Rúmfræði og mælingar

Fyrirlestur í KHÍ 6. mars 2003Guðný Helga Gunnarsdóttir

Hvað er rúmfræði? Rúmfræði er sú fræðigrein sem fæst við

lögun hlutanna og stærð, einkum rúmmálsfræði og flatarmálsfræði. (Orðabók menningarsjóðs)

Geometry is grasping space ....that space in which the child lives, breathes and moves. The space that the child must learn to know, explore, conquer, in order to live, breathe and move better in it. (Freudenhtal 1973)

Hvað er rúmfræði? Ágæta umfjöllun má finna á vísindavef

Háskóla Íslands.

http://www.visindavefur.hi.is

Hvað er rúmfræði? Rúmfræði er könnun á hinu sýnilega og

áþreifanlega rúmi sem barnið lifir í. Stærð, lögun, staðsetning, vensl o.fl. verða

hér yfirheiti en leiðirnar sem fara má eru um hvers kyns athuganir á reglulegum og óreglulegum hlutum, sköpuðum af mönnum og náttúru.(Anna Kristjánsdóttir og Guðný Helga Gunnarsdóttir – Skýrsla forskólanefndar 1981)

Rúmfræði – Aðalnámskrá grunnskóla Rúmfræðinám ungra barna ræðst fyrst og fremst

á rannsókn þeirra á umhverfinu. Þau mæla eða áætla fjarlægðir, þyngd, rúmmál,

flatarmál með sjálfvöldum eða stöðluðum mælieiningum.

Nánasta umhverfi gefur nemendum færi á að skapa sín eigin viðfangsefni og leita lausna á þeim.

Námsárangur í rúmfræði ræðst ekki síst af markvissri umræðu þar sem nemendur þjálfast í notkun mismunandi hugtaka

Rúmfræði – Aðalnámskrá grunnskólaVið lok náms í 4 bekk á nemandi að: Kunna skil á nokkrum hugtökum sígildrar

rúmfræði. Kunna skil á nokkrum algengum hugtökum

og aðferðum varðandi mælingu flatarmynda og þrívíðra hluta.

Kunna aðferðir til að lýsa staðsetningu og stefnu.

Hafa kynnst rúmfræðilegum færslum.

Rúmfræði – aðalnámskrá grunnskólaVið lok 7. bekkjar á nemandi að: Kunna skil á algengustu hugtökum sígildrar

rúmfræði Kunna skil á hugtökum og aðferðum varðandi

mælingu flatarmynd og þrívíðra hluta. Þekkja undirstöðuhugtök hnitarúmfræði og geta

notað þau. Kannast við nokkrar tegundir af rúmfræðilegum

færslum og kunna að notfæra sér þær Hafa kynnst nokkrum undirstöðuatriðum sígildrar

rúmfræði og geta notað þau í útreikningum og röksemdafærslum.

Rúmfræði - meginhugmyndir Til eru margs konar tvívíð og þrívíð form.

Hægt er að skoða og lýsa því sem þau eiga sameiginlegt og því sem greinir þau hvort frá öðru. Skilningur eykst eftir því sem maður er fær um að flokka þau og greina á fleiri vegu.

Form hafa eiginleika sem hægt er nota þegar verið er að greina þau og lýsa. Vitund um þessa eiginleika hjálpar okkur að meta form í umheiminum. Hægt er að kanna og greina eiginleika á ýmsa vegu.

Það að greina rúmfræðilega eiginleika í eðlilegu umhverfi, t.d. með því að skoða hluti, stuðlar að afleiddri hugsun og röksemdafærslu (Walle 2001, 17. kafli).

Prófaðu þessi verkefni (Walle bls. 306) Búðu til fimm mismunandi þríhyrnigna.http://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.2/index.htm#applet

Notaðu mynsturkubba, pappaform eða þríhyrninganet – Búðu til myndir sem hafa flatarmálið 10 þríhyrningar. Hvert verður ummálið.

