük rakamlar}veya A={ x I x 5ve x 10 tabanındaki rakamlar }

.3.3.5.5

Konuyla İlgili Sorular

A

A={a,1,2,{ 1 }}kümesi kaç elemanlıdır.

E={Eylül,Ekim,kasım} ortak özellik yönteminle yazınız.

SORULAR

EŞİT KÜME

Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir

ÖRNEK:A={ 1,2,5,10} B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit

olduğunu gösterelim. ÇÖZÜM:

Konuyla ilgili sorularKonuyla ilgili sorular

Aynı elemanlardan oluşan iki kümeye Eşit Küme denir ÖRNEK:A={ 1,2,5,10} B={x I x,10 sayısının pozitif tam bölenleri}kümelerinin eşit

olduğunu gösterelim.

ÇÖZÜM:10 sayısının pozitif tam bölenleri 1,2,5,10 dur O halde, B={1,2,5,10} dur Aile B kümeleri eşittir.A=B şeklinde gösterilir

eşit küme

ÖNCEKİ slayt

A={1,2,5,10} B={xI x,10 sayısının pozitif tam bölenleri} kümesi

eşitimidir?neden.

SORULAR

Sonlu ve Sonsuz Küme

SONLU KÜME: Elemanlarının sayısı bir doğal sayı olan kümeye sonlu küme denir.

SONSUZ KÜME:Sayılamayacak kadar çok elemanlı olan kümeye sonsuz küme denir.

ÖRNEK:A={xI x 2,-3 X 5} S(A)=8 A kümesi Sonlu küme B={x I x R,-3 X 5} B kümesi sonsuz küme olur.

Hiçbir elemanı olmayan kümeye BOŞ KÜME denir.Boş küme {} sembolüyle gösterilir.Boş kümenin eleman sayısı sıfır dır.

BOŞ KÜME

Bir kümenin kendisinden başka bütün Alt kümelerine bu kümenin ÖZ ALT KÜMESİ denir. N elemanlı bir kümenin “ALT küme-1”sayıda Öz altküme sayısı var.

A={x,y}kümesinin öz alt kümeleri { } ,{x} ,{y} dır

Konuyla İlgili SorularKonuyla İlgili Sorular

öz ALT KÜME

SORULAR

A ve C kümesinin Öz Alt kümelerinin sayısı63 ile 15 tir. Buna göre , S(A)-S(C) yi bulunuz?

A={x:3 x 7,x tamsayı } kümesinin öz alt küme sayısını bulunuz?

A kümesinin Alt küme sayısı, B kümesinin Alt küme sayısının 5 katıdır.buna göre,S(A)- S(B) değerini bulunuz.

Alt küme sayısının8fazlası Öz Alt küme sayısının 4 katına eşit o halde küme kaç elemanlıdır?

Alt küme sayısı ile Öz Alt küme sayısı toplamı 31 olan küme kaç elemanlıdır?

Bir A kümesinin bütün elemanları B kümesinin de elemanı ise A kümesine B kümesinin ALT KÜMESİ denir ve A B şeklinde gösterilir.Eğer A,B nin alt kümesi değil ise bu A B şeklinde gösterilir.

A B,A kümesi B kümesinin Alt kümesidir. B A,B kümesi A kümesini kapsar. S(a) Not:A kümesinin tüm alt kümelerinin sayısı 2 dır ÖZELLİKLER 1) Boş küme her kümenin Alt kümesidir. 2) A B ve B A ise A=B 3) A B ve B C ise A B C

KONUYLA İLGİLİ SORULARKONUYLA İLGİLİ SORULAR

Alt küme

ALT KÜMENİN Özellikleri

1)A A (Her küme kendisinin alt kümesidir.) 2) { } A ( Boş küme her elemanın Alt kümesidir) 3) (A B ve B A) ise A=B dir. 4) (A B ve B C) ise A C dir. 5) n r olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı

alt kümelerinin sayısı:

Alt kümeye dönüş

!

!. !

n n

r n r r

ALT KÜMEYE AİT ÖZELLİKLER

A kümesinin Tüm alt kümelerinin 32 olduğuna göre, A kümesinin eleman sayısını bulunuz?

A={1,2,3} B={1,2,3,4,5,6,7} olduğuna göre B kümesinin Alt kümelerinden kaç tanesi A kümesini kapsar?

A ve B aynı E kümesinin alt kümeleridir.S(A’)=10, S(B)=7, S(B’)=12 ise A kümesinin 3 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

8 elemanlı bir kümenin 3 elemanlı Alt küme sayısını bulunuz?

4 elemanlı bir kümenin en fazla 2 elemanlı Alt Küme sayısı kaçtır?

3’ten az elemanlı Alt kümelerinin sayısı 46 olan kümenin 4 elemanlı Alt kümelerinin sayısı kaçtır?

SORULAR

7 elemanlı bir kümenin, 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz?

6 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı alt kümelerinin sayısını bulunuz?

A={1,2,3,4,5} kümesinin alt kümelerinin kaçında a)1 elemanı bulunur b) 2 elemanı

bulunur ve 3 elemanı bulunmaz. C)4 elemanı veya 5 elemanı bulunur.

