-
1
• manifestazioni del rumore elettronico
• strumenti analitici per lo studio del rumore
• rumore dei resistori e degli OpAmp
Rumore Elettronico
-
2
Il Rumore Elettronico
Impostando il guadagno verticaledell’oscilloscopio al massimo,
senzasegnale in ingresso, la traccia non ènitida e mostra
flutuazioni casuali.Il rumore elettronico provoca
variazioniistantanee rapide e di entità contenutadella
tensione.
Anche in presenza di deboli segnaliall’ingresso, la traccia
evidenzia lapresenza di “flutuazioni” casualiattorno al livello di
segnale
-
3
Rumore su Segnali Audio
Il rumore elettronico limita la “qualità” dei segnali elettrici.
Si manifesta in praticadeteriorando le prestazioni di tutti i
sistemi elettronici.
Segnali audio:La presenza di rumore sui segnali audio si
manifesta come un fastidioso frusciodi sottofondo.Il segnale audio
HiFi (High Fidelty) è caratterizzato da elevatissimo
RapportoSegnale/Rumore (SNR).SNR HiFi > 100 dB ( Segnale /
Rumore > 105)
Esempi:
SNR = 80dB SNR = 20dB SNR = 0dB
-
4
Rumore su Segnali Video
In segnali televisivi, il rumore limita la qualità delle
immagini. In segnali televisivianalogici, il rumore si manifesta
come “granuli e puntini” sovrapposti all’immagine.Per avere
immagini di buona qualità è necessario SNR > 50dB
In segnali video digitali le informazioni dicolore e intensità
sono codificate in modonumerico (bits).
Il rumore può corrompere completamentealcune parti
dell’immagine
-
5
Rumore nelle Comunicazioni DigitaliAnche nel trasferimento di
dati digitali il rumore gioca un ruolo fondamentale:- Reti LAN
(ethernet)- Collegamento di periferiche al processore (RAM, ROM,
Dischi, …)- Collegamento di periferiche al PC (monitor, stampante,
telecamera…)- Comunicazioni wireless (Telefoni cellulari, WiFi,
Bluethoot)
I segnali elettrici trasmessi codificano un livello logico (0,
1). I segnali ricevutisono attenuati dal canale di trasmissione e
vi è sovrapposto il rumore elettronico,introdotto dal canale, dai
circuiti di trasmissione e ricezione.Il ricevitore deve “decidere”
quale livello logico è stato trasmesso tramite uncomparatore. Il
rumore sovrapposto al segnale può portare a decisioni
sbagliate,corrompendo completamente i “bit”
-
6
Rumore nelle Comunicazioni DigitaliEsempio di segnale digitale
trasmesso e ricevuto:
ideale
SNR = 10dB
SNR = 0dB
-
7
Rumore nelle Comunicazioni DigitaliLa presenza di rumore
comportala stima errata di alcuni dei bitricevuti.
Maggiore è l’intensità di rumore emaggiore è la probabilità
disbagliare un bit (e quindi lafrequenza degli errori)
Bit Error Rate (BER) = 10-3significa mediamente un bitsbagliato
su 1000 bit ricevuti
Le comunicazioni su cavo richiedono tipicamente BER < 10-12
(error_free)Le comunicazioni Wireless richiedono BER < 10-4
-
8
• manifestazioni del rumore elettronico
• strumenti analitici per lo studio del rumore
• rumore dei resistori e degli OpAmp
Rumore Elettronico
-
9
Segnali Deterministici e CasualiSegnale deterministico: noto il
valoread un certo istante temporale,possiamo prevedere
perfettamentetutti i valori che assumerà in futuro.
segnale sinusoidale
Segnale casuale o aleatorio: anche seconosciamo il valore ad un
certoistante temporale, non possiamo fareprevisioni sui valori
futuri
segnale di un microfono vicino ad un fiume
Sappiamo bene caratterizzare i segnali deterministici
(sinusoide: ampiezza,frequenza, fase)Come possiamo caratterizzare e
quantificare i segnali casuali ?!?!
