Publicaciones IFEM

Resolución de Problemas de Matemáticas para Estudiantes de Escuela

Elemental

Yuri Rojas Ramírez

Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico

Recinto Universitario de Mayagüez

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Primera Edición, 2004 Derechos © IFEM-HaCuMa Director: Dr. Luis F. Cáceres Co-Director: Dr. Arturo Portnoy Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el permiso previo por escrito del IFEM-HaCuMa. Esta producción ha sido subvencionada por el proyecto IFEM-HaCuMa mediante una propuesta del Programa de Título V del Departamento de Educación de Puerto Rico. Realizado por Yuri Rojas Ramírez, Catedrático Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico, Recinto Universitario de Mayagüez

Impreso y hecho en Puerto Rico

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PRÓLOGO

He estudiado matemáticas desde que estaba en primer grado hace

36 años, y las he enseñado por 22 años a nivel universitario. Mi esposa Jacqueline, a quien nunca le gustaron las matemáticas (ella dice que no las entiende) y cuya carrera universitaria la hizo en Teatro, fue maestra de escuela elemental y se vio obligada a enseñar matemáticas. No obstante la diferencia dramática en nuestros gustos y preparaciones en la disciplina, cuando nuestros hijos Rodrigo e Isabel (quienes recientemente entraron a escuela intermedia) comenzaron a aprender los rudimentos de esa materia era ella, y no yo, quien les explicaba las lecciones y tareas. A mí me resultaba difícil hacerlo porque las destrezas requeridas son diferentes que para enseñar a niveles superiores.

Admiro por eso a los maestros de matemáticas de nivel elemental. Creo estar en conocimiento de algunos de sus problemas y limitaciones en el salón de clases. Este módulo pretende recoger algunas de mis experiencias trabajando con maestros y niños de todos los niveles para tratar de facilitarle la titánica labor de desarrollar las destrezas fundamentales que en el futuro espero usufructuar cuando esos niños lleguen a la Universidad. Así pues se entrevé que mi empeño no es totalmente filantrópico y sí tiene un elemento egoísta. Espero que tanto a los maestros como a los estudiantes a quien va dirigido les resulte beneficioso. Agradezco a Luis Fernando y Arturo la oportunidad de servir en esta capacidad y de permitirme plasmar en el papel, físico y virtual, algunas ideas que hemos trabajado anteriormente.

A una maestra y dos estudiantes en particular, cuyos nombres aparecen arriba, va dedicado este fruto de mis labores.

Yuri Rojas Ramírez Mayagüez

13 de septiembre de 2004

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IFEM Instituto para el Fortalecimiento en la Enseñanza de las Matemáticas HaCuMa Hacia Una Cultura de Matemáticos Estos proyectos están subvencionados por el Departamento de Educación de Puerto Rico y son realizados en el Departamento de Matemáticas del Recinto Universitario de Mayagüez de la Universidad de Puerto Rico.

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TABLA DE CONTENIDO PRÓLOGO ............................................................................................ iii RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS...................................................... 8 EL MODELO DE POLYA ................................................................... 9 DESTREZAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO............................. 11

Ejercicio 1. La muerte de Moisés y Wanda.............................. 11 Ejercicio 2 Regiones de un círculo.......................................... 11 Ejercicio 3. Error matemático .................................................. 12

PATRONES.......................................................................................... 13 Ejercicio 4. Una sucesión numérica sencilla ............................ 14 Ejercicio 5. Otra sucesión numérica sencilla............................ 14 Ejercicio 6. La tabla de multiplicar .......................................... 14 Ejercicio 7. Números pares ...................................................... 16 Ejercicio 8. Números impares .................................................. 16 Ejercicio 9. Muchas sucesiones................................................ 16 Ejercicio 10. Mesas triangulares en una escuela ........................ 17 Ejercicio 11. Mesas cuadradas en un restaurante ....................... 18 Ejercicio 12. Ropa tendida en un cordel..................................... 18 Ejercicio 13. Una suma de muchos números ............................. 20 Ejercicio 14. Otra suma de muchos números ............................. 20 Ejercicio 15. Los conejos de Leonardo ...................................... 20 Ejercicio 16 Árbol genealógico................................................. 21 Ejercicio 17. Puntos en un círculo.............................................. 22 Ejercicio 18. Torre de papel ....................................................... 23 Ejercicio 19. Otra torre de papel ................................................ 23

PROBLEMAS ALGEBRAICOS........................................................ 23 Ejercicio 20. Números consecutivos .......................................... 24 Ejercicio 21. Números desconocidos ......................................... 24 Ejercicio 22. Estaturas desconocidas.......................................... 25 Ejercicio 23. Mesadas desconocidas .......................................... 25 Ejercicio 24. El examen de matemáticas.................................... 25 Ejercicio 25. Las tres edades ...................................................... 25 Ejercicio 26. La edad de Diofanto.............................................. 26

MATEMÁGICA .................................................................................. 26 Ejercicio 27. Un cuadrado mágico ............................................. 27 Ejercicio 28. Otro cuadrado mágico........................................... 27

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Ejercicio 29. La herencia de los camellos .................................. 27 Ejercicio 30. Magia numérica .................................................... 28 Ejercicio 31. Un dólar perdido ................................................... 28

MÁS RAZONAMIENTO LÓGICO .................................................. 29 Ejercicio 32. Los ojos negros y los ojos azules.......................... 29 Ejercicio 33. Las dos tribus ........................................................ 30 Ejercicio 34. Los cuatro artistas ................................................. 30 Ejercicio 35. Cinco pueblos........................................................ 31 Ejercicio 36. La compañía.......................................................... 31 Ejercicio 37. Divisiones borradas............................................... 32

REDES .................................................................................................. 33 Ejercicio 38. Vértices pares e impares ....................................... 36 Ejercicio 39. Los puentes de Königsberg................................... 36 Ejercicio 40. La ruta por los pueblos.......................................... 37 Ejercicio 41. La ruta por los estados .......................................... 37 Ejercicio 42. La ruta por los países ............................................ 38 Ejercicio 43. De paseo por el Prado ........................................... 38

OTROS PROBLEMAS ....................................................................... 39 Ejercicio 44. Polígonos............................................................... 39 Ejercicio 45. El triángulo de Pascal ................................................... 39 Ejercicio 46. Dígitos y letras.............................................................. 40

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS............................................... 40 BIBLIOGRAFÍA.................................................................................. 78 ÍNDICE ................................................................................................. 80

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La finalidad de un curso de matemáticas se centra en desarrollar la capacidad del estudiante para resolver un problema. Dicho problema puede ser estrictamente matemático, como por ejemplo conseguir la respuesta de la siguiente expresión numérica luego de simplificarla

22 3 5 8 3 (14 4) 5+ × − + × − ÷ .

Los problemas, sin embargo, también pueden surgir del cotidiano vivir. Por ejemplo, si una camisa cuesta $25.00 y solamente contamos con $20.00 para gastar, ¿cuál es el porciento mínimo de descuento que tendrían que darnos en la tienda para poder adquirir la camisa con el dinero que tenemos?

Con el propósito de fortalecer las destrezas de resolución de ejercicios, en este módulo se discutirá el modelo de Polya, y temas tales como lógica, conjuntos, patrones y grafos (redes). Se enfatizarán sobre todo las destrezas de razonamiento lógico, la selección de estrategias adecuadas y el uso de un acercamiento metódico al problema planteado.

A través de las próximas páginas, se utilizará el vocabulario matemático correcto; se enfatizarán en negritas los términos que requieran definir o explicar. Es sumamente importante que los estudiantes no sólo se familiaricen con la nomenclatura correcta sino que se acostumbren a usarla. Por ejemplo, en vez de decir “el de arriba” en referencia al número que normalmente escribimos en la parte superior de una fracción, acostumbremos al estudiante a llamarlo por sus nombres correctos: numerador o dividendo. La matemática, igual que toda disciplina, se comunica a través del lenguaje hablado que en nuestro caso es el castellano. Propiciemos su buen uso.

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EL MODELO DE POLYA

En 1945 el matemático húngaro Georg Polya (1887-1985), Profesor de la Universidad de Stanford, escribió lo que en 1971 se publicaría con el título How to Solve It (en español y traducción del que escribe, Cómo resolverlo). En dicho libro Polya dice:

Un gran descubrimiento resuelve un gran problema pero hay un granito de descubrimiento en la solución de cualquier problema. Tu problema puede ser modesto; pero si reta tu curiosidad y trae a relucir tus facultades creativas, y si lo resuelves por tus propios medios, puedes experimentar la tensión y disfrutar el triunfo del descubrimiento. Experimentar esto a una edad susceptible puede crear un gusto por el trabajo mental y dejar su huella en la mente y el caracter por toda una vida.

Así es que un maestro de matemáticas tiene una gran oportunidad ante sí. Si llena su tiempo asignado haciendo que sus estudiantes practiquen operaciones rutinarias, les aniquila su interés, les obstruye su desarrollo intelectual y desaprovecha su oportunidad. Pero si reta la curiosidad de sus estudiantes planteándole problemas proporcionales a su conocimiento, y les ayuda a resolverlos con preguntas estimultantes, les puede dar un gusto por, y los medios de, pensamiento independiente.

Polya planteó un modelo para la resolución de problemas que

consiste de cuatro pasos, que se enumeran a continuación, seguidos de unas sugerencias y preguntas guías en cada uno de los casos. Primer Paso: Comprender el problema

Hay que entender el problema. ¿Puede expresarlo en sus propias palabras? ¿Qué está tratando de buscar o de hacer? ¿Qué datos conoce usted? ¿Qué condiciones o restricciones hay? ¿Qué información falta? Haga un dibujo.

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Segundo Paso: Desarrollar un plan

Halle la conección entre lo que conoce y lo que busca. Puede ser necesario considerar otros problemas secundarios. Eventualmente debe obtener un plan para resolverlo. ¿Ha visto el problema anteriormente? ¿O ha visto uno parecido? Simplifique el problema y resuelva un caso más sencillo. ¿Usó todos los datos? ¿Tomó en cuenta las condiciones?

Algunas posibles estrategias en el plan, que se pueden usar individualmente, o en combinación unas con otras, son:

� Búsqueda de patrones � Tanteo � Elaboración de una tabla � Uso de diagramas � Escribir una o varias ecuaciones � Trabajar hacia atrás � Razonamiento directo o indirecto � Uso de problemas parecidos cuyas soluciones se conocen

Tercer paso: Ejecutar el plan

Lleve a cabo el plan que desarrolló. Implante las estrategias necesarias mencionadas en el paso anterior. Efectúe las acciones y cómputos necesarios cotejando cada paso formal o informalmente. Mantenga un registro escrito para que pueda revisarlo después. Cuarto paso: Verificar la solución Examine la solución obtenida y coteje los resultados contra el problema inicial. ¿Es razonable? ¿Hace sentido? ¿Contesta la pregunta original? Investigue si hay otra forma de resolver el problema.

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DESTREZAS DE RAZONAMIENTO LÓGICO Hay unas reglas básicas del razonamiento lógico y ordenado. Una de las básicas es evitar los prejuicios, es decir tratar de no suponer nada de antemano. Ejercicio 1. La muerte de Moisés y Wanda Considere la situación que se describe a continuación.

El detective privado entró en el apartamento de los señores Meléndez. En el centro de la sala pudo ver los cuerpos sin vida de Moisés y Wanda. Había un gran charco de agua y pedazos de vidrio roto por todas partes. Inmediatamente (y hay que añadir que correctamente) el detective concluyó que Moisés y Wanda habían muerto asfixiados.

¿Cómo pudo llegar el detective a esta conclusión de forma tan rápida?

Otra de las reglas básicas es no hacer generalizaciones a la ligera. Ejercicio 2 Regiones de un círculo Marque n (n > 1) puntos en un círculo y conéctelos todos para formar regiones distintas. Cuente las regiones y complete la siguiente tabla.

