Repaso - WordPress.com · Repaso Julio arascaY April 3, 2015 Julio rascaaY Repaso April 3, 2015 1 / 73. Pregunta 50 Hallar el valor de a para que la ecuación lineal no tenga solución

Repaso

Julio Yarasca

April 3, 2015

Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 1 / 73

Pregunta 50

Hallar el valor de a para que la ecuación lineal no tenga solución

3x + ax + (a− 2)x = 3a− 2

a) −2 b) − 1

2c) 1

2d) 1 e) 2


Solución

Recordemos

Una ecuación lineal de primer grado es de la forma

cx + d = 0

y no tiene solución si c = 0.

En efecto

3x + ax + (a− 2)x = 3a− 2

3x + ax + (a− 2)x − 3a + 2 = 0

[3 + a + (a− 2)]x + (−3a + 2) = 0

[1 + 2a]︸︷︷︸= 0

x + (−3a + 2) = 0

entonces tenemos 1 + 2a = 0⇒ a = − 1

2Clave b)


Problema 52

Dieciocho personas tienen que pagar por partes iguales un consumo de $1620,como algunos de ellos no pueden hacerlo, cada uno de los visitantes tiene queaportar adiccionalmente $72 para cancelar la deuda ¾Cuántas personas nopagaron?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14


Solución

Debemos tener en cuenta que

Personas que pagan × cuota = deuda

Primer Escenario, todos pagan

18× cuota inicial = 1620

entonces cuota inicial = 90

Segundo Escenario, algunos no pagan

Sean x la cantidad de personas que no pagan,

(18− x)× (cuota inicial + 72) = 1620

(18− x)× (90 + 72) = 1620

(18− x)(162) = 1620

18− x = 10⇒ x = 8 Clave b)


Problema 53

Si a > 0 y −b > 0. Indicar los valores de verdad de las siguientes proposiciones:

I.a− b

ab< 0

II. b2 > ab

III.b3

a− b2 < 0

a) VVF b) VVF c) VFV d) VFF e) FFF


Solución

Recordemos

Sean a, b ∈ R se cumpleb2 ≥ 0 (1)

ab > 0⇐⇒ tienen los mismos signos (2)

ab < 0⇐⇒ signos distintos (3)

Si b 6= 0a

b> 0⇐⇒ tienen los mismos signos (4)

a

b< 0⇐⇒ tienen distintos signos (5)

b2 > 0 (6)

Tenemos que a > 0 y −b > 0 ≡ 0 > b, es decir tienen signos distintos.


Continuación

I. Como a > 0 y 0 > b entonces a > b ≡ a− b > 0, y ab < 0 ya que a y btienen signos distinto.

En resumen tenemos a− b > 0 y ab < 0 entoncesa− b

ab< 0 por que tienen

signos distintos. Verdadero

II. Tenemos que b2 > 0 ya que es distinto de cero y ab < 0 entonces

b2 > ab Verdadero

III. Tenemos b3 = b2︸︷︷︸> 0

· b︸︷︷︸< 0

por lo tanto b3 < 0.

Ahorab3

a< 0 ya que b3 < 0 y a > 0 y b2 > 0 entonces se cumple

b2 >b3

a≡ b3

a− b2 < 0 Verdadero

Clave a)


Problema 55

Si b < a < 0; indique cuál de la siguentes a�rmaciones son verdaderas

I. a2 > b2

II. a2 < b2

III. b2 < a

a) Solo II b) I y II c) II y III d) Solo I e) I, II y III


Solución

Recordemos

b < a < 0 ⇒ a2 < b2 (7)

0 < b < a ⇒ b2 < a2 (8)

b < 0 < a ⇒ No podemos a�rmar nada

I) Falso ya que b < a < 0, entonces por (7) se tiene a2 < b2. FALSO

II) Verdadero ya que b < a < 0, entonces por (7) se tienea2 < b2.VERDADERO

III) Tenemos que b2 > 0 y a < 0 por lo tanto a < b2 entonces es falso. FALSO

Clave a)


Problema 57

Indicar los valores de verdad de caa uno de las siguientes proposiciones.