Notaðu mynsturkubba, pappaform eða þríhyrninganet. Búðu til reglulegt mynstur sem þekur flöt.

Hvers vegna rúmfræði? Þegar fengist er við rúmfræði lærum við að meta

umhverfi okkar bæði það sem er skapað af mönnum og náttúrunni.

Rúmfræðilegar athuganir þroska hæfileika til að leysa þrautir.

Rúmfræði gegnir lykilhlutverki við nám í öðrum þáttum stærðfræðinnar t.d brotahugtök.

Fjölmargir nota rúmfræði daglega við störf sín bæði á heimili og vinnustað.

Rúmfræði er skemmtileg (Walle 2001).

Kenning Van Hiele hjónanna Kenning um hvernig rúmfræðileg hugsun

þróast.

Van Hiele hjónin greina þróunina niður í fimm þrep. Þrepin lýsa því sem hvernig maður hugsar og hvaða rúmfræðilegar hugmyndir maður hugsar um á hverju þrepi fyrir sig fremur en hvaða þekkingu maður býr yfir.

Þrep 0 - sjónræntSjónrænt Nemendur þekkja og greina form út frá

sjónrænum áhrifum eingöngu.

Þetta er rétthyrningur vegna þess að hann lítur út eins og hurð.

Þessi hlutur hefur lögun sem ég hef lært að kalla tígul.

Ég flokka þessa hluti saman því þeir líta svipað út.

Þrep 0 – Dæmi um viðfangsefni Kanna tvívíð og þrívíð form og eiginleika þeirra.

Byggja, flokka greina frá ýmsum sjónarhornum.

Búa til tvívíð og þrívíð form.

Þökun og mynstur

http://www.standards.nctm.org/document/chapter4/geom.htmMarghyrningarhttp://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.2/index.htmMaríuhænanhttp://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.3/index.htm

Þrep 1 – Lýsing og greining Nemendur fara að líta á eiginleika hlutanna og

greina þá að á grundvelli eiginleika en ekki útlitsins eingöngu. Þeir fara að flokka hluti saman eftir eiginleikum og geta horft fram hjá eiginleikum sem ekki skipta máli s.s. lit og staðsetningu.

Nemendur geta greint frá þeim eiginleikum sem einkenna rétthyrninga, samsíðunga, ferninga en – en átta sig ekki á að allt eru þetta undirflokkar í einum og sama flokknum, að allir ferningar eru rétthyrningar og að allir rétthyrningar eru samsíðungar.

Þrep 1 – dæmi um viðfangsefni

Flokka form eftir eiginleikum

Að búa til og mæla tvívíð og þrívíð form Að teikna eftir tilteknum fyrirmælum.

Að kanna tiltekna eiginleika og vensl. Speglun, hliðrun, snúningur, stækkun, smækkun.

Þökun og flóknari mynsturgerð

Samsíðungar - rétthyrningarhttp://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap5/5.3/index.htm#applet

http://www.fi.ruu.nl/rekenweb/en/welcome.xml

Þrep 2 – Óformleg afleiðsla Nemendur fara að átta sig á venslum milli

eiginleika og geta flokkað í undir og yfirflokka eftir eiginleikum og rökstutt flokkun sína. Þeir vinna með eiginleikana sjálfa en ekki hlutina.

Það verður ljóst hvers vegna ferningur er rétthyrningur.

Þeir átta sig einnig á að hornasumma ferhyrnings hlýtur að vera 360° því sérhvern ferhyrning má búa til úr tveimur þríhyrningum sem hafa hornasummuna 180°.

Þrep 2 – dæmi um viðfangsefni Skilgreiningar og eiginleikar

Skrá alla eiginleika rétthyrnings. Hvaða eiginleika þarf að tiltaka í skilgreiningu.

