Relativno mirovanje tečnosti

Translatorno kretanje suda sa tečnošću 1. Zadatak. Cisterna čiji je poprečni presek elipsa poluosa a i b napunjena je tečnošću gustine ρ i kreće se pravolinijski jednaklo ubrzano ubrzanjme w po horizontalnoj ravni (vidi sliku). Ako je dužina cisterne c a manometar M pokazuje natpritisak pm odrediti sile pritiska tečnosti na prednju i zadnju stranu cisterne.

Rešenje: gZ,wY,0X −=−== ( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= -osnovna jednačina hidrostatike Zamenom projekcija zapreminske sile u prethodnoj jednačini dobija se: ( )gdzwdydp −−ρ= Integracijom poslednje jednačine dobija se jednačina: Czgwyp +ρ−ρ−= ; Konstanta C određuje se iz graničnog uslova za pritisak: x=0, y=0, z=0: ma ppp += ⇒ ma ppC += pa prethodna jednačina postaje: gzwyppp ma ρ−ρ−=− -jednačina rasporeda pritiska u tečnosti. Onda je sila pritiska tečnosti na prednju stranu cisterne: ( ) AppP

1Cap −=

gde je ( )b,0,0C1 − težište prednje strane cisterne, π= abA -površina prednje strane cisterne. Onda se dobija da je: ( ) πρ+= abgbpP mp . Sila pritiska tečnosti na zadnju stranu suda je: ( ) AppP

2Caz −=

gde je ( )b,c,0C2 −− težište zadnje strane suda. Onda je: ( ) πρ+ρ+= abgbwcpP mz .

2. Zadatak. Prizmatična cisterna dužine b čiji je bazis petougaonik dat na slici, napunjena je tečnošću gustine 1ρ do visine 2h , a odatle pa do vrha tečnošću gustine 2ρ i kreće se konstantnim ubrzanjem a po horizontalnom pravolinijskom putu. Ako je, za vreme kretanja, pokazivanje vakuummetra vp , a tačka Apripada razdelnoj površi tečnosti, odrediti silu pritiska na zadnju stranu cisterne. Tečnosti se ne mešaju.

Rešenje.

Obe tečnosti relativno miruju pa i za jednu i za drugu važi osnovan jednačina za hidrostatiku. Za tečnost gustine 2ρ ona je:

ZdzYdyXdxdp1

2++=

ρ (1)

Kako su, za izabrani koordinatni sistem, projekcije rezultujuće zapreminske sile: gZ,aY,0X −=−== (2) jednačina (1) postaje: ( )gdzadydp 2 −−ρ= (3) Integracijom jednačine (3) dobija se jednačina: ( ) 12 Cgzayp +−−ρ= (4) gde se konstanta 1C određuje korišćenjem graničnog uslova: va ppp −= za h2z,by == i iznosi: ( )gh2abppC 2va1 +ρ+−= . Unošenjem izraza za konstantu 1C u jednačinu (4) dobija se jednačina rasporeda pritiska, za tečnost gustine 2ρ , u obliku: ( ) ( )zh2gybappp 22va −ρ+−ρ+−=− (5) Pritisak u tački ( )0,b,0A koja pripada razdelnoj površi tečnosti dobija se iz jednačine (5) unošenjem koordinata tačke A i iznosi: hg2ppP 2vaA ρ+−= .

Težište dela zadnje strane, koji kvasi tečnost gustine 2ρ , je u tački

h

34,0,0C1

pa je sila pritiska tečnosti na ovaj deo zadnjue strane data izrazom:

( )2

hgh32abpvAppP

2

221Ca1 1

ρ+ρ+−=−=

gde je razlika pritisaka ( )1Capp − određene iz jednačine (5) unošenjem koordinata tačke

1C . Za tečnost gustine 1ρ , ponavljajući isti postupak, dolazi se do jednačine: ( ) 21 Cgzayp ++ρ−= (6) a konstanta 2C određuje se korišćenjem poznatog pritiska u tački A i iznosi: 12va2 abhg2ppC ρ+ρ+−= (7) Sa ovako određenom konstantom 2C jednačina (6) postaje: ( ) hg2zgybappp 211va ρ+ρ−−ρ+−=− (8) Težište dela zadnje strane koji kvasi tečnost gustine 1ρ je u tački ( )2h,0,0C2 pa se iz jednačine (8) dobija da je u tački 2C :

( ) hg22hgbappp 211v2Ca ρ+ρ−ρ+−=− (9)

Sila pritiska na ovaj deo zadnje strane je:

( ) 21212Ca2 hhg

21gh2abpvAppP

2

ρ−ρ+ρ+−=−=

a rezultujuća sila pritiska je:

( )2

habgh3

14ghab2p3PPP2

21v21

ρ

++ρ−+−=+=

3. Zadatak. Sud prikazan na slici sastoji se od dva obrtna paraboloida i napunjen je tečnošću gustine ρ . Sud se kreće u horizontalnoj ravni po pravolinijskom putu konstantnim ubrzanjem a. Ako su veličine date na slici poznate, a pokazivanje manometra je mp odrediti vertikalne komponente sila pritiska tečnosti na obrtne paraboloide.