Il RUMORE ELETTRONICO è unsegnale casuale.
-
10
Potenza MediaAlcune proprietà dei segnali casualipossono essere
note e prevedibili a priori.Un esempio è la Potenza Media.
Possiamo prevedere con certezza il fattoche, se avviciniamo il
microfono al fiume,la potenza media del segnale saràcertamente più
elevata.Se il microfono è connesso ad un carico eX(t) rappresenta
la tensione ai suoi capi:
[ ]Watt )(1lim0
2dt
RtX
TP
T
LTÚ•Æ=
-
11
Potenza Media Normalizzata
Le potenze cosi definite rappresentano le potenze in [Watt]
dissipate su unresistore da 1 ohm ‡ potenze normalizzate
[ ]Watt )(1lim0
2dt
RtX
TP
T
LTÚ•Æ=
Possiamo generalizzare, evitando didividere per la ipotetica
resistenza dicarico:
Per conoscere la potenza in [Watt] dobbiamodividere questo
valore per la resistenza di carico acui viene connesso il
microfono
[ ]20
2 V )(1lim dttXT
PT
T Ú•Æ=
Se X(t) rappresenta la corrente erogata dal microfono:
[ ]20
2 A )(1lim dttXT
PT
T Ú•Æ=Per conoscere la potenza in [Watt] dobbiamomoltiplicare
questo valore per la resistenza dicarico a cui viene connesso il
microfono
-
12
Densità Spettrale di Potenza (PSD)La densità spettrale di
potenza (PSD =Sx(f)) è un’altra caratteristica dei segnalicasuali
che in generale è nota eprevedibile.
Sx(f) permette di analizzare i fenomeni di rumore nel dominio
della frequenza,cosi come la Trasformata di Fourier permette di
farlo per i segnali deterministici
Sx(f) indica come è distribuita in frequenzala potenza del
segnale aleatorio X(t).
[ ] [ ]22 A or V )(21
21dffSP
f
fXff Ú=-La potenza di X(t) contenuta nellabanda f1-f2 posso
calcolarla come:
Sx(f) si misura in V2/Hz o A2/Hz a seconda che X (t) sia una
tensione o unacorrente
La potenza totale di X(t) possocalcolarla come:
[ ] [ ]220
A or V )( dffSP XÚ•
=
-
-un filtro con banda di 1 Hz centrato alla frequenza f-un
misuratore di potenza (elevamento al quadrato e integrazione)
Regolando la frequenza centrale del filtro è possibile misurare,
frequenza perfrequenza, la potenza del segnale X(t). L’operazione
viene eseguitaautomaticamente dallo strumento 13
Determinazione Sperimentale della PSD
Per misurare la PSD lo “Spectrum Analyzer”è uno strumento
costituito da:
-
14
Rumore BiancoSe la densità spettrale di potenza del rumore è
costante in frequenza, ilrumore viene definito “Rumore Bianco”
Il rumore bianco è molto frequente in tutti isistemi e circuiti
elettronici:- rumore generato dall’agitazione termica dei
portatori in resistenze e MOSfets- rumore delle giunzioni PN
N.B.: il rumore bianco è solo una approssimazione. In pratica
non possonoesistere sorgenti di rumore veramente bianco (costante
da f=0 a f=inf.) perchéimplicherebbe potenza infinita.
In pratica il rumore è considerato “bianco” se la densità
spettrale di potenza ècostante nella banda di interesse (e.g. banda
passante di un amplificatore, banda diin filtro…)
-
15
Rumore Attraverso Quadripoli Lineari Per analizzare i circuiti
elettronici nel dominio della frequenza con segnalideterministici
utilizziamo la Funzione di Trasferimento H(f).
