Revisin de Nmeros Naturales y Nmeros de Nmeros Naturales, Todos los Enteros y Nmeros Racionales Revisin de Exponentes, Cuadrados y Races Cuadradas Trminos Semejantes

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    Algebra I

    El Sistema Numrico y Operaciones Matemticas

    2015-08-21

    www.njctl.org

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    Tabla de Contenidos

    Click sobre el tema para ir a la seccin .

    Revisin de Nmeros Naturales, Todos los Enteros y Nmeros RacionalesRevisin de Exponentes, Cuadrados y Races Cuadradas

    Trminos SemejantesEvaluacin de Expresiones

    Orden de los Trminos

    Temas Futuros en lgebra II

    Glosario y Estndares

    Revisin de Nmeros Irracionales y Nmeros RealesPropiedades de los Exponentes

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    Revisin de Nmeros Naturales y

    Nmeros Enteros

    Volver a la Tabla de Contenidos

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    Nmeros NaturalesLos primeros nmeros desarrollados fueron los Nmeros Naturales, tambin llamados Nmeros para Contar.

    1, 2, 3, 4, 5, ...

    Los tres puntos, (...), significa que esos nmeros continan para siempre: no hay un nmero para contar ms grande...

    Piensa en contar objetos a medida que los pones en un frasco aquellos son los nmeros para contar...

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    Nmeros NaturalesLos Nmeros Naturales fueron usados antes de que existiera la historia.

    Toda la gente los usa.

    Este "palo para contar" fue hecho ms de 35,000 aos y fue encontrado en Lebombo, Suazilandia.

    Los cortes en este hueso registran el nmero "29."

    http://www.taneter.org/math.html

    http://www.njctl.orgpage55svgpage21svgpage4svgpage27svgpage30svgpage8svgpage283svgpage111svgpage124svgpage3svgpage299svgpage299svghttp://www.taneter.org/math.html

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    Nmeros Naturales y la Suma

    Ellos fueron y son usados para contar objetos > cabras > rollos, > botellas, > etc.

    Cada vez que una cabra iba a pastar dejaban caer una piedra en un recipiente, o cortaban una lnea en una varilla.

    El recipiente o la varilla es una manera de registrar el nmero.

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    Nmeros vs Numerales

    Los nmeros existen incluso sin un numeral, tal como el nmero indicado por los cortes sobre el Hueso de Lebombo.

    Un numeral es el nombre que damos a un nmero en nuestra cultura.

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    Si preguntamos cuntas llantas tiene mi auto, yo podra entregar algunas de las canicas de arriba.

    Ese nmero estara representado por:

    4 en nuestro sistema numeral decimal (base 10) IV en el sistema numeral romano 100 en el sistema numeral en Base 2

    Nmeros vs Numerales

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    Nmeros EnterosAgregar el cero a los Nmeros para Contar nos da los Nmeros Enteros.

    0, 1, 2, 3, 4, ...Los nmeros para contar fueron desarrollados hace ms de 35,000 aos.

    Y tom 34,000 aos ms para inventar el cero.

    Este es el uso ms antiguo del cero conocido (el punto), hace alrededor de 1500 aos atrs.

    Fue encontrado en Camboya y el punto es para el cero en el ao 605.

    http://www.smithsonianmag.com/history/origin-number-zero-180953392/?no-ist

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    Por qu tom tanto tiempo inventar el cero?

    cero caballos = cero casas

    3

    2

    1

    0

    Caballos versus casas.

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    Alguien dira Tengo una manada de cero cabras?

    O un garage con cero autos?

    O que mi cero auto tiene cero llantas?

    El cero justamente no es un nmero natural, pero es un nmero entero.

    Por qu el cero tom tanto tiempo?

    page298svgpage298svghttp://www.smithsonianmag.com/history/origin-number-zero-180953392/?no-ist

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    10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

    Nmeros EnterosCada vez que una canica es arrojada en un recipiente estamos sumando.

    Una recta numrica nos permite pensar en la suma de una nueva manera.

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    La recta numrica de abajo muestra slo los enteros.

    10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

    Enteros

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    Recuerda que la divisin conduce a un nuevo conjunto de nmeros: fracciones .

    Las fracciones son el resultado de preguntas tales como:

    12 = ? 13 = ? 23 = ? 11,000,000 = ?

    12 = ? haz la pregunta:

    Si divido 1 en 2 partes iguales, cul ser el tamao de cada una?

    La respuesta a esta pregunta no puede ser encontrada en los enteros.

    Se necesitaron nuevos nmeros: los fraccionarios.

    Revisin: Fracciones

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    Existen un infinito nmero de fracciones entre cada par de enteros, ya que el espacio entre dos enteros cualesquiera puede ser divido por un nmero tan grande como puedas imaginar.

    En la siguiente diapositiva, se muestran algunas pocas, pero en realidad existen muchas fracciones entre cualquier par de enteros como enteros existen.

