Relly Victoria PETRESCU, Florian Ion PETRESCU, Ovidiu ANTONESCU

Al III-lea Seminar National de Mecanisme, Craiova, 2008

1

DINAMICA MECANISMELOR CU CAME PENTRU

MODULUL B (CU TACHET TRANSLANT CU ROLĂ)

Relly Victoria PETRESCU, Florian Ion PETRESCU, Ovidiu

ANTONESCU

Abstract: The paper presents shortly an original method in determining the dynamic of

the mechanisms with rotation cam and translated follower with roll. First, one presents

the dynamics kinematics. Then one makes the dynamic analyze of few models, for some

mouvement laws, imposed at the follower, by the sinthetized cam profile.

1 Introducere

Lucrarea propune un model dinamic original exemplificat pentru cama

rotativă cu tachet translant cu rolă. Se prezintă cinematica dinamică (de

precizie, originală); în ultima parte a lucrării se analizează dinamic câteva legi

de mişcare impuse tachetului prin profilul sintetizat al camei.

2 Dinamica mecanismului de distribuţie cu tachet translant cu rolă

2.1 Prezentare generală

Mecanismele cu camă rotativă şi tachet translant cu rolă (Modul B), au o

cinematică aparte, datorată în primul rând geometriei mecanismului, fapt care

ne obligă la un studiu mai amănunţit dacă dorim să determinăm cu precizie

cinematica şi dinamica acestui mecanism. În mod normal acest tip de mecanism

se studiază aproximativ, considerându-se, atât pentru cinematică cât şi pentru

cinetostatică, suficient, un studiu asupra cuplei B (centrul rolei). Aproximarea

aceasta (vezi fig. 1) prezintă însă o mare deficienţă datorită faptului că se

neglijează cinematica şi cinetostatica de precizie a mecanismului, fapt ce

conduce la un studiu dinamic inadecvat. Un studiu precis (exact), este posibil

doar atunci când analizăm ce se petrece în punctul A (punctul de contact dintre

camă şi rola tachetului). Punctul A este definit de vectorul Ar având lungimea

(modulul) rA şi unghiul de poziţie A.


2

0A

A

B

A-

Fn, vn

Fm, vm

Fa, va

Fi, viFn, vn

Fu, v2

B

B0

A0

A

O

x

e

s0

rb

r0

rA

rB

s

n

C

rb

Fig. 1. Mecanism cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu rolă

La fel se defineşte poziţia punctului B (centrul rolei), prin vectorul Br ,

care se poziţionează la rândul său prin, unghiul B şi are lungimea rB.

Între cei doi vectori prezentaţi ( BA rsir ) se formează un unghi .

Unghiul 0 defineşte poziţia, de bază, a vectorului 0Br , în triunghiul

dreptunghic OCB0, astfel încât putem scrie relaţiile (1-4):

bB rrr 00 (1)

22

0 0ers B (2)

0

0cosBr

e (3)

0

0

0sinBr

s (4)

Unghiul de presiune , care apare între normala n dusă prin punctul de

contact A şi o verticală, are mărimea cunoscută dată de relaţiile (5-7):

22

0

0

)'()(cos

esss

ss

(5)


3

22

0 )'()(

'sin

esss

es

(6)

ss

estg

0

' (7)

Vectorul Ar se poate determina direct cu relaţiile (8-9): 2

0

22 )cos()sin( bbA rssrer (8)

2

0

2 )cos()sin( bbA rssrer (9)

Putem determina direct şi unghiul A (10-11):

A

b

Ar

re

sincos

(10)

A

b

Ar

rss

cossin 0

(11)

2.2. Trasare profil

Se poate acum trasa direct profilul camei cu ajutorul coordonatelor

polare rA (cunoscută, vezi relaţia 9) şi A (care se determină cu relaţiile 12-17):

0 A (12)

00 sinsincoscoscos AA (13)

00 sincoscossinsin AA (14)

A (15)

sinsincoscoscos A (16)

cossincossinsin A (17)

2.3. Cinematica exactă la modulul B

Se determină în continuare câteva relaţii de calcul, necesare obţinerii

cinematicii precise pentru mecanismul cu camă rotativă şi tachet de translaţie cu

rolă.

