Upload
herawati-liwangka
View
35
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
egresi-linier-dengan-metode-kuadrat-terkecil2
Citation preview
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (1/1)
Modul 3:
Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil A. Pendahuluan Metode Kuadrat Terkecil Metode kuadrat terkecil, yang lebih dikenal dengan nama Least-Squares Method, adalah salah satu metode ‘pendekatan’ yang paling penting dalam dunia keteknikan untuk: (a). regresi ataupun pembentukan persamaan dari titik-titik data diskretnya (dalam pemodelan), dan (b). analisis sesatan pengukuran (dalam validasi model).
Metode kuadrat terkecil termasuk dalam keluarga metode-metode pendekatan sesatan terdistribusi (“distributed error” approximation methods), berdasarkan karakterisik kerjanya yang melakukan pengurangan sesatan menyeluruh (global error) yang terukur berdasarkan interval pendekatan keseluruhan (whole approximation interval) sesuai dengan order pendekatan yang meningkat. Metode ini berbeda dengan metode-metode asimptotis, khususnya yang dikembangkan melalui pendekatan melalui deret ‘Taylor’, karena metode asimptotis memiliki karakteristik kerja yang memperkecil sesatan pada beberapa titik tertentu, sesuai dengan order pendekatan yang meningkat.
Metode kuadrat terkecil ini juga memainkan peranan penting dalam teori statistik, karena metode ini seringkali digunakan dalam penyelesaian problem-problem yang melibatkan kumpulan data yang tersusun secara acak, seperti dalam sesatan-sesatan percobaan. Namun demikian, hal-hal yang berhubungan dengan teori statistik tidak akan dibahas secara khusus dalam modul ini.
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (2/2)
B. Persamaan dan Model sebagai obyek regresi Seperti telah dijelaskan di atas, dalam dunia keteknikan metode kuadrat terkecil ini digunakan untuk melakukan regresi dan atau pencocokan kurva yang diharapkan dapat membentuk persamaan matematis tertentu. Secara empiris, persamaan-persamaan matematis tertentu yang sering digunakan di antaranya adalah:
(a). Persamaan ‘garis lurus’ (linier): bxay +=
(b). Persamaan parabolis (kuadratis): rxqxpy ++= 2
(c). Persamaan polinomial (secara umum):
1
1
112321
−∞
=
−−
∑=
++++++=
k
kk
nn
kk
xc
xcxcxcxccy LL
(d). Persamaan eksponensial: dxcxbeay ++=2
(e). Persamaan asimptotis: dxc
xbxay
++
=2
C. Regresi Sederhana untuk Persamaan Linier Bentuk umum dari persamaan linier, dapat dituliskan sebagai berikut:
bxay +=
dengan: a = kelandaian (slope) kurva garis lurus
b = perpotongan (intercept) kurva dengan ‘ordinat’ atau sumbu tegak
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (3/3)
Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga tetapan a dan b berdasarkan deretan data yang ada (jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah).
Sebagai contoh, di bawah ini diberikan 1 set data (x-y) sebanyak 7 buah:
Tabel 1. Set data regresi linier.
x y-3 -0.22
-2 0.67
-1 1.55
0 1.99
1 2.55
2 3.25
3 4.11 Hasil pengaluran kurva (plotting) titik-titik tersebut di atas dapat dilihat pada Gb. 1 di bawah ini.
-0.22
0.67
1.55
1.99
2.55
3.25
4.11y = 0.6841x + 1.9850
-1
0
1
2
3
4
5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
intercept
slope
Gambar 1. Kurva regresi linier, dengan N = 7.
Persamaan sebaran (S atau distribusi) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (4/4)
( )∑ −−= 2bxayS
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung a dan b adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan a dan b (dalam hal ini, a dan b dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan berikut:
.0d
d).b(
dan;0d
d).a(
=
=
b
S
a
S
Untuk lebih jelasnya, kronologis penurunan kedua persamaan di atas adalah sebagai berikut:
(a). ( )[ ] 0d
d 2 =∑ −− bxaya
, sehingga akan terbentuk
persamaan berikut:
( ) 0)( =−∑ −− xbxay , atau
∑ ∑ ∑=+ yxxbxa 2 (A)
(b). ( )[ ] 0d
d 2 =∑ −− bxayb
, sehingga kemudian
terbentuk persamaan berikut:
( ) 0)1( =−∑ −− bxay , atau
∑ ∑=+ ybNxa (B)
Kedua persamaan (A) dan (B) seperti di atas adalah suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL), bila disusun-ulang
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (5/5)
sebagai berikut:
∑
∑=
⋅
∑
∑∑y
yx
b
a
Nx
xx2
(C)
yang identik dengan persamaan matriks [ ] [ ] [ ]bxA =⋅ . Solusi SPAL tersebut relatif sangat mudah dilakukan dengan metode analitis.