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Número

de puntos

2

3

4

5

6

Número

de regiones

2

4

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Observe cuidadosamente las reglas. Por ejemplo, en el siguiente

argumento algebraico, se comete un error en el procedimiento y de una premisa verdadera se llega a una falsa conclusión. (Tal tipo de argumento se denomina una falacia.) Ejercicio 3. Error matemático Trate de detectar el error en el siguiente argumento: Paso Justificación 1) 2a = Dato (cierto) 2) 2 2a a= Multiplicar por el mismo número (a )

ambos lados 3) 2 4 2 4a a− = − Restar el mismo número (4) a ambos lados 4) ( 2)( 2) 2( 2)a a a− + = − Factorizar ambos lados

5) ( 2)( 2) 2( 2)

2 2

a a a

a a

− + −=− −

Dividir por el mismo número ( 2a − )

ambos lados

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6) 2 2a + = Cancelar 7) 2 2 2+ = Sustituir el dato ( 2a = ) 8) 4 2= Sumar 9) 4 2≠ Conclusión (falsa) PATRONES

Uno de los métodos más comunes para resolver un problema es intentar descubrir si existe algún patrón de comportamiento que nos ayude a pronosticar o encontrar la solución del problema. La detección de patrones es una destreza fundamental en la enseñanza de la matemática, que constituye además uno de los estándares tanto de la National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) como del Departamento de Educación de Puerto Rico. Nuestros niños aprenden desde muy temprano a detectar patrones numéricos.

El patrón numérico más sencillo lo constituye la sucesión o

progresión de los llamados números naturales, los números que naturalmente usamos para contar:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

En esta secuencia numérica sabemos, aunque no lo veamos o escribamos, que el décimo número será el 10, que el centésimo número será el 100, y que el número en la posición número 5,327 va a ser el 5,327. Variaciones de la anterior lista de números son también fáciles de detectar porque tienen el mismo patrón: los números van de uno en uno. Por ejemplo, en la sucesión

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … podemos concluir con suma facilidad que el número en la tercera posición es 4 (lo estamos viendo en la lista), en la octava posición es 9

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(es el próximo que escribiríamos), y que el número en la décima posición será el 11. Ejercicio 4. Una sucesión numérica sencilla En la sucesión anterior, {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}, encuentre el número en la centésima posición. Escriba ahora el número en la posición número 5,327. Explique en palabras cómo usted encontró estos dos números. Use esta regla o patrón para escribir el número en la posición número 1,000,000 (un millón). Ejercicio 5. Otra sucesión numérica sencilla Encuentre los próximos tres números de la sucesión {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …}. Encuentre además los números en las posiciones números 100 y 232. Explique en palabras la regla o patrón que le permitió conseguirlos. Ejercicio 6. La tabla de multiplicar de Alicia En el segundo capítulo del clásico libro infantil Alicia en el país de las maravillas, del escritor inglés Lewis Carroll, la protagonista, una niña que se ha caído por el hueco de una madriguera de conejos y comienza a dudar de su identidad debido a todos los sucesos extraños que le acontecen, razona de la siguiente manera:

“¿Quién soy yo?” se preguntó Alicia, y empezó a pensar en todos los niños de su edad que ella conocía, para ver si ella había sido intercambiada por alguno de ellos. “Estoy segura que no soy Ada porque su pelo es largo y rizo y el mío no. Estoy segura que no soy Mabel porque yo sé muchas cosas y ella no sabe casi nada. Trataré de ver si sé todas las cosas que yo sabía. Déjame ver: cuatro por cinco es doce, y cuatro por seis es trece, y cuatro por siete es – ”

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Si seguimos el patrón más sencillo posible, ¿qué número cree usted que va a decir Alicia? Complete la siguiente “tabla de multiplicar” basada en la regla fatula de Alicia:

Cuatro por siete es ______ Cuatro por ocho es ______ Cuatro por nueve es ______ Cuatro por diez es ______ Cuatro por once es ______ Cuatro por doce es ______ Cuatro por trece es ______

Recuerde la regla de no hacer generalizaciones a la ligera, discutida anteriormente. Un problema bien grande con la supuesta detección de un patrón numérico es que nada garantiza que la regla que hemos creído descubrir sea en realidad la regla, si alguna, que se usó para producir los números. Por ejemplo, en el caso anterior Lewis Carroll continúa la historia de la siguiente manera: … cuatro por siete es – ¡oh, Dios mío. Nunca llegaré a 20 de esta manera!

Martin Gardner, autor de The Annotated Alice, sugiere que la explicación más sencilla para que Alicia nunca llegue a 20 es que las tablas de multiplicación tradicionales llegan hasta el doce, de tal manera que si se sigue de la forma en que Alicia comienza la progresión, de uno en uno, cuatro por doce (el último número de la tabla) sería 19.

Esto muestra que hay que ser bien cuidadoso al momento de utilizar patrones de comportamiento (numérico o de algún otro tipo) para tratar de resolver un problema. Para no caer en esta dificultad, usualmente requerimos conocer muchos de los números que configuran la sucesión o tal vez, aunque más difícil, conocer más sobre las características de la lista numérica.

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No todas las sucesiones numéricas van de uno en uno. Una de las secuencias de números que aprenden nuestros estudiantes temprano en su vida escolar es la de los números pares:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, … Ejercicio 7. Números pares Encuentre los próximos tres números de la sucesión {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …}. Encuentre ahora los números en las posiciones 100 y 5,327. Explique en palabras la regla que usó para hallarlos. Ejercicio 8. Números impares Encuentre los próximos tres números de la sucesión {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …}. Encuentre ahora los números en las posiciones 100 y 5,327. Explique en palabras la regla que usó para hallarlos. Ejercicio 9. Muchas sucesiones Encuentre los próximos tres números de cada una de las siguientes sucesiones. Encuentre además los números en las posiciones 50 y 75. Describa en palabras el patrón o regla que usó para hallar esos números. a) { 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, …} b) { 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, …} c) { 1, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 5, 1, 2, 6, …} d) { 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, …} e) { 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, …} f) { 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, …} g) { 1, 2, 2, 4, 3, 6, 4, 8, 5, 10, 6, 12, 7, 14, …} h) { 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, …} i) { 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128…} j) { 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, …} k) { 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, …} l) { 1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, …} m) { 1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, …}

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n) { 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …} o) { 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1458, …} p) { -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13, …} q) { 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, …} r) {1000, 996, 992, 988, 984, 980, …} s) {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …} t) {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …} u) { 1, 2, 6, 24, 120, …}

Usemos ahora la estrategia de la búsqueda de patrones para resolver los siguientes problemas aplicados a la vida real: Ejercicio 10. Mesas triangulares en una escuela En una escuela todas las mesas que se usan en los salones son en forma de triángulos equiláteros y sientan tres personas, una en cada lado. Si se unen dos mesas, se pueden sentar cuatro personas, y si se unen tres mesas en línea se pueden acomodar cinco personas, etc.

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Encuentre cuántos estudiantes pueden sentarse si se unen cinco mesas en línea. Encuentre cuántas mesas hay que unir en línea para sentar cincuenta estudiantes. Ejercicio 11. Mesas cuadradas en un restaurante En el local de un restaurante todas las mesas que se usan son cuadradas y sientan cuatro personas, una en cada lado. Si se unen dos mesas, se pueden sentar seis personas, y si se unen tres mesas en línea se pueden acomodar ocho personas, etc.

Si se unen 23 mesas en línea, ¿cuántas personas se pueden sentar? ¿Cuántas mesas hay que unir en línea para acomodar cien personas? Ejercicio 12. Ropa tendida en un cordel Haydée, cuando tiende ropa en el cordel de su casa, usa dos pinches para la primera prenda, pero luego usa uno de esos y uno adicional para la próxima prenda de ropa, y así sucesivamente. (Vea el dibujo que se da abajo.)

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En cambio Diego, el hermano de Haydée, usa dos pinches para cada prenda de ropa, como se muestra abajo.

¿Cuántos pinches de ropa usa Haydée para tender 10 pantalones y ocho camisas? ¿Cuántos pinches necesita Diego para tender lo mismo? Si hay cincuenta pinches, ¿cuántas prendas de ropa puede tender Diego? ¿Cuántas puede tender Haydée con 50 pinches?

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Hay veces que un problema requiere de mucha ingenuidad para resolverlo. De hecho, las soluciones más impresionantes de un problema son las más sencillas. A veces, sin embargo, nos enfocamos en buscar o usar formas complejas para hacerlo. Esta situación la ilustra una anécdota de un niño que con el andar del tiempo se convirtió en uno de los matemáticos más famosos de la historia.

Un día su maestro de matemáticas llegó al salón de clases con

muchos trabajos para corregir y decidió poner a sus estudiantes a resolver un problema que les tomara mucho tiempo en resolver. Cuando llegó al salón escribió en la pizarra: “Sume todos los números naturales del 1 al 100.”

Todos los estudiantes sacaron su libreta y un lápiz y se pusieron a hacer la tarea asignada. Uno de ellos, de nombre Karl, se levantó de su silla a los dos minutos y le presentó al maestro su respuesta. El maestro, atónito, verificó que la contestación no sólo era correcta sino que había resuelto el problema de una forma sumamente sencilla, que ni a él mismo se le hubiese ocurrido. Ejercicio 13. Una suma de muchos números Resuelva el problema anterior, es decir sume todos los números naturales del 1 al 100:

1 + 2+ 3 + 4 + … + 100 Ejercicio 14. Otra suma de muchos números Sume todos los números naturales del 1 al 999. Ejercicio 15. Los conejos de Leonardo Leonardo, un italiano de la ciudad de Pisa, quiso iniciar una crianza de conejos. Él comenzó su crianza con una pareja de gazapos, es decir conejos jóvenes. Los gazapos tardan un mes en llegar a ser adultos. Cada

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pareja de conejos adultos se reproduce una vez al mes todos los meses y tiene una pareja de gazapos. Complete la siguiente tabla:

Mes Parejas de gazapos

Parejas de adultos

Total de parejas de conejos

1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12

Ejercicio 16. Árbol genealógico Todas las personas (al menos antes de la era de la clonación) tenemos dos padres. Como cada uno de ellos tiene a su vez dos padres, entonces hay cuatro abuelos. Dado que cada abuelo tiene dos padres, hay ocho bisabuelos, etc. Complete la tabla que aparece en la página siguiente.

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Generación (Persona)

Número de personas

Número total de personas en el árbol

genealógico 0

(Usted) 1 1

1 (Padres)

2 3

2 (Abuelos)

4 7

3 (Bisabuelos)

8

4 (Tátarabuelos)

5 (Choznos)

6

7

8

Ejercicio 17. Puntos en un círculo Marque 10 puntos en un círculo. ¿Cuántos segmentos de línea en total se pueden trazar conectando cualesquiera dos de estos puntos?

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Ejercicio 18. La torre de papel Un papel se dobla por la mitad, y luego nuevamente por la mitad, y así sucesivamente. ¿Cuántas capas de papel habrá si se dobla 15 veces? Ejercicio 19. Otra torre de papel Ahora tenemos dos papeles que se doblan en tres, como cuando una carta de dos páginas se dobla para meter en un sobre. Luego se dobla en tres nuevamente, y así sucesivamente. ¿Cuántas capas de papel habrá al doblar el papel 10 veces? PROBLEMAS ALGEBRAICOS

No todos los problemas se resuelven descubriendo un patrón numérico. Una de las ramas fundamentales de la matemática es el álgebra, que es la que utiliza símbolos, llamados variables, para representar cantidades numéricas cuyos valores no necesariamente conocemos. Uno de los problemas centrales del álgebra es tratar de determinar el valor de una variable si conocemos algunos datos sobre la cantidad. Estos datos pueden ser expresados en forma verbal o pueden ser escritos mediante expresiones algebraicas llamadas ecuaciones (que contienen el símbolo = ) o desigualdades (que contienen los símbolos ,≤ ≥ ,<, >).

