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Algebra I
El Sistema Numérico y Operaciones Matemáticas
2015-08-21
www.njctl.org
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Tabla de Contenidos
Click sobre el tema para ir a la sección .
Revisión de Números Naturales, Todos los Enteros y Números RacionalesRevisión de Exponentes, Cuadrados y Raíces Cuadradas
Términos SemejantesEvaluación de Expresiones
Orden de los Términos
Temas Futuros en Álgebra II
Glosario y Estándares
Revisión de Números Irracionales y Números RealesPropiedades de los Exponentes
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Revisión de Números Naturales y
Números Enteros
Volver a la Tabla de Contenidos
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Números NaturalesLos primeros números desarrollados fueron los Números Naturales, también llamados Números para Contar.
1, 2, 3, 4, 5, ...
Los tres puntos, (...), significa que esos números continúan para siempre: no hay un número para contar más grande...
Piensa en contar objetos a medida que los pones en un frasco aquellos son los números para contar...
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Números NaturalesLos Números Naturales fueron usados antes de que existiera la historia.
Toda la gente los usa.
Este "palo para contar" fue hecho más de 35,000 años y fue encontrado en Lebombo, Suazilandia.
Los cortes en este hueso registran el número "29."
http://www.taneter.org/math.html
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Números Naturales y la Suma
Ellos fueron y son usados para contar objetos > cabras > rollos, > botellas, > etc.
Cada vez que una cabra iba a pastar dejaban caer una piedra en un recipiente, o cortaban una línea en una varilla.
El recipiente o la varilla es una manera de registrar el número.
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Números vs Numerales
Los números existen incluso sin un numeral, tal como el número indicado por los cortes sobre el Hueso de Lebombo.
Un numeral es el nombre que damos a un número en nuestra cultura.
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Si preguntamos cuántas llantas tiene mi auto, yo podría entregar algunas de las canicas de arriba.
Ese número estaría representado por:
· 4 en nuestro sistema numeral decimal (base 10)· IV en el sistema numeral romano· 100 en el sistema numeral en Base 2
Números vs Numerales
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Números EnterosAgregar el cero a los Números para Contar nos da los Números Enteros.
0, 1, 2, 3, 4, ...Los números para contar fueron desarrollados hace más de 35,000 años.
Y tomó 34,000 años más para inventar el cero.
Este es el uso más antiguo del cero conocido (el punto), hace alrededor de 1500 años atrás.
Fue encontrado en Camboya y el punto es para el cero en el año 605.
http://www.smithsonianmag.com/history/origin-number-zero-180953392/?no-ist
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¿Por qué tomó tanto tiempo inventar el cero?
cero caballos = cero casas
3
2
1
0
Caballos versus casas.
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¿Alguien diría Tengo una manada de cero cabras?
¿O un garage con cero autos?
¿O que mi cero auto tiene cero llantas?
El cero justamente no es un número natural, pero es un número entero.
¿Por qué el cero tomó tanto tiempo?
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10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Números EnterosCada vez que una canica es arrojada en un recipiente estamos sumando.
Una recta numérica nos permite pensar en la suma de una nueva manera.
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La recta numérica de abajo muestra sólo los enteros.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Enteros
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Recuerda que la división conduce a un nuevo conjunto de números: fracciones .
Las fracciones son el resultado de preguntas tales como:
1÷2 = ? 1÷3 = ? 2÷3 = ? 1÷1,000,000 = ?
1÷2 = ? haz la pregunta:
Si divido 1 en 2 partes iguales, ¿cuál será el tamaño de cada una?
La respuesta a esta pregunta no puede ser encontrada en los enteros.
Se necesitaron nuevos números: los fraccionarios.
Revisión: Fracciones
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Existen un infinito número de fracciones entre cada par de enteros, ya que el espacio entre dos enteros cualesquiera puede ser divido por un número tan grande como puedas imaginar.
En la siguiente diapositiva, se muestran algunas pocas, pero en realidad existen muchas fracciones entre cualquier par de enteros como enteros existen.
Las fracciones pueden ser escritas como la relación entre dos números:
-2/3, -1/4, -1/8, 1/3, 4/5, 7/5, 80/4, etc.
O en forma decimal dividiendo el numerador por el denominador:
-0.666, -0.25, -0.125, 0.333, 0.8,1.4, 20, etc.
La barra sobre el "666" y el "333" significa que el patrón se repite indefinidamente.
Revisión: Fracciones
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Existe un infinito número de fracciones entre cada par de enteros.
Usando una lupa para buscar más de cerca entre 0 y 1 sobre esta recta numérica, podemos localizar algunas de esas fracciones.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Fracciones
10
2/3
0.660.25
1/4
0.33
1/3
0.80
4/5
Observa que es más fácil encontrar su ubicación cuando están en forma decimal ya que es más claro cuáles enteros están entre ...y
más cercanos a.