Rešenje:

Tečnost relativno miruje u susdu pa važi jednačina:

( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= Kako je, za izabrani koordinatni sistem:

gZ,aY,0X −=−== poslednja jednačina se svodi na oblik:

( )gdzadydp +ρ−= Integracijom posldenje jednačine dobija se:

( ) Cgzayp ++ρ−= a konstanta C određuje se korišćenjem poznatog pritiska u tački M, tj. za :

x=0, y=0, z=h: ma ppp += , i iznosi:

hgppC ma ρ++= .

Unošenjem izraza za konstantu C u poslednju jednačinu dobija se jednačina rasporeda pritiska u obliku: ( )zhgyappp ma −ρ+ρ+=− . Koristeći činjenicu da je za fiktivnu slobodnu površinu tečnosti app = iz poslednje jednačine (rasporeda pritiska) dobija se jednačina fiktivne slobodne površine tečnosti u obliku:

yga

gp

hz m −ρ

+=

Vertikalna komponenta sile pritiska tečnosti na gornji paraboloid je:

( )

ρ

+πρ=

π−

ρ

+πρ=ρ=↑g

ph

21RghR

21

gp

hRggVP m22m211

a na donji paraboloid:

( )

ρ

+πρ=

π−

ρ

+πρ=ρ=↓g

ph

43Rg

2hR

21

gp

hRggVP m22m212

Jednoliko obrtanje suda sa tečnošću 1.Zadatak. Sud oblika zarubljenog konusa dimenzija D,d i a napunjen je tečnošću gustine ρ i obrće se, oko svoje vertikalne ose, konstantnom brzinom ω (vidi sliku). Ako je, za vreme obrtanja, pokazivanje manometra mp odrediti sile pritiska tečnosti na gornji i donji bazis suda.

Rešenje: Tečnost u sudu relativno miruje pa važi osnovna jednačina za hidrostatiku:

( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= (1) Za odabrani koordinatni sistem projekcije rezultujuće zapreminske sile su:

gZ,yY,xX 22 −=ω=ω= (2) Unošenjem projekcija (2) u jednačinu (1) ona postaje:

( )gdzydyxdxdp 22 −ω+ωρ= Integracijom poslednje jednačine, član po član, dobija se jednačina:

Czgr2

p 22

+ρ−ω

ρ= (3)

gde je 222 yxr += . Koristeći poznati pritisak u tački M dobija se da je integraciona konstanta:

agppC ma ρ++= . Unošenjem konstante C u jednačinu (3) dobija se jednačina rasporeda pritiska u obliku:

( )zagr2

ppp 22

ma −ρ+ω

ρ+=− (4)

Jednačina rasporeda pritiska za gornji bazis dobija se iz jednačine (4) unošenjem u nju az = (jednačina ravni kojoj pripada gornji bazis) i ima oblik:

( ) 22

mGa r2

ppp ωρ+=−

Onda je sila pritiska tečnosti na gornji bazis data izrazom:

( )4

d16

dpdrr2r2

pdAppP222

m

2d

0

22

mA

GGaGG

π

ωρ+=π

ωρ+=−= ∫∫

Jednačina rasporeda pritiska na donji bazis dobija se iz jednačine (4) u nju 0z = (jednačina ravni kojoj pripada donji bazis) i ima oblik:

( ) agr2

ppp 22

mDa ρ+ω

ρ+=−

Sila pritiska tečnosti na donji bazis data je izrazom:

( )

ωρ+ρ+

π=π

ρ+

ωρ+=−= ∫∫ 16

Dagp4

Ddrr2agr2

pdAppP22

m

22D

0

22

mA

DDaDG

2. Zadatak. Sud oblika obrtnog paraboloida prečnika osnove D i visine h, napunjen tečnošću gustine ρ , obrće se oko svoje vertikalne ose konstantnom ugaonom brzinom ω (vidi sliku). Pokazivanje manometra je mp . Odrediti: jednačinu rasporeda pritiska u tečnosti, jednačinu rasporeda pritiska za omotač suda, silu pritiska tečnosti na osnovu i omotač suda.