Desde muy jóvenes, estamos acostumbrados a resolver problemas para tratar de averiguar el valor de cierta cantidad que desconocemos. ¿De cuánto tiene que ser la rebaja en un precio para poder adquirir algo cuando contamos con un presupuesto limitado? ¿Cuántos dulces le tocan a un niño si repartimos los que tenemos en partes iguales entre los que asisten a una fiesta de cumpleaños? La única diferencia entre la forma en que la mayoría de las personas acostumbra resolver estos problemas y la forma en que lo haría alguien que conozca un poco de álgebra es que en álgebra usamos símbolos que representan

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la cantidad desconocida. Esos símbolos pueden ser un espacio en blanco, una raya, un cuadrado, una estrella o una letra, por ejemplo.

Tampoco estamos exentos de representar mediante símbolos otras cosas que desconocemos. Cuando en una discusión estamos refiriéndonos a otra persona cuyo nombre no recordamos, pero que realmente no necesitamos saber en el momento, usamos términos tales como “Fulano”, “Sutana”, “Mengana” o “Juan del Pueblo” para hacerlo. Incluso habrá quién diga “Ponle Pichón” cuando no sabemos el nombre de una persona y no lo necesitamos en el momento de la discusión. Todos estos términos son símbolos verbales para un objeto que desconocemos, de la misma forma que en álgebra usamos variables para representar cantidades desconocidas. Ejercicio 20. Números consecutivos a) Encuentre tres números naturales consecutivos cuya suma es 987. b) Encuentre tres números naturales consecutivos cuyo promedio es

471. c) Encuentre tres números naturales pares consecutivos cuya suma es

1200. d) Encuentre tres números naturales pares consecutivos cuyo promedio

es 200. e) Encuentre tres números naturales impares consecutivos cuya suma es

1323.

Ejercicio 21. Números desconocidos a) Un número es cinco veces otro. La suma de ambos es 96.

Determínelos. b) El triple de un número es cinco más que el doble del número.

Hállelo. c) La cuarta parte de un número es 4 menos que su mitad. Halle el

número. d) La suma de tres números es 72. El segundo número es el triple del

primero y el tercero supera en 9 al segundo. Determine los números.

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e) ¿Cuál es el número de 5 dígitos más pequeño en el cual el dígito de las decenas es el doble del dígito de los millares? (Nota: El número no cambia su valor si intercambia los dígitos de las unidades y las centenas.)

Ejercicio 22. Estaturas desconocidas Papo, Tito y Lisa son condiscípulos pero hay gran diferencia en sus estaturas. Tito es 14 pulgadas más alto que Lisa. La diferencia entre Tito y Papo es dos pulgadas menos que entre Papo y Lisa. Tito, quien mide 6’6”, es el más alto de la clase. ¿Cuánto miden Papo y Lisa? Ejercicio 23. Mesadas desconocidas Tato averiguó que su mesada era la mitad de lo que recibía Chito. Chito no es mucho mayor que Tato. Susana es tres años mayor y recibe tres veces lo que le dan a Tato. Los tres juntos reciben $72. ¿Cuánto recibe cada uno? Ejercicio 24. El examen de matemáticas Los estudiantes de quinto grado de la Escuela Pirata Cofresí, que se distingue porque todos sus grupos tienen menos de 30 estudiantes, tomaron un examen de matemáticas la semana pasada. Una cuarta parte sacó B, una tercera parte sacó C, una sexta parte sacó D y una octava parte se colgó. ¿Cuántos sacaron A? Ejercicio 25. Las tres edades Abuela Amelia le dice a su nieta Natalia “Mi sobrina Cristina es 27 años menor que yo y 32 años mayor que tú. Nuestras edades combinadas suman 100.” ¿Qué edades tienen las tres? ¿Cuál es la edad de la mamá de Natalia?

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Dentro del álgebra hay un área que se dedica a resolver problemas o ecuaciones diofantinas (o diofánticas) cuyas soluciones son números enteros, es decir ni fraccionales ni irracionales. El nombre surgió del siguiente problema basado en la vida de un famoso matemático de la edad antigua. Ejercicio 26. La edad de Diofanto La lápida en la tumba del geómetra griego Diofanto revela su edad utilizando un artificio matemático. La misma lee:

Los dioses le brindaron niñez por una sexta parte de su vida, y una duodécima para su adolescencia. Un matrimonio sin vástagos tuvo por una séptima parte de su vida. Cinco años pasaron y entonces le nació un hijo. Este hijo murió al momento en que cumplió la mitad de los años que vivió su padre. Diofanto vivió cuatro años más, ahogando su pena en el estudio de sus números, y entonces murió.

¿A qué edad murió Diofanto? ¿A qué edad murió su hijo? ¿Qué edad tenía Diofanto cuando esto sucedió? MATEMÁGICA

En las matemáticas hay muchos problemas que parecen requerir de cierta magia para poder resolverlos. Consideremos los famosos cuadrados mágicos, en que se construye la figura indicada con igual número de filas y columnas y se colocan en los encasillados resultantes los números naturales consecutivos del 1 en adelante de tal forma que las sumas en todas las horizontales (filas), verticales (columnas) y diagonales sea el mismo número.

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Ejercicio 27. Un cuadrado mágico Coloque los números naturales del 1 al 9 en los encasillados del siguiente cuadrado mágico de modo que la suma de los números en las tres filas, tres columnas y dos diagonales sean iguales.

Ejercicio 28. Otro cuadrado mágico Utilice las propiedades de los cuadrados mágicos para completar el siguiente, colocando en los encasillados vacíos los números naturales del 1 al 16 que falten.

4

9 16

10 3

14

7

13

Ejercicio 29. La herencia de los camellos En el libro El hombre que calculaba se cuenta que había una vez un matemático muy singular en Arabia que se llamaba Beremiz Samir. En una ocasión, mientras éste viajaba por el desierto con un conocido, ambos montados en el camello del amigo, al llegar a una aldea se encontraron la siguiente situación. Tres hermanos discutían por la herencia que les dejó el padre, que consistía de 35 camellos. De acuerdo a los deseos del padre, la mitad de ellos le correspondía al hermano mayor, una tercera parte al del medio, y una novena al más joven.

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Se quejaban los hermanos de que no podían hacer la repartición de forma que se cumplieran los deseos del papá y con la satisfacción de

todos los hermanos, porque ni la mitad de 35, que es 117 2 , ni la tercera

o la novena parte de 35 es un número entero. Beremiz resolvió el problema de la siguiente manera: a los 35 camellos añadió el de su amigo para un total de 36. Le dio al mayor 18 (que es la mitad de 36), al del medio 12 (que es la tercera parte de 36) y al menor 4 camellos (que es la novena parte de 36), de acuerdo a lo estipulado en el testamento y a satisfacción de todos los hermanos, que recibieron más de lo que les correspondía. Como eso suma 34 camellos, de los dos restantes le devolvió el de su amigo y se quedó él con el último como pago por sus servicios. Explique cómo Beremiz logró resolver tan sabiamente (o mágicamente) este problema. Ejercicio 30. Magia numérica Piense en cualquier número. Súmele 7. Multiplique el total por 8. Réstele 4 al producto anterior. Divida esa diferencia por 4. Réstele 13 al cociente anterior. Escriba el resultado. Piense en otro número y repita el procedimiento. Hágalo otra vez con uno o más números hasta que pueda pronosticar el número que resultará. Ejercicio 31. Un dólar perdido Tres amigas se registran en un hotel y pagan $60 por un cuarto. Luego de que se van al cuarto, el gerente se percata de que el cuarto costaba $55 y que le había cobrado de más. Le da $5 a la mucama y le dice que vaya a devolvérselos a las tres mujeres. Sin saber cómo dividir los $5 entre las tres amigas a partes iguales, la empleada le da $1 a cada una de ellas y se embolsilla $2. Más tarde en la noche, la mucama razona que cada mujer pagó $19 ($20 menos $1 que ella les dio). Dado que los $57 que ellas pagaron más los $2 que la mucama retuvo sólo suman $59, se quedó pensando qué le había pasado al dólar perdido. ¿Puede explicar usted qué le pasó?

29

MÁS RAZONAMIENTO LÓGICO Ejercicio 32. Los ojos negros y los ojos azules En el libro El hombre que calculaba, se cuenta que el sabio Beremiz Samir (véase Ejercicio 29), para que le sea concedida la mano en matrimonio de la bella Telassim, hija del jeque Iezid Abul Hamid, tiene que resolver el siguiente problema que le plantea el califa al-Mutasim, que le dice:

“Yo poseo cinco bellas esclavas, que recientemente adquirí de un príncipe mongol. Dos de ellas tienen ojos negros y las otras tres tienen ojos azules. Las dos con ojos negros siempre dan una contestación verdadera a cualquier pregunta, mientras que las tres con ojos azules son unas mentirosas de nacimiento, y nunca responden con la verdad. En unos momentos las cinco serán traídas aquí con sus caras disimuladas con velos bien tupidos que harán imposible que le veas las caras. Debes descubrir cuáles de ellas tienen ojos negros y cuáles ojos azules. Puedes hacer preguntas a tres de las esclavas, una a cada una de ellas. De las tres respuestas debes resolver el problema y explicar el razonamiento preciso que te llevó a tu respuesta. Tus preguntas deben ser bien sencillas, dentro de las capacidades de estas esclavas para contestar.” Al entrar las esclavas en fila una detrás de la otra, Beremiz se acercó a una de ellas, la que estaba en la extrema derecha, y le preguntó “¿De qué color son tus ojos?”. La esclava respondió en un lenguaje extraño, aparentemente chino, que nadie en la sala, excepto las esclavas, comprendía. Al oirla, el califa ordenó a las demás que contestaran en árabe, sencillo y preciso. A continuación Beremiz se acercó a una segunda esclava y le preguntó “¿Cuál fue la respuesta que tu compañera acaba de dar?” La segunda esclava contestó “Ella dijo, ‘Mis ojos son azules.’” La tercera esclava, en el centro del grupo, fue la próxima en ser interrogada por Beremiz. “¿De qué color son los

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ojos de las dos muchachas que acaban de responder a mis preguntas?” La tercera, la última en contestar, dijo “La primera tiene ojos negros y la segunda ojos azules.” Luego de pausar un momento, Beremiz se acercó al trono y le dijo al califa “Señor de los creyentes, Sombra de Alá en la Tierra, tengo la solución a tu problema, a la que llegué usando lógica estricta.”

Determine cuáles de las esclavas tienen ojos negros y cuáles tienen ojos azules. Explique el razonamiento lógico que pudo haber utilizado Beremiz para explicar la solución al problema. Ejercicio 33. Las dos tribus En cierta isla viven los indios pies rojos, que nunca dicen la verdad, y los indios pies negros, que siempre dicen la verdad. Un extranjero se encuentra con tres nativos y le pregunta al primero “¿Es usted un indio pie rojo?”. El primer nativo contesta la pregunta. El segundo nativo entonces informa que el primer nativo dijo que no es un pie rojo. El tercer nativo dice que el primer nativo es un pie rojo. Cuando usted mira hacia abajo, los tres están usando mocasines de modo que no puede saber quién dice la verdad. ¿Cuántos de estos tres nativos son pies rojos? Ejercicio 34. Los cuatro artistas Alfonso, Carlos, Rodrigo y William son cuatro artistas de gran talento. Uno es bailarín, uno es pintor, uno es cantante y uno es escritor, aunque no necesariamente en ese orden. a) Alfonso y Rodrigo estaban en el público la noche que el cantante

hizo su debut en un concierto. b) Los retratos de ambos Carlos y el escritor han sido pintados por el

pintor con el modelo presente en el estudio. c) El escritor, cuya biografía de William fue un mejor vendido

(“bestseller”), está planificando escribir una biografía de Alfonso. d) Alfonso nunca ha oido hablar de Rodrigo.