Sorular

Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan kümeye,evrensel küme denir. Evrensel küme genellikle E harfiyle gösterilir.

Evrensel kümenin, A kümesinin dışındaki elemanlarının kümesine A kümesinin tümleyeni denir.

A kümesinin tümleyeni A’ şeklinde gösterilir.

Tümleyenin özellikleriKonuyla İlgili Sorular

Evrensel küme VE Tümleyen

A’

E

A

1) (A’)’=A

2)s(A)+ s(A’)= s(E)

3)

DE MORGAN KuralıTÜMLEYENE Dönüş

' E

4) 'E

5) ' 'A B B A

6) 'A A

TÜMLEYENİN ÖZELLİKLERİ

1) A ve B herhangi iki küme ise; (AUB)’ =A’ B’

2) A ve B herhangi iki küme ise ; (A B)’ =A’UB’

DE MORGAN KURALI

1)R ve A Kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleridir. S(A)=7 S(A’)=8 S(R)=10 olduğuna göre,

kümesinin alt kümelerinin sayısı kaçtır?

SORULAR

A ve B herhangi iki küme olmak üzere; A ile B kümelerinin bütün elemanlarından oluşan kümeye, bu iki kümenin birleşimi denir.

AUB

.a .d .

.b .e.c .f

A={a,b,c,d}, B={b,c,e,f} kümeleri veriliyor AUB

kümesini liste biçiminde yazalım.

AUB={a,b,c,d,e,f} dir

BİRLEŞİM İŞLEMİNİN Özellikleri

AUB

KÜMELERİN BİRLEŞİMİ

BİRLEŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

1)TEK KUVVET Özelliği : AUA=A

2)DEĞİŞME Özeliği : AUB=BUA

3) BİRLEŞME Özeliği : her A,B,C kümesi için AU(BUC)=(AUB)UC

4) BİRİM (ETKİSİZ) ELEMAN Özeliği : her küme için AU{ }={ }UA

BİRLEŞİM İŞLEMİNE DönüşALIŞTIRMA

ALIŞTIRMALAR

1)A= {1,2,3,4},B={2,3,5,6} ve C={3,4,5,7} kümeleri veriliyor.

@(AUB)UC kümesini liste biçiminde yazınız @ (AUB)UC=AU(BUC) olup olmadığını gösteriniz. 2)A;B;C herhangi üç küme olmak üzere, BUC=BUA olduğu

halde,A eşit değil C ye olduğunu gösteriniz. 3)A={xI x,60 ın çarpanları},B={xI x210 un asal çarpanları} ise

AUB kümesini gösteriniz. 4)Şekildeki sayılar bulundukları bölgelerin sayılarını göstermektedir. S(AUBUC)=37 olduğuna göre S(C)=?

10 2 12 1

4 6m.m+m

KÜMELERİN KESİŞİMİ

A ve B herhangi iki küme olmak üzere, A ve B nin ortak elemanlarından oluşan kümeye bu kümenin kesişimi denir. kümelerinin kesişimi A B şeklinde gösterilir.Aile B nin kesişimi.

Biçiminde tanımlanır. ÖRNEK: A={1,2,3,4,5}ve B={3,4,6,7} kümeleri veriliyor. A B kümesini

liste biçiminde yazalım ve Ven şemasında gösterelim: ÇÖZÜM: A B={3,4}

{ }A B xIx A x

.1.2.5

.3 .6.4

.7

A B

KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİKonuyla İlgili Sorular

KESİŞİM İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

1)Tek kuvvet özelliği:Her eleman için dır

2)Değişme özelliği: her A ve B kümeleri için dir.

A A A{ }

{ }

A A xIx A x A

xIx A

A

A B B A { }

{ }

A B xIx a x B

xIx B x A

B A

DEVAMIDEVAMIKESİŞİM İŞLEMİNE DÖNÜŞ

3) Birleşme özelliği:Her A;B;C kümeleri için

4)Yutan eleman özelliği: Her A kümesi için dir

(Bu işlemde yutan eleman dir)

( )A B C A B C

A B C xIx A x B C

xIx A x B x C

xI x A x B x C

A B C

A A

SORULAR

A={3,4,5,6,7} ve B={5,6} kümeleri veriliyor.A kesişim B kümesini liste biçiminde yazıp Venn şemasında gösteriniz?

Kümeleri için A

B=?

:1 8,

{ : 0 6, }

A x x x R

B y y y z

İKİ KÜMENİN FARKI

Tanım:A ve B herhangi iki küme olsun.A da olup B de olmayan elemanların oluşturduğu kümeye “A”nın”B”den farkı denir ve A\B veya A-B Biçiminde gösterilir.

ÖRNEK:A={1,2,3,4,5},B{3,5,6,7}kümeleri veriliyor.A-B ve B-A kümelerini bulunuz.

ÇÖZÜM:A-B={1,2,4},B-A={6,7}dir.