Se un segnale aleatorio con densità spettrale di potenza Sx(f)
viene applicatoall’ingresso di un quadripolo lineare con funzione
di trasferimento H(f), la densitàspettrale di potenza all’uscita
Sy(f) vale:
)(fH
)(fSX )(fSY
)()()( 2 fSfHfS XY ◊=
-
16
Esercizio 1Una tensione rumorosa con densità spettrale costante
(bianca) diVn2=(100nV)2/Hz viene filtrata passa-basso con un polo
(fp) alla frequenza di1MHz.Calcolare l’espressione della densità
spettrale di potenza e la potenza totaleall’uscita del filtro
)(fH
)(2 fVin )(2 fVoutpf
fj+11
HznVVn /)100(22 =
22
2
22
1
11
1)()(˜¯ˆ
ÁËÊ+
=+
=
p
n
p
inout
ff
Vf
fjfVfV
-
17
Esercizio 1
)(fH
)(2 fVin )(2 fVoutpf
fj+11
22
0
2
02
22 )125(2
1
1 VfVffarctgfVdf
ff
VV pnp
pn
p
nout mp
=◊◊=˜¯ˆ
ÁËÊ◊◊=
˜¯ˆ
ÁËÊ+
=••
Ú
HznVVn /)100(22 =
22
2
22
1
11
1)()(˜¯ˆ
ÁËÊ+
=+
=
p
n
p
inout
ff
Vf
fjfVfV
-
18
Rapporto Segnale–Rumore (SNR)Il rapporto segnale rumore permette
di confrontare la potenza di segnale con lapotenza di rumore:
Se il segnale utile è assunto sinusoidale:
noise
signal
PP
SNR = ˜̃¯
ˆÁÁË
Ê=
noise
signaldB P
PLogSNR 10
)2cos( tfVsignal ◊p
L
signalsignal R
VP
◊=
2
2
Ú•
=0
)(1 dffSR
P nL
noise
Ú•=
0
2
)(2 dffS
VSNR
n
signalLa resistenza di carico (RL) si semplifica poiché è
lastessa per il segnale e per il rumore. Anche se SNR èun rapporto
fra potenze, è possibile definirlo emisurarlo a prescindere dal
carico (RL)
-
19
Filtraggio per Migliorare SNRIn generale il segnale utile non è
sinusoidale ma è un segnale casuale (es. voce,video…)
caratterizzato da una densità spettrale di potenza (Ssignal(f)) su
una bandalimitata.Il segnale audio ha PSD nella banda f1-f2 = 20Hz
– 20KHzIl segnale telefonico ha PSD nella banda f1-f2 = 300Hz –
3400HzIn pratica è opportuno filtrare segnale e rumore per limitare
anche la banda (e lapotenza) del rumore migliorando l’SNR
Ú=2
1
)(f
fsignalsignal dffSP
Ú•
=0
)( dffSP nnoise Ú=1
0)(
f
nnoise dffSP
-
20
Rumore Totale con Diverse Sorgenti
In generale il rumore totale di un circuito è il risultato del
contributo di diversesorgenti.Abbiamo visto che il rumore viene
analizzato considerando la potenza (valorequadratico). L’elevamento
a potenza è una operazione NON-LINEARE.Come possiamo stimare
l’effetto combinato di diverse sorgenti?Possiamo applicare la
sovrapposizione degli effetti ? (calcolare il contributoquadratico
di ogni singola sorgente e poi sommare i singoli risultati?)
-
21
Rumore Totale con Diverse Sorgenti
Calcoliamo la potenza mediaprodotta da due sorgenti di rumoreche
si sommano:
Ú•Æ=T
totTtotdttX
TP
0
2 )(1lim
( ) ( )
Ú
ÚÚÚ
ÚÚ
•Æ
•Æ•Æ•Æ
•Æ•Æ
++=
=++=
=++=+=
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
Ttot
dttXtXT
PP
dttXtXT
dttXT
dttXT
dttXtXtXtXT
dttXtXT
P
02121
021
0
22
0
21
021
22
21
0
221
)()(21lim
)()(21lim )(1lim )(1lim
)()(2)()(1lim )()(1lim
correlazione
-
22
Rumore Totale con Diverse Sorgenti
Ú•Æ++=T
TtotdttXtX
TPPP
02121 )()(2
1lim
correlazione
Calcoliamo la potenza mediaprodotta da due sorgenti di rumoreche
si sommano:
L’integrale di correlazione indica quanto “simili” siano i due
contributi di rumore.Se le sorgenti di rumore sono indipendenti, ad
esempio generate da duecomponenti distinti del circuito (ad esempio
due diversi resistori), allora sonoSCORRELATE.L’integrale di
correlazione è nullo e la potenza totale prodotta dalle due
sorgenticoincide con la somma delle singole potenze
Se le sorgenti di rumore sono scorrelate possiamo applicare la
sovrapposizionedegli effetti sommando le singole potenze per
ottenere la potenza totale.