Din triunghiul OCB (fig. 1) se determină lungimea rB (OB) şi unghiurile

complementare B şi (unde unghiul B este unghiul COB, iar unghiul

complementar este de fapt unghiul CBO; aceste două unghiuri intuitive nu au

mai fost trecute pe desenul din fig. 1. pentru a nu o încărca prea mult): 2

0

22 )( sserB (18)


4

2

BB rr (19)

B

Br

e sincos (20)

B

Br

ss 0cossin (21)

Din triunghiul oarecare OAB, la care se cunosc laturile OB şi AB şi

unghiul dintre ele B (unghiul ABO), care reprezintă suma unghiurilor şi ,

putem determina lungimea OA şi unghiul (unghiul AOB):

sinsincoscos)cos( (22)

)cos(2222 BbbBA rrrrr (23)

BA

bBA

rr

rrr

2cos

222

(24)

cossincossin)sin( (25)

)sin(sin A

b

r

r (26)

Cu B şi putem acum să determinăm A:

BA (27)

Relaţia (27) o derivăm în raport cu timpul şi obţinem A :

BA (28)

Se derivează expresia (20) şi se obţine B (32):

2sin

B

B

BBr

re

(29)

2

0 )( B

BB

Brss

rre

(30)

Pentru a afla Br se derivează expresia (18):

sssrr

sssrr

BB

BB

)(

)(22

0

0 (31)

Acum B se scrie sub forma (32):

22

0

0

)(

)(

BB

Br

se

rss

ssse

(32)

Expresia lui este ceva mai dificilă, pentru obţinerea ei derivăm în

raport cu timpul relaţia (24) şi obţinem expresia (33):

BBAA

BABABA

rrrr

rrrrrr

22

sin2cos2cos2 (33)


5

Din (33) se explicitează (38), care se poate determina dacă obţinem

mai întâi Ar prin derivarea expresiei (23):

)()sin(2

)cos(222

Bb

BbBBAA

rr

rrrrrr (34)

Pentru rezolvarea expresiei (34) sunt necesare derivatele şi .

Se derivează (7) şi se obţine (35 şi 36):

22

0

0

)'()(

)'(')('''

esss

essess

(35)

' (36)

Se observă faptul că este complementarul lui B, astfel încât vitezele

lor (derivatele lor în raport cu timpul) sunt egale dar de semne contrare, astfel

încât există relaţia:

2

B

Br

se

(37)

Acum putem calcula :

sin

coscos

BA

BBAABABA

rr

rrrrrrrr (38)

Se poate determina acum A (28) şi A (39):

AA (39)

În continuare reexprimăm funcţiile trigonometrice de bază (sin şi cos) de

unghiul A în alt mod decât prin relaţiile (10-11), pe baza calculelor anterioare:

22

0

22

0

)'()(

)'()'()(cos

esssr

esressse

A

b

A

(40)

22

0

22

00

)'()(

])'()([)(sin

esssr

resssss

A

b

A

(41)

Putem să obţinem acum expresia cos(A-):

cos'

)'()(

')()cos(

22

0

0

AA

Ar

s

esssr

sss (42)

Produsul cos(A-).cos se exprimă acum sub forma simplificată (43):

2cos'

cos)cos( A

Ar

s (43)

Putem scrie următoarele forţe şi viteze:

La intrare avem Fm şi vm perpendiculare pe vectorul rA. Ele se

descompun în Fa (respectiv va), forţa şi viteza de alunecare dintre profile, şi în


6

Fn (respectiv vn) forţa şi viteza normale la profil, care trec prin punctul B şi se

descompun la rândul lor în două componente; forţa Fi (respectiv viteza vi), forţa

şi viteza de încovoiere a tachetului (produc vibraţii, oscilaţii laterale) şi forţa Fu

(respectiv viteza v2), adică forţa utilă care deplasează tachetul efectiv şi viteza

sa de deplasare v2. În plus forţa Fa dă naştere la un moment Fa.rb care face ca

rola să se rotească.

Scriem următoarele relaţii de forţe şi viteze:

)sin(

)sin(

Ama

Ama

FF

vv (44)

)cos(

)cos(

Amn

Amn

FF

vv (45)

sin

sin

ni

ni

FF

vv (46)

cos)cos(cos

cos)cos(cos2

Amnu

Amn

FFF

vvv (47)

2.4. Determinarea randamentului la modulul B

Se determină în continuare randamentul mecanic exact al mecanismului.

