--£/

o A.

V OV C TOM SLAV RADOJIC C

Na slie! 1. prikazan je razvoj deformaeija telapri konstantnom naponu sa porastom vrernena.

, 6' = <5:, = const. /OPTERECENJE'" T po RASTERECENJE

t

s 7,. 1.

Mera trenutno e1asticnih deformaeija je funkeijc

starosti materija1a.

Nairne, modu1 elasticnosti E(T}kod betona vece

starosti irna znatno ve6e vrednosti. Ovo znaci da se tre~

nutno elasticna deformaeija vrernenorn smanjuje.

Promena opterecenja u funkeiji vremena (brzina

nanosenja opterecenja, ima znatnog utieaja kako na tok tako

i na krajnju meru deformaeija.

Na sliei 2. predstavljene su deformaeije uzoraka

kod kojih je menjana brzina nanosenja opterecenja.

Trenutna opterecenja (a) daju u istom vremenskom

periodu znatno vecu deformaeiju no sporo opterecenja.

Erzina deformaeije sa porastom vremena se sma-,

njuje.

Eksperimenti kako se vidi sa skiee pokazuju da

su, veze izmedju napona i deformaeije nelinearne za cita­

vo naponsko podrucje izazvano silama stalnog karaktera.

8

promene termickog polja u toku hidratacije -hemizacije

cementa; zavisi od promene temperature sredine U kojoj se

betonski element nalazi i dr.

Skupljanje je pretezno viskoplasticna pojava,

dok je viskoelastican dec skupljanja znatno manji u odnosu

na viskoplasti~an deo, a zavisi od relativne vlaznosti sre­

dine, brzine deformacije u poeetnoj fazi. Ova deformacija

se vremenom smanjuje i tezi nuli.

Pojave koje prethode lomu, znacajne su pre svega

zbog pravilnog i realnog formulisanja tipa deformacija ko­

je nastaju u fazi granicnog stanja lorna.

Dosadasnji eksperimenti pokazuju da 10m kod beto­

na moze nastati na dva nacina ito:

usled prekoracenja granicnih vrednosti napona za­

tezanja, kod odgovarajUcih naponskih stanja, kada se kaze

da lorn nastaje us led "kidanja" (cepanja),i

usled smicanja, kada lorn nastaje usled klizanja

po ravnima u kojima su sfuicuci naponi dostigli granicnu

vrednost.

Do odgovora na pitanje kako nastaje lorn pokusa­

Ii su doci na bazi pracenja deformacije u stadijumu loma,

jos 1934 - 1935. godine francuski istrazivacL Cacuot i

Brice. ani su konstatovali u uslovima slozenog naprezanja

znatne plasticne deformacije. Pored njih L'Ermit (21),

Kovan , Sa l±ger, Mehme 1 i drugi.

Uoeili su izrazenu plasticnu deformaciju u uslo­

virna viseosnog pritiska.

Znacajno je da je vecina od njih uocila da se

izrazena plasticna deformacija javlja nesto pre no_sto je

dostignuto granieno opterecenje i da se deformacija raz­

vija praktieno bez prirasta opterecenja,sve do loma.

Iznad napona f nastaju mikroporerne6ajikontinu-c .

iteta, odnosno nastaju pojave neogranicene d~formacije.

Poison-ov broj se smanjuje u oblasti granicnih

napona i postaje manji od 2, sto znaci da beton u fazi lorna

pove6ava zapreminu.

10

vremena, izraz za deformaciju (di1ataciju)ufo.nkciji vre-­

mena dobijaob1ik

EM tt) = i:M

1z jednaci~e (4.15) se Zak1jUcUje,da~a~wel1"":ovmodel pri konstantnom stanju napona odrazavaol:';Qbine'f1ui,­

da ,sto ce reei da u svemuzadrzava oS9bine;~~w;~OIl-o\70g"mode1a,odnosno fluida. Sa porastom vremenade:eorI'iracija

raste neograniceno kao i kod N-tela • "i;.<

U procesu rasterecegja, defOrmaCija~:u.,;odrU9~jUrasterecenja, postignuta u fazi opter~eel1Ja~s§a,je.sta1na,nepromenlj iva svremenom. Ovo znac i daj~kraj;hj~def()rma-

"':',";':'-.",' '." :.

cija M mode1a pri konstantnom naponu P0j;v0l'li d.<:~raktefu vi-

skoelasticna.:-- '-',.-" .

Ako se na M modeluanalizira prC)cesr~laksacije,

doci ee se do rezu1tata koji eksperimen.ti nis~po:tvrc;lili.Nairne, poznato je da u realnosti u US1C)~ima:k.~l1stantne de­

formacije dolazi do pada napona u betonu.;\LtoJi:uvremena. ; :: '. ,,:" ~'. ,'- ._~,' ";'. :: ',-, " ,-i : - ",:; _. ' -.

pri konstantnoj deformaciji dolazi do r:ec1l1Ciranj(i,(smanje-

nja) pocetnog napona. .. ' ..

