Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cual serıa el vector vector nulo o vector cero?

0 =

00...0

.

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.EJEM: Los vectores

e1 =

10...0

, e2 =

01...0

, · · · , en =

00...1

son vectores de Rn. A estos vectores los llamamos vectores

canonicos de Rn

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Llamamos vector de Rn a una lista ordenada de n numeros reales, la

cual denotamos como

x =

x1x2...xn

.

Aquı xk lo llamamos k-esima componente del vector x.¿Cuando dos vectores x, y son iguales?

x = y ⇔

x1x2...xn

=

y1y2...yn

⇔ xi = yi

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Geometricamente, a los vectores de Rn los podemos interpretar

como puntos;

En las aplicaciones fısicas, es importante que pensemos en un vector,no como un punto, sino como algo que tiene magnitud, direccion ysentido. Estos vectores los llamaremos vectores libres.

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

SUMA: Dados u =

u1u2...un

y v =

v1v2...vn

, definimos

u+ v =

u1 + v1u2 + v2

...un + vn

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

PRODUCTO POR ESCALAR: Dados u =

u1u2...un

y λ ∈ R , definimos

λu =

λu1λu2...

λun

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

RESTA: Definimos u− v

u− v = u+ (−v)

PR = OR − OP .

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sean α, β dos numeros reales. Entonces

1 u+ v ∈ Rn. Ley clau. para +

2 (u+ v) +w = u+ (v+w). Ley asoc. para +

3 u+ v = v+ u. Ley conm. para +

4 Existe un unico vector z ∈ Rn tal que u+ z = z+ u = u (z = 0).

Ley mod. para la suma

5 Para cada u, existe un unico vector 0 ∈ Rn tal que

u+ 0 = 0+ u = 0, (0 = −u). Existencia del opuesto para suma.

6 αu ∈ Rn. Ley clau para el producto por escalar

7 α(u+ v) = αu+ αv. Ley dist del producto por escalar resp +

8 (α+ β)u = αu+ βu. Ley dist del producto por escalar respecto a +de escalares.

9 (αβ)u = α(βu) = β(αu). Ley asoc respecto al producto por

escalares

10 αu = 0, si y solo si, α = 0 o u = 0.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los

escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion

lineal.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los

escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion

lineal.

EJEM: Sean u =

(

−12

)

y v =

(

25

)

y w =

(

3−2

)

. Calculemos la

combinacion lineal de ellos dada por 3u− v+ 2w.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Combinacion Lineal)

Dados v1, v2, . . . , vk vectores de Rn y λ1, λ2, . . . , λk ∈ R, al vector

v = λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk

lo llamamos combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vk . A los

escalares λ1, λ2, . . . , λk los llamamos coeficientes de la combinacion

lineal.

EJER: ¿los vectores

−140

y

20−1

son combinaciones lineales de

10−2

y

−52−3

?.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk}

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son

vectores de V .

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJEM: Si V = Gen{u, v}, entonces 2u+√5v, 0, u, 3v, u− v son

vectores de V .

EJER: ¿El vector

302

pertenece a Gen

101

,

00−1

?.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJER: Demuestre que Gen{e1, e2, . . . , en} = Rn.

EJER: Determine Gen{e1, e3} si ei ∈ R3.

EJER: Determine Gen{v} si v es cualquier vector no nulo.

EJER: Halle Gen{(

12

)

,

(

24

)

}

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conj. Generado y Conj. Generador)

Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores

v1, v2, . . . , vk lo representamos por

V := Gen{v1, v2, . . . , vk} = {λ1v1 + λ2v2 + . . .+ λkvk , con λi ∈ R}

V es generado por el conjunto {v1, v2, . . . , vk} a este conjunto lo

llamamos conjunto generador de V .

OBS: El conj generado es unico mientras que el conj generador NOOO esunico.

EJER: Determine un conjunto generador de

V =

3r − s

r + 5sr

, r , s ∈ R

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si

los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si

los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demostremos que

13−2

,

−1−54

,

1−20

, es un conj l.i.

EJER: Demostremos que

13−2

,

−123

,

21−5

, es un conj l.d.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si

los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es

un conjunto l.d.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Conjunto l.i.)