Óformlegar sannanir Rétthyrningi hefur verið skipt í tvo sams konar

hluta. Hvernig gætu þeir verið? Reglur

Pýþagoras, reglur um flatarmál og rúmmál, reglulegir margflötungar

http://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap6/6.5/index.htm#applet

http://www.standards.nctm.org/document/eexamples/chap7/7.3/index.htm

Þerp 3 og 4. Hér er farið að vinna með frumsendur og

kenningar sem leiða af athugunum og tengslum eiginleika.

Hér er farið að vinna með eiginleika og draga ályktanir á huglægu plani og byggt er á röklegu samhengi fremur en innsæi.

Hvað einkennir Van Hiele þrepin Eitt þrep tekur við af öðru. Fara verður þrep af

þrepi af þrepi 0 yfir á þrep 1 o.s.frv. Þrepin eru óháð aldri. Þú gætir verið á þrepi 0 alla

þína skólagöngu og mjög margir fara aldrei ofar en á þrep 2.

Tækifæri til að takast á við rúmfræðilega viðfangsefni skipta mestu um hvort nemendur færast á milli þrepa. Kennsla eða góðar aðstæður til náms eru lykilatriði.

Ef kennslan er á þrepi sem er hærra en það sem nemandinn er á er hætta á misskilningi.

Standards – rúmfræðihttp://www.standards.nctm.org/document/chapter4/geom.htm

Greina einkenni og eiginleika tvívíðra og þrívíðra forma og þróa stærðfræðilega röksemdafærslu um rúmfræðileg vensl.

Ákvarða staðsetningu og lýsa rými með því að nota hnitarúmfræði og önnur staðsetningarkerfi.

Nota flutninga og nota samhverfur til að greina stærðfræðilegar aðstæður.

Nota sjónrænar leiðir, rúmskyn og rúmfræðileg líkön til að leysa þrautir og viðfangsefni.

Mælingar Mælingar felast í samanburði þess sem á að

mæla við einingu sem hefur sama eiginleika og verið er að skoða. Mikilvægt er að hafa góðan skilning á þeim eiginleika sem á að mæla.

Mikilvægt er að þekkja vel þá mælieiningu sem verið er að nota.

Mælitæki koma í stað raunverulegs samanburðar og mæta þörf fyrir meiri nákvæmni.

Flatarmáls og rúmmálsreglur eru leiðir til að nota lengdarmælingar í stað þess að nota rúmmáls- eða flatarmálseiningar (Walle 2001)

Mælingar fela í sér þrjú þrep1. Ákveða hvað eiginleiki það er sem á að

skoða.2. Velja mælieiningu sem hefur þennan

sama eiginleika.3. Bera mælieininguna við þann eiginleika

hlutarins sem verið er að skoða.

Hvaða eiginleika mælum við Þyngd – massa Lengd Rúmmál – rúmtak Flatarmál Horn Tíma

Hvað mælieiningar þekkið þið? Hvað viðmiðum getum við komið okkur upp?

Að byggja upp skilning á mælingum. Skilja þann eiginleika sem á að mæla.

Framkvæma samanburð á grundvelli þess eiginleika sem verið er að skoða.

Skilja að það að mæla felst í fylla, þekja eða bera saman eiginleika við einhverja tiltekna mælieiningu. Framkvæma mælingar

Skilja hvernig mælitæki virka. Búa til eigin mælitæki og bera þau saman við

stöðluð mælitæki til að átta sig á hvernig þau virka.

Mælingaferli Samanburður – beinn – óbeinn

Mælieiningar – óstaðlaðar – staðlaðar

Mælitæki – óstöðluð – stöðluð

Ágiskun og mælingar

Dæmi um einingar sem nota má til að mæla flöt Pappaform- ferningar, þríhyrningar,

rétthyrningar. Dagblöð til að mæla stóra fleti. Mynsturkubbar – pappaform – misstórar

einingar Spil, spjaldskrárspjöld, gömul nafnspjöld Baunir, peningar, hringlaga plastbútar.

Ekki er nauðsynlegt að hlutirnir þeki fullkomlega í byrjun.