A B xIx A x B

.1 .2 .3

.3 .6

.5 .7

AB

A-B B-A SORULAR

KÜMELERİN FARKI İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

SORULAR 25 kişilik bir sınıfta tüm öğrencilerin İngilizce veya Almanca

dillerinden en az birini bildiğini varsayalım.Sadece İngilizce bilenlerin sayısı sadece Almanca bilenlerin sayısının 3 katıdır.her iki dili bilen 5öğrenci bulunduğuna göre,bu sınıfta Almanca bilen kaç öğrenci vardır.

70 kişilik bir öğrenci grubundaki öğrencilerin bazıları sarışın, bazıları yeşil gözlü,bazıları mavi gözlüdür.24 öğrenci mavi gözlü sarışın,41 öğrenci kumral ve 12 öğrenci yeşil gözlü ise yeşil gözlü kumral öğrenci sayısı kaçtır?

Türkçe ve almanca dillerinin konuşulduğu bir turist grubunda, Türkçe konuşanlar 60/100 Almanca konuşanlar 70/100 ve sadece Almanca konuşanlar 12 kişi olduğuna göre,yalnız Türkçe konuşan kaç kişi vardır.

KÜMELERİN FARKI İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

1)A\B= 2)E-A= 3)A-A= 4)A- =A 5) -A= 6) 7) 8) 9) 10) 11)

AA

A BiseA B

A B A A B

A B A B

A B B A B

A B C A B C A B B A

T E S T

1)A={{1},{2,3},3,{4,5},{4}} A kümesi için aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?

I.32 tane alt kümesi var II.{2,3} A III.{{4,5}} A IV.5 A V. 1 A VI.{4} A

A)2 D)6B)3 C)4 D)5

YANLIŞ CEVAP

DOĞRU CEVAP

SONRAKİ SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

2)Bir kümenin eleman sayısı 2 azaltıldığında alt küme sayısı 192 azalıyor. Buna göre, bu kümenin en çok 2 elemanlı alt küme sayısı kaçtır?

3)A={otobüsteki sarışın yolcular} B={otobüsteki bayan yolcular} C={otobüsteki ceketli yolcular} D={otobüsteki erkek yolcular} olduğuna göre(A B)-(C U D) kümesi aşağıdakilerden

hangisidir?

A)37 B)36 C)35 D)30 E)29

A)Ceketli olmayan bayan yolcular

B)Ceketli sarışın bayan yolcular

C)Ceketli olmayan sarışın bayan yolcular

D)bayan olmayan sarışın yolcular

E)Ceketsiz sarışın yolcular

DOĞRU CEVAP

Bir sonraki soruya geçebilirsiniz

DOĞRU CEVAP

DİĞER SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

YANLIŞ CEVAP

4)A ve B ayrık olmayan kümelerdir.

S(AUB)=6x+8 s(A)=3x+4 s(B)=4x-1 olduğuna göre AUB nin eleman sayısı en az kaçtır?

5)Bir mahallede,evlerin %80 inde Çamaşır makinesi,%90 ında Televizyon, %60ında Bulaşık makinesi vardır.

Bu mahallede,Evlerin en az yüzde kaçında her üçünden mevcut olabilir?

6)45 kişilik bir sınıfta İngilizce bilenlerin sayısı Fransızca bilenlerin sayısının 3 katıdır.her iki dili bilen 3 kişi ve hiç dil bilmeyen 12 kişidir.

Buna göre, Fransızca bilen kaç kişidir.

7)32 kişilik bir sınıfta kız veya gözlüklü öğrencilerin sayısı 25,erkek öğrencilerin sayısı 16 ise gözlüklü erkek öğrenci sayısı kaçtır?

A)14

A)30

A)9

A)16

B)20

B)35

B)12

B)13

C)32

C)9

C)15

C)40

D)44 E)49

D)8

D)18

D)45

E)6

E)21

E)50

YANLIŞ CEVAP

DOĞRU CEVAP

DİĞER SORUYA GEÇEBİLİRSİNİZ

DOĞRU CEVAP

DİĞER SORUYA GEÇİNİZ

8)Bir sınıfta Almanca bilen herkes İngilizce bilmektedir.En az bir dil bilenler 9,en çok bir dil bilenler 14 ve almanca bilenlerle dil bilmeyenlerin toplamı 13 kişidir. Buna göre, sınıf mevcudu kaç kişidir?

9)bir sınıfta bütün öğrenciler matematik veya Türkçe’den başarılıdır.Bu sınıfın %60’ı Matematik, %80’i Türkçe dersinden başarılı olmuştur.her iki dersten başarılı olan öğrenci sayısı 10 dur.

Sadece bir dersten başarılı olan öğrenci sayısı kaçtır?

10)A={x,y,{z}}

B={1,2,X,Y,{Z},{XYZ}}

A ve B kümeleri için aşağıdaki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?

I.{X,Y,Z} B III.{1,2,X} A V.{Z} B

II.s(A\B)=3 IV.s(A B)=3

A)16 B)17 E)20D)19C)18

A)5 B)8 C)10 D)15 E)20

A)1 B)2 C)3 D)4 D)5

YANLIŞ CEVAP

DOĞRU CEVAP

Oh bu konuyu daOh bu konuyu da anladımanladım

Gösteriyi bitirGösteriyi bitir