Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: Matematika ...bruckler/stereo2.pdfsterografske projekcije s centralnom projekcijom iz N s na , a centralna projekcija preslikava kru znice

Sferna projekcija Stereografska projekcija Gnomonska projekcija Dodatak: Dokaz konformalnosti stereografske projekcije

Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu:Matematika stereografske i gnomonske projekcije

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Ozujak 2011.


Sferna projekcija poliedra

Sfernom projekcijom poliedra s n strana dobije se skup od n tocaka nasferi.

Fig. 6.3. iz Klein, Manual of Mineral Science, 2002.

Zadatak

Opisite rijecima kako dobivate projekciju pojedine strane poliedra. Je lipotrebno zahtijevati poseban odnos izmedu polozaja i/ili velicina poliedrai sfere na koju se projicira poliedar?


Sferna projekcija pojedine strane (plohe) poliedra zove se polom te plohe.

Definicija

Neka je P poliedar (kristal), shvacen kao skup svojih strana (ploha), teneka je S2 sfera polumjera r , takva da je P unutar te sfere i da je sredistesfere O unutar P. Sferna projekcija poliedra P je skup svih polovaploha poliedra P, tj. skup svih tocaka p(X ) na sferi, gdje je X pojedinaploha poliedra P i p(X ) tocka u kojoj normala povucena iz iz O na Xsijece sferu.

Zadatak

Skicirajte jednu veliku kruznicu na sferi. Za bar tri tocke na toj kruzniciskicirajte ili zamislite kako mogu lezati plohe cije su te tocke polovi. Stoprimjecujete?

Podsjecamo: zona poliedra (kristala) je skup svih strana (ploha) togpoliedra (kristala) koje su paralelne istom pravcu (osi zone). Za odabranuveliku kruznicu na sferi, plohe koje se projiciraju na nju moraju lezatiparalelno s pravcem kroz srediste sfere koji je okomit na ravninu te velikekruznice. Dakle: Velike kruznice na sferi predstavljaju pojedine zone.


I sfera je dvodimenzionalna

Tocke na sferi polumjera r imaju sferne koordinate (r , φ, ρ). Buduci da jer fiksan, potpuno su opisane s dva kuta: polarnom udaljenoscu ρ ∈ [0, π]i azimutom φ ∈ [0, 2π〉, dakle s dvije koordinate, dakle je sferadvodimenzionalna te ima smisla njene tocke prikazivati u ravnini, tj.projicirati ih na ravninu.Postoji vise nacina da se to postigne, a da pritom dobivenu projekcijumozemo koristiti za zakljucivanje o odnosima projiciranih tocaka. Razneprojekcije imaju razna dobra svojstva: cuvanje povrsine, cuvanje kutova ioblika, cuvanje udaljenosti, . . .Osmislite bar dvije projekcije sfere na ravninu koja sve paralele projicira ukruznice u ravnini.


Stereografska projekcija

Definicija

Neka je S2 sfera i Π ravnina tangencijalna na sferu. Tocku u kojoj Πdodiruje sferu oznacimo sa S (

”juzni pol”), a njoj antipodnu tocku na

sferi s N (”sjeverni pol”).

Stereografska projekcija je preslikavanje f : S2 \ {N} → Π definiranoovako:za T ∈ S2 je f (T ) = T ′ probodiste pravca NT s ravninom Π.Tocka T ′ se zove sterografskom projekcijom tocke T .

Sjeverni pol nema definiranu projekciju, a mozemo zamisliti da je njegovaprojekcija

”beskonacno daleka tocka”. Podrazumijeva se da se i sve tocke

na pravcu NT , osim N, projiciraju u T ′.Osnovna svojstva stereografske projekcije pokazao je jos u 2. st. pr. Kr.grcki matematicar i astronom Hiparh. Najstariji sacuvani tekst u kojem jeopisana je Ptolomejev Planisphaerium (2. st. n. e.).


Stereografska projekcija je konformalno preslikavanje: cuva kutove medukrivuljama1.