0.50
1/21/5
0.20
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Esto incluye todas las fracciones, así como también a todos los enteros, ya que cualquier entero puede ser escrito como una razón de sí mismo y 1.
Las fracciones pueden ser escritas en forma "fraccionaria" o en forma decimal.
Cuando están escritas en forma decimal, los números racionales son o:
Terminación tal como
- = -0.500000000000 = -0.5
Repetición tal como = 0.142857142857142857... = 0.142857
= 0.333333333333333333... = 0.33
Los Números Racionales son números que pueden ser expresados como una razón de dos enteros.
1 2
1 7
1 3
Números Racionales
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Revisión de Exponentes, Cuadrados, y Raíces cuadradas
Volver a la tabla de contenidos
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Potencias de enteros
Tal como la multiplicación es una suma repetida, los exponentes son una multiplicación repetido.
Por ejemplo, 35 se lee como "3 a la quinta potencia" = 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3
En este caso "3" es la base y "5" es el exponente.
La base, 3, está multiplicada 5 veces.
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Potencias de enterosCuando se evalúan exponentes de números negativos, tengan en mente el significado de exponente y las reglas de la multiplicación.
Por ejemplo, (-3)2 = (-3)(-3) = 9,
es igual que (3)2 = (3)(3) = 9.
Sin embargo, (-3)2 = (-3)(-3) = 9
No es lo mismo que -32 = -(3)(3) = -9,
Igualmente (3)3 = (3)(3)(3) = 27
No es lo mismo que (-3)3 = (-3)(-3)(-3) = -27,
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Términos especiales: Cuadrados y Cubos
Un número elevado a la segunda potencia se puede decir que está "al cuadrado".
Esto es porque el área de un cuadrado de longitud x es x2: "x al cuadrado."
Un número elevado a la tercera potencia se dice que está "al cubo."
Esto es porque el volumen de un cubo de longitud x es x3: "x al cubo."
x
x
A = x2 x
x x
V = x3
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Realizar una operación y luego hacer la inversa de esa operación nos retorna al punto de donde partimos.
Ya sabemos que si sumamos 5 a un número y luego restamos 5, volvemos al número original.
O, si multiplicamos un número por 7 y luego lo dividimos por 7, retornamos al número original.
La Radicación como una operación inversa
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La operación inversa de la potenciación es un poco más complicado por dos razones.
Primero, existen dos posibles operaciones inversas.
La ecuación 16 = 42 da la respuesta 16 a la pregunta: ¿cuánto es 4 elevado a la potencia de 2?
Una operación inversa se representa así:
Esto da la respuesta 4 a la pregunta: ¿qué número elevado a la potencia de 2 da 16?
Esto muestra que la raíz cuadrada de 16 es 4.
Esto es verdad ya que (4)(4) = 16
La raíz como una operación inversa
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La otra operación inversa no se verá hasta Álgebra II.
Sólo para completar que la operación inversa es 2 = log10 100.
Esto da la segunda respuesta a la pregunta:
¿A qué potencia debe ser elevado 10 para obtener 100?
Aprenderás más sobre esto en Álgebra II, pero para que lo sepas, esta es la otra posible operación inversa.
Logaritmos como operación inversa
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1 ¿Cuál es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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2 ¿Cuál es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 28 / 178
3 ¿Cuál es el cuadrado de 15? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 29 / 178
4 ¿Cuál es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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5 ¿Cuánto es 132? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 31 / 178
6 ¿Cuál es la ? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 32 / 178
7 ¿Cuál es el cuadrado de 18? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 33 / 178
8 ¿Cuánto es 11 al cuadrado? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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Revisión de la raíz cuadrada de un número
Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en:
http://njctl.org/courses/math/8th-grade/numbers-and-operations-8th-grade/
Slide 35 / 178
9
A 6
B -6
C no es real
Res
pues
ta
Slide 36 / 178
10
A 9
B -9
C no es real R
espu
esta
Slide 37 / 178
11
A 20
B -20
C no es real
Res
pues
ta
Slide 38 / 178
12
Explica por qué el método que elegiste no es correcto.
A El método de Ashley
B El método de Brandon
¿Qué método no es correcto?