I. Si 1 < x < 4⇐⇒ 1 < x2 < 16

II. Si −5 < x < −2⇐⇒ 4 < x2 < 25

III. Si −2 < x < 3⇒ 4 < x2 < 9

IV. Si x2 < 3⇒ −√3 < x <

√3

V. Si x2 > 5⇒ x >√5

a) VVVVV b) VVFVV c) VVVVF d) FFFVF e) VVFFV


Solución

Recordemos

Si a > 0 y b > 0 se cumple

a < x < b ⇒ a2 < x2 < b2 (9)

Si a < 0 y b > 0 se cumple

a < x < b ⇒ 0 ≤ x2 < max{a2, b2} (10)

Si a < 0 y b < 0 se cumple

a < x < b ⇒ b2 < x2 < a2 (11)

Ejemplos

2 < x < 5⇒ 4 < x2 < 25

−3 < x < 2⇒ 0 ≤ x < 9︸︷︷︸= max{9,4}

−2 < x < −1⇒ 1 < x2 < 4Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 12 / 73

Continuación

También

Si a > 0 se cumplex2 < a⇒ −

√a < x <

√a (12)

Si a ≤ 0 se cumplex2 > a⇒ x >

√a ∨ x < −

√a (13)

I. Si 1 < x < 4⇐⇒ 1 < x2 < 16 FALSO por (9) ya que en las proposicion setiene (=⇒), NO (⇐⇒).

II. Si −5 < x < −2⇐⇒ 4 < x2 < 25 FALSO por (11)

III. Si −2 < x < 3⇒ 4 < x2 < 9 FALSO por (10)

IV. Si x2 < 3⇒ −√3 < x <

√3 VERDADERO por (12)

V. Si x2 > 5⇒ x >√5 FALSO por (13) Clave d)


Problema 56

Indicar los valores de verdad de cada uno de las siguientes proposiciones:

I. Si 2 < x < 5 entonces 4 < x2 < 25

II. Si −π < x < 4 entonces π2 < x2 < 16

III. Si −7 < z < −2 entonces 4 < x2<49

a) VVV b) VFV c) VVF d) FFV e) FFF


Solucion

I. Si 2 < x < 5 entonces 4 < x2 < 25, es Verdadera por (9)

II. Si −π < x < 4 entonces π2 < x2 < 16, es Falsa por (10)

III. Si −7 < z < −2 entonces 4 < x2<49, es Verdadera por (11)

Clave b)


Problema 60

Si A es un conjunto de�nido por

A = {x ∈ Z/ ∼ [x ≤ −3 ∨ x > 5]}

Entonces el n(A) es:

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10


Solución

Recordemos

∼ [x ≤ a] ≡ x > a

∼ [x ≥ a] ≡ x < a

∼ [x < a] ≡ x ≥ a

∼ [x ≥ a] ≡ x < a

∼ [p ∨ q] ≡∼ p ∧ ∼ q


Continuación

Tenemos

A =

x ∈ Z/ ∼ [ x ≤ −3︸︷︷︸p

∨ x > 5︸︷︷︸q

]

= {x ∈ Z/ ∼ [p ∨ q]}

EntoncesA = {x ∈ Z/ ∼ p ∧ ∼ q}

Ahora∼ p =∼ [x ≤ −3] ≡ x > −3

∼ q =∼ [x > 5] ≡ x ≤ 5

Reemplazando

A = {x ∈ Z/x > −3 ∧ x ≤ 5} = {−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}

Por lo tanto tenemos n(A) = 8 Clave C)


Problema 61

Sea A un conjunto de�nido por

A = {x ∈ R/x > 3→ x > 5}

Halle el con conjunto Ac

a) ∅b) 〈3, 5〉

c) [3, 5〉d) 〈3, 5]

e) 〈−∞, 3〉 ∪ 〈5,+∞〉


Solución

Recordemos

p → q ≡∼ p ∨ q

Entonces

A =

x ∈ R/ x > 3︸︷︷︸p

→ x > 5︸︷︷︸q

= {x ∈ R/p → q}

EntoncesA = {x ∈ R/∼ p ∨ q}

Ahora∼ p ≡ [x > 3] ≡ x ≤ 3

Reemplazando

A = {x ∈ R/x ≤ 3 ∨ x > 5} = 〈−∞, 3] ∪ 〈5,+∞〉

Entonces

Ac = 〈3, 5] Clave d)


Problema 64

Sean los conjuntos A = [−3, 4] y B = 〈0, 7].Halle el conjunto Ac\B

a) [−3, 7]b) [−3, 0] ∪ [4, 7]

c) 〈−∞,−3〉 ∪ [7,+∞〉d) 〈−∞,−3〉 ∪ 〈7,+∞〉

e) [4, 7]


Solución

Tenemos que A = [−3, 4] entonces Ac = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈4,+∞〉.