Rešenje:

Polazeći od osnovne jednačine za hidrostatiku:

( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= i unoseći u nju projekcije rezultujuće zapreminske sile:

gZ,yY,xX 22 −=ω=ω= dobija se jednačina:

( )gdzydyxdxdp 22 −ω+ωρ= , čijom se integracijom dolazi do jednačine:

Czgr2

p 22

+ρ−ω

ρ= (1)

gde je izvršen prelaz na polarno-cilindrični koordinatni sistem. Korišćenjem poznatog pritiska u tački M dobija se da je integraciona konstanta:

hgppC ma ρ++= pa se jednačina (1) svodi na jednačinu:

( )zhgr2

ppp 22

ma −ρ+ω

ρ+=− (2)

koja pretstavlja jednačinu rasporeda pritiska u tečnosti. Jednačina površi, kojoj pripada omotač suda, za odabrani koordinatni sistem je:

−= 2

2

Dr41hz (3)

Unošenjem izraza (3) u jednačinu (2) dobija se jednačina:

( ) 22

2

moa rDgh4

2ppp

+

ωρ+=−

koja pretstavlja jednačinu raporeda pritiska tečnosti za omotač suda. Zamenjujući app = u jednačini (2) dobija se jednačina fiktivne slobodne površi tečnosti u obliku:

22

m rg2g

phz ω

+ρ

+= (4)

Sila pritiska tečnosti na omotač data je izrazom:

π−

π−

πρ=ρ= 0

22

1

2

o h4

D21h

4D

21h

4DggVP (5)

gde se veličina 1h dobija iz jednačine (4), unošenjem u nju 2Dr = , i iznosi:

gD

gp

hh22

m1 ρ

ω+

ρ+=

a onda je veličina:

gD

gphhh

22m

10 ρω

=ρ

−−= .

Unošenjem veličina 10 hih u izraz (5) dobija se da je:

4

D16Dgh

21pP

222

moπ

ωρ+ρ+=

Sila pritiska tečnosti na osnovu suda je:

4

D16Dghph

4D

21gPP

222

m

2

oBπ

ωρ+ρ+=

πρ+=

3. Zadatak. Zatvoreni sud oblika kružnog cilindra poluprečnika R napunjen je tečnošću gustine ρ i obrće se, oko vertikalne ose, konstantnom ugaonom brzinom ω . Kružni poklopac prečnika R, koji zatvara isti takav otvor na gornjem bazisu cilindra održava u ravnoteži, za vreme obrtanja suda, sila intenziteta F (vidi sliku). Odrediti jednačinu rasporeda pritiska u tečnosti i silu pritiska tečnosti na gornji bazis suda.

Rešenje. Polazeći od osnovne jednačine za hidrostatiku:

( )ZdzYdyXdxdp ++ρ= i unoseći u nju projekcije rezultujuće zapreminske sile koja deluje na tečnost u sudu:

gZ,yY,xX 22 −=ω=ω= i integraleći je dolazi se do jednačine rasporeda pritiska u sudu:

Czgr2

p 22

+ρ−ω

ρ= (1)

u kojoj je integraciona konstanta C , za sada, nepoznata. Unoseći 0z = (jednačina ravni kojoj pripada gornji bazis suda) u jednačinu (1) dolazi se do jednačine rasporeda pritiska tečnosti za gornji bazis suda u obliku:

+

ωρ=∗ Cr

2p 2

2

(2)

Koristeći činjenicu da sila, intenziteta F, održava poklopac u ravnoteži dolazi se do jednačine: ( ) FdApp

Aa =−∫ ∗ (3)

u kojoj je A površina poklopca. Uzimajući da je elementarna površina ϕ= rdrddA i unoseći je zajedno sa izrazom (2) u jednačinu (3) ista se svodi na jednačinu:

FrdrpCr2

dcosR

0a

222

2

=

−ρ+

ωρϕ ∫∫

ϕπ

π−

(4)

koja, posle realizacije naznačene integracije i zamene granica, postaje:

( ) FpC4

RR643

a

242 =−ρ

π+πρω (5)

Iz jednačine (5) dobija se da je:

πρω−

π+=ρ 42

2a R643F

R4pC

pa jednačina rasporeda pritiska (1), posle zamene vrednosti za Cρ , postaje:

πρω−

π+ρ−

ωρ=− 42

22

2

a R643F

R4zgr

2pp (6)

Jedančina rasporeda pritiska, za gornji bazis suda, dobija se iz jednačine (6), zamenom 0z = , i ima oblik:

πρω−

π+

ωρ=−∗ 42

22

2

a R643F

R4r

2pp (7)

Sila pritiska tečnosti, na gornji bazis suda, data je izrazom: ( )dAppP

Aa∫ −= ∗

koji se, posle zamene drr2dA π= i unošenjem izraza (7), svodi na oblik:

drr2R643F

R4r

2P

R

0

422

22

π

πρω−

π+

ωρ= ∫

iz koga se, posle realizacije naznačene integracije i zamene granica, dobija da je:

πρω+= 42R161F4P .