Un conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es linealmente independiente si

los unicos escalares λ1, λ2, . . . , λk tales que

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λkvk = 0

son todos cero.

EJER: Demuestre que todo conjunto de Rn que contenga al vector 0 es

un conjunto l.d.OBS: Si hay mas vectores que componentes, los vectores son l.d.

EJEM: Gen

{(

02

)

,

(

12

)

,

(

21

)}

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Dados

21−5

,

130

,

−2−1−1

, Calcule u · v, u ·w, v · w,

(3u) · v, (u+ v) · w y v · u.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Suponga que un fabricante produce cuatro artıculos. La demanda

para los artıculos esta dada por d =

30204010

. Los precios unitarios para los

artıculos estan dados por el vector p =

20151840

. Si satisface su demanda.

¿Cuanto dinero recibira el fabricante?

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

Teorema

Sean u, v y w vectores de Rn y sea α ∈ R. Entonces

1 u · v = v · u. Ley conm para ·.2 u · (v+w) = u · v+ u ·w. Ley dist

3 α(u · v) = (αu) · v = u · (αv).4 u · u = 0, si y solo si, u = 0.

Note que no tiene sentido la prop. asociativa para ·

Algebra lineal

Repaso Algebra Lineal

Definicion (Producto escalar )

Dados u =

u1...

un

y v =

v1...

vn

de R

n, definimos u · v el producto escalar

entre u y v, como el escalar dado por

u · v = u1v1 + u2v2 + · · ·+ unvn

EJER: Encuentre α y β de forma que los vectores sean ortogonales

1−α

23

y

45

−2β7

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

EJER: Dados u =

21−5

, y los puntos P =

523

, Q =

1−13

, Calcule

‖u‖ y ‖PQ‖,

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

Teorema (Propiedades)

Dados los vectores u, v ∈ Rn, y λ ∈ R tenemos que

(a) ‖λu‖ = |λ|‖u‖(b) ‖u+ v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 + 2(u · v)(c) ‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2(u · v)(d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖. La igualdad se obtiene, si y solo si, u = λv para

algun λ ∈ R. Desigualdad de Cauchy-Schwarz.

(e) ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖. La igualdad se cumple, si y solo si, u = λv

con λ ≥ 0. Desigualdad triangular.

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

Algebra lineal

Repaso Algebra lineal

Definicion (Norma)

Definimos la norma de un vector u de Rn, ‖u‖, como

‖u‖ =√

u21+ · · ·+ u2

n=

√u · u

OBS:1) La distancia euclidiana entre dos vectores u y v es d(u, v) = ‖u− v‖.2) Cuando ‖w‖ = 1, se dice que w es un vector unitario

EJER:

1) Halle la distancia entre

−1230

y

−2020

.

2) Halle el vector unitario en la direccion v =

1−21

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con

vertice(

− b

2a, c − b

2

4a

)

en el semiplano superior.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con

vertice(

− b

2a, c − b

2

4a

)

en el semiplano superior. entonces

0 ≤ c − b2

4a

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con

vertice(

− b

2a, c − b

2

4a

)

en el semiplano superior. entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Demostremos la propiedad (d) |u · v| ≤ ‖u‖‖v‖DEM: Para todo t ∈ R tenemos que ‖tu+ v‖2 ≥ 0

0 ≤ ‖tu+ v‖2 = (tu+ v) · (tu+ v)

= t2(u · u) + t(2u · v) + (v · v)= p(t)

donde p(t) = at2 + bt + c es un polinomio cuadratico con

a = u · u, b = 2u · v, c = v · v.

Como a ≥ 0, la grafica de p(t) es una parabola concava hacıa arriba con

vertice(

− b

2a, c − b

2

4a

)

en el semiplano superior. entonces

0 ≤ c − b2

4a= ‖v‖2 − 4(u · v)2

4‖u‖2

Ademas, si u = λv entonces

|u · v| = |λv · v| = |λ||v · v| = |λ|‖v‖2 = |λ|‖v‖‖v‖= ‖λv‖‖v‖ = ‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

OBS: Dados dos vectores u y v no nulos, siempre podemos construir untriangulo como el de la siguiente figura

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖

EJEM: Calcule el angulo de u =

1−1−11

y v =

1−1−1−1

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Angulo entre vectores)

Dados los vectores no nulos u y v de Rn, definimos el angulo

determinado por u y v como el menor giro positivo.