-
23
Se le sorgenti sono CORRELATE (caso non particolarmente
frequente mapossibile), la potenza totale prodotta da diverse
sorgenti puo essere maggiore ominore della somma delle singole
potenze a seconda del segno dell’integrale dicorrelazione
Sorgenti SCORRELATE:
321 PPPPtot ++=
Sorgenti con CORRELAZIONE positiva Sorgenti con CORRELAZIONE
negativa
321 PPPPtot ++> 321 PPPPtot ++<
Rumore Totale con Diverse Sorgenti
-
24
Esempio di Correlazione Positiva: il Gol
Durante la partita i tifosi allo stadio esultanoed urlano in
modo scorrelato. Ciascuno tifain modo indipendente dai
compagni,osservando ed incitando giocatori e azionidiverse
Il GOL rende le urla dei tifosi correlate,obbligandoli ad
esultare tutticontemporaneamente.
Anche se la potenza media di rumoreemessa da ciascun tifoso è la
stessa, al GOLla potenza totale di rumore risulta più elevata
-
25
• manifestazioni del rumore elettronico
• strumenti analitici per lo studio del rumore
• rumore dei resistori e degli OpAmp
Rumore Elettronico
-
26
Rumore Elettronico dei ResistoriL’agitazione casuale dei
portatori (elettroni) in un conduttore, per effetto
dellatemperatura, da luogo ad una fluttuazione della tensione ai
capi del conduttoreanche in assenza di corrente media.Siccome
questo fenomeno è attivato dall’energia termica, questo
rumoreelettronico prende il nome di “RUMORE TERMICO”.Il rumore
termico introdotto dai resistori è rappresentabile da un generatore
ditensione in serie al resistore con densità spettrale di potenza
costante infrequenza (rumore bianco) di valore:
[ ]HzRTKV bn /V 4 22 ◊=
Kb = 1.38 10-23, costante di BoltzmanT: temperatura assoluta in
gradi Kelvin
Il rumore termico è bianco fino a circa100THz
-
27
Esercizio 2Dato il circuito RC di figura, calcolare la densità
spettrale di potenza e la potenzatotale di rumore all’uscita
Soluzione:
-
28
Rappresentazione con Generatore di Corrente
Applicando i teoremi di Thevenin e Norton,possiamo rappresentare
il rumore termicoanche attraverso un generatore di corrente
inparallelo al resistore:
La corrente di Norton coincide con la corrente misurata in
corto-circuito.
