„Mogę przewidzieć ruch ciał niebieskich ale ruchu kropli wody nie.”Galileo Galilei

Równanie zachowania energii (równanie Bernoulliego)

Przewidywanie zachowania się układów fizycznych zawsze zaprzątało głowynaukowców. Aby można było prognozować przebieg zjawisk fizycznych najpierwnależy umieć prawidłowo opisywać ich stan bieżący. Jedną z dziedzin, gdzie stosuje sięprognozowanie zachowań układu jest modelowanie numeryczne dynamiki przepływuwody. Zmierzają one do symulowania reżimu przepływu wody poprzez określenieparametrów takich jak napełnienie, ciśnienie, prędkość przepływu, natężenie przepływuw każdym punkcie w przestrzeni i w dowolnym czasie.

Dzięki rozwojowi technik komputerowych możliwe stało się modelowanienumeryczne w układzie jednowymiarowym (1D), dwu- i trzy-wymiarowym (2D i 3D).Modele te różni stopień skomplikowania opisu matematycznego przebiegu zjawiska,ilość danych wejściowych, sposób wizualizacji danych ... Obecnie stosowane modelehydroinformatyczne umożliwiają symulowanie układu zwierciadła wody w warunkachustalonego i nieustalonego przepływu wody, transportu rumowiska, meandrowaniekoryt rzek itp. W obliczeniach uwzględnia się ruch spiralny wody, zmianę wartościszorstkości podłoża w czasie przejścia fali powodziowej i wiele innych zjawisktowarzyszących przepływowi. .... Są to skomplikowane modele numeryczne.

Zanim rozpoczniemy przygodę z modelowaniem numerycznym przepływu wodyi będziemy odpowiedzialni za wyniki obliczeń (czytaj: zarabiać) musimy cofnąć się wczasie do XVIII wieku, kiedy Daniel Bernoulli (ur. 8 lutego 1700 w Groningen, zm. 17marca 1782 w Bazylei) – szwajcarski matematyk i fizyk podał równanie ruchustacjonarnego cieczy idealnej zwane równaniem Bernoulliego (1738 rok). Równanie tozostało wyprowadzone dla cieczy idealnej. Przepływ wody jest na tyleskomplikowanym zagadnieniem, że wydawało się niemożliwe jego numeryczneopisanie. Wprowadzono, więc pojęcie cieczy idealnej. Ciecz idealna jest wytworemwyobraźni ludzkiej: taka ciecz nie ma lepkości, jest nieściśliwa, ma jednakowa gęstośćw całej swojej objętości, nie posiada zanieczyszczeń.

Ciecz idealną od cieczy rzeczywistej najbardziej różni brak lepkości. Przyciśnieniach występujących w przyrodzie, np. wodę można uznać za ciecz nieściśliwą,różnice gęstości w danej objętości wody też można uznać za wielkość nieznaczącą, alepominięcie lepkości prowadzi do niezgodności wyników obliczeń z wynikamipomiarów a często do paradoksów. W następnych latach zmodyfikowano równaniewzbogacając je o człon uwzględniający wpływ lepkości cieczy na warunki jejprzepływu.

1. Wprowadzenie

Najprostszą postacią zapisu równania Bernoulliego dla cieczy idealnej w ruchuustalonym jest:

E = stała dla strug cieczy (1)

które oznacza, że w ruchu ustalonym cieczy idealnej energia E poruszających się wstrudze cząstek płynu jest wartością stałą. Energia ta jest sumą wielkości, którychzależność opisana jest wzorem:

constgzpE

2

2

(2)

Jeżeli równanie (2) pomnożymy stronami przez masę m, gęstość lub podzielimy przezprzyśpieszenie ziemskie g równanie to przekształca cię do postaci odpowiednio (3), (4)lub (5).Po pomnożeniu stronami przez masę m otrzymujemy:

constmgzmpm

potencjalaenergiaychciśiśnienisiłpracakinetycznaenergia

2

2

(3)