Al aplicar el T. del Coseno a este triangulo, tenemos

‖u− v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ‖u‖2 − 2u · v+ ‖v‖2 = ‖u‖2 + ‖v‖2 − 2‖u‖‖v‖ cos θ

Entonces cos θ =u · v

‖u‖‖v‖DEF: Diremos que los vectores no nulos u y v son ortogonales⇔ u · v = 0.

EJER: u =

−1230

y v =

0−154

son ortogonales?

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · uu · u

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · uu · u

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · uu · u

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

Algebra lineal

Conceptos basicos de Vectores en Rn

Definicion (Proyeccion ortogonal)

Si u 6= 0 y v son vectores de Rn, definimos la proyeccion ortogonal de v

sobre u como el vector

proyuv =( v · uu · u

)

u

Llamamos a vc = v− proyuv la componente vectorial de v ortogonal a u.

EJEM: Halle la proyuv y la componente vectorial de v ortogonal a u

(Esto es vc), para cada uno de los siguientes casos:

(a) u =

1−1−1

y v =

1−11

(b) u = e1 y v =

2−103

proyvu =( v · u‖v‖2

)

v

Algebra lineal

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d.

Algebra lineal

Rectas, Planos e Hiperplanos

DEF: Dado un punto P y un vector d no nulo de Rn, diremos que la

recta que contiene a P y tiene direccion d es

el conjunto de todos los puntos X que determinan vectores PX paralelosa d. Al vector d lo llamamos vector director de la recta.

x− 0 = td ⇒ x = 0+ td

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1

d1=

x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1

d1=

x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1

d1=

x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.

2 Determine si R =

(

3−1−2

)

y S =

(

4−10

)

pertenecen a la recta L.

Algebra lineal

Formas de expresar una recta

Ecuacion vectorial de la recta Ecuaciones parametricas de la recta

x = 0+ td

x1 = p1 + td1x2 = p2 + td2...xn = pn + tdn

Al despejar t de cada ecuacion e igualar esta expresiones, encontramoslas ecuaciones simetricas de la recta que pasa por el punto P y tienevector director d,

x1 − p1

d1=

x2 − p2

d2= · · · = xn − pn

dnsiempre que di 6= 0

EJEM Dada la ecuacion vectorial L :

(

x1x2x3

)

=

(

2−13

)

+ t

(

−105

)

1 Halle dos puntos P y Q de la recta L.2 Halle un vector d que sea un vector director de la recta L y verifique

que el vector PQ, de (a), es paralelo a d.

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

3−21

y Q =

530

y

L2 es la recta con ecuacion vectorial

x

y

z

=

0−43

+ t

410−2

Algebra lineal

EJEM. Hallar la ecuacion vectorial de la recta que pasa por los puntos

P =

−1201

Q =

21−11

DEF. Diremos que las rectas L1 y L2 son paralelas, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son. Es decir, d1 = λd2

EJEM Determine si las siguientes rectas son paralelas.

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

3−21

y tiene vector

direccion v =

23−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

0−21

y P =

231

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos P =

321

y Q =

130

y L2

es la recta con ecuacion vectorial

x

y

z

=

5−41

+ t

22−2

Algebra lineal

Rectas iguales y ortogonales

TEO Dos rectas son iguales, si y solo si, las dos rectas son paralelas ytienen al menos un punto en comun.DEF Diremos que las rectas L1 y L2 son ortogonales, si y solo si, losvectores d1 y d2 lo son; es decir, si y solo si, d1 · d2 = 0.

EJEM Determine si las siguientes rectas son ortogonales:

1 L1 es la recta que pasa por los puntos M =

0−20

y tiene vector

direccion v =

13−1

y L2 es la recta que pasa por los puntos

Q =

1−21

y R =

23−1

Algebra lineal

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Algebra lineal

PLANOS

DEF Sea un punto P ∈ Rn y dos vectores c,d ∈ R

n diferentes de cero yno paralelos. Diremos que el conjunto de puntos X que determinanvectores PX que son combinacion lineal de los vectores c y d, es el planoP que pasa por el punto P y tiene como vectores directores a c y d.