(Problema de )
Res
pues
ta
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13 Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 40 / 178
14 Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 41 / 178
15
A
B
C
D
Res
pues
ta
Slide 42 / 178
16
A 3
B -3
C raíz no real R
espu
esta
Slide 43 / 178
17 La expresión es equivalente a un entero positivo cuando b es igual a
A -10
B 64
C 16
D 4
Res
pues
ta
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Revisión de raíz cuadrada de Fracciones
http://njctl.org/courses/math/8th-grade/numbers-and-operations-8th-grade/
Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en:
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18
A
B
C
D no tiene solución real Res
pues
ta
Slide 46 / 178
19
A
B
C
D no tiene solución
real
Res
pues
ta
Slide 47 / 178 Slide 48 / 178
21
A
B
C
D no tiene solución real Res
pues
ta
Slide 49 / 178
22
A
B
C
D No tiene solución real
Res
pues
ta
Slide 50 / 178
Revisión de raíces cuadradas de Decimales
http://njctl.org/courses/math/8th-grade/numbers-and-operations-8th-grade/
Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en:
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23 Evalúa
A
B
C
D No tiene solución real
Res
pues
ta
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24 Evalúa
A .06
B .6
C 6
D No tiene solución real
Res
pues
ta
Slide 53 / 178
25 Evalúa
A 0.11
B 11
C 1.1
D No tiene solución real
Res
pues
ta
Slide 54 / 178
26 Evalúa
A 0.8
B 0.08
C
D No tiene solución real
Res
pues
ta
Slide 55 / 178 Slide 56 / 178
Revisión de aproximación a cuadrados no perfectos
http://njctl.org/courses/math/8th-grade/numbers-and-operations-8th-grade/
Las siguientes respuestas de evaluación formativa son de 8vo grado. Si necesita información adicional, vea la presentación en:
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28 La raíz cuadrada de 40 cae, ¿entre cuáles dos números enteros?
A 3 y 4
B 4 y 5
C 5 y 6
D 7 y 8
Res
pues
ta
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29 ¿A qué entero está más cercano la ? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Identifica cuadrados perfectos cercanos a 40
Saca la raíz cuadrada
Identifica el entero más cercano
< <
<<
Res
pues
ta
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30 La raíz cuadrada de 110, cae entre ¿qué dos cuadrados perfectos?
A 36 y 49
B 49 y 64
C 64 y 84
D 100 y 121
Res
pues
ta
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31 Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 61 / 178
32 Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 62 / 178
33 Estima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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34 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 64 / 178
35 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 65 / 178
36 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 66 / 178
37 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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38 Aproxima al entero más cercano Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
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39 La expresión es un número entre
A 3 y 9
B 8 y 9
C 9 y 10
D 46 y 47
From the New York S ta te Educa tion Department. Office of Assessment Policy, Deve lopment and Adminis tra tion. Inte rne t. Available from www.nysedregents .org/Integra tedAlgebra ; accessed 17, June , 2011.
Res
pues
ta
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40 ¿Para que entero la está más cerca a 6.25? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Derived from
Res
pues
ta
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41 ¿Para qué entero y, la está más cercana a 4.5? Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Derived from
Res
pues
ta
Slide 71 / 178
42 ¿Entre cuáles dos enteros positivos está ?
A 1
B 2
C 3
D 4
E 5
F 6
G 7
H 8
I 9 J 10
Derived from
Res
pues
ta
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43 ¿Entre dos enteros positivos está ?
A 1 B 2 C 3 D 4 E 5
F 6 G 7 H 8 I 9 J 10
Derived from
Res
pues
ta
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44 ¿Entre que dos números de la recta numérica estaría
localizado ?
A B C D E F G H I J
Derived from
Res
pues
ta
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Revisión de Números Irracionales y Números Reales
Volver a la tabla de contenidos
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Al igual que la resta nos conduce al cero y a los números negativos.
Y la división nos conduce a las fraciones.
El cálculo de raíz nos conduce a los números irracionales .
Los números irracionales completan el conjunto de los Números Reales.
Los números reales son los números que existen sobre la recta numérica.
Números irracionales
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Números IrracionalesLos números irracionales son números reales que no pueden ser expresados como una razón de dos enteros.
En forma decimal, se extienden indefinidamente y nunca se repiten.
Existe un número infinito de números irracionales entre dos enteros cualesquiera (piensa en todas las raíces cuadradas, raíces cúbicas, etc., que no se presentan de manera uniforme).
Entonces te das cuenta que puedes multiplicarlos por otro numero o sumarles cualquier número y el resultado aún será irracional.
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Esto es debido a que el radicando (número bajo el radical) es un cuadrado perfecto.
Números Racionales e Irracionales
es racional.
Si el radicando no es un cuadrado perfecto, se dice que la raíz es irracional.
Ej.
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Números IrracionalesLos números irracionales fueron descubiertos primero por Hipaso alrededor de 2500 años atrás.
Él fue un pitagórico, y el descubrimiento fue considerado un problema ya que Pitágoras creía que "Todo era número" refiriéndose a los números naturales (1, 2, 3...) y sus relaciones, queriendo decir que los números racionales podían describir la geometría del mundo.
Hipaso intentó calcular la longitud de la diagonal de un cuadrado con lado de longitud 1. En su lugar, el comprobó que la respuesta no era un número natural o racional.