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Paree cada persona (Alfonso, Carlos, Rodrigo, William) con su campo artístico (bailarín, pintor, cantante, escritor). Ejercicio 35. Cinco pueblos Germaine, Isabel, Juana, Lorencita y Sebastiana estudian en el Colegio de Mayagüez, donde están tomando cursos de gerencia, ingeniería, japonés, literatura y sociología. Por coincidencia viven en los pueblos de San Germán, Santa Isabel, San Juan, San Lorenzo y San Sebastián. Sin embargo, ninguna de ellas vive en el pueblo que lleva su nombre ni la disciplina que estudia comienza con la inicial de su nombre o del nombre del pueblo en que vive. La que estudia ingeniería no vive en San Juan, e Isabel no estudia ni literatura ni japonés, ni vive en San Juan o San Lorenzo. Lorencita vive en San Sebastián y no estudia ni ingeniería ni gerencia. Germaine no reside en Santa Isabel, y tampoco Sebastiana, quien no estudia ingeniería o literatura. Use la información anterior para determinar el pueblo donde vive y la disciplina que estudia cada una de las muchachas. Ejercicio 36. La compañía Los empleados de cierta compañía son el Sr. Prieto, el Sr. Blanco, la Sra. Colorado, la Srta. Rojas, el Sr. Negrón y Doña Violeta. Las posiciones que ellos ocupan son: gerente, supervisor/a, cajero/a, secretario/a, pagador/a y conserje, aunque no necesariamente en ese orden. El supervisor es el nieto del/de la gerente. El cajero, un varón, es yerno del secretario/a. El Sr. Prieto es soltero. El Sr. Blanco tiene 22 años. La Srta. Rojas es hermanastra del/de la pagador/a y el Sr. Negrón es vecino del/de la gerente. ¿Quién ocupa cada posición?

32

Ejercicio 37. Divisiones borradas Una bebida se derramó sobre un papel en el que se habían escrito dos divisiones y algunos dígitos se borraron. ¿Puedes reconstruirlas?

1 * ** * 4 * * *

2 8

* 5 6

* * *

* * *

* * *

0

* * *

* * * * * *

8 6

* * *

8 6

* * *

3 8 7

0

33

REDES

Uno de los problemas más célebres de la matemática es el de los puentes de Königsberg, que en alemán significa la Ciudad de los Reyes. En el siglo XVIII la gente de esa ciudad, que hoy se llama Kaliningrado y está en Rusia, acostumbraba a hacer paseos cruzando los siete puentes que tenía la ciudad sobre el Río Pregolya. Estos siete puentes conectaban ambos lados del río y dos islas situadas en el medio según se ve en la ilustración.

La ciudad de Königsberg y sus siete puentes

Los habitantes de la ciudad comenzaron a preguntarse si sería posible dar un paseo que cruzara por todos los siete puentes de tal manera que cada uno de ellos se cruzara una sola vez en el mismo paseo.

34

La solución del problema la dio el matemático Leonhard Euler (el apellido se pronuncia “Oiler”) quien oyó del problema y viajó al lugar para experimentar de primera mano la situación. Su razonamiento y técnica dio origen a lo que hoy se conoce como Teoría de Redes.

Una red (o grafo) es un diagrama que consiste de puntos, llamados vértices, y curvas, llamadas aristas o arcos, conectando algunos pares de esos vértices.

Lo primero que haremos será representar la ciudad haciendo uso de una red. Las cuatro áreas de la ciudad (ambos lados del río y las dos islas) serán representadas por vértices identificados A y C (ambos lados), y B y D (las dos islas). Los puentes uniendo estas áreas serán representadas por aristas. A está conectado con B por dos puentes, de modo que entre esos dos vértices dibujamos dos aristas. Observe que entre B y D solamente hay un puente, etc.

35

Una red es atravesable si tiene una trayectoria o recorrido en donde cada arco se cruza una sola vez. Una red que es atravesable de tal manera que el punto inicial y el punto final sea el mismo se llama un circuito de Euler. Por ejemplo, ambas redes que se muestran abajo son atravesables, pero sólo la primera es un circuito de Euler.

Un vértice par es uno que tiene un número par de arcos que confluyen en él. Un vértice impar es uno que tiene un número impar de arcos que confluyen en él. En la primera red de arriba, los cuatro vértices son pares pues en cada uno de ellos confluyen dos arcos. Es un circuito de Euler pues, por ejemplo, podemos comenzar en A, seguir a B, de allí a C, luego a D, y regresar a A.

En el segundo, los dos puntos A y C son vértices impares pues confluyen en ellos tres (un número impar) de arcos, mientras que B y C son pares.

36

Ejercicio 38. Vértices pares e impares Para cada uno de las siguientes redes, determine si cada uno de sus vértices es par o impar.

Para que una red sea atravesable, cada vértice que no sea un punto inicial o un punto final tiene que ser par. Si todos los vértices de una red son pares, la red es atravesable. Cualquier vértice puede ser un punto inicial y ese mismo vértice será el punto final del recorrido. La red es en consecuencia un circuito de Euler.

Si una red tiene dos vértices impares, la red es atravesable. Uno de los vértices impares debe ser el punto inicial y el otro vértice impar será el punto final. Ejercicio 39. Los puentes de Königsberg Decida si sería posible dar un paseo que cruzara por todos los siete puentes de Königsberg de tal manera que cada uno de ellos se cruzara una sola vez en el mismo paseo.

37

Ejercicio 40. La ruta por los pueblos Queremos dar un paseo por los pueblos de Cabo Rojo, Lajas, San Germán y Hormigueros. En la figura se muestran diferentes carreteras que conectan estos pueblos. Determine si se puede trazar una ruta que nos lleve por todos los pueblos y que nos pase por cada carretera solamente una vez. Si es posible, trace la ruta. Si no, diga por qué no.

Ejercicio 41. La ruta por los estados Queremos recorrer los estados de Washington, Oregon, Idaho, Montana, Wyoming, Dakota del Norte, Dakota del Sur y Nebraska en el noroeste de Estados Unidos de tal manera que vayamos a todos los ocho estados y crucemos todas las fronteras entre los estados contiguos solamente una vez. Decida si es posible hacer ese recorrido. De ser posible, diga en qué estado debemos comenzar nuestro viaje. (Vea el mapa en la página siguiente.)

38

Ejercicio 42. La ruta por los países Queremos hacer un recorrido por Portugal, España, Francia, Italia, Suiza, Austria y Alemania. Determine si se puede hacer un recorrido por todos los siete países de manera que crucemos por todas las fronteras entre ellos exactamente una sola vez. Explique. Ejercicio 43. De paseo por el Prado Abajo se da el diagrama de piso de las galerías 7 a 11B de la planta principal del Museo del Prado en Madrid, uno de los principales museos de arte del mundo. Decida si podemos hacer un recorrido de modo que se pase por todas las salas atravesando todas las puertas exactamente una vez.

39

OTROS PROBLEMAS Ejercicio 44. Polígonos Un polígono es una figura geométrica formada por segmentos de recta. De acuerdo al número de lados (o vértices o ángulos) se le da su nombre. Complete la siguiente tabla:

Número de lados o vértices Nombre del polígono 3 Triángulo 4 5 6 7 8 9 10

Ejercicio 45. El triángulo de Pascal A continuación se muestra una figura, llamada el triángulo de Pascal, compuesto por muchos números, cada fila o línea inferior más larga que la que le precede arriba:

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

… Extienda el triángulo, agregándole cinco líneas adicionales. Explique en palabras la regla que utilizó.

40

Ejercicio 46. Dígitos y letras En las sumas correctamente resueltas que aparecen abajo, cada una de las cinco letras representa un dígito diferente, EA siendo un número de dos dígitos distintos. Determine cuál es el valor de B + D si

A C

B D

C EA

+ +

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS De la página 1: 22 3 5 8 3 (14 4) 5 27+ × − + × − ÷ = . De la página 1: El descuento necesario, de $5.00, equivale al 20%

de $25.00 porque 5.00 5 1

.2 .20 20%25.00 25 5

= = = = = .

Ejercicio 1. La muerte de Moisés y Wanda No cometa el error de asumir que Moisés y Wanda son los señores Meléndez, y mucho menos que son personas. Moisés y Wanda son (o mejor dicho, eran) dos peces. Ejercicio 2. Regiones de un círculo Parece surgir un patrón de que cada vez que se añade un punto, se duplica el número de regiones. Sin embargo, esa “regla” se viene abajo cuando tenemos 6 puntos.

Número

de puntos

2

3

4

5

6

41

Número

de regiones

2

4

8

16

31

Ejercicio 3. Error matemático En el paso número (5), se dividió por 2a − . Dado que 2a = , entonces la cantidad 2a − es igual a 0. División por cero no está definida. Ejercicio 4. Una sucesión numérica sencilla El número en la centésima posición es 101. El número en la posición número 5,327 es 5,328. El número en cierta posición es uno más que el número de la posición. De acuerdo a esta regla, el número en la posición número 1,000,000 (un millón) es 1,000,001. Nota algebraica: Si la letra x representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 1x+ . Ejercicio 5. Otra sucesión numérica sencilla Los próximos tres números de la sucesión {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, …} son 18, 19 y 20. El número en la posición 100 es 110 y el número en la posición 232 es 242. El número en cierta posición es diez más que el número de la posición. Nota algebraica: Si la letra x representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 10x+ . Ejercicio 6. La tabla de multiplicar de Alicia Siguiendo la regla de Alicia, los números van de uno en uno: Cuatro por siete es 14 Cuatro por ocho es 15 Cuatro por nueve es 16

42

Cuatro por diez es 17 Cuatro por once es 18 Cuatro por doce es 19 Cuatro por trece sería 20, pero siga leyendo luego del ejercicio para que vea lo que sucede en el libro. Ejercicio 7. Números pares Los próximos tres números de la sucesión {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …} son 16, 18 y 20. Observe: Posición Número 1 2 2 1= × 2 4 2 2= × 3 6 2 3= × 4 8 2 4= × 5 10 2 5= × 6 12 2 6= × 7 14 2 7= × Los números en las posiciones 100 y 5,327 son 200 y 10,654 respectivamente. El número en cierta posición se consigue multiplicando por 2 el número de la posición. Por ejemplo en la posición 5,327 el número es 2 5,327 10,654× = . Nota algebraica: Si la letra x representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2x . (En álgebra no se acostumbra a usar el símbolo × para representar una multiplicación por una variable, sino que se omite. Cuando aparece un número seguido de una variable se sobrentiende que las cantidades están siendo multiplicadas.) Ejercicio 8. Números impares Los próximos tres números de la sucesión {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …} son 15, 17 y 19. Observe:

43

Posición Número 1 1 2 1 1= × − 2 3 2 2 1= × − 3 5 2 3 1= × − 4 7 2 4 1= × − 5 9 2 5 1= × − 6 11 2 6 1= × − 7 13 2 7 1= × − Los números en las posiciones 100 y 5,327 son 199 y 10,653 respectivamente. El número en cierta posición se consigue multiplicando por 2 el número de la posición y luego restando 1 al resultado. Por ejemplo en la posición 5,327 el número es 2 5,327 1 10,654 1 10,653× − = − = . Nota algebraica: Si la letra x representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2 1x − . Ejercicio 9. Muchas sucesiones a) Los próximos tres números son: 0, 1, 0.

El número en la posición 50 es: 1. El número en la posición 75 es: 0. La regla es: Los números en posiciones impares son 0; los números en posiciones pares son 1.

b) Los próximos tres números son: 1, 1, 1.