Pierwszy człon w równaniu 3 wyraża energię kinetyczną, ostatni energię potencjalną.Suma tych dwóch elementów stanowi energię mechaniczną. Wyrażenie mp/ jest topraca sił ciśnieniowych. Całość to równanie zachowania energii mechanicznej.W przypadku, gdy obie strony równania pomnożymy przez gęstość ośrodka poszczególne człony równania reprezentują ciśnienia: dynamiczne, statyczne ihydrostatyczne, razem stanowią ciśnienie całkowite.

constzp

cznehydrostatyciśiśnienstatyczneciśiśniendynamiczneeciśiśnieni

2

2

(4)

Po podzieleniu obu stron równania (2) przez przyśpieszenie ziemskie g kolejnewyrażania w równaniu (5) oznaczają wysokości: prędkości, ciśnienia i położenia.

constzp

g połołożenwysokośy

ciśiśnienwysokośypręrędkośwysokośy

2

2

(5)

Sprawdzamy jednostki:

mms

sm

gsmsm

2

2

222

2

)(2 , m

Nm

mNp

mN

mN

3

23

2

, mz

Jednostką kolejnych członów równania (5) jest [m], czyli długość (wysokość). Z tegowzględu istnieje możliwość wykonania wykresu (Rys.1), który będzie reprezentowałrównanie Bernoulliego (wykres Ancony). Jednocześnie należy zaznaczy, że ta postaćrównania Bernoulliego jest najbardziej czytelnym zapisem pozwalającym na szybkąjego interpretacje i znajduje szerokie zastosowanie Stosujemy je do obliczeńparametrów przepływu w przewodach zamkniętych (przepływ odbywa się podciśnieniem) jak i korytach otwartych (ze swobodnym układem zwierciadła wody).

W czasie rozwiązywania zadań najczęściej korzystamy z równania Bernoulliegow postaci (5) wyprowadzonym dla dwóch kolejnych przekrojów poprzecznych. Dlawybranej linii prądu cieczy idealnej energia nie zmienia się ani w przestrzeni ani wczasie, czyli w kolejnych punktach energia jest stała E1=E2=E3= … En. Indeksyoznaczają kolejne przekroje. Dla dwóch wybranych przekrojów energia jest stała:

E1=E2 (6)

Po podstawieniu wzoru (5) do równania (6) otrzymujemy

22

22

11

21

22zp

gzp

g

(6a)

Rys.1. Wykres linii ciśnień i linii energii dla cieczy idealnej

Zasadę zachowana energii dla cieczy idealnej przedstawiono graficznie na Rys. 1. Liniaenergii dla cieczy idealnej jest linią poziomą, ponieważ E1=E2. Rzędna linii energii wkażdym punkcie linii prądu (osi przewodu) zależy od wartości prędkości w przekroju,ciśnienia oraz położenia przekroju. Ze względu na zmienną geometrię przekrojupoprzecznego płynącej strugi prędkość przepływu wody w przekroju 1-1 jest inna niż wprzekroju 2-2. Z warunków przepływu wynika, że prędkość w przekroju 1-1 jestwiększa niż w przekroju 2-2 (mniejsze pole powierzchni przekroju strugi większaprędkość przepływu wody, większe pole powierzchni mniejsza prędkość). Jednocześnie:

gg 22

22

21

Zmiany prędkości pociągają za sobą zmiany ciśnienia w poszczególnych przekrojach:

21 pp

Pomimo zmian położenia przekrojów z1 i z2, wartości prędkości v1 i v2 oraz ciśnień p1 ip2 suma energii dla cieczy idealnej w kolejnych przekrojach jest niezmienna.

W równaniu (6a) występuje sześć zmiennych: dwie prędkości v, dwa ciśnienia p i dwiewysokości z. W celu redukcji ich ilości wybiera się przekroje oraz przyjmuje poziomporównawczy w charakterystycznych miejscach. Przykład objaśniający proceduręobliczeniową przedstawiono poniżej.

2.1. Przykład 1

Obliczyć wartość natężenia przepływuna wylocie z rurociągu dla schematupokazanego na Rys. 2 (ciecz idealna)dla następujących danych;h1 = 3,0 m,h2 = 1,5 m,l1 = 2,0 m,l2 = 14 m,d = 2,5 cm.