Durante un tiempo ese descubrimiento fue ocultado porque violaba las creencias de la escuela pitagórica.
Hipaso había comprobado que √2 es un número irracional.
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Números IrracionalesSurgen una gran cantidad de números irracionales emergen desde el intento de calcular la raíz de un número racional.
Hipaso comprobó que √2 es irracional ya que se extiende el decimal sin repetición.
Algunos de sus dígitos se muestran en la página siguiente.
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Raíz cuadrada de 2Aquí están los primeros 1000 dígitos, puedes calcular los primeros 10 millones de dígitos en internet. Los números siguen indefinidamente y nunca se repiten en un patrón:
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931471017111168391658172688941975871658215212822951848847208969...
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Las raíces de los números frecuentemente, son irracionales
Pronto, a partir de entonces, se comprobó que muchos de los números tienen raíces irracionales.
Sabemos que las raíces de la mayoría de los números para la mayoría de las potencias son irracionales.
A esos se los llama números algebraicos irracionales.
De hecho, existen muchos más números irracionales que números racionales.
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Raíces principales
Ya que no se puede escribir todos los dígitos de, √2 , o se usa una barra para indicar un patrón, la forma más simple para escribir ese número es √2.
Pero cuando resolvemos la raíz cuadrada de 2, sólo hay dos respuestas +√2 ó -√2.
Están ubicados en lugares diferentes sobre la recta numérica.
Para evitar confusión, se acordó que el valor positivo sería llamado raíz principal y se escribiría como √2.
El valor negativo sería escrito como -√2.
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Existe un número infinito de números irracionales.
Aquí se muestra sólo unos pocos que caen entre -10 y +10.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Números algebraicos irracionales
-√2 √2
-√8 √810
-√2 √50-√80
∛95 2∛95-0.6∛852
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Números trascendentales
Otro conjunto de números irracionales son los números trascendentales. .
Estos también son irracionales. No importa cuántos decimales se ven, estos decimales nunca se repiten.
Pero, no son el resultado de resolver una ecuación polinómica con coeficientes racionales, de manera que no de deben a una operación inversa.
Algunos de esos números son reales, pero algunos son complejos.
Pero este año, nosotros sólo trabajaremos con los números trascendentales.
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PiAprendimos sobre Pi en Geometría. Es la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. Se lo representa con el símbolo
Discute por qué es una aproximación.
¿Es un número racional ó irracional?
Res
pues
ta
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A
B
El más famoso de los números trascendentales es # .
# es la relación entre la circunferencia y el diámetro de un círculo.
La gente intentó calcular el valor de la relación por milenios.
Sólo en la mitad de los años 1800 se demostró que no tenía una solución racional.Ya que # es irracional (o sea que los decimales nunca se repiten) y no es la solución a una ecuación...es trascendental.
Algunos de sus dígitos están en la siguiente diapositiva.
O
http://bobchoat.files.wordpress.com/2013/06/pi-day004.jpg
# es un número trascendental
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http://bobchoat.files.wordpress.com/2013/06/pi-day004.jpg
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Otros números trascendentalesExisten muchos más números trascendentales.
Otro número famoso es "e", que estudiaremos en Álgebra II como la base del logaritmo natural.
En los años 1800 Georg Cantor demostró que existían tantos números trascendentales como números reales.
Y, hay muchos más números algebraicos irracionales que números racionales.
Los enteros y los números racionales con los que nos sentimos más cómodos son como islas en un vasto océano de números irracionales.
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Números realesLos números reales son números que existen sobre la
recta numérica.
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45 ¿Qué tipo de número es el 25? Selecciona todo lo que aplica.
A Irracional
B Racional
C Todos los enteros
D Enteros positivos más el cero
E Números Naturales
Res
pues
ta
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46 ¿Qué tipo de número es - ? Selecciona todos los que aplican.
A Irracional
B Racional
C Todos los enteros
D Enteros positivos más el cero
E Números naturales
5 3
Res
pues
ta
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47 ¿Qué tipo de número es √8? Selecciona todos los que aplican.
A Irracional
B Racional
C Todos los enteros
D Enteros positivos más cero
E Números naturales
Res
pues
ta
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48 ¿Qué tipo de número es -√64? Selecciona todos los que aplican.
A Irracional
B Racional
C Todos los enteros
D Enteros positivos más cero
E Números Naturales
Res
pues
ta
Slide 94 / 178
49 ¿Qué tipo de número es √2.25? Selecciona todos los que aplican
A Irracional
B Racional
C Todos los enteros
D Enteros positivos más cero
E Números Naturales
Res
pues
ta
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Propiedades de los
exponentes
Volver a la tabla de contenidos
Slide 96 / 178
Propiedades de los ExponentesLas propiedades de los exponentes siguen directamente a partir de expandirlos y revisar las multiplicaciones repetidas que ellos representan.