Dengan menggunakan aturan Cramer, solusi konstanta-konstanta a dan b adalah:
∑
∑∑
∑
∑∑
=
Nx
xx
Ny
xyx
a2
det
det
; dan
∑
∑∑
∑∑
∑∑
=
Nx
xx
yx
yxx
b2
2
det
det
Karena hanya membentuk persamaan matriks berorder 2, maka determinan-determinan matriks di atas dapat langsung dihitung, dengan rincian sebagai berikut:
( )[ ]222
det ∑−⋅∑=
∑
∑∑xNx
Nx
xx
[ ]∑ ∑ ∑⋅−⋅=
∑
∑∑yxNyx
Ny
xyxdet
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (6/6)
dan
[ ]∑⋅∑−∑⋅∑=
∑∑
∑∑yxxyx
yx
yxx 22
det
sehingga, diperoleh solusi harga-harga a dan b:
[ ]( )[ ]22 ∑−⋅∑
∑⋅∑−⋅∑=xNx
yxNyxa = 0,684143; dan
[ ]
( )[ ]22
2
∑−⋅∑
∑⋅∑−∑⋅∑=xNx
yxxyxb = 1,985000
Tugas di rumah:
Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga a dan b dari satu set data berikut:
No. x y1 -1.0 5.00 2 1.0 9.00 3 3.0 13.00 4 5.0 17.00 5 7.0 21.00 6 9.0 25.00 7 11.0 29.00
D. Regresi Persamaan Parabola Persamaan Parabola atau Persamaan Kuadrat mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:
rxqxpy ++= 2
Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga tetapan p, q dan r berdasarkan set data yang diberikan (ingat: jumlah atau pasangan data x-y sebanyak N buah !).
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (7/7)
Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
( )∑ −−−=22 rxqxpyS
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung p, q dan r adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap tetapan p q dan r (dalam hal ini, p, q dan r dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:
.0d
d).c(
dan;0d
d).b(
;0d
d).a(
=
=
=
r
S
q
S
p
S
Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap p, q, dan r adalah sebagai berikut:
(a). ( ) 0d
d 22 =
∑ −−− rxqxpy
p, yang membentuk
persamaan berikut:
( ) 0)( 22 =−∑ −−− xrxqxpy , atau
∑ ∑ ∑=∑++ yxxrxqxp 2234 (E)
(b). ( ) 0d
d 22 =
∑ −−− rxqxpy
q, yang membentuk:
( ) 0)(2 =−∑ −−− xrxqxpy , atau
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (8/8)
∑ ∑ ∑=∑++ yxxrxqxp 23 (F)
(c). ( ) 0d
d 22 =
∑ −−− rxqxpy
r, dan dihasilkan
( ) 0)1(2 =−∑ −−− rxqxpy , atau
∑ ∑ ∑=++ yNrxqxp 2 (G)
Seperti halnya pada regresi persamaan linier, ketiga persamaan (E), (F), dan (G) di atas juga membentuk suatu sistem persamaan aljabar linier (SPAL) dengan oreder 3, bila disusun-ulang sebagai berikut:
∑
∑
∑
=
⋅
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
y
yx
yx
r
q
p
Nxx
xxx
xxx 2
2
23
234
(H)
Solusi SPAL di atas dapat dilakukan melalui 2 cara, yaitu: (a). analitis (aljabar) dan (b). numeris. Berbagai solusi SPAL (dengan menggunakan metode numeris) telah dijelaskan pada modul-modul pelajaran terdahulu. Sebagai catatan, determinan dari matriks bujur-sangkar dengan rank 3 dapat dihitung sebagai berikut:
122133112332132231
322113312312332211
333231
232221
131211
detaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
Dengan menggunakan metode analitis, sebenarnya SPAL di atas masih relatif mudah diselesaikan, yaitu dengan menggunakan aturan Cramer untuk mencari solusi konstanta atau parameter-parameter p, q dan r.