Observe que PX = tc+ sd con t, s ∈ R. Ahora si x = OX y 0 = OP ,entonces para t, s ∈ R

x− 0 = tc+ sd x = 0+ tc+ sd

Esta es la ecuacion vectorial del plano.Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s

x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s

x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s

x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

PREG: ¿Cuales son las ecuaciones parametricas del plano?

x = 0+ tc+ sd

x1 = p1 + tc1 + sd1x2 = p2 + tc2 + sd2...xn = pn + tcn + sdn

EJEM. Dadas las ecuaciones parametricas del plano Px1 = 2 + t − s

x2 = 2tx3 = 1 + 5sx4 = −2

1 Encontremos tres puntos P , Q y R del plano P.2 Encontremos dos vectores c y d que sean vectores directores del

plano P3 ¿Los vectores PQ, PR y QR son combinaciones lineales de c y d?

4 ¿Los puntos M =

221−2

N =

64−9−2

se encuentran en el plano P?.

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

Algebra lineal

Ecuaciones del plano

EJEM. Encontremos una ecuacion vectorial del plano que contiene los

puntos P =

(

−253

)

, Q =

(

0−21

)

y R =

(

20−3

)

El plano que contiene los puntos P , Q y R tiene como vectores directoresa d1 = PQ y d2 = PR .

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Diremos que dos planos son paralelos, si y solo si, los vectoresdirectores de uno de los planos son combinacion lineal de los vectoresdirectores del otro plano.

Teorema (Planos iguales)

Dos planos son iguales, si y solo si, los dos planos son paralelos y tienen

al menos un punto comun

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,

L||P y P ∩ L 6= ∅.

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,

L||P y P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

x

y

z

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3

Algebra lineal

Planos Paralelos-Iguales-Ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es paralela al

plano P, si y solo si, el vector d es combinacion lineal de c1 y d1.

Teorema (Inclusion de una recta en un plano)

Una recta L esta totalmente incluida en un plano P de Rn, si y solo si,

L||P y P ∩ L 6= ∅.

EJEM: Encuentre una recta contenida en el plano P:

x

y

z

=

0−21

+ t

0−21

+ s

20−3

PREG: Existe otra recta contenida en P? Cuantas rectas contenidas enP existen?

Algebra lineal

Rectas y planos ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Algebra lineal

Rectas y planos ortogonales

DEF: Sean L una recta con vector director d ∈ Rn y P un plano con

vectores directores c1,d1 ∈ Rn. Diremos que la recta L es ortogonal al

plano P, si y solo si, el vector d es ortogonal tanto a c1 y d1.

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

x

y

z

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

x

y

z

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

.

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

x

y

z

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

x

y

z

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: N000

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

x

y

z

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

x

y

z

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: N000

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

y

Q =

403

es ortogonal al plano P:

x

y

z

=

5−23

+ r

0−21

+ s

20−3

.

Algebra lineal

Ejercicios

1. Determine si la recta L:

x

y

z

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela a P:

x

y

z

=

0−21

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: N000

2. Determine si la recta L que contiene los puntos P =

1−11

y

Q =

403

es ortogonal al plano P:

x

y

z

=

5−23

+ r

0−21

+ s

20−3

. Rta: Sıii

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n.

.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)

donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

PORQUE

(x − p) · n = 0 equivalentemente a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn = d (2)

donde con d = a1p1 + a2p2 + · · ·+ anpn = n · p.A esta ecuacion lallamamos ecuacion general del hiperplano que pasa por P y es ortogonala n.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

Algebra lineal

Hiperplanos

DEF: Dados un punto P y un vector no nulo n, diremos que el conjuntoformado por P y todos los puntos X que determinan vectores PXortogonales a n es el hiperplano que contiene al punto P y es ortogonal alvector n. Al vector n lo llamamos vector normal del hiperplano. Entonces

PX · n = 0.