Rys.2. Schemat obliczeniowy

Wartość przepływu Q [m3·s-1] obliczymy ze wzoru:

FQ (7)

gdzie; v - prędkość przepływu wody [m·s-1],F – pole powierzchni przekroju strugi [m2].

Pole powierzchni traktujemy jako wielkość o znanej wartości – znamy średnicęprzewodu. Prędkość przepływu wody obliczymy wykorzystując równanie Bernoulliego.W celu jego zastosowania należy przyjąć poziom porównawczego oraz wybraćprzekroje poprzecznych, w których będziemy wykonywać obliczenia.Przekroje poprzeczne przyjmujemyzawsze prostopadle do kierunkuprzepływu strugi (Rys. 3), w miejscachcharakterystycznych, to znaczy jeden wmiejscu gdzie chcemy coś obliczyć,kolejny (poprzedni lub następny) wmiejscu gdzie znane są jakiekolwiekparametry. Lokalizacja przekrojówobliczeniowych wpływa na wynikobliczeń, nie każda para przekrojówprowadzi do rozwiązania, w skrajnychprzypadkach mogą pojawić sięsprzeczne wyniki.Poziom porównawczy jest to poziomapłaszczyzna. Od płaszczyzny tej liczyćbędziemy położenie przekrojów z.Przyjęcie poziomu porównawczego niewpływa na wynik obliczeń, jedynie ma

wpływ na ich przebieg (prostotę lubstopień skomplikowania).

Rys.3. Przekroje poprzeczne prostopadłe do kierunkuprzepływu

Procedurę obliczeniową związaną z obliczeniem prędkości przepływu (wykorzystaniemrównania Bernoulliego) przeprowadzimy w następujących etapach:

Etap 1 – wybór przekrojów poprzecznych

Obliczenia przeprowadzimy dla dwóchwybranych przekrojów poprzecznych.Pierwszy z nich zostanie zlokalizowanyw miejscu, gdzie spodziewamy sięokreślić szukaną wartość, czyliprędkość przepływu (a następnienatężenie przepływu). Miejscem tymjest wylot z rurociągu – przekrój 23-23.Przy wyborze drugiego będziemykierować się „dostępnością danychwyjściowych”. Należy pamiętać, że wrównaniu Bernoulliego występuje sześćniewiadomych. Redukcja ich ilości jest,więc kluczowym zagadnieniem. Wynikaz tego, że korzystnie byłobyzlokalizować ten przekrój w miejscugdzie dostępna jest informacja o stanieukładu. Dla naszego układy takim

miejscem jest zwierciadło wody –ciśnienie na jego powierzchniodpowiada ciśnieniu atmosferycznemuoraz znane jest napełnienie. Przekrój tenoznaczymy 7-7 (będzie to przekrójpoczątkowy).

Rys.4. Wybór przekrojów poprzecznych

Etap 2 – przyjęcie poziomu porównawczego

Poziom porównawczy jest poziomą płaszczyzną odniesienia, służącą do lokalizacjiprzekrojów. Jej usytuowanie nie wpływa na wynik, każda spełni swoje zadanie. Alepamiętając o potrzebie redukcji niewiadomych w równaniu Bernoulliego wskazane jestjej usytuowanie w miejscach charakterystycznych. Wariantowe przyjęcia poziomuporównawczego przedstawiono na Rys. 5 i b.

Rys.5. Przyjęcia poziomu porównawczego, a) na dowolnej wysokości, b) w osi przewodu, w przekroju 23-23

Z analizy Rys. 5a wynika, że odległość z23 nie jest znana. Co prawda odległość tazredukowałaby się w równaniu Bernoulliego, ale będziemy stosować rozwiązanianajefektywniejsze. Z tego względu rekomendowane jest przyjęcie poziomuporównawczego w osi przewodu, w przekroju 23-23.