1Stereografska projekcija ne cuva udaljenosti ni povrsine


Veza medu koordinatama tocke na sferi i koordinatamanjene projekcije

Postavimo Kartezijev koordinatni sustav tako da mu je ishodiste sredistesfere i da se z-os poklapa s pravcem NS , pri cemu N ima koordinate(0, 0, 1). Sferni koordinatni sustav postavimo pak tako da bude uuobicajenom polozaju u odnosu na Kartezijev.

Postavimo i Kartezijevkoordinatni sustav u ravnini Π tako da mu ishodiste bude u tocki S i damu je x-os paralelna s x-osi prostornog koordinatnog sustava. Polarnikoordinatni sustav u Π postavimo u uobicajeni polozaj premaKartezijevom sustavu u toj ravnini.Tada vrijedi: ako su (x , y , z) Kartezijeve koordinate tocke na sferi, onda

su koordinate njene stereografske projekcije(

x1−z ,

y1−z

);ako su (1, φ, ρ)

sferne koordinate tocke na sferi, polarne koordinate njene projekcije su(sinφ

1−cosφ , ρ)

.



Postavimo Kartezijev koordinatni sustav tako da mu je ishodiste sredistesfere i da se z-os poklapa s pravcem NS , pri cemu N ima koordinate(0, 0, 1). Sferni koordinatni sustav postavimo pak tako da bude uuobicajenom polozaju u odnosu na Kartezijev. Postavimo i Kartezijevkoordinatni sustav u ravnini Π tako da mu ishodiste bude u tocki S i damu je x-os paralelna s x-osi prostornog koordinatnog sustava. Polarnikoordinatni sustav u Π postavimo u uobicajeni polozaj premaKartezijevom sustavu u toj ravnini.

Tada vrijedi: ako su (x , y , z) Kartezijeve koordinate tocke na sferi, onda


x1−z ,

y1−z

);ako su (1, φ, ρ)


1−cosφ , ρ)

.



Postavimo Kartezijev koordinatni sustav tako da mu je ishodiste sredistesfere i da se z-os poklapa s pravcem NS , pri cemu N ima koordinate(0, 0, 1). Sferni koordinatni sustav postavimo pak tako da bude uuobicajenom polozaju u odnosu na Kartezijev. Postavimo i Kartezijevkoordinatni sustav u ravnini Π tako da mu ishodiste bude u tocki S i damu je x-os paralelna s x-osi prostornog koordinatnog sustava. Polarnikoordinatni sustav u Π postavimo u uobicajeni polozaj premaKartezijevom sustavu u toj ravnini.Tada vrijedi: ako su (x , y , z) Kartezijeve koordinate tocke na sferi, onda


x1−z ,

y1−z

);

ako su (1, φ, ρ)


1−cosφ , ρ)

.





x1−z ,

y1−z

);ako su (1, φ, ρ)


1−cosφ , ρ)

.





x1−z ,

y1−z

);ako su (1, φ, ρ)


1−cosφ , ρ)

.


Kristalografska stereografska projekcija

Analogno danoj definiciji se moze definirati generalizirana stereografskaprojekcija sfere na bilo koju ravnini Π paralelnu ravninu Σ. Takvaprojekcija ima ista geometrijska svojstva jer je kompozicija

”prave”

sterografske projekcije s centralnom projekcijom iz N s Π na Σ, acentralna projekcija preslikava kruznice u kruznice, pravce u pravce i cuvakutove. U kristalografiji se koristi generalizacija stereografske projekcijekod koje se projicira na ekvatorsku ravninu sfere.

Kako je za prikaz nekog objekta na sferi zgodnije imati ogranicenopodrucje projekcije, dodefinira se varijanta stereografske projekcije u kojojsvaka tocka ima projekciju unutar e: ako je tocka P iznad e, prvo seodredi njoj simetricna tocka P1 obzirom na E te se kao projekcija od Puzima stereografska projekcija P ′ tocke P1.