Si llamamos x := OX y p := OP , la ecuacion

(x − p) · n = 0 equivalentemente x · n = p · n (1)

es la ecuacion del hiperplano que pasa por P y es ortogonal a n. A estaecuacion la llamamos ecuacion normal del hiperplano.

-Hiperplanos en R son puntos-Hiperplanos en R

2 son de la forma ax + by + d = 0 (Rectas)-Hiperplanos en R

3 son de la forma ax + by + cz + d = 0 (Planos)

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

EJEM Hallemos una ecuacion del hiperplano que pasa por el punto

P =

2−351

y es ortogonal al Eje X .

SOL: Un vector que tiene la direccion del Eje X es e1.Ası que una ecuacionpara este plano es

0 = n · (x − p) = 1(x − 2) + 0(y + 3) + 0(z − 5) + 0(w − 1)

o equivalentemente, x − 2 = 0 o x = 2.

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son paralelos, si y solosi, los vectores n1 y n2 son paralelos.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R4 que pasa por el

origen y es paralelo al hiperplano H2 definido por 3x1 − 2x3 + x4 = 5.

SOL: Una ecuacion del hiperplano es (x − 0) · n2 = 0; es decir,3x1 − 2x3 + x4 = 0.PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?Ejer. 82 Talle2parteC

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

Algebra lineal

Hiperplanos Ortogonales y Paralelos

DEF:. Sean H1 y H2 dos hiperplanos con vectores normales n1 y n2,respectivamente. Diremos que los hiperplanos H1 y H2 son ortogonales,si y solo si, los vectores n1 y n2 son ortogonales.

EJEM: Encontremos una ecuacion del hiperplano H1 de R5 que pasa por

el origen y es ortogonal al hiperplano H2 definido por 3x2 − x3 − 2x4 = 2.

SOL: Aquı n1 · n2 = 0; por lo tanto, podemos tomar n1 =

10002

. Como un

punto de H1 es el origen, su ecuacion es

(x − 0) · n1 = 0 ⇔ x1 + 2x5 = 0.

PREG: ¿Existe otro hiperplano H1 que cumpla con las mismas condiciones?

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Teorema (Propiedades)

Si u, v y w son vectores de R3 y λ es un escalar, entonces:

1) u× v = −v× u 2) u× (v+ w) = u× v+ u× w

3) (u+ v)× w = u× w+ v× w. 4) λ(u× v) = (λu)× v = u× (λv)5) u× 0 = 0× u = 0. 6) u× u = 0.7) u× (v× w) = (u · w)v− (u · v)w. 8) (u× v) · u = (u× v) · v = 0.9) u · (v× w) = w · (u× v)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

DEM Prop. 8

u× v · u =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

·(

u1u2u3

)

= (u2v3 − u3v2)u1 − (u1v3 − u3v1)u2 + (u1v2 − u2v1)u3

= u2v3u1 − u3v2u1 − u1v3u2 + u3v1u2 + u1v2u3 − u2v1u3

= 0

De manera analoga u× v · v = 0

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

El producto cruz no es asociativo. Contraejemplo:

(e1 × e2)× e2 6= e1 × (e2 × e2)

Note que e1 × e2 = e3, e2 × e3 = e1 y e3 × e1 = e2

Algebra lineal

Producto vectorial

Dados dos vectores u =

(

u1u2u3

)

y v =

(

v1v2v3

)

de R3, definimos u× v, el

producto vectorial de u y v o Producto Cruz, como el vector

u× v =

(

u2v3 − u3v2−(u1v3 − u3v1)u1v2 − u2v1

)

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k

u1 u2 u3v1 v2 v3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 =

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2sin2θ

Algebra lineal

Teorema

Dados dos vectores arbitrarios u y v de R3, si θ es el angulo entre los

vectores u y v, entonces tenemos las siguientes igualdades.