    Las fracciones pueden ser escritas como la relacin entre dos nmeros:

    -2/3, -1/4, -1/8, 1/3, 4/5, 7/5, 80/4, etc.

    O en forma decimal dividiendo el numerador por el denominador:

    -0.666, -0.25, -0.125, 0.333, 0.8,1.4, 20, etc.

    La barra sobre el "666" y el "333" significa que el patrn se repite indefinidamente.

    Revisin: Fracciones

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    Existe un infinito nmero de fracciones entre cada par de enteros.

    Usando una lupa para buscar ms de cerca entre 0 y 1 sobre esta recta numrica, podemos localizar algunas de esas fracciones.

    10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10

    Fracciones

    10

    2/3

    0.660.25

    1/4

    0.33

    1/3

    0.80

    4/5

    Observa que es ms fcil encontrar su ubicacin cuando estn en forma decimal ya que es ms claro cules enteros estn entre ...y

    ms cercanos a.

    0.50

    1/21/5

    0.20

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    Esto incluye todas las fracciones, as como tambin a todos los enteros, ya que cualquier entero puede ser escrito como una razn de s mismo y 1.

    Las fracciones pueden ser escritas en forma "fraccionaria" o en forma decimal.

    Cuando estn escritas en forma decimal, los nmeros racionales son o:

    Terminacin tal como

    - = -0.500000000000 = -0.5 Repeticin tal como

    = 0.142857142857142857... = 0.142857

    = 0.333333333333333333... = 0.33

    Los Nmeros Racionales son nmeros que pueden ser expresados como una razn de dos enteros.

    1 2

    1 7

    1 3

    Nmeros Racionales

    page297svgpage295svg

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    Revisin de Exponentes, Cuadrados, y Races cuadradas

    Volver a la tabla de contenidos

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    Potencias de enteros

    Tal como la multiplicacin es una suma repetida, los exponentes son una multiplicacin repetido.

    Por ejemplo, 35 se lee como "3 a la quinta potencia" = 3 3 3 3 3

    En este caso "3" es la base y "5" es el exponente.

    La base, 3, est multiplicada 5 veces.

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    Potencias de enterosCuando se evalan exponentes de nmeros negativos, tengan en mente el significado de exponente y las reglas de la multiplicacin.

    Por ejemplo, (-3)2 = (-3)(-3) = 9,

    es igual que (3)2 = (3)(3) = 9.

    Sin embargo, (-3)2 = (-3)(-3) = 9

    No es lo mismo que -32 = -(3)(3) = -9,

    Igualmente (3)3 = (3)(3)(3) = 27

    No es lo mismo que (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27,

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    Trminos especiales: Cuadrados y Cubos

    Un nmero elevado a la segunda potencia se puede decir que est "al cuadrado".

    Esto es porque el rea de un cuadrado de longitud x es x2: "x al cuadrado."

    Un nmero elevado a la tercera potencia se dice que est "al cubo."

    Esto es porque el volumen de un cubo de longitud x es x3: "x al cubo."

    x

    x

    A = x2 x

    x x

    V = x3

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    Realizar una operacin y luego hacer la inversa de esa operacin nos retorna al punto de donde partimos.

    Ya sabemos que si sumamos 5 a un nmero y luego restamos 5, volvemos al nmero original.

    O, si multiplicamos un nmero por 7 y luego lo dividimos por 7, retornamos al nmero original.

    La Radicacin como una operacin inversa

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    La operacin inversa de la potenciacin es un poco ms complicado por dos razones.

    Primero, existen dos posibles operaciones inversas.

    La ecuacin 16 = 42 da la respuesta 16 a la pregunta: cunto es 4 elevado a la potencia de 2?

    Una operacin inversa se representa as:

    Esto da la respuesta 4 a la pregunta: qu nmero elevado a la potencia de 2 da 16?

    Esto muestra que la raz cuadrada de 16 es 4.

    Esto es verdad ya que (4)(4) = 16

    La raz como una operacin inversa

    page3svg

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    La otra operacin inversa no se ver hasta lgebra II.

    Slo para completar que la operacin inversa es 2 = log10 100.

    Esto da la segunda respuesta a la pregunta:

    A qu potencia debe ser elevado 10 para obtener 100?

    Aprenders ms sobre esto en lgebra II, pero para que lo sepas, esta es la otra posible operacin inversa.

    Logaritmos como operacin inversa

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    1 Cul es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

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    2 Cul es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

    Slide 28 / 178

    3 Cul es el cuadrado de 15? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

    Slide 29 / 178

    4 Cul es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

    Slide 30 / 178

    5 Cunto es 132? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

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    6 Cul es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

    Slide 32 / 178

    7 Cul es el cuadrado de 18? Los alumnos escriben sus respuestas aqu

    Res

    pues

    ta

    Slide 33 / 178

    8 Cunto es 11 al cuadrado? Los alumnos escrib

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