Eksperimenta1na istrazivanja pokazuju'dapadnapo-"-':'

na pritiska u nekim slucajevima moze iino.pi-t2i.'AQ::::(O,4-:-0,6)oo'

gde je ° pocetni napon.o ., .Kod M-modela proces re1aksacije:se analizira stav-

1jajuci u diferencija1noj jednacini (4.13) dajedeforma-

cija (dilatacija) £M=const. . .' ....•.... ' ....• '..Integracijom homogene diferencija'lne. j~dnacine

(4.13) prvog reda sa konstantnim koeflcljentima dobija se

(4.16 )

Ako su EM i ].lM ska1arne velicine,onda je opsti

integral jednacine (4.16)

22

rezolventa jednacine

jezgro, aK =~ en ].:JK

E2

R =_.-!! en 11 K

napon resavaju pomocu integralnih jednacina druge vrste

Voltera kod kojih je

EK- -..:-(t"'T)

11K

(4.23)Analiza veza izmedju napona i deformacija najlakse

se sprovodi, kao i njihova primena na beton, u uslovima

konstantnih napona, odnosno konstantnih deformacija.

Za slucaj da je

o (t) =0 (Ll) = const.

Iz jednacine(4.23) neposredno sledi da je

(4.26)

Ukupna specificna deformacija, za jedinicno stanje

napona moze se pisati u obliku'E

... -K(t-Ll)

o(t) = <5 +0 = -!.. _ 1 Il-e 11 K Ie v EH EH.

(4.27)

gde, kako se vidi prvi elan predstavlja specificnu elasti­

cnu, a drugi elan predstavlja vremensko odvijanje speci­

fiene viskozne deformacije.

Iz jednacine 4.27 mogu se jasno sagledati fizicka

znaeenja pojedinih konstanti.

Analizom krajnjih (granicnih) stanja dobija se

za t=tl sledi da je Qe=l/EH, pa se moze shvatiti da je

EH=Ebo , moduo elasticnosti trenutno elasticne deformacije.

Kada vreme t+oo nezavisno od vrednosti vremena T 1

dobija se da Qv

+ l/EK gde EK predstavlja krajnju

meru deformacije pri konstantnom stanju napona.

Mera brzine viskozne deformacije dobija se nepo­

sredno iz jednacine (4.27).

28

Specificna deformacija u uslovima rasterecenja je

(4.33 )

I z ovog izra~a sledi, kada t -+ex> da ct r -+ 0, bez ob ­zira na velicinu t 1 (trfanutak rasterecenja),' sto ce reci daj.e celokupna defqrmacija ostvarena u procesu opterecenja re.,.

vezibilna posle rasterecenja. Ovo znaci da je i kod Pe-mo­

dela u pitanju ide.alanviskoeleastican. proces.NasliCi 13. prikazan je dijagram specificna d(3f9J:....

macija - VrEllne iz koga se vidi, da kranja mera tecenj?l

(deformaqij~.za~ ), be.z,obzirana velicinu T( Tl<}"2<1:"1'lJ

ostaje uvek Ista. " .

OPTERECENJE

:; ,-;.:, ,,'.-'

---..~--RASH:REt~NJE'

.,..

Analiza stanja relaksacije napona, ~r~ kon~tantnoj

deformaciji potrebna jeda bi seispitao kvalitet veza

izmedju napona i deformacija.

Za €;(t)=f;(t)=conet.,iz jednacina (4.25) neposre-dno sledi . j' .

30

Starost materljala (vreme pocetka procesa relaksa­

cije) kako se sa skice vidi, nema uticaja na krajnju veli­

cinu pada napona za (t+oo).

Na baz;i recen;ih konstatacija sledi:

- da Pe~model; u vezi (izrazima) napon defor.macijanije u stanju da uvede i uticaj starosti materijala, i ako

ovaj parametar - starost ima bitan uticaj na krajnju merutecenja betona,

- ovaj model kako se vidi nije u stanju da opise ir­everzibilnu deforroaciju (plasticnu) u procesu rasterecenja

kod betona,

- ovaj model za dugotrajne procese (t+oo ), pad napo­na u procesu relaksac;ije prikazuje kao konstantu, koja ne

zavisi od starosti betona.

Mnogobrojna istra~ivanja koja se vrse u svetu i

kod nas upravo potvrdjuju suprotno. Nairne, pad napona u pro­

cesu relaksacije kod Pe-modela, za dugotrajne procese (t+oo )

ne zavisi od starosti.Pocetak procesa relaksacije ima znatnog uticaja na

krajnju roeru pada napona.