Etap 3 – oszacowanie wartościzmiennych w równaniu Bernoulliego,

Dla tak wybranych przekrojów iprzyjętego poziomu porównawczego(Rys. 5b) szacujemy wartości

b)

poszczególnych parametrówwystępujących w równaniu.Parametr z w równaniu Bernoulliegojest to odległość przekroju od poziomuporównawczego (jego środka).Odległość pomiędzy poziomemzwierciadła wody a poziomemporównawczym jest sumą odległościh1+h2, przekrój 23-23 zlokalizowanyjest na przekroju z23=0. Ciśnienie wprzekroju 7-7 odpowiada ciśnieniuatmosferycznemu. Podobnie wprzekroju 23-23 – woda wypływając zrurociągu wpływa do przestrzeni ociśnieniu atmosferycznym. Prędkość v23jest wartością szukaną – niewiadomą, w

przekroju 7-7 ma wartość zero. Wkrótkim czasie ilość wody, którawypłynie ze zbiornika spowodujeobniżenie zwierciadła wody o wartośćniezauważalną, bliską zero. W takichwarunkach można przyjąć, żezwierciadło wody jest stałe a tymsamym brak jest przepływu wody (wwarunkach przepływu ustalonegozwierciadło wody jest niezmienne).Podsumujmy:

217

7

7 0

hhzpp atm

0

?

23

23

23

zpp atm

Etap 4 – rozwiązanie równania Bernoulliego

2323

223

77

27

22zp

gzp

g

(8)

02

0223

21

atmatm pg

hhp (8a)

21

223

2hh

g

(8b)

)(2 2123 hhg (8c)

40,9)5,13(223 g m∙s-1

Natężenie przepływu wyniesie, więc (7):

00461,04025,040,9

4

22

2323

dFQ m3∙s-1

2.2. Wnioski

Natężenie przepływu przy założeniu, że woda ma właściwości cieczy idealnej wynosiQ = 4,61 l/s.

Wniosek merytoryczny: Prędkość wypływu ze zbiornika została opisana wzorem (8c).Wynika z niego, że prędkość przepływu wody zależy od różnicy poziomów zwierciadławody w zbiorniku i wylotu z przewodu oraz przyspieszenia ziemskiego. Na wynik niema wpływu ani długość i średnicy przewodu, jego ukształtowania, szorstkościmateriału, z którego jest wykonany, temperatury cieczy czy też UWAGA rodzajucieczy. Wynika to z faktu, że obliczenia wykonano dla cieczy idealnej, która

pozbawiona jest lepkości. Spodziewać się należy, że wynik pomiaru znacząco będzieróżnił się od uzyskanej wartości.W kolejnym zadaniu przeprowadzimy obliczenia dla cieczy rzeczywistej.

Wniosek praktyczny: Natężenie przepływu zależy od powierzchni przekrojupoprzecznego strugi oraz prędkość przepływu wody. Do obliczenia wartości prędkościwykorzystaliśmy równanie Bernoulliego. Procedura obliczeniowa składa się znastępujących etapów:

1. wybór przekrojów obliczeniowych,2. przyjęcie poziomu porównawczego,3. przyjęcie założeń,4. rozwiązanie równanie Bernoulliego.

3.1. Przykład 2

Prędkość przepływu wody w korycieotwartym zmierzono przy pomocy rurkiPitota. Różnica poziomów wodyh=60 mm. Obliczyć prędkośćprzepływu wody.

Czy zakrzywioną rurką umieszczą wstrumieniu przepływającej wody możnaokreślić prędkość przepływającej wody?Mierząc tylko spiętrzenie wody wpionowej części rurki? Odpowiedź jesttwierdząca – rzeczywiście tak prostymprzyrządem można zmierzyć prędkość

przepływającej wody. Wykorzystamy wtym celu równanie Bernoulliego.

Rys.6. Pomiar prędkości przepływu wody przypomocy rurki Pitota

W pierwszej kolejności wybieramy przekroje i przyjmujemy poziom porównawczy.Jeden przekrój usytuujemy na wlocie do rurki w jej poziomej części – przekrój 2-2.Ciśnienie dynamiczne pochodzące od przepływającej wody (patrz równanie 4)powoduje podniesienie się zwierciadła wody w pionowej części rurki – im większaprędkość przepływu wody tym różnica poziomów wody h ma większe wartości.Jednocześnie wlot do rurki opływany jest strumieniem wody. Ponieważ woda w rurcenie porusza się łatwo jest określić wartość ciśnienia w przekroju 2-2. Przekrójpoczątkowy przyjmiemy w dowolnym miejscu na wysokości wlotu do rurki Pitota wtakiej minimalnej odległości aby uniknąć zakłócenia przepływu wywołanego obecnościąprzyrządu pomiarowego. Poziom porównawczy przyjmiemy na wysokości wlotu dorurki.Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:

22

22

11

21

22zp

gzp

g

(9)

Szacujemy wartości poszczególnych elementów:

0

?