[ ]HzR
TKR
RTKRVI
RVI bbnnnn /A
4 4 2222
2 =◊
==fi=
Le due rappresentazioni del rumore termico sono del tutto
equivalenti.L’utilizzo di una o dell’altra può semplificare i
calcoli, a seconda dellaconfigurazione circuitale in cui il
resistore è inserito
-
29
Esercizio 3Calcolare la densità spettrale di potenza della
tensione di rumore generata dalparallelo di due resistenze
Soluzione:Siccome le due sorgenti sono scorrelate, sommo in
potenza i due singoli contributi
-
30
Esercizio 4Dato il seguente circuito, calcolare il rapporto
segnale-rumore ai terminali di uscita:
Soluzione:
( )( ) ( )
( ) MHzC
CVV
s
o
320R//R2
1
R//Rj1
1RR
R
21
2121
2
=
++=
p
www
oV
22 32 7 2
0,1 1 10 1.25 102 2rms
V V-
-Ê ˆ◊Ê ˆ= = ◊Á ˜Á ˜Ë ¯ Ë ¯
Funzione di trasferimento:
Potenza di segnale all’uscita:
-
31
Esercizio 4Dato il seguente circuito, calcolare il rapporto
segnale-rumore ai terminali di uscita:
oV
Rumore integrato all’uscita:
2 9 2, 4.14 10n out
kTV VC
-= = ◊
20,
10 2,
10 27rmsn out
VSNR Log dB
VÊ ˆ
= =Á ˜Á ˜Ë ¯
-
32
Rumore Elettronico degli OpAmpGli amplificatori operazionali
sono circuiti complessi costituiti da diversicomponenti tra di loro
interconnessi (resistori, transistors). Ciascun componenteintroduce
rumore elettronico dando luogo ad un rumore equivalente
generatodall’amplificatore.
Il generatore di tensione può essere inserito indifferentemente
in serie al (+) o al (-).Il segno dei generatori non è
significativoIl valore della densità spettrale di potenza o della
potenza integrata viene fornito neidatasheets.Nella maggior parte
delle applicazioni e per la maggior parte degli amplificatori,
ilgeneratore equivalente di corrente produce effetti trascurabili e
può essere omesso
E’ possibile considerare l’OpAmp nonrumoroso ed aggiungere
all’ingressouna coppia di generatori di rumore(uno di tensione ed
uno di corrente)che modellizzano il rumore generatodai componenti
interni.
-
33
Rumore Elettronico degli OpAmp
-
34
Esercizio 5Calcolare la potenza di rumore in uscita e il
rapporto segnale-rumore per il seguentecircuito. Il segnale di
ingresso è sinusoidale con frequenza di 1KHz ed ampiezza di10mV. Il
prodotto banda-guadagno dell’OpAmp è 5 MHz
R2=100kW
R1=10kW
C=160pF
Vn,in= 50nV/� Hz
22
1 1 2
:1//
11
VoltageGain
RRj CVout Vin Vin
R R j R Cw
w= - = -
+
Guadagno di tensione
2
1 102p
f KHzR Cp
= =
-
35
Esercizio 5Rumore prodotto da R1:
Il rumore di R1 viene amplificato (del fattore R2/R1) e filtrato
passa-basso con un polo.Il rumore integrato possiamo calcolarlo
immediatamente come (vedi esercizio 1):
Rj1
1RRR4
Rj1
1RRR4
2
2
2
1
21
2
21
211
2,
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+˜̃¯
ˆÁÁË
Ê◊=
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+
-◊=
CTk
CTkV
B
BRoutn
w
w
Il rumore in tensione di R1 vede unaconfigurazione
non-invertente:
CTk
CTkV BBRoutn ◊˜̃¯
ˆÁÁË
Ê=
◊◊◊˜̃
¯
ˆÁÁË
Ê◊=
RR
R21
2
RRR4
1
2
2
2
1
21integrato ,1
2, p
p
229
123
2323
)1.16( V1026.010160101002
12
10k
100k10103001038.14
Vmp
p
=◊=
=◊◊◊◊
◊◊˜¯ˆ
ÁËÊ◊◊◊◊◊◊=
-
--
-
36
Esercizio 5Rumore prodotto da R2:
Il rumore di R2 viene filtrato passa-basso con un polo.Il rumore
integrato possiamo calcolarlo immediatamente come (vedi esercizio
1):
( )
2
22
2
2
2
2
2
22
22
222,
Rj11R4
Rj1R
R4
j1//R
R4
R4
˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+
◊=˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+
=
=˜̃¯
ˆÁÁË
Ê=◊=
CTk
CTk
CTkZTkV
BB
BBRoutn
ww
w
Conviene rappresentare il rumore con generatore dicorrente.