Puterea utilă se scrie:

22

2 cos)(cos Ammuu vFvFP (48)

Puterea consumată este:

mmc vFP (49)

Se determină randamentul instantaneu:

4

2

222

222

22

cos'

]cos'

[

]cos)[cos(cos)(cos

cos)(cos

AA

AA

mm

Amm

c

u

i

r

s

r

s

vF

vF

P

P

(50)

2.5. Determinarea funcţiei de transmitere, D, la modulul B

Se determină în continuare funcţia de transmitere a mişcării la modulul

B, adică funcţia notată cu D:

Se reia viteza tachetului din expresia (47) şi se scrie sub forma (51):


7

222

2

2

cos'cos'cos'

cos'

cos)cos(cos

ssr

sr

r

svvvv

I

AA

A

AA

A

mAmn

(51)

Pe de altă parte se cunoaşte pentru viteza tachetului expresia (52):

Dsv '2 (52)

Din egalarea celor două relaţii (51 şi 52) se identifică expresia lui D,

extrem de complexă (53) (pentru derivatele lui D, volumul de lucru este mare):

2cos I

AD (53)

Expresia lui cos2 se cunoaşte (54):

22

0

2

02

)'()(

)(cos

esss

ss

(54)

Expresia lui ’A este ceva mai dificilă având forma din relaţia (55):

]}')[(2)'()(]){[(

/])'()/[(]})'()()'(')(''[

)'()(])'(){[(

])'()(')[(

22

0

22

0

222

0

22

0

22

00

22

0

22

0

22

0

22

0

seessresssress

esssesssesssssr

esssesss

esssrseess

bb

b

b

I

A

(55)

Se dau în continuare şi expresiile lui (56-57):

22

0

22

0

22

0

22

0

)'()(

]')[()'()(])[(cos

esssrr

seessresssess

BA

b

(56)

22

0

0

)'()(

')(sin

esssrr

sssr

BA

b

(57)

2.6. Dinamica pentru modulul B

Se utilizează pentru dinamica modulului B relaţiile (58-60):

][2

'

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

ykK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

(58)


8

][2

)'(

])(

[2

)(

2

0

2

2**

2

2

02

2

2

kK

kxs

sDkK

mmkK

K

skK

kxs

kK

kKk

X

TS

(59)

Cunoscându-l pe X îl putem determina imediat pe X cu relaţia (60):

XsX (60)

2.7. Analiza dinamică la modulul B

În continuare se prezintă analiza dinamică a modulului B, pentru câteva

legi de mişcare cunoscute.

Se începe cu legea clasică SIN (vezi diagrama dinamică din figura 2),

pentru a o putea compara cu dinamica acestei legi de la modulul clasic C. Se

utilizează o turaţie de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă teoretică

atât la supapă cât şi la tachet, h=6 [mm]. Unghiul de fază este, u=c=65 [grad];

raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=13 [mm].

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 50 100 150

a[m/s2]

880.53s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

u=65 [grad]

k=30 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=20 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;=11.5%

rb=13 [mm]

e=6 [mm]

legea: sin-0

y=x-sin(2x)/(2)

Analiza dinamicã la cama rotativã cu tachet

translant cu rolãamax=6400

smax=5.81

amin= -3000

Fig. 2. Analiza dinamică la modulul B. Legea SIN, n=5500

[rot/min]

u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=13 [mm], hT=6 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=6 [mm].

Randamentul are o valoare ridicată, =11.5%; reglajele resortului sunt normale,

k=30 [N/mm] şi x0=20 [mm].


9

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -10 0 10 20

yC [mm]

PROFIL Camã rotativã cu tachet translant cu rolã

u= 65[grad]

c= 65[grad]

r0= 13[mm]

rb = 13[mm]

e= 6[mm]

hT= 6[mm]

Legea SIN

Suportã o turatie n=5500[rot/min]

Fig. 3. Profilul SIN la modulul B. n=5500 [rot/min]


Dinamica este mai bună (în general) comparativ cu cea a modulului

clasic, C. Pentru un unghi de fază de numai 65 grade atingem aceleaşi vârfuri

de acceleraţii pe care modulul clasic le atingea la o fază relaxată de 75-80

grade.

În figura 3 se poate urmări profilul aferent, trasat invers decât cele de la

modulul C, adică cu profilul de ridicare în partea stângă şi cu cel de revenire în

dreapta, (deoarece sensul de rotaţie a camei a fost şi el inversat, din orar în

trigonometric).

Pentru legea cos (aşa cum ne-am obişnuit deja) vibraţiile sunt mai

liniştite comparativ cu legea sin, la fel ca la modulul dinamic clasic, C (a se

vedea diagrama dinamică din figura 4).

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

5000

0 50 100 150

a[m/s2]

601.01s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

u=65 [grad]

k=30 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=30 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;=10.5%

rb=6 [mm]

e=0 [mm]

legea: cos-0

y=.5-.5cos(x)



smax=5.74

amin= -2000

Fig. 4. Analiza dinamică la modulul B. Legea COS, n=5500

[rot/min], u=65 [grad], r0=13 [mm], rb=6 [mm], hT=6 [mm].


10

Turaţia aleasă este de n=5500 [rot/min], pentru o deplasare maximă

teoretică atât la supapă cât şi la tachet de, h=6 [mm].