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (9/9)
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
Nxx
xxx
xxx
Nxy
xxyx
xxyx
p
2
23
234
2
232
det
det
;
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
Nxx
xxx
xxx
Nyx
xyxx
xyxx
q
2
23
234
2
3
224
det
det
; dan
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
=
Nxx
xxx
xxx
yxx
yxxx
yxxx
r
2
23
234
2
23
234
det
det
Berdasarkan catatan tentang determinan matriks berorder 3 seperti di atas, maka determinan-determinan matriks di atas berturut-turut adalah sebagai berikut:
( )( ) ( )2342
3232
2324
2
23
234
det
∑⋅−∑⋅∑
∑ ∑ ∑ −∑−⋅⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +⋅⋅+⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
xNxx
xxxx
xxxNxx
Nxx
xxx
xxx
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (10/10)
( )( ) ∑ ∑ ∑⋅⋅−⋅∑
∑ ∑ ∑ ∑ −⋅∑−⋅⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +⋅⋅+⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
322
222
322
2
232
det
xyxNyxx
yxxyxx
yxxNxyx
Nxy
xxyx
xxyx
( )∑ ∑ ∑ ∑ ∑⋅⋅−⋅⋅∑ −∑ ∑⋅∑ ∑−⋅⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +⋅⋅+⋅⋅
=
∑∑
∑∑∑
∑∑∑
yxxNyxx
yxxyxx
xxyxNyxx
Nyx
xyxx
xyxx
234
2232
224
2
3
224
det
dan
( )( )∑ ∑ ∑ ∑⋅∑−⋅⋅
∑ ∑ ∑ ∑ −⋅∑−⋅⋅
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +⋅⋅+⋅⋅
=
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
yxyxxx
yxxyxxx
yxxxyxx
yxx
yxxx
yxxx
234
22223
3224
2
23
234
det
Tugas di rumah:
Coba buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga p, q dan r berdasarkan kurva di bawah ini:
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0
Pasangan data (x-y) dari kurva di atas dapat diberikan seperti pada tabel berikut:
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (11/11)
No. x y1 -3.0 4.00 2 -2.2 -0.16 3 -0.9 -4.19 4 -0.1 -4.99 5 1.2 -3.56 6 2.5 1.25
E. Regresi Persamaan Kubus (polinomial order 3) Persamaan Kubus atau Persamaan polinomial order 3 mempunyai bentuk umum yang dapat dituliskan sebagai berikut:
012
23
3 cxcxcxcy +++=
Regresi yang dimaksudkan disini adalah: pencarian harga-harga parameter c0 sampai dengan c3 berdasarkan set data yang diberikan (ingat: pasangan data x-y selalu berjumlah N buah !).
Persamaan sebaran (S) yang menyatakan sesatan terdistribusi dari persamaan linier tersebut dinyatakan sebagai:
( )∑ −−−−=2
012
23
3 cxcxcxcyS
Persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung parameter-parameter c0 sampai dengan c3 adalah minimisasi turunan persamaan di atas, masing-masing terhadap setiap parameter (dalam hal ini, c0 sampai dengan c3 dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan minimisasi berikut:
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (12/12)
0d
d(d).
dan;0d
d).c(
;0d
d).b(
;0d
d).a(
3
2
1
0
=
=
=
=
c
S
c
S
c
S
c
S
Tahapan penurunan ketiga persamaan-persamaan di atas terhadap c0 sampai dengan c3 adalah sebagai berikut:
(a). ( ) 0d
d 201
22
33
3=
∑ −−−− cxcxcxcy
c,
membentuk persamaan berikut:
( ) 0)( 301
22
33 =−∑ −−−− xcxcxcxcy , atau
∑ ∑ ∑=∑+∑++ yxxcxcxcxc 330
41
52
63 (I)
(b). ( ) 0d
d 201
22
33
2=
∑ −−−− cxcxcxcy
c,
membentuk:
( ) 0)( 201
22
33 =−∑ −−−− xcxcxcxcy , atau
∑ ∑ ∑=∑+∑++ yxxcxcxcxc 220
31
42
53 (J)
(c). ( ) 0d
d 201
22
33
1=
∑ −−−− cxcxcxcy
c,
dihasilkan:
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (13/13)
( ) 0)(012
23
3 =−∑ −−−− xcxcxcxcy , atau
∑ ∑ ∑=∑+∑++ yxxcxcxcxc 02
13
24
3 (K)
(d). ( ) 0d
d 201
22
33
0=
∑ −−−− cxcxcxcy
c,
dihasilkan:
( ) 0)1(012
23
3 =−∑ −−−− cxcxcxcy , atau
∑ ∑ ∑=+∑++ yNcxcxcxc 012
23
3 (L)
Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (I), (J), (K), dan (L) adalah sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
=
⋅
∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
y
yx
yx
yx
c
c
c
c
Nxxx
xxxx
xxxx
xxxx2
3
0
1
2
3
23
234
2345
3456
(M)
Tugas Kelompok:
Buat program dalam FORTRAN untuk mencari harga-harga konstanta dari c0 sampai cn dari suatu persamaan polinomial, dari order 3 (n = 3) sampai dengan order 7 (n = 7). Artinya, program tersebut dapat menangani sembarang polinomial dari order 3 sampai 7 bahkan lebih tinggi lagi.