No memorices las propiedades, sólo funcionan para comprender los procesos a partir de los que calculamos esas propiedades y si no puedes recordar como hacerlo, sólo repite esos pasos para confirmar la propiedad.
En nuestro ejemplo, usaremos 3 como la base pero las propiedades se mantienen para cualquier base. Representamos la base con a y las potencias con b y c.
Usaremos los hechos que: (32)= (3 ∙ 3)
(33) = (3 ∙ 3 ∙ 3)
(35) = (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3)
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Es necesario desarrollar todas las propiedades de los exponentes de manera que podemos descubrir una de las operaciones inversas de elevar un número a una potencia....calcular la raíz de un número a esa potencia.
Esto surge de la última propiedad que vamos a explorar.
Pero determinar esa propiedad requiere de comprender las otras primero.
Propiedades de los Exponentes
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Multiplicando con exponentes
Cuando multiplicamos números con igual base, se suman los exponentes.
(ab)(ac) = a(b+c)
(32)(33) = 35
(3 ∙ 3 )(3 ∙ 3 ∙ 3) = (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3)
(32)(33) = 35
(32)(33) = 3(2+3)
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Dividiendo con ExponentesCuando dividimos números con igual base, se restan los
exponentes, al exponente del númerador se resta el exponente del denominador.
(ab) ÷ (ac) = a(b-c)
(33)(32) = 31
(3 ∙ 3 ∙ 3)(3 ∙ 3 ) = 3
(33) ÷ (32) = 3(3-2)
(33) ÷ (32) = 31
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50 Simplifica 54 ∙ 52
A 52
B 53
C 56
D 58
Res
pues
ta
Slide 101 / 178
51 Simplifica
A 71.5
B 72
C 710
D 724
76
74
Res
pues
ta
Slide 102 / 178
Slide 103 / 178
53 Simplifica 86 ∙ 83
A 82
B 83
C 89
D 818
Res
pues
ta
Slide 104 / 178
54 Simplifica
A 52
B 53
C 56
D 58
54 52
Res
pues
ta
Slide 105 / 178
55 Simplifica 43 (45)
A 415
B 48
C 42
D 47
Res
pues
ta
Slide 106 / 178
56 Simplifica 57 ÷ 53
A 52
B 510
C 521
D 54
Res
pues
ta
Slide 107 / 178Exponente cero
Cualquier número elevado a la potencia cero es 1.a(0) = 1
En base a las reglas de la multiplicación:
(3(0))(3(3)) = (3(3+0)) (3(0))(3(3)) = (3(3))
Cualquier número elevado a la potencia 1 es igual a sí mismo
(1)(3(3)) = (3(3)) (3(0))(3(3)) = (3(3))
Comparando esas dos ecuaciones, vemos que
(3(0))= 1
Esto no sólo es cierto para la base 3, sino que es cierto para todas las bases.
Slide 108 / 178
57 Simplifica 50
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 109 / 178
58 Simplifica 80 + 1= Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 110 / 178
59 Simplifica: (7)(300) = Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 111 / 178
Exponentes Negativos
En base a la regla de la multiplicación y a las reglas del exponente cero:
(3(-1))(3(1)) = (3(-1+1))
(3(-1))(3(1)) = (3(0))(3(-1))(3(1)) = 1
Pero cualquier número multiplicado por su inversa es 1, de manera que= 11
31 (3(1))
Comparando esas dos ecuaciones, vemos que (3(-1))(3(1)) = 1
1 31(3(-1))=
Un exponente negativo mueve el número desde el numerador al denominador, y viceversa.
1 ab(a(-b))= 1 ab
(a(-b))=
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Por definición:
x-1 = , x 0
Exponentes Negativos
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60 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo 4-2
A 42
B 1 42
Res
pues
ta
Slide 114 / 178
61 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo
A 42
1 42
1 4-2
B Res
pues
ta
Slide 115 / 178
62 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo x3 ∙ y-4
A x3 ∙ y4
B
C
D
y4 x3
x3 y4
1 x3y4
Res
pues
ta
Slide 116 / 178
63 Simplifica la expresión para hacer que el exponente sea positivo a-5 ∙ b-2
A a5 ∙ b2
B
C
D
b2 a5
a5 b2
1 a5b2
Res
pues
ta
Slide 117 / 178
64 ¿Qué expresión es equivalente a x-4?
A
B x4
C -4x
D 0
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Deve lopment and Adminis tration. Internet. Available from www.nysedregents .org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June , 2011.
Res
pues
ta
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65 ¿Cuál es el valor de 2-3 ?
A
B
C -6
D -8
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
Res
pues
ta
Slide 119 / 178
66 ¿Cuál expresión es equivalente a
A xy2
B
C
D xy-2
x-1•y2?