El número en la posición 50 es: 1. El número en la posición 75 es: 1. La regla es: Un 1 seguido de un 0, luego dos 1 seguidos de un 0, luego tres 1 seguidos de un 0, etc.

c) Los próximos tres números son: 1, 2, 7. El número en la posición 50 es: 2. El número en la posición 75 es: 27. La regla es: La sucesión consiste de grupitos de tres números. Cada grupito tiene un 1 en la primera posición, un 2 en la segunda

44

posición, y en la tercera posición tiene 3 más que la tercera posición del grupito anterior.

d) Los próximos tres números son: 24, 27, 30. El número en la posición 50 es: 150. El número en la posición 75 es: 225. La regla es: Cada número es tres multiplicado por el número de la posición. La sucesión que se genera es la de todos los múltiplos positivos de 3. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 3x .

e) Los próximos tres números son: 40, 45, 50. El número en la posición 50 es: 250. El número en la posición 75 es: 375. La regla es: Cada número es cinco multiplicado por el número de la posición. La sucesión que se genera es la de todos los múltiplos positivos de 5. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número

en esa posición puede ser representado por 5x.

f) Los próximos tres números son: 17, 19, 21. El número en la posición 50 es: 101. El número en la posición 75 es: 151. La regla es: Cada número se obtiene sumando 2 al número anterior. También se consigue multiplicando por dos el número de la posición, y luego sumando uno al resultado. La sucesión que se genera es la de los números impares comenzando en 3. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2 1x + .

g) Los próximos tres números son: 8, 16, 9. El número en la posición 50 es: 50. El número en la posición 75 es: 38. La regla es: Los números en las posiciones pares son los números pares. Los números en las posiciones impares se consiguen dividiendo por dos el número par que sigue en la sucesión.

45

h) Los próximos tres números son: 7, 7, 7.

El número en la posición 50 es: 7. El número en la posición 75 es: 7. La regla es: Esta sucesión es constante; sus números son todos iguales.

i) Los próximos tres números son: 256, 512, 1024. El número en la posición 50 es: 502 . El número en la posición 75 es: 752 . La regla es: Cada número se consigue multiplicando el anterior por dos. También se puede obtener multiplicando 2 por sí mismo el número de veces que corresponde al número de la posición. Nota algebraica: six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2x donde xse denomina el exponente.

j) Los próximos tres números son: 36, 45, 55. El número en la posición 50 es: 1275. El número en la posición 75 es: 2850. La regla es: El primer número es 1, el segundo número es 1 + 2, el tercer número es 1 + 2 + 3, etc. Estos números se llaman los números triangulares.

k) Los próximos tres números son: 64, 81, 100. El número en la posición 50 es: 2500. El número en la posición 75 es: 5625. La regla es: Cada número se obtiene multiplicando el número de la posición por sí mismo, es decir hallando su cuadrado. Estos números se llaman los números cuadrados. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2x .

l) Los próximos tres números son: 255, 511, 1023. El número en la posición 50 es: 502 1− . El número en la posición 75 es: 752 1− .

46

La regla es: Cada número se obtiene usando la sucesión (i) anterior, al restarle 1 al término correspondiente. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2 1x − .

m) Los próximos tres números son: -8, 9, -10. El número en la posición 50 es: -50. El número en la posición 75 es: 75. La regla es: La sucesión es la de los números naturales, donde a los números impares se le asigna un signo positivo y a los pares un signo negativo.

n) Los próximos tres números son: 21, 34, 55. El número en la posición 50 es: 12,586,269,025. La regla es: Cada número se obtiene sumando los dos anteriores. Se llama la sucesión de Fibonacci (ver Ejercicio 15. Los conejos de Leonardo).

o) Los próximos tres números son: 4374, 13122, 39366. El número en la posición 50 es:

492 3 478,598,658,461,235,059,180,166× = . El número en la posición 75 es:

742 3 405,511,191,808,905,139,413,122,661,745,907,538× = . La regla es: Cada número se obtiene multiplicando el anterior por tres. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número en esa posición puede ser representado por 2 3x× ó 2(3 )x .

Definimos 03 1= .

p) Los próximos tres números son: -15, -17, -19. El número en la posición 50 es: -99. El número en la posición 75 es: -149. La regla es: Cada número se obtiene restándole 2 al anterior.

q) Los próximos tres números son: 25, 28, 31. El número en la posición 50 es: 151.

47

El número en la posición 75 es: 226. La regla es: Cada número se obtiene sumándole 3 al anterior.

r) Los próximos tres números son: 976, 972, 968. El número en la posición 50 es: 804. El número en la posición 75 es: 704. La regla es: Cada número se obtiene restándole 4 al anterior.

s) Los próximos tres números son: 1 1 1

, ,6 7 8

.

El número en la posición 50 es: 1

50.

El número en la posición 75 es: 1

75.

La regla es: Cada número se obtiene dividiendo 1 por el número de la posición. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número

en esa posición puede ser representado por 1

x. Esta sucesión se

llama la sucesión armónica.

t) Los próximos tres números son: 1 1 1

, ,32 64 128

.

El número en la posición 50 es: 49

1

2.

El número en la posición 75 es: 74

1

2.

La regla es: Cada número es la mitad del número anterior. Nota algebraica: Six representa el número de la posición, el número

en esa posición puede ser representado por 1

1

2x− .

u) Los próximos tres números son: 720, 5040, 40320.

El número en la posición 50 es: 50! (es un número muy grande, de 65 dígitos.)

48

El número en la posición 75 es: 75!. La regla es: El primer número es 1, el segundo es 1 2× , el tercero es1 2 3× × , el cuarto es 1 2 3 4× × × , etc. La multiplicación de los primeros n números naturales se llama el factorial de n y se denota por n! .

Ejercicio 10. Mesas triangulares en una escuela Observe el patrón que se consigue:

Número de mesas Número de estudiantes 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 8 7 9

La sucesión que se obtiene es {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …} de números naturales comenzando en 3. También se puede observar lo siguiente:

Número de mesas Número de estudiantes 1 3 = 1 + 2 2 4 = 2 + 2 3 5 = 3 + 2 4 6 = 4 + 2 5 7 = 5 + 2 6 8 = 6 + 2 7 9 = 7 + 2

Es decir, el número de estudiantes es siempre 2 más que el número de mesas. Por lo tanto, concluimos que siete estudiantes pueden sentarse si se unen cinco mesas en línea. Se deduce además que para sentar cincuenta estudiantes se necesitan colocar 48 mesas en línea.

49

Nota algebraica: Si la letra x representa el número de mesas, el número de estudiantes puede ser representado por 2x+ . Ejercicio 11. Mesas cuadradas en un restaurante Observe el patrón que se consigue:

Número de mesas Número de personas 1 4 2 6 3 8 4 10 5 12 6 14 7 16

La sucesión que se obtiene, {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …} de números pares comenzando en 4, se puede generar contando de dos en dos. También se puede observar lo siguiente:

Número de mesas Número de personas 1 4 = 2 1 2× + 2 6 = 2 2 2× + 3 8 = 2 3 2× + 4 10 = 2 4 2× + 5 12 = 2 5 2× + 6 14 = 2 6 2× + 7 16 = 2 7 2× +

Si se unen 23 mesas en línea, se pueden sentar 2 23 2× + = 46 + 2 = 48 personas. Para acomodar cien personas, debemos hallar el número que va en el □ de manera que 2 2 100× + =□ ; es decir 2 98× =□ . Por lo tanto, concluimos que se necesitan 49 mesas. Nota algebraica: Si la letra x representa el número de mesas, el número de personas puede ser representado por 2 2x + .

50

Ejercicio 12. Ropa tendida en un cordel Veamos las sucesiones que se obtienen en cada caso:

Número de prendas tendidas

Número de pinches que usa Haydée

Número de pinches que usa Diego

1 2 2 2 3 4 3 4 6 4 5 8 5 6 10 6 7 12

Observamos que Haydée usa siempre un piche más que el número de prendas de vestir que tiende, mientras que Diego usa el doble de pinches que el número de prendas de vestir que tiende. Entonces, para tender 10 pantalones y ocho camisas, es decir 18 prendas en total, Haydée necesita 19 pinches mientras que Diego necesita 36. Si hay cincuenta pinches, Diego sólo puede tender 25 prendas mientras que Haydée puede tender 49, siempre y cuando haya una línea de tender lo suficientemente larga para acomodar tanta ropa. Nota algebraica: Si la letra x representa el número de prendas de ropa tendidas, el número de pinches que usa Haydée puede ser representado por 1x+ , mientras que el número de pinches que usa Diego puede ser representado por 2x . Ejercicio 13. Una suma de muchos números El estudiante se llamaba Karl Friedrich Gauss y su estrategia fue romper la suma en dos líneas colocando en la de arriba los números del 1 al 50 y en la de abajo, y en orden revertido del 51 al 100 de tal manera que cada columna de dos números sumara 101.

51

1 2 3 ... 49 50

100 99 98 ... 52 51

101 101 101 ... 101 101

50veces

+ + + ++ + + ++ + + +

�������������������

Como se percató de que había 50 columnas que sumaban todas 101, concluyó que el resultado debía ser 50 101× = 5,050. Ejercicio 14. Otra suma de muchos números Usando el método de Gauss (ejercicio anterior), tenemos que

1 2 3 ... 499 500

1000 999 998 ... 502 501

1001 1001 1001 ... 1001 1001

500veces

+ + + ++ + + ++ + + +

�����������������������

Entonces, 1 + 2 + 3 + … + 999 + 1000 = 500 1001 500,500× = . Por último, esta suma contiene un número adicional al que se pedía, así que hay que restarlo. Es decir

1 + 2 + 3 + … + 999 = 500,500 - 1,000 = 499,500. Ejercicio 15. Los conejos de Leonardo A partir del segundo mes, el número de gazapos es exactamente el número de adultos del mes anterior. El número de adultos cada mes es la suma del número de adultos y el número de gazapos del mes anterior, los primeros porque siguen siendo adultos y los segundos porque tardaron un mes en llegar a la adultez. Finalmente, el número total de conejos es obviamente la suma del número de gazapos y el número de adultos.

52

Mes Parejas de

gazapos Parejas de

adultos Total de parejas

de conejos 1 1 0 1 2 0 1 1 3 1 1 2 4 1 2 3 5 2 3 5 6 3 5 8 7 5 8 13 8 8 13 21 9 13 21 34 10 21 34 55 11 34 55 89 12 55 89 144

En la última columna aparece subrayada la sucesión {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …} en la que cada número se obtiene sumando los dos números anteriores (ver Ejercicio 9(n). Muchas sucesiones). Ésta se llama la sucesión de Fibonacci en honor del matemático Leonardo Bonano (c1175-1250), conocido por Fibonacci. (“Fibonacci” quiere decir en italiano “hijo de Bonano”, siendo éste el nombre de su padre.) Esta lista de números, la más famosa de las matemáticas, tiene muchas aplicaciones y peculiaridades una de ellas siendo que si dividimos cualquiera de sus términos por el anterior, los cocientes sucesivos se

acercan al número 1 5

2

+ = 1.61803398875…:

1

11

= , 2

21

= , 3

1.52

= , 5

1.6673

≈ , 8

1.65

= , 13

1.6258

= , 21

1.61513

≈ ,

341.619

21≈ , …

53

Ese número se conoce como la razón dorada, áurea o divina. En la Antigüedad y el Renacimiento se utilizaba mucho este valor para la construcción de obras artísticas. Por ejemplo, si medimos las dimensiones de la fachada del Partenón en Atenas y las dividimos, el resultado será la razón dorada. El pintor Leonardo da Vinci la utilizaba en sus obras porque creía que el cuerpo humano debía tener proporciones similares a las que da ese valor. Como nota al calce de este comentario, en el recientemente publicado libro mejor vendido (bestseller) El código Da Vinci de Dan Brown uno de los elementos principales en la trama es la aparición misteriosa de los números de la sucesión de Fibonacci en la escena del crimen de uno de sus personajes. Ejercicio 16. Árbol genealógico

Generación (Persona)

Número de personas

Número total de personas en el árbol

genealógico 0

(Usted) 1 1

1 (Padres)

2 3

2 (Abuelos)

4 7

3 (Bisabuelos)

8 15

4 (Tátarabuelos)

16 31

5 (Choznos)

32 63

6

64 127

7

128 255

8

256 511

54

El número de personas en una generación es el doble del número de personas en la generación anterior, siempre y cuando no haya ancestros repetidos. La sucesión resultante en la segunda columna es {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,…} (ver Ejercicio 9(i). Muchas sucesiones). La suma de un individuo y el número total de ancestros de ese individuo hasta cierta generación, asumiendo nuevamente que ninguno se repite, se consigue sumando los números de las personas de esa generación con los de todas las generaciones anteriores. La sucesión que se obtiene es {1, 3, 7, 15, 31, 63, 127,…} (ver Ejercicio 9(l). Muchas sucesiones). Nota algebraica: Si la letra x representa el número de la generación, el número de personas en esa generación puede ser representado por 2x , mientras que el número de total de personas en el árbol genealógico hasta esa generación puede ser representado por 2 2 1x× − , que se expresaría mejor de la forma 2(2 ) 1x − para descartar el símbolo de multiplicación. Ejercicio 17. Puntos en un círculo Si rotulamos los puntos con los números del 1 al 10, entonces vemos que podemos conectar el punto 1 con los 9 otros puntos, obteniendo 9 segmentos. El punto 2 ya está conectado con el 1, así que sólo podemos trazar ocho segmentos nuevos. El punto 3 ya está conectado con el 1 y el 2, de modo que aparecen siete nuevos segmentos. Si seguimos en este mismo orden, el punto 8 estaría conectado con todos excepto con el 9; se dibujaría un solo nuevo segmento. No hay necesidad de conectar el punto 9 con ninguno de los demás porque ya lo está. Así obtenemos la suma siguiente:

9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 que, usando el método de Gauss (ver Ejercicio 13. Una suma de muchos números), vemos que totaliza 45.