Grazie al feedback, la tensione sull’ingressoinvertente è nulla
(virtual ground)
CTk
CTkV BBRoutn =◊
◊◊◊=2
2integrato ,22, R2
12
R4p
p
229
123323
)1.5( V10026.010160101002
12
101003001038.14
Vmp
p
=◊=
=◊◊◊◊
◊◊◊◊◊◊◊=
-
--
-
37
Esercizio 5Rumore prodotto dall’op-amp Inserisco il generatore
di rumore equivalente in serie
all’ingresso positivo. Il rumore vede unaconfigurazione
NON-INVERTENTE
2
1
22,
2
1
22,
2, R
j1//R
1 R
1˜˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁÁ
Ë
Ê
+◊=˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+◊= CVZVV inninnOpAmpoutn
w
2
2
21
21
1
212,
2
2
2121
1
2,
2
2
21
1
2,
2
2
2
1
2,
2,
Rj1RR
RRj1
RRR
Rj1RRjRR
R1
Rj1RR
R1
Rj1R11
˜˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁÁ
Ë
Ê
++
++
=˜˜¯
ˆÁÁË
ʘ̃¯
ˆÁÁË
Ê+
++◊=
=˜˜¯
ˆÁÁË
ʘ̃¯
ˆÁÁË
Ê+
+◊=˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+
+◊=
C
CV
CCV
CV
CRVV
inninn
inninnOpAmpoutn
w
w
ww
ww
-
38
Esercizio 5Rumore prodotto dall’op-amp Inserisco il generatore
di rumore equivalente in serie
all’ingresso positivo. Il rumore vede unaconfigurazione
NON-INVERTENTE
2
p
z2
1
22,
2,
ffj1f
fj1
RR1
˜˜˜
¯
ˆ
ÁÁÁ
Ë
Ê
+
+˜̃¯
ˆÁÁË
Ê+= innOpAmpoutn VV
kHzCR
102
1f2
p == p
( ) kHzCRR 110//21f
21z == p
L’integrale del rumore è infinito ???
-
39
Esercizio 5Rumore prodotto dall’op-amp L’OpAmp ha prodotto
banda-guadagno (GBW) finito.
Oltre GBW, il guadagno scende con 20dB/dec. Lafunzione di
trasferimento del rumore dell’OpAmp èquindi quella mostrata in
figura
Il rumore integrato dell’OpAmp puo quindi essere calcolato come
somma di duecontributi: Region-I + Region-II
Region I
( )22 2 9 6 2, ,OpAmp, Integrated in Region I 50 10 5 10 (140 )2
2n out n inV V GBW Vp p
m-= = ◊ ◊ =
-
40
Esercizio 5Rumore prodotto dall’op-amp Il rumore dell’OpAmp
nella Region II puo essere
calcolato come sottrazione del rumore in:
Region IIa – Region IIb
( ) ( ) ( )
22 2 22, , ,OpAmp, Integrated in RegionII
1
2 229 3 9 3 2
12 2
50 10 11 10 10 50 10 110 10 (65.7 )2 2
n out n in p n in ZRV V f V fR
V
p p
p p m- -
Ê ˆ= + - =Á ˜
Ë ¯
◊ ◊ - ◊ ◊ =
Region II = Region IIa – Region IIb
-
41
Esercizio 5Rumore Totale
2 2 2 2, OpAmp
(140 ) (65.7 ) (154 )n outV V V Vm m m= + =
( )22, 2 5.1n out RV Vm=
( )22, 1 16.1n out RV Vm=
( ) ( ) ( )2 2 22 2, (154 ) 16.1 5.1 154.9n outV V V V Vm m m m=
+ + =
Segnale
( )2( ) ( ) 10 0.01 cos 2 10001out in
RV t V t tR
p= - = - ◊ ◊
SNR ( )
( )
2
2,
22 6,
0.1210 10 53.2
154.9 10out rms
n out
VSNR Log Log dB
V -
Ê ˆÁ ˜Ê ˆ Á ˜== = =Á ˜Á ˜ Á ˜◊Ë ¯ Á ˜Ë ¯
Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide
Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number
9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide
Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number
18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide
Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number
27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide
Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number
36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide
Number 41