1

1

1

zxpp atm

0)(

0

2

2

2

zhxpp atm

Po podstawieniu do równania (9) otrzymujemy:

0)(002

21

Dhxpxp

gatmatm (9a)

hg

2

21 (9b)

hg 21 (9b)

85,106,021 g m∙s-1

3.2. Dyskusja

Otrzymany wynik jest prędkością lokalną, występującą w wybranej strudze cieczy.Zmiana zagłębienia końcówki rurki Pitota spowoduje pomiar dla innej linii prądu. Powykonaniu serii pomiarów prędkości od dna do zwierciadła wody otrzymuje siępionowy rozkład prędkości przepływu wody.W cieczy idealnej, która pozbawiona jest lepkości pojedyncze warstwy przepływającejcieczy przesuwają się po sobie bez tarcia. W takim przypadku rozkład pionowyprędkości przedstawiona na Rys. 7a. W całym pionie prędkość ma jednakową wartość.

Rys.7. Rozkład prędkości przepływu wody dla cieczy: a) idealnej, b) rzeczywistej

Opory ruchu wywołane tarciem pomiędzy cząsteczkami cieczy oraz pomiędzy cieczą opodłożem powoduje zróżnicowanie prędkości przepływu wody (Rys. 7b). Prowadzi todo występowania pulsacji przepływu wody w ruchu turbulentnym. W ruchuturbulentnym występują trzy składowe prędkości: vx, vy i vz.Pomimo prostoty wykonania i zastosowania rurka Pitota w pomiarach laboratoryjnychruchu turbulentnego nie znalazła szerszego zastosowania ze względu na niestabilnośćpoziomu zwierciadła wody (odczyt h obarczony dużą niepewnością). Jej modyfikacjawprowadzona przez Prandta nie usunęła całkowicie tej niedogodności. Rurka Pitota zpowodzeniem służy do pomiaru przepływu gazów.

a) b)

4.1. Przykład 3

Wartość natężenia przepływu możnaokreślić na podstawie zmian geometriiswobodnego strumienia wody podwpływem przyciągania ziemskiego.Przyśpieszenie ziemskie sprawia, żeprędkość wypływającego strumieniarośnie w kierunku przepływu.

Rys.8. Schemat obliczeniowy (fot. Arch.)

Obliczenie przepływuQ = F

gdzie: Q – przepływ [m3·s-1], F – pole powierzchni [m2], v - prędkość przepływu [m·s-

1]

Do obliczenia prędkości przepływuwykorzystamy równanie Bernoulliego:1. Przyjęcie przekrojów i poziomu

porównawczego

Rys.9. Schemat obliczeniowy

2. Równanie Bernoulliego dla cieczyidealnej

22

22

11

21

22zp

gzp

g

022

22

21

atmatm p

glp

g

gl

g 22

22

21

lgg

22

21

22

Równanie z dwoma niewiadomymiwspomagamy równaniem ciągłościstrugi Q1= Q2

2211

21

22

2FFQ

lg

22

211

22

21

1

2

112

4

4dd

d

d

FF

lg

dd

2

21

2

22

211

Obliczamy prędkość v1

lg

dd

2

214

2

41

21

lg

dd

2

142

412

1

1 1

22 p.por

gldd 214

2

412

1

1

2

42

41

1

dd

gl

Stąd, korzystając z równania ciągłościstrugi Q= v1F1 (mnożymy obie stronyrównania przez pole powierzchni F1)

1

42

41

11

1

2 F

dd

glF

Po przekształceniu:

14

2

42

41

21

dd

gldQ

Z powyższego równania wynika, żewystarczy zmierzyć tylko trzy wielkościliniowe aby określić natężenieprzepływuJednostką przepływu jest [m3.s-1]:sekunda pochodzi z przyśpieszeniaziemskiego.