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Deve lopment and Adminis tration. Internet. Available from www.nysedregents .org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June , 2011.
Res
pues
ta
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67 a) Escribe una expresión exponencial para el área de un rect de 7-2 metros y con un ancho de 7-5 metros.
b) Evalúa la expresión para calcular área de un rectángulo. Cuando termines de responder ambas partes, ingresa la parte Parte b) en tu respondedor.
Los alumnos escriben sus respuestas aquí
Res
pues
ta
Slide 121 / 178
68 ¿Qué expresiones son equivalentes a ?
Selecciona todas las que aplican.
A 3-12
B 3-4
C 32
D
EF 1
312
1 32
1 34
From PARCC EOY sample test non-calculator #13
Res
pues
ta
Slide 122 / 178
69 ¿Qué expresiones son equivalentes a ?
Selecciona todas las que aplican.
A 33
B 3-3
C 3-10
D
E
F 1 3-10
1 27
1 33
Res
pues
ta
Slide 123 / 178
Elevando un exponente a potencias mayores
Cuando elevamos un número con un exponente a una potencia se multiplican los exponentes
(ab)c = a(bc)
(32)3 = 36
(32)(32)(32) = 3(2+2+2)
(3 ∙ 3 )(3 ∙ 3)(3 ∙ 3) = (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3∙ 3)
(32)3 = 36
Slide 124 / 178
70 Simplifica: (24)7
A 21.75
B 23
C 211
D 228
Res
pues
ta
Slide 125 / 178
71 Simplifica (g3)9
A g27
B g12
C g6
D g3
Res
pues
ta
Slide 126 / 178
72 Simplifica: (x4y2)7
A x3y5
B x1.75y3.5
C x11y9
D x28y14
Res
pues
ta
Slide 127 / 178 Slide 128 / 178
74 La expresión (x2z3)(xy 2z) es equivalente a:
A x2y2z3
B x3y2z4
C x3y3z4
D x4y2z5
From the New York S ta te Educa tion Department. Office of Assessment Policy, Deve lopment and Adminis tra tion. Inte rne t. Available from www.nysedregents .org/Integra tedAlgebra ; accessed 17, June , 2011.
Res
pues
ta
Slide 129 / 178
75 La expresión es equivalente a:
A 2w5
B 2w8
C 20w8
D 20w5
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
Res
pues
ta
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76 Cuando se divide -9 x5 por -3x3, x ≠ 0, el cociente es
A 3x2
B -3x2
C -27x15
D 27x8
From the New York State Education Department. Office of Assessment Policy, Development and Administration. Internet. Available from www.nysedregents.org/IntegratedAlgebra; accessed 17, June, 2011.
Res
pues
ta
Slide 131 / 178
77 El tanque de lagartijas de Leandro tiene las dimensiones de b5 por 3c2 por 2c3. ¿Cuál es el volumen del tanque de Leandro?
A 6b7c3
B 6b5c5
C 5b5c5
D 5b5c6
Slide 132 / 178
78 A una empresa de alimentos que vende bebidas le gusta usar exponentes para mostrar las ventas de bebidas en a2 días. Si las ventas diarias de bebidas son 5a4, ¿cuál es el total de ventas en a2 días?
A a6
B 5a8
C 5a6
D 5a3
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79 Un patio trasero tiene 55 pulgadas de longitud y 53 pulgadas de ancho. Escribe una expresión para el área del patio trasero como una potencia de 5.
A 515 pulgadas2
B 85 pulgadas2
C 258 pulgadas2
D 58 pulgadas2
Res
pues
tas
y
Mat
emát
ica
Prác
tica
Slide 134 / 178
80 Expresa el volumen de un cubo con una longitud de 43 unidades como potencia de 4
A 49 unidades3
B 46 unidades3
C 126 unidades3
D 129 unidades3
Res
pues
tas
y
Mat
emát
ica
Prác
tica
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Temas futuros para Álgebra II
Volver a la tabla de contenidos
Slide 136 / 178
La operación de sacar una raíz cuadrada combinada con números negativos nos permite preguntarnos por la raíz cuadrada de un número negativo.
La letra i representa √-1.
Un conjunto infinito de raíces cuadradas de números negativos emerge del uso de i.
Estos número no son más o menos reales que otros números cualquiera, y tienen varios usos prácticos.
Entender su significado y cómo usarlos es lo mejor después de estudiar tanto Álgebra I y Geometría.
Números imaginarios
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Combinar un número real y un número imaginario resulta en un Número Complejo.
Los Números Complejos están escritos como a + bi, dónde a es la parte real bi es la parte imaginaria.
Todos los números están incluidos en los números complejos ya que establecer b para cero resulta en un número real y establecer a para cero resulta en un número imaginario puro.
