RADICALES. DEFINICIONES:Definición de radical o raíz n-esima:

nA=B⇔Bn=A . nA es el número que elevado a n nos da APotencia con exponente fraccionario:

amn=

nam . Una potencia con exponente fraccionario es un radical.

Número radical:Cuando un radical no da exacto, se deja indicada la parte radical. El número real así expresado se denomina número radical.Un número radical sencillo se compone de coeficiente y parte radical.N=c nA

Ejemplo: 5 312 Coeficiente: 5; parte radical: 312Forma típica de un radical:Se dice que un número radical está en forma típica si está expresado con el menor índice y radicando posible. Ejemplos:200=100·2=100·2=102 La forma típica para 200 es 102816=824=2

48=2

12=

221=2 La forma típica para 816 es 2

Radicales semejantes:Se dice que dos radicales son semejantes si, expresados en forma típica, tienen idéntica parte radical (mismo índice y mismo radicando). Ejemplo: 200 y 816 Son semejantes ya que en forma tipica se expresan 102 y 2 que tienen idéntica parte radical.

Radicales. Procedimientos:Pasar a forma típica:Para pasar a forma típica, hay que seguir el procedimiento siguiente:1) Descomponer en factores primos el radicando.2) Reducir índice si es posible, simplificando el índice y los exponentes.3) Por último extraer factores fuera del radical si se puede:

Se puede si el exponente del factor es mayor o igual que el índice. En ese caso se divide el exponente entre el índice,obteniendo un cociente y un resto. El factor saldrá con exponente el cociente y dentro se quedará con exponente el resto.

Ejemplos:4129600

1) 4129600=426·34·522) (dividiendo el 4, 6, 4 y 2 entre 2)

426·34·52=223·32·51=23·32·5

3) (Se pueden sacar fuera el 2 y el 3)

23·32·5=21·31·21·5=6sqrt10

Ejemplos:3600 323·3·522 33·522 375

4324 422·3422·32322=32

48100 422·34·5222·32·53210=310

264 422·34·5222·32·53 210=310

Reducir a índice común:Cuando tenemos varios radicales con índices distintos, reducir a índice común consiste en expresar todos los radicales con el mismo índice. Se procede como cuando reducíamos fracciones a común denominador pero operando únicamente con los índices y los exponentes del radicando. También se puede hacer pasando a potencia con exponente fraccionario y luego reduciendo los exponentes a común denominador. Como siempre, primero hay que descomponer en factores primos el radicando.Ejemplo: (directamente) Ejemplo (pasando a potencia)

24 ; 420 ; 349 ; 632223·3 ; 422·5 ; 372 ; 625

m.c.m.2,4,3,6=1212218·36 ; 1226·53 ; 1278 ; 12210

24 ; 420 ; 349 ; 632223·3 ; 422·5 ; 372 ; 625

232 ·3

12 ; 2

24·5

14 ; 7

23 ; 2

56

m.c.m.2,4,3,6=1221812·3

612 ; 2

612·5

312 ; 7

812 ; 2

1012

12218·36 ; 1226·53 ; 1278 ; 12210

Introducir factores dentro del radical:Para introducir factores dentro del radical, se multiplica el exponente por el índice y el resultado es el exponente que tendrá el factor dentro del radical.Ejemplos:3a2 36a2=331·3·a2·3·2·3·a2=

333·a6·2·3·a2=32·34·a8

Ejemplos:3a2 b3 424ab=431·4·a2·4·b3·4 23·3·a·b=

434·a8·b12·23·3·a·b=423·35·a9·b14

Suma y resta de radicales:1) Pasar a forma típica todos los radicales2) Sólo se pueden sumar o restar aquellos radicales que sean semejantes. Para sumarlos o restarlos, se mantiene la parte radical idéntica y se suman o restan los coeficientes.3) Aquellos que no se puedan sumar se dejan indicados Ejemplos:

75312849−32=3·52

327432−32=

5322·3223−32=534 323−32=

5134−132=63332

Ejemplos:350−4642 65−68=

32·52−4262 65−623=

3·52−2232 65−221=152−22265−2=

15−2−122 65=122265Multiplicación y división de radicales:1) Reducir a índice común.2) Se mantiene el índice común y se multiplican o dividen los radicandos.Ejemplo:5·312· 49

672=5·322·3· 432

623·32 =1256·1228·34· 1226

1226·34 =12 56·28·34·26

34·26 =1256·28=653·24

m.c.m.2,3,4,6=12

Racionalización de radicales:En ocasiones, un número radical aparece en forma de fracción de radicales, en esos casos, siempre intentaremos que en el denominador no aparezca ningún radical, es decir que el denominador sea Racional. Este procedimiento se denomina racionalizar. Hay dos tipos de racionalización.1) Si el denominador es un radical puro.En este caso para eliminar el radical del denominador multiplicaremos el numerador y el denominador por un radical puro del mismo índice que el radical del denominador y cuyo radicando complete el radicando para alcanzar el índice.Ejemplos:

2635=

2·631

635·631=263

635·31=2 63636 =

2633 ; 2

624·35·5= 2622·31·55

624·35·5· 622·31·55=

26223155

624·35·5·22·31·55=2 6223155

626·36·56=2 62231552·3·5 =

622·3·55

15

2) Si el denominador es un binomio con raíces cuadradas.En este caso para eliminar la o las raíces del denominador multiplicaremos el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.Ejemplos:

23−5=

2· 353−5 35

=2· 35 3 2−52 =

2· 35 3−25 =

2· 35 −22 =−35

11

253−5=

25 · 35 3−5 35

=2·3255·35·5

3 2−5 2=

23251553−5 =−

23251552