4.2. Dyskusja wyników

Problemem w przedstawionej metodzie jest dokładność pomiaru średnic d1 oraz d2.Można zwiększyć dokładność pomiaru średnic rzutując strumień wody na papiermilimetrowy i źródło światła.

Rys.10. Zwiększenie dokładności odczytu średnic d1 oraz d2

Równanie zachowania energii (równanie Bernoulliego) dla cieczy rzeczywistej

Równanie Bernoulliego dla cieczy idealnej zostało wyprowadzone przy założeniu, żeciecz nie posiada lepkości. Takie podejście umożliwiło napisanie równanie, któreopisuje ruch cieczy lecz wynik obliczeń nie odpowiadał wynikom doświadczeń. Oporyruchu wywołane lepkością cieczy sprawiają, że część energii zostaje zużyta na ichpokonanie. Dla wybranej strugi cieczy w dwóch przekrojach równanie (6) dla cieczyrzeczywistej zapiszemy:

strhEE 21 (10)

gdzie: hstr – suma strat hydraulicznych reprezentująca opory ruchu pomiędzyprzekrojami 1-1 i 2-2. W sposób graficzny przedstawione zostały one na Rys. 11.Jeżeli straty mają wartość dodatnią z przedstawionego zapisu wynika, że energia wkolejnym przekroju zawsze jest mniejsza w stosunku przekroju poprzedzającego.

Rys.11. Wykres linii ciśnień i linii energii dla cieczy rzeczywistej

5. Wprowadzenie

Równanie Bernoulliego dla cieczy rzeczywistej:

strhzpg

zpg 2

222

11

21

22

(11)

gdzie:hstr - wysokość strat hydraulicznych na długości od przekroju 1 do

przekroju 2. Straty hydrauliczne liczymy jako sumę strat na długości hl oraz stratmiejscowych hm.

hstr = hl + hm (12)

1. Straty na długości są wynikiem oddziaływania ścianek przewodu lub koryta astrumieniem cieczy czyli wywołane lepkością:

gv

dl

gvh ls 22

22

[m] (13)

gdzie: gvhs 2

2

l – współczynnik strat na długości,l – długość przewodu,d – średnica,v – prędkość przepływu, – współczynnik oporów liniowych:

- dla przepływu laminarnego Re < 2320

Re64 (13a)

Re – liczba Reynoldsa, Re=d/

- dla przepływu burzliwego Re < 80000

wg Blasiusa4 Re3164.0

(13b)

- dla przepływu burzliwego

wg Nikuradsego 2

38.1log2

1

kd

(13c)

k- średnia wartość nierówności ścian przewodu,

wg Collebrooka-White’a

dk71,3Re

51,2lg21

(13d)

z równania Darcy’ego-Weisbacha 2

8cg

(13e)

c – współczynnik prędkości, wg Manninga 6/11hR

nc

Rh – promień hydraulicznyz

h OFR

F- pole powierzchni przekroju poprzecznego,Oz – obwód zwilżony. NaRys. 12 przedstawionoprzekroje z określonymobwodem zwilżonym –jest to ta część przekroju,która styka się z wodą. Wprzypadku przewodówpracujących podciśnieniem, które sąwypełnione całkowiciecieczą obwód zwilżonyrówna się obwodowistrugi cieczy.

Rys.12. Obwód zwilżony Oz w przypadku korytotwartych i przewodu pracującego pod ciśnieniem

2. Straty lokalne długości są wynikiem lokalnego zaburzenia przepływu wywołanązmianą średnicy przekroju, załamaniem przewodu lub obecnością przeszkód:

gvh ms 2

2

[m] (14)

gvhs 2

2

m – współczynnik strat miejscowych. Wartość współczynnika opisana jestrównaniem lub odczytuje się ją z tabeli w zależności od genezy jej powstania.

6.1. Przykład 1

Obliczyć wartość natężenia przepływuna wylocie z rurociągu dla schematupokazanego na Rys. 13 (cieczrzeczywista) dla następujących danych;h1 = 3,0 m,h2 = 1,5 m,l1 = 2,0 m,l2 = 14 m,d = 2,5 cm.