55

Ejercicio 18. La torre de papel Construyamos una tabla como la que sigue:

Número de dobleces Número de capas de papel 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1,024 11 2,048 12 4,096 13 8,192 14 16,384 15 32,768

56

Es decir, habrá 32,768 capas si se doblara un papel 15 veces. Si se usa papel blanco común y corriente, esta torre mediría casi 11 pies, la altura de una casa. Si se sigue el patrón descubierto en la tabla de arriba {1, 2, 4, 8, 16, 32, … } (ver Ejercicio 9(i). Muchas sucesiones) en el que cada número de la sucesión se obtiene duplicando el anterior, vemos que luego de 23 dobleces habrá 8,388,608 capas, una torre de papel más alta que el Empire State Building. Nota algebraica: Si la letra x representa el número de dobleces, el número de capas de papel puede ser representado por 2x . En el primer caso tenemos que 02 1= , según se define en matemáticas. Ejercicio 19. Otra torre de papel Construyamos una tabla como la que sigue:

Número de “dobleces” Número de capas de papel 0 2 = 02 1 2 3× = × 1 6 = 12 3 2 3× = × 2 18= 22 9 2 3× = × 3 54= 32 27 2 3× = × 4 162= 42 81 2 3× = × 5 486= 52 243 2 3× = × 6 1,458= 62 729 2 3× = × 7 4,374= 72 2,187 2 3× = × 8 13,122= 82 6,561 2 3× = × 9 39,366= 92 19,683 2 3× = × 10 118,098= 102 59,049 2 3× = ×

Es decir, habrá 118,098 capas si se doblaran dos papeles en tres 10 veces. Si se usa papel blanco común y corriente, esta torre mediría sobre 39 pies, la altura de un edificio de cuatro pisos.

57

Nota algebraica: Si la letra x representa el número de “dobleces”, el número de capas de papel puede ser representado por 2(3 )x . (Ver Ejercicio 6(o). Muchas sucesiones). En el primer caso tenemos que

02 1= , según se define en matemáticas. Ejercicio 20. Números consecutivos a) Observemos qué sucede en sumas similares más sencillas:

1 + 2 + 3 = 6 2 + 3 + 4 = 9 3 + 4 + 5 = 12 4 + 5 + 6 = 15 5 + 6 + 7 = 18

etcétera

Se genera la siguiente sucesión: {6, 9, 12, 15, 18, …} en la que los números van de tres en tres. Además, todos los resultados son múltiplos de 3. Por último, el resultado es tres veces el número del medio:

1 + 2 + 3 = 6 = 3 x 2 2 + 3 + 4 = 9 = 3 x 3 3 + 4 + 5 = 12 = 3 x 4 4 + 5 + 6 = 15 = 3 x 5 5 + 6 + 7 = 18 = 3 x 6

Razonamos entonces que 987 debe ser 3 veces el número del medio. Es decir, el número del medio debe ser 987 ÷ 3 = 329. Por lo tanto, los tres números deben ser 328, 329 y 330. Efectivamente, al sumar y verificar nuestra respuesta obtenemos que 328 + 329 + 330 = 987.

Nota algebraica: Si la letra x representa el número del medio, el anterior es uno menos, es decir 1x− , y el próximo sería uno más que el del medio, o sea 1x+ . El problema puede ser representado por la

58

ecuación ( 1) ( 1) 987x x x− + + + = . La ecuación se simplifica a 3 987x = cuya solución es 329x = y de aquí obtenemos los otros dos: 1 328x− = y 1 330x+ = .

b) Igual que en el caso anterior, observemos qué sucede en promedios similares más sencillos:

(1 + 2 + 3)÷ 3 = 6 ÷ 3 = 2 (2 + 3 + 4) ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3 (3 + 4 + 5) ÷ 3 = 12 ÷ 3 = 4 (4 + 5 + 6) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5 (5 + 6 + 7) ÷ 3 = 18 ÷ 3 = 6

etcétera Observe que el promedio en cada una de las sumas anteriores es igual al número del medio. Basados en este patrón, podemos concluir que de los tres números que buscamos, el del medio debe ser 471, igual que el promedio, y por lo tanto los otros dos deben ser 470 y 472. Al verificar, encontramos que el promedio de estos tres números es (470 + 471 + 472) ÷ 3 = 1413 ÷ 3 = 471. Nota algebraica: Si la letra x representa el número del medio, el anterior es uno menos, es decir 1x− , y el próximo sería uno más que el del medio, o sea 1x+ . El problema puede ser representado por la ecuación (( 1) ( 1)) 3 471x x x− + + + ÷ = . La ecuación se simplifica a 3 1413x = cuya solución es 471x = y de aquí obtenemos los otros dos: 1 470x− = y 1 472x+ = .

c) Igual que en los ejercicios anteriores, observemos qué sucede en

sumas similares más sencillas:

0 + 2 + 4 = 6 = 3 x 2 2 + 4 + 6 = 12 = 3 x 4 4 + 6 + 8 = 18 = 3 x 6 6 + 8 + 10 = 24 = 3 x 8

8 + 10 + 12 = 30 = 3 x 10 etcétera

59

Observe que cada una de las sumas anteriores es tres veces el número del medio. Basados en este patrón, 1200 es tres veces el número del medio, que debe ser en consecuencia 400. Los otros dos números deben ser 398 y 402. Al verificar, encontramos que la suma de estos tres números es 398 + 400 + 402 = 1200. Nota algebraica: Si la letra x representa el número del medio, el anterior es dos menos, es decir 2x− , y el próximo sería dos más que el del medio, o sea 2x+ . El problema puede ser representado por la ecuación ( 2) ( 2) 1200x x x− + + + = . La ecuación se simplifica a 3 1200x = cuya solución es 400x = y de aquí obtenemos los otros dos: 2 398x− = y 2 402x+ = .

d) Usando lo aprendido en los ejercicios anteriores, encontramos que

los números son 198, 200 y 202. e) Los números son 439, 441 y 443. Ejercicio 21. Números desconocidos a) Si un número es cinco veces otro, entonces la suma de ambos es seis

veces el segundo. Para averiguarlo, determine 96 ÷ 6 = 16. El primer número es cinco veces 16, es decir 5 x 16 = 80. Por lo tanto los números son 80 y 16; el primero es cinco veces el segundo y la suma de ambos es 96. Nota algebraica: Si la letra x representa el segundo (u “otro”) número, el primero (que es cinco veces el “otro”) sería 5x . Entonces la suma de ambos puede ser representada por la ecuación 5 96x x+ = . La ecuación se simplifica a 6 96x = cuya solución es

16x = y de aquí obtenemos el “otro” número: 5 5(16) 80x = = . b) Una forma de hacerlo es comparando ambos valores para distintos

números posibles hasta hallar el número para el cual sean iguales:

60

Si el número es…

el triple del número es…

y cinco más que el doble del número

es… 1 3 x 1 = 3 5 + 2 x 1 = 7 2 3 x 2 = 6 5 + 2 x 2 = 9 3 3 x 3 = 9 5 + 2 x 3 = 11 4 3 x 4 = 12 5 + 2 x 4 = 13 5 3 x 5 = 15 5 + 2 x 5 = 15

El número es 5. Nota algebraica: Si la letra x representa el número, “el triple del

número” sería 3x y “cinco más que el doble del número” es 5 2x+ . El problema puede ser representado por la ecuación 3 5 2x x= + . La solución de la ecuación es 5x = .

c) Nota algebraica: Si la letra x representa el número, “la cuarta parte

del número” sería 4

x y “cuatro menos que su mitad” es 4

2

x − . El

problema puede ser representado por la ecuación 44 2

x x= − . La

ecuación simplifica a 2 16x x= − cuya solución es 16x = . d) La suma de los primeros dos es cuatro veces el primer número. Si le

sumamos el tercero, el resultado sería siete veces el primer número más 9. Para que este resultado sea 72, siete veces el primer número debe ser 63, de donde se obtiene que el primer número es 9. El segundo, que es “el triple del primero”, es 27, y el tercero, que “supera en nueve al segundo”, es 36. Efectivamente, al sumar los tres: 9 + 27 + 36 = 72.

Nota algebraica: Si la letra x representa el primer número, el

segundo número sería 3x y el tercero, que “supera en 9 al segundo”, sería 3 9x+ . El problema puede ser representado por la ecuación

61

3 (3 9) 72x x x+ + + = . La ecuación simplifica a 7 63x = cuya solución es 9x = .

e) El número tiene cinco dígitos:

_____ _____ _____ _____ _____ Para que sea el número más pequeño posible, el último dígito, de las unidades, tiene que ser 0. Además, como el número no cambia su valor si se intercambian los dígitos de las unidades y las centenas, éste último tiene que ser 0 también. Para que sea de cinco dígitos, el primero no puede ser 0, y para que sea lo más pequeño posible debe ser un 1:

__1__ _____ __0__ _____ __0__

Finalmente, para cumplir con el requisito de que el dígito de las decenas es el doble del dígito de los millares, sabemos que los siguientes son los posibles números:

14080 13060 12040 11020 10000

De estos cinco números, el más pequeño posible es el último: 10,000.

Ejercicio 22. Estaturas desconocidas Sabemos que Tito, el más alto de los tres, mide 6’6”, es decir 78”, y que es 14” más alto que Lisa, quien por lo tanto mide 64”. No sabemos la estatura de Papo aún. Representemos esta cantidad desconocida por un □ . La diferencia entre las estaturas de Tito y Papo es en consecuencia representada por 78 – □ . La diferencia entre las estaturas de Papo y Lisa

62

se representa por □ – 64. Sabemos que la primera de estas cantidades es dos pulgadas menos que la segunda. Es decir:

78 – □= (□ – 64) -2 Si restamos ambos números del lado derecho, tenemos que:

78 – □= □ – 66 de lo que resulta □ = 72. En conclusión, Papo mide 72” (6’0”) y Lisa mide 64” (5’4”). Se puede verificar que la diferencia entre Tito y Papo es 78 – 72 = 6, dos pulgadas menos que 8 (= 72 – 64), la diferencia entre Papo y Lisa.