Ahora B = 〈0, 7], entonces Ac\B = 〈−∞,−3〉 ∪ 〈7,+∞〉Clave d)


Problema 65

Sean A,B y C tres conjuntos de�nidos por

A = [3, 8〉

B = [−1, 6]

C = [−2,+∞〉

Halle el conjunto C ∩ (A∆B)

a) [−1, 3〉b) 〈6, 8]

c) [3, 6]

d) [−1, 3〉 ∪ 〈6, 8〉e) 〈−∞,−1〉 ∪ [3, 6] ∪ 〈8,+∞〉


Solución

Recordemos

A∆B = (A ∪ B)− (A ∩ B) (14)


Continuación

Es facil de ver queA ∪ B = [−1, 8]

yA ∩ B = 〈3, 6]

A∆B = (A ∪ B)− (A ∩ B)

A∆B = [−1, 8]− 〈3, 6]

Por lo tanto A∆B = [−1, 3] ∪ 〈6, 8]Clave d)


Problema 66

Si x ∈ 〈−3, 5] a que intervalo pertenece y =x + 4

x + 5


Solución

Tenemos

y =x + 4

x + 5

=x + 4+1− 1

x + 5

=x + 5− 1

x + 5

= 1− 1

x + 5

Ahora como x ∈ 〈−3, 5] ≡ −3 < x ≤ 5, tenemos

2 < x + 5 ≤ 10 Sumando 5


Continuación

1

10≤ 1

x + 5<

1

2Invirtiendo

−1

2< − 1

x + 5≤ − 1

10Multiplicando por − 1

1

2< 1− 1

x + 5︸︷︷︸= y

≤ 9

10Sumando 1

Por lo tanto

y ∈⟨1

2,9

10

]Clave d)


Problema 68

Si F es un conjunto de�nido por

F =

{x ∈ R/5x − 3 < 7 ∨ 1

2x + 2 > 3

}Entonces se puede a�rmar:

a) [−2, 2] ⊂ Fb) F = ∅

c) F ∪ 2 = Rd) F ⊂ [0, 4]

e) F ⊂ 〈−∞, 2]


Solución

Tenemos

F =

x ∈ R/ 5x − 3 < 7︸︷︷︸x<2

∨ 1

2x + 2 > 3︸︷︷︸

x>2

Entonces

F = {x ∈ R/x < 2 ∨ x > 2} = 〈−∞, 2〉 ∪ 〈2,+∞〉

Entonces podemos a�rmar queF ∪ 2 = R

Clave c)


Problema 2

Halle el conjunto solución S de la ecuación:

|5x + 1| = 3x + 11

Dar como respuesta la suma de los elementos de S .

a)1

2b)

3

2c)

5

2d)

7

2e)

9

2


Solución

Recordemos

|x | < b ⇐⇒ b > 0 ∧ [x = b ∨ x = −b] (15)

Entonces|5x + 1| = 3x + 11

3x + 11 > 0 ∧ [5x + 1 = 3x + 11 ∨ 5x + 1 = −(3x + 11)]3x > −11 ∧ [5x + 1 = 3x + 11 ∨ 5x + 1 = −3x − 11]

x > −11

3∧ [5x − 3x = 11− 1 ∨ 5x + 3x = −11− 1]

... ∧ [2x = 10 ∨ 8x = −12]

x > −11

3∧ [ x = 5︸︷︷︸

>−11

3

∨ x = −12

8︸︷︷︸>−

11

3

]