Gunakan subroutine EGAUSS untuk solusi SPAL yang terbentuk, dan buat program yang membaca data dari file ASCII (text file, dengan ekstensi *.dta).
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (14/14)
F. Regresi Multilinier Beberapa persamaan aljabar dapat membentuk suatu ‘relasi linier’ atau yang sejenisnya, antara beberapa variabel bebas (independent variables) dengan sebuah variabel terikat (dependent variable). Relasi tersebut seringkali dijumpai dalam dunia keteknikan, termasuk hasil logaritmik dari persamaan-persamaan analisis adimensional ataupun relasi analogi bilangan-bilangan tak berdimensi.
Bentuk umum dari persamaan multilinier seperti di atas dapat disederhanakan dalam relasi fungsi matematis berikut:
wkvkucwvuy 321),,( ++=
Bila persamaan multilinier tersebut memiliki jumlah variabel bebas yang lebih besar lagi, maka secara sistematis dapat dituliskan sebagai berikut:
nnn xcxcxcxcxxxy ++++= LL 33221121 ),,,(
Persamaan sebaran (S) yang menyatakan ‘sesatan terdistribusi’ dari persamaan multilinier tersebut dapat dinyatakan sebagai:
( )∑ −−−−−= 2332211 nn xcxcxcxcyS L
Menarik untuk dicatat, bahwa jumlah konstanta atau parameter (c1 sampai dengan cn) yang dimiliki suatu persamaan multilinier sekurang-kurangnya sama dengan jumlah variabel bebasnya.
Seperti biasanya, persyaratan yang harus dipenuhi untuk dapat menghitung konstanta-konstanta c1 sampai dengan cn, adalah minimisasi turunan persamaan di atas terhadap masing-masing konstanta (dalam hal ini, semua konstanta dianggap sebagai variabel-variabel semu), sehingga membentuk persamaan-persamaan berikut:
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (15/15)
0d
d(d).
;0d
d).c(
;0d
d).b(
;0d
d).a(
3
2
1
=
=
=
=
nc
S
c
S
c
S
c
S
M
Tahapan diferensiasi persamaan-persamaan di atas terhadap masing-masing parameternya (dari c1 sampai dengan cn) dapat disajikan sebagai berikut:
(a). ( )[ ] 0dd 2
3322111
=∑ −−−−− nn xcxcxcxcyc
L ,
membentuk persamaan berikut:
( ) ( ) 01332211 =⋅∑ −−−−− xxcxcxcxcy nnL
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
∑ ∑ ∑ ∑=++∑++ yxxxcxxcxxcxc nn 11313212211 L (O)
(b). ( )[ ] 0d
d 2332211
2=∑ −−−−− nn xcxcxcxcy
cL ,
membentuk persamaan berikut:
( ) ( ) 02332211 =⋅∑ −−−−− xxcxcxcxcy nnL
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
∑ ∑ ∑ ∑=+∑ +++ yxxxcxxcxcxxc nn 22323222211 L (P)
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (16/16)
(c). ( )[ ] 0d
d 2332211
3=∑ −−−−− nn xcxcxcxcy
cL ,
membentuk persamaan berikut:
( ) ( ) 03332211 =⋅∑ −−−−− xxcxcxcxcy nnL
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
∑ ∑ ∑ ∑=+∑ +++ yxxxcxcxxcxxc nn 33233322311 L (Q)
M
(d). ( )[ ] 0d
d 2332211 =∑ −−−−− nn
nxcxcxcxcy
cL ,
membentuk persamaan berikut:
( ) ( ) 0332211 =⋅∑ −−−−− nnn xxcxcxcxcy L
dan, setelah disusun-ulang menjadi:
∑ ∑ ∑ ∑=+∑ +++ yxxcxxcxxcxxc nnnnnn2
332211 L (R)
Sistem Persamaan Aljabar Linier (SPAL) yang terbentuk dari persamaan-persamaan (O), (P), (Q), dan (R) adalah sebagai berikut:
∑
∑
∑
∑
=
⋅
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
yx
yx
yx
yx
c
c
c
c
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
xxxxxxx
nnnnnn
n
n
n
MM
L
MOMMM
L
L
L
3
2
1
3
2
1
2321
3233231
2322221
1312121
(S)
G. Soal-soal Latihan 1. Vargaftik (1975) memperkenalkan suatu data kapasitas
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (17/17)
panas untuk metilsikloheksana, sebagai berikut (T adalah suhu absolut dalam K; dan Cp adalah kapasitas panas zat yang dinyatakan dalam kJ/kg·K):
T Cp
150 1,426 160 1,447 170 1,469 180 1,492 190 1,516 200 1,541 210 1,567 220 1,596 230 1,627 240 1,661 250 1,696 260 1,732 270 1,770 280 1,808 290 1,848 300 1,888
Lakukanlah pencocokan kurva (curve fitting), bila diinginkan persamaan Cp(T) sebagai fungsi dari temperatur dalam persamaan kuadrat: ( ) 2TcTbaTC p ++= !