Números complejos
Slide 138 / 178
Términos Semejantes
Volver a la tabla de contenidos
Slide 139 / 178
Términos semejantes: Términos en una expresión que tienen igual variable elevada a la misma potencia.
Términos semejantes
6x and 2x
5y and 8y
4x2 and 7x2
Términos NO semejantes
6x and x2
5y and 8
4x2 and x4
Términos Semejantes
Slide 140 / 178
81 Identifica todos los términos semejantes a 14x2.
A 5xB 2x2
C 3y2
D 2xE -10x2
Res
pues
ta
Slide 141 / 178
82 Identifica todos los términos semejantes a 0.75w5.
A 75wB 75w5
C 3v2
D 2wE -10w5
Res
pues
ta
Slide 142 / 178
83 Identifica todos los términos semejantes a
A 5uB 2uC 3u2
D 2u2
E -10u
1 4
u2
Res
pues
ta
Slide 143 / 178
Simplifica combinando términos semejantes
6x + 3x
(6 + 3)x
9x
Observa cuando se combinan términos semejantes se suman/restan los coeficientes pero la variable permanece igual.
Combinar términos semejantes
Slide 144 / 178
84 ) 4x + 4x es equivalente a 8x2.
Verdadero
FalsoR
espu
esta
Slide 145 / 178
85 ) 3z2 + 7z + 5(z + 3) + z2 es equivalente a 3z2 + 12z + 15.
Verdadero
Falso Res
pues
ta
Slide 146 / 178
86 ) 9r3 + 2r2 + 3(r2 + r) + 5r es equivalente a 9r3 + 5r2 + 6r.
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 147 / 178
87 ) 10p3 - 8p2 + 9p - 13p(p2 + 2p) - 12 es equivalente a 10p3 + 7p2 - 2p - 12
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 148 / 178
88 ) 12m3 + 6m2 - 15m - 3m(2m2 + 5m) + 20 es equivalente a 6m3 - 9m2 - 15m + 20
Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 149 / 178
89 ) 8x2y + 9x2 - 15xy - 3xy(2x + 3y) + 14 es equivalente a 8x2y + 9x2 - 18xy + 2x + 3y + 14Verdadero
Falso
Res
pues
ta
Slide 150 / 178
90 ) 5jk2 - 2k2 + 6jk - 4jk(j + 5k) es equivalente a 4j2k - 15jk2 - 2k2 + 6jk
Falso
Verdadero
Res
pues
ta
Slide 151 / 178
Evaluación de Expresiones
Volver a la tabla de contenidos
Slide 152 / 178
Evaluación de Expresiones
Cuando evaluamos expresiones algebraicas el proceso es bastante directo.
1. Escribe la expresión.
2. Sustituye el valor de la variable (entre paréntesis).
3. Simplifica/Evalúa la expresión.
Slide 153 / 178
91 Evalúa 3x + 17 cuando x = -13R
espu
esta
Slide 154 / 178
92 Evalúa 4u2 - 11u + 5 cuando u = -5
Res
pues
ta
Slide 155 / 178
93 Evalúa 8v2 + 9vw - 6w2 cuando v = 4 y w = -3
Res
pues
ta
Slide 156 / 178
94 Evalúa -10p2 + 16pq - 64q2 cuando p = -2 y q = 1 4
Res
pues
ta
Slide 157 / 178
95 Evalúa x3 - 2x2y + 64xy2 + 16y3 cuando x = -3 e y = 3 2
Res
pues
ta
(-3)3 -2(-3)2( ) + 64(-3)( )2 + 16( )3
-27 - 2(9)( ) + 64(-3)( ) + 16( )
-27 - 27 - 432 + 54
-432
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Orden de los términos
Volver a la tabla de contenidos
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Poner los términos en orden
Una expresión matemática frecuentemente contendrá un número de términos.
Como recordarán, los términos de una expresión están separados por suma o resta.
Mientras el valor de una expresión es independiente del orden de los términos, esto ayudará mucho a ponerlos en un orden específico.
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Grados de una Variable
Es bueno practicar el orden de los términos a partir del grado de una de las variables.
El grado de una variable es el valor del exponente en un en un término.
5x3 - x4 + 2 - 3x
El grado es : 3 4 1
constante; grado = 0
Slide 161 / 178
Orden de los términos a partir del grado de la variable
Por ejemplo, la expresión de abajo no está ordenada:
5x3 - x4 + 2 - 3x
Esto es matemáticamente correcto, pero conducirá a algunos errores más tarde en este curso si no prestas atención.
Slide 162 / 178
5x3 - x4 + 2 - 3x
Es mejor escribir la expresión final con el término de grado más alto a la izquierda y a continuación hacia la derecha cada término en orden de grado decreciente.