Continuación

Ya que 5 y −12

8son mayores que −11

3tenemos que el conjunto solución de la

ecuación es

⇒ C .S . = {5,−12

8}

Ahora nos piden la suma de los elementos por lo tanto la respuesta es

5 + (−12

8) =

7

2Clave d)


Pregunta 4

Halle el conjunto solución de la ecuación

|x − 1| = |2x + 2|

Dar como respuesta el producto de los elementos de dicho conjunto.

a)1

2b) 1 c) 2 d) 4 e) 5


Solución

Recordemos

|x | = |b| ⇐⇒ [x = b ∨ x = −b] (16)

En efecto tenemos|x − 1| = |2x + 2|

x − 1 = 2x + 2 ∨ x − 1 = −(2x + 2)x − 1 = 2x + 2 ∨ x − 1 = −2x − 2

x − 2x = 2 + 1 ∨ x + 2x = −2 + 1−x = 3 ∨ 3x = −1

=⇒ x = −3 ∨ x =1

3

Por lo tanto el conjunto solución es

C .S . = {−3,−1

3}

Nos piden el producto, entonces −3 · −1

3= 1 Clave b)


Problema 6

Si S es el conjunto solución de la ecuación

x2 + 2x + 3 = 3|x + 1|

entonces la suma de los elementos de S es:

a) -4 b) -2 c) 1 d) 5 e) 6


Solución

Recordemos

x2 = |x |2 = |x2| (17)

En efectox2 + 2x + 3 = 3|x + 1|

x2 + 2x + 1 + 2 = 3|x + 1|x2 + 2x + 1︸︷︷︸+2 = 3|x + 1|

(x + 1)2 + 2 = 3|x + 1||x + 1|2 + 2 = 3|x + 1|

|x + 1|2 − 3|x + 1|+ 2 = 0(|x + 1| − 2︸︷︷︸

= 0

)(|x − 1| − 1︸︷︷︸= 0

) = 0

Ahora tenemos 2 ecuaciones con valor absoluto

|x + 1| − 2 = 0 o |x + 1| − 1 = 0


Continuación

Analizemos |x + 1| − 2 = 0 entonces

|x + 1| − 2 = 0 ≡ |x + 1| = 22 ≥ 0 ∧ [x + 1 = 2 ∨ x + 1 = −2]2 ≥ 0 ∧ [x = 1 ∨ x = −3]

Entonces el 1 y el −3 son soluciones. Analizemos |x + 1| − 1 = 0 entonces

|x + 1| − 1 = 0 ≡ |x + 1| = 11 ≥ 0 ∧ [x + 1 = 1 ∨ x + 1 = −1]2 ≥ 0 ∧ [x = 0 ∨ x = −2]

Entonces el 0 y el −2 son soluciones, por lo tanto la suma de todas sus solucioneses −4.


Problema 11

Si A es un conjunto de�nido por

A = {x ∈ R/3|x − 5|2 − 14|x − 5| − 5 = 0}

entonces la suma de los elementos del conjunto A es

a)12

3b)

16

3c) 10 d)

44

3e)

46

3


Solución

Aplicando aspa simple a la ecuación

3|x − 5|2 − 14|x − 5| − 5 = 0

nos queda(3|x − 5|+ 1)(|x − 5| − 5) = 0

Ahora tenemos que igualar cada uno a cero por lo que tenemos

3|x − 5|+ 1 = 0︸︷︷︸primera

y |x − 5| − 5 = 0︸︷︷︸segunda

La primera ecuación no tiene solución ya que la ecuacion3|x − 5|+ 1 = 0 ≡ 3|x − 5| = −1 y un valor absoluto NUNCA ES NEGATIVO.


Continuación

Ahora estudiemos la ecuacion

|x − 5| − 5 = 0 ≡ |x − 5| = 5

tenemos5 > 0 ∧ [x − 5 = 5 ∨ x − 5 = −5]5 > 0 ∧ [x = 10 ∨ x = 0]

Entonces el conjunto solución es A = { 10, 0} por lo tanto la suma es 10.