2. Suatu model yang paling umum untuk pengungkapan laju reaksi kimia order satu tak-berdimensi adalah CkdtdC −= dengan 1)0( ==tC . Bentuk terintegrasi dari model tersebut adalah )exp( tkC −= , yang sebenarnya ‘nonlinier’ pada parameter k. Dengan data yang diberikan di bawah ini, tentukan nilai terbaik untuk k. Kembangkan juga prosedur hitungan saudara untuk ‘nilai nonlinier’ dari k.!
t (detik) 0,2 0,5 1,0 1,5 2,0
C (mol/L.detik) 0,75 0,55 0,21 0,13 0,04
Data tentang laju reaksi pada berbagai konsentrasi (C) dan
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (18/18)
suhu reaksi (T) diberikan pada tabel di bawah ini:
Laju reaksi C T
0,0360 0,8 300 1,01 0,8 400 7,45 0,8 500 0,0231 0,4 300 0,649 0,4 400 4,79 0,4 500 0,0135 0,2 300 0,378 0,2 400 2,80 0,2 500
3. Dari tabel data laju reaksi seperti disajikan di atas, diinginkan untuk melakukan validasi data menjadi persamaan model nonlinier:
TaeC
CKreaksiLaju /
3,01−
+=
dengan cara menghitung harga-harga parameter K dan a. Coba Anda fikirkan dengan baik, kemudian berikan pendapat Anda tentang bagaimana caranya melakukan pencocokan data seperti di atas ?
4. Gilliland dan Sherwood (1934) mendapatkan data tentang perpindahan massa untuk berbagai cairan yang jatuh bebas pada dinding kolom terbasahi (wetted-wall column). Data tersebut dapat dilihat pada tabel data yang diberikan di bawah ini sehingga dapat digunakan untuk melakukan validasi model nonlinier berikut:
32Re1BB ScBSh =
Dari persamaan yang ‘nonlinier’ seperti di atas, fikirkanlah dengan baik dan kemudian carilah cara yang paling mudah untuk melakukan pencocokan data seperti di atas (maksudnya: menghitung parameter-parameter B1 sampai B3 sedemikian rupa sehingga didapat korelasi yang sesuai)?
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (19/19)
Jika dari hasil-hasil penelitian Gilliland dan Sherwood di atas diperoleh suatu korelasi empiris berikut:
436,0789,0Re0336,0 ScSh =
Cobalah lakukan suatu perbandingan, mana yang terbaik antara hasil penelitian (experiment) dan hasil perhitungan (prediction) jika deviasi baku didefinisikan seperti di bawah ?
[ ] 21
1
2exp
3dev.std.
−
∑ −= =
N
ShShn
iipred
Tabel Data Perpindahan Massa dari Gilliland dan Sherwood.
Sh Re Sc
43,7 10,800 0,60 21,5 5,290 0,60 24,2 3,120 1,80 88,0 14,400 1,80 51,6 6,620 1,875 50,7 8,700 1,875 32,3 4,250 1,86 56,0 8,570 1,86 26,1 2,900 2,16 41,3 4,950 2,16 92,8 14,800 2,17 54,2 7,480 2,17 65,5 9,170 2,26 38,2 4,720 2,26 93,0 16,300 1,83 70,6 13,000 1,83 42,9 7,700 1,61 19,8 2,330 1,61
Seri Matematika Terapan untuk S2
Intellectual Property of DR. Ir. Setijo Bismo, DEA., TGP-FTUI Modul 3 - Regresi Linier dengan Metode Kuadrat Terkecil (20/20)
H. Daftar Pustaka Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John
Wiley & Sons, Toronto, pp. 44-48, 1978. Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical
Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo, pp. 49-51, 1983.
Hanna, O.T., Sandall, O.C., “Computational Methods in Chemical Engineering”, Prentice-Hall International Inc., Englewood Cliffs, New Jersey, pp. 121-149, 1995.
Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A., dan Vetterling, W.T., “Numerical Recipes”, Cambridge Univ. Press, 1986.