En este caso lo de arriba queda como:
- x4 + 5x3 - 3x + 2
Esto lo haría más fácil para realizar un seguimiento de esos términos cuando resolvemos polinomios y fracciones algebraicas.
Orden de los términos a partir del grado de la variable
Slide 163 / 178
Orden de los términos por el grado de la variable
Si hay dos o mas variables, tenemos que elegir una de ellas
- 9xy2 + x3 + 7x2y - y3
Podemos elegir poner los términos en orden usando o x o y. Cualquiera de los dos funcionaría. Ya que x va antes que y en el abecedario, ordenaremos los términos usando la x.
x3 + 7x2y - 9xy2 - y3 Observa que los grados de la variable y ascienden desde izquierda a derecha. Esto no sucederá siempre, pero algunas veces sí.
Slide 164 / 178
- 9xy2 + x3 + 7x2y - y3
Vamos a reorganizar los términos en orden decreciente usnaod las potencias de y.
- y3 - 9xy2 + 7x2y + x3
Después de esta reorganización, los grados de la variable x ascienden de izquierda a derecha también.
Las dos respuestas funcionan y son correctas.
Orden de los términos por el grado de la variable
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Vamos a intentar un ejemplo más.
3x3 - x4y2 + 9 - 3xy2
Ya que existen más términos para x e y, vamos a ordenar usando x.
-x4y2 + 3x3 - 3xy2 + 9
Esto lo haría más fácil para realizar un seguimiento de esos términos cuando resolvemos polinomios y fracciones algebraicas.
Orden de los términos por el grado de la variable
Slide 166 / 178
96 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 7x2 + 23 - 8x + 4x3.
A 4x3 - 7x2 - 8x + 23
B 23 + 7x2 + 4x3 - 8x
C 7x2 - 8x + 4x3 + 23
D 4x3 + 7x2 - 8x + 23
Res
pues
ta
Slide 167 / 178
97 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 12 - x3 + 7x5 - 8x2 + 10x.
A 12 + 10x + 7x5 - x3 - 8x2
B 7x5 - x3 - 8x2 + 10x - 12
C 7x5 - x3 - 8x2 + 10x + 12
D - x3 + 7x5 - 12 - 8x2 + 10x
Res
pues
ta
Slide 168 / 178
98 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 41 + x2 + 10xy + y2.
A x2 + 10xy + y2 + 41
B 41 + 10xy + x2 + y2
C 41 + 10xy + y2 + x2
D x2 + y2 + 10y + 41
Res
pues
ta
Slide 169 / 178
99 Ordena los términos a partir de los grados de la variable en la expresión 2y - 3x3y2 + 9x5y4 - 3x2 + 11x.
A 2y + 11x + 9x5y4 - 3x3y2 - 3x2
B 9x5y4 - 3x3y2 - 3x2 + 11x + 2y
C 11x + 9x5y4 + 2y - 3x3y2 - 3x2
D - 3x3y2 - 3x2 + 2y + 9x5y4 + 11x
Res
pues
ta
Slide 170 / 178
Glosario y Estándares
Volver a la tabla de contenidos
Slide 171 / 178
Volveral
tema
EnterosNúmeros positivos, negativos y el
cero
..., -2, -1, 0, 1, 2, ...
símbolo para enteros
Slide 172 / 178
Números irracionalesUn número que no puede ser expresado
como una razón de enteros.
√2 eπ3.14159...1.41421... 2.71828...
Volveral
tema
Slide 173 / 178
Términos semejantes Términos en una expresión que tienen la
misma variable elevada a la misma potencia
3x
5x15.7x
x 1/2x
-2.3x
27x3
-2x3
x3
1/4x3
-5x3
2.7x3
5x3
5x
5x25
5x4
NO SON TÉRMINOS
SEMEJANTES!
Volveral
tema
Slide 174 / 178
Números NaturalesLos números que se usan para contar
1, 2, 3, 4, ...símbolo para
números naturales
Volveral
tema
Slide 175 / 178
Números racionalesUn número que puede ser expresado
como fracción.
1 4 5.32
símbolo para números racionales
Volveral
tema
Slide 176 / 178
Números RealesTodos los números que pueden ser encontrados en la recta numérica.
10 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10
Volveral
tema
Slide 177 / 178
Números enterosNúmeros para contar incluyendo al 0
0, 1, 2, 3, ...símbolo para
números enteros
Volveral
tema
Slide 178 / 178
Estándares para Matemática Práctica
MP1: Interpretar problemas y perseverar en resolverlos.MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.MP3: Construcción de argumentos viables y crítica del razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática.MP5: Uso estratégico de las herramientas apropiadas.MP6: Ser preciso.MP7: Búsqueda y uso de la estructura.MP8: Búsqueda y expresión de la regularidad en razonamientos repetidos.
En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados. Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.
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