4,8. MODELl SA REOLOSKIM KONSTANTAMA KAO PUNKCIJOMVREMENA I STAROSTI

Klasicni reoloski modeli kao sto su H,N .t S,v kada

se kombinuju u niz iIi paralelu, nisu u mogu6nosti da re­alno opisu pojavu deformisanja tela pod optere6enjem. Rezul­

tati eksperimentalnih istra~ivanja na modelima (u laborato­

rijskim uslovima) i na konstrukcijama u njihovoj eksploata­

ciji, pokazuju da beton tokom vremena, sa njegovom staroscu

menja svoje mehani~ke karakteristike. ~oznato je da beton

vece starost;i ima znatno manju trenutno elasticnu deforma­

ciju, nego sto je to slucaj sa mladim betonima. Trenutno

elasticna de£ormacija, odnosno trenutni roodul elasticnosti

Eb nije kon~tantna velicina, vee £unkcija starosti betona

~(~). Tokom vremena ima se utisak kao da se otpor viskosnoj

32

Ako se pradpostavi da ~e Q'*=O. sto znaCS1. ako $ezane~ar1 uticaj promene modul~ ela~t~cno~t~ u funkc~j1. sta~

rosti betona (T) onda izraz za d~latqc~ju 91as~;

Q;b(t) 1 aEb (t , T) = . E' " ... ~ I <1b (T) '31"4> (t,T)dT

.bo ,bo T1

a jezgro integralne jadnac~ne je

Izraz (.4,49.) za defonnaciju betona fl\o~e se p~sat1.

u obliku

= O'b ~!Ptl:-) ~,bo

(4,50)

U izrazu T1 pradstavlja starost betona u trenutkunanosenja opterecenja.

Za slu~aj da je tel0 napre9nuto konstantn~ na~o...nom tj. da je

izraz za meformaciju !ma oblik

(4.51)

aka je pri tome 0=0 i T"'"1"l dobija se !zraz (4,46),

Za stanje 0=0, diferencijalna jednacin~ (4.44) mozebiti ekspl-i citno es 0 d fA) k~ rena P O"b(t,T)' 0 nosno ab~t,1"l u omslucaju je

(4.52 )

36

Dijagram na sliei 17 prikazuje speeificni napon

za jedinicnu deformaeiju Eb(~t'\l)=l, odnosno pad naponapri konstantnoj deformaeiji.

Eao ~---:---=~ --.- - -- --

87,.17.

Nedostatak ovakvog modela je u tome ~to n~je u

stanju da realno prikaze proces rastereeen)a. Eksperimen­talna 1strazivanja kako je vec receno u proce~u rastere~

6enja prikazuju 1 viskoelasti~nu detormaeiju koja je u od~

nosu na viskoplasticnu znatn1je izra~ena ukol~ko je \~veca,

odnosno kada su u pitanju stariji beton1.Analizirani M.,..model ~a(Sl.18) u literaturj; je po.....

znat kao reoloski model teorijestarenja oetona. OVaj mo~

del u podrucju rasterecenja ne opisuje uspesno deformaci .....je zakasnele elasticnosti,a ni krajnja mera pada naponapri konstantnoj deformaciji ne odgovara rezultatime ek~pe.....rimentalnih istrazivanja.

Teorija staranja betona u literaturi se nazivai"Disingerova" teorija po nemackom istraU.vacu koji je pry!formulisao njene osnove.

38

<Sina oblika

(4.72)'"!"'Tl

koja ustvari predstavlja jednacinupoboljsane teorije sta­

nja, kod koje se vidi na ~oji je n~cin predstavljen koefi­

cijent tecenja. O~ se sastopi iZd~a d~la ito: od reverzi~

bilnog i ireverzibilnog i on se mo~e pisati u obliku

(4.73)

gde je:

¢rt - reverzibilni dec ko~ficijenta tecenja, odno­sno povratni deo deformacije postignut u procesu optere­

cenja. Ovaj dec koeficijenta tecenja naziva se i zakasnelaelasticnost.

. ¢it - ireverzibilni, odnosno nepovratni dec koefi-cijenta tecenja, odnosno nepovratni dec ukupne deforroacijepostignute u procesu opterecenja.

Kod integralne jednacine (4.72) reverzibilni deo

koeficijenta te~enja iznosi

_ 0,40E: QCD - Eb~'

Polazeci od jednacine (4.G8) i uvodeci predposta­

vku za O(t,T) da je

<) tt, TJ

tj. ako je:

kt=¢it a za ¢rt uvede predpostavka da je

-Ci.2

¢ = ¢ [l-ert Q<Xl

dobice se poznata Illston-Jordann-ova veza za napon defor­macija u obliku

44