‖u× v‖2 = ‖u‖2‖v‖2 − (u · v)2. Identidad de Lagrange

‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ. Norma del producto vectorial

DEM

‖u× v‖2 = (u× v) · (u× v)= u · [v× (u× v)] Prop 9, con w = u× v

= u · [(v · v)u− (v · u)v] Prop 7

= (v · v)(u · u)− (v · u)(u · v)= ‖v‖2‖u‖2 − (u · v)2= ‖u‖2‖v‖2 − ‖u‖2‖v‖2 cos2 θ= ‖u‖2‖v‖2(1− cos2 θ)

= ‖u‖2‖v‖2sin2θ

‖u× v‖ ≤ ‖u‖‖v‖

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

DEM: ⇒ si u es paralelo a v, v = λu, entonces,

u× v = u× (λu) = λ(u× u) = λ0 = 0

.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

DEM: ⇐ Como u× v = 0, entonces ‖u× v‖ = 0, pero‖u× v‖ = ‖u‖‖v‖sinθ ahora, como u, v 6= 0 entonces sinθ = 0, por lotanto θ = 0 o θ = π, lo que implica que los vectores u y v son paralelos.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los

vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de

ellos, es decir, ‖u× v‖.

Algebra lineal

Corolario

Dos vectores no nulos de R3 son paralelos, si y solo si, u× v = 0.

Corolario

El area del paralelogramo cuyos lados no paralelos estan dados por los

vectores u y v de R3 esta dada por la magnitud del producto vectorial de

ellos, es decir, ‖u× v‖.

DEM: Observe que h, la altura del paralelogramo, esta dada porh = ‖u‖ sin θ y el area del paralelogramo, es base por altura, tenemos

A = ‖v‖h = ‖v‖‖u‖ sin θ = ‖u × v‖

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por

los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto

mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM:

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por

los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto

mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por

los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto

mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Observemos que h, la altura del paralelepıpedo, es la norma del vector

proyv×wu =u · (v × w)

‖v × w‖2v × w

Vol=(area del paral)(altura)=‖v × w‖ h=‖v × w‖ |u · (v × w)|‖v × w‖ = |u·(v×w)|

Algebra lineal

Corolario

El volumen del paralelepıpedo cuyas aristas no paralelas estan dadas por

los vectores u, v y w de R3 esta dado por el valor absoluto del producto

mixto de ellos, es decir, por |u · (v×w)|.

DEM: El vector v×w es ortogonal a la base definida por v y w

Corolario

Tres vectores u, v y w ∈ R3 son coplanares, si y solo si, u · (v×w) = 0

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

DEM: ⊆ Sea X ∈ P. Entonces existen α, β ∈ R tal que PX = αc + βd .Luego,

PX · n = (αc + βd) · (c × d) = αc · (c × d) + βd · (c × d) = 0

por lo tanto, PX⊥n, de donde, concluimos que X ∈ H.

Algebra lineal

Teorema (Ecuacion normal del plano en R3)

El plano P de R3 que contiene al punto P y tiene vectores directores c y

d, y el hiperplano H de R3 que contiene el punto P y es ortogonal a

n = c × d, son iguales.

DEM: ⊇ Sea X ∈ H. Entonces PX · (c × d) = 0 por el corolario anteriortenemos que PX , c y d son coplanares. Como c y d no son paralelos yson vectores distintos de cero entonces existen α, β ∈ R tal que

PX = αc + βd .

Luego, X ∈ P.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de planos en R3)

Sean P1 y P2 dos planos en R3, con vectores normales n1 y n2, resp.

P1||P2, si y solo si, n1||n2; es decir, n1 = λn2.

P1⊥P2, si y solo si, n1⊥n2; es decir, n1 · n2 = 0.

EJEM: Determine si el plano P1 que contiene el punto P =

−253

y

tiene vectores directores c1 =

27−2

y d1 =

4−5−6

es paralelo o es

ortogonal al plano P2 definido por 3x − z = 4.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

Algebra lineal

Teorema (Paralelismo y ortogonalidad de rectas y planos en R3)

Sean L una recta con vector director d ∈ R3 y P un plano con vector

normal n ∈ R3.

L||P, si y solo si, d⊥n; es decir, d · n = 0.

L⊥P, si y solo si, d ||n; es decir, d = λn.

EJEM: Determine si la recta L :

x

y

z

=

2−13

+ t

2−7−2

es paralela u

ortogonal al plano P que contiene al punto M =

5−23

y tiene vectores

directores c1 =

0−21

y d1 =

20−3

.

Algebra lineal