r³wnanie Eulera, r³wnanie ci…g‚o›ci przep‚ywu, r³wnanie Bernoulliego

  • View
    59

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Wykład 6. równanie Eulera, równanie ciągłości przepływu, równanie Bernoulliego. 1. Równanie Eulera. W poruszającym się płynie oddziaływują następujące siły: siły masowe, siły powierzchniowe, siły bezwładności. Siły masowe i powierzchniowe działające na element płynu. - PowerPoint PPT Presentation

Text of r³wnanie Eulera, r³wnanie ci…g‚o›ci przep‚ywu, r³wnanie...

  • rwnanie Eulera,rwnanie cigoci przepywu, rwnanie Bernoulliego.Wykad 6

  • 1. Rwnanie EuleraSiy masowe i powierzchniowe dziaajce na element pynuW poruszajcym si pynie oddziaywuj nastpujce siy: siy masowe, siy powierzchniowe, siy bezwadnoci.

  • Siy powierzchniowe dziaajce w kierunku osi x bd rwne:analogicznie dla osi y, z

  • poniewa pyn porusza si to skadowe wektora si bezwadnoci (dAlemberta) przedstawiaj si nastpujcoskadowe si masowych

  • Suma si czynnych masowych i bezwadnoci w kadym dowolnym kierunku ruchu jest rwna 0, stdpo uproszczeniu otrzymamy

  • lub po podzieleniu przez poniewa zmiana prdkoci odbywa si w przestrzeni jak i w czasie uwzgldniamy pochodn substancjaln rwn

  • otrzymamys to rwnania Eulera dla pynu doskonaego, ktre w zapisie wektorowym maj posta

  • 2. Rwnanie cigoci ruchu jednowymiarowego

  • Masa pynu wpywajcego w czasie dt przez przekrj 1-1 wynosi

    a wypywajcego przez przekrj 2-2:Rnica pomidzy obu masami, jeli jest rna od 0, musi rwna si zmianie masy pynu zawartego pomidzy przekrojami 1 i 2 oddalonymi od siebie o ds. Zmiana ta spowodowana jest zmian gstoci pynu.Po wymnoeniu oraz pominiciu wielkoci maych wyszego rzdu otrzymamy

  • lub po uwzgldnieniu zasady rniczkowania iloczyn rwnanie przybiera postaDla ruchu ustalonego (niezalenego od czasu) rwnanie przybiera postaCzyli dla pynu ciliwego rwnanie jest spenione jelinatomiast dla pynu nieciliwego rwnanie jest spenione jeli

  • Pierwsza wielko nazywa si strumieniem masy, a rwnanie rwnaniem cigoci dla pynu ciliwegoDruga wielko nazywa si strumieniem objtoci, a rwnanie rwnaniem cigoci dla pynu nieciliwegoZ rwna wynika, eJeli w polu o przekroju A prdko nie jest jednakowa, to wwczas w rwnaniach cigoci przepywu wystpuje prdko rednia vr rwna

  • 3. Rwnanie cigoci ruchu oglnym (trjwymiarowym)

    y

    x

    z

    0

    A

    B

    C

    dx

    dz

    dy

  • Przez ciank OABC (wzdu osi x) w czasie dt przepywa masa rwnanatomiast przez przeciwleg ciank wypywa w tym samym czasie masaRnica pomidzy mas wpywajc do prostopadocianu a wypywajc wynosiPodobnie postpujemy dla pozostaych dwch par cianek, otrzymujc rnice mas wpywu i wypywu rwne

  • Suma tych rnic rwna si zmianie masy zawartej w objtoci prostopadocianu wskutek zmiany gstoci czyliPorwnujc rwnanie (32) z sum rwna (29-31) otrzymamypo podzieleniu przez dx dy dz dt otrzymamyJest to rwnanie cigoci w formie Eulera dla ruchu pynu ciliwego

  • Zapis rwnania (35) mona uproci stosujc pojcie dywergencji Czyli otrzymamy rwnanie (35) w postaciDla pynu nieciliwego =const std a zatem rwnanie cigoci jest rwnelub

  • 4. Rwnanie BernoulliegoZaoenia: pyn nielepki, nieciliwy, ruch jednowymiarowy, ustalony, prdko jest staa w przekroju poprzecznym strugi.

  • energii potencjalnej cinienia, rwnej iloczynowi siy powierzchniowej i przesunicia , czyliWydzielimy odcinek strugi zawarty midzy przekrojami 1-1 i 2-2, okrelimy energi mechaniczn cieczy w czasie dt. W czasie dt ciecz z przekroju 1-1 przemieci si o do przekroju 1-1, a z przekrj 2-2 o do 2-2. Cakowita energia mechaniczna pynu przepywajcego przez przekrj 1-1 w czasie dt skada si z:

    energii kinetycznej masy , poruszajcej si z prdkoci , czyli energii potencjalnej pooenia

  • Cakowita energia przepywajca w czasie dt przez przekrj 1-1 wynosia przez przekrj 2-2(43)(44)Poniewa ruch odbywa si bez strat energetycznych, to:(45)zatem (46)

  • Po podzieleniu rwnania (46) obustronnie przez otrzymamy:(47)Rwnanie Bernoulliego zapisujemy w postaci: (48)z

  • Po pomnoeniu rwna (47-48) obustronnie przez g otrzymamy:(49)(50)gz

  • Interpretacja geometryczna rwnania Bernoulliego