Clave c)


Problema 18

Si T es el conjunto solución de la inecuación |x − 3| < |4− x | ≤ |5− 2x |,entonces el conjunto T , es:

a) [1, 3]

b)

⟨−∞, 7

2

⟩ c) 〈−∞,−3〉 ∪[1,

7

2

]d) [1,+∞〉

e) 〈−∞, 1〉 ∪[3,

7

2

⟩


Solución

Recordemos

|x | < |y | ⇐⇒ (x + y)(x − y) < 0 (18)

Se tiene|x − 3| < |4− x | ≤ |5− 2x |

entonces|x − 3| < |4− x | ∧ |4− x | ≤ |5− 2x |

|x − 3| < |4− x | =⇒ ((x − 3) + (4− x))((x − 3)− (4− x)) < 01.(2x − 7) < 0

2x < 7

x <7

2


|4− x | ≤ |5− 2x | =⇒ ((4− x) + (5− 2x))((4− x)− (5− 2x)) ≤ 0(9− 3x).(x − 1) ≤ 03(3− x)(x − 1) ≤ 0

(3− x)(x − 1) ≤ 0(x − 3)(x − 1) ≥ 0

Entonces son soluciones de esta ecuación

Entonces〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉


Ahora debemos intersectar los conjunto solucion de las inecuaciones|4− x | ≤ |5− 2x | y |x − 3| < |4− x |, entonces en uno resulto

x <7

2

y〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉

Por lo tanto su intersección es

〈−∞, 1] ∪ [3,+∞〉


Problema 20

Dado los conjuntosA = {x ∈ R/|2x − 1| < 2}

B = {x ∈ R/|x − 1| ≤ 1}

C = {x ∈ R/|5x − 3| > 4− 2x}

El conjunto (A ∩ B) ∩ C

a)

⟨−1

2,1

3

⟩b)

⟨−1

3, 1

⟩c)

⟨−3

2,+∞

⟩d)

⟨1,

3

2

⟩e)

⟨−1

2,−1

3

⟩∪ 〈0, 1〉


Solución

Empezemos encontrando el conjunto A

A = {x ∈ R/|2x − 1| < 2}

Ahora |2x − 1| < 2 es equivalente a decir

2 > 0 ∧ [−2 < 2x − 1 < 2]2 > 0 ∧ [−2 + 1 < 2x < 2 + 1] Sumando 12 > 0 ∧ [−1 < 2x < 3]

2 > 0 ∧ [−1

2<

2x

2<

3

2] Dividiendo entre 2

2 > 0 ∧ [−1

2< x <

3

2]

Entonces A =

⟨−1

2,3

2

⟩Julio Yarasca Repaso April 3, 2015 47 / 73

Continuación

Ahora con BB = {x ∈ R/|x − 1| ≤ 1}

Entonces |x − 1| ≤ 1 es equivalente a decir

1 > 0 ∧ [−1 < x − 1 < 1]1 > 0 ∧ [−1 + 1 < x < 1 + 1] Sumando 11 > 0 ∧ [0 < x < 2]

Por lo tanto B = 〈0, 2〉Por ultimo C

C = {x ∈ R/|5x − 3| > 4− 2x}


Continuación

Entonces |5x − 3| > 4− 2x es equivalente a decir:

5x − 3 > 4− 2x ∨ 5x − 3 < −(4− 2x)5x + 2x > 4 + 3 ∨ 5x − 3 < −4 + 2x7x > 7 ∨ 5x − 2x < −4 + 3x > 1 ∨ 3x < −1x > 1 ∨ x <

−13

Por lo tanto C =

⟨−∞,−1

3

⟩∪ 〈1,+∞〉


Por lo tanto podemos observarque la interseción de los 3 conjuntos es⟨1,

1

3

⟩Clave d)


Ejercicio

Nota:

Sea la inecuación|x − 2|+ |x + 1| < 4 (19)

En este caso podemos resolver con las herramientas antes usadas, pero la soluciónva a hacer muy tediosa, por lo que dividiremos el problema por casos.En este problema trabajaremos con 3 casos,estos dependen de la cantidad depuntos criticos, estos los hallamos igualando a cero lo que se encuentra en elinterior de los valores absolutos, en especial para la inecuación (19) tenemos:x − 2 = 0 y x + 1 = 0 entonces los valores criticos son 2 y −1

Entonces en la recta tenemos


Continuación

Ahora analizemos cuando son posivitos o negativos los valores que estan en elinterior de los valores absolutos


Caso 1 2 ≤ xEntonces x − 2 > 0 y x + 1 > 0 por lo tanto

|x − 2| = x − 2 y |x + 1| = x + 1

Remplazando en la inecuación (19) tenemos que

|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ (x − 2) + (x + 1) < 32x − 1 < 42x < 5

x <5

2

Ahora este resultado me indica que para los 2 < x escoja los que veri�can

x <5

2por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones son

del intervalo[2, 5

2

⟩.