Rys.13. Schemat obliczeniowy

Wartość przepływu obliczymy ze wzoru FQ . Pole powierzchni traktujemy jakowielkość o znanej wartości – znamy średnicę przewodu. Prędkość przepływu wodyobliczymy wykorzystując równanie Bernoulliego – wybieramy przekroje poprzeczne:jeden przekrój na powierzchni zwierciadła wody w zbiorniku, drugi na wylocie zprzewodu oraz przyjmujemy poziom porównawczy w osi przewodu (Rys. 14).

Rys.14. Przekroje i poziom porównawczy

Oszacowanie wartości elementów r-B:

217

7

7 0

hhzpp atm

0

?

23

23

23

zpp atm

Rozwiązanie równania Bernoulliego

strhzpg

zpg 23

23223

77

27

22

stratmatm hp

ghhp 0

20

223

21

(15a)

strhg

hh2

223

21 (15b)

Sumę strat obliczymy ze wzoru (12), gdzie w pierwszej kolejności należy obliczyć stratyna długości i miejscowe. Straty na długości powstają na całej długości przewodu, stratymiejscowe wystąpią na wlocie di przewodu 1, na załamaniu przewodu 2 i 3 oraz nawylocie z przewodu 4. Zarówno straty miejscowe jak i na długości wywołane sąprzepływem wody poruszającej się z prędkością v23 (prędkość średnia w przekroju).

Straty na długości hl Straty miejscowe hmn- współczynnik szorstkości (materiału, zktórego wykonany jest przewód), n=0,011,Rh – promień hydrauliczny

0.006254025,0

22

2

r

rr

OFR

zh

m

c- współczynnik prędkości

02,390.00625011,011 1/66/1 hR

nc

– współczynnik oporów liniowych

052,002,39

8822

gcg

Współczynnik strat na długości

12,37025,0

5,19052,02 221

d

lhll

Dla wymienionych miejsc wartościwspółczynników strat miejscowychodczytano z tablic:1 = 0,5; wlot o ostrej krawędzi,2 = 3 = 0,26; kolanko,4 = 0 (w zależności od źródła strata nawylocie ma wartość dodatnią lub zero),

02,126,026,05,0 l

Straty na długościgg

h ll 212,37

2

223

2 Straty miejscowegg

h mm 202,1

2

223

2

Suma stratg

hstr 214,38

223

gghh

214,38

2

223

223

21

(15c)

22321 14,39)(2 hhg (15d)

14,39)(2 21

23hhg

(15e)

52,114,39

)5,10,3(223

g m∙s-1

Natężenie przepływu wyniesie, więc (7):

00075,04025,052,1

4

22

2323

dFQ m3∙s-1

6.2. Odpowiedź

W przypadku cieczy rzeczywistej prędkość przepływu wody wynosi v = 1,52 m∙s-1 anatężenie przepływu Q = 0,75 l/s. Dla cieczy idealnej parametry te miały wartościodpowiednio: v = 9,40 m∙s-1 i Q = 4,61 l/s. Rozbieżności w wynikach są efektemnieuwzględnienia w obliczeniach lepkości cieczy. Część energii cieczy musi zostaćzużyta na pokonanie oporów ruchu, które są wynikiem oddziaływania cząstek cieczyzarówno między sobą jak i względem podłoża, po którym się poruszają.

Literatura:

Błażejewski R., 1991, 100 prostych ćwiczeń z wodą i powietrzem, Wyd. Nauk.-Techn., Warszawa,Lewandowski J.B., 2006, Mechanika płynów, Wyd. AR w PoznaniuOrzechowski Z., Prywer J., Zarzycki R., 2001, Mechanika płynów w inżynierii środowiska, WNT, WarszawaSobota J., 1994, Hydraulika, t. I i II, AR WrocławTroskolański A.T., 1969, Hydromechanika, WNT, Warszawa

Katedra Inżynierii Wodnej i Geotechniki, Wydział Inżynierii Środowiska i GeodezjiUniwersytet Rolniczy w Krakowiermksiaze@cyf-kr.edu.pl