Ejercicio 23. Mesadas desconocidas Se desprende de la información que nos dan que Susana es la que más dinero recibe y que Tato es el que menos recibe. Decir que Tato recibe la mitad que Chito, es lo mismo que decir que Chito recibe el doble de lo que recibe Tato. Si Tato recibe □ , entonces Chito recibe 2×□ . Susana recibe tres veces lo que recibe Tato, es decir 3×□ . La suma de estas tres cantidades es ( ) (2 ) (3 ) 6+ × + × = ×□ □ □ □ , que tiene que ser igual a 72:

6 72× =□ . De aquí sacamos que □ = 12. Por lo tanto Tato recibe $12, Chito el doble con $24 y Susana el triple con $36. Podemos verificar que la suma de las tres cantidades es $72. Ejercicio 24. El examen de matemáticas La única fracción de la clase que desconocemos es la que sacó A. Si sumamos todas las fracciones que nos dan:

1 1 1 1

4 3 6 8+ + +

63

debemos hallar primero el denominador común mínimo y expresarlas todas con ese mismo denominador, que es 24, y luego sumar:

6 8 4 3 21

24 24 24 24 24+ + + =

Para saber la fracción que sacó A, restamos esta fracción de 1 y simplificamos:

21 24 21 3 11

24 24 24 24 8− = − = =

El único número menor de 30 que es divisible por 3, 4, 6 y 8 es 24. Por lo tanto 24 es el tamaño de la clase, y una octava parte de 24 es 3, el número de los que sacaron A. Ejercicio 25. Las tres edades Este problema se puede resolver por tanteo. Si la edad de Cristina fuera 40, la de Natalia sería 8 y la de Amelia 67. Dado que la suma de estos tres números es 115, las edades verdaderas tienen que ser menores. Si Cristina tuviera 33 años, Natalia tendría 1 y Amelia 60, que suman 94. De aquí concluimos que las edades tienen que ser mayores. Si seguimos tanteando, encontraremos que Cristina tiene 35, Natalia 3 y Amelia 62, lo que suma 100. La edad de la mamá de Natalia no se puede encontrar con la información suministrada. Nota algebraica: Si la letra x representa la edad de Cristina, la edad de Natalia sería 32x− y la edad de Amelia sería 27x+ . El problema puede ser representado por la ecuación ( 32) ( 27) 100x x x− + + + = . La ecuación simplifica a 3 105x = cuya solución es 35x = (la edad de Cristina). De aquí se obtiene le edad de Natalia, 32 35 32 3x− = − = , y la edad de Amelia, 27 35 27 62x+ = + = .

64

Ejercicio 26. La edad de Diofanto De la información que da la lápida, sabemos que su edad tiene que ser divisible por 6, 12, 7 y 2. El número más pequeño que cumple ese requisito es 84, que resulta ser la edad que vivió Diofanto. Veamos: “los dioses le brindaron niñez por una sexta parte de su vida”, que resulta ser una sexta parte de 84, o sea 14 años. Su adolescencia duró una duodécima parte, es decir 7 años, de cuya etapa emergió a los 21 (= 14 + 7) años. Luego vino un período matrimonial sin hijos que duró una séptima parte de su vida, o sea 12 años adicionales; al final de esta etapa tenía 33 años (= 21 + 12). Cinco años pasaron y entonces le nació un hijo, a la edad de 38 (= 33 + 5). Este hijo murió al momento en que cumplió la mitad de los años que vivió su padre. Dado que la mitad de 84 es 42, ésta era la edad del hijo al morir, momento en que Diofanto tenía 80 años (= 38 + 42), y luego murió cuatro años más tarde a la edad de 84 (= 80 + 4). Nota algebraica: Si la letra x representa la edad de Diofanto, la niñez

duró 6

x, la adolescencia duró

12

x, el matrimonio duró

7

x sin hijos, luego

5 años adicionales para que le naciera un hijo. El hijo murió luego de 2

x

y luego pasaron 4 años antes de que Diofanto muriera. Ahora, la suma

de todas estas cantidades, 5 46 12 7 2

x x x x+ + + + + , tiene que ser igual a la

edad de Diofanto, representada por x . Es decir,

5 46 12 7 2

x x x xx+ + + + + = .

La solución de la ecuación es 84x = , la edad de Diofanto al morir. Ejercicio 27. Un cuadrado mágico Razonamos que al colocar los nueve números de tal manera que todas las filas sumen lo mismo, cada una de estas tres sumas debe ser una tercera parte de la suma de todos los nueve números. Dado que

65

1 2 3 4 5 6 7 8 9 45+ + + + + + + + = ,

entonces cada fila, y por ende cada columna y diagonal, tiene que sumar 15, la tercera parte de 45. Consideremos todas las posibles combinaciones de estos nueve números que totalizan 15:

1 5 9 15+ + = 1 6 8 15+ + = 2 4 9 15+ + = 2 5 8 15+ + = 2 6 7 15+ + = 3 4 8 15+ + = 3 5 7 15+ + = 4 5 6 15+ + =

Observamos que el 1 aparece 2 veces, el 2 aparece 3 veces, etc. Según lo muestra la siguiente tabla:

Número Número de veces que aparece en una suma

1 2 2 3 3 2 4 3 5 4 6 3 7 2 8 3 9 2

Ahora observamos que el número que va dentro de cada encasillado aparece en más de una suma, dependiendo de si pertenece a una fila, columna o diagonal. Los números de las cuatro esquinas aparecen en tres sumas: una fila, una columna y una diagonal. Los números entre dos esquinas de un mismo lateral aparecen en dos sumas: una fila y una

66

columna; el número del centro aparece en cuatro sumas: la fila central, la columna central y las dos diagonales. En el siguiente cuadrado se anota el número de sumas en el que aparece el número que va en el encasillado correspondiente:

3 2 3 2 4 2 3 2 3

Finalmente, haciendo un pareo entre los números y la frecuencia en que aparecen, es relativamente fácil colocar los números de la siguiente forma, que es bueno señalar que no es el único posible arreglo.

8 1 6 3 5 7 4 9 2

Ejercicio 28. Otro cuadrado mágico Al igual que en el caso anterior, la suma de todos los números del 1 al 16 (usando, por ejemplo, el método de Gauss) es:

1 2 3 4 ... 15 16 136+ + + + + + = .

Al dividir 136 entre 4, el resultado es 34, el número mágico que tienen que totalizar cada fila, columna y diagonal. Ahora resulta relativamente fácil completar el siguiente cuadrado mágico:

4

9 5 16

15

6 10 3

14

7 11 2

1

12 8 13

67

Ahora se puede verificar que las cuatro filas, las cuatro columnas y las dos diagonales totalizan 34 cada una. Este cuadrado mágico tiene además la propiedad de que la suma de los números de las cuatro esquinas es 4 + 16 + 1 + 13 = 34, además de la de los cuatro laterales centrales también (por ejemplo, 15 + 14 + 3 + 2 = 34), los cuatro en cada cuadrado de cuatro encasillados también (por ejemplo, 11 + 2 + 8 + 13 = 34), etc.

Ejercicio 29. La herencia de los camellos El problema con esta situación es que el padre no hizo un testamento correcto pues no hizo una división completa de sus bienes. La suma de un medio (la cantidad que le correspondía al hermano mayor), un tercio

(del hermano del medio) y un noveno (lo del menor) resulta ser 17

18; en

realidad debería sumar 1.

1 1 1 9 6 2 17

2 3 9 18 18 18 18+ + = + + =

Eso quiere decir que una décimoctava parte de la herencia estaba sin adjudicar. Lo único que hizo Beremiz fue percatarse de esta situación. Si se hubiera hecho la distribución de acuerdo a los estrictos deseos del

padre, tendríamos lo siguiente: la mitad de 35 es 117 2 , un tercio de 35

es 211 3 , y una novena parte de 35 es 83 9 . Si le asignáramos a cada

hermano el próximo número entero que le corresponde a esta distribución, al mayor le daríamos 18, al del medio 12 y al menor 4, que fue lo que de todos modos hizo Beremiz. Estos números suman 34, no los 35 de la herencia. De la manera que sugirió el matemático, todos salieron ganando, incluyéndolo a él.

68

Ejercicio 30. Magia numérica El número final que resulta es el doble del que originalmente usted pensó. Nota algebraica: Si la letra x representa el número original, al sumarle 7 se convierte en 7x+ ; al multiplicarlo por 8 sería 8( 7) 8 56x x+ = + . Cuando se le resta 4, se obtiene 8 56 4 8 52x x+ − = + , cantidad que simplifica en 4(2 13)x+ . Al dividir por 4, tenemos que 4(2 13)

2 134

xx

+ = + . De aquí se obtiene que, al restarle 13,

2 13 13 2x x+ − = , el doble del número original.

Ejercicio 31. Un dólar perdido No hay ningún dólar perdido. Cada mujer pagó $19, lo que hace $57 entre las tres. De esos $57, $55 fueron para el hotel y los otros $2 los que retuvo la mucama. Matemáticamente se explica de la siguiente manera:

20 20 20 60

(20 20 20) 5 60 5

(20 20 20) (1 1 1 2) 55

(20 1) (20 1) (20 1) 2 55

19 19 19 2 55

57 2 55

55 55

+ + =+ + − = −+ + − + + + =− + − + − − =

+ + − =− ==

En realidad, en lugar de pensar que los $57 que ellas pagaron más los $2 que la mucama retuvo sólo suman $59, debe pensar que $57 que ellas pagaron menos los $2 que la mucama se embolsilló suman $55. Ejercicio 32. Los ojos negros y los ojos azules Beremiz razonó de la siguiente manera. Si la primera esclava tenía ojos negros debía contestar “Mis ojos son negros.” porque siempre dice la

69

verdad; si por el contrario tenía los ojos azules hubiese dicho “Mis ojos son negros.” porque nunca dice la verdad. De cualquier manera la primera esclava siempre hubiese contestado lo mismo, aunque esa respuesta no nos dejaría saber el color de sus ojos. Cuando la segunda esclava dijo que la primera había contestado “Mis ojos son azules.”, Beremiz supo que la segunda no decía la verdad por lo que tenía que tener sus ojos azules. Finalmente, cuando la tercera le dijo “La primera tiene ojos negros y la segunda ojos azules.”, Beremiz supo que ésta decía la verdad (porque efectivamente la segunda tenía ojos azules); en consecuencia, la primera tenía ojos negros (porque la tercera decía la verdad). Por lo tanto, las dos que tenían ojos negros eran la primera y la tercera, mientras que las otras tres tenían ojos azules. Ejercicio 33. Las dos tribus Este problema se parece mucho al anterior. Si el primer nativo es un pie rojo, contestará que no porque nunca dice la verdad; en cuyo caso el segundo nativo también estaría mintiendo, por lo que sería un pie rojo; y el tercer nativo estaría diciendo la verdad. Si, por el contrario, el primer nativo es un pie negro, también contestaría que no porque siempre dice la verdad, en cuyo caso el segundo miente, y el tercero también, por lo que se concluye que ambos son pies rojos. En cualquiera de las dos situaciones resulta que dos de los nativos son pies rojos y uno es pie negro. Ejercicio 34. Los cuatro artistas Es sumamente difícil rastrear los datos que se suministran, ninguno de los cuales es suficiente por sí solo para llegar a una conclusión. Una técnica útil para llegar a una solución que tome en consideración toda la información es haciendo uso de una tabla que permita representar todas las posibilidades. El dato (a) nos ayuda a concluir que ni Alfonso ni Rodrigo son cantantes; por lo tanto, en el encasillado a la derecha de cada uno de estos nombres bajo el título de “cantante” escribimos “NO”. De igual forma seguimos llenando los encasillados que podemos en la tabla:

70

Resulta aparente de la tabla de arriba que ni Alfonso ni Carlos ni William son el escritor; por lo tanto, Rodrigo es el escritor (escribimos “SÍ” en el encasillado correspondiente) y no puede ser ni bailarín ni pintor (ponemos “NO”).