Unghiul de fază este, u=c=65 [grad];

Raza cercului de bază are valoarea, r0=13 [mm].

Pentru raza rolei s-a adoptat valoarea rb=6 [mm].

Excentricitatea ghidajului în raport cu centrul camei este, e=0 [mm].

Un studiu dinamic arată că ce se câştigă la randament în una din faze

(urcare sau coborâre) datorită excentricităţii, e, se pierde în faza cealaltă, astfel

încât, e, poate regla o fază şi în acelaşi timp o dereglează pe cealaltă.

Iată un motiv serios ca valoarea adoptată a lui e să fie zero.

Randamentul mecanismului are o valoare ridicată (mai mare decât cea

de la modulul clasic, C), =10.5%, dar mai redusă cu un procent comparativ cu

legea sin.

Reglajele resortului sunt normale, k=30 [N/mm] şi x0=30 [mm].

Profilul COS (pentru modulul dinamic B), corespunzător diagramei

dinamice din figura 4, este trasat în figura 5. Profilul de ridicare, sau de urcare,

sau de atac, este cel din stânga, iar cel de revenire (sau coborâre), este situat în

dreapta. Ca o primă observaţie aceste profiluri sunt mai rotunjite şi mai pline,

comparativ cu cele de la modulul clasic, C.

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

-20 -10 0 10 20

yC [mm]


u= 65[grad]

c= 65[grad]

r0= 13[mm]

rb = 6[mm]

e= 0[mm]

hT= 6[mm]

Legea COS


Fig. 5. Profilul COS la modulul B. n=5500 [rot/min]



11

-2000

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

0 50 100 150 200 a[m/s2]

1896.75s*k[mm] k=

n=5500[rot/min]

u=80 [grad]

k=50 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=50 [mm]

hs=6 [mm]

hT=6 [mm]

i=1;=8.6%

rb=6 [mm]

e=0 [mm]

legea: C4P1-0

y=2x-x2



smax=5.37

amin= -600

Fig. 6. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-0,

n=5500 [rot/min], u=80 [grad], r0=13 [mm], rb=6 [mm], hT=6

[mm].

În figura 6 se analizează dinamic legea C4P, sintetizată de autori,

pornind de la o turaţie n=5500 [rot/min].

Vârfurile negative ale acceleraţiilor sunt foarte reduse (funcţionare

normală, cu zgomote şi vibraţii scăzute). Ridicarea efectivă (dinamică) a

supapei este suficient de mare, smax=5.37 [mm], comparativ cu h impus de 6

[mm]. Randamentul se păstrează în limite normale, =8.6%. În figura 7. se

prezintă profilul corespunzător.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-20 -10 0 10 20

yC [mm]


u= 80[grad]

c= 80[grad]

r0= 13[mm]

rb = 6[mm]

e= 0[mm]

hT= 6[mm]

Legea C4P1-0


Fig. 7. Profilul C4P la modulul B.

În diagrama din figura 8 turaţia creşte până la 40000 [rot/min], în vreme

ce randamentul creşte şi el, în detrimentul lui smax care abia mai atinge valoarea

de 3.88 [mm].


12

-40000

-20000

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

0 50 100 150 200

a[m/s2]

19371.43s*k[mm] k=

n=40000[rot/min]

u=80 [grad]

k=400 [N/mm]

r0=13 [mm]

x0=150 [mm]

hs=10 [mm]

hT=10 [mm]

i=1;=14.4%

rb=6 [mm]

e=0 [mm]

legea: C4P1-5

y=2x-x2


translant cu rolã

amax=94000

smax=3.88

amin= -33000

Fig. 8. Analiza dinamică la modulul B. Legea C4P1-5,

n=40000 [rot/min].

3. Concluzii

Se poate vorbi în mod evident de un avantaj al tachetului cu rolă, sau

bilă, (Modul B), faţă de tachetul clasic cu talpă, (Modul C).

Se pot obţine aşadar turaţii ridicate, dar şi randamente superioare, cu

ajutorul modulului B.

Bibliografie

1- Petrescu F.I., Petrescu R.V., Contributions at the dynamics of cams. In the Ninth

IFToMM International Sympozium on Theory of Machines and Mechanisms,

SYROM 2005, Bucharest, Romania, 2005, Vol. I, p. 123-128.

Relly Victoria PETRESCU

Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul GDGI

Splaiul Independenţei 313, Bucureşti, Sector 6, cod 060042

[email protected]

Florian Ion PETRESCU

Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR


[email protected]

Ovidiu ANTONESCU

Universitatea Politehnica din Bucureşti, Departamentul TMR


[email protected]

Documents

Relly Victoria PETRESCU, Florian Ion PETRESCU, Ovidiu ANTONESCU