4. Zadatak. Konusni sud, prečnika d i visine h, napunjen tečnošću gustine ρ , obrće se oko svoje vertikalne ose, konstantnom ugaonom brzinom ω . Za dno suda na rastojanju

2d od ose obrtanja, priključena je cev sa tečnošću gustine 1ρ koja se obrće zajedno sa sudom (vidi sliku). Ako su veličine date na slici poznate odrediti silu pritiska tečnosti na dno suda i pritisak na vrhu konusa. Tečnosti se ne mešaju.

Rešenje.

Unoseći u osnovnu jednačinu za hidrostatiku za tečnost gustine 1ρ

( )ZdzYdyXdxdp 1 ++ρ= projekcije rezultujuće zapremine sile:

gZ,yY,xX 22 −=ω=ω= (1) i integraleći tako dobijenu jednačinu dolazi se do jednačine:

Cgzr2

p1 22

1

+−ω

=ρ

(2)

Kako je za app:hzidr === to se iz jednačine (2) dobija da je:

ghd2

p1C 22

a1

+ω

−ρ

=

pa se ista jednačina svodi na jednačinu:

( ) ( )hzgdr2

pp 122

2

1a −ρ−−ω

ρ+= (3)

Na isti način, za tečnost gustine ρ , dolazi se do jednačine:

12

2

Cgzr2

p1+−

ω=

ρ

Koristeći činjenicu da se pritisak u tački ( )2h,2dA − , može sračunati korišćenjem jednačine (3) ili jednačine (4) dolazi se do jednačine:

122

122

1a Cgh21d

21gh

23d

83p ρ+ρ+ρω=ρ+ωρ−

iz koje je:

( ) ( )ρ−ρ+ρ+ρω

−=ρ 11

22

a1 32

gh38dpC .

Unošenjem izraza (5) u jednačinu (4) ista se svodi na jednačinu:

( ) ( )ρ−ρ+ρ+ρω

−ρ−ω

ρ=− 11

222

2

a 32

gh38dzgr

2pp (6)

koja pretstavlja jednačinu rasporeda pritiska za tečnost gustine ρ . Jednačina rasporeda pritiska za dno suda dobija se iz jednačine (6) za 0z = i ima oblik:

( ) ( ) ( )ρ−ρ+ρ+ρω

−ω

ρ=− 11

222

2

Da 32

gh38dr

2pp .

Intenzitet sile pritiska tečnosti na dno dat je izrazom:

( )∫ π−=2d

0Da drr2ppP ,

koji se posle unošenja jednačine (7), integracije i zamene granica, svodi na izraz:

( ) ( )

ρ+ρω−ρ−ρ

π= 1

221

2

6d813gh

8dP .

Unošenjem koordinata tačke ( )h,0S u jednačinu (6) dobija se da je pritisak na vrhu konusa dat izrazom:

( ) ( )ρ+ρω

−ρ−ρ+= 1

22

1as 38d

2gh3pp .

5. Zadatak. Cilindrični sud, poluprečnika osnove R, napunjen je tečnošću gustine ρ , obrće se konstantnom ugaonom brzinom ω oko horizontalne ose OO′. Manometar M (vidi sliku) pokazuje natpritisak mp . Odrediti jednačinu rasporeda pritiska u tečnosti i pritisak po najnižoj izvodnici cilindra.

Rešenje:

Unoseći projekcije rezultujuće zapreminske sile: gzZ,0Y,xX 22 −ω==ω= u osnovnu jednačinu za hidrostatiku i integraleći je dobija se jednačina:

( ) Cgzzx2

p1 222

+−+ω

=ρ

(1)

Kako je, za 0x = , 0z,0y == , ma ppp += to se iz jednačine (1) dobija da je integraciona konstanta:

( )ma pp1C +ρ

= .

Unošenjem ovog izraza za konstantu C u jednačinu (19 dobija se jednačina rasporeda pritiska u tečnosti u obliku:

( ) zgzx2

ppp 222

ma ρ−+ρω

++= (2)

Jednačina prave kojoj pripada najniža izvodnica cilindra je ( Rz,0x −== ) pa se njenim unošenjem u jednačinu (2) dobija pritisak po najnižoj izvodnici cilindra u obliku:

Rg2Rppp

22

man ρ+ρω

++= .