Caso 2 −1 < x < 2Entonces x − 2 < 0 y x + 1 > 0 por lo tanto

|x − 2| = −(x − 2) y |x + 1| = x + 1


|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ −(x − 2) + (x + 1) < 4−x + 2 + x + 1 < 4

3 < 4

Ahora este resultado me indica que para los −1 < x < 2 escoja los queveri�can 3 < 4︸︷︷︸

Verdadero

lo cual lo veri�can todos por lo tanto tenemos el

intervalo 〈−1, 2〉 .


Caso 3 x ≤ −1Entonces x − 2 < 0 y x + 1 < 0 por lo tanto

|x − 2| = −(x − 2) y |x + 1| = −(x + 1)


|x − 2|+ |x + 1| < 4 ≡ −(x − 2) +−(x + 1) < 4−x + 2− x − 1 < 4

−2x < 3

−3

2< x

Ahora este resultado me indica que para los x < −1 escoja los que

veri�can −3

2< x lo cual tenemos que los x que veri�can ambas

condiciones son del intervalo⟨− 3

2,−1

].


Por lo tanto la solución del problema es la unión de las respuestas de los 3 casos.

CS =

⟨−3

2,−1

]∪ 〈−1, 2〉 ∪

[2,

5

2

⟩=

⟨−3

2,5

2

⟩


Problema 26

Si [a, b] es el conjunto solución de

|x + 2|+ |x − 4| ≤ 8

entonces a + b es igual :

a) -2 b) -4 c) 0 d) 2 e) 4


Solución

|x + 2|+ |x − 4| ≤ 8 (20)

Los puntos criticos los hallamos x + 2 = 0 y x − 4 = 0 por lo tanto los puntoscriticos son −2 y 4.

Analizemos los valores que estan en el interior de los valores absolutos


Continuación


Caso 1 4 ≤ xEntonces x − 4 > 0 y x + 2 > 0 por lo tanto

|x − 4| = x − 4 y |x + 2| = x + 2


|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ (x − 4) + (x + 2) ≤ 82x − 2 ≤ 82x ≤ 10x ≤ 5

Ahora este resultado me indica que para los 4 ≤ x escoja los que veri�canx ≤ 5 por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones sondel intervalo [4, 5].


Caso 2 −2 < x < 4Entonces x − 2 < 0 y x + 1 > 0 por lo tanto

|x − 4| = −(x − 4) y |x + 2| = x + 2


|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ −(x − 4) + (x + 2) ≤ 8−x + 4 + x + 2 ≤ 8

6 < 8

Ahora este resultado me indica que para los −2 < x < 4 escoja los queveri�can 6 < 8︸︷︷︸

Verdadero

lo cual lo veri�can todos por lo tanto tenemos el

intervalo 〈−2, 4〉 .


Caso 3 x ≤ −2Entonces x − 4 < 0 y x + 2 < 0 por lo tanto

|x − 4| = −(x − 4) y |x + 2| = −(x + 2)


|x − 4|+ |x + 2| ≤ 8 ≡ −(x − 4) +−(x + 2) ≤ 8−x + 4− x − 2 ≤ 8−2x + 2 ≤ 8−3 ≤ x

Ahora este resultado me indica que para los x < −1 escoja los queveri�can −3 < x lo cual tenemos que los x que veri�can ambascondiciones son del intervalo [−3,−2] .