Kristalografska stereografska projekcija

Analogno danoj definiciji se moze definirati generalizirana stereografskaprojekcija sfere na bilo koju ravnini Π paralelnu ravninu Σ. Takvaprojekcija ima ista geometrijska svojstva jer je kompozicija

”prave”

sterografske projekcije s centralnom projekcijom iz N s Π na Σ, acentralna projekcija preslikava kruznice u kruznice, pravce u pravce i cuvakutove. U kristalografiji se koristi generalizacija stereografske projekcijekod koje se projicira na ekvatorsku ravninu sfere.Kako je za prikaz nekog objekta na sferi zgodnije imati ogranicenopodrucje projekcije, dodefinira se varijanta stereografske projekcije u kojojsvaka tocka ima projekciju unutar e: ako je tocka P iznad e, prvo seodredi njoj simetricna tocka P1 obzirom na E te se kao projekcija od Puzima stereografska projekcija P ′ tocke P1.


Kako ovako definirana projekcija vise nije injektivna (osim na e), jer sadP i P1 imaju istu projekciju P ′, uvodi se dodatno oznacavanje tocakaprojekcija: ako je original bio iznad E projekcija se oznacava znakom ◦, aako je bio ispod znakom ×.

Uocimo: Kako je trapez NSP1P jednakokracan, slijedi da mu je sjecistedijagonala upravo P ′. Stoga je najjednostavnije, a ekvivalentno gornjem,definirati da se tocke iznad E projiciraju u E iz S umjesto iz N.


Kako ovako definirana projekcija vise nije injektivna (osim na e), jer sadP i P1 imaju istu projekciju P ′, uvodi se dodatno oznacavanje tocakaprojekcija: ako je original bio iznad E projekcija se oznacava znakom ◦, aako je bio ispod znakom ×.Uocimo: Kako je trapez NSP1P jednakokracan, slijedi da mu je sjecistedijagonala upravo P ′. Stoga je najjednostavnije, a ekvivalentno gornjem,definirati da se tocke iznad E projiciraju u E iz S umjesto iz N.


Svojstva kristalografske stereografske projekcije

Ocito je stereografska projekcija ekvatora on sam, tj. sve tockeekvatora su fiksne za stereografsku projekciju na ekvatorijalnuravninu E . Tu kruznicu oznacimo s e.

Tocke iznad E projiciraju se izvan e, a one ispod E projiciraju seunutar e.

Kruznice paralelne s e (paralele) se projiciraju u kruznice sasredistem O.

Stereografska projekcija sve kruznice na sferi koje ne prolaze kroz Npreslikava u kruznice, a one koje prolaze kroz N (meridijani) seprojiciraju u pravce kroz srediste sfere O.

(Posljednje navedeno svojstvo vrijedi za sve varijante stereografskeprojekcije.)























Sferne koordinate sjevernog pola su N(r , 0, 0). Neka je T (r , φ, ρ) tockana sferi. U ravnini projekcije odaberemo polarni koordinatni sustav sishodistem u sredistu sfere i tako da ϕ = φ. Trokut OT ′N je pravokutans pravim kutem pri vrhu O i s kutem ρ/2 pri vrhu N. Uzevsi u obzir da jepolumjer oznacen s r , po definiciji tangensa dobivamo da su polarnekoordinate stereografske projekcije T ′ tocke T dane s

(rtg ρ2 , φ

).

Posebno, udaljenost projekcije T ′ do sredista ekvatorske kruznice je

d = r tgρ

2.


Konstrukcija stereografske projekcije tocke

Prema prethodnom je udaljenost stereografske projekcije neke tockeT (r , φ, ρ) od sredista O kruznice e jednaka d = rtg ρ

2 . Dakle, T ′ je nakruznici k(O, d). Ako smo na istoj oznacili polozaj kuta 0, kako cemokonstruirati φ, tj. koliko duga (s) treba biti tetiva na e da bi sredisnji kutbio φ? Elementarna geometrija kruznice i trigonometrija povlace da je

sin φ2 = s/2

r , tj.

s = 2r sinφ

2.