Del dato (b) sabemos que el pintor conoce a Rodrigo, el escritor, porque hizo su retrato con él presente en el estudio; y del dato (d) sabemos que Alfonso no conoce a Rodrigo. De este razonamiento se desprende que Alfonso no es el pintor (colocamos un “NO” en el encasillado correspondiente). De la tabla vemos que por eliminación Alfonso resulta ser el bailarín. Completamos la tabla de la siguiente manera:

Se concluye que Alfonso es el bailarín, Carlos el cantante, Rodrigo el escritor y William el pintor. Finalmente, debemos verificar que los cuatro datos se cumplen:

a) Alfonso (el bailarín) y Rodrigo (el escritor) estaban en el público la

noche que el cantante (Carlos) hizo su debut en un concierto.

bailarín pintor cantante escritor Alfonso NO NO Carlos NO NO Rodrigo NO William NO

bailarín pintor cantante escritor Alfonso NO NO Carlos NO NO Rodrigo NO NO NO SÍ William NO

bailarín pintor cantante escritor Alfonso SÍ NO NO NO Carlos NO NO SÍ NO Rodrigo NO NO NO SÍ William NO SÍ NO NO

71

b) Los retratos de ambos Carlos (el cantante) y el escritor (Rodrigo) han sido pintados por el pintor (William ) con el modelo presente en el estudio.

c) El escritor (Rodrigo), cuya biografía de William (el pintor) fue un mejor vendido (“bestseller”), está planificando escribir una biografía de Alfonso (el bailarín).

d) Alfonso (el bailarín) nunca ha oido hablar de Rodrigo (el escritor). Ejercicio 35. Cinco pueblos Hagamos uso de dos tablas como en el ejercicio anterior, una para relacionar las muchachas con los pueblos y otra para relacionar las muchachas con las disciplinas que estudian.

Pueblo Chica

San Germán

Santa Isabel

San Juan

San Lorenzo

San Sebastián

Germaine NO NO NO SI NO Isabel SI NO NO NO NO Juana NO SÍ NO NO NO Lorencita NO NO NO NO SÍ Sebastiana NO NO SI NO NO

Disciplina Chica

Gerencia

Ingeniería

Japonés

Literatura

Sociología

Germaine NO SI NO NO NO Isabel NO NO NO NO SI Juana NO NO NO SI NO Lorencita NO NO SI NO NO Sebastiana SI NO NO NO NO

Se concluye que Germaine vive en San Lorenzo y estudia ingeniería; Isabel vive en San Germán y estudia sociología; Juana vive en Santa Isabel y estudia literatura, Lorencita vive en San Sebastián y estudia japonés, y Sebastiana vive en San Juan y estudia gerencia.

72

Ejercicio 36. La compañía Usando una tabla tenemos lo siguiente:

Posición Persona

Gerente

Supervisor/a

Cajero/a

Secretario/a

Pagador/a

Conserje

Sr. Prieto

NO SI NO NO NO NO

Sr. Blanco

NO NO SI NO NO NO

Sra. Colorado

SÍ NO NO NO NO NO

Srta. Rojas

NO NO NO NO NO SI

Sr. Negrón

NO NO NO SI NO NO

Doña Violeta

NO NO NO NO SI NO

Se concluye que el Sr. Prieto es el supervisor, el Sr. Blanco es el cajero, la Sra. Colorado es la gerente, la Srta. Rojas es la conserje, el Sr. Negrón es el secretario, y Doña Violeta es la pagadora. Ejercicio 37. Divisiones borradas

1 5 62 8 4 3 6 8

2 8

1 5 6

1 4 0

1 6 8

1 6 8

0

La primera se reconstruye de arriba hacia abajo. La próxima se reconstruye de abajo hacia arriba.

73

2 2 94 3 9 8 4 7

8 6

1 2 4

8 6

3 8 7

3 8 7

0

Ejercicio 38. Vértices pares e impares

(i) A y B son ambos pares. (ii) A y B son ambos impares. (iii) A y C son impares. B es par. (iv) A y B son impares. C es par.

74

Ejercicio 39. Los puentes de Königsberg La red que representa los puentes de Königsberg se da abajo. Todos los cuatro vértices pares son impares, ya que A, C y D tienen 3 aristas y B tiene 5. La red no es atravesable y por lo tanto un paseo por todos los puentes, sin repetir ni dejar ninguno, es imposible.

Ejercicio 40. La ruta por los pueblos La red que representa los cuatro pueblos se da abajo.

Todos los vértices son pares. Por lo tanto la red es atravesable y, más aún, es un circuito de Euler. Se puede empezar en cualquier pueblo.

75

Ejercicio 41. La ruta por los estados La red que representa los estados se da abajo.

Todos los vértices son pares. Por lo tanto es atravesable y, más aún, es un circuito de Euler. Se puede empezar en cualquier estado. Ejercicio 42. La ruta por los países No es posible hacer tal recorrido. Ejercicio 43. De paseo por el Prado

La red que representa las galerías se da arriba. Todos los vértices son pares excepto el 8 y el 10 que son impares. Es posible dar un recorrido

76

que pase por todas las galerías y exactamente una vez por todas las puertas. El único problema es que habría que empezar nuestro recorrido en una de estas dos galerías, ninguna de las cuales tiene acceso al exterior. Ejercicio 44. Polígonos

Número de lados o vértices Nombre del polígono 3 Triángulo* 4 Cuadrilátero** 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono

*Nota: Hay varios tipos de triángulos. Los que tienen sus tres lados iguales se llaman equiláteros, en cuyo caso también tienen sus tres ángulos iguales, es decir son equiángulos. Los que tienen dos lados iguales se llaman isósceles. Los que tienen un ángulo recto (el que mide

090 ) se llaman triángulos rectángulos (o rectos). Un triángulo escaleno es aquel cuyos tres lados son desiguales. En un triángulo acutángulo todos los ángulos son agudos, es decir menores de 090 . En un triángulo obtusángulo uno de los ángulos es obtuso, es decir mayor de 090 . **Nota: Hay muchos tipos de cuadriláteros. Los que tienen dos pares de lados paralelos se denominan paralelogramos. Si los cuatro ángulos de un paralelogramo son rectos se llama un rectángulo. Si un rectángulo tiene sus cuatro lados iguales se denomina un cuadrado. Otros cuadriláteros son los trapecios, rombos y romboides. Ejercicio 45. El triángulo de Pascal Cada línea comienza y termina con un 1. Los números del medio se obtienen sumando los dos números consecutivos de la línea de arriba.

77

Observe que la primera diagonal (de cualquier lado, tanto de la izquierda como de la derecha) consiste solamente de 1s. La segunda diagonal contiene la sucesión de los números naturales. La tercera diagonal contiene la sucesión de los números triangulares (Ver Ejercicio 9(j)).

1 1 1

1 2 1 1 3 3 1

1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

… Ejercicio 46. Dígitos y letras B + D = 10

78

BIBLIOGRAFÍA 1. Rick Billstein, Shlomo Libeskind y Johnny Lott. A Problem Solving

Approach to Mathematics for Elementary School Teachers. 8va Edición. Pearson Addison Wesley. 2004.

2. Jesús María Castaño, traductor. Diccionario de matemáticas.

Editorial Norma SA. Bogotá. 1982 3. Irving Copi. Introduction to Logic. 7ma Edición. Macmillan

Publishing Co. New York. 1986 4. Dan Dolan, Jim Williamson y Mari Muri. Mathematics Activities for

Elementary School Teachers: A Problem Solving Approach. 5ta Edición. Pearson Addison Wesley. 2004.

5. Howard Eves. An Introduction to the History of Mathematics. 6ta

Edición. Saunders College Publishing. Orlando. 1990 6. Martin Gardner. The Annotated Alice: The Definitive Edition. W.

W. Norton & Company. 2000. 7. George Gilbert & Rhonda Hatcher. Mathematics Beyond Numbers.

John Wiley & Sons. New York. 2000 8. Rafael Martínez-Planell, Dan McGee, Deborah Moore, Yuri Rojas &

Keith Wayland. Precalculus for Science and Engineering. Pearson Addison Wesley. 2004.

9. Robert Müller. The Great Book of Math Teasers. Sterling

Publishing. New York. 1989 10. John Allen Paulos. A Mathematician Reads the Newspaper. Anchor

Books/Doubleday. New York. 1995 11. John Allen Paulos. Once Upon a Number: The Hidden Mathematical

Logic of Stories. Basic Books/Perseus Books Group. 1998

79

12. Georg Polya. How to Solve It: A New Aspect of Mathematical

Method. 2da Edición. Princeton University Press. 1985. 13. Malba Tahan. The Man Who Counted. W.W. Norton & Co. New

York. 1993

80

ÍNDICE acutángulo, 76 álgebra, 23, 24, 26, 42 Alicia, 14, 15, 41 Alicia en el país de las

maravillas, 14 ángulos, 39, 76 arcos, 34, 35 aristas, 34, 74 Atenas, 53 atravesable, 35, 36, 74, 75 Beremiz. See Beremiz Samir,

See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir, See Beremiz Samir

Beremiz Samir, 27, 29 Brown, Dan, 53 centenas, 25, 61 circuito de Euler, 35, 36, 74,

75 círculo, 11, 22, 40, 54 cuadrado, 24, 27, 45, 64, 66,

67, 76 cuadrados mágicos, 26, 27 cuadriláteros, 76 da Vinci, 53 decenas, 25, 61 denominador común mínimo, 63 Departamento de Educación, 13

desigualdades, 23 diagramas, 10 dígito, 25, 40, 61 diofánticas, 26 diofantinas, 26 Diofanto, 26, 64 dividendo, 8 Divisiones, 32, 72 ecuaciones, 10, 23, 26 El código Da Vinci, 53 El hombre que calculaba, 27, 29 Empire State Building, 56 equiángulos, 76 equiláteros, 17, 76 escaleno, 76 Euler, Leonhard, 34 exponente, 45 expresiones algebraicas, 23 factorial , 48 Fibonacci, 46, 52, 53 fraccionales, 26 Gauss, 50, 51, 54, 66 Georg Polya, 9 grafo, 34 How to Solve It, 9 impares, 16, 24, 35, 36, 42, 43,

44, 46, 73, 74, 75 irracionales, 26 isósceles, 76 Kaliningrado, 33 Königsberg, 33, 36, 74 Leonardo Fibonacci, 52 Lewis Carroll, 14, 15 línea, 18, 22, 39, 48, 49, 50, 76 Madrid, 38

81

Martin Gardner, 15, 78 millares, 25, 61 modelo de Polya, 8 múltiplos, 44, 57 Museo del Prado, 38 National Council of Teachers of

Mathematics (NCTM), 13 numerador, 8 números cuadrados, 45 números enteros, 26 números naturales, 13, 20, 24,

26, 27, 46, 48, 77 números triangulares, 45, 77 obtusángulo, 76 paralelogramos, 76 pares, 16, 24, 34, 35, 36, 42, 43,

44, 49, 73, 74, 75, 76 Partenón, 53 patrón, 13, 14, 15, 16, 23, 40,

48, 49, 56, 58, 59 patrones, 8, 10, 13, 15, 17 PATRONES, 13 polígono, 39, 76 Polya, 9 progresión, 13, 15 puntos, 11, 12, 22, 34, 35, 40,

54 razón dorada, 53 RAZONAMIENTO LÓGICO,

11, 29 Redes, 33 Redes, Teoría de, 34 Río Pregolya, 33

romboides, 76 rombos, 76 secuencias, 16 segmentos, 22, 39, 54 sucesión, 13, 14, 15, 16, 41, 42,

43, 44, 45, 46, 48, 49, 52, 53, 54, 56, 57, 77

sucesiones, 16, 43, 50, 52, 54, 56, 57

tabla, 10, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas, See tablas

tabla de multiplicar, 14 tablas, 15, 71 tablas de multiplicación, 15 Tanteo, 10 The Annotated Alice, 15, 78 trapecios, 76 triángulo de Pascal, 39, 76 triángulos, 17, 76 triángulos rectángulos, 76 unidades, 25, 61 variable, 23 variables, 23, 24 vértice impar, 35, 36 vértice par, 35 vértices, 34, 35, 36, 39, 74, 75,

76