Por lo tanto la solución es la unión de los intervalos obtenidos en los 3 casos

C .S = [−3,−2] ∪ 〈−2,−3〉 ∪ [4, 5] = [−3, 5]

Por lo tanto a = −3 y b = 5, nos piden la suma entonces la respuesta es−3 + 5 = −2

Clave d)


Problema 28

Si [a, b] ∪ [c ,+∞〉 es el conjunto solución de la inecuación

|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6

entonces el valor de T = a + b + c es:

a) 10 b) 12 c) 14 d) 18 e) 20


Solución

|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6

Los puntos criticos los hallamos x − 5 = 0 y x − 7 = 0 por lo tanto los puntoscriticos son 5 y 7.

Analizemos los valores que estan en el interior de los valores absolutos


Continuación


Caso 1 7 ≤ xEntonces x − 5 > 0 y x − 7 ≥ 0 por lo tanto

|x − 5| = x − 5 y |x − 7| = x − 7


|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6 ≡ (x − 5)− (x − 7) ≤ x − 6x − 5− x + 7 ≤ x − 6

6 + 2 ≤ x8 ≤ x

Ahora este resultado me indica que para los 7 ≤ x escoja los que veri�can8 ≤ x por lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones sondel intervalo [8,+∞〉.


Caso 2 5 < x < 7Entonces x − 5 > 0 y x − 7 < 0 por lo tanto

|x − 7| = −(x − 7) y |x − 5| = x − 5


|x − 5| − |x + 7| ≤ x − 6 ≡ (x − 5)− (−(x − 7)) ≤ x − 6x − 5 + x − 7 ≤ x − 6

2x − 12 ≤ −6x ≤ 6

Ahora este resultado me indica que para los 5 < x < 7 escoja los queveri�can x ≤ 6 por lo tanto los x que veri�can ambas condiciones son〈5, 6] .


Caso 3 x ≤ 5Entonces x − 5 < 0 y x − 7 < 0 por lo tanto

|x − 5| = −(x − 5) y |x − 7| = −(x − 7)


|x − 5| − |x − 7| ≤ x − 6 ≡ −(x − 5)− (−(x − 7)) ≤ x − 6−x + 5 + x − 7 ≤ x − 6

−2 ≤ x − 64 ≤ x

Ahora este resultado me indica que para los x ≤ 5 escoja los que veri�can4 ≤ x lo cual tenemos que los x que veri�can ambas condiciones son delintervalo [4, 5] .


Por lo tanto la solución es la unión de los intervalos obtenidos en los 3 casos

C .S = [4, 5] ∪ 〈5, 6〉 ∪ [8,+∞〉 = [4, 6] ∪ [8,+∞〉

Por lo tanto a = 4 , b = 6 y c = 8, nos piden la suma entonces la respuesta es4 + 6 + 8 = 18

Clave d)


Problema 29

Determinar A ∩ B, siA = {x ∈ R/

√x − 2 ≤ 0}

B = {x ∈ R/√3− |x | ≥ −2}

a) {3,−3} b) {2} c) [−3, 2] d) ∅ e) [0,+∞〉


Solución

Recordemos√a = b ⇐⇒ b ≥ 0 ∧ b2 = a

Es decir la raíz cuadrada de un numero siempre es no negatica (es decir ≥ 0).

Analicemos primero el conjunto A

A = {x ∈ R/√x − 2 ≤ 0︸︷︷︸√x−2=0

}

Ya que la raiz cuadrada no negativa, es decir no toma valores negativos entoncesla única alternativa que nos queda es que sea igual a cero. Resolviendo tenemos

√x − 2 = 0 =⇒ x − 2 = 0 =⇒ x = 2

Por lo tanto A = {2}, ahora analicemos el conjunto B.


B = {x ∈ R/√3− |x | ≥ −2}

Como la raiz cuadrada siempre es no negatica entonces siempre es mayor que unnúmero negatico, pero en este caso hay un detalle, debemos asegurarnos que

3− |x | ≥ 0

Tenemos3− |x | ≥ 0⇐⇒ 3 > |x |

Entonces3 > 0 ∧ [−3 < x < 3]

Por lo tanto B = 〈−3, 3〉 y A ∩ B = {2} ∩ 〈−3, 3〉 = {2}clave b)


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Repaso - WordPress.com · Repaso Julio arascaY April 3, 2015 Julio rascaaY Repaso April 3, 2015 1 / 73. Pregunta 50 Hallar el valor de a para que la ecuación lineal no tenga solución