Zadatak

Sto je stereografska projekcija paralele (kruznice koja je presjek sfere iravnine paralelne ekvatorskoj)?

Dakle, sve tocke s istom polarnom udaljenosti ρ projiciraju se na istuudaljenost od sredista O kruznice e. Kako tocke s istim ρ cine paralelu ,slijedi da je projekcija svake paralele kruznica polumjera d = rtg ρ

2 sasredistem u O.





sin φ2 = s/2

r , tj.

s = 2r sinφ

2.

Zadatak



2 sasredistem u O.





sin φ2 = s/2

r , tj.

s = 2r sinφ

2.

Zadatak



2 sasredistem u O.


Dvije osnovne konstrukcije

Ako je dana stereografska projekcija A′ tocke A, projekcija njenogantipoda B je tocki A′ obzirom na O centralno simetricna tocka B ′. Upravoj stereografskoj projekciji se B projicira u B ′′ koji je takoder na

pravcu OA, no njegova udaljenost do O je rctg ρ/2 = rtg ρ/2 = r

d/r = r2

d .

Dakle, ako zelimo nacrtati projekciju antipoda tocke ciju projekciju A′

znamo, provucemo pravac kroz O i A. Kristalografska projekcija antipoda(tocka B ′) dobije se kao sjeciste tog pravca i kruznice koja ima sredisteO i prolazi kroz A, a prava stereografska projekcija (tocka B ′′) dobije sekao sjeciste tog pravca i kruznice koja ima srediste O koja ima polumjerr 2/d , gdje je d udaljenost A′ do O, a r polumjer projekcijske sfere.


Velika kruznica se u pravoj stereografskoj projekciji projicira u kruznicukoja e sijece u krajevima promjera projicirane kruznice, a ukristalografskoj steografskoj projekciji kod koje sve tocke projiciramounutar O projicira se u dva luka kruznice koji e sijeku u krajevimapromjera projicirane velike kruznice. Prvo se konstruira pravastereografska projekcija trazene velike kruznice, iz koje se onda lakodobije kristalografska projekcija.


Drugaciji nacin projiciranja sfere na ravninu je gnomonska projekcija. To je vrst

centralne projekcije: tocke se projiciraju iz sredista sfere. Ravnina projekcije se

uzima tangencijalna na sferu u sjevernom polu, ali je ocigledno kako definiciju

prilagoditi za slucaj bilo koje toj ravnini paralelne ravnine. Precizna definicija je

kako slijedi:

Definicija

Neka je S2 sfera sa sredistem O i Π ravnina tangencijalna na sferu.Tocku u kojoj Π dodiruje sferu oznacimo sa N (

”sjeverni pol”).

Gnomonska projekcija je preslikavanje g : S2 → Π definirano ovako:za T ∈ S2 je f (T ) = T ′ probodiste pravca OT s ravninom Π.Tocka T ′ se zove gnomonskom projekcijom tocke T .


Gnomonska projekcija nije konformalna. Kao i prilagodena kristalografskastereografska projekcija, nije injektivna: po dvije antipodalne tockeprojiciraju se u istu tocku, dakle je jednoznacna na sjevernoj ili pak najuznoj polutci.Kako izgledaju gnomonske projekcije velikih kruznica na sferi?

Uzmemo libilo koje tri tocke na jednoj velikoj kruznice, lako je uociti da se projicirajuu tri kolinearne tocke. Stoga je gnomonska projekcija svake velikekruznice na sferi pravac u projekcijskoj ravnini. Opcenito se kruznice nasferi u gnomonskoj projekciji ovisno o svojoj poziciji projiciraju u razlicitekonike (kruznica, elipsa, hiperbola, parabola, pravac).Fiksirajmo jedan promjer sfere koji lezi u ravnini ekvatora. Sve velikekruznice kojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelnepravce. Ako odaberemo dva medusobno okomita promjera, dobit cemomrezu sastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Kamo se projicira ekvatorska kruznica? Tocke ekvatorske kruznice (velikekruznice paralelne projekcijskoj ravnini) projiciraju se u beskonacnost.Stoga se i podrucje blisko ekvatoru jako deformira u gnomonskojprojekciji.


Gnomonska projekcija nije konformalna. Kao i prilagodena kristalografskastereografska projekcija, nije injektivna: po dvije antipodalne tockeprojiciraju se u istu tocku, dakle je jednoznacna na sjevernoj ili pak najuznoj polutci.Kako izgledaju gnomonske projekcije velikih kruznica na sferi? Uzmemo libilo koje tri tocke na jednoj velikoj kruznice, lako je uociti da se projicirajuu tri kolinearne tocke. Stoga je gnomonska projekcija svake velikekruznice na sferi pravac u projekcijskoj ravnini. Opcenito se kruznice nasferi u gnomonskoj projekciji ovisno o svojoj poziciji projiciraju u razlicitekonike (kruznica, elipsa, hiperbola, parabola, pravac).Fiksirajmo jedan promjer sfere koji lezi u ravnini ekvatora. Sve velikekruznice kojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelnepravce. Ako odaberemo dva medusobno okomita promjera, dobit cemomrezu sastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Kamo se projicira ekvatorska kruznica?

Tocke ekvatorske kruznice (velikekruznice paralelne projekcijskoj ravnini) projiciraju se u beskonacnost.Stoga se i podrucje blisko ekvatoru jako deformira u gnomonskojprojekciji.


Gnomonska projekcija nije konformalna. Kao i prilagodena kristalografskastereografska projekcija, nije injektivna: po dvije antipodalne tockeprojiciraju se u istu tocku, dakle je jednoznacna na sjevernoj ili pak najuznoj polutci.Kako izgledaju gnomonske projekcije velikih kruznica na sferi? Uzmemo libilo koje tri tocke na jednoj velikoj kruznice, lako je uociti da se projicirajuu tri kolinearne tocke. Stoga je gnomonska projekcija svake velikekruznice na sferi pravac u projekcijskoj ravnini. Opcenito se kruznice nasferi u gnomonskoj projekciji ovisno o svojoj poziciji projiciraju u razlicitekonike (kruznica, elipsa, hiperbola, parabola, pravac).Fiksirajmo jedan promjer sfere koji lezi u ravnini ekvatora. Sve velikekruznice kojima je to promjer projiciraju se u medusobno paralelnepravce. Ako odaberemo dva medusobno okomita promjera, dobit cemomrezu sastavljenu od dva smjera medusobno okomitih pravaca.Kamo se projicira ekvatorska kruznica? Tocke ekvatorske kruznice (velikekruznice paralelne projekcijskoj ravnini) projiciraju se u beskonacnost.Stoga se i podrucje blisko ekvatoru jako deformira u gnomonskojprojekciji.


Kamo ce se projicirati tocka sfere koja ima azimut φ i polarnu udaljenostρ?

Pomocu slike zakljucujemo: udaljenost projekcije do sjevernog pola, dG,ovisi samo o polarnoj udaljenosti, a ne i o azimutu: sve tocke s istompolarnom udaljenosti (

”na istoj paraleli”) projiciraju se na kruznicu sa

sredistem N. Vidimo i da je polumjer te kruznice

dG = rtgρ

(ako je tocka na donjoj polutci, inace dG = −rtgρ).Za usporedbu kako izgledaju stereografske i gnomonske projekcijeZemljine povrsine, pogledajte http://www.progonos.com/furuti/

MapProj/Dither/ProjAz/projAz.html ilihttp://kartoweb.itc.nl/geometrics/Map_projections/body.htm.

http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Dither/ProjAz/projAz.html

http://www.progonos.com/furuti/MapProj/Dither/ProjAz/projAz.html

http://kartoweb.itc.nl/geometrics/Map_projections/body.htm


Konformalnost stereografske projekcije

Lema

Neka je T tocka na sferi (koja nije pol) i neka je kroz nju povucena nekatangenta na sferu. Ta tangenta sijece ravninu Π u nekoj tocki M.Stereografska projekcija T ′M duzine TM uvijek je jednako duga kao i taduzina.

Dokaz. Kako tocke S , N i T ne mogu lezati na istom pravcu, postojijedinstvena kruznica k kroz te tri tocke. Odabrana tangenta ili lezi ili ne lezi uravnini te kruznice.

Prvo promotrimo slucaj kad tangenta lezi u ravninite kruznice. Prema Talesovom poucku je trokut4STN pravokutan s pravim kutom pri vrhu T paje i trokut 4STT ′ je pravokutan s pravim kutompri vrhu T . Kako su pravci MS i MT tangente nakruznicu k, slijedi da je M jednako udaljena od S iT . To znaci da su kutovi pri T i S u trokutu4MST jednaki; oznacimo njihov iznos s α. Tada je∠T ′TM = 90◦ − β = ∠TT ′S . Stoga je 4T ′MTjednakokracan, tj. M je jednako udaljena od T i T ′.



Lema



Prvo promotrimo slucaj kad tangenta lezi u ravninite kruznice. Prema Talesovom poucku je trokut4STN pravokutan s pravim kutom pri vrhu T paje i trokut 4STT ′ je pravokutan s pravim kutompri vrhu T .

Kako su pravci MS i MT tangente nakruznicu k, slijedi da je M jednako udaljena od S iT . To znaci da su kutovi pri T i S u trokutu4MST jednaki; oznacimo njihov iznos s α. Tada je∠T ′TM = 90◦ − β = ∠TT ′S . Stoga je 4T ′MTjednakokracan, tj. M je jednako udaljena od T i T ′.



Lema



Prvo promotrimo slucaj kad tangenta lezi u ravninite kruznice. Prema Talesovom poucku je trokut4STN pravokutan s pravim kutom pri vrhu T paje i trokut 4STT ′ je pravokutan s pravim kutompri vrhu T . Kako su pravci MS i MT tangente nakruznicu k, slijedi da je M jednako udaljena od S iT .

To znaci da su kutovi pri T i S u trokutu4MST jednaki; oznacimo njihov iznos s α. Tada je∠T ′TM = 90◦ − β = ∠TT ′S . Stoga je 4T ′MTjednakokracan, tj. M je jednako udaljena od T i T ′.



Lema



Prvo promotrimo slucaj kad tangenta lezi u ravninite kruznice. Prema Talesovom poucku je trokut4STN pravokutan s pravim kutom pri vrhu T paje i trokut 4STT ′ je pravokutan s pravim kutompri vrhu T . Kako su pravci MS i MT tangente nakruznicu k, slijedi da je M jednako udaljena od S iT . To znaci da su kutovi pri T i S u trokutu4MST jednaki; oznacimo njihov iznos s α. Tada je∠T ′TM = 90◦ − β = ∠TT ′S . Stoga je 4T ′MTjednakokracan, tj. M je jednako udaljena od T i T ′.


Ako pak odabrana tangenta ne lezi u ravnini kruznice k, oznacimo njenoprobodiste s ravninom Π s M ′. Zelimo pokazati da je i ta tocka jednakoudaljena od T i T ′.

Tada je M ′T ′ stereografska projekcija duzine M ′T . Kako je od svihtocaka na pravcu M ′M tocka M najbliza tockama T i T ′, trokuti4M ′MT i 4M ′MT ′ su pravokutni s pravim kutovima pri vrhu M. PoSKS-poucku oni su sukladni, pa je M ′ jednako udaljena od T i T ′. ,

Chasles-ov teorem

Stereografska projekcija kruznice na sferi je kruznica u ravnini Π; pritompravac smatramo kruznicom beskonacnog polumjera.


Ako pak odabrana tangenta ne lezi u ravnini kruznice k, oznacimo njenoprobodiste s ravninom Π s M ′. Zelimo pokazati da je i ta tocka jednakoudaljena od T i T ′.Tada je M ′T ′ stereografska projekcija duzine M ′T . Kako je od svihtocaka na pravcu M ′M tocka M najbliza tockama T i T ′, trokuti4M ′MT i 4M ′MT ′ su pravokutni s pravim kutovima pri vrhu M. PoSKS-poucku oni su sukladni, pa je M ′ jednako udaljena od T i T ′. ,

Chasles-ov teorem



Ako pak odabrana tangenta ne lezi u ravnini kruznice k, oznacimo njenoprobodiste s ravninom Π s M ′. Zelimo pokazati da je i ta tocka jednakoudaljena od T i T ′.Tada je M ′T ′ stereografska projekcija duzine M ′T . Kako je od svihtocaka na pravcu M ′M tocka M najbliza tockama T i T ′, trokuti4M ′MT i 4M ′MT ′ su pravokutni s pravim kutovima pri vrhu M. PoSKS-poucku oni su sukladni, pa je M ′ jednako udaljena od T i T ′. ,

Chasles-ov teorem



Dokaz. Neka je k kruznica na sferi koja nije velika i ne prolazi kroz N.Ona odreduje tangencijalni stozac. Oznacimo njegov vrh s V , astereografsku projekciju tog vrha s V ′.

Neka je T tocka na kruznici i T ′

pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).


Dokaz. Neka je k kruznica na sferi koja nije velika i ne prolazi kroz N.Ona odreduje tangencijalni stozac. Oznacimo njegov vrh s V , astereografsku projekciju tog vrha s V ′. Neka je T tocka na kruznici i T ′

pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.

Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).



pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .

Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).



pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′.

Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).



pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.

No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).



pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).

Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).



pripadna stereografska projekcija.Nadalje, oznacimo s D probodiste pravca (izvodnice stocca) VT s Π.Povucimo kroz V ′ paralelu s pravcem VT i odredimo njeno sjeciste H spravcem NT .Uocimo da je TD segment tangente povucene na sferu, dakle je po lemiD jednako udaljena od T i T ′. Trokuti 4V ′T ′H i 4DT ′T su slicni jerimaju iste kutove. Slijedi da je V ′ jednako udaljena od T ′ i H.No, slicni su i trokuti 4V ′HN i 4VTN, pa jed(V ′,H) : d(V ,T ) = d(N,V ′) : d(N,V ), iz cega u kombinaciji sd(V ′,T ′) = d(V ′,H) slijedi d(V ′,T ′) = d(V ,T ) · d(N,V ′)/d(N,V ).Uocimo da kvocijent d(N,V ′)/d(N,V ) ne ovisi o odabiru tocke T nakruznici. Kako je za sve T na k udaljenost d(V ,T ) jednaka, slijedi da jei udaljenosti d(V ′,T ′) ista za sve T . Drugim rijecima, stereografskaprojekcija od k je skup svih tocaka T ′ koje su jednako udaljene od V ′:kruznica k se projicira u kruznicu sa sredistem V ′ (dakle je sredisteprojekcije kruznice k projekcija vrha stosca koji sferu dira po kruznici k).


Ako je pak k velika kruznica na sferi, V je u beskonacnosti (stozacdegenerira u cilindar). Za taj slucaj uzmemo da je F tocka u kojojokomica iz N na ravninu od k probada Π, te A tocka u kojoj tangenta nasferu povucena u T ∈ k paralelno s NF probada Π. Tada je po lemid(A,T ′) = d(A,T ) pa je 4ATT ′ jednakokracan.

Njemu je slican4FNT ′ (jer je NF paralelan s AT ), dakle je d(F ,T ′) = d(F ,N). Slijedida kad T prolazi po k, T ′ prolazi po kruznici k ′ u Π, kojoj je F srediste,a polumjer d(F ,N).Na kraju, ako k prolazi kroz N, ocigledno je pripadna projekcija k ′ pravacu Π. ,

Teorem

Sterografska projekcija je konformalna, tj. cuva kutove.

Dokaz. Kut izmedu dviju krivulja definira se kao kut medu tangentamana te krivulje povucenim u sjecistu krivulja. Ako su te krivulje na sferi,onda su njihove tangente ujedno tangencijalne i na sferu. Neka je α nekikut izmedu nekih dviju krivulja na sferi koje se sijeku u T . Nekaodgovarajuce tangente probadaju Π u tockama X i Y . Tada je podefiniciji α = ∠XTY , a pripadna projekcija kuta je α′ = ∠XT ′Y . Kakoje po lemi i SSS-poucku 4XTY sukladan 4XT ′Y , slijedi α′ = α. ,


Ako je pak k velika kruznica na sferi, V je u beskonacnosti (stozacdegenerira u cilindar). Za taj slucaj uzmemo da je F tocka u kojojokomica iz N na ravninu od k probada Π, te A tocka u kojoj tangenta nasferu povucena u T ∈ k paralelno s NF probada Π. Tada je po lemid(A,T ′) = d(A,T ) pa je 4ATT ′ jednakokracan. Njemu je slican4FNT ′ (jer je NF paralelan s AT ), dakle je d(F ,T ′) = d(F ,N). Slijedida kad T prolazi po k, T ′ prolazi po kruznici k ′ u Π, kojoj je F srediste,a polumjer d(F ,N).

Na kraju, ako k prolazi kroz N, ocigledno je pripadna projekcija k ′ pravacu Π. ,

Teorem




Ako je pak k velika kruznica na sferi, V je u beskonacnosti (stozacdegenerira u cilindar). Za taj slucaj uzmemo da je F tocka u kojojokomica iz N na ravninu od k probada Π, te A tocka u kojoj tangenta nasferu povucena u T ∈ k paralelno s NF probada Π. Tada je po lemid(A,T ′) = d(A,T ) pa je 4ATT ′ jednakokracan. Njemu je slican4FNT ′ (jer je NF paralelan s AT ), dakle je d(F ,T ′) = d(F ,N). Slijedida kad T prolazi po k, T ′ prolazi po kruznici k ′ u Π, kojoj je F srediste,a polumjer d(F ,N).Na kraju, ako k prolazi kroz N, ocigledno je pripadna projekcija k ′ pravacu Π. ,

Teorem





Teorem


Dokaz. Kut izmedu dviju krivulja definira se kao kut medu tangentamana te krivulje povucenim u sjecistu krivulja. Ako su te krivulje na sferi,onda su njihove tangente ujedno tangencijalne i na sferu.

Neka je α nekikut izmedu nekih dviju krivulja na sferi koje se sijeku u T . Nekaodgovarajuce tangente probadaju Π u tockama X i Y . Tada je podefiniciji α = ∠XTY , a pripadna projekcija kuta je α′ = ∠XT ′Y . Kakoje po lemi i SSS-poucku 4XTY sukladan 4XT ′Y , slijedi α′ = α. ,



Teorem


Dokaz. Kut izmedu dviju krivulja definira se kao kut medu tangentamana te krivulje povucenim u sjecistu krivulja. Ako su te krivulje na sferi,onda su njihove tangente ujedno tangencijalne i na sferu. Neka je α nekikut izmedu nekih dviju krivulja na sferi koje se sijeku u T . Nekaodgovarajuce tangente probadaju Π u tockama X i Y . Tada je podefiniciji α = ∠XTY , a pripadna projekcija kuta je α′ = ∠XT ′Y .

Kakoje po lemi i SSS-poucku 4XTY sukladan 4XT ′Y , slijedi α′ = α. ,



Teorem



Documents

Sa sfere u ravninu, s poliedra na sferu: Matematika ...bruckler/stereo2.pdfsterografske projekcije s centralnom projekcijom iz N s na , a centralna